离散数学 第12讲 布尔表达式范例
离散数学格与布尔代数
(a∨b)∨c≤a∨(b∨c)
根据(gēnjù)偏序关系的反对称性有 (a∨b)∨c＝a∨(b∨c)
由对偶原理，(a∧b)∧c＝a∧(b∧c)得证。
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定理(dìnglǐ)11.1
(3)显然(xiǎnrán)a≤a∨a,
又由a≤a可得 a∨a≤a。
根据反对称性有 a∨a＝a，
由对偶原理，a∧a＝a 得证。
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格的性质(xìngzhì)
定理(dìnglǐ)11.3 设L是格，则 a,b∈L 有 a≤b a∧b＝a a∨b＝b
证明 先证 a≤b a∧b＝a 由a≤a和a≤b可知，a是{a,b}的下界， 故a≤a∧b。显然又有a∧b≤a。 由反对称性得a∧b＝a。 再证 a∧b＝a a∨b＝b。 根据吸收律有 b＝b∨(b∧a) 由a∧b＝a得 b＝b∨a, 即a∨b＝b。 最后证a∨b＝b a≤b。 由a≤a∨b得 a≤a∨b＝b。
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例11.3
例11.3 设G是群，L(G)是G的所有子群的集合。即 L(G)＝{ H|H≤G }
对任意的H1,H2∈L(G)，H1∩H2也是G的子群，而<H1∪H2>是由 H1∪H2生成的子群（即包含着H1∪H2的最小的子群）。 在L(G)上定义包含关系 ，则L(G)关于包含关系构成一个格， 称为(chēnɡ wéi)G的子群格。 易见在L(G)中，H1∧H2就是H1∩H2，H1∨H2就是<H1∪H2>。
由于{a,b}＝{b,a}，所以a∨b＝b∨a。
由对偶原理，a∧b＝b∧a得证。
(2)由最小上界的定义有
(a∨b)∨c≥a∨b≥a
(13.1)
(a∨b)∨c≥a∨b≥b
(13.2)
(a∨b)∨c≥c
离散数学重要公式定理汇总分解
离散数学重要公式定理汇总分解离散数学是计算机科学领域中的一门基础课程，它主要研究离散结构和离散对象之间的关系。
离散数学中有许多重要的公式和定理，这些公式和定理在计算机科学和其他领域中有广泛的应用。
下面是对离散数学中一些重要的公式和定理的汇总。
1.集合：-幂集公式：一个集合的幂集是所有它子集的集合。
一个集合有n个元素，那么它的幂集有2^n个元素。
-集合的并、交、差运算规则：并集运算满足交换律、结合律和分配律；交集运算也满足交换律、结合律和分配律；差集运算不满足交换律和结合律。
2.逻辑：-代数运算规则：多个逻辑表达式的与、或、非运算满足交换律、结合律和分配律。
-归结原理：对于一个给定的只包含“合取”和“析取”的合式公式集合，如果假设集合中的每个合式公式都为真，以及从这些前提出发，不能推导出这个集合中的一个假命题，则称这个假设集合是不一致的。
3.图论：-图的欧拉路径和欧拉回路：对于一个连通的图，如果它存在欧拉路径，那么这个图中最多只有两个度数为奇数的节点；如果一个连通的图存在欧拉回路，那么所有节点的度数都是偶数。
-图的哈密顿路径和哈密顿回路：对于一个图，如果它存在哈密顿路径，那么这个图中任意两个不相邻的节点u和v之间必然存在一条边；如果一个图存在哈密顿回路，那么从任意一个节点开始，可以经过图中的所有节点且最后回到起点。
4.代数结构：-子群定理：如果G是群H的一个子集，并且G是关于群H的运算封闭的，那么G是H的一个子群。
- 同态定理：如果f是从群G到群H的一个满射同态，那么G的核ker(f)是G的一个正规子群，而H是G/ker(f)的同构像。
5.排列组合：-排列公式：从n个元素中取出m个元素进行排列，有P(n,m)=n!/(n-m)!-组合公式：从n个元素中取出m个元素进行组合，有C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)以上只是离散数学中一小部分重要的公式和定理，这些公式和定理在计算机科学、密码学、图形学等领域中有广泛的应用。
离散数学课件13.4布尔代数
有限布尔代数的表示定理
定理13.11 若B是有限布尔代数,则 B含有2n个元(n∈N), 并且B与<P(S),∩,∪,~,,S>同构, 其中S是一个n元集合.
举例
格S12,gcd.lcm是布尔代数吗? 解: S12={1,2,3,4,6,12}的元素个数6, 不是2的整数幂, 故不是布尔代数. 不难看出2没有补元,因为 2∨x=lcm(2,x)=12当且仅当 x=12, 而12的补元是1而不是2.
例
集合代数<P(S),∩,∪,~,,S>是 布尔代数.
开关代数<{0,1},∧,∨,￢,0,1>是 布尔代数,其中∧为与运算,∨为或 运算, ￢为非运算.
布尔代数有以下性质.
定埋13.10 设<B,∧,∨,',0,1>是布尔代数, 则有:
a∈B,(a’)’＝a(双重否定律), a,b∈B, (a∨b)'=a'∧b'
布尔格、布尔代数
定义13.12 如果格<L,∧,∨,0,1>是有 补分配格,则称L为布尔格,也叫做布 尔代数. 由于布尔代数L中的每个元都有唯一 的补元,求补运算也可以看成是L中的 一元运算. 因此,布尔代数L可记为<L,∧,∨,',0,1>, 其中'表示求补运算.
布尔代数的等价定义
定义13.13(公理化定义): 有两个二元运算的代 数B,*, 称为布尔代数,如果对任意元素 a,b,cB,成立
•此类布尔表达式可用带3个基本元件的电路来实 现.3个基本元件是:
①反相器
x
x’
②与门
x xy
y
③或门
x xy
y
实例之一
•实例1: 三人委员会表决某个提案,如有两张赞 成票即获通过,实现上述过程的表决机器的控制 电路如下图所示:
离散数学格与布尔代数
§7.1 格
例 < P(S) ， >是格 表示为<P(S), , * > 又可表示为< P(S) ,∪,∩>
例 <Z+,≤>,或 <Z+,|> <Z+, , * > <Z+, LCM,GCD>
§7.2 格——代数系统
格〈L，≤〉中自然存在两个运算 和 * ，从而 派生出一个代数系统〈L，，*〉
6
<S15,|>,
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10
15
3
5
1
§7.1 格
例 判断图中的哈斯图表示的偏序集是否构成格,说明为什么。
d c
b a
(a)
e d
c b
a (b)
f
d
e
d
e
c
b
c
a (c)
a
b
(d)
e
c
d
a
b
(e)
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§7.1 格
例 设Z+为正整数集合，对于a,b Z+，关系“≤”定义为： a≤b当 且仅当a整除b。则偏序集<Z+,≤>构成格，
并、交 运算的性质
定理１ 设〈L，≤〉是一个格，并运算与交运算 * 满足 如下性质：
L1 a a ＝ a
a*a＝a
（幂等律）
L2 a b ＝ b a a * b ＝ b * a （交换律）
L3 （a b） c ＝ a （b c）
离散数学基本公式
离散数学基本公式离散数学是数学的一个重要分支，它主要研究的是非连续的、分离的对象，如集合、图论、数论、逻辑等。
在这些领域中，一些基本的公式和定理是理解和应用离散数学的关键。
以下是一些离散数学的基本公式：1、德摩根定律德摩根定律是布尔代数中的基本公式之一，它表示对于任何逻辑运算，如果我们把所有的否命题和原命题结合在一起，我们就会得到一个恒等式。
用符号表示为：P ∧ Q) ∨(¬P ∧¬Q) ≡ P ∨ QP ∨ Q) ∧(¬P ∨¬Q) ≡ P ∧ Q2.集合论中的互补律在集合论中，互补律表示对于任何集合A和它的补集A'，我们有：A ∪ A' = U,其中U是全集A ∩ A' = ∅,其中∅表示空集3.图论中的欧拉公式欧拉公式是图论中的一个基本公式，它表示对于一个连通无向图G，其顶点数v、边数e和欧拉数euler(G)之间有以下关系：euler(G) = v + e - 2其中euler(G)是图G的欧拉数，v是图G的顶点数，e是图G的边数。
这个公式在计算图的欧拉数或者判断一个图是否连通等方面都有重要应用。
4.数论中的费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它表示对于任何正整数n，如果它是质数p的幂次方，那么我们可以找到一个整数x，使得x的n 次方等于1（模p）。
用数学语言表示为：x^n ≡ x (mod p)其中n是正整数，p是质数，x是整数。
这个定理在密码学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
5.逻辑中的排中律和反证法排中律是指对于任何命题P，P或非P必定有一个是真命题。
反证法则是通过假设相反的命题成立来证明原命题的一种方法。
在证明过程中，如果假设的相反命题成立会导致矛盾，那么原命题就一定是正确的。
这些公式和定理只是离散数学中的一小部分，但它们是理解和应用离散数学的基础。
在学习的过程中，我们还需要掌握更多的公式和定理，以及它们的应用方法。
离散数学公式范文
离散数学公式范文离散数学是一门关于离散结构及其运算规则的数学课程。
它研究的对象包括离散对象（如集合、图、函数等）和离散运算（如关系、代数运算等），以及这些对象和运算之间的关系和性质。
离散数学具有广泛的应用领域，如计算机科学、信息技术、电子通信等。
本文将介绍一些离散数学中常用的公式及其应用。
一、集合公式1.交集运算：对于集合A和B，它们的交集记作A∩B，定义为A和B 中都包含的元素所组成的集合。
A∩B={x，x∈A且x∈B}2.并集运算：对于集合A和B，它们的并集记作A∪B，定义为A和B 中所有元素所组成的集合。
A∪B={x，x∈A或x∈B}3.差集运算：对于集合A和B，它们的差集记作A-B，定义为属于A 但不属于B的元素所组成的集合。
A-B={x，x∈A且x∉B}4.对称差运算：对于集合A和B，它们的对称差记作A△B，定义为属于A或属于B但不同时属于A和B的元素所组成的集合。
A△B={x，(x∈A且x∉B)或(x∉A且x∈B)}二、数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，用于证明一类命题对于所有正整数成立。
它的基本思想是通过证明基本情况成立，然后证明如果对于一些正整数n成立，则对于n+1也成立，从而得出结论对于所有正整数成立。
数学归纳法的三个步骤：1.基础步骤：证明当n取最小值时命题成立。
2.归纳假设：假设当n=k时命题成立，即P(k)成立。
3.归纳步骤：证明当n=k+1时命题也成立，即P(k+1)成立。
三、逻辑公式逻辑公式是描述命题之间关系的数学表达式。
常用的逻辑公式有如下几种：1.否定：对于命题p，它的否定记为¬p，表示p是假的。
2.合取：对于命题p和q，它们的合取记为p∧q，表示p和q同时为真时整个表达式才为真。
3.析取：对于命题p和q，它们的析取记为p∨q，表示p和q至少有一个为真时整个表达式才为真。
4.蕴含：对于命题p和q，它们的蕴含记为p→q，表示如果p为真，则q也为真；如果p为假，则整个表达式为真。
离散数学符号表
《离散数学》符号表∀ 全称量词（任意量词）∃ 存在量词├ 断定符（公式在L 中可证）╞ 满足符（公式在E 上有效，公式在E 上可满足） ┐ 命题的“非”运算∧ 命题的“合取”（“与”）运算∨ 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算 → 命题的“条件”运算↔ 命题的“双条件”运算的B A ⇔ 命题A 与B 等价关系B A ⇒ 命题A 与B 的蕴涵关系*A 公式A 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当V 命题的“不可兼或”运算（ “异或门” ） ↑ 命题的“与非” 运算（ “与非门” ） ↓ 命题的“或非”运算（ “或非门” ） □ 模态词“必然”◇ 模态词“可能”φ 空集∈ 属于（∉不属于）A μ（·） 集合A 的特征函数P （A ） 集合A 的幂集A 集合A 的点数n A A A ⨯⨯⨯ （nA ） 集合A 的笛卡儿积R R R =2 )(1R R R n n -= 关系R 的“复合”0ℵ 阿列夫零ℵ 阿列夫⊇ 包含⊃ 真包含∪ 集合的并运算∩集合的交运算 - （～）集合的差运算 ⊕集合的对称差运算 m + m同余加 m ⨯ m同余乘 〡限制 R x ][集合关于关系R 的等价类 A /R集合A 上关于R 的商集 )(A R π集合A 关于关系R 的划分 )(A R π集合A 关于划分π的关系 ][a元素a 产生的循环群 R a ][元素a 形成的R 等价类 r C由相容关系r 产生的最大相容类 I环，理想 )/(n Z模n 的同余类集合 )(mod k b a ≡a 与b 模k 相等 )(R r关系R 的自反闭包 )(R s关系R 的对称闭包 +R ，)(R t关系R 的传递闭包 *R ，)(R rt关系R 的自反、传递闭包.i H 矩阵H 的第i 个行向量j H . 矩阵H 的第j 个列向量CP 命题演绎的定理（CP 规则）EG 存在推广规则（存在量词引入规则）ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则） UG 全称推广规则（全称量词引入规则） US 全称特指规则（全称量词消去规则） A I ，0R 恒等关系A 集合A 的补集X X 所有X 到自身的映射X Y 所有从集合X 到集合Y 的函数)(][A A K 集合A 的势（基数）R 关系r 相容关系 R 否关系R 补关系1-R （c R ） 逆关系S R 关系R 与关系S 的复合n nR R R R ,关系R 的n 次幂 r r B B B 222,⨯⨯ 布尔代数2B 的r 次幂r B 2 含有r 2个元素的布尔代数domf 函数f 的定义域（前域）ranf 函数f 的值域Y X f →： （Y X f −→−） f 是X 到Y 的函数),(y x GCD y x ,最大公约数),(y x LCM y x ,的最小公倍数 e 幺元θ 零元1-a 元素a 的逆元)(Ha aH H 关于a 的左（右）陪集 )(f Ker 同态映射f 的核（或称f 的同态核） A ，B ，C 合式公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n 二项式系数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p n n n n ,,,21 多项式系数[1，n] 1到n 的整数集合)1()1(][+--=k x x x x k)1()1(][-++=k x x x x kk n C 组合数),(v u d 点u 与点v 间的距离 )(v d 点v 的度数)(v d + 点v 的出度)(v d - 点v 的入度),(E V G = 点集为V ，边集为E 的图 G 图G 的补图G G '≅ 图G 与图G '同构*G 平面图G 的对偶图 W(G) 图G 的连通分支数 )(G κ 图G 的点连通度)(G λ 图G 的边连通度)(G δ 图G 的最小点度)(G ∆ 图G 的最大点度 A(G) 图G 的邻接矩阵 P(G) 图G 的可达矩阵 M(G) 图G 的关联矩阵 n K n 阶完全图m n K , 完全二分图C 复数集N 自然数集（包含0在内） +N 正自然数集P 素数集Q 有理数集+Q 正有理数集-Q 负有理数集R 实数集Z 整数集m Z ]}[,,]2[,]1{[m Set 集范畴Top 拓扑空间范畴Ab 交换群范畴Grp 群范畴Mon 单元半群范畴Ring 有单位元的（结合）环范畴 Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环R 的左模范畴 mod-R 环R 的右模范畴 Field 域范畴Poset 偏序集范畴。
离散数学-格和布尔代数
的次序图如下
-1 的次序图如下
6 2 1 3 2
1 3 6
若 < L; > 是一个偏序集，则对于任意元素 l1, l2, l3 L，有以 下六个关系式成立： l1 l1 若 l1 l2，l2 l1，则 l1 = l2 若 l1 l2，l2 l3，则 l1 l3 l1 l1 若 l1 l2，l2 l1，则 l1 = l2 (7-1) (7-2) (7-3) (7-1) (7-2)
60以上说明与格一样布尔代数也是一个代数系统该代数系统可取交换律分配律同一律和互补律作为公二元运算是一元运算若这些运算满足交换律分配律同一律和互补律则称称作集合代数它是一个布尔代数
第二部分 抽象代数
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第七章
格和布尔代数
格是 Birkhoff (1884 - 1944) 在 20 世纪 30 年代提出的，格的提出 以子集为背景。 历史上最初出现的格是英国数学家 George Boole 于 1854 年提出 的，是他在研究命题演算中发现的，通常称为布尔格或布尔代 数。 格和布尔代数的理论成为计算机硬件设计和通讯系统设计中的 重要工具。格论是计算机语言的指称语义的理论基础。格是一 种特殊的偏序集，也可以看作是有两个二元运算的代数系统， 布尔代数是一种特殊的格。在保密学、开关理论、计算机理论 和逻辑设计以及其他一些科学和工程领域中，都直接应用了格 与布尔代数。 1
7.2 格及其性质
一、格的定义
定义7-5 设 < L; > 是一个偏序集，如果 L 中任意两个元素都 存在着最大下界和最小上界，则称 < L; > 是格。 由于每对元素的最大下界和最小上界唯一，故引入记号： l1 l2 = glb(l1, l2)，l1 l2 = lub(l1, l2)， 其中 和 均可看作是集合 L 上的二元运算，分别称为交和并。 注：若 < L; > 是一个格，则意味着 < L; > 也是一个形为 < L; , > 的代数系统，其中 和 是 L 上的两个二元运算， 对于任意 l1, l2 L，l1 l2 表示在偏序 “ ” 意义下，l1 和 l2 的最小上界，l1 l2 表示 l1 和 l2 的最大下界。
离散数学布尔代数
一个非零元素b，至少存在一个原子a，使得a ≤ b。 1
证明：若b本身就是一个原子，则b ≤ b，得证。c
df
若b不是原子，肯定存在b1，使得0 ≤ b1 ≤ b， a
be
若b1是原子，则定理得证；
0
否则，若b1不是原子，则必存在b2，使得0 ≤ b2 ≤ b1 ≤ b
∵<A, ≤>是一个有全下界的有限格，
定理1：对于布尔代数中任意两个元素 a, b，必定有
(1) ( a ) = a， (2) a∨b = a∧b ， (3) a∧b = a∨b
3
❖ 布尔代数
定义3：设<A,∨1,∧1, - > 和<B,∨2,∧2, ~ >是两个布尔代数， 如果存在A到B的双射 f，对于a,bA，有
f (a∨1b) = f (a) ∨2 f (b)
2、对a,bA，有 f (a∧b) = f (a)∩f (b)
9
❖ 格与布尔代数
定理3 ( Stone表示定理 ) ：
设<A,∨,∧, - >是由有限布尔格<A, ≤>所诱导的一个有 限布尔代数，S是布尔格<A, ≤>中的所有原子的集合，则 < A,∨,∧, - >< P(S),∪,∩, ~ >同构。 分析：要证两个代数系统同构，分为以下几步：
1、找一个双射函数 f: A P(S)
∴a ≤ c ，又∵a ≤ c， ∴a ≤ c ∧ c，即 a ≤ 0，
这与a是原子相矛盾， ∴假设错
∴b ∧ c = 0，由引理1得： b≤c ∴b=c，即：b= a1∨a2∨... ∨ak
7
❖ 格与布尔代数
证明(2)：设b的另一种表示形式为 b = aj1∨aj2∨... ∨ajt 其中aj1,aj2,……,ajt是A中原子。∵b是 aj1,aj2,……,ajt 的最小上界， ∴有aj1≤b, aj2≤b,…,ajt≤b，而a1,a2,……,ak是A中满足 a j ≤b的所有原子， {aj1,aj2,…,ajt}是{a1,a2,…,ak}的子集，即 |{aj1,aj2,…,ajt}|<=|{a1,a2,…,ak}|， 即：t ≤ k。(下面证 t < k 是不可能的)
离散数学部分概念和公式总结 精简版
第一章命题逻辑一、等价公式(真值表)1)常用联结词：┐否定∨析取∧合取→：条件∆：双条件当且仅当Q 取值为F 时P →Q 为F ，否则为T ★等价公式表(等值公式表)常用的其它真值表┐┐P<=>P 双重否定P ∨P<=>P P ∧P<=>P幂等律(P ∧Q)∧R<=>P ∧(Q ∧R)(P ∨Q)∨R<=>P ∨(Q ∨R)结合律P ∧Q<=>Q ∧P P ∨Q<=>Q ∨P交换律P ∧(Q ∨R)<=>(P ∧Q)∨(P ∧R)P ∨(Q ∧R)<=>(P ∨Q)∧(P ∨R)分配律P ∨(P ∧Q)<=>P P ∧(P ∨Q)<=>P 吸收┐(P ∧Q)<=>┐P ∨┐Q ┐(P ∨Q)<=>┐P ∧┐Q 德摩根P ∨F<=>P P ∧T<=>P 同一律P ∨T<=>T P ∧F<=>F 零律P ∨┐P<=>T P ∧┐P<=>F否定律常用的其它真值表P ┐P T F FTP Q P ∨Q T T T T F T F T T FFFP Q P ∧Q T T T T F F F T F F FFP Q P →Q (┐P ∨Q)T T T T F F F T T FFTP→Q<=>┐P ∨Q P ∆Q<=>(P→Q)∧(Q→P)P ∆Q<=>Q ∆PP ∆Q<=>(P ∧Q)∨(┐P ∧┐Q)┐(P ∆Q)<=>P ∆┐Q R ∨(P ∨┐P)<=>T R ∧(P ∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→┐P ┐(P→Q)<=>P ∧┐Q (P→Q)∧(P→┐Q)<=>┐P P→(Q→R)<=>(P ∧Q)→R (P ∆Q)∆R<=>P ∆(Q ∆R)命题公式的类型：(1)若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
离散数学格与布尔代数
证明：⑴ 因 a≤a∨b，a≤a∨c 所以 a ≤(a∨b)∧(a∨c)
又因 b∧c≤b≤ a∨b，b∧c≤c≤ a∨c
所以 b∧c ≤(a∨b)∧(a∨c)
于是有 a∨(b∧c) ≤(a∨b)∧(a∨c) 。
由对偶原理得 a∧(b∨c)≥ (a∧b)∨(a∧c) 。
即 (a∧b)∨(a∧c)≤ a∧(b∨c) 。
第二页，共87页
7-1 格 (Lattice)
一 . 基本概念
1. 格的定义
<A,≤>是偏序集，如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最大
下界和最小上界，则称<A,≤>是格。
右图的三个偏 序集， <A,≤>不是格， 因为{24,36} 无最小上界。
<B,≤><C,≤>
。 。 24
36
。 30
2。
。 12 6。
离散数学格与布尔代数
第一页，共87页
2.B的最小元与最大元 y是B的最小元y∈B∧x(x∈By≤x) y是B的最大元y∈B∧x(x∈Bx≤y) {2,3,6}的最小元:无 最大元: 6 B如果有最小元(最大元), 则是唯一的。 3.B的下界与上界
。 。 24
36
。 12
６。 ２。 ３。
１。
y是B的下界y∈A∧x(x∈By≤x)
a∧1b=a f(a∧1b)=f(a) 即 f(a)∧2f(b)=f(a) 而 f(a)∧2f(b) ≤2f(b) 所以 f(a)≤2f(b). 3. 格同构的保序性 定理：设两个格为<A1,≤1>和<A2, ≤2> ，f是A1到A2的双射，则f是
<A1,≤1> 到<A2, ≤2>的格同构，当且仅当 对任意a,b∈A1，a≤1b f (a)≤2f(b) 证明：令<A1,∨1,∧1>和 <A2,∨2,∧2>是格<A1,≤1> 和 <A2, ≤2>诱导的代数系统，
离散数学重要公式定理汇总.
⑺吸收律 对任何集合A、B，有 A∪(A∩B)=A A∩(A∪B) =A
证明: A∪(A∩B) = (A∩E)∪(A∩B) = A∩(E∪B) = A∩E=A (同一) (分配) (零律) (同一)
⑻ AB A∪B=B
差集的性质
设A、B、C是任意集合，则 ⑴ A-Φ=A ⑵ Φ-A=Φ ⑶ A-A=Φ ⑷ A-BA ⑸ AB A-B=Φ ⑹ (A-B)-C=(A-C)-(B-C) ⑺ A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C) ⑻ A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) ⑼ A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C) 注意：∪对- 是不可分配的，如A∪(A-B)=A 而(A∪A)-(A∪B)=Φ
⑴幂等律 对任何集合A，有A∩A=A。 ⑵交换律 对任何集合A、B，有A∩B=B∩A。 ⑶结合律 对任何集合A、B、C，有 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)。 ⑷同一律 对任何集合A，有A∩E=A。 ⑸零律 对任何集合A，有A∩Φ=Φ。 ⑹ AB A∩B=A。
交、并的性质 ⑴幂等律 对任何集合A，有A∪A=A。 ⑵交换律 对任何集合A、B，有A∪B=B∪A。 ⑶结合律 对任何集合A、B、C，有 (A∪B)∪C=A∪(B∪C)。 ⑷同一律 对任何集合A，有A∪Φ=A。 ⑸零律 对任何集合A，有A∪E =E 。 ⑹分配律 对任何集合A、B、C，有 A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。 A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。
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Formula
3.重要的重言蕴含式(如教材第43页所示) I1.P∧QP , I2. P∧QQ I3. PP∨Q I4. QP∨Q I5. PPQ I6. QPQ I7. (PQ)P I8. (PQ)Q I9. P,Q P∧Q I10. P∧(P∨Q)Q I11. P∧(PQ)Q I12. Q∧(PQ)P I13. (PQ)∧(QR)PR I14. (P∨Q)∧(PR)∧(QR)R I15. AB (A∨C)(B∨C) I16. AB (A∧C)(B∧C)
离散数学教程——的基本概念
离散数学教程——的基本概念离散数学是一门研究离散的、不连续的数学结构和对象的学科。
它涉及了数理逻辑、集合论、图论、代数、组合数学等多个领域，其基本概念构成了离散数学的基础，下面将介绍其中的几个重要概念。
1.集合：集合是离散数学中最基本的概念之一、集合是由一些对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合可以用大写字母表示，元素用小写字母表示，并用花括号括起来。
例如，{1,2,3}是一个包含了元素1、2和3的集合。
2.二元关系：二元关系是一种描述两个对象之间关系的数学概念。
通常用有序对来表示。
例如，对于集合A={1,2,3}和B={4,5,6}，我们可以定义一个二元关系R，其中每个有序对(x,y)表示x属于A，y属于B。
例如，(1,4)表示1和4之间存在这个关系。
3.图论：图论是研究图及其性质的数学分支。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的连接关系。
图可以分为有向图和无向图，有向图中边有方向，无向图中边没有方向。
图的顶点数和边数分别用，V，和，E，表示。
图的最短路径、连通性、最大流等是图论中常见的问题。
4.排列与组合：排列和组合是组合数学中的两个重要分支。
排列是指从n个元素中取出k个，按照一定顺序排列的方式。
组合是指从n个元素中取出k个，不考虑排列顺序的方式。
排列数和组合数可以用公式来计算，例如排列数的计算公式是P(n,k)=n!/(n-k)!，组合数的计算公式是C(n,k)=n!/((n-k)!*k!)。
5.布尔代数：布尔代数是对逻辑运算进行抽象和推广后所形成的一种代数系统。
它由逻辑与、或、非等运算符以及逻辑变量组成，可以表示和操作命题逻辑中的各种逻辑关系。
布尔代数在计算机科学中有广泛的应用，可以用于逻辑电路设计、布尔函数的表示与化简等。
以上是离散数学中的一些基本概念，这些概念在离散数学的理论研究和实际应用中起着重要作用。
离散数学的研究方法和思维方式与连续数学不同，强调离散结构的分析和推理，对于计算机科学、信息技术等领域的学习和研究都具有重要意义。
离散数学布尔代数
离散数学布尔代数离散数学（discrete mathematics）是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。
离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。
简介离散数学在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有著广为的应用领域，同时离散数学也就是计算机专业的专业课程，例如程序设计语言、数据结构、操作系统、编程技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的自学，不但可以掌控处置线性结构的叙述工具和方法，为时程课程的自学创造条件，而且可以提升抽象思维和严苛的逻辑推理能力，为将来参予创新性的研究和研发工作奠定稳固的基础。
发展随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的已连续数学占到主流的地位已经出现了变化，离散数学的重要性逐渐被人们重新认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广为地彰显在计算机科学技术及有关专业的诸领域，从科学计算至信息处理，从理论计算机科学至计算机应用技术，从计算机软件至计算机硬件，从人工智能至心智系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机就是一个线性结构，它就可以处置线性的或线性化后了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用领域密切相关的现代科学研究领域，都遭遇着如何对线性结构建立相应的数学模型；又如何将已用已连续数量关系创建出来的数学模型线性化，从而可以由计算机予以处置。
离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说道就是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的存有一个知名的典型例子-四色定理又称四色悖论，这就是世界近代三小数学难题之一，它就是在年，由英国的一名绘图员弗南西斯·格思里明确提出的，他在展开地图着色时，辨认出了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上时相同的颜色”。
离散数学公式
基本等值式1.双重否定律A ┐┐A2.幂等律 A A∨A, A A∧A3.交换律A∨B B∨A，A∧B B∧A4.结合律(A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)5.分配律A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）6.德·摩根律┐(A∨B) ┐A∧┐B ┐(A∧B) ┐A∨┐B7.吸收律A∨(A∧B) A，A∧(A∨B) A8.零律A∨1 1,A∧0 09.同一律A∨0 A，A∧1 A10.排中律A∨┐A 111.矛盾律A∧┐A 012.蕴涵等值式A→B ┐A∨B13.等价等值式AB (A→B)∧(B→A)14.假言易位A→B ┐B→┐A15.等价否定等值式AB ┐A┐B16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) ┐A求给定公式范式的步骤(1)消去联结词→、(若存在)。
(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。
(3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。
推理定律--重言蕴含式(1) A (A∨B) 附加律(2) (A∧B) A 化简律(3)(A→B)∧A B 假言推理(4) (A→B)∧┐B ┐A 拒取式(5) (A∨B)∧┐B A 析取三段论(6)(A→B) ∧(B→C) (A→C) 假言三段论(7)(AB) ∧(BC) (A C) 等价三段论(8)(A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D) 构造性二难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B 构造性二难(特殊形式)(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) (┐A∨┐C) 破坏性二难设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有（1）xA(x) A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)（2）xA(x) A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）┐xA(x) x┐A(x)（2）┐xA(x) x┐A(x)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则（1）x(A(x)∨B) xA(x)∨Bx(A(x)∧B) xA(x)∧B x(A(x)→B) xA(x)→B x(B →A(x)) B →xA(x) （2） x(A(x)∨B) xA(x)∨Bx(A(x)∧B) xA(x)∧B x(A(x)→B) xA(x)→Bx(B →A(x)) B →xA(x)设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x 的公式，则 （1）x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) （2）x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨ xB(x)全称量词“”对“∨”无分配律。
离散数学基本公式
离散数学基本公式离散数学是数学中的一个重要分支，主要研究离散对象及其关系的数学结构。
离散数学中有很多基本公式，下面将介绍一些常用的公式。
1.排列公式：排列是从一个集合中取出特定元素组成一定长度的有序排列。
对于n个不同元素中取r个元素排列的个数表示为P(n,r)，其计算公式为：P(n,r)=n!/(n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*12.组合公式：组合是从一个集合中取出特定元素组成一定长度的无序组合。
对于n个不同元素中取r个元素组合的个数表示为C(n,r)，其计算公式为：C(n,r)=n!/(r!*(n-r)!)3.二项式定理：二项式定理是将一个二次多项式展开为一系列项的求和，其公式为：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)*a^0*b^n4.递推公式：递推公式是通过前一项或前几项的值求得下一项的值。
在离散数学中，递推公式经常用来求解递归关系式。
例如，斐波那契数列的递推公式为：F(n)=F(n-1)+F(n-2)其中，F(n)表示斐波那契数列的第n项，F(0)=0，F(1)=15.布尔代数公式：布尔代数是离散数学中研究命题逻辑的一种代数结构。
布尔代数中有一些常见的公式，如德·摩根定律：¬(p∧q)=¬p∨¬q¬(p∨q)=¬p∧¬q其中，¬表示取非操作，∧表示逻辑与操作，∨表示逻辑或操作。
6.常用等式：在离散数学中，还有一些常用的等式，如：a+(a*b)=aa∨(a∧b)=aa∧(a∨b)=a这些等式在布尔代数、集合论等离散数学的领域中经常被使用。
7.容斥原理：容斥原理是离散数学中常用的一种求解集合问题的方法，其公式为：A1∪A2∪...∪An，=，A1，+，A2，+...+，An，-，A1∩A2，-，A1∩A3，-...+(-1)^(n+1)*，An-1∩An，+...+(-1)^(n+1)*，A1∩A2∩...∩A其中，A，表示集合A的元素个数。
布尔代数
任何有限布尔代数的基数为2n, n是自然数。
设B是有限代数系统，A是B中所有原子的集合。 则：B≅P(A), ∴|B|=|P(A)|=2|A|
等势的布尔代数系统均同构
设B1和B2是有限布尔代数，且|B1|=|B2|；A1,A2分别是相应 的原子的集合。由同构关系的传递性，只需证明： P(A1)≅P(A2)。
则称ϕ是B1到B2的同态映射。(若ϕ是双射，则是同构)
其实，上述3个等式不是独立的。
(2)+(3)⇒(1): ϕ(a∨b)=ϕ(((a∨b)')')= -ϕ((a∨b)')= -ϕ(a'∧ b')= -(ϕ(a')⋂ϕ(b'))= -(-ϕ(a)⋂-ϕ(b))=ϕ(a)⋃ϕ(b) 同理：(1)+(3)⇒(2)
有限布尔代数的表示定理的证明
ϕ: B → P(A), ∀x∈B, ϕ(x)=T(x)是同态映射。
ϕ(x∧y) = T(x∧y) = {b|b∈A, b≼x∧y} = {b|(b∈A, b≼x)且 (b∈A, b≼y)} = {b|b∈A,b≼x}⋂{b|b∈A,b≼y} = T(x)⋂T(y) = ϕ(x)⋂ϕ(y) 令x=a1 ∨ a2 ∨ … ∨ an , y=b1 ∨ b2 ∨ … ∨ bm 。 则x ∨ y= a1 ∨ … ∨ an ∨ b1 ∨ … ∨ bm , 显然：ϕ(x∨y) = T(x∨y) = T(x)⋃T(y) = ϕ(x) ⋃ ϕ(y) 设x'是x在B中的补元。注意： ϕ(x)⋃ϕ(x')=ϕ(x ∨ x')=ϕ(1)=A 且 ϕ(x)⋂ϕ(x')=ϕ(x ∧ x')=ϕ(0)=∅ ∴ϕ(x') = ∼ϕ(x)
§8.5 布 尔 代 数(离散数学)
(2) 设S2={，{a}，{b }，{a，b }，{a，b，c}}， 则S2在∩，∪下是ρ（S）的子格，但 （S2，∩，∪，ˉ，，S）不是布尔代数， 因此不是（ρ（S），∩，∪，ˉ，，S）的子代 数。显然，{a}，{b }，{a，b }在S2中没有余元 素。 (3)设S3={，{a}}，则 （S3，∩，∪，ˉ，，{a}）是布尔代数， 但不是（ρ （S），∩，∪，ˉ，，S）的子 代数，因为S3不含ρ （S）中的最大元素S。
极小元
定义. 设（B，· ，+，¯ ，0，1）是布尔代数。若 B中非零元素a有性质：对任意х∈B，a·х或者 为0，或者为a，则称a为布尔代数的极小元素。 结论3 若a，b为布尔代数中的两个不同的极小元 素，必有a· b=0。 证明：用反证法。若a，b为布尔代数中的两个不 同的极小元素，而a·b≠0，则一方面由a为极小 元素知，a· = a； 另一方面， 由b为极小元素 b 知，a· = b。于是，a=b，与a≠b矛盾。 b
再次，若a+b = a+c， a +b = a +c。则b = c。 事实上， （a+b）· a +b）= b+（a·a ） （ （由H2） = b+0 （由H4） =b （由H3） （a+c）· a +c）= c+（a·a ） （由H2） （ = c+0 （由H4） =c （由H3） 故 b = c。
于是有 ei = b+c =（α 1+β1）e1+…+（α n+βn）en 由基底的性质，则必有 α j+βj = 0 （j≠i， j = 1，…，n） α i+βi = 1 亦即： α j =βj= 0（j≠i， j=1，…，n）， α i = 1或者βi= 1。 若α i = 1，则b = ei，矛盾。 若βi= 1，则c = ei，即 b i= ei，所以 e 0 =（b b ）ei = b（ b ei）= bei = b 矛盾。所以ei是极小元素。
布尔型例子
布尔型例子
嘿，朋友！今天咱来聊聊布尔型例子。
你知道啥是布尔型不？嘿嘿，就好像灯的开关呀，要么开要么关，不是 0 就是 1，多简单直接！比如说，你今天吃没吃饭，就只有吃了和没吃这两种情况，这就是布尔型的体现呀！
还记得有一次我和小伙伴们玩游戏，游戏规则就是回答问题只能说“是”或“不是”，这可不就是典型的布尔型嘛！当时小丽问我：“你是不是偷偷藏了巧克力？”我大声说：“不是！”这感觉多有趣啊！
再好比说，手机的充电状态，要么在充电，要么没充电，这也是布尔型的。
我的手机有次电量特别低，我着急得不行，一直盯着看它到底充上电没，这不就是在关注那个布尔值嘛！
还有考试的时候，一道题你要么答对了，要么答错了，没有中间状态哦！有一次我考试，有道题我特别纠结，心里一直在纠结选“对”还是“错”，哎呀，那种感觉就好像在决定一个超级重要的布尔值一样。
你看，生活中好多地方都有布尔型的影子呢！它就像是一个神奇的标签，把事情清楚地分成两类。
所以说呀，布尔型可真是无处不在，时刻影响着我
们的生活呢！咱可不能小瞧它呀！这就是我的观点啦，布尔型虽然简单，但是却有着大大的作用！。
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数
平行地可讨论极大项和主合取范式:
定义8 给定n个布尔变元x1,x2,…,xn, 表达式
~x1 ~x2 ~xn
称为极大项。这里 ~xi 表示xi或 xi 两者之一。
显然,有2n个不同的极大项,
分别记为M0,
M1,
M2
,…,
M
2n
.
1
定义9 具有如下形式
(a0 M 0 ) (a1 M1)
一、布尔表达式
定义3 一个含有n个相异变元的布尔表达式,称为n元 布尔表达式, 记为E
(x1,x2,…,xn)或f (x1,x2,…,xn), 其中x1, x2,…, xn是式中可能 含有的布尔变元。
例2 我设<们{0约, a,定b,运1},算∨“, ∧∨,ˉ,”0,、1>是“布∧尔”代和数“,则ˉ”的优先级依
在实践上,如果能有限次应用布尔代数公式,将一个布尔表达式 化成另一个表达式,就可以判定这两个布尔表达式是等价的。
例4 在布尔代数<{0,1},∨,∧,ˉ>上的两个布尔表达式f1(x1, x2, x3)=(x1∨x2)∧(x1∨x3)和f2(x1, x2, x3)=x1∨(x2∧x3)是等价的。
二、布尔表达式主范式与布尔代 数
二、布尔表达式主范式与布尔代 数
例5 将布尔代数<{0, a, b, 1},∨,∧,ˉ, 0, 1>上的布尔表达式
f (x1, x2 ) (a x1) (x1 x2 ) (b x1 x2 )
化成主析取范式。
f (x1, x2 ) (a x1) (x1 x2 ) (b x1 x2 ) (a x1 x1) (a x1 x2 ) (b x1 x2 ) (a x1) (b x1 x2 ) (a x1 x2 ) (a x1 x2 ) (b x1 x2 ) (x1 x2 ) (a x1 x2 ) m3 (a m1)
离散数学（二）
1
布尔表达式
主要内容:
11 布尔表达式 2 布尔表达式主范式与布尔代数 3 布尔表达式与布尔代数的关系
重点和难点:
重点: 布尔表达式的定义 难点: 布尔表达式主范式
一、布尔表达式
问题的引入: 我们知道在布尔代数<B,∨,∧,ˉ>上, “∨”关于
“∧”是可分配 的, 所以
a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c) 是<B,∨,∧,ˉ>上的一个恒等式.
都是这个布尔代数上的布尔表达式。
一、布尔表达式
定义4 布尔代数<B,∨,∧,ˉ>上的布尔表达式f(x1,x2,…,xn)的值是 指:将B的元素作为变元xi(i=1,2,…,n)的值而代入表达式以后(即对 变元赋值),计算出来的表达式的值。
例3 (a) 取x1=a, x2=b,则例2中的f3的值是
f3=(1∧a)∨b=a∨b=1
三、布尔函数
布尔代数<B,∨,∧,ˉ, 0, 1>上的任一n元布尔表达式f(x1,x2,…,xn), 对n个变元的每一指派, 都可得到相应的表达式的值, 这值属于B。
所以, f(x1,x2,…,xn)可视为Bn到B的函数。但n个变元的主析取范式 (或主合取范式)最多只有 B 2n 个,所以,至多只能代表 B 2n个不同的函
定义7 具有如下形式
a0m0 a1m1 a2n m 1 2n 1
的布尔表达式称为主析取范式。这里mi是极小项,αi是布尔常元。 (i=0,1,2,…2n-1)。
二、布尔表达式主范式与布尔代 数
定义7中的主析取范式个数: 因为αi有|B|种取法,故不同的主析取
范式有 B 2n个。特别, B=｛0,1｝时有 22n 个。
(a 2
n
1
M
2n
1
)
的布尔表达式称为主合取范式。这里Mi是极大项, αi是布尔常元,
(i=0,1,2,…,2n-1) 。
任何一个n元布尔表达式都唯一地等价于一个主合取范式。2n 个极大项最多只能造出 B 2n个不同的主合取范式。所以,一个n元布 尔表达式必等价于这 B 2n个主合取范式之一。
那么如何判定<B,∨,∧,ˉ>上的两个表达式是恒 等式? <B,∨,∧,ˉ>
一、布尔表达式
设<B,∨,∧,ˉ>是一个布尔代数,现在考虑一个 从Bn到B的函数。 设B={0, 1}, 下表给出了一个从B3到B的函数f。
一、布尔表达式
设B={0,a,b,1}, 右 表给出
了一个从B2到B的 函数。
一、布尔表达式
三、布尔函数
定义10 设<B,∨,∧,ˉ, 0, 1>是一个布尔代数,一个从Bn到B的函数, 如果能够用该布尔代数上的n元布尔表达式表示,那么这个函数就 称为布尔函数.
小结: 本节重点介绍了布尔表达式、布尔表达式的主析取 范式、主合取范式及布尔函数的概念。
重点: 掌握布尔表达式的主析取范式、主合取范式的求法。
定义5给出的等价(或相等)关系将n元布尔代数表达式集合划分 成等价类,处于同一个等价类中的表达式都相互等价(或相等) 。可 以证明当|B|有限时,等价类数目是有限的。为此,我们考察以下定义。
定义6 给定n个布尔变元x1,x2,…,xn, 表达式
x%1 x%2 L x%n 称为极小项。这里~xi 表示xi或 xi 两者之一。
作业： P253 习题7.4 16
谢谢同学们!
17
下面我们试图用别的方法来描述函数,使之具有紧 凑的形式.为此先引 入布尔表达式的概念。 定义1 设<B,∨,∧,ˉ>是一个布尔代数,取值于B中元 素的变元称为布尔 变元; B中的元素称为布尔常元。 (3定)如义果2e1和设e2是<B布,尔∨表,∧达式,ˉ>,则是一个布尔代数,这个布尔代数 上的( e1 )布,(e1尔∨e表2),(达e1∧式e2)定也是布尔表达式; 义(如4) 有下限: 次应用规则1-3形成的字符串是布尔表达式。
数。从Bn到B的函数共有
B
B
n
个。现分情况讨论:
(1) B={0,1}时,从Bn到B的函数共有 22n 个, 主析取范式也有 22n个,恰
好每一主范式代表一个函数。所以,在B={0,1}时,每一函数均
可用布尔表达式表示.
(2) B≠{0,1}时,例如B={0,a,b,1}时,从Bn到B的函数共有 44n个,但主析 取范式仍只有 42n 个,所以,不是每一函数都可用布尔表达式表示。
(b) 设布尔代数<｛0,1｝,∨,∧,ˉ, 0, 1>上的表达式
f(x1,x2,x3)= (x1 x2) (x1 x2) (x2 x3) , 则
f (1,0,1)=(0∧1)∧(0∨1)∧(0 1) =0∧1∧0=0
一、布尔表达式
定 义 5 布 尔 代 数 <B,∨,∧,ˉ, 0, 1> 上 两 个 n 元 布 尔 表 达 式 f1(x1,x2,…,xn)和f2(x1,x2,…,xn),如果对n个变元的任意指派, f1和f2的值 均相等,则称这两个布尔表达式是等价的或相等的。记作 f1(x1,x2,…,xn)=f=”0∧, x
f3=(1∧x1)∨x2
“∨f”4= (。(a 这b)样 (一x1 来1, 布x2))尔 (表(x1达 x式2))中的某些圆括号可以
省f略5= (,(约a 定b) 类(x似1 于x2)) ((x1 x3))
命题f公6= 式x1 。(( x1 x2 ) x3 )
任何一个n元布尔表达式都唯一地等价于一个主析取范式。把 一个n元布尔表达式化成等价的主析取范式,主要应用德·摩根定 律等,其方法与“数理逻辑”中化成主析取范式的方法完全一致。
德·摩根定律 非(P 且 Q)＝(非 P)或(非 Q) 非(P 或 Q)＝(非 P)且(非 Q)
二、布尔表达式主范式与布尔代