离散数学 第12讲 布尔表达式范例

数
平行地可讨论极大项和主合取范式:
定义8 给定n个布尔变元x1,x2,…,xn, 表达式
~x1 ~x2 ~xn
称为极大项。这里 ~xi 表示xi或 xi 两者之一。
显然,有2n个不同的极大项,
分别记为M0,
M1,
M2
,…,
M
2n
.
1
定义9 具有如下形式
(a0 M 0 ) (a1 M1)
一、布尔表达式
定义3 一个含有n个相异变元的布尔表达式,称为n元 布尔表达式, 记为E
(x1,x2,…,xn)或f (x1,x2,…,xn), 其中x1, x2,…, xn是式中可能 含有的布尔变元。
例2 我设<们{0约, a,定b,运1},算∨“, ∧∨,ˉ,”0,、1>是“布∧尔”代和数“,则ˉ”的优先级依
在实践上,如果能有限次应用布尔代数公式,将一个布尔表达式 化成另一个表达式,就可以判定这两个布尔表达式是等价的。
例4 在布尔代数<{0,1},∨,∧,ˉ>上的两个布尔表达式f1(x1, x2, x3)=(x1∨x2)∧(x1∨x3)和f2(x1, x2, x3)=x1∨(x2∧x3)是等价的。
二、布尔表达式主范式与布尔代 数
二、布尔表达式主范式与布尔代 数
例5 将布尔代数<{0, a, b, 1},∨,∧,ˉ, 0, 1>上的布尔表达式
f (x1, x2 ) (a x1) (x1 x2 ) (b x1 x2 )
化成主析取范式。
f (x1, x2 ) (a x1) (x1 x2 ) (b x1 x2 ) (a x1 x1) (a x1 x2 ) (b x1 x2 ) (a x1) (b x1 x2 ) (a x1 x2 ) (a x1 x2 ) (b x1 x2 ) (x1 x2 ) (a x1 x2 ) m3 (a m1)
离散数学（二）
1
布尔表达式
主要内容:
11 布尔表达式 2 布尔表达式主范式与布尔代数 3 布尔表达式与布尔代数的关系
重点和难点:
重点: 布尔表达式的定义 难点: 布尔表达式主范式
一、布尔表达式
问题的引入: 我们知道在布尔代数<B,∨,∧,ˉ>上, “∨”关于
“∧”是可分配 的, 所以
a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c) 是<B,∨,∧,ˉ>上的一个恒等式.
都是这个布尔代数上的布尔表达式。
一、布尔表达式
定义4 布尔代数<B,∨,∧,ˉ>上的布尔表达式f(x1,x2,…,xn)的值是 指:将B的元素作为变元xi(i=1,2,…,n)的值而代入表达式以后(即对 变元赋值),计算出来的表达式的值。
例3 (a) 取x1=a, x2=b,则例2中的f3的值是
f3=(1∧a)∨b=a∨b=1
三、布尔函数
布尔代数<B,∨,∧,ˉ, 0, 1>上的任一n元布尔表达式f(x1,x2,…,xn), 对n个变元的每一指派, 都可得到相应的表达式的值, 这值属于B。
所以, f(x1,x2,…,xn)可视为Bn到B的函数。但n个变元的主析取范式 (或主合取范式)最多只有 B 2n 个,所以,至多只能代表 B 2n个不同的函
定义7 具有如下形式
a0m0 a1m1 a2n m 1 2n 1
的布尔表达式称为主析取范式。这里mi是极小项,αi是布尔常元。 (i=0,1,2,…2n-1)。
二、布尔表达式主范式与布尔代 数
定义7中的主析取范式个数: 因为αi有|B|种取法,故不同的主析取
范式有 B 2n个。特别, B=｛0,1｝时有 22n 个。

(a 2
n
1

M
2n
1
)
的布尔表达式称为主合取范式。这里Mi是极大项, αi是布尔常元,
(i=0,1,2,…,2n-1) 。
任何一个n元布尔表达式都唯一地等价于一个主合取范式。2n 个极大项最多只能造出 B 2n个不同的主合取范式。所以,一个n元布 尔表达式必等价于这 B 2n个主合取范式之一。
那么如何判定<B,∨,∧,ˉ>上的两个表达式是恒 等式? <B,∨,∧,ˉ>
一、布尔表达式
设<B,∨,∧,ˉ>是一个布尔代数,现在考虑一个 从Bn到B的函数。 设B={0, 1}, 下表给出了一个从B3到B的函数f。
一、布尔表达式
设B={0,a,b,1}, 右 表给出
了一个从B2到B的 函数。
一、布尔表达式
三、布尔函数
定义10 设<B,∨,∧,ˉ, 0, 1>是一个布尔代数,一个从Bn到B的函数, 如果能够用该布尔代数上的n元布尔表达式表示,那么这个函数就 称为布尔函数.
小结: 本节重点介绍了布尔表达式、布尔表达式的主析取 范式、主合取范式及布尔函数的概念。
重点: 掌握布尔表达式的主析取范式、主合取范式的求法。
定义5给出的等价(或相等)关系将n元布尔代数表达式集合划分 成等价类,处于同一个等价类中的表达式都相互等价(或相等) 。可 以证明当|B|有限时,等价类数目是有限的。为此,我们考察以下定义。
定义6 给定n个布尔变元x1,x2,…,xn, 表达式
x%1 x%2 L x%n 称为极小项。这里~xi 表示xi或 xi 两者之一。
作业： P253 习题7.4 16
谢谢同学们!
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下面我们试图用别的方法来描述函数,使之具有紧 凑的形式.为此先引 入布尔表达式的概念。 定义1 设<B,∨,∧,ˉ>是一个布尔代数,取值于B中元 素的变元称为布尔 变元; B中的元素称为布尔常元。 (3定)如义果2e1和设e2是<B布,尔∨表,∧达式,ˉ>,则是一个布尔代数,这个布尔代数 上的( e1 )布,(e1尔∨e表2),(达e1∧式e2)定也是布尔表达式; 义(如4) 有下限: 次应用规则1-3形成的字符串是布尔表达式。
数。从Bn到B的函数共有
B
B
n
个。现分情况讨论:
(1) B={0,1}时,从Bn到B的函数共有 22n 个, 主析取范式也有 22n个,恰
好每一主范式代表一个函数。所以,在B={0,1}时,每一函数均
可用布尔表达式表示.
(2) B≠{0,1}时,例如B={0,a,b,1}时,从Bn到B的函数共有 44n个,但主析 取范式仍只有 42n 个,所以,不是每一函数都可用布尔表达式表示。
(b) 设布尔代数<｛0,1｝,∨,∧,ˉ, 0, 1>上的表达式
f(x1,x2,x3)= (x1 x2) (x1 x2) (x2 x3) , 则
f (1,0,1)=(0∧1)∧(0∨1)∧(0 1) =0∧1∧0=0
一、布尔表达式
定 义 5 布 尔 代 数 <B,∨,∧,ˉ, 0, 1> 上 两 个 n 元 布 尔 表 达 式 f1(x1,x2,…,xn)和f2(x1,x2,…,xn),如果对n个变元的任意指派, f1和f2的值 均相等,则称这两个布尔表达式是等价的或相等的。记作 f1(x1,x2,…,xn)=f=”0∧, x
f3=(1∧x1)∨x2
“∨f”4= (。(a 这b)样 (一x1 来1, 布x2))尔 (表(x1达 x式2))中的某些圆括号可以
省f略5= (,(约a 定b) 类(x似1 于x2)) ((x1 x3))
命题f公6= 式x1 。(( x1 x2 ) x3 )
任何一个n元布尔表达式都唯一地等价于一个主析取范式。把 一个n元布尔表达式化成等价的主析取范式,主要应用德·摩根定 律等,其方法与“数理逻辑”中化成主析取范式的方法完全一致。
德·摩根定律 非(P 且 Q)＝(非 P)或(非 Q) 非(P 或 Q)＝(非 P)且(非 Q)
二、布尔表达式主范式与布尔代