学习《组合序列和组合等式》心得体会

学习《组合序列和组合等式》心得体会
组合数学是现代数学领域中发展较快、较为活跃的分支之一，而组合计数是组合数学的几处，组合计数中许多典型的问题，他们的解决都用到底贵关系，比如，bell 多项式等等是递归关系的基础，通过本学期的学习，我知道了，围线积分也常常用在组合计数中,下面我写出自己对围线积分在组合等式中的一些见解。

1. 留数定理
在周线或复周线所范围的区域D 内，除外解读,在闭域=D+C 上除连续，则<“大范围”积分）
1
(z)2Res (z)
k
n
c
z a k f dz i f π===∑⎰
.
定理1.解读，是一个连续的区间，则满足：
()()()()
01!12(s 1)
(s n)
n
n
k
k n n n k s ds
k i s ϕϕπ=-⎛⎫-=
⎪--⎝⎭
∑⎰，
其中是一个把完全围住的正向封闭曲线，不包括任何一个整数0,1,
证明：由留数定理，计算极点,得：
()!(1)!Res (s)
(s 1)
(s n)!(n k)!n k s k
n n k s k ϕϕ-=-=---，其中k=.
定理2.是一个在上解读的有理函数，则满足：
()()0!1(1)Res (s)(s 1)(s n)n
k n
s k n n n k k s ϕϕ=⎛⎫-=-- ⎪
--⎝⎭∑，其中这个和不包括所
有
(s)
(s 1)
(s n)s ϕ--的在上的极点.
但我们把定理1和定理2分别q 化之后可得以下两个公式：
()
()
1211
(q;q)11(q )2(z;q)k n
k k
n
c
k n q
n q
f f z dz
k i π⎛⎫ ⎪--⎝⎭
=+⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∑⎰
和
()
121
1
1(q;q)1(q )(1)(z)(z;q)k n
k k n n z k n q n q
f Res f k ⎛⎫ ⎪--+⎝⎭
=+⎧⎫⎡⎤-=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑.
而这两个公式对于计算组合等式有很好的用处：
例1.定义 S:()
112111q 11q 1q k k n
n k k k
k k q
n q
k +⎛⎫
⎪-⎝⎭
==⎡⎤-=⎢⎥--⎣⎦∑∑.
那么()1
1f z z =
-，并且计算
S=
1(q;q)1(z;q)1n z
n Res
z +--1
(q;q)(z 1)(1zq)...(1zq )n n ⎡⎤-⎣⎦--
=1
(q;q)(1q q)...(1q q )n
n n ωωω⎡⎤⎣⎦----=
1
1
q
q (1) (1)
11q n
n
q
ωωω⎡⎤⎣⎦
-
-
--
=
q 11q n
n q
q ++
--.
这时我们只要对其乘以1q -，并且让1q →，就可以得到公式：
()()1
12111
!
12z (z 1)(z n)n n
k c k n n dz
k k i π--=-⎛⎫-= ⎪--⎝⎭
∑⎰.
例2. 定义 S:()
1121
1q 1
1q 11q k
k n
n k
k k m k k q
q n q
k m k k +⎛⎫
⎪-⎝⎭
+==⎡⎤--=⎢⎥+⎡⎤-⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑；
此时，
1
(z)m f z q =
-，并且计算
1
11(q;q)(q;q)11(z;q)(z;q)m n n m m z z q n n s Res
Res z q z q ==++=----1(q;q)(q;q)1
1(q;q)n m m n m
q -+=-
-，那么同样
的我们让1q →就得到公式：()1
111!(m 1)!1(m n)!n
k k n n k k m m -=⎛⎫--=- ⎪++⎝⎭
∑.
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