Koch曲线

Koch曲线

koch曲线

科赫曲线(de:Koch-Kurve)

Koch曲线是一个数学曲线，同时也是早期被描述的一种分形曲线。它由瑞典数学家Helge von Koch在1904年发表的一篇题为“从初等几何构造的一条没有切线的连续曲线”（原来的法文题目："Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire"）的论文中提出。有一种Koch曲线是象雪花一样，被称为Koch雪花（或Koch星），它是由三条Koch曲线围成的等边三角形。

设想从一个线段开始，根据下列规则构造一个Koch曲线：

1．三等分一条线段；

2．用一个等边三角形替代第一步划分三等分的中间部分；

3．在每一条直线上，重复第二步。

Koch曲线是以上步骤地无限重复的极限结果。

Koch曲线的长度为无穷大，因为以上的变换都是一条线段变四条线段，每一条线段的长度是上一级的1/3，因此操作n步的总长度是(4/3)n：若n→∞，则总长度趋于无穷。Koch曲线的分形维数是log 4/log 3 ≈ 1.26，其维数大于线的维数（1），小于Peano填充曲线的维数（2）。

Koch曲线是连续的，但是处处不可导的。

Koch雪花的面积是2* √3 * s²/5 ，这里的s是最初三角形的边长，Koc h雪花的面积是原三角形面积的8/5，它成为一条无限长的边界围绕着一个有限的面积的几何对象。