形式语言学_Ch6_文法的乔姆斯基体系

形式语言学
Introduction to Formal Languages
文法的乔姆斯基体系
文法G=(V，T，P，S) (变量, 终极符,产生式,开始符号) G叫做0型文法(type 0 grammar)，也叫做短语结构文法 (phrase structure grammar, PSG)。
L(G)叫做0型语言。也可以叫做短语结构语言(PSL)、递
关键：对于A∈V，如果Aβ ∈P，则无论A出现在句
型的任何位置，我们都可以将A替换成β ，而不考虑A的
上下文。
6.1.1 上下文无关文法的派生树
算术表达式的文法
Gexp1：EE+T|E-T|T
TT*F|T/F|F FF↑P|P
P(E)|N(L)|id
Nsin|cos|exp|abs|log|int LL,E|E
6.1.1 上下文无关文法的派生树
必要性 设 n≤k(k≥1) 时结论成立，往证当 n=k+1 时结论也成立： 令Ak+1α，则有： AX1X2…Xm
*α1X2…Xm
*α1α2…Xm … *α 1α 2…α
m
其中,对任意的i, 1<=i<=m, Xi*αi 当Xi=αi 时， Xi时只有一个定点的Xi子树， 当Xi*αi ，所用步数ni>=1时，必有ni<=k, 由归纳假设，存在以αi 为结果的Xi子树。 即对任意的1<=i<=m,对应于Xi*αi ，存 在以αi 为结果的Xi子树。
设A-子树有k+1个非叶子顶点，根顶点A的儿子从左到右
依次为v1，v2，…，vm ，并且它们分别标记为X1，X2…，Xm 。 由定义有AX1X2…Xm∈P 。 设分别以X1，X2，…，Xm为根的子树的结果依次为α 1，
α 2，…，α
于k 。
m。
X1，X2，…，Xm为根的子树的非叶子顶点的个数均不大
与最左派生相对的归约叫做最右归约。
6.1.1 上下文无关文法的派生树
规范派生(normal derivation)
最右派生。
规范句型(normal sentencial form) 规范派生产生的句型。
规范归约(normal reduction)
最左归约。
6.1.1 上下文无关文法的派生树
定理6-2 如果α 是CFG G的一个句型，则G中存在α 的最左 派生和最右派生。 证明： 基本思路：对派生的步数n施归纳，证明对于任意A∈V，
第6章 上下文无关文法和上下文无关语言
Gbra： S S(S)|ε L(Gbra)不是 RL,是 CFL
( ) ( ) ......( )
n1` n1 n2 n2
nh nh
0 1 0 1 ......0 1
n1` n1
n2 n2
nh nh
•高级程序设计语言的绝大多数语法结构都可以用上下 文无关文法(CFG)描述。。 •BNF(巴科斯范式：Backus normal form，又叫 Backus-naur form)。 正则文法只能对语言中组成单词的规则 进行描述，通常称其为“词法”。 正则文法对表达式和语句等复杂结构而 言失去了描述能力。 语法 --- 上下文无关文法 。
归可枚举集(recursively enumerable ，r.e. )。
文法的乔姆斯基体系
G是0型文法。 如果对于α β ∈P，均有|β |≥|α |成立，则称G为 1型文法(type 1 grammar)，或上下文有关文法 (context sensitive grammar,CSG)。 L(G)叫做1型语言(type 1 language)或者上下文有关
6.1.1 上下文无关文法的派生树
别称 生成树
分析树(parse tree) 语法树(syntax tree)
顺序 v1，v2是派生树T的两个不同顶点，如果存在顶点v， v至少有两个儿子，使得v1是v的较左儿子的后代，v2 是v的较右儿子的后代，则称顶点v1在顶点v2的左边， 顶点v2在顶点v1的右边。
语言(context sensitive language ,CSL)。
文法的乔姆斯基体系
G是1型文法 如果对于α β ∈P，均有|β |≥|α |，并且α ∈V成立， 则称G为2型文法(type 2 grammar)，或上下文无关文法 (context free grammar,CFG)。 L(G)叫做2型语言(type 2 language)或者上下文无关语言
文法的乔姆斯基体系
⑴ 如果一个文法 G是 RG，则它也是 CFG、CSG和短语结
构文法。反之不一定成立。
⑵ 如果一个文法G是CFG，则它也是CSG和短语结构文法。 反之不一定成立。
⑶ 如果一个文法 G是 CSG，则它也是短语结构文法。反
之不一定成立。 相应地： ⑷ RL也是 CFL、CSL和短语结构语言。反之不一定成立。
6.1.1 上下文无关文法的派生树
必要性 由于AX1X2…Xm，所以， AX1X2…Xm∈P ，从而
再将所有Xi子树对应地接在Xi所标示的定点上，即得 该树结果为α。 得证。
6.1.1 上下文无关文法的派生树
例 6-1设 Gbra： S S(S)|ε ， (( )(( )))和 (S)((S))的派生树。
结果为句子
结果为句型
6.1.1 上下文无关文法的派生树
最左派生(leftmost derivation)
α 的派生过程中，每一步都是对当前句型的最左变量
进行替换。 左句型(left sentencial form) 最左派生得到的句型可叫做左句型。
最右归约(rightmost reduction)
Nsin|cos|exp|abs|log|int
LL,E|E
6.1.2 二义性
句子x+x/y↑2在文法中的三个不同的最左派生
E E+E x+E x+E/E x+x/E x+x/E↑E x+x/y↑E x+x/y↑ 2 E E/E E+E/E x+E/E x+x/E x+x/E↑E x+x/y↑E x+x/y↑ 2 E E↑ E E/E↑ E E+E/E↑ E x+E/E↑ E x+x/E↑ E x+x/y↑ E x+x/y↑ 2
6.1.1 上下文无关文法的派生树
由归纳假设： X1*α
X2*α … Xm*α 而且
m 1
2
从而 AX1X2…Xm *α 1X2…Xm *α 1α 2…Xm
…
m
α =α 1α 2立。
6.1.1 上下文无关文法的派生树
必要性 设A*α ，现施归纳于派生步数n，证明存在结果为 α 的A-子树。 当n=1时，由A α 知 A α ∈P 。令α =X1，X2…，Xm ， 则有如图A子树. 所以结论对n=1成立.
如果Anα ，在G中，存在对应的从A到α 的最左派生：
An左α 。
6.1.1 上下文无关文法的派生树
AX1X2…Xm *α 1X2…Xm *α 1α 2…Xm … *α 1α 2…α m
A左X1X2…Xm *左α1X2…Xm *左α1α2…Xm … *左α 1α 2…α
m
同理可证，句型α 有最右派生。
(context free language ,CFL)。
文法的乔姆斯基体系
G是2型文法 如果对于α β ∈P，α β 均具有形式
Aw AwB 其中 A，B∈V， w∈T+。 则称 G 为 3 型文法 (type 3 grammar)， 也 可 称 为 正 则 文 法 ( regular grammar ,RG)或者正规文法。 L(G) 叫做 3型语言 (type 3 language)，也可称为 正则语言或者正规 语言(regular language ,RL)。
文法的乔姆斯基体系
⑸ CFL也是CSL和短语结构语言。反之不一定成立。 ⑹ CSL也是短语结构语言。反之不一定成立 ⑺ 当文法G是CFG时，L(G)却可以是RL。 ⑻ 当文法G是CSG时，L(G)可以是RL、CSL。 ⑼ 当文法 G 是短语结构文法时， L(G) 可以是 RL、CSL 和 CSL。
6.1.2 二义性
对应 3个不同 的派生树
6.1.2 二义性
二义性(ambiguity)
CFG G=(V，T，P，S)，如果存在w∈L(G)，w至少有两
棵不同的派生树，则称G是二义性的。否则，G为非二义 性的。 非二义性
当n=1时,是一个二级子树.假设此树叶子定点的标记从左到右依
次为X1，X2，…，Xm, 由定义知 必有AX1X2…Xm∈P . 该子树结果为α ,所以X1X2…Xm= X1X2= α ,故A * α .
6.1.1 上下文无关文法的派生树
设n<=k(k>=1)时结论成立，往证当n=k+1时结论成立。
的树叫派生子树(subtree)。
如果这个子树的根标记为A，则称之为A子树。
唯一差别是根结点可以标记非开始符号。
6.1.1 上下文无关文法的派生树
定理6-1 设CFG G=(V，T，P，S)，S*α 的充分必要条件
为G有一棵结果为α 的派生树。
证明：证一个更为一般的结论：对于任意A∈V，A*α 的充分必要 条件为G有一棵结果为α 的A-子树。 充分性：设G有一棵结果为α 的A-子树，非叶子顶点的个数n施归 纳，证明A*α 成立。
第6章 上下文无关语言
主要内容 关于CFL的分析 • 派生和归约、派生树 CFG的化简 • 无用符、单一产生式、空产生式 重点 CFG的化简。
6.1 上下文无关语言
文法G=(V，T，P，S)被称为是上下文无关的。 如果除 了形如Aε 的产生式之外，对于α β ∈P，均有 |β |≥|α |，并且α ∈V成立。