微分方程模型题目及答案
微分方程模型(全)
第四步：了解问题中所涉及的原则或物理定律。
第五步：依据 第二、第三、第四步 建立微分 方程。 还有已知的对应某个 t 的 y 的值（可 能还有 y 的导数的值）就是求解微分方程所 需要的初始值。
第六步：求微分方程的解并给出问题的答案。 下面我们从易到难给出微分方程模型之应 用案例
例1 火车启动
例 1：火车启动
y ce .
kt
(2)
y( 24) 400.
初始值:
y(0) 100,
代入（2）求得: 因此:
c 100, k (ln 4) / 24.
t ln 4 / 24
y 100e
.
我们要求的是:
y(12) 100e
(12 / 24) ln 溶液浓度
如果有一个实际问题，要找一个量 y ， 与另一个量 t（时间或其他变量）的关系， 这种关系涉及量 y 在每个 t 时的瞬时变化率， 而且这个瞬时变化率与量 y 与 t 的关系可以 确定，那么这样的问题通常可以通过微分 方程来解决。 利用微分方程解决这样的问题的一般 步骤如下： （分为六步）
第一步:
题目：一列火车从静止开始启动，均匀地加速，
五分钟时速度达到 300 千米。问：这段时间内 该火车行进了多少路程？
例1 火车启动
解 这个问题相对比较简单，问题与“加速”、 “速度”有关，所以与导数有关； 涉及的量为： “时间”（小时），“路程”（千米），“速 度”（千米/小时），“加速度”（常数 a ）;
例2 细菌增长
解 这个问题也比较简单。 问题与“增长率”有关，所以与导数有关；
涉及的量为： “时间”（小时），“细菌总数”（个）， “速度”（个/小时）; 有（待定）函数关系的两个量定为： 细菌总数 y ，时间 t ； 涉及的原则或物理定律： 导数＝增长率.
微分方程习题及答案
微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）yx y y x C y xy x -=¢-=+-2)2(,22（2）ò¢=¢¢=+y 0222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C ,,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x ,处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -=¢-；（2）0tan sec tan sec 22=×+×xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解（1）0,02==¢=-x y x y ey ；（2）21,12==+¢=x y y y y x3. 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解（1）)1(ln+=¢x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x yxydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +=¢；（2）)ln (ln y x y y y x +=+¢（3）11+-=¢yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？B A P(x ,y ) §3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-¢； （2）0cos 2)1(2=-+¢-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -=¢； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解．求下列微分方程的特解（1）0 ,sec tan 0==-¢=x y x x y y ； (2)1|,sin 0==+¢=x y x xx yy3．一．一曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程. 4．设可导函数)(x j 满足方程满足方程ò+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x j j ，求)(x j . 5．设有一个由电阻W =10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系. 6．求下列贝努利方程的通解．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x x y y =+¢（2）x y x y y tan cos 4+=¢（3）0ln 2=-+y x x dy dxy （4）2121xy x xy y +-=¢§4 可降阶的高阶方程 1.求下列方程通解。
数学课程微分方程求解练习题及答案
数学课程微分方程求解练习题及答案微分方程是数学中非常重要的一门课程，它在许多科学领域中有着广泛的应用。
为了更好地掌握微分方程的解题技巧，下面将给出一些微分方程求解的练习题及其答案。
练习一：一阶线性微分方程1. 求解微分方程：dy/dx + y = 2x解答：首先将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = 2x - y然后可以使用分离变量的方法进行求解，将变量分离得到：dy/(2x - y) = dx对等式两边同时积分，得到：∫(1/(2x - y))dy = ∫dx通过对右边的积分，得到：ln|2x - y| = x + C1 (其中C1是常数)将等式两边取e的指数，得到：2x - y = Ce^x其中C = e^C1是一个任意常数，所以方程的通解为：y = 2x - Ce^x （其中C为常数）2. 求解微分方程：dy/dx + 2y = e^x解答：将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = e^x - 2y然后使用分离变量的方法进行求解，得到：dy/(e^x - 2y) = dx对等式两边同时积分，得到：∫(1/(e^x - 2y))dy = ∫dx通过对右边的积分，得到：(1/2)ln|e^x - 2y| = x + C2 （其中C2是常数）再次将等式两边取e的指数，得到：e^x - 2y = Ce^2x其中C = e^C2是一个任意常数，所以方程的通解为：y = (1/2)e^x - (C/2)e^2x （其中C为常数）练习二：二阶微分方程1. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0解答：首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + 4r + 4 = 0解特征方程，得到特征根为：r = -2由于特征根为重根，所以方程的通解形式为：y = (C1 + C2x)e^(-2x) （其中C1和C2为常数）2. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + dy/dx - 2y = 0解答：首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + r - 2 = 0解特征方程，得到特征根为：r1 = 1，r2 = -2所以方程的通解形式为：y = C1e^x + C2e^(-2x) （其中C1和C2为常数）这里给出了一些微分方程求解的练习题及其答案，通过练习这些题目，相信可以增强对微分方程的理解和掌握。
数学建模实验答案微分方程模型
实验07 微分方程模型（2学时）（第5章 微分方程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt =-= 其中，i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。
k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最大值，并在曲线图上标注。
参考程序：提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel1）画曲线图用fplot函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
返回自变量x在区间x1<x<x2上函数取最小值时的x值。
本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1, '颜色线型数据点图标', x2,y2, '颜色线型数据点图标',…)本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使用文本标注函数text，调用格式如下：格式1text(x,y,文本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注文本在图中添加的位置。
微分方程课后习题答案
微分方程课后习题答案微分方程是数学中的重要分支，它研究的是描述自然现象中变化规律的方程。
在学习微分方程的过程中，课后习题是巩固知识、提高技能的重要途径。
本文将为大家提供一些微分方程课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握微分方程的知识。
1. 一阶线性微分方程题目：求解微分方程 dy/dx + y = 2x解答：这是一个一阶线性微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
首先，将方程改写为 dy/dx = 2x - y设 y = u(x) * v(x)，其中 u(x) 是未知函数，v(x) 是待定函数。
将 y = u(x) * v(x) 带入方程，得到 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) = 2x - u(x) * v(x)整理得 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) - u(x) * v(x) = 2x根据乘积法则，有 (u(x) * v(x))' = 2x对上式两边同时积分，得到 u(x) * v(x) = x^2 + C，其中 C 是常数。
然后，我们需要求解 u(x) 和 v(x)。
由于 v(x) 是待定函数，我们可以选择 v(x) = e^(-x)，这样 v'(x) = -e^(-x)。
将 v(x) = e^(-x) 带入 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) - u(x) * v(x) = 2x，得到 u'(x) * e^(-x) = 2x对上式两边同时积分，得到 u(x) * e^(-x) = x^2 + C将 u(x) * e^(-x) = x^2 + C 代入 y = u(x) * v(x)，得到 y = (x^2 + C) * e^x所以，原微分方程的通解为 y = (x^2 + C) * e^x，其中 C 是常数。
2. 二阶线性常系数齐次微分方程题目：求解微分方程 d^2y/dx^2 + 2dy/dx + 2y = 0解答：这是一个二阶线性常系数齐次微分方程，我们可以使用特征方程法来求解。
（完整版）高等数学第七章微分方程试题及答案
（完整版）高等数学第七章微分方程试题及答案第七章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()?+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+??1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程=x y f dx dy 令u xy=，则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c xdxu u f du +=+=-??||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式令()()?-=dxx P ex C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dxdz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dydx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1）二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
(完整版)微分方程试题及部分应用题答案整理版
第十章微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y 的阶数是 . 1-2-41、微分方程0'2'2xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、微分方程0d d d d 22sxs x s的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(的阶数是 .1-5-44、微分方程xyxy2d d 满足条件1|'0xy 的特解是 .1-6-45、微分方程0d d yxy的通解是 .1-7-46、方程y e y x'的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '的通解是 .1-9-48、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''yy y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y ''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y xsin ''2的通解为 .1-15-54、若0d ),(dx ),(yy x Q y x P 是全微分方程, 则Q P,应满足 .1-16-55、与积分方程xy x f yx x d ),(0等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22yxy xx y xy 化为齐次方程是 .1-18-57、通解为21221,(C C e C eC yxx 为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y 2'满足条件0xy 的特解是 .1-19-59、方程0dy1dx2x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'的通解是1-21-61、方程x yxyxy xyd d d d 22化为齐次方程是1-22-62、若t ycos 是微分方程09''yy 的解, 则.1-23-63、若ktCe Q 满足Qdt dQ03.0, 则k.1-24-64、y y 2'的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x 1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、圆222r yx 满足的微分方程是1-27-67、ax ae y满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q yx P x的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y是微分方程y xy 2'的解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''qypy y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22dyxy xdxy xy写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dxdy 的通解是 ( )A.2x yB.25x y C.2Cx yD.Cxy 2-2-57、微分方程0dy 1dx 2x xy 的通解是 ( ) A.21x eyB.21x CeyC.x C yarcsin D.21xC y 2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2x y xB. 0dy dx x yC.0dy)(1dx)1(xy y xy D.dydx)(22xy y x2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( ) A.xxe e 32, B.x x 2sin ,2cos C. x x x sin cos ,2sin D.2ln ,ln xx 2-5-60、方程03'2''y y y 的通解是 ( )A.xxe C eC y 321 B. xxeC eC y 321 C.xx eC eC y 321 D.xxeC e C y3212-6-61、方程0''y y 的通解是 ( ) A.x C ysin B.x C ycos C.x C xycos sin D.xC xC ycos sin 212-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是( )A.xyyx 33dxdy B.dy 2dx)3(2xy y exC.234dxdy xyyx D.yx xyy321dxdy 2-8-63、微分方程0cot 'x y y 的通解是 ( ) A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC ycsc2-9-64、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'yy 的通解是 ( )A.C x y2sin B.C eyx24 C.xCe y2 D.xCey 2-11-66、方程xy2dx dy的通解是 ( )A.C ex2B.Cxe2C.2CxeD.2)(C x e2-12-67、xe y ''的通解为y( )A.xe B.xe C.21C xC exD.21C x C ex2-13-68、微分方程xe21dxdy满足1xy 的特解为 ( )A.1221xeyB.3221x ey C.C ey x212 D.212121xey2-14-69、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( ) A.Cyx2422B.Cyx2422C.2422yxD.12422yx2-15-70、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( )A.222yxB.933yxC.133yxD.13333yx2-16-71、过点,0()2的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32xyB.52xy C.53xey D.5xCe y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy化为可分离变量的方程, 应作变换 ( )A.2ux yB.22x u yC.ux yD.33xu y2-18-73、设方程)()('x Q y x P y 有两个不同的解21,y y ,若21y y 也是方程的解,则( ) A.B.0 C. 1 D.,为任意常数2-19-74、方程dx 2dx dy y x x 的通解是 ( ) A.x Cxy2B. x xC y2sin C.C xy 2cos D.Cxy 22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.xyxy 2'B .xxyy sin 'C .xyy' D.xyy 2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y xy' B.y xy'C.x yy' D.xy y'2-22-77、方程2)3(,0'y yy 的解是 ( )A.xey 32 B.xey 32 C.32x ey D.32x ey 2-23-78、微分方程x y y ln '的通解是 ( ) A.xx eyln B. xx Ceyln C.xx x ey ln D.xx x Cey ln 2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''的解 ( )A. xey22 B.xe y2 C.xey 2 D.xey 22-25-80、方程0sin '''653)4(yy y y x xyy的阶是 ( )A. 6B. 5C. 4D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2，则这条曲线是( )A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A.xyy x dxdy33B.2)3(2xydy dxy exC. xy yx dxdy D.yx xyy dxdy 3212-28-83、微分方程0cot 'xy y 的通解是 ( )A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC y csc 2-29-84、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx ,则p 的值( )A. 1B. 0C.21D.41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22y x y x y x 3-2-53、0ln 'yy xy 3-3-54、0d sec )2(d tan 32yy e x y e x x3-4-55、yx y y x xy22222')1(3-5-56、yx eye x dxdy3-6-57、0)1()1(xdy y ydxx3-7-58、x x y yy x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-8-59、0)0(,02')1(22y xy y x3-9-60、1)(,ln 2'e y x y y 3-10-61、x x y y y x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-11-62、0y)dx -(x dy)(y x3-12-63、)ln (ln dx d x y y y x 3-13-64、0)2(22dyx dx xy y3-14-65、xy x y xy tan'3-15-66、xyx y x y xy ln)('3-16-67、dxdy xydxdy xy223-17-68、x y yx y', 2|1x y 3-18-69、x y xy y', ey ex|3-19-70、2|,'122xy y xyxy3-20-71、xx yxy sin 1', 1|xy 3-21-72、xex y xy 43'3-22-73、342'xxyy 3-23-74、xyxy ln 11'3-24-75、xeyxxy x21'3-25-76、x xy y sec tan ', 0|0xy 3-26-77、xx yxy sin 1', 1|xy 3-27-78、22112'xy xx y ,|0xy 3-28-79、x x yxy ln ', ey ex|3-29-80、22d dyx xexy x3-30-81、)sin (cos d dy2x xy yx3-31-82、5d dyxyy x3-32-83、02d dy4xyxy x3-33-84、4)21(3131d dy yx yx3-34-85、xyxy x 2d dy23-35-86、xy y '''3-36-87、01)'(''2y yy 3-37-88、01''3y y 3-38-89、y y 3'', 1|0xy , 2|'0xy 3-39-90、223''yy ,1|3xy ,1|'3xy 3-40-91、02''yy 3-41-92、013'4''y y y 3-42-93、0'2''y y y 3-43-94、04'5''y y y 3-44-95、04'3''y y y , 0|0xy , 5|'0xy 3-45-96、029'4''y y y , 0|0x y ,15|'0xy 3-46-97、0'4''4y y y , 2|0x y , 0|'0x y 3-47-98、0'4''4y y y , 2|0xy , 0|'0xy 3-48-99、013'4''y y y , 0|0x y , 3|'0x y 3-49-100、04'4''y y y , 0|0x y , 1|'0xy 3-50-101、xey y y 2'''23-51-102、x eyy xcos ''3-52-103、xex y y y 3)1(9'6''3-53-104、'''22xy y ye3-54-105、123'2''x y y y 3-55-106、''sin 20y yx, 1|xy , 1|xy 3-56-107、52'3''yy y , 1|0xy , 2|'0xy 3-57-108、xe y y y 29'10'',76|0x y ,733|'0x y 3-58-109、xxe yy 4'', 0|0xy , 1|'0xy 3-59-110、xxeyy y 26'5''四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知xxxy t t y tt 03231d )(12, 求函数)(x y 4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x2.4-4-14、试求x y ''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12x y相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x 满足xx t t t x x 01d sin )(2cos )(, 求)(x .4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22pEpEQ, 最大需求量为1000Q, 求需求函数)(p f Q.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dL L Ak x，（其中0,0Ak）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且A L 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101,投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31. 设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w 证明: )(x w 满足方程0)('wx p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x的3个相异特解,证明1213y y y y 为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).解. 设)(t i i, 由回路电压定律tE dtdi LRisin 0, 即tLE LR dtdisin 0]sin [)(0C dt teLE et i t dtLRLR =]sin [0C dt te LE et t LR LR =)cos sin (2220t L t R LRE CetLR将0|0ti 代入通解得222LRLE C)cos sin ()(2220t L t R LeLRE t i t LR488.设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系解：.物体重力为mg w, 阻力为kv R , 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dtdv m ,从而得线性方程gv mk dtdv ,|0tv tmkdtdtCeg km C dt gee v km m k ][, 将0|0tv 代入通解得gkm C)1(t mk eg km v, 再积分得122C gekm gtkm Stmk,将0|0t S 代入求得gkm C 221)1(22t mkeg km gtkm S 489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x yt v y 1'0, 又弧OP 的长度为x tv dxy 0022'1,从以上两式消去t v 0得''121''')1(2y y y y x , 即2'121'')1(y y x 根据题意, 初始条件为0)0(y , 0)0('y 令p y', 原方程化为2121')1(pp x , 它是可分离变量得方程,解得21)1(112x C pp , 即21)1('1'12x C y y 将0)0('y 代入上式得11C , 故21)1('1'2x y y 而21)1(''1'1'122x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y 积分得22321)1(31)1(C x x y, 将0)0(y 代入上式得322C ,所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dLL A k x ，（其中0,0Ak ）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且AL 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL,|L L x, 解可分离变量得微分方程, 得通解kxCeAL , 将00|L L x 代入通解, 得AL C 0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxeA LAx L )()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31.设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:yS101,dt dyI31, 解之得通解tCe y103, 将5|0ty 代入通解得5C, 所以国民收入函数为tey 1035492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dtdp,)0(p p , 其中0p 为0t时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kpr p f ),(, d cpp g )(, 则方程为)()(d b k p c k k dtdp ,)0(p p , 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为ckd b eckd b p t p tc k k )(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(p g r p f , 即dpc bpk ,则c kdb p, 从而价格函数pep p t p c k k )(0)()(,取极限:pt p t)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p 0, 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于tc k k ec kk p pdtdp)(0)()(, 所以当p p 0时, 0dtdp,)(t p 单调下降向p 靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。
大学数学微分方程练习题及答案
大学数学微分方程练习题及答案微分方程是大学数学中重要的一门学科，它在科学和工程领域中有着广泛的应用。
掌握微分方程的求解技巧对于学生来说至关重要。
以下是一些常见的微分方程练习题及详细解答，希望对你的学习有所帮助。
题目一：求解一阶线性常微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。
求解该微分方程。
解答一：为了求解上述微分方程，我们可以利用一阶线性常微分方程的常数变易法。
首先将方程写成标准形式：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。
设通解为$y=e^{\int P(x)dx}u(x)$，其中$u(x)$是一个待定的函数。
将该通解代入原微分方程中，经过简化后得到：$u(x)=\int e^{-\int P(x)dx}Q(x)dx+C$，其中$C$是常数。
因此，该微分方程的通解为$y=e^{\int P(x)dx}(\int e^{-\intP(x)dx}Q(x)dx+C)$。
题目二：求解分离变量的微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$，其中$f(x)$和$g(y)$是已知的函数。
求解该微分方程。
解答二：为了求解上述微分方程，我们可以利用分离变量的方法。
首先将方程重写为$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$。
对两边同时积分，得到$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$。
经过积分运算后可得到$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$，其中$C$是常数。
因此，该微分方程的通解为$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$。
题目三：求解二阶常系数齐次线性微分方程给定微分方程：$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$，其中$a$和$b$是已知的常数。
高数测试题十（微分方程）答案
高数测试题十（微分方程）答案高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）1、若 12,y y 是方程 ()()(()y P x y Q x Q x '+=≡0) 的两个特解，要使12y y αβ+ 也是解，则α 与β 应满足的关系是（ D ）A 12αβ+=B 1αβ+=C 0αβ=D 12αβ== 2、下列方程中为全微分方程的是（ C ）A 22(22)(1)0xy y dx x y dy ---+-=B 2222()()0x xy dx y x y dy ---=C 22(1)20e d e d θθρρθ--+-=D 22()(2)0x y dx xy x dy +++=3、设λ 为实常数，方程220y y y λλ'''++= 的通解是（ D ）A 12x C e C λ-+B 12cos sinC x C x λλ+ C 12(cos sin )x e C x C x λλλ-+D 12()x C C x e λ-+4、方程 22cos x y y y e x '''-+= 的特解 *y 形式为（ B ）A B cos sin x x axe x bxe x +C 22cos sin x x ax e x bx e x +D 2cos x ax e x5、已知 0()x x y e y t dt =+，则函数 ()y x 的表达式为（ D ） A x y xe C =+ B x y xe = C x x y xe Ce =+ D (1)xy x e =+二、填空题（每cos x axe x 小题4分，共20分）1、方程 212y dy dx x e=+ 的通解是 2()y x e y C =+ 2、方程 (1)x y y '-= 的通解是 (ln )y x x C =+3、以 2212,x x y e y xe == 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为440y y y '''-+=4、已知方程 0y y ''-= 的积分曲线在点 (0,0)O 处与直线 y x = 相切，则该积分曲线的方程为 1()2x x y e e shx -=-= 5、方程 0xdy ydx -= 的一个只含有 x 的积分因子为21x μ=三、（共60分）1、（8分）求方程 (1)(223)0y x dx y x dy -+--+= 的通解解：令 1y x u -+=，则 dy du dx =+，代入原方程得(1)(21)u dx u du -+=+ 即 1(2)1du dx u -=-+，两边积分得 12ln(1)u u x C -+=-+，代回原方程，得通解2ln(2)y x y x C ---+=2、（6分）求方程 22(1)(233)x dy xy x dx +=++的通解解：方程改写为 2231x y y x '-=+，则通解为 22ln(1)ln(1)2[3](1)(3arctan )x x y e e dx C x C x +-+=+=++?3、（8分）求微分方程 21(1)()02y yxe dx x e y dy +++= 的通解解：设 21(,)1,(,)2y y P x y xe Q x y x e y =+=+ 有 y P Q xe y x==?? ，则原方程为全微分方程，于是 2222001111(,)(1)()2222x y y y u x y x dx x e y dy x x x e y =+++=+++?? 故原方程的通解为 2222y x x x e y C +++=4、（10分）求解 2312,(0)1,(0)2yy y y y y ''''+===解：此方程不含x ，令 y P '=，则 dP y P dy''=，原方程化为 232212,2dP dP yP P y P P y dy dy y+=+= 此方程为贝努力方程，令 2P z =，上述方程化为21dz z y dy y += 则 ln 2ln 1[]y y z e y e dy C -=+?，即 24311111()44C y y C y y y'=+=+，由初始条件 1(0)1,(0)2y y '== 得 10C =，于是，方程化为 2314y y '=，或 3212dy y dx =± 由初始条件应取 3212dy y dx =，即 3212y dy dx -=，积分得 2114x C y=-+，再由初始条件(0)1y =得21C =，所以原方程的特解为1114x y =- 或 21(1)4y x =-5、（6分）求方程 (4)30y y ''+= 的通解解：特征方程为 4230r r +=，特征根为123,40,3r r r i ===± 方程的通解为 1234cos 3sin 3y C C x C x C x =+++6、（10分）求方程 223y y x '''+=- 的通解解：对应的齐次方程为 0y y '''+=，其特征方程为 20r r += 特征根为 120,1r r ==-，齐次方程的通解为 12x Y C C e -=+ 因0λ= 是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为*2012()y x b x b x b =++代入原方程，比较系数得 0122,2,13b b b ==-=，于是得到一个特解 *22(21)3y x x x =-+，所求方程的通解为 *2122(21)3x y Y y C C e x x x -=+=++-+ 7、（12分）求满足条件 (0)1,(0)1f f '=-= 且具有二阶连续导数的函数()f x ，使方程 3()[sin 2()]02f x ydx x f x dy '+-=是全微分方程。
《数学建模》习题及参考答案 第五章 微分方程模型
第五章部分习题1. 对于5.1节传染病的SIR 模型，证明：（1）若σ/10>s ，则()t i 先增加，在σ/1=s 处最大，然后减少并趋于零；()t s 单调减少至∞s 。
（2）若σ/10>s ，则()t i 单调减少并趋于零，()t s 单调减少至∞s 。
9. 在5.6节人口的预测和控制模型中，总和生育率()t β和生育模式()t r h ,是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
*16. 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为∂（与地面夹角），建立投掷距离与∂,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
参考答案1. SIR 模型（14）式可写作().,1si dt di s i dt di λσμ-=-=由后一方程知()t s dtds ,0<单调减少。
1) 若σ10>s ，当01s s <<σ时，()t i dt di ,0>增加；当σ1=s 时，()t i dt di ,0=达到最大值m i ；当σ1<s 时，()t i dt di ,0<减少且()()式180=∞i 2) 若σ10<s ，()t i dt di ,0<单调减少至零 9. 一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率()1=t β；晚婚晚育相当于生育模式()r h 中（5。
6节（13）式）使1r 和c r 增大；生育第2胎一些规定可相当于()t β略高于1，且()r h 曲线（5。
6节图19）扁平一些（规定生2胎要间隔多少年）*16. 在图中坐标下铅球运动方程为()()()().sin 0,cos 0,0,00,,0ααv y v x h y x g yx ====-== 解出()t x ，()t y 后，可以求得铅球掷远为,cos 2sin cos sin 2/12222ααααv g h g v g v R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=这个关系还可表为()ααtan cos 2222R h v g R +=由此计算0*=ααd dR，得最佳出手角度()gh v v +=-21*2sin α，和最佳成绩gh v g v R 22*+=设m h 5.1=，s m v /10=，则0*4.41≈α，m R 4.11*=。
高数微分方程模拟试题及答案解析
4.满足方程 的解为。
5.设 是定义在区间 上的函数组，则 线性无关的含义是
三. 求下列微分方程的解(每小题7分，共49分)
1、求微分方程 的通解。
2、求微分方程 的通解。
3、求微分方程 的通解。
4、求微分方程 的通解。
5、求微分方程 的通解 。
6、求微分方程 的一条积分曲线，使其在原点处与直线 相切。
7、求微分方程 的一个特解。
四．设函数(x)连续且满足 求(x)(8分)
五．已知某曲线经过点(11)它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标求它的方程(8分)
一.单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. ( B ) 2.（A ） 3.( B) 4.（C） 5. ( A )
6. (D) 7. ( D ) 8（A）9.（C） 10.（D）
（A） ； （B） ；
（C） ； （D） 。
二.填空题(每小题3分,共15分)
1.一曲线上点 的切线自切点到纵坐标轴间的切线段有定长2，则曲线应满足的微分方程。
2.镭的衰变速度与它的现存量 成正比（比例系数为 ），已知在时刻镭的存量为 ，则镭的量 与时间 应满足的微分方程初值问题是。
3.一质量为m的物体在空气中由静止开始下落。已知空气阻力与下落速度平方成正比（比例系数为 ），则物体下落的速度与时间应满足的微分方程初值问题是
微分方程的特征方程为: 。
其根为 。故对应的齐次方程的通解为:
易知 是非齐次方程的一个特解故非齐次方程的通解为
由所给等式知(0)=1(0)1由此得
因此
五．解 设点(xy)为曲线上任一点则曲线在该点的切线方程为：Yyy(Xx)
其在纵轴上的截距为yxy因此由已知有：yxyx即
经典：微分方程模型——数学建模真题解析
h h
ds
16
设桶的水平面积为A，孔 的面积为B，则由于质量 守恒，则
Adh=-Bds 符号反映了此消彼长。
dh h
ds
设水的流速是v则
ds vdt dh (B / A)vdt
1
2
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
例：下面的方程都是微分方程：
m du ku mg sin
dx
u a2 u sin x t x
3
微分方程的解是函数，对应一个变化过程。常微分 方程的解是随时间t变化的函数，比如一辆汽车在公 路上飞驰，一个球从空中落下等。 偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位置的改 变，而且物体各部分之间的位置的相对变化。如水 的流动，烟雾的扩散，公路上车流的涌动等。
第二种：机理分析方法： 实际上，对这一类问题，有成熟的机理分析方法： 房室模型。
25
我们可以把喝酒后酒精的变化过程描述为 喝酒酒精进入肠胃消化后进入血液排出。 这里，血液循环系统可以看作中心室，肠胃可以看 作吸收室。M1克酒精在很短时间进入吸收室，从吸 收室逐渐进入中心室，最后逐渐排出。
吸收
中心室
19
2004C题 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检 疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／ 百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是 小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或 等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等 于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合 新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B).2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C).3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A).5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D).二、填空题1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 .2．微分方程3d d 0,4x x y y y x=+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =.5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+．6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x=． 三、解答题1．求下列微分方程的通解．(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：(3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x++= 解： 解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==；解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x+=． 解： 解：3*．设连续函数20()d ln 22xt f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =⋅． §12.2 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).2d (A)3(ln )d y y x y x x+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程． 答(D).3. 方程y y x y x ++='22是( )．(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).二、填空题1．微分方程d d x y ye x-+=的通解为 ． 答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 ． 答：33x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 ． 答：ln()x y x y C --+=． 三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x=； 解： 解：(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=；解： 解： (5) 2d (6)20d y y x y x-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=； 解： 解：(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==． 解： 解：3*．求伯努利方程2d 3d y xy xy x-=的通解． 解：§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=； (C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).(A)2(1)y x =-； (B)212124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭； (C)211(1)22y x =-+； (D )21524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 答(C). 3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )．(A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解；(C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解． 答(B).4. 下列函数组线性相关的().是(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ； (C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ． 答(A).5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=． 答(D).6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )．(A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+；(C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关． 答(D).7. 下列函数组线性相关的().是22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ． 答(A).二、填空题1．微分方程sin y x x ''=+的通解为． 答： 312sin .6x y x C x C =-++ 2．微分方程y y x '''=+的通解为． 答： 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题1．求下列微分方程的通解． (1) 21()y y '''=+； (2) 21()2y y '''=． 解： 解：2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．解：§12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．(A)sin y x =； (B)cos y x =；(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+． 答(C).2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )．(A)230y y y '''--=； (B )25y y y '''-+=； (C)20y y y '''+-=； (D)20y y y '''-+=． 答(A).3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )．(A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；(C)20y y y '''++=； (D)240y y y '''-+=． 答(B).4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )．(A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=(C)250y y y '''++=； (D )250y y y '''-+=． 答(D).5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=，则方程的一个解是( )．(A)x ； (B)x e ； (C)x e -； (D)sin x ． 答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处( )．(A)0x 的某邻域内单调减少； (B )0x的某邻域内单调增加； (C) 取极大值； (D) 取极小值． 答(C).二、填空题1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为 ． 答：412x y C C e =+．2．微分方程20y y y '''+-=的通解为 ． 答：212x x y C e C e -=+．3．微分方程440y y y '''-+=的通解为 ． 答：2212x x y C e C xe =+．4．微分方程40y y ''+=的通解为 ． 答：12cos2sin 2y C x C x =+．5．方程6130y y y '''++=的通解为 ． 答：312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x x x t t-+=． 解： 解：2．求下列方程满足初始条件的特解． (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 00250,5,2x x y y y y=='''+===．解： 解： §12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+；22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D)()x x Ax B e -+． 答(B).4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D)()x Ax Bx C e ++． 答(C).5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．(A)(cos sin )x e A x B x +； (B )s i n x A e x ；(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).二、填空题1．微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为 答：3*48x x y =-． 2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+．3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+．4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+．5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =．6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.三、简答题1．求下列微分方程的通解．：(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-；解： 解：(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+．解：。
考研微分方程试题及答案
考研微分方程试题及答案1. 已知微分方程 \( y'' - 4y = 0 \)，求通解。
答案：通解为 \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \)，其中\( C_1 \) 和 \( C_2 \) 为任意常数。
2. 解微分方程 \( y' + 2xy = 0 \)。
答案：首先分离变量，得到 \( \frac{dy}{dx} = -2xy \)，然后两边同时积分，得到 \( \ln|y| = -x^2 + C \)，即 \( y = Ce^{-x^2} \)。
3. 求解微分方程 \( y'' + 3y' + 2y = e^{-x} \)。
答案：首先求齐次方程的通解 \( y_h = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x} \)，然后求特解。
设特解为 \( y_p = Axe^{-x} \)，代入原方程得到 \( A = 1 \)，所以特解为 \( y_p = e^{-x} \)。
因此，通解为\( y = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x} + e^{-x} \)。
4. 已知 \( y'' - 2y' + y = \sin(x) \)，求微分方程的特解。
答案：特解可设为 \( y_p = A\cos(x) + B\sin(x) \)，代入原方程得到 \( A = \frac{1}{2} \)，\( B = 0 \)，所以特解为\( y_p = \frac{1}{2}\cos(x) \)。
5. 求解微分方程 \( y'' - 6y' + 9y = 0 \)。
答案：这是一个特征方程 \( r^2 - 6r + 9 = 0 \) 的齐次方程，解得 \( r = 3 \)（重根），所以通解为 \( y = (C_1 + C_2x)e^{3x} \)。
6. 已知 \( y'' - 4y' + 4y = 0 \)，求其通解。
经济数学(微分方程习题及答案)
第十章 微分方程习题 10－11. 1. 指出下列微分方程的阶数，并判断是否为线性方程：222222222d d (1)4 (2)cos 0d d (3) d 3d d (4) (1)d (1)d (5) "(')120 (6) '''2''0d (7) 5d y y x y x y xxy y x x x x y y x y y xy xy y x y y xx=-++=+=+=-++=++=-42d d 3sin (8) ()40d d y y xy x x xx+=-=解 (1)1 (2)1 (3)1阶，线性;阶，非线性;阶，线性;(4)1 (5)2 (6)3(7)2 (8)4阶，非线性;阶，非线性;阶，线性;阶，线性;阶，线性.2. 2. 下列各题中的函数是否为所给微分方程的解? 若是,是通解还是特 解?2122122222d (1) 2,d (2) "2'0 , 22(3) "'0, (4) d d 0, xy xy y c xxy y y y x e y y y y c x c xx xx x y y x y R-=-=-+==-+==++=+=解 31(1) '2y c x 因为 -=-23113121222'2d (2)2d '2, "24 ,',"20 20, xxxxx xxxy c xy c x y x x c xyxy c xy xe x e y e xe x ey y y e e y x e 将,代入方程,得所以 是方程的通解.(2) 因为 将 代入方程,得,而所以不是方程的解.----==-=-=-==+=++=≠=1222212 '2, "2 ,'," 22 "'0y c c x y c y y y y y y x xy c x c x (3)因为将 代入方程,得所以 是方程的通解.=+=-+==+22222)2 d 2d 0 x y x x y y x yR +=+=+=(4)因为 d(所以是方程的通解.121200 3.:()(,)"2'0,4'xx x y c c x e c c y y y yy 验证是任意常数是方程的通解并求满足初始条件与=-2的特解.-===+++==解 12()xy c c x e 由 , 得 -=+解 12()xy c c x e 由 , 得 -=+21221212120000'(),"2()"2'0,()4' 2.4'(42).xxxxxx x x x xy c ec c x ey c ec c x ey y y y c c x e y y c c yy y x e 将上两式代入方程即得恒等式. 所以 是方程的通解.将初始条件与=-2代入方程的通解中,得=4,故满足初始条件与=-2的特解为-----====-=-+=-++++==+====+习题 10－21． 1． 求下列各题中微分方程的通解或满足初始条件的特解.222231(1) ' (2) '(3) d (1)d 0 (4) sec tan d sec tan d 032(5)d d 0, 01(6) cot d cot d 0 , x yxyx yy x y e e y y y x x y x y x y x ey yxyx y x x y y+==-=-+=+=+==-+=0x == 解(1) ' y y x由方程 两端积分, 得=- 2211122y x c =-+221 .(2) 'd d .x y yxyxxyx y c y e ey e xee c e e c 故方程的通解为 由方程 分离变量,得将上式两端积分, 得 -故方程的通解为 +---+====++=2x2 ed (1)d 0d d 1xy y y x y y exy --+==+ (3)由方程 分离变量,得221ln(1)21ln(1).2xxy y ec y y ec 将上式两端积分, 得 故方程的通解为 ---+=-+-++=2222(4) sec tan d sec tan d 0 sec secd d tan tan ln(tan )ln(tan )ln tan tan .x y x y x y y x y xyxy x c y x c 由方程 分离变量,得将上式两端积分, 得故方程的通解为 +==-=-+=22223331332 (5)d d 0 131d d 2,3ln 0 2.3ln 2.yyyx yx ey xyx x x ye yxx x e c yc x x e由方程分离变量,得将上式两端积分 得再将初始条件代入上式,得 故满足初始条件的特解为 =+=--⋅=-=+==--=-cot d cot d 0 11d d cot cot siny sind d cosycos ln cos ln cos ln 01cos x y x x y y xyx x y yxy x c yc x (6)由方程 分离变量,得 即将上式两端积分, 得- 再将初始条件代入上式,得 故满足初始条件的特解为 =+==-=-=+==cos 1.y =2.求下列各题中微分方程的通解或满足初始条件的特解.11(1) 'cot(2) '(3) '(ln ln ) (4) ()022(5) 'tan(6) () 02yx x x y y y xy y x xxy y y x xe y dx xdy y xy y x yxy dx xydy yx π===+=-=-+-=-==+==解(1),,''y u y ux y u xu x令 则===+'cot 'cot sin 1d d cos ln cos ln ln u xu u u xu u u u xux u x c 即 分离变量,得将上式两端积分,得- +=+===+ cos x u c 即 =cos .y x c x故变量还原, 得原方程的通解为 =','',y y x y u y ux y u xu x(2) 将原方程化为 令 ,则=-===+''1d u xu u xu u xx即 分离变量,得+=-==-arcsin ln ln arcsin lnarcsinln.u x c c u xy c x x 将上式两端积分,得即 故变量还原,得原方程的通解为 =-+==(3)'ln,'','ln '(ln 1)11d d (ln 1)ln(ln 1)ln ln y y y xxy u y ux y u xu xu xu u u xu u u u xu u x u x c 将原方程化为 令 ,则即 分离变量,得将上式两端积分,得====++==-=--=+11ln1.cxu cx y cx xy xe即 ln 于是变量还原, 得 故原方程的通解为 +-==+=(4)','',yx y y e xy u y ux y u xu x将原方程化为 令 ,则=+===+''uuu xu e u xu e即 +=+=1d d ln ln ln .uuuy xeu xx ex c x e cx ec 分离变量得 将上式两端积分,得即 故变量还原, 得原方程的通解为 ----=-=++=+=(5)' =tany yy xx 将原方程化为 -,'','tan 'tan 11d d tan ln(sin )ln ln sin y u y ux y u xu xu xu u u xu u u xux u x c u xc令 ,则即 分离变量,得将上式两端积分,得即 ===++-====+=1222sin .12sin.d (6) )d ,'',(')(1)x y cx x yc y x x y y yx x x y u y ux y u xu xu u xu u π于是变量还原, 得原方程的通解为 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解为 将原方程化为 (1+ 令 ,则=====⋅====++=+'1xuu =即2222212221d d 1ln ln 22ln ln().0 1.ln .x u u xx u x c u cxy x cx yc y x x 分离变量,得 将上式两端积分,得即 于是变量还原, 得原方程的通解为 再将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解为 ===+=====3.求下列各题中微分方程的通解或满足初始条件的特解.21(1) '2cos (2) ( 1)'(1)xx n y xy ex x y ny e x +-=+-=+2621(3) 'cot 2sin (4) 2(5)'ln , 1 (6)(1)'1, 1x x dy y y y x x x x ydxxy y x yx y xy yx x ==-=+=-=-=-+==解 2(1)()2,()cos xp x x q x ex 因 =-=222222()d ()d 2d 2d [()d ][cos d ][cos d ](cos d )(sin ).(2)'1p x xp x xx x x x xxxxxxy e q x e x c e e xe x c e exex c ex x c ex c ny x 故原方程的通解是将原方程化为---=+=+=+=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1)(),()(1)1xnxn y e x n p x q x e x x 因 故原方程的通解是=+=-=++d d 11ln(1)ln(1)[(1)d ] [(1)d ]nnxxx nx x n x x n n x y ee x ex c ee x ex c -+++-+=++=++⎰⎰⎰⎰(1)(d )(1)().nxn xx e x c x e c =++=++⎰cot d cot d ln(sin )ln(sin )2(3)()cot ,()2sin [2sin d ][2sin d ]sin (2d )sin ().x x x x x x p x x q x x xy e x xe x c ex xex c x x x c x x c --=-==+=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰因 故原方程的通解是52255d d 25ln 25ln 5352(4)6,5'5 5(),()5 (5d )(5d )5 (5d )().2xxxxx x n z yz z x xp x q x xx z ex ex c ex ex c x x x c x xc 这是一个的贝努里方程令 则因 于是方程的通解是 故原-----==-=-=-=-=-+=-+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰55211d d ln ln 5 ().212(5) (),() ln2 ( ln d )2 ( ln d )(x xx x xxy x y xc p x q x x x xy e x e x c xex ex c xx 方程的通解是因 故原方程的通解是---=+=-=-=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰22 ln d )22 (ln )2ln 2.x x c xx x c x cx xx+=++=++⎰11 12ln 2.x y c y x x 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解为 ===-=+-22221(6)'111 (),()11x y y xxx p x q x xx+=--==-- 先将原方程化为 因 故原方程的通解是22d d 1121[d ]1xxxxx x y eex c x---=+-⎰⎰⎰2211ln(1)ln(1)2221223221122221[d ]11(1)[d ](1) (1))(1)x x e ex c xx x c x x c x c x ---=+-=-+-=-=+-⎰⎰1221 1(1).x yc y x x====+- 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解为4．已知连续函数f (x )满足条件320()()d .().3x xt f x f t e f x =+⎰求:解320()()d 3x xtf x f t e x 在等式 两端对 求导数,得=+⎰2223d 3d 23233'()3()2'()3()2()3,()2, ()(2d )(2d )(2d )xx xx xx xxxx xf x f x e f x f x e p x q x ef x e e e x c e e ex c e ex c 即 因 则---=+-==-==+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰33(2),0,(1)1,3()(32).xxxxe c ex f c f x e e由题意知当时 代入上式中,得 故 --=-====-5.已知某企业的纯利润L 对广告费 x 的变化率与常数A 和纯利润L 之差成正比. 当x = 0时, L = L 0 , 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解d ()d L K A L x由题意知=-d d d (0)d (),(),()[d ]K x K xL K L K A K xp x K q x K A f x e K A e x c 即 因 则-+=>==⎰⎰=+⎰000 [d ][],0,,()().K xK xK xK xK xK xe K Aex c e Ae c A cex L L c L AL x A L A e由题意知当时 代入通解中,得 故满足条件的利润函数为 ----=+=+=+===-=+-⎰习题 10－31.验证 y 1 = cos ωx 与y 2 = sin ωx 都是方程2"0y y ω+=的解，并写出该方程的通解.证 因'"211sin ,cos y x y x ωωωω=-=-''222 cos ,sin y x y x ωωωω==-"22211"2222212112212cos cos 0 sin sin 0cos sin cos sin .y y x x y y x x y x y x y c y c y c x c x ωωωωωωωωωωωωωω+=-+=+=-+====+=+ 代入方程, 得即 和是方程的解,其通解是22212 2."4'(42)0xxy ey xe y xy x y 验证: 和都是方程的解,并写出该方程的解.==-+-=证 22'"2112,2(12),xxy xe y x e因 ==+2222'2"2222 (12),642(32) xxxxy x e y xex ex x e代入方程, 得=+=+=+222"'211122"'22224(42) 2(12)42(42)04(42)x xxy xy x y x ex xex ey xy x y -+-=+-⋅+-=-+-222222222333112211221212 2(32)4(12)(42) (644842)01,,(,).xxxxxxx x ex x ex xex x x x x x e y y y y xy c y c y c e c xec c 而常数于是是方程线性无关的解,故其通解为是任意常数=+-⋅++-=+--+-==≠=+=+3.求下列二阶齐次常系数线性微分方程的通解：(1) '''20 (2) '' 4'130 (3) ''2'0 (4) ''6'90y y y y y y y y y y y +-=-+=+=++=解 22(2)(1)0λλλλ(1)由特征方程 +-=+-= 122122122122,1..413023,23.(cos 3sin 3).xxxy c ec e i i y c x c x e λλλλλλ得特征根 故方程的通解为 (2)由特征方程 得一对共轭特征根 故方程的通解为 -=-==+-+==+=-=++212212221233122(2)00,2..69(3)03,3..xxxy c c ey c ec xeλλλλλλλλλλλ (3)由特征方程 得特征根 故方程的通解为 (4)由特征方程 得特征根 故方程的通解为 ---+=+===-=+++=+==-=-=+4.求下列二阶常系数线性齐次微分方程满足初始条件的特解：00006660 (1) ''4'30, 6, '10 (2) 4 ''4'0 , 2, '(3) ''2'100, 0, '(4) "250, 2,x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y yy e y y y πππ=======-+===++===-+===+==0 ' 5 x y ==解 243(1)(3)0λλλλ(1)由特征方程 -+=--=123120012322121, 3.6, ' 104, 2.42.441(21)01.2xxx x xxy c e c ey y c c y e eλλλλλλλ得特征根 即方程的通解为 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解是 (2)由特征方程 得特征根为 =====+=====+++=+===-1212001212() 2, ' 0 2, 1.(2).xx x xy c c x ey y c c y x e 即方程的通解为 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解是 -==-=+=====+2121261266210013,13.(cos 3sin 3)10, ',0.31cos 3.3xx x xi i y c x c x eyy e c c y e x πππλλλλ (3)由特征方程 得一对共轭特征根 即方程的通解为 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解是 ==-+==+=-=+===-==-2121212002505,5.cos 5sin 52, '5 2,1.2cos 5sin 5x x i i y c x c x yy c c y x xλλλ (4)由特征方程 得一对共轭特征根 即方程的通解为 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解是 ==+===-=+=====+5. 求下列二阶非齐次常系数线性微分方程的通解或满足初始条件的特解：200 (1) ''2'2 (2) 2'''2 (3) ''3'23 (4) ''4cos (5) ''3'2 5 , 1, '2 (6) ''2sin 2 , 1, xxx x x y y y x y y y e y y y xey y x xy y y y y y y x yπ-===-+=+-=++=+=-+===+=-= '1x y π==解 2220λλ(1)由齐次方程的特征方程 -+=12122012012221,1 (cos sin ).()011,1,.22111 (1)222xi iy c x c x e f x x r y A x A x A A A A y x x x λλ得一对共轭特征根 即齐次方程的通解为 又因为且不是特征根,所以设非齐次方程有特解 将其代入非齐次方程,得 于是非齐次方程有特解=+=-=+===++====++=+2122121(cos sin )(1).21212(1)()0211,.2xy c x c x e x λλλλλλ故原方程的通解是(2)由齐次方程的特征方程 解得特征根 =++++-=+-==-=12121212()2 1. +.xxxxxxxxy c ec e f x e y AeA y ey c ec e e 即齐次方程的通解为 又因为且r = 1 不是特征根,所以设非齐次方程有特解 代入非齐次方程,得 于是非齐次方程有特解 故原方程的通解为 --=+=====+212212010123201,2.()31()3, 3.23(3)2x xxxy c ec ef x xe r y x A x A e A A y x x λλλλ (3)由齐次方程的特征方程 得特征根 即齐次方程的通解为 又因为且是特征方程的单根, 所以设非齐次方程有特解 代入原方程,得 于是非齐次方程有特解---++==-=-=+==-=+==-=-22123+(3).2xxxxey c ec ex x e故原方程的通解是 ----=+-2121201*********,2.cos 2sin 2()cos ()cos ()sin 12,,0391 i i y c x c xf x x x r i y A x A x A x A x A A A A y λλλ (4)由齐次方程的特征方程 得一对共轭特征根 即齐次方程的通解为 又因为且不是特征根,所以设非齐次方程有特解代入非齐次方程,得 于是非齐次方程有特解为+===-=+===+++=====2cos sin 39x x x+1221212 cos 2sin 2cos sin .393201,2.y c x c x x x x λλλλ故原方程的通解是(5)由齐次方程的特征方程 得特征根 =+++-+===21201012120012 ()5055,0.22527 1, ' 25,.2xxxxx x y c e c ef x r y A A x A A y y c e c ey y c c 即齐次方程的通解为 又因为且不是特征根,所以设非齐次方程有特解 代入非齐次方程,得 于是非齐次方程有特解 故原方程的通解是 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解是===+===+====++===-=2755.22xxy e e=-++212120110,.cos sin ()sin 22,cos 2sin 2i i y c x c xf x x i i y A x A xλλλ (6)由齐次方程的特征方程 得一对共轭特征根 即齐次方程的通解为 又因为且所以设非齐次方程有特解 +===-=+=-≠=+0110,.31sin 23A A y x代入非奇次方程,得 于是非齐次方程有特解===121cos sin sin 23y c x c x x即原方程的通解为 =++121 1, ' 11,.311cos sin sin 2.33x x y y c c y x x x ππ 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解为 =====-=-=--+6. 求下列高阶微分方程的通解或满足初始条件的特解：2311 (1) ''sin (2) ''' (3) '''(') (4) '''tan sin 2 (5) ''1, 1, ' 0 (6) "x x y x x y y xyy y y y y x x y y y y y ===-==-+==-==000', '"0xx x x xe yy y =======解 (1)在原方程两端同时积分,得111 'sin d cos cos d cos sin (cos sin )dsin sin d sin d y x x x x x x xx x x c y x x x c x x x x x x x c x再积分一次,得原方程通解为 ==-+=-++=-++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰12d d 1111 sin 2cos . (2)',"'' [d ][d ][]1x x x xx xxx x x c x c y p y p p p xp p e xe x c e xe x c e xeec x c e令 代入原方程,得这是关于的一阶线性方程,其通解为----=--++==-=⎰⎰=+=+=--+=--+⎰⎰x故原方程通解为21121d (1)d .2xxy p x x c e x x x c e c ==--+=--++⎰⎰(3) '(),"dp y p y y pdy令 , 代入原方程,得==211111112d 1d d 1d1ln 1ln ln 1dd 11ln(1) ln(1)p yp p p p p yp y py p y c p c y y xc yc y x cc c y c x c (0,)分离变量,得两端积分,得 即于是两端再积分,得 即=-≠≠=---=+=-=---=+-=-+111112dd 11ln(1) ln(1)y xc yc y x cc c y c x c 于是两端再积分,得 即=---=+-=-+tan d tan d 1ln cos ln cos 1 (4)'(),"''tan sin 2 [sin 2d ][sin 2d ]cos [2sin d x x x xxxy p x y p p p x xp p e xe x c exex c x x x 令 代入原方程,得这是关于的一阶线性方程,其通解为--==+=⎰⎰=+=+=+⎰⎰⎰112121112]cos [2cos ] 2cos cos ]d (2coscos )d (1cos 2)d cos d 1 sin 2sin .2(5)',"c x x c x xc y p x x c x xx x cx xx x c x c y p y p 故原方程通解为 令 =-+=-+==-+=-++=--++==⎰⎰⎰⎰33221221d d d 1d d d 1122p yp y p yp p y y p yc p yc 代入原方程,得分离变量,得两端积分,得 即---⋅=-=-=+=+111 1, ' 0 1.'x x y y c y y 将初始条件代入上式,得 于是 =====-=2dxx c 分离变量,得两端积分,得=-=+1210121, 1.1 (6)"d " 0 1.'(1)d 2x xx xx xx x xy c x y xex xe e c y c y xee x xe e x c 再将初始条件代入上式,得 故满足初始条件的特解为 在原方程两端同时积分,得 将初始条件代入上式,得 再积分,得 ====-=-==-+===-+=-++⎰⎰02 ' 0 2.x y c 又将初始条件代入上式,得 ===23032(22)d 1 3220 3.132 3.2xxxxx xxy xee x xxe e x x c y c y xe e x x 再积分得原方程通解为 又将初始条件代入上式,得 故满足初始条件的特解为 ==-++=-+++===-+++⎰习题 10－41. 英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料,于1798年提出了人口指数增长模型. 设单位时间内人口的增长量与当时的人口总数x (t ) 成正比. 若已知t t =时的人口总数为x 0, 求时间t 与人口总数x (t ) 的函数关糸. 根据我国国家统计局1990年10月30日发表的公报,1990年7月1日我国人口总数为116亿，过去8年的年人口平均增长率为14.8 %0 ,若今后的年增长率保持这个数字，预报2000年我国的人口总数.解 设时间为t 时的人口总数为x (t ), 由题意得00d ()0.0148d ()x t x tx t x⎧=⎪⎨⎪=⎩这是一个变量可分离的方程，易求出满足初始条件的解为00.0148()0()t t x t x e-=又将002000,1990,11.6t t x === 代入上式,得 2000年我国的人口总数为0.148(2000)11.613.45x e=⨯≈（亿）2. 假设有一个很小的相对独立的小镇, 总人口1800人, 并假设最初有5人患流感, 且流感以每天12.8%的比率蔓延, 那么10天内将有多少人被感染? 经过多少时间该镇将有一半人被感染?解 设x(t )是第t 天被感染流感的人数, 由题意得d ()0.0128()[1800()] ()d (0)5x t x t x t tx 这是一个阻滞增长模型 这是一个变量可分离得方程，分离变量,得⎧=-⎪⎨⎪=⎩10.1280.128d ()0.128d (1800)()ln0.1281800()1800 ()1(0)5359.1800()135910,(10)18,ttx t tx x x t t c x t x t cex c x t et x 两端积分,得即将初始条件代入上式得 故小镇被感染流感的人数的增长曲线为 若 即十天内约有18人被--=-=+-=+===+=≈000-0.128018001()18009002135946.46,.t t t x t et 感染流感. 又设时,小镇有一半人感染流感,则有 解得 故大约经过天小镇将有一半人感染流感===⨯=+≈3. 某市几十家专业商场，今年销售全自动洗衣机15千台, 预计今后几年销售数量将以每年60%的速率增长,估计年销售达60千台, 销售市场基本趋于饱和. 试写出自动洗衣机的销售曲线方程.解 设x (t ) 是第t 年自动洗衣机的销售数, 由题意, 年销售达60千台, 销售市场基本趋于饱和,得10.6d ()0.6()[60()] ()d (0)15d ()0.6d 0.6()[60()]()ln0.660()60 ()1(tx t x t x t tx x t tx t x t x t t c x t x t cex 这是一个阻滞增长模型 这是一个变量可分离得方程，分离变量,得 两端积分,得即将初始条件 -⎧=-⎪⎨⎪=⎩=-=+-=+0.60)15360().13tc x t e代入上式,得 故自动洗衣机的销售增长曲线为 -===+4．设某商品的供给函数与需求函数分别为4244'" 68(0)6,'(0)4,,().d S Q p p p Q pP P p t 与初始条件为若在每一时刻市场均是出清的求价格函数=--+=-+==解 d Q s Q 由题意知=262124244'"68"4'1248(41206,2.()48,0 ttp p p pp p p p c ec ef t r λλλλ 所以即 这是一个二阶常系数线性非齐次方程)由齐次方程的特征方程 得特征根为 则二阶常系数线性齐次方程的通解为 又因为 不是特征根,所以设非齐次方程有特解---+=-+--=---===-=+=-= 01 p A A t=+10 0,4A A 代入非奇次方程,得==621212624(0) 6.'(0)41,1() 4.ttttp c e c ep p c c p t ee于是非齐次方程的通解为将初始条件代入上式,得 故满足初始条件的价格函数为 --=++=====++5.设某商品的供给函数S (t )与需求函数D (t )分别为()604,()1003dp dp S t p D t p dtdt=++=-+()p t 其中表示时间t 时的价格, 且p (0) = 8, 试求均衡价格关于时间的函数, 并说明实际意义.解()()S t D t 由题意知在市场均衡价格时, =d d 6041003d d d 402d d 2d 20p p p p ttp ptp tp于是即分离变量,得++==+=-=-综合习题十1.填空题：(1) 微分方程324(')2(')20y y xy ++=的阶数是( ).① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4(2) 下列微分方程中为一阶微分方程的是( ).①22d yxy dx+= ② d y +3y d x = 3x 2d x③ cos y + 6x = 0 ④35"70y y y +-=(3) 微分方程24'2xy x y x =+是( ).① 可分离变量方程 ② 齐次方程③ 一阶线性齐次方程 ④ 一阶线性非齐次方程(4) 方程1=-dxdy eyx 的通解是( ).① x y e e c += ② x ye e c --+= ③ x y e e c -= ④ x ye e c ---=(5) 微分方程'0y y +=满足初始条件 01x y==的特解是( ).① xe ② x e -③ x e - ④ xe --(6) 函数 y = cos x 是微分方程( )的解.① '0y y += ② '20y y += ③"0y y +=④"cos y y x+=(7) 微分方程"2'0y y y -+=的解是( ).① xy xe =② 2xy x e =③ 2xy x e=-④ xy x e=-(8) 微分方程tandyy y dxxx=+的通解是( ).①siny cxx = ②1 siny x cx =③ sin x cx y= ④1 sin x ycx =解 (1) ① ； (2) ②； (3) ④； (4) ④； (5) ③； (6) ③； (7) ①； (8) ① .2. 验证22`0'x xtx xy ee dt y y e是微分方程+=-=⎰的解; 并说明是通解还是特解.解22`0'x xtx xy ee dt e因为 +=+⎰2222222`0`0`0`0','.x x xtx xxtx xx x xtxtx xy y e e dt eee dt ey ee dt y ee dty y e 代入方程 成为恒等式所以是方程的解，且函数不含任意常数.故是微分方程 的特解+++-=+-===-=⎰⎰⎰⎰3.求下列方程的通解和特解.222212233(1)d ()d (2)d d d d (3)()d ()d 0 (4)ln d (ln )d 0(5)'13 (6)'(1)sin , 11x yx x yyx x x y y xy x x x xy y y x y y ee x e e y y y x x y y y y xy y y x x yx++===-++=+-++=+-==-=+=+=+解22d (1)1d y y y xxx将原方程化为 =-+2,','','21y u y xu y u xu xxu u u 令 则原方程变为===+=-+2d d (1)1ln 1ln .u xu x cxu x cx x y变量分离,得 两端积分,得 -故变量还原得原方程的通解为=-=-=-2(2)d d 11y y x yx 将原方程变量分离,得=--20221ln(1)ln (1)2(1)(1).y c x y c x 两端积分,得故原方程的通解为-=--=-0 (3)d d 11ln 1ln (1)(1)(1).yxyxyx xye y e x e e e c e e e c 将原方程变量分离,得两端积分,得 故原方程的通解为－-=-+--=++=d 11 (4)d ln x x yy yy 将原方程化为这是一阶线性非齐次方程,由通解公式可得+=d d ln ln ln ln ln ln 21[d ]1 [d ]111 [ln ]ln .ln 22ln (5)yyy yy y yyx e e y c y e ey c yc y c y y y将原方程变量分离,得--⎰⎰=+=+=+=+=⎰⎰11 x cy c 两端积分,得 将初始条件代入上式,得 故满足初始条件的特解是====223312333d 3d 311 (6)2,d 3(1)sin d 1 [(1)sin d ]x xx xxxn z yz xz x xx xz ex xex c 原方程为的贝努里方程. 令 则原方程化为这是一阶线性非齐次方程,由通解公式可得--++==-=-++⎰⎰=-++⎰3ln(1)333[sin d ](1)[cos ]1(1)[cos ].1 0sec .1x x e x x c x x c x x c yy c x y x即将初始条件代入上式,得 故满足初始条件的特解是 +==-+=++=++===+⎰ 4．求满足方程 0()() ()x xy x y t dt e y x =+⎰的函数.解()()d x xy x y t t e x 在方程 两端同时对 求导,得=+⎰d d ''()[d ]()0 1.1, ()(1).xxx x x xxy y e y y e y x e e e x c e x c x y c y x e x 即这是一阶线性非齐次方程，由通解公式,得 又当时，代入原方程得 再代入通解中得 故满足条件的函数为-=+-=⎰⎰=+=+====+⎰5. 求下列方程的通解和特解：200(1)(ln )"' (2)(")'0(3)"'20, ' 0(4)"5'62, '1x x xx x x x y y y y y y y y y y y e yy ====⋅=-=++===-+===解 (1)',"'y p y p 令 代入原方程,得== 12ln )'d d ln ln ln ln 'ln ln d (ln ).x x p p p x px xp x c y p c xy c x x c x x x c(分离变量,得两端积分,得 即两端再积分,得方程的通解为 ===+====-+⎰2(2)',"'')'d y p y p p p p x令 代入原方程,得(分离变量,得=====21 122321'()2121()d ().232x c y p x c y x c x x c c 两端积分,得 即两端再积分,得方程的通解为=+==+=+=++⎰2121200, 1.x y c c eλλλλ (3)由齐次方程的特征方程 得特征根为 则齐次方程的通解为 -+===-=+ 010*******()20 ()2,0.22 ' 0 2, 2.x x x f x r y x A A x A A y xy c c e xy y c c 又因为 且是特征根,所以设非齐次方程有特解代入原方程,得 于是,非齐次方程有特解为故原方程的通解是 又将初始条件代入通解中,得-===-==+=-==-=+-====- 222.x y ex 故满足初始条件的特解是 -=-- 212321200321212005603, 2.1..'10,0x xxx x x x x x y c e c e y A e A y e y c ec e e y y c c λλλλ (4)由齐次方程的特征方程 得特征根为 则齐次方程的通解为所以设非齐次方程有特解 代入原方程,得 于是非齐次方程有特解为 即原方程的通解是 又将初始条件代入通解中,得故满足初始条==-+====+====++====.x y e 件的特解是 =6.设函数()x ϕ连续,且满足 00 ()()d ()d ().x x x x e t t t x t t x ϕϕϕϕ求:=+-⎰⎰解 00()()d ()d x x xx e t t t x t t x ϕϕϕ在方程 两端同时对求导数,得=+-⎰⎰ 021212 '()()d "()()"()()10,.()cos sin xx x xx e t t x x e x x x e i i x c x c x ϕϕϕϕϕϕλλλϕ再对求一次导数,得 即 这是二阶常系数线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程为解得一对共轭特征根为 则齐次方程的通解为 =-=-+=+===-=+⎰。
微分方程练习题及解析
微分方程练习题及解析微分方程作为数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，涉及到物理、经济学、生物学等众多科学领域。
掌握微分方程的解析方法和技巧，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将为大家提供一些微分方程的练习题，并对其中的解析过程进行详细讲解。
1. 难题1已知微分方程 dy/dx = x * y，求其通解，并求通过点 (1,2) 的特解。
解析：首先对微分方程进行变量分离，将 dy/y 移到方程的右边，将 dx/x 移到方程的左边，得到：dy/y = x * dx对上式两边同时积分，得到：ln|y| = x^2/2 + C1其中，C1 为常数。
接下来，对上式两边同时取指数，得到：|y| = e^(x^2/2 + C1) = e^(C1) * e^(x^2/2)由指数函数的性质可知，e^(C1) 为常数，因此可以将其用 C2 来表示。
于是通解为：y = ± C2 * e^(x^2/2)下面求通过点 (1,2) 的特解，将 x=1 和 y=2 代入通解中，得到：2 = ± C2 * e^(1/2)解得 C2 = ± (2 / e^(1/2))所以通过点 (1,2) 的特解为：y = ± (2 / e^(1/2)) * e^(x^2/2)2. 难题2已知微分方程 d^2y/dx^2 + 4 * dy/dx + 4y = 0，求其通解，并求过点(0,1) 且 y'(0) = -2 的特解。
解析：该微分方程为二阶常系数齐次线性微分方程，首先求其特征方程。
特征方程为：r^2 + 4r + 4 = 0解特征方程可得到两个特征根相等的情况，即 r = -2。
由于存在重根，通解形式为：y = (C1 + C2x) * e^(-2x)下面求过点 (0,1) 且 y'(0) = -2 的特解。
将 x=0 和 y=1 代入通解中，得到：1 = C1 * e^0 = C1将 x=0 和 y'=-2 代入通解的导数中，得到：-2 = C2 * e^0 - 2C1 = C2 - 2解得 C2 = -2 + 2 = 0所以过点 (0,1) 且 y'(0) = -2 的特解为：y = (1 + 0x) * e^(-2x) = e^(-2x)通过以上两个例子，我们可以看到，对于微分方程的求解，我们需要先进行变量分离、恢复变量或代换等操作，然后再通过积分或特征方程求解，最后根据已知条件求得特定的解。
微分几何运动方程及例题解答4
ℓ=
= (, − , ) + (, − , )
=
, + (, − , )
( )
对于球面而言，由例 2.5
=
因而有
⟹
Γ
1
=
22
= 2
1
11 1
11 1
−
1,2 ℎ11 + ℎ12
1,1
2 1 1
1 2 1 1
( 1 )2
( 2 )1
−ℎ22
− ℎ12
=0
2
1 2
ℎ11,2 1 − ℎ11
⟺
1
1 1
2 1,2
1
ℎ12,1 1 − ℎ12
−
1 1
2 1,1
1
1
( 1 )2
( 2 )1
−
=
−
′ − +
−
−
−
⟹ =
=
为曲线的不变量，它就是曲率，当
2
2
2 = 12
+ 13
>0
可取 使
෦
13 = − sin 12 + cos 13 = 0
且 ෦
另外，它们满足相同的运动方程，（因运动方程由两个基本
形式所惟一确定），由一阶偏微分方程组关于初值问题解的
惟一性知结论成立.
定理4.2. 如 Γ ，ℎ ， 满足 Gauss-Codazzi 方程，
第四篇微分方程建模习题答案
第十四章习题1．(1) 设t 时刻氨氮的浓度为()N t ，日降解系数为k ，则氨氮浓度随时间变化所满足的微分方程如下：0(0)dNk N dt N N ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，其中0N 表示0时刻的氨氮浓度。
(2) 研究该河段氨氮浓度随时间变化的规律：(0)0.41,(9.6451)0.06dNk N dt N N ⎧=-⎪⎨⎪==⎩ 解得0ln ln N N k t -=-，带入边界条件(0)0.41,(9.6451)0.06N N ==得1993.0=k 。
从而该河段氨氮浓度随时间的变化规律为0.1993dNN dt=- 注：由于平均水流速度s m /6.0，每天水流路程m 518402436006.0=⨯⨯，流经km 500需耗时9.6451天。
(3)如果氨氮降解系数的自然值是0.3，则你计算的降解系数值是高了还是低了？这说明了什么问题？从(2)中计算出的降解系数可以看出，其值0.1993比自然值0.3低了，说明在该河段(从湖南岳阳城陵矶到江西九江河西水厂)还有其它的排污点，这就为进一步的治理提供了理论上的依据。
2．设t 时刻该湖泊含染物A 为()W t ，则在时间间隔[,]t t dt +内，有：进污染物A 量： 001326m m V dt dt V ⨯⨯⨯= 出污染物A 量： ()()33W t V W t dt dt V ⨯⨯= 得含污染物A 量的微元为：0()()63m W t dW t dt dt =- 即 0()()36m dW t W t dt =-+ 外加初始条件0(0)5W m = 解该一阶线性初始问题得：10039()22t m m W t e -=+ 要使得该湖泊含污染物A 的量不超过0m ，则需10030922t m m e m -+≤解得，6ln3 6.5916t ≥≈(年)。
3．若每分钟通入3V m 的新鲜空气且排出的量相同，设t 时刻化工车间2CO 的含量为()%C t 则在时间间隔[,]t t dt +内进2CO 的量： 0.040.04V dt Vdt ⨯⨯= 出2CO 的量： ()()V C t dt VC t dt ⨯⨯= 得2CO 含量的方程为()0.04()1080010800(0)0.12dC t V V C t dtC ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩ 解该一阶线性初值问题得10800()0.040.08V tC t e-=+使得在10分钟之后使车间内2CO 的含量不超过0.06%，即10800.060.040.08V e-≥+从而，得2160ln21497.2V ≥≈(3m ) 即：每分钟应通入1497.23m 新鲜空气。
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微分方程练习题及答案
1、已知微分方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--05303y x dt
dy y x dt dx （1）利用matlab 软件求此方程组在初始条件1|,2|11====t t y x 下的特 解，并画出解函数()y f x =的图形。
（2）利用matlab 软件分别用 ode23、ode45 求微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为[0,3]t ∈，并作图来比较两种求解器之间的差异。
2、已知微分方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++03023y x dt
dy y x dt dx （1）利用matlab 软件求此方程组在初始条件2|,1|00====t t y x 下的特 解，并画出解函数()y f x =的图形。
（2）利用matlab 软件分别用 ode23、ode45 求微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为[0,2]t ∈，并作图来比较两种求解器之间的差异。
1、参考答案：
（1）程序代码：
syms x y t
[x,y]=dsolve('Dx-x-3*y=0','Dy-3*x+5*y=0','x(1)=2','y(1)=1','t') ezplot(x,y,[0,3]);
（2）程序代码：
M函数文件verderpol.m:
function xprime=verderpol(t,x)
xprime=[x(1)+3*x(2); 3*x(1)-5*x(2)];
在程序中调用此函数：
clear;
y0=[2;1];
[t,x]=ode45('verderpol',[0,3],y0); plot(x(:,1),x(:,2),'r-'); hold on
clear;
y0=[2;1];
[t,x]=ode23('verderpol',[0,3],y0); plot(x(:,1),x(:,2),'b-');
2、参考答案：
（1）程序代码：
syms x y t
[x,y]=dsolve('Dx+3*x+2*y=0','Dy+x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=2','t') ezplot(x,y,[0,2]);
（2）程序代码：
M函数文件verderpol.m:
function xprime=verderpol(t,x)
xprime=[-3*x(1)-2*x(2); 3*x(2)-x(1)];
在程序中调用此函数：
clear;
y0=[1;2];
[t,x]=ode45('verderpol',[0,2],y0); plot(x(:,1),x(:,2),'r-'); hold on
clear;
y0=[1;2];
[t,x]=ode23('verderpol',[0,2],y0); plot(x(:,1),x(:,2),'b-');。