二重积分的计算法15351
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面上某个区域的面积、质量、质心等问题。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
一、直角坐标系下的二重积分计算方法在直角坐标系下，二重积分的计算通常通过累次积分的方式进行。
设有一个二元函数 f(x, y) 在某一闭区域 D 上连续，则 D 可以表示为水平投影区域 D' 在直角坐标系上的投影区域，并且可以将 D 划分成许多小的面积 dA。
二重积分的计算可以表示为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(x, y)dxdy其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(x, y) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(x, y)dxdy = ∫[a, b]∫[c(x), d(x)]f(x, y)dydx其中，[a, b] 表示 x 的取值范围，c(x) 和 d(x) 分别表示 D' 在 x 轴上的投影区间的下边界和上边界。
根据具体问题，我们可以选择先对 x进行积分，再对y 进行积分，或者先对y 进行积分，再对x 进行积分。
通过这样的累次积分方式，可以计算得到二重积分的结果。
二、极坐标系下的二重积分计算方法在某些问题中，使用极坐标系进行二重积分的计算更加方便。
对于闭区域 D 在极坐标系下的表示，我们可以将二重积分的计算公式改写为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(r, θ)rdrdθ其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(r, θ) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(r, θ)rdrdθ = ∫[α, β]∫[g(θ), h(θ)]f(r, θ)rdrdθ其中，[α, β] 表示θ的取值范围，g(θ) 和h(θ) 分别表示 D 在极坐标系下的投影区间的内半径和外半径。
同样地，通过选择先对θ进行积分，再对r进行积分，或者先对r进行积分，再对θ进行积分的方式，可以计算得到二重积分的结果。
二重积分的计算方法
若是先积 y 后积 x 时，则把区域 D 投影到 x 轴上， 得投影区间[a, b]，这时 a 就是对 x 积分(外积分)的下限， b 就是对 x 积分(外积分)的上限；在 [a, b] 上任意确定 一个 x ，过 x 画一条与 y 轴平行的直线，假定它与区域 D 的边界曲线(x = a, x = b 可以除外)的交点总是不超过 两个(称这种区域为凸域).
D
D
2 d
0
R2 R1
r3
dr
8
( R24
-
R14 ),
如果积分域 D 是整个环形， 显然有
( x2 y2 )d r2r d r d
D
D
2
d
R2 r 3 d r
0
R1
2
r R2 3 d r
R1
2
[r
4
]R2 R1
(R42 - R41 ). 2
例 7 计算 e-x2-y2 d ，D 是圆域 x2 y2 a2 (a 0).
径分别为 r = r1()，r = r2()， 假定 r1( ) ≤r2( )， 那么 r1( ) 与 r2( ) 分别是对 r
积分(内积分)下限与上限，
即
f ( y cos , sin )r d r d
D
d
r2( ) f (r cos , r sin )r d r.
r1 ( )
例 5 把 f ( x, y)d 化为极坐标系中的累次积分，
D
解 这个二重积分在直角坐标系中无法计算，
现在极坐标中计算. 由图可见，因原点在区域内，
且边界曲线的方程为 r = a ， 所以有
e-x2-y2 d e-r2r d r d
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨二重积分的计算方法，包括定积分、极限方法和变换法。
首先，我们来回顾一下定积分的概念。
定积分是在一个区间上对函数进行积分的方法，可以看作是对函数在该区间上面积的测量。
对于一维的函数，如f(x)，定积分的计算方法可以通过求解反导函数F(x)的值来实现。
具体而言，定积分是将函数f(x)在区间[a,b]上的每个小矩形的面积累加起来，得到的结果就是函数在该区间上的定积分。
对于二重积分，它的计算稍微复杂一些。
二重积分可以看作是在一个二维的区域上对函数进行积分的方法。
通常情况下，二重积分的计算可以分为两个步骤：首先，将二重积分转化为定积分的形式；然后，利用定积分的计算方法进行求解。
对于二重积分的转化，常用的方法有直角坐标转换和极坐标转换。
直角坐标转换适用于矩形区域，它将二重积分转化为两个一维的定积分。
具体而言，设二重积分的变量为x和y，区域为D，函数为f(x,y)，则二重积分的计算可以表示为：∬f(x,y)dA = ∫(∫f(x,y)dy)dx其中，第一个定积分在区域D上对y进行积分，第二个定积分在整个区域D上对x进行积分。
极坐标转换适用于圆形或者具有旋转对称性的区域，它将二重积分转化为极坐标系下的定积分。
具体而言，设二重积分的变量为r和θ，区域为D，函数为g(r,θ)，则二重积分的计算可以表示为：∬g(r,θ)rdrdθ其中，第一个定积分在区域D上对r进行积分，第二个定积分在整个区域D上对θ进行积分。
除了定积分的方法，还可以使用极限方法来计算二重积分。
极限方法是通过将计算区域划分成无穷多个小矩形或者小三角形，然后将其面积累加起来得到积分的值。
具体而言，对于二重积分的计算，可以将区域D划分成很多个小矩形或者小三角形，然后根据这些小区域的面积和函数值进行累加，最后取极限即可得到二重积分的值。
最后，我们来介绍一种常用的变换法，即换元法。
二重积分的计算法
01
解
02
积分区域如图
01
积分区域如图
解
01
单击此处添加大标题内容
解
原式
例4. 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
例5. 计算
其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
及直线
则
例6. 计算
其中D 是直线
所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知,
因此取D 为X – 型域 :
先对 x 积分不行,
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
解: 由被积函数可知,
例7．求I=
取D 为X – 型域 :
因此取D 为Y – 型域 :
先对 y 积分不行,
例8．求I=
若D为Y –型区域
则
当被积函数
单击此处添加小标题
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10%
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的
Y型区域的特点： 直线与区域边界相交不多于两个交点. 直线与区域边界相交不多于两个交点. 计算中的技巧（问题）： 、先画积分区域草图； 、有无奇偶对称性: 穿过区域且平行于x 轴的
第二节
二重积分的计算法 与直系下二次积分互化
由曲顶柱体体积的计算可知, 且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
二重积分的计算法
0
法二
先x后y
2
x2+y2
a
2
x
D
e
a
x y
d xd y dy
a a2 y2
2 2
a
a y
e
x2 y 2
dx
e
a
y
2
dy
a y
e
x2
dx积不出
14
故本题无法用直角 坐标计算.
二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
极坐标积分。
令x=rcos, y=rsin, 则 x2+y2 = 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x
D
1 x 2 y 2 dxdy
d 1 r 2 cos2 r 2 sin 2 rdr
1
x
y=x 1 D1
D2
0
D 1 x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
10
例 11
求由下列曲面所围成的立体体积， z x y ， z xy， x y 1， x 0， y 0 .
解 画图. 所围立体在 xoy 面上的投影 D 如图所示。
x2 y2 R2 , x2 z 2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
R
o x
0 y R 2 x 2 ( x, y ) D : 0 x R 则所求体积为
第二节_二重积分的计算法
第二节_二重积分的计算法二重积分：在平面上规定一个有界闭合区域D，对于D上的每一点P(x,y)，都有一个标量函数f(x,y)与之对应。
则二重积分的数值就是由函数f(x,y)在区域D上所有点处的函数值决定的。
二重积分一般可以表示为∬Df(x,y)dA。
计算二重积分的方法主要有以下几种：直角坐标法、极坐标法、换元积分法和累次积分法。
1.直角坐标法：针对矩形、直角三角形、抛物线和折线边界的区域，可以直接使用直角坐标法来计算二重积分。
具体步骤如下：(1)写出二重积分的累加和形式：I=ΣΣf(x,y)ΔA。
(2)将区域D分成若干小矩形，计算每个小矩形的面积ΔA。
(3)在每个小矩形上选择代表点(x,y)，计算f(x,y)的函数值。
(4)将函数值与相应小矩形的面积相乘，加和求和即可得到二重积分的数值。
2.极坐标法：当具有极坐标对称性的区域时，采用极坐标法可以简化计算。
具体步骤如下：(1) 确定极坐标变换：x=r*cosθ，y=r*sinθ。
(2) 根据变换的雅可比矩阵计算面积元素dA的极坐标形式：dA=rdrdθ。
(3) 将二重积分转化为极坐标下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ。
(4)将极坐标下的积分区域和积分限进行变换，然后按照累次积分进行计算。
3.换元积分法：当二重积分区域D的边界方程比较复杂时，可以使用换元积分法来简化计算。
具体步骤如下：(1)根据边界方程对二重积分区域D进行变换，将原来的二重积分区域映射到一个新的坐标系中的区域G。
(2)根据变换的雅可比矩阵，计算新坐标系下的面积元素dA'。
(3) 将二重积分转化为新坐标系下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Gf(x(u,v),y(u,v))，J(u,v)，dudv，其中J(u,v)为雅可比行列式。
(4)对新坐标系下的累次积分按照直角坐标法或极坐标法进行计算。
4.累次积分法：当二重积分区域D可以通过垂直于坐标轴的直线进行划分时，可以使用累次积分法进行计算。
第二节二重积分的计算法
第二节二重积分的计算法第二节学习的是二重积分的计算法。
二重积分的计算法可以通过分别采用直角坐标系和极坐标系进行求解。
本文将详细介绍这两种方法的具体步骤。
在直角坐标系中，假设被积函数为f(x,y)，要计算其在D上的二重积分，其中D是一个有界区域，可以采用以下步骤进行求解：1.将区域D进行划分，然后选择该划分的一个子区域Di，其面积为ΔA。
2. 在子区域Di内任选一个点(xi, yi)，将该点作为积分的取值点。
3. 将函数值f(xi, yi)与子区域的面积ΔA相乘，得到局部的积分量f(xi, yi)ΔA。
4.将所有子区域的局部积分量相加，得到近似的二重积分。
5.使用极限的思想，当划分的子区域趋近无穷小时，近似的二重积分趋近于准确的二重积分。
6.对于具体的函数形式，可以通过积分的性质进行变换，求解更为简便。
在计算二重积分时，需要注意以下几点：1.对于非均匀分布的划分，可以通过增加划分数量来提高近似的准确度。
2.划分的子区域大小越小，计算结果越准确，但也会增加计算的复杂度。
3.当函数比较复杂时，可以选择适当的数值计算方法来求解。
接下来，我们将介绍使用极坐标系进行二重积分的计算方法。
极坐标系中的二重积分采用极坐标系下的面积元素dA=rdrdθ。
具体步骤如下：1.将被积函数f(x,y)转换为极坐标下的形式f(r,θ)。
2.将被积区域D在极坐标系下的范围确定，也即确定r的取值范围和θ的取值范围。
3. 计算面积元素dA，即dA=rdrdθ。
4.将被积函数f(r,θ)与面积元素dA相乘，得到局部的积分量f(r,θ)dA。
5.将所有局部积分量相加，得到近似的二重积分。
6.使用极限的思想，当面积元素dA趋近无穷小时，近似的二重积分趋近于准确的二重积分。
极坐标系的二重积分计算方法可以简化计算过程，特别适用于对称性较强的函数和区域。
在实际应用中，二重积分的计算方法可以进一步推广到多重积分的计算。
多重积分的计算涉及到更高维度的坐标系和更复杂的积分区域，但基本的思想和步骤与二重积分类似。
二重积分的积分方法和积分公式
二重积分的积分方法和积分公式二重积分是高等数学中一个重要的概念，主要用于求解平面区域上的积分问题。
在实际应用中，二重积分常常伴随着一些积分方法和积分公式，有助于简化计算过程，提高计算效率。
本文将详细介绍二重积分的积分方法和积分公式。
一、二重积分的基本概念首先，我们需要了解二重积分的基本概念。
对于一个平面区域D，如果对于每一个区域内的点(x,y)，都有一个实数f(x,y)与之对应，那么我们称f(x,y)是D上的一个二元函数。
此时，通过对区域D进行分割，我们可以得到很多个小区域，用矩形来近似表达每个小区域，使得这些小矩形的面积的和趋近于区域D的面积，这个和就可以作为表示f(x,y)在区域D上的对应二重积分。
其数学表达式为：∬Df(x,y)dxdy其中f(x,y)是被积函数，D是被积区域，dxdy表示在x轴和y 轴上的微小增量。
二、二重积分的积分方法1. 变量代换法变量代换法常用于解决被积函数较为复杂的情况。
通过建立一个新的变量，将原式中的变量替换为新的变量，并计算出新的变量的微分值，从而得到新的被积函数和被积区域。
例如，对于二重积分∬Dx^2y dxdy，如果我们令u=xy，v=y，那么在新的变量下，原式可化为∬D(u/v)dvdu。
此时，我们需要通过计算出u和v的微分值，将原被积函数与被积区域进行转化，从而得到简洁的结果。
2. 极坐标法极坐标法常用于解决被积区域的对称性问题。
通过将二维平面上的坐标系转化为极坐标系，可以轻松地描述出各种对称图形的被积区域，并简化计算过程。
例如，对于二重积分∬Dxy dxdy，如果我们将被积区域D转化为极坐标系下的区域，可以得到简化后的被积函数为∫0^πdθ∫0^Rρ^3sinθcosθdρ。
此时，我们只需要进行简单的积分运算，就可以得到最终的结果。
3. 分部积分法分部积分法常用于解决被积函数中的乘积项问题。
通过将乘积项拆分成不同的部分，并对每一部分进行不同的求导和积分操作，可以简化被积函数的形式，并且可以将原式化简为更易于计算的形式。
二重积分的计算方法与技巧
二重积分的计算方法与技巧二重积分是微积分中的重要概念之一，它用于计算平面区域上的定积分。
二重积分的计算方法和技巧有很多，下面将介绍一些常用的方法。
1.通过直角坐标系进行计算。
在直角坐标系中，计算二重积分的方法很简单。
首先，将二重积分所在的区域投影到水平和垂直轴上，确定积分的上下限。
然后，将被积函数表示为直角坐标系下的函数形式，进行具体的计算。
可以根据被积区域的形状选择适当的坐标变换，从而简化计算过程。
2.通过极坐标系进行计算。
在一些情况下，使用极坐标系可以更方便地计算二重积分。
特别是对于圆形区域或具有旋转对称性的区域，使用极坐标系可以大大简化计算过程。
在极坐标系下，被积函数需要进行一定的变换，然后利用极坐标系下的积分公式进行计算。
3.利用对称性简化计算。
如果被积函数具有其中一种对称性，可以利用这种对称性来简化计算。
例如，如果被积函数关于一些坐标轴对称，那么可以将积分区域分为两个对称的部分，然后只计算其中一个部分的积分值，并乘以2即可。
这样可以显著简化计算过程。
4.利用奇偶性简化计算。
如果被积函数具有奇偶性，也可以利用这种性质来简化计算。
如果被积函数关于一些坐标轴是奇函数，那么在计算积分时可以将积分区域分为两个部分，然后只计算其中一个部分的积分值，并乘以2再加上另一个部分的积分值即可。
如果被积函数关于一些坐标轴是偶函数，那么只需要计算其中一个部分的积分值即可。
5.利用换元法进行计算。
对于一些复杂的二重积分，可以通过变量替换的方法来简化计算。
根据被积函数的特点选择适当的变量替换可以使得积分的计算变得更加容易。
例如，如果被积函数中包含平方根或三角函数等复杂的函数形式，可以选择适当的代换来简化计算过程。
6.利用积分的线性性质简化计算。
二重积分具有线性性质，即两个函数的和或差的积分等于分别对这两个函数进行积分后再求和或差。
因此，对于复杂的被积函数，可以将其分解为简单的部分，然后对每个部分进行积分，最后求和或差即可。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法2. 二重积分的计算法目前所能接触到的方法是：将二重积分化为两次单积分将二重积分化为两次单积分_接下来介绍：①直角坐标系②极坐标③二重积分的换元法（至于二重积分的换元法，仅作简单介绍）2.1 利用直角坐标计算二重积分本质思想是通过画图来判断是先对x还是先对y积分。
（先对哪一个积分不绝对，需要具体问题具体分析，但仍需考虑图形，这里不过多解释为什么，仅给出相关题型的做法）下面的介绍中，默认f(x,y)≥0①有如下闭区域D：∬Df(x,y) dσ=∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y) dy（先对y后对x）②∬Df(x,y) dσ=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y) dx（先对x后对y）（注：这里未考虑在立体空间中的形状，但只研究物体在xOy面上的投影即可解决问题）我们称①、②中的区域分别为X型区域、Y型区域。
（按先对、x、y中的哪个积分来命名）若闭区域D既是X型区域，又是Y型区域，则选择哪一种都可以（尽量找简单的）不管先对还是进行积分，要找准积分限不管先对x还是y进行积分，要找准积分限“每个人都有每个人的理解方式，这里我有些解释不出来，大家自行领会吧”注：在解题时，注意使用可加性"可加性"，区间可以分为X型、Y型，既是X型又是Y型的，此时我们对其分别求二重积分即可。
这里给出一个例子来让大家认识到选择正确的积分次序的重要性：计算∬Dy1+x2−y2 dσ，其中区域D是由、、y=x、x=−1、y=1围成的闭区域。
显然D既是X型，又是Y型积分区域，现在我们用两种方法来看一下：①先对y后对x：∫−11dx∫x1y1+x2−y2 dσ（偶函数，想想为什么这里是）=−13∫−11[(1+x2−y2)32|x1] dx=−13∫−11(|x|3−1) dx_（偶函数，想想为什么这里是|x|3）=−23∫01(x3−1)dx=−23(x44−x)|01 =−23⋅(14−1)=12②先对x后对y：∫−11dy∫y1y1+x2−y2dx=∫−11[xy(1+x2−y2)12|1y−∫1yx d[y(1+x2−y2)12]]=∫−11[y2−y2−y2−∫1yx2y1+x2−y2 dx]dy此时还需求∫1yx2y1+x2−y2 dx，难免比较麻烦。
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法计算二重积分是数学中的重要概念，它在多个领域有着广泛的应用。
对于一些复杂的函数，计算二重积分可能会变得非常繁琐。
人们寻求一些简便的方法来计算二重积分，以提高计算效率。
本文将介绍几种计算二重积分的简便方法，帮助读者更轻松地应对二重积分计算问题。
一、极坐标变换法极坐标变换法是计算二重积分的一种简便方法。
它适用于一些具有极坐标对称性的函数，能够将二重积分转化为单重积分，简化计算过程。
设要计算的二重积分为∬Rf(x,y)dxdy，其中R为xy平面上的一个区域，f(x,y)为被积函数。
如果区域R在极坐标下的描述为R={(r,θ)|α≤θ≤β，g(θ)≤r≤h(θ)}，那么进行极坐标变换时，被积函数f(x,y)要转化为F(r,θ)。
然后利用极坐标的雅可比行列式进行计算，最终将二重积分转化为一个极坐标下的单重积分∫(α,β)∫(g(θ),h(θ))F(r,θ)rdrdθ。
极坐标变换法的优势在于能够简化一些对称性较强的函数的计算过程，减少了计算量，提高了计算效率。
二、直角坐标系下的累次积分法设要计算的二重积分为∬Rf(x,y)dxdy，其中R为xy平面上的矩形区域，f(x,y)为被积函数。
通过内层积分和外层积分的累次积分转化，将二重积分变为∫a∫bf(x,y)dxdy，其中a、b为区间端点。
累次积分法的优势在于适用范围广泛，能够简化一些矩形区域内的二重积分计算问题，提高了计算效率。
三、利用对称性简化计算在计算二重积分时，有时可以利用函数的对称性来简化计算。
如果被积函数具有轴对称性或中心对称性，可以利用这种特性来简化计算过程。
对于具有轴对称性的函数，可以只计算坐标轴的一侧，然后通过对称性得到整个区域的积分值。
对于具有中心对称性的函数，可以只计算某一部分区域，然后通过对称性得到整个区域的积分值。
在计算二重积分时，可以利用积分的线性性质、换元积分法等积分性质来简化计算。
如果被积函数可以拆分为两个函数的和，可以分别计算每个函数的积分，然后将结果相加。
二重积分的计算方法
5 若区域为组合 域，如图则：
.
D
D1
D2
D3
6、如果积分区域既是X－型，
又是[Y－型], 则有
0
D3
D1
D2
f (x, y)d
b
[
2 (x)
f dy]dx
1
dx
1
( y x2 )dy
11.
1 0
1
x2
15
7.小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. ［X－型］
a
1( x)
D
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx［. Y－型］
1( ) r 2( ).
o
f (r cos ,r sin )rdrd
图2
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
r 2( )
A
（3）区域如图3
,
D r ( )
0 r ( ).
2a
dy
a
2a
y2 f ( x, y)dx.
2a
例 5
1
计算积分 I 2 dy
yy
1
e xdx dy
yy
e xdx.
1
1
4
2
1 2
y
y
解 e xdx不能用初等函数表示
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法计算二重积分是数学中的一个重要概念，在实际问题的建模和求解中有着广泛的应用。
但是对于初学者来说，计算二重积分可能是一个比较困难的任务。
有一些简便的方法可以帮助我们更轻松地计算二重积分。
本文将介绍几种简便方法来计算二重积分，希望能对大家的学习有所帮助。
一、直角坐标系下的计算我们首先回顾一下在直角坐标系下计算二重积分的过程。
设积分区域为D，函数为f(x, y)，则二重积分的计算公式为：∬ f(x, y) dA = ∫∫D f(x, y) dx dy其中D表示积分区域，dA表示面积元素，f(x, y)表示要被积的函数。
在直角坐标系下，我们通常通过将积分区域D分解为水平方向和垂直方向的两个部分，然后进行累次积分的方法来计算二重积分。
这种方法在处理一些复杂的积分区域时可能会比较繁琐，下面我们就介绍一些简便的方法来计算二重积分。
对于一些具有旋转对称性的积分区域，我们可以转换到极坐标系下来简化计算过程。
极坐标系的坐标变换公式为：x = rcosθy = rsinθr表示从原点到点(x, y)的距离，θ表示向量OP与x轴的夹角。
在极坐标系下，面积元素dA可以表示为:dA = rdrdθ利用这个变换，我们可以将二重积分转化为极坐标下的累次积分。
具体来说，我们首先确定极坐标系中r和θ的取值范围，然后进行r方向和θ方向的累次积分。
这样做可以帮助我们简化积分区域，并且在计算上也更加方便。
三、换元法除了极坐标系下的计算方法，换元法也是计算二重积分的一种简便方法。
换元法是一种常用的积分技巧，在解决一些复杂函数积分时特别有用。
换元法的基本思想是通过一些代数变换来简化被积函数或者积分区域。
对于二重积分来说，我们可以通过一些变换来将原积分转化为一个更容易计算的积分。
当积分区域为一个矩形时，我们可以通过线性变换来将其变为单位矩形，这样做可以大大简化计算过程。
换元法在实际应用中需要具体问题具体分析，需要我们灵活运用。
二重积分的计算法
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
• 二重积分定义为积分和式的极限．如果 直接用二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的，甚至是不可能的.
• 下面我们根据二重积分的几何意义—曲 顶柱体的体积来导出二重积分的计算方 法.
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
: 0
y 2
8 x2 x2 2
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
D
:
2y x 0 y2
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
b
D
x
二重积分的计算 (D是矩形区域z )
I f ( x, y)dxdy
D
D是矩形区域
z
f (x, y y
y)
z=f (x,y)
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
b
0
c
y
Q( y) a f (x, y)dx a
d
y
d
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法计算二重积分是数学分析中的重要内容，也是应用数学中经常会遇到的问题。
在实际问题中，常常需要对二元函数进行积分来求解某些物理量或者几何问题。
对于一般的二重积分，往往需要进行繁琐的计算，耗费大量时间和精力。
寻找一些简便的方法来计算二重积分是很有必要的。
对于二重积分的计算，通常可以采用换元积分、极坐标变换、倍角公式等多种方法。
本文将就这些简便方法做一番介绍。
一、换元积分法对于一般的二重积分，当被积函数比较复杂时，可以通过换元积分来简化计算。
换元积分法是一种较为常用的方法，通过引入新的变量来简化被积函数，从而方便进行积分。
对于二重积分∬f(x,y)dxdy，如果被积函数f(x,y)较为复杂，可以尝试引入新的变量u和v，并将x和y表示为u和v的函数，即x=x(u,v)，y=y(u,v)。
然后利用变换后的函数来简化原函数，最终将二重积分化为对u和v的积分。
利用换元积分法，可以将原本复杂的二重积分问题简化为对单变量的积分，从而大大减少计算的难度和复杂度。
换元积分法的关键在于如何选择合适的变换，以及如何将被积函数表示为新变量的函数。
二、极坐标变换法对于涉及到圆形或者极坐标对称性的问题，可以采用极坐标变换来简化二重积分的计算。
极坐标变换法的思想是通过引入极坐标下的新变量，将原来的直角坐标系下的积分问题化为极坐标下的积分问题，从而简化计算。
三、倍角公式法对于一些具有特殊函数形式的被积函数，可以采用倍角公式来简化二重积分的计算。
倍角公式是三角函数中的一种常用公式，通过利用倍角公式可以将原本复杂的被积函数化为简单的三角函数形式，从而方便进行积分。
计算二重积分的几种简便方法包括换元积分法、极坐标变换法、倍角公式法等。
这些方法都是通过引入新的变量或者利用特殊公式来简化被积函数，从而方便进行积分。
在实际问题中，可以根据具体的情况选择合适的方法，以减少计算的难度和复杂度。
希望本文介绍的简便方法能够帮助读者更加高效地进行二重积分的计算。
第二二重积分的计算法
D
1y
2
[
1
y
x2 2
]2y
dy
2
(2 y
1
y3 )dy
2
[y2
y4 8
]12
11 8
例4 计算二重积分 ex ydxdy,其中区域D是由x 0、
D
x 1、y 0 和y 1围成的矩型.
解 : ex ydydx
D
11
[ ex e ydy]dx
00
1
交换积分次序
11
左边 dx e y f (x)dy
0 x2
1
f (x)e y |1x2 dx
0
1
f (x)(e ex2 )dx 右边
0
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
i
1 2
(ri
ri )2
i
1 2
ri2
解 : xyd [ xydx]dy
D
1 y 2
2
[
-1
yx 2 2
]
y y
2
2
dy
1 2
2
[
-1
y(
y
2)2
y5 ]dy
55 8
xyd xyd xyd
D
D1
D2
1x
4x
[ xydy]dx [ xydy]dx
0 x
1 x2
显然这样计算比较麻烦.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
二重积分的计算法
rkrkk
d rd rd
2021/10/10
k
rk
rk
20
Df(x,y)dD f(rco ,srsin )rdrd
rd d
1. 极点在积分区域外
dr
d r
Dr2()
r2()
o
r1()o r1()
设 D: 1() r 2(),则 D f(rc o,rsi)n rdrd
d
1 2 ( ())f(rco,rs si)n rdr
（先对 x 积分，视 y 为常量， 对y 积分，视 x 为常量)
⑤、何时不得不将积分域D分块？ 穿入穿出不唯一。
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9
例 1 改 变 积 分 1 dx 1xf(x,y)d的 y次 序 . 00
解 积分区域如图
0 x1 Dx :0 x1x
0 y1 Dy :0 x1 y
y1x
原 式
2(y) f(x,y)dx
D
c
1(y)
2021/10/10
4
当被积函数 f(x,y)在D上变号时, 由于
f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)
2
2
f1(x,y)
f2(x,y)均非负
D f ( x ,y ) d x d y D f 1 ( x ,y ) d x d y
D f2(x,y)dxdy
0
0
0
2021/10/10
1 e y2 2
1 0
1 2
1
1 e
.
17
例8．求I= x y1 x 2 y 2 d x d y ,D :y x ,x 1 ,y 1 围 成 ；
D
y
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r()
A
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
r()
D
02, 0r(). o
A
f(rco,srsin)rdrd
D
2 ()
d f(rco ,rs si)n rd . r
0
0
极坐标系下区域的面积 rdrd. D
例1 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
例2 计算 ex2 y2dxdy ，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为 的圆周所围成的闭区域 .
解 在极坐标系下
D ： 0 r a ， 0 2 .
ex2y2dxdy
2
d
aer2rdr
0
0
D
(1ea2).
例3 求球体 x2y2z24a2被圆柱面 x2y2 2ax(a 0)
所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。 解 由对称性
xyd
2
[
1
x 1
xyd]dyx
2
[x
1
y22]1xdx
yx D
y 1
（ 2 x3 12
x)dx[x4
2
8
x42]12
11 8
o
1x 2
x
解法二 积分区域是Y－型的
y
D
xyd
2
[
1
2
xyd]dxy
y
2
[y
1
x22]2ydy
2 y
1
x y x2 D
（ 2 2yy3)dy[y2
1
2
y84]12
o
1
x
D
1
（计算比较麻烦）
例5 计算 xyd ，其中 D是抛物线 y2 x 及直线
D
yx2 所围成的区域。 y
解： D 为Y－型
2
x y2
y D
(4,2)
x y2
2 y2
xyd [ xydx]dy
1 y2
D
o 1 (1,1)
x
D
2
[
1
x2 2
y]yy2 2dy
5
5 8
D为X－型
y
y x
D
ri ri i,
o
i i
i i
A
f (x ,y )dx d f (r y c o ,rs s i)n rd .rd
D
D
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
r1()
,
D
1 () r 2 ().
o
f(rco,srsin)rdrd
D
d
2()f(rco,rs si)n rd . r
1()
r2()
A
区域特征如图
,
r1()
D
1 () r 2 ().
o
f(rco,srsin)rdrd
D
d
2()f(rco,rs
i)n rd . r
1()
r2()
A
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
,
D
0r().
f(rco,srsin)rdrod
D
d ()f(rc o ,rs s i)n rd . r 0
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法 四、小结
一、利用直角坐标计算二重积分
如果积分区域为：axb, 1 (x )y2 (x ).
［X－型］
y2(x)
D
y1(x)
a
b
y2(x)
D
y1(x)
a
b
其中函数 1(x) 、2(x) 在区间 [a,b] 上连续.
f(x,y)d的值等D于 为以 底，以 z曲面 D f(x,y)为曲顶柱体的体积．
应用计算“平行截面面积 为已知的立体求体积”的 方法
z
y
zf(x,y) A(x0 )
y2(x)
x
b x0 a
y1(x)
得
f(x ,y )da b d x 1 2 (( x x ))f(x ,y )d.y
D
如果积分区域为：cyd, 1 (y ) x2 (y ).
x y2
D
(4,2)
x
xydxydxyd
o x 1 x y2 4
x
D
D1
D2
y x (1,1)
1
[
x
4
xyd]dyx [
x xyd]dyx（计算比较麻烦）
0 x
1 x2
例6 求两个底圆半径都是的直交圆柱面所围成的立体 的体积。
z
解：设这两个圆柱面的方程分别为
x2y2 R2 及 x2z2R2
(x,
y )dy
2 dx 1
2 x
0
f
(x,
y )dy
的次序.
解 积分区域如图
y2x y 2xx2
原 式 0 1 d1 2 y y 1 y 2f(x ,y )d.x
例3 计算 xyd 其中 D是由直线 y 1 ，x2及 yx
所围成D 的闭区域。
y
解法一 积分区域是X－型的
D
V4 4a2 2dd
D
/2
2acos
4 d
4a2 2d
0
0
32a3( 2)
3 23
y
2a cos
D
o
a
2a x
三、二重积分的换元法
平面上同一个点坐 ，标 直与 角极坐标
间的关系xy为 rrcsions.,
上式可看成是标从平直 r面 o角 到坐 直角 坐标平 xo面 的 y 一种变 即换 对于， ro平 面上的一M 点(r,)，通过上式变换，变 成xoy平面上的一M点(x, y)，且这种变 换是一对一的．
11 8
o
x
例4 计算 y 1x2y2d，其中 D是由直线 yx ，x1
D
y
及 y 1所围成的闭区域。
1
解 D 既是X型的，
1 x
o
y
1x2y2d
1
[
1
y
1x2y2dy]dx
1 x
D
2 1(x31)dx1
30
2ห้องสมุดไป่ตู้
y
yx x
D是Y－型的
y yx
y1 x 2 y 2 d1y [y 1 x 2 y 2 d]d xy1 1 1
若区域如图，则必须分割.
.
D
D 1
D 2
D 3
D3 D1
D2
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
1 1x
例1 改变积分 dx f ( x, y)dy 的次序. 00
解 积分区域如图 y1x
1 1 y
原式 dy f ( x, y)dx . 00
例2 改变积分
1 dx 0
2xx2 0
f
由对称性算第一卦限部分
o
R
V1
R2x2d
R
[
R2x2
R2x2dy]dx
R
00
y
D
x
2R3
从而所得立体3体积
y
V
8V1
16R3 3
y R2 x2 D
o
xR
x
二、利用极坐标计算二重积分
i1 2 (ri ri)2i 1 2 ri2i
1 2(2ri ri)rii
rri ri r ri
ri (ri2ri)rii
［Y－型］
d
x1(y) c
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
Df(x ,y ) dc d d y 1 2 ( ( y y ) )f(x ,y ) d.x
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域
边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边
界相交不多于两个交点.
式，其中积分区域
D {(x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x r cos
y
r
sin
x2 y2 1
所以圆方程为 r 1,
直线方程为
r
sin
1
cos
,
xy1
f(x, y)dxd y 2d1 1 f(rco ,rssin )rd . r
D
0 sin co s