2020年物理竞赛—量子力学A版—第四章 量子力学中的力学量 共同本征函数21PPT 课件
量子力学中的力学量 Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”Ⅵ . 算符的共同本征函数
2. 本征函数的封闭性也可看作 (x)
函数按本征函数展开，而展开系数恰为本
征函数的复共轭。
(x x) cxnn (x)
n
c
x n
*n (x)(x x)dx *n (x)
(x x) n (x)*n (x)
n
Ⅳ . 算符的共同本征函数 一次测量有一“涨落”
A Aˆ 2 (,Aˆ 2) (,(Aˆ Aˆ )2)
是不对的 。仅当 a2 0 才成立。
3. 函数的导数 函数具有任何级的导数，可以证明
(n)(x x0 )f (x)dx (1)nf (n)(x0 )
(m) (x) (1)m (m) (x)
(m) (y x)(n) (x a)dx (mn) (y a)
x(n) (x) n(n1) (x)
Ⅵ . 算符的共同本征函数 A. 算符“涨落”之间的关系 B. 算符的共同本征函数组
B. 函数 1. 函数的定义和表示 函数不是一般意义下的函数，而
是一分布。但习惯上仍将它看作一函数。
其重要性和意义在积分中体现出来 它可用一函数的极限来定义
（1）
(x)
0
x0 x0
（2）
b
a
f
(x)(x
第十讲回顾
第四章 量子力学中的力学量 Ⅰ. 表示力学量算符的性质
D. 厄米算符 E. 厄米算符的性质 Ⅱ. 厄米算符的本征值和本征函数 A. 算符的本征方程
B. 力学量算符的本征值和本征函数 性质
C. 测量结果的概率 D. 直接可观测的力学量的本征函数
构成一完备组。 Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”
cnn
n
Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”
A. 连续谱本征函数“归一化”
2020年高中物理竞赛-量子力学-波函数：态叠加原理、薛定谔方程(共25张PPT)
§2.3 薛定谔方程
➢ 因为有波函数统计解释,因此概率流守恒定律自动 包含在薛定谔方程中
§2.3 薛定谔方程
§2.3 薛定谔方程
➢ 为什么
而与t无关?
§2.3 薛定谔方程
➢ 定态U=U(r), 不显含t
§2.3 薛定谔方程
=> 几率流密度变不变?
§2.3 薛定谔方程
➢ 本征值方程
§2.3 薛定谔方程
2020高中物理学 奥林匹克竞赛
量子力学 （基础版）
§2.2 态叠加原理
➢ 波叠加 经典 合成的波中有各种成分 相干性 量子 相干性 新特点
§2.2 态叠加原理
新特点 • 可能性和概率 • 干涉项的概率性 • 是粒子运动状态概率波自身的干涉,不是不同
粒子之间的干涉
§2.2 态叠加原理
➢ 波叠加原理的表述 a)如果
§2.3 薛定谔方程
➢ 量子力学
• 进入方பைடு நூலகம்式,体现微观世界的特点(量子化) • ->0,过渡到牛顿方程
§2.3 薛定谔方程
➢ 建立方程的启示 自由粒子
已知解=>方程式(不唯一)
§2.3 薛定谔方程
➢ 已知解=>方程式(不唯一)
§2.3 薛定谔方程
一般情况:
§2.3 薛定谔方程
➢ 说明: a)波动力学的基本假定,表征量子体系特征的量h
是可能态
则
也是一个可能态
b)在 中,体系出现
的几率是
➢ 讨论 a)
§2.2 态叠加原理
b)光子偏整态:Malus定律
§2.2 态叠加原理
➢ 讨论
但任何时候观测到的都是一整个光子,
而不是
个光子
量子力学第四章习题new
第四章 态和力学量的表象4.1 求在动量表象角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。
解: 动量为p 的本征函数为()3212ieψπ⋅==p r p p在连续情况下，按矩阵元的定义，x L 的矩阵元为()()()()()()()*333331ˆˆˆ2112222i ix x zy pp iiii i ii i yz yzL L d e ypzpe d e y e d ez e d i z i y p p e e d ee d i p i p ψψττπττππττππ∞∞'-⋅⋅''-∞-∞∞∞''-⋅⋅-⋅⋅-∞-∞∞''-⋅⋅-⋅⋅-∞-∞==-⎛⎫∂∂⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭''∂∂=-''∂∂⎰⎰⎰⎰⎰p r p r p pp r p rp r p r p r p r p r p r ()()()()()()()331122iiz yyzz y yz z y z y y z y z p ed p ed i p i p p p i p p i p p i p p p p p p ττππδδδ∞∞∞''-⋅-⋅-∞-∞∂∂''=-''∂∂⎛⎫∂∂'''=-- ⎪ ⎪''∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰p p r p p r p p p p p p2x L 的矩阵元:()()()()()()22*23*3*31ˆˆˆ21ˆˆ212p r p r p pp r p r p r p ri ixx zy pp i i z y zy yz i i z yz y y z yzL L d e ypzpe d p p e ypzpe d i p p i p p p p e e d p p i p p ψψττπτππ∞∞'-⋅⋅''-∞-∞∞'⋅⋅-∞'⋅⋅==-⎡⎤⎛⎫∂∂=--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰()()()32212r p p p p iz yz y y z y z z yy z i p p i p p ed p p p p p p p p ττπδ∞-∞∞'⋅--∞⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂'=--- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰4.2 求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。
量子力学 第四章
∫
∫
* * * ˆ ˆ Fnm == （Fu n）u m dx = u m Fu n dx = Fmn
= a1 t） + a2 t） + L + an t） + L （ （ （
2 2 2
例题3、 中运动的粒子， 例题 、在一维无限深势阱 0 < x < a 中运动的粒子，所 处的状态是归一化波函数 Ψ = 1 sin π x + sin 3π x）所描写 （ 的状态，求它在能量表象中的表示。 的状态，求它在能量表象中的表示。
i Pa h
)
表象中的表示式， 已知一个状态在 x 表象中的表示式，就可以求出这个状态在 动量表象中的表示式。 动量表象中的表示式。 具体做法是： 表象中的表示式（波函数） 具体做法是：把状态在状态在 x 表象中的表示式（波函数） r 按 P 的本征函数（在 x 表象中的表示式）展开， 的本征函数（ 表象中的表示式）展开， Ψ （ x， t） 展开式的系数就是Ψ（x，t） 表示的状态在动量表象中的波函数 例题2、描写一个粒子状态的波函数是 例题 、
∫
数列
a1 t）、a2 t）、 L a（t）、a（t） （ （ L n q
Ψ
+ * * * * = a（t） a（t） L a（t） a（t） 1 2 n q
（ a1 t） a（t） 2 Ψ = M a（t） n a（t） q
(
)
a
π 2 nπ 2 3π 1 2 nπ 2 sin xdx + ∫ sin x• sin xdx ] = [∫ sin x• a a a a a 2 a a a 0
= 1 (δ n1 + δ n 3 ) 2
北京大学量子力学教材第四章
北京⼤学量⼦⼒学教材第四章第四章量⼦⼒学中的⼒学量第四章⽬录§4.1表⽰⼒学量算符的性质 (3)(1) ⼀般运算规则 (3)(2) 算符的对易性 (5)(3) 算符的厄密性（Hermiticity） (7)§4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(1) 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 (12)§4.3 连续谱本征函数“归⼀化” (15)（1）连续谱本征函数“归⼀化” (15)（2）δ函数 (18)（3）本征函数的封闭性 (22)§4.4 算符的共同本征函数 (24)(1) 算符“涨落”之间的关系 (24)(2) 算符的共同本征函数组 (27)(3) ⾓动量的共同本征函数组―球谐函数 (28)(4) ⼒学量的完全集 (34)§4.5 ⼒学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） .36(1) ⼒学量的平均值，随时间变化；运动常数 (36)(2) Vivial Theorem维⾥定理 (37)(3) 能量—时间测不准关系 (38)(4) 恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） (38)第四章量⼦⼒学中的⼒学量§4.1表⽰⼒学量算符的性质(1) ⼀般运算规则⼀个⼒学量如以算符O表⽰。
它代表⼀运算，它作⽤于⼀个波函数时，将其变为另⼀波函数)z ,y ,x ()z ,y ,x (O=ψ。
它代表⼀个变换，是将空间分布的⼏率振幅从 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O→?ψ-=，于是)x (e )x (Odx daψ=ψ-∑∞=ψ-=0n nnn )x (dxd !n )a ( )a x (-ψ= )x (?=即将体系的⼏率分布沿x ⽅向移动距离a .A. ⼒学量算符⾄少是线性算符；量⼦⼒学⽅程是线性齐次⽅程。
由于态叠加原理，所以在量⼦⼒学中的算符应是线性算符。
第四章 量子力学中的力学量-2
1. ψnj是本征值Fn的本征函数。
2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。
f 为此只需证明线性 ψ nj = A jiφ ni j = 1,2, L , f 叠加系数 Aji 的个 i =1 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 方程的归一化条件有 f 个，正交条 个数即可。 件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方则必有：
∫ (Fφ
1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 3. 正交归一系
m
) *φn dτ = ∫ φm * Fφn dτ = Fn ∫ φm *φn dτ
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
∫φ
m
* φ n dτ = 0
[证毕]
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
d τψ * F ψ
逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。 证：
根据假定在任意态下有：
F =F*
即
=F*
∫ dτψ * Fψ = ∫ dτ (Fψ ) *ψ
取ψ=ψ1+cψ2 ，其中 ψ1 、ψ2 也是任意态的波函数，c 是任意常数。
式左 = ∫ dτψ * Fψ = ∫ dτ (ψ 1 + cψ 2 ) * F (ψ 1 + cψ 2 ) = ∫ dτψ 1 * Fψ 1 + | c |2 ∫ dτψ 2 * Fψ 2 + c * ∫ dτψ 2 * Fψ 1 + c∫ dτψ1 * Fψ 2
(1) 力学量算符本征函数组成完备系 1. 函数的 完备性
有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函数展开:
ψ ( x) = ∑ cnφn ( x)
n
2020年物理竞赛—量子力学A版—第四章 量子力学中的力学量 氢原子27PPT 课件
分后得到在半径 r r+dr 球壳内找到电子
的几率
Wnlm (r, , )d | nlm (r, , ) |2 r 2 sindrdd
R20(r) R21(r)
1 2a0
1 2a0
3/ 3/
2 2
(2
1 a0 3
r1
a0
re
)e
1 2 a0
r
1 2 a0
r
Wnlm
例如：对于基态
（一）二体问题的处理
（1）基本考虑 （2）数学处理
二体运动 可化为：
I 一个具有折合质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整体的质心运动。
一个电子和一个质子组成的氢原子的 Schrodinger 方程是：
Hˆ (
r1
,
r2
)
E(r1 , r2 )
其中
Hˆ
2
21
12
2
22
2 2
V
将二体问题化为一体问题
量(ET-E) 作自由运动。
的能级。
（二）氢原子能级和波函数
氢原子相对运动定态 Schrodinger方程
2
2
r 2
(r )
V
(r
)
(r )
E
(r )
问题的求解上一节 已经解决，只要令： Z = 1, 是折合质量即可。 于是氢原子能级和相应的 本征函数是：
e4
En 22n2
n 1,2,3,
em
2c
Bm
1. 由上式可以看出，磁矩与 m 有关， 这就是把 m 称为磁量子数的理由。
2. 对 s 态，( = 0)，磁矩 MZ= 0， 这是由于电流为零的缘故。
2020年高中物理竞赛—量子物理篇(进阶版)附：量子力学练习试题(共58张PPT)
量子物理 （进阶版）
（下一页）
一、选择题
1、关于不确定度关系 pxx h 有以
下几种理解： （1）、粒子的动量不可能确定
（2）、粒子的坐标不可能确定
（3）、粒子的坐标和动量不可能同时确定
（4）、不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用
于其它微观粒子 上述说法那些正确？
答案： （3）、
解： E1 13.6eV EL 0.85eV
EK EL 10.8eV
应为10·2eV
EK 10.8eV 13.6eV 2.8eV ? 应为-
----氢原子哪有这个能级？ 3·40eV
EL EK 1.95eV 应为2·55eV
（下一页）
3、氢原子从能量为－0.85eV的状态跃迁到能量
2
2
2
2
(2,1,1, 1 ), (2,1,1, 1 ), (2,1,1, 1 ), (2,1,1, 1 )
2
2
2
2
（下一页）
16(T19-23)、试证：如果粒子位置的不确定
量等于其德布罗意波长，则此粒子速度的不确 定量大于或等于其速度。
x m
x
px x h
h mvx • mv x h
道角动量在外磁场中的取向；
自旋磁量子数(ms =±1/2):它决定了电子自旋角动 量在外磁场中的取向。
（下一页）
13、如图所示，一束动量为P的电子，通过缝宽为a
的狭缝，在距离狭逢为R处放置一荧光屏，屏上衍射 图样中央最窄的宽度d等于多少？
解： x a
P
px psin
a
d
sin a
k=1
R
d
sin tg 2
量子力学教程 第四章
§4. 1 算符的矩阵表示
（一）力学量算符的矩阵表示
（二）Q 表象中力学量算符F的性质
（三）Q 有连续本征值的情况
量子力学 12
（一）力学量算符的矩阵表示
坐标表象：
ˆ ( x, p ˆ ) ( x , t ) ( x , t ) F ˆ ( x , i ) ( x , t ) F
在动量表象中，具有确定动量p’的粒子的波函数是以动量p为变量的δ函数。 换言之，动量本征函数在自身表象中是一个δ函数。 同样， x 在自身表象即坐标表象中对应有确定值 x’本征函数是 δ(x'-x)。这可由本征值方程看出：
量子力学
x ( x x) x ( x x) 所以 x ( x) ( x x)
a1 (t ) *
a2 (t ) *
an (t ) *
aq (t ) *
归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1
9
（三）讨论
坐标表象 动量本 征函数 不含时 动量本 征函数 本征 方程 Ψ p ' (x,t)=[1/(2 π )]
1/2
同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，
波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。
Ψ (x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。 Ψ (x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。
量子力学 4
若Ψ(x,t) 描写的态是具有确定 动量 p’ 的自由粒子态，即： 则相应动量表象中的波函数：
C ( p, t ) p * ( x )( x , t )dx
Φ=FΨ
Fnm
量子力学(第四章)
10
二、算符在自身表象中的表示 Q在自身表象中的矩阵元：
ˆ ( x, )u ( x)dx Qnm un ( x)Q m ix
*
un* ( x)Qmum ( x)dx
Qmδnm
Q1 Q
RETURN
Q2 Qm
BA AB
推之：
( AB)† ( )* ( BA)* B* A* AB
故有 ( AB)† B† A†
RETURN
20
§4.4
量子力学公式的矩阵表示
一、期望值公式
二、本征值方程 三、薛定谔方程
RETURN
21
§ 4.4
量子力学公式的矩阵表示
一、期望值公式 Q表象中： ( x, t ) an (t )un ( x)
即
上式表示一个线性齐次方程组
(F
n
mn
δmn )an (t ) 0 (m 1, 2,)
24
方程组有非零解的条件是系数行列式等于零：
F11 F21 Fm1 F12 F1n F2n 0 F22 Fm 2
Fmm
* ( x, t ) am* (t )um* ( x)
m
n
ˆ F * ( x, t ) F ( x, t )dx
ˆ am* (t )um* ( x) Fan (t )un ( x)dx
mn
ˆ am* (t ) um* ( x) Fun ( x)dx an (t ) am* (t ) Fmn an (t )
Fnm am (t )
m
2022-2023学年高二物理竞赛课件：力学量的算符表示及其本征值方程
电子到底是穿过那条狭缝过来的？ 用测量来确定
5 2023/8/2
“观测影响粒子量子行为” —“波函数坍塌”
量子叠加态一经测量，就按照一定的概率，塌缩 到一个固定的本征态，回到经典世界。而在没有被测 量之前，粒子则是处于‘既是此，又是彼’的混合叠 加不确定状态。因此，我们无法预知粒子将来的行为， 只知道可能塌缩到某个本征态的概率。
8 2023/8/2
霍金：“当我听说薛定谔的猫的时候，我就 跑去拿枪，想一枪把猫打死！”
9 2023/8/2
在数学上,算符的一般定义为当它作用倒一个函数u上后 可以把u映射为另一个函数v，即
Fˆu v
当函数u与v只差一个常数λ时，即v=λu，该方程称作 算符F的本征方程，u称作本征函数，λ称作本征值。
Lz m , m 0, 1, 2 l
角动量在外场方向的分量也是量子化的，即空间 取向量子化自然得到。
通过上面的讨论， ψnlm是H，L2和LZ的共同本征函数。 这在量子力学里对应于三维问题应该选3个对易物理量
算符构成一个力学量完备集。
12 2023/8/2
其它力学量算符： F Fˆ F(rˆ, pˆ) F(r,-i )
例如动能算符：
Ek
p2 2m
Tˆ
2 2 2m
2 2023/8/2
不确定关系
接受波函数的统计诠释等于摒弃了经典粒子的轨道概念， 即排除了粒子每时每刻有确定的位置和确定的动量。所 以由波函数只能给出粒子位置的平均值及其偏差，同样 对粒子的动量也只能知道其统计平均值及其偏差。
Fˆu u
量子力学中将会看到： 1）力学量的可能取值就是其本征值； 2）力学量取某本征值的几率由相应的本征函数确定。
量子力学第四章
2
在任意态 ψ (t) = ∑ak (t)ψ k ，测值分布为 ak (t) 其中 ak (t) = (ψ k ,ψ (t))
* k
k
complex conjugation
da d 2 证法一： 证法一： ak (t) = ( )ak + c.c. dt dt Ek ∂ψ (t) 2 =( ,ψ k )(ψ k ,ψ (t)) + c.c. = − (ψ k ,ψ (t)) + c.c. = 0 dt iℏ
z
绕 n方向旋转 δϕ变换算符 ˆ ˆ (δϕ n) = exp( −iδϕ n ⋅ l / ℏ) R
ˆ ˆ [R, H] = 0
ˆ , H] = 0 [l ˆ
§4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性 4.5.1 全同粒子体系的交换对称性 ψ (⋯, xi , yi , zi ,⋯) 多粒子体系 波函数： 波函数：
ψ (q1,⋯, qi ,⋯q j ,⋯qN )
全同粒子： 全同粒子： 内禀属性完全相同的粒子 质 电 自 磁 寿 同 量 荷 旋 矩 命 位 旋 由于波动性，全同粒子是不可区分的。 由于波动性，全同粒子是不可区分的。 ψ (q1,⋯, q j ,⋯qi ,⋯qN ) = Cψ (q1,⋯, qi ,⋯q j ,⋯qN ) 交换两粒子编号不改变体系的任一状态。 交换两粒子编号不改变体系的任一状态。 ……
全同粒子不可分辨；体系具有确定不变的交换对 全同粒子不可分辨； 称性； 费米 玻色子体系具有交换(反 对称性 费米)玻色子体系具有交换 对称性。 称性；(费米 玻色子体系具有交换 反)对称性。 4.5.2 两个全同粒子组成的体系 ˆ ˆ ˆ H = h(q ) + h(q )
量子力学习题解答-第4章
第4章三维空间中的量子力学本章主要内容概要1.球对称势场中能量本征函数的求解方法： 能量本征方程为22(),2V r E mψψψ-∇+=其中球坐标系中的拉普拉斯算符为2222222211111sin .sin sin r r r r r r θθθθθθφ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()(,,)()(,)(,)u r r R r Y Y rψθφθφθφ==分离变量，能量本征方程分解为角方程和径向方程和222111sin (1).sin sin YY l l Y θθθθθφ⎧⎫∂∂∂⎛⎫+=-+⎨⎬⎪∂∂∂⎝⎭⎩⎭()222221.22l l d u V u Eu m dr m r +⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦角方程的解是球谐函数(,)ml Y θφ，径向方程在指定势函数后可由级数法等求解。
2. 空间角动量空间角动量算符ˆ(/)()i =⨯=⨯∇L r pr 2222211sin ,sin sin L θθθθθφ⎡⎤∂∂∂⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦.z L i φ∂=∂ 对易关系[, ]; [, ]; [, ]x y z y z xz x yL L i L L L i L L L i i===⇒⨯=L L L ()2,0, ,,i L L i x y z ⎡⎤==⎣⎦2L 与L 的三个直角分量都对易，球谐函数(,)m l Y θφ为2,z L L 的共同本征函数。
22ˆˆ(,)(1)(,), (,)(,)m m m m l l z l lL Y l l Y L Y m Y θφθφθφθφ=+= 以1l =的三个基矢量11111,,,Y Y Y -构成的（子）表象是常用表象，在这个表象中，,,x y z L L L 的矩阵表示是010*******L 101, L 0, L 0002201000001x y z i i i i -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中z L 是在自身表象中，为对角矩阵，对角元是本征值。
量子力学 第04章-2
ˆ xp ˆy y p ˆx L z
在直角坐标系中的分量表达式
ˆ yp ˆz z p ˆy L x
I .角动量分量和坐标分量对易关系： ˆ , y] [ yp ˆ z zp ˆ y , y] 例如： [ L x
ˆ z , y ] [ zp ˆ y , y] [ yp ˆ z , y] z[ p ˆ y , y] [ z, y] p ˆy y[ p ˆ y ] iz z[ y, p
m
ˆ2Y l (l 1) 2Y L lm lm ˆ LzYlm mYlm l 0,1,2, m l , l 1,,l 1,l
17
由上述本征值方程可以看出：
2 ˆ ˆ 的本征值都是量子化的。 L和L z
其中l称为轨道量子数，m 称为磁量子数。 2 ˆ 对于给定的l，L 的本征值是一定的，但
ˆˆ z zp ˆ ˆ z ) ( zp ˆ ˆ z )( yp ˆˆ z zp ˆ ˆ y )( zp ˆ ˆ x xp ˆ ˆ x xp ˆˆ y ) ( yp ˆzz ˆ ˆ y yp ˆˆ x ) ˆˆ z p ˆ )( xp ( zp ˆ i L
z
这里 称为Levi Civita符号。
, , 按顺序排布，则为1；
任何两个指标换位时都变号； 若有两指标相同则为0，如 112 121 0.
6
II .角动量分量之间的对易关系：
ˆ ,L ˆ ] L ˆ L ˆ L ˆ L ˆ 例如： [L x y x y y x
x z y z z z
ˆ [L ˆ ,L ˆ ] [L ˆ ,L ˆ ]L ˆ L ˆ [L ˆ ,L ˆ ] [L ˆ ,L ˆ ]L ˆ L x x z x z x y y z y z y
量子力学 第四章
[ C ( p , t )p ( x ) d p ]* [ C ( p , t )p ( x ) d p ] d x
C ( p ,t ) C ( p ,t ) d p d pp ( x )p ( x ) d x
C (p,t)*C (p ,t)dpdp(p p) C(p,t)*C(p,t)dp （归一化条件）
4.5 狄喇克符号
Dirac symbols
4.6 线形谐振子与占有数表象
Linear oscillator and occupation number
representation
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◆ 一个定义： 表象的定义
重
态在任意表象中的表示；
点 ◆ 二个表示： 算符在任意表象中的表示。
是在(r,t) 所描写的状态中，测量
粒子的动量所得结果为 P 的几率。
不两同者信从息不（同力的学侧量面r 描和写粒P 子的的信状息态）,。给出了粒子的
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§4.1 态的表象（续２）
命题 若(r,t)是归一化波函数，则 C (P,t) 也归一。
证 1*(x,t)(x,t)dx
由上述两式给出了 (r, t与) a n ( t )函 数集之间的 相互变换关系，将 a n ( t )写成矩阵
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2020年人大附中高中物理竞赛辅导课件(量子物理基础)力学量的算符表示(共20张PPT)
）的“态”，称为
圆轨道，例如：1s,2p,3d,…，它们极大值的位
置：
，其中 是第一玻尔轨道半径。
称 为最概然半径。
电子的径向几率分布
2p
3p
4p
1s 2s 3s
r
4s
r
3d 4d
r
电子的几率密度随角度的变化 电子在 附近的立体角 内的几率：
z
驻波 z
y
y
z y
(
E
1
4 0
e2 )]
r
1 [
1
sin
d
d
(sin
d d
)
ml 2
sin2
]
0
上式可分解为两个方程：
1
1
sin
d
d
(sin
d d
)
ml 2
sin2
1
d 2 d 2
ml 2
在上述方程的求解过程中可得，氢原子只能处于 一些分立的状态，可用三个量子数描写：
1、主量子数n n 1,2,3,
决定着氢原子的能量
——为本征方程
k 为本征值 ekx 为本征函数
2、 对应原理
动量为定值 px 的一维自由粒子的波函数为
i
Px ( x)
对x求导并整理
Ae px x
i
x
Px
(
x
)
px Px ( x)
令
pˆ x
i x
称为动量的x分量算符
则
px
pˆ x
i x
同理
所以动量算符为
pˆ i
任何力学量总可以用一个对应的算符 Qˆ 来表示。 可见力学量与算符之间存在着普遍的对应关系。
高二物理竞赛课件：量子力学之本征值和本征函数
矩阵。为此，只要
将过去的算符乘以一个 的单位矩阵即可以了。如
任意算符 在 态中的平均，必须考虑矩阵和坐标两
种运算
对自旋求平均
（33）
对坐标和自旋同时求平均
（34）
• 例 证明
并在 解：
态中求
• 还可证明
• 例 在氢原子的
态中，求轨道角动量
的 分量 的平均值
解： 因
所以
•Байду номын сангаас因为 所以
关于 利用
（21） 在 表象中的具体形式，可根据算符的厄米性， 设
可得
于是
这样 写成
（22）
由于 的本征值为1 所以
单位矩阵
则
令
类似可得
（ 为实数） 这样
（23）
（24）
利用
可得
即有
• 由于 和 之间有一个相角不定性（相当于取定 轴
后，
轴取向并未取定，只确定了 轴之间的关
系），习惯上取 泡利矩阵的标准形式为
本征值和本征函数
本征值和本征函数
令 的本征函数为 写出本征方程
，对应的本征值为
，
由此可得 有非零解的条件
• 由此得
即 的本征值为
对应
得
利用归一化条件
得
取 （实际取
中的相角
）
所以
（29）
同理
（30）
二者正交
且构成电子自旋态的一组正交归一完备系，电子的任意 自旋态均可以它们为基矢展开
（31）
注意以下几个问题：
（1） 表象中，
的本征值和本征函数
本征值不随表象而变化，可见
的本征值均为
相应的本征函数为
（32）
量子力学导论第4章答案参考资料
第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A 与B 为厄米算符，则()BA AB +21和()BA AB i-21也是厄米算符。
由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++21212121()BA AB +∴21为厄米算符。
ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++++21212121()BA AB i-∴21也为厄米算符。
ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===++++，且定义 ()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+-+++==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得 -++=iF F F4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明[][]F ,F,,pi F x x i F p ∂∂=∂∂-=整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞==,),(n m n m mnp x Cp x F 。
证： （1）先证[][]11, ,,--=-=n n m mp ni p x xmi xp 。
[][][][][][][][]()()[]()111111331332312221111,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m mx m i x i x i m xxp x i m x x p x i x x p x x p x x i x x p x x p x x i xx p x p x x p同理，[][][][][][]1221222111,2,,,,,--------==+=++=+=n n n n n n n n np ni ppx pi p p x p p x p p i pp x p x p p x现在，[][]()∑∑∑∞=-∞=∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0,1,0,,,,n m nm mnn m n m mn n m n m mn px m i C p x p C p x C p F p而 ()∑∞=--=∂∂-0,1n m n m mn p x mi C x Fi 。
2020年高中物理竞赛—基础光学04光的量子性：量子假说(共10张PPT)
基础光学
六、量子假说的意义及其与宏观现象的关系
E = n n = 1,2,3... = h
•打破“一切自然过程能量都是连续的”经典看法 •说明了宇宙辐射背景 •敲开量子力学的大门
例 设有一音叉尖端的质量为0.050kg ，将其频
率调到 480H，z振幅 A 1.0mm. 求
A n A n2
n 1
A 7.011034 m
在宏观范围内，能量量子化的效应是极不明显的， 即宏观物体的能量完全可视作是连续的.
例：设想一质量为 m = 1 g 的小珠子悬挂在一个小轻弹簧 下面作振幅 A = 1 mm的谐振动弹簧的劲度系数 k = 0.1 N/m, 按量子理论计算 此弹簧振子的能级间隔多大？减少一个能 量子时 振动能量的相对变化是多少？
解：弹簧振子的频率
1
2π
k 1 m 6.28
0.1 103
1.59 s1
能级间隔
E h 6.6510341.59 1.051033 J
振子能量
E 1 kA2 10.1106 5108 J
2
2
相对能量变化
ΔE 1.051033 21Байду номын сангаас26
E
5108
这样小的相对能量变化在现在的技术条件下还不可能测量出 来, 现在能达到的最高的能量分辨率为：
E 1016 E 所以宏观的能量变化看起来都是连续的
能量
经典 量子
（1）尖端振动的量子数；
（2）当量子数由 n 增加到 n 1时，振幅的变
化是多少？
解（1） E 1 m 2 A2 1 m(2π )2 A2 0.227J
2
2
E nh
n E 7.131029
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2 *(Fˆ )2d i *[FˆGˆ GˆFˆ ]d *(Gˆ )2d
I( ) 2 *(Fˆ )2d i *[FˆGˆ GˆFˆ ]d *(Gˆ )2d
iLx 2 m Yl*m Lˆ y Lˆ xYlmd iLˆ y 2 ( Lˆ zYlm )* Lˆ y Lˆ xYlmd iLx 2 m Yl*m Lˆ y Lˆ xYlmd iLˆ y 2 m Yl*m Lˆ y Lˆ xYlmd
iLx 2 iLˆ y 2 Lx 2 Lˆ y 2
不确定度： 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的大小。
（1）测不准关系的严格推导
I . 证明：若Fˆ为厄密算符，则偏差Fˆ Fˆ F仍为厄密算符。 证：
（Fˆ） （Fˆ F ) Fˆ F * Fˆ F Fˆ
II 测不准关系的严格推导
设二厄密算符对易关系为：
FˆGˆ GˆFˆ ikˆ
为求二量不确定度 Fˆ、Gˆ
引入实参量 的辅助积分：
是算符或 普通数
I ( ) | Fˆ iGˆ |2 d 0 [Fˆ iGˆ ]*[Fˆ iGˆ ]d [ (Fˆ )* i(Gˆ )*][Fˆ iGˆ ]d 2 (Fˆ )* (Fˆ )d i (Fˆ )* (Gˆ )d i (Gˆ )* (Fˆ )d (Gˆ )* (Gˆ )d
将上式两边 在 Ylm 态下 求平均：
iLˆ x 2 Lˆ y Lˆ z Lˆ x Lˆ z Lˆ y Lˆ x Lˆ（y Lˆ x Lˆ z iLˆ y ) Lˆ z Lˆ y Lˆ x Lˆ y Lˆ x Lˆ z iLˆ y 2 Lˆ z Lˆ y Lˆ x
i Yl*m Lˆ x 2Ylmd Yl*m Lˆ y Lˆ x Lˆ zYlmd i Yl*m Lˆ y 2Ylmd Yl*m Lˆ z Lˆ y Lˆ xYlmd
§8 测不准关系
（一）测不准关系的严格推导 （二）坐标和动量的测不准关系 （三） 角动量的测不准关系
（一）测不准关系的严格推导
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值；若不对 易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。 问题：
两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什 么程度？即不确定度是多少？
（二）坐标和动量的测不准关系
（1）测不准关系
[Fˆ，Gˆ ] ikˆ
(Fˆ )2 • (Gˆ )2 (k )2 4
[ x，pˆ x ] i
（x)2
•（px
)2
2 4
或写成： 简记之：
（x)2
•（px )2
2
x • px 2
即,坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大。
（2）线性谐振子的零点能
要条件是这组算符两两对易。
例 1： 例 2：
动量算符：pˆ x , pˆ y , pˆ z
两两对易；
共同完备本征函数系：
p(r )
1
(2)3/ 2
i p•r
e
同时有确定值：px , py , pz .
氢 共
原 同
子 完
中 备
：Hˆ , 本征
函 Lˆ2 ,数Lˆz系：两nlm两(r对) 易Rn；l (r
2020高中物理竞赛
量子力学 第四章
共同本征函数
§7 共同本征函数
（一）两力学量同时有确定值的条件 （二）两算符对易的物理含义 （三）力学量完全集合
（一）两力学量同时有确定值的条件
• 体系处于任意状态 （x）时，力学量 F 一般没有确定值。 如果力学量 F 有确定值， （x）必为 F 的本征态，即
Fˆ (Gˆn ) Fn (Gˆn )
即 (Gˆn ) 也是 Fˆ 的一个本征函数，
与一常n数只G差n
与
一
n
样
，
本
征
值
亦
为
Fn
Gˆ nn Gnn
n 也是 G 的本征函数，同理 F 的所有本征函数 n （ n = 1，2，… )也 都是 G 的本征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系.
定理：一组力学量算符具有共同本征函数系的充
（Ly )2
•（Lz )2
2 4
2
Lx
由于在 Lz 本征态 Ylm 中，测量力学量 Lz 有 确定值，所以Lz 均方偏差必为零，即
（Lz )2 0
则测不准关系：
（Ly )2
•0
2 4
2
Lx
0
2 4
2
Lx
平均值的平方 为非负数
欲保证不等式成立，必有：
Lx 0
例2：L2，LZ 共同本征态 Ylm 下，
n
n
因为 (x) 是任意函数
cn (GnFn FnGn )n 0 n
所以
FˆGˆ GˆFˆ 0
逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有 共同的本征函数系。
证： 仅考虑非简并情况
设 FˆGˆ GˆFˆ 0
n 为 Fˆ 的任一本征函数, 本征值为Fn .
即：
Fˆn Fnn
考察： FˆGˆ n GˆFˆn FnGˆn
共同完备本征函数系：Ylm ( , )
l 0,1,2, m 0,1, l
同
时
有
确
定
值
：E
l
l(l
1)2 2I
, l(l
1)2 , m.
（三）力学量完全集合
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算 符的最小（数目）集合称为力学量完全集。
例 1： 例 2： 例 3：
三维空间中自由粒子，完全确定其
（三）角动量的测不准关系
[Lˆ x，Lˆ y ] iLˆz
（Lx )2
•（Ly )2
2 4
2
Lz
当 体 系 处 于Lˆ z 本 征 态 时 ，
（Lx
)2
•（Ly )2
2 4
(m)2
1 4
m 24
例1：利用测不准关系证明，在 Lz 本征态 Ylm 下，
〈Lx〉= 〈Ly〉= 0
证：
[Lˆ y，Lˆz ] iLˆ x
振子能量
E H p2 1 2 x2 2 2
(x)2 x2 x 2 (p)2 p2 p2
x2 (x)2 x 2 p2 (p)2 p2
x
n * x ndx N n2
xe 2 x2 Hn2 (x)dx
0
p
n *
pˆ ndx
i
n
*
x
dx
被积函数是x 的 奇函数
对任意实数 均成立
由代数二次式理论可知，该不等式成 立的条件是系数必须满足下列关系：
(Fˆ )2 • (Gˆ )2 (k )2
两个不对易 算符均方偏
4
差关系式
其中：
k * kˆd
测不准关系
均方偏差
(Fˆ )2
(Fˆ
F )2
Fˆ 2 2FˆF
2
F
F 2 2FˆF F 2 F 2 2FF F 2 F2 F2
状态需要三个两两对易的力学量： pˆ x , pˆ y , pˆ z .
氢原子，完全确定其状态也需 要三个两两对易的力学量：
Hˆ , Lˆ2 , Lˆz .
一维谐振子，只需要一个力
学量就可完全确定其状态： Hˆ
（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。
（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的 一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。
求测不准关系：
（Lx )2 •（Ly )2 ？
同理：
Ly 0
解：
（Lx )2 Lx 2 Lx 2
（Ly )2
Ly 2
2
Ly
求： Lx2 、 Ly2
由例1 可知：
Lx 0 Ly 0
求：
Lx2 、 Ly2 Lx2 Ylm* Lˆx2Ylmd
等式两边右乘 Lx 由对易关系：
iLx [Ly ,Lx ]
)Ylm
(
,
)
同时有确定值：En , l(l 1)2 , m.
例 3：
定轴转子：Hˆ
Lˆ z 2 2I
, Lˆ z
相互对易；
共同完备本征函数系：m ( )
1 e im
2
同
时
有
确
定
值
：Em
m 22 2I
, m, (m
0,1,
).
例 4：
空间转子：Hˆ
Lˆ2 2I
,
Lˆ2 , Lˆ z
两两对易；
[FG GF] [F, G] [Fˆ F，Gˆ G ]
最后有：
[Fˆ F，Gˆ ] [Fˆ F，G ] [Fˆ，Gˆ ] [F，Gˆ ] [Fˆ，Gˆ ] ikˆ
I( ) 2 *(Fˆ )2d i *[ikˆ]d *(Gˆ )2d
I( ) 2 (Fˆ )2 k (Gˆ )2 0
证：
已知：GFˆˆnn
Fnn Gnn
n 1,2,3,
由于 n 组成完备系，所 以任意态函数 (x) 可以 按其展开：
( x) cnn ( x)
n
则 (FˆGˆ Gˆ Fˆ ) ( x) (FˆGˆ Gˆ Fˆ ) cnn
n
cn (FˆGˆ GˆFˆ )n cn(FˆGn GˆFn )n
例如：
[Lˆ x , Lˆz ] 0
= 0 的态，Y m = Y00 Lx Lz 同时有确定值。
Gˆ Fˆ FˆGˆ (Gˆ Fˆ FˆGˆ ) 0
？所以 (GˆFˆ FˆGˆ ) 0