经典抛物线压轴题
(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之角度关系处理(含解析)
中考数学抛物线压轴题之角度关系处理（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．2．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO＝∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB＝∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC＝∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B，与直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C，点D是抛物线的顶点，且横坐标为﹣2．（1）求出抛物线的解析式．（2）判断△ACD的形状，并说明理由．（3）直线AD交y轴于点F，在线段AD上是否存在一点P，使∠ADC＝∠PCF？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA＝∠DAC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF＝∠MFO时，请直接写出线段BM的长．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx与x轴交于点A，顶点B的坐标为（﹣2，﹣2）．（1）求a，b的值；（2）在y轴正半轴上取点C（0，4），在点A左侧抛物线上有一点P，连接PB交x轴于点D，连接CB交x 轴于点F，当CB平分∠DCO时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接PC，在PB上有一点E，连接EC，若∠ECB＝∠PDC，求点E的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c 经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．11．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．12．如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C．（1）求抛物线的表达式；（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；（3）在直线x＝﹣2上是否存在点M，使得∠MAC＝2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．14．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．17．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．18．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）动点D在线段BC下方的抛物线上．①连接AC、BC，过点D作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点F．过点F作FG⊥AC，垂足为G．设点D的横坐标为t，线段FG的长为d，用含t的代数式表示d；②过点D作DH⊥BC，垂足为H，连接CD．是否存在点D，使得△CDH中的一个角恰好等于∠ABC的2倍？如果存在，求出点D的横坐标；如果不存在，请说明理由．1．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可；（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y＝﹣x+1，设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC＝∠BAC＝45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a＝1，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1．（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：k＝﹣，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+1．设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1）∴PD＝（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）＝﹣x2+x，∴S△PBC＝OB•DP＝×3×（﹣x2+x）＝﹣x2+x．又∵S△PBC＝1，∴﹣x2+x＝1，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得：x＝1或x＝2，∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．（3）存在．∵A（﹣1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1∴∠BAC＝45°．∵∠BQC＝∠BAC＝45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2＝BC2，即2x2＝10，解得：x＝（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y＝﹣x，AB的垂直平分线为直线x＝1，∴点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，即M（1，﹣1），∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．2．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．【分析】（1）代入y＝c可求出点C、P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，进而可得出点P的坐标及抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标，过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，由点M的横坐标可得出点M、E的坐标，进而可得出ME的长度，再利用三角形的面积公式可找出S＝﹣（m﹣3）2+5，由m的取值范围结合二次函数的性质即可求出S的最大值及最小值；（3）分两种情况考虑：①当点M在线段OP上方时，由CP∥x轴利用平行线的性质可得出：当点C、M重合时，∠MPO＝∠POA，由此可找出点M的坐标；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA，设点D的坐标为（n，0），则DO＝n，DP＝，由DO＝DP 可求出n的值，进而可得出点D的坐标，由点P、D的坐标利用待定系数法即可求出直线PD的解析式，再联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M的坐标．综上此题得解．【解答】解：（1）当y＝c时，有c＝﹣x2+bx+c，解得：x1＝0，x2＝b，∴点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c）．∵直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），∴OB＝3，OA＝1，BC＝c﹣3，CP＝b．∵△PCB≌△BOA，∴BC＝OA，CP＝OB，∴b＝3，c＝4，∴点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）当y＝0时，有﹣x2+3x+4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴点F的坐标为（4，0）．过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示．∵点M的横坐标为m（0≤m≤4），∴点M的坐标为（m，﹣m2+3m+4），点E的坐标为（m，﹣3m+3），∴ME＝﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）＝﹣m2+6m+1，∴S＝S梯形OEMB﹣S△OEB﹣S△AEM＝OA•ME＝﹣m2+3m+＝﹣（m﹣3）2+5．∵﹣＜0，0≤m≤4，∴当m＝0时，S取最小值，最小值为；当m＝3时，S取最大值，最大值为5．（3）①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，∴当点C、M重合时，∠MPO＝∠POA，∴点M的坐标为（0，4）；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA．设点D的坐标为（n，0），则DO＝n，DP＝，∴n2＝（n﹣3）2+16，解得：n＝，∴点D的坐标为（，0）．设直线PD的解析式为y＝kx+a（k≠0），将P（3，4）、D（，0）代入y＝kx+a，，解得：，∴直线PD的解析式为y＝﹣x+．联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，．∴点M的坐标为（，）．综上所述：满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质求出b、c的值；（2）利用三角形的面积公式找出S＝﹣（m﹣3）2+5；（3）分点M在线段OP上方和点M在线段OP下方两种情况求出点M的坐标．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO＝∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；。
专题13 抛物线与压轴题(3) 备战2020年中考数学典例精做题集(学生版)
专题13. 抛物线与压轴题（3）五、抛物线与平行四边形15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与轴相交于A、B两点，与轴相交于点C，OA=1，OC=3，连接BC．（1）求b的值；（2）点D是直线BC上方抛物线一动点（点B、C除外），当△BCD的面积取得最大值时，在轴上是否存在一点P，使得|PB﹣PD|最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若在平面上存在点Q，使得以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q坐标．16．如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点B．点P是抛物线上的动点。
（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△BCP是以B C为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）当P运动到第一象限时，过P作直线PM平行y轴，交直线B C于点M。
①求线段PM长度的最大值②D为平面内任意一点，当线段PM最大时，是否存在以C、P、M、D为顶点的平行四边形。
若存在，直接写出所有符合条件的点D坐标.17．已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B 左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，是否存在以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC的值最小时，求△ABP的面积；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．六、抛物线与动点问题20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．点P、Q分别是AB、BC上的动点，当点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设P、Q同时运动的时间为t秒（0<t<2).（1）求抛物线的表达式；（2）设△PBQ的面积为S ，当t为何值时，△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？（3）在（2）的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；当点P移动到抛物线的什么位置时，使得，求出此时点P的坐标；当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止当两个动点移动t秒时，求四边形P AMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？七、抛物线与直线、线段的交点问题23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+4m+4（m≠0）的顶点为P．P，M两点关于原点O成中心对称．（1）求点P，M的坐标；（2）若该抛物线经过原点，求抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿x轴翻折，翻折后的图象在0≤x≤5的部分记为图象H，点N为抛物线对称轴上的一个动点，经过M，N的直线与图象H有两个公共点，结合图象求出点N的纵坐标n的取值范围．24．已知二次函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点．（Ⅰ）求k取值范围；（Ⅱ）当k取最小整数时，此二次函数的对称轴和顶点坐标；（Ⅲ）将（Ⅱ）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值．25．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点（1，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）把﹣4＜x＜1时的函数图象记为H，求此时函数y的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象H的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=x+b与图象M有三个公共点，求b的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2443y mx mx m =-++的顶点为A ．（1）求点A 的坐标；（2）将线段OA 沿x 轴向右平移2个单位得到线段O A ''．①直接写出点O '和A '的坐标；②若抛物线2443y mx mx m =-++与四边形AOO A ''有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．七、抛物线与整点问题27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线221(0)y mx mx m m =-+->与x 轴的交点为A,B.(1)求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。
中考数学与抛物线有关的中考压轴题
与抛物线有关的中考压轴题一、（2009江津市）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解析：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝……………………（2分） ∴23b c =-⎧⎨=⎩……………………（3分）∴抛物线解析式为：223y x x =--+…………………… (4分)(2)存在…………………………………………………………………………(5分) 理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称 ∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+ ∴C 的坐标为：(0，3)直线BC 解析式为：3y x =+……………………………………(6分)Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解∴12x y =-⎧⎨=⎩ABC∴Q(－1，2)…………………………………………………………………(7分)（3）答：存在。
…………………………………………………………………(8分)理由如下：设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<，∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ∆就最大，∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝……………………………………………(9分)11()22BE PE OE PE OC =⋅++ ＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++＝233927()2228x -+++当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝92728+∴BPC S ∆最大＝9279272828+-=………………………………………(10分) 当32x =-时，215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-，………………………………………(11分)二、（2009某某）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.解析：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （，得a =，因此2y =+ （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得因此直线AB 为y x =， 当x =－1时，y =， 因此点C 的坐标为（－1.（4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D . 2221()()213212PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎫=+-⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎫=+⎪⎝⎭当x =－12时，△PAB ，此时1,2P ⎛- ⎝⎭. 三 、（2007某某某某）．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2． （1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点 （与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值X 围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由． 解析（1）点B （2，0），点C （0，8），点A （－6，0），（2）抛物线的表达式为y ＝－23x 2－83x ＋8 ，（3）由EF AC ＝BE AB ，因为AC=2268+=10，BE=8-m ，AB=8.所以EF ＝40－5m4.作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG=sin ∠CAB=54108=.所以在Rt △EGF 中， FG ＝EF ·sin ∠FEG=45·40－5m4=8-m ，所以S ＝BFE BCE S S ∆∆-=()8821⨯-m -()()m m --8821=－12m 2＋4m ， m 的取值X 围是0＜m ＜8 （4）存在．因为S ＝－12m 2＋4m ，又a=21-<0，当m=ab2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-2124=4时，a4b ac 42-=最大S =8.因为m=4，所以点E 的坐标为（－2，0），△BCE 为等腰三角形．四（2006·某某市）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米.现以O 点为原点，OM 所在直线为X 轴建立直角坐标系（如图所示）. （1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和．．．．的最大值是多少？请你帮施工队计算一下.解:⑴()()12,0,6,6M P⑵（法1）设这条抛物线的函数解析式 为:()266y a x =-+ ∵抛物线过O(0,0) ∴06)60(2=+-a 解得16a =-∴这条抛物线的函数解析式为:()21666y x =--+ 即2126y x x =-+. （法2）设这条抛物线的函数解析式 为:c bx ax y ++=2∵抛物线过O(0,0),()()12,0,6,6M P 三点，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=+⋅+⋅=01212666022c b a c b a c 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=0261c b a ∴这条抛物线的函数解析式为:2126y x x =-+.⑶设点A 的坐标为21,26m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴OB=m ，AB=DC=m m 2612+-根据抛物线的轴对称,可得:OB CM m == ∴122BC m =- 即AD=12－2m ∴l ＝AB+AD+DC=m m m m m 26121226122+--++-=122312++-m m =15)3(312+--m∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和l的最大值为15米.。
(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之矩形(含解析)
中考数学抛物线压轴题之矩形（1）如图1，点P为抛物线上位于x轴下方一点，连接PB，PD，当S△PBD最大时，连接AP，以PB为边向上作正△BPQ，连接AQ，点M与点N为直线AQ上的两点，MN＝2且点N位于M点下方，连接DN，求DN+MN+AM的最小值（2）如图2，在第（1）问的条件下，点C关于x轴的对称点为E，将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′，将抛物线y＝沿着射线PA方向平移，使得平移后的抛物线C′经过点E，此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F，连接E′F，B′F，R为线段E’F上的一点，连接B′R，将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT，在平面内找一个点S，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形，求点S的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m 的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A与点B的坐标；（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．4．如图，一次函数y＝x+3与坐标轴交于A、C两点，过A、C两点的抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于另一点B抛物线顶点为E，连接AE．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点E坐标；（2）点P是线段AE上的一动点，过点P作PF平行于y轴交AC于点F，连接EF，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；（3）若点M为坐标轴上一点，点N为平面内任意一点，是否存在这样的点，使A、E、M、N为顶点的四边形是以AE为对角线的矩形？如果存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，抛物线y＝﹣x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线AE：y＝x﹣与抛物线相交于另一点E，点D为抛物线的顶点．（1）求直线BC的解析式及点E的坐标；（2）如图2，直线AE上方的抛物线上有一点P，过点P作PF⊥BC于点F，过点P作平行于y轴的直线交直线BC于点G，当△PFG周长最大时，在y轴上找一点M，在AE上找一点N，使得PM+MN+NE值最小，请求出此时N点的坐标及PM+MN+NE的最小值；（3）在第（2）问的条件下，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点N，E，R，S为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y＝ax2﹣3x+c的对称轴是x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF＝3PE．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB：y＝﹣x+相交于点A（1，0）和B（t，），直线AB交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D是x轴上的一个动点，连接BD、CD，请问△BCD的周长是否存在最小值？若存在，请求出点D的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由．（3）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+h与x轴相交于点A（﹣1，0），与y轴相交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+3的一交点为点D，抛物线过x轴上的AB两点，且CD＝4AC．（1）求直线l和抛物线的解析式；（2）点E是直线l上方抛物线上的一动点，求当△ADE面积最大时，点E的坐标；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，四边形APDQ能否为矩形？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．9．如图，抛物线y＝x2+hx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物上点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是矩形，且MG＝2FM时，请求出点M的坐标．10．如图，已知二次函数y＝m2x2﹣2mx﹣3（m是常数，m＞0）的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接AD．点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE．（1）①线段AB的长为．②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）（2）设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．12．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．13．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y 轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC＝AC，连接OA，OB，BD 和AD．（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．①求b，c的值；②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（，），对称轴为直线x＝﹣，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC＝MP，MD＝OM，OE＝ON，NF＝NP．（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x＝﹣1．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m 的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角标系中，抛物线C：y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为y轴正半轴上一点．且满足OD＝OC，连接BD，（1）如图1，点P为抛物线上位于x轴下方一点，连接PB，PD，当S△PBD最大时，连接AP，以PB为边向上作正△BPQ，连接AQ，点M与点N为直线AQ上的两点，MN＝2且点N位于M点下方，连接DN，求DN+MN+AM的最小值（2）如图2，在第（1）问的条件下，点C关于x轴的对称点为E，将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′，将抛物线y＝沿着射线PA方向平移，使得平移后的抛物线C′经过点E，此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F，连接E′F，B′F，R为线段E’F上的一点，连接B′R，将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT，在平面内找一个点S，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形，求点S的坐标．1．【解答】解：（1）如图1，过点D作DD'∥MN，且DD'＝MN＝2，连接D'M；过点D'作D'J⊥y轴于点J；作直线AP，过点M作MH⊥AP于点H，过点D'作D'K⊥AP于点K∵y＝＝0解得：x1＝﹣3，x2＝1∴A（﹣3，0），B（1，0）∵x＝0时，y＝＝﹣∴C（0，﹣），OC＝∴OD＝OC＝，D（0，）设P（t，t2+t﹣）（﹣3＜t＜1）设直线PB解析式为y＝kx+b，与y轴交于点G∴解得：∴直线PB：y＝（t+）x﹣t﹣，G（0，﹣t﹣）∴DG＝﹣（﹣t﹣）＝t+∴S△BPD＝S△BDG+S△PDG＝DG•x B+DG•|x P|＝DG•（x B﹣x P）＝（t+）（1﹣t）＝﹣（t2+4t﹣5）∴t＝﹣＝﹣2时，S△BPD最大∴P（﹣2，﹣），直线PB解析式为y＝x﹣，直线AP解析式为y＝﹣x﹣3∴tan∠ABP＝＝∴∠ABP＝30°∵△BPQ为等边三角形∴∠PBQ＝60°，BP＝PQ＝BQ∴BA平分∠PBQ∴PQ⊥x轴，PQ与x轴交点I为PQ中点∴Q（﹣2，）∴Rt△AQI中，tan∠QAI＝∴∠QAI＝∠PAI＝60°∴∠MAH＝180°﹣∠PAI﹣∠QAI＝60°∵MH⊥AP于点H∴Rt△AHM＝90°，sin∠MAH＝∴MH＝AM∵DD'∥MN，DD'＝MN＝2∴四边形MNDD'是平行四边形∴D'M＝DN∴DN+MN+AM＝2+D'M+MH∵D'K⊥AP于点K∴当点D'、M、H在同一直线上时，DN+MN+AM＝2+D'M+MH＝2+D'K最短∵DD'∥MN，D（0，）∴∠D'DJ＝30°∴D'J＝DD'＝1，DJ＝DD'＝∴D'（1，）∵∠PAI＝60°，∠ABP＝30°∴∠APB＝180°﹣∠PAI﹣∠ABP＝90°∴PB∥D'K设直线D'K解析式为y＝x+d，把点D'代入得：+d＝解得：d＝∴直线D'K：y＝x+把直线AP与直线D'K解析式联立得：解得：∴K（﹣，）∴D'K＝∴DN+MN+AM的最小值为（2）连接B'A、BB'、EA、E'A、EE'，如图2∵点C（0，﹣）关于x轴的对称点为E∴E（0，）∴tan∠EAB＝∴∠EAB＝30°∵抛物线C'由抛物线C平移得到，且经过点E∴设抛物线C'解析式为：y＝x2+mx+，∵A（﹣3，0），P（﹣2，﹣），E（0，），B（1，0），∴BE∥PA，BE＝PA，∴抛物线C'经过点A（﹣3，0），∴×9﹣3m+＝0解得：m＝∴抛物线C'解析式为：y＝x2+x+∵x2+x+＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1∴F（﹣1，0）∵将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′∴∠BAB'＝∠EAE'＝60°，AB'＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，AE'＝AE＝∴△ABB'、△AEE'是等边三角形∴∠E'AB＝∠E'AE+∠EAB＝90°，点B'在AB的垂直平分线上∴E'（﹣3，2），B'（﹣1，2）∴B'E'＝2，∠FB'E'＝90°，E'F＝∴∠B'FE'＝30°，∠B'E'F＝60°①如图3，点T在E'F上，∠B'TR＝90°过点S作SW⊥B'E'于点W，设翻折后点E'的对应点为E'' ∴∠E'B'T＝30°，B'T＝B'E'＝∵△B′E′R翻折得△B'E''R∴∠B'E''R＝∠B'E'R＝60°，B'E''＝B'E'＝2∴E''T＝B'E''﹣B'T＝2﹣∴Rt△RTE''中，RT＝E''T＝2﹣3∵四边形RTB'S是矩形∴∠SB'T＝90°，SB'＝RT＝2﹣3∴∠SB'W＝∠SB'T﹣∠E'B'T＝60°∴B'W＝SB'＝﹣，SW＝SB'＝3﹣∴x S＝x B'﹣B'W＝，y S＝y B'+SW＝3+∴S（，3+）②如图4，点T在E'F上，∠B'RT＝90°过点S作SX⊥B'F于点X∴E'R＝B'E'＝1，点E'翻折后落在E'F上即为点T∴B'S＝RT＝E'R＝1∵∠SB'X＝90°﹣∠RB'F＝30°∴XS＝B'S＝，B'X＝B'S＝∴x S＝x B'+XS＝﹣，y S＝y B'﹣B'X＝∴S（﹣，）③如图5，点T在B'F上，∠B'TR＝90°∴RE''∥E'B'，∠E''＝∠B'E'R＝60°∴∠E'BE''＝∠E'RE''＝120°∴四边形B'E'RE''是平行四边形∵E'R＝E''R∴▱B'E'RE''是菱形∴B'E'＝E'R∴△B'E'R是等边三角形∵∠B'SR＝90°，即RS⊥B'E'∴点S为B'E'中点∴S（﹣2，2）综上所述，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形的点S坐标为（，3+）或（﹣，）或（﹣2，2）．2．【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），∵OC＝2OA，OA＝2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m＝＝，∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），由△DOE∽△QOD可得＝，∴OD2＝OE•OQ，∴1＝•OQ，∴OQ＝，∴Q（，0）．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2＝PD2，∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．3．【解答】解：（1）y＝a（x+3）（x﹣1），令y＝0，则x＝1或﹣3，故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）；（2）抛物线的表达式为：y＝（x+3）（x﹣1）…①，当∠MAO＝45°时，如图所示，则直线AM的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：m＝x＝4或﹣3（舍去﹣3），故点M（4，7）；②∠M′AO＝45°时同理可得：点M（﹣2，﹣1）；故：﹣2≤m≤4；（3）①当BD是矩形的对角线时，如图2所示，过点Q作x轴的平行线EF，过点B作BE⊥EF，过点D作DF⊥EF，抛物线的表达式为：y＝ax2+2ax﹣3a，函数的对称轴为：x＝﹣1，抛物线点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），则点P的横坐标为：﹣1，OB＝1，而CD＝4BC，则点D的横坐标为：﹣4，故点D（﹣4，5a），即HD＝5a，线段BD的中点K的横坐标为：＝﹣，则点Q的横坐标为：﹣2，则点Q（﹣2，﹣3a），则HF＝BE ＝3a，∵∠DQF+∠BQE＝90°，∠BQE+∠QBE＝90°，∴∠QBE＝∠DQF，∴△DFQ∽△QEB，则，，解得：a＝（舍去负值），同理△PGB≌△DFQ（AAS），∴PG＝DF＝8a＝4，故点P（﹣1，4）；②如图3，当BD是矩形的边时，作DI⊥x轴，QN⊥x轴，过点P作PL⊥DI于点L，同理△PLD≌△BNQ（AAS），∴BN＝PL＝3，∴点Q的横坐标为4，则点Q（4，21a），则QN＝DL＝21a，同理△PLD∽△DIB，∴，即，解得：a＝（舍去负值），LI＝26a＝，故点P（﹣1，），；综上，点P的坐标为：P（﹣1，4）或（﹣1，）．4．【解答】解：（1）一次函数y＝x+3与坐标轴交于A、C两点，则点A、C的坐标为（﹣3，0）、（0，3），将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点E（﹣1，4）；（2）将点A、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AE的表达式为：y＝2x+6，设点P（x，2x+6），则点F（x，x+3），S△PEF＝PF×（x E﹣x）＝×（2x+6﹣x﹣3）（﹣1﹣x）＝﹣（x+3）（x+1），当x＝﹣2时，S△PEF有最大值为，此时点P（﹣2，2）；（3）点A、E的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，4），AE2＝20，①当点M（m，0）在x轴上时，设点N（s，t），则AE＝MN，且AE中点坐标为MN中点坐标，即：，解得：，故点N（﹣3，4）；②当点M在y轴上时，同理可得：点N（﹣4，3）或（﹣4，1）；综上，点N坐标为：N（﹣3，4）或（﹣4，3）或（﹣4，1）．5．【解答】解：（1）当y＝0时，，解得x1＝1，x2＝4 所以点A（1，0），B（4，0）设BC直线解析式为y＝kx+b，将B、C坐标代入得，解得所以直线BC的解析式为联立方程，解得，∴点E坐标为（）（2）设P（），G（）PG＝（）﹣（）＝﹣当△PFG周长最大时，线段PG最长＜0，所以PG有最大值当m＝2时，PG最大，P点坐标为（2，）如图，作P点关于y轴的对称点P'，在AE下方作∠AEQ＝30°，过点p'作P'Q⊥EQ，垂足为Q，P'Q交x轴于S，交AE于N，作P'T⊥x轴，垂足为T，ER⊥x轴，垂足为R则P'Q＝PM+MN+NE由题意可知，P'（﹣2，），∠P'ST＝60°在Rt△P'ST中，tan∠p'ST＝＝∴TS＝3∴S点坐标为（1，0）设P'S直线解析式为y＝kx+b将P'、S坐标代入得，解得所以P'S直线解析式y＝+在Rt△EHR中tan∠EHR＝＝∴HR＝∴H（，0）∴SH＝∴SQ＝∵P'S＝∴P'Q＝所以PM+MN+NE的最小值为．点N坐标为（1，0）（3）如图所示，设R1的纵坐标长度为m当NE为矩形对角线时可证△NA1R1∽△R1ZE，∴＝∴＝解得m1＝﹣，m2＝﹣﹣（舍去）∴R1的坐标为（，﹣+）可证△NB1S1≌△EZR1∴S1坐标为（，+）同理S2坐标为（，﹣）当NE为矩形的一边时，如图可证△S3HN≌△R3FE≌△R3GE在Rt△R3GE中，GE＝，由三角函数可得EF＝∴HN＝，S3H＝∴S3坐标为（，）同理可得S4坐标为（，﹣）6．【解答】解：（1）当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x＝，得，解得，抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y＝x．∵点P是直线m上任意一点，∴设P（3a，a），则PC＝|3a|，PB＝|a|．又∵PF＝3PE，设PB＝n，PC＝3n，PE＝m，PF＝3m，则CF＝＝3，BE＝，∴＝＝＝3，∵∠PCF＝∠PBE＝90°，∴△PCF∽△PBE，∴∠FPC＝∠EPB．∵∠CPE+∠EPB＝90°，∴∠FPC+∠CPE＝90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE＝6﹣a．∵CF＝3BE＝18﹣3a，∴OF＝20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴＝，＝，∴Q x+6＝0+a，Q y+2＝20﹣3a+0，∴Q x＝a﹣6，Q y＝18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a＝（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a＝4或a＝8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE＝a﹣6．∵CF＝3BE＝3a﹣18，∴OF＝3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴＝，＝，∴Q x+6＝0+a，Q y+2＝20﹣3a+0，∴Q x＝a﹣6，Q y＝18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a＝（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a＝8或a＝4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．7．【解答】解：（1）对于y＝﹣x+，令y＝得x＝﹣4，∴B（﹣4，）．分别把A（1，0）和B（﹣4，）代入y＝x2+bx+c，得解得，则该抛物线解析式为：y＝x2+x﹣，∵﹣＝﹣1，∴对称轴为直线x＝﹣1；（2）直线AB：y＝﹣x+相交于点C（0，），作点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，﹣），连接BC′交x轴于点D，根据“两点之间线段最短”可得BD+CD的和最小，从而△BCD的周长也最小，∵B（﹣4，），C′（0，﹣），∴直线BC′的解析式为y＝﹣x﹣．令y＝0，可得x＝﹣，∴D（﹣，0），∴当△BCD的周长最小时，点D的坐标为（﹣，0），最小周长＝BC+BC′＝+＝5+2；（3）①若AB为四边形的边长，作AE⊥AB，交y轴于点E，又OA⊥CE，∴△AOC∽△EOA，∴OE＝2OA＝2，∴E（0，﹣2）∴直线AE为y＝2x﹣2，令2x﹣2＝x2+x﹣，解得x1＝x2＝1，∴直线AE与抛物线只有一个交点为A，∴不存在满足题意的矩形；②若AB为四边形的对角线，当四边形是平行四边形时，对角线互相平分，有x A+x B＝x M+x N，即：1+（﹣4）＝﹣1+x N，解得x N＝﹣2．把x N＝﹣2代入y＝x2+x﹣，得y N＝﹣，由y A+y B＝y M+y N得：y M＝4，∴M（﹣1，4），N（﹣2，﹣），此时MN＝＝，AB＝＝，∴MN＝AB，∴平行四边形AMBN为矩形，综上，能为矩形，M（﹣1，4）．8．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得b＝2，所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，过点D作DF⊥x轴于点F，如图1易证△AOC∽△AFD，∴，∵CD＝4AC，∴＝，∴点D横坐标为4，把x＝4代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣5，∴D（4，﹣5），把x＝4，y＝﹣5；x＝﹣1，y＝0代入y＝kx+h，解得，k＝﹣1，h＝﹣1，∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣1．（2）过点E作EM⊥x轴，交AD于点M，如图2设点E（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m﹣1），∴EM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m﹣1）═﹣m2+3m+4，∴S△ADE＝（﹣m2+3m+4）＝，当m＝时，△ADE的面积最大，此时，E（，）．（3）不存在理由如下：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，m），如图4，则易得Q（2，3），m＝﹣5a﹣3＝﹣8，则P（1，﹣8），PQ2＝12+112＝122，PD2＝32+32＝18QD2＝22+82＝68，∴PD2+QD2≠PQ2，∴∠PDQ≠90°，此时平行四边形ADPQ不是矩形，9．【解答】解：（1）抛物线y＝x2+hx+c，即：a＝1，抛物线过A（﹣1，0），B（3，0）两点，则抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（0，﹣3），函数的对称轴为：x＝1，故点E（1，0），点D（1，﹣4），将点BD代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线BD的表达式为：y＝2x﹣6，设点P（m，2m﹣6），PE＝PC时，则：m2+（2m﹣6+3）2＝（m﹣1）2+（2m﹣6）2，解得：m＝2，故点P（2，﹣2）；（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、N、G为顶点的四边形是矩形，∴MG＝2FM时，|a2﹣2a﹣3|＝2|a﹣2|，解得：a＝或2，故点M的坐标为：（2，0）或（2﹣，0）或（，0）或（﹣，0）．10．【解答】解：（1）①令y＝0，则（mx﹣3）（mx+1）＝0，∴x＝﹣或x＝，∴A（﹣，0），B（，0），∴AB＝，。
抛物线压轴题
抛物线压轴题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：绝密★启用前xxｘ学校2014-２015学年度2月月考卷试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：１00分钟；命题人：xxx题号一总分得分注意事项:1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ｉ卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分一、解答题（题型注释)1.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件１0元，出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元）之间的关系近似满足一次函数：y=-１０x＋５0０．⑴李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?⑵设李明获得的利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？⑶物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于2５元,如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？2．如图所示，直线l:y=３x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C,抛物线过点B、Ｃ和Ｄ（3，0）.(1)求直线BＤ和抛物线的解析式.（２)若BD与抛物线的对称轴交于点Ｍ，点N在坐标轴上，以点Ｎ、B、D为顶点的三角形与△MCＤ相似,求所有满足条件的点N的坐标．(3)在抛物线上是否存在点Ｐ，使S△PBD=6?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．3.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．根据市场分析,若按每千克50元销售，一个月能销售500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少1０千克.针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题:(１)当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润；(2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为ｙ元，求ｙ与x之间的函数关系式;（3)商店想在月销售成本不超过１0 000元的情况下，使得月销售利润达到5 000元,销售单价应定为多少？4．如图,抛物线ｙ=-x2＋4x+5交x轴于A、B(以A左B右)两点，交y轴于点C.(1)求直线BC的解析式;（2)点Ｐ为抛物线第一象限函数图象上一点,设P点的横坐标为m,△PBＣ的面积为S，求S与m的函数关系式；（3)在（2)的条件下,连接AP，抛物线上是否存在这样的点P，使得线段PA被BC平分，如果不存在，请说明理由;如果存在,求点P的坐标.5.某商品的进价为每件５０元,售价为每件60元,每个月可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元.则每个月少卖1０件。
抛物线压轴题
★启用前xxx学校2014-2015学年度2月月考卷试卷副标题考试围：xxx题号一总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明第II卷（非选择题）评卷人得分一、解答题（题型注释）大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=－10x＋500．⑴明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？⑵设明获得的利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？⑶物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？2.如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．3.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的函数关系式；（3）商店想在月销售成本不超过10 000元的情况下，使得月销售利润达到5 000元，销售单价应定为多少？4.如图，抛物线y=－x2+4x+5交x轴于A、B（以A左B右)两点，交y轴于点C.(1)求直线BC的解析式；(2)点P为抛物线第一象限函数图象上一点，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式；(3)在(2)的条件下，连接AP，抛物线上是否存在这样的点P，使得线段PA被BC平分，如果不存在，请说明理由；如果存在，求点P的坐标.5.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件。
中考数学抛物线压轴题
在中考数学中，抛物线是一个常见的考点，经常以压轴题的形式出现。
以下是一个关于抛物线的中考压轴题的示例：题目：已知抛物线y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)经过点(-1,-1)，(0,1)，当x=-2时，与其对应的函数值y>1。
1. 请你求出abc的值，并判断抛物线的开口方向。
2. 设直线y=kx+d(k≠0)经过点(1,-1)，且与抛物线的对称轴平行。
请你求出该直线的解析式。
3. 设E(m,n)是抛物线y=ax^2+bx+c上的一个动点，且满足∠APE=90°，请你求出m的值。
解析：1. 根据题目条件，抛物线经过点(-1,-1)，(0,1)，可得到方程：$a-b+c=-1$ ①$c=1$ ②将x=-2，y>1代入解析式得：$4a-2b+1>1$化简得：$2a-b>0$ ③由①②③解得：$a>0$$b>0$$c=1$所以，abc=1。
由于a>0，抛物线开口向上。
2. 由题意知：直线y=kx+d经过点(1,-1)，则有：k+d=-1 ④又因为直线与对称轴平行，所以其斜率等于对称轴的斜率，即：k=-b/2a=-1/2 ⑤由④⑤解得：d=-3/2所以，直线的解析式为：y=-x/2-3/2。
3. 根据题意知：E(m,n)在抛物线上，则有：$n=am^2+bm+c$ ⑥由于∠APE=90°，所以AE与PE垂直。
根据两直线垂直的条件：斜率之积等于-1。
即：$(m-1)/(n+1)=-1$ ⑦由⑥⑦解得：m=0或m=-2综上所述，m的值为0或-2。
初三数学压轴题
初三数学压轴题一、题目示例在平面直角坐标系中，抛物线y = ax^2+bx + c(a≠0)经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0, - 3)三点。
（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥ y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△ BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由。
二、题目解析1. 求抛物线的解析式- 已知抛物线y = ax^2+bx + c(a≠0)经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0, - 3)三点。
- 把A(-1,0)，B(3,0)，C(0, - 3)分别代入y = ax^2+bx + c中，得到方程组：- a - b + c = 0 9a+3b + c = 0 c=-3- 将c = - 3代入前两个方程，得到a - b-3 = 0 9a + 3b-3 = 0- 由a - b-3 = 0可得a=b + 3，将其代入9a + 3b-3 = 0中：- 9(b + 3)+3b-3 = 0- 9b+27 + 3b-3 = 0- 12b=-24，解得b=-2- 把b = - 2代入a=b + 3，得a = 1- 所以抛物线的解析式为y=x^2-2x - 3。
2. 求MN的长（用含m的代数式表示）- 设直线BC的解析式为y=kx + d，把B(3,0)，C(0, - 3)代入可得3k + d = 0 d=-3- 解得k = 1，所以直线BC的解析式为y=x - 3。
- 因为点M在直线BC上，且横坐标为m，所以M(m,m - 3)。
- 又因为N在抛物线上，且N的横坐标为m，所以N(m,m^2-2m - 3)。
- 则MN=(m^2-2m - 3)-(m - 3)=m^2-3m。
3. 判断是否存在点m使△ BNC的面积最大并求m的值- 过N作NH⊥ x轴交BC于H。
抛物线压轴题专题
抛物线压轴题专题011、（09安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为(10)A -，，(0B ，(00)O ，，将此三角板绕原点O 顺时针旋转90°，得到A B O ''△． （1）如图，一抛物线经过点A B B '、、，求该抛物线解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB '的面积达到最大时点P 的坐标及面积的最大值．6、（09广东深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB . （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由。
x3、（09广东广州）如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。
（1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴上午垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
4、（09广西贵港）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的交x 轴于点A 和点B (－2，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，且线段OC 的长度是线段OA 的2倍，抛物线的对称轴是直线x ＝1． (1)求抛物线的解析式；(2)若过点(0，－5)且平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，以线段MN 为一边抛物线上与M 、N 不重合的任意一点P (x ，y )为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S ，请你求出S 关于点P 的纵坐标y 的函数解析式； (3)当0＜x ≤ 10 3时，(2)中的平行四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．5、（09广西柳州）如图，已知抛物线b ax ax y --=22（0>a ）与x 轴的一个交点为(10)B -，，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标； （2）以AD 为直径的圆经过点C ． ①求抛物线的解析式；②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以E F A B ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．6、(09湖北荆州)一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m －2，0)，B (m ＋2，0)两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ． (1)若m 为常数，求抛物线的解析式；(2)若m 为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？(3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．7、 (09湖北武汉) 如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．8、（09山东济南）已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C 其中()30A -，、()02C -，． （1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．。
专题21 抛物线(学生版)-【挑战压轴题】备战2022年高考数学高分必刷必过题(全国通用版)
专题21抛物线（解答题压轴题）1．（2021·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线E ：()220y px p =>上一点00(4,)(0)S y y >到焦点F 的距离5SF =.不经过点S 的直线l 与E 交于A ，B .（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若直线AS ，BS 的斜率之和为2，证明：直线l 过定点.2．（2021·全国高三月考（理））已知直线l 过原点O ，且与圆A 交于M ，N 两点，4MN =，圆A 与直线2y =-相切，OA 与直线l 垂直，记圆心A 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）过直线1y =-上任一点P 作C 的两条切线，切点分别为1Q ，2Q ，证明：①直线12Q Q 过定点；②12PQ PQ ⊥．3．（2021·安徽高三开学考试（理））已知中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为2的椭圆C 过点1)2.（1）求C 的标准方程；（2）是否存在不过原点O 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点，使得直线OP ､PQ ､OQ 的斜率成等比数列､若存在，求k 的值及m 的取值范围；若不存在，请说明理由.4．（2021·全国高三专题练习）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率；（2）求三角形AMN 面积的最小值.5．（2021·全国高三月考（理））已知抛物线()220x py p =>上一点()02,P y 到其焦点F 的距离为2，过点(),0T t ()0t >作两条斜率为1k ，2k 的直线1l ，2l 分别与该抛物线交于A ，B 与C ，D 两点，且120k k +=，FAB FCD S S =△△．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求实数t 的取值范围．6．（2021·浙江瑞安中学高三模拟预测）已知抛物线()21:20C y px p =>和右焦点为F 的椭圆222:143x y C +=．如图，过椭圆2C 左顶点T 的直线交抛物线1C 于,A B 两点，且2AB TA =．连接AF 交2C 于两点,M N ，交1C 于另一点C ，连BC ，Q 为BC 的中点，TQ交AC 于D ．（1）证明：点A 的横坐标为定值；（2）记CDT ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S ，若12512S S =，求抛物线的方程．7．（2021·全国高三专题练习（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB ∆面积的最大值．8．（2021·浙江省杭州第二中学高三模拟预测）已知抛物线()2:20C y px p =>经过点(2,，P 是圆()22:11M x y ++=上一点，PA 、PB 都是C 的切线．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）求PAB ∆的面积的最大值．9．（2021·广东汕头·高三三模）已知圆()22:21C x y +-=与定直线:1l y =-，且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）已知点P 是直线1:2l y =-上一个动点，过点P 作轨迹E 的两条切线，切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：PCA PCB ∠=∠.10．（2021·河南郑州·高三三模（理））已知抛物线2:4C x y =和圆()22:11E x y ++=，过抛物线上一点()00,P x y ，作圆E 的两条切线，分别与x 轴交于,A B 两点.（1）若切线PB 与抛物线C 也相切，求直线PB 的斜率；（2）若02y ≥，求PAB ∆面积的最小值.11．（2021·浙江高三三模）如图，已知抛物线C ：214y x =，点()()000,1A x y y ≥为抛物线上一点，过点A 的圆G 与y 轴相切于点()0,M t ，且与抛物线C 在点A 处有相同切线，8OM NO =，过点N 的直线l 交抛物线于点E ，F ，直线AE ，AF 的斜率分别为1k ，2k ，满足120k k +=.（1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（2）求点A 到直线l 的距离的最小值.12．（2021·四川泸州·高三三模（理））从抛物线24y x =上各点向x 轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P ．（1）求曲线P 的方程，并说明曲线P 是什么曲线；（2）过点()2,0M 的直线l 交曲线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交曲线P 于两点C 、D ，探究是否存在直线l 使A 、B 、C 、D 四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由．13．（2021·浙江高三期末）如图，已知抛物线21:C x y =在点A 处的切线l 与椭圆222:12x C y +=相交，过点A 作l 的垂线交抛物线1C 于另一点B ，直线OB （O 为直角坐标原点）与l 相交于点D ，记()11,A x y 、()22,B x y ，且1>0x ．（1）求12x x -的最小值；（2）求DODB的取值范围．14．（2021·河北沧州·高三二模）已知(2,0)M -，(2,0)N ，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为常数14-，设动点P 的轨迹为曲线1C .抛物线22:2(0)C x py p =>与1C 在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线1C 于点B 交抛物线2C 于点E (点,B E 不同于点A ).（1）求曲线1C 的方程.（2）是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由.15．（2021·湖南长沙·高三模拟预测）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点(),1m 在抛物线C 上，该点到原点的距离与到C 的准线的距离相等．（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且与以焦点F 为圆心2为半径的圆交于M ，N 两点，点B ，N 在y 轴右侧．①证明：当直线l 与x 轴不平行时，AM BN≠②过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，求DAM △与DBN 的面积之积的取值范围．16．（2021·浙江高三专题练习）已知椭圆22:14x T y +=，抛物线2:2M y px =的焦点是F ，且动点()1,G t -在其准线上.（1）当点G 在椭圆T 上时，求GF 的值；（2）如图，过点G 的直线1l 与椭圆T 交于,P Q 两点，与抛物线M 交于,A B 两点，且G 是线段PQ 的中点，过点F 的直线2l 交抛物线M 于,C D 两点.若//AC BD ，求2l 的斜率k 的取值范围.17．（2021·河南高三月考（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且点F 与圆()22:41M x y ++=171．（1）求p ；（2）已知直线:4l y kx =+与C 相交于A ，B 两点，过点B 作平行于y 轴的直线BD 交直线:4l y '=-于点D ．问：直线AD 是否过y 轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．18．（2021·上海市实验学校高三月考）已知直线2y x =与抛物线:Γ()220y px p =>交于1G ，2G 两点，且125G G ，过椭圆221:143x y C +=的右顶点Q 的直线l 交于抛物线Γ于A ，B 两点.（1）求抛物线Γ的方程；（2）若射线OA ，OB 分别与椭圆1C 交于点D ，E ，点O 为原点，ODE ，OAB 的面积分别为1S ，2S ，问是否存在直线l 使213S S =？若存在求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（3）若P 为2x =-上一点，PA ，PB 与x 轴相交于M ，N 两点，问M ，N 两点的横坐标的乘积M N x x ⋅是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.19．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．20．（2021·浙江高三模拟预测）已知点F 为抛物线C ：214y x =的焦点，点()0,4D ，点A 为抛物线C 上的动点，直线l ：y t =截以AD 为直径的圆所得的弦长为定值.（1）求t 的值；（2）如图，直线l 交y 轴于点E ，抛物线C 上的点B 满足AB 的中垂线过点D 且直线AB 不与x 轴平行，求ABE 的面积的最大值.。
中考压轴题(二)--------与抛物线有关压轴题.
1.如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x 轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G，.若FG=DQ，求点F的坐标.2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=-2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E 向上运动．设点P运动的时间为t秒．①当t为__________秒时，△PAD的周长最小？当t为__________秒时，△PAD是以AD 为腰的等腰三角形？（结果保留根号）2②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为Q （2，-1），且与轴交于点C （0,3），与轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥轴， 交AC 于点D ．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E 在轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，-n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2-2x-3=0的两根． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ． ①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．y x y x 图165．如图，抛物线y=a（x-h）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式．（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．6．如图，已知抛物线y=14x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（-2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．7.已知抛物线y=ax 2-2ax+c 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标是（-1,0），O 是坐标原点，且．（1 ）求抛物线的函数表达式；（2 ）直接写出直线BC 的函数表达式；（3 ）如图1 ，D 为y 轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD 为边作正方形ODEF.将正方形ODEF 以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC 重叠部分的面积为s ，运动的时间为t 秒（0＜t ≤2）.求： ①s 与t 之间的函数关系式；②在运动过程中，s 是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（4 ）如图2 ，点P （1，k ）在直线BC 上，点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由。
中考数学压轴题第9部分抛物线
1．已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为．（1）求a的值；（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．2．已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B（1）求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．5．如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m ＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．6．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．抛物线y=+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．8．如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．9．已知抛物线y=x2﹣（k+2）x+和直线y=（k+1）x+（k+1）2．（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，求x1•x2•x3的最大值；（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式．10．如图，已知二次函数y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；（3）在（2）的基础上，设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．11．阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（x p，y p）．由x p﹣x1=x2﹣x p，得x p=，同理y p=，所以AB的中点坐标为．由勾股定理得AB2=，所以A、B两点间的距离公式为AB=．注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题：如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．12．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．13．已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B的坐标；（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD 于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=﹣3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，﹣2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点．（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为﹣1，P（m，n）是抛物线y=ax2+bx+c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．15．已知，如图（a），抛物线y=ax2+bx+c经过点A（x1，0），B（x2，0），C（0，﹣2），其顶点为D．以AB 为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N．∠ONE=30°，|x1﹣x2|=8．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连结AD、BD，在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似（除去全等这一情况）？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b），点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH•AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．16．如图，直线l：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ=135°．（1）求△AOB的周长；（2）设AQ=t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；（3）当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ=m，若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①6a+3b+2c=0；②当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于，求二次项系数a的值．17．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．18．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？（1）若直线m的解析式为y=﹣x+，求A，B两点的坐标；（2）①若点P的坐标为（﹣2，t）．当PA=AB时，请直接写出点A的坐标；②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=AB成立．（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．20．如图，抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣2（其中m＞1）与其对称轴l相交于点P，与y轴相交于点A（0，m ﹣1）．连接并延长PA、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC．点C关于直线l的对称点为C′，连接PC′，即有PC′=PC．将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C与点C′重合，得到△PB′C′．（1）该抛物线的解析式为（用含m的式子表示）；（2）求证：BC∥y轴；（3）若点B′恰好落在线段BC′上，求此时m的值．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO时，请直接写出线段BM的长．22．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴（XRS）相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值．23．如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值．24．若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m 的值．25．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+1（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线y=ax2﹣（6a﹣2）x+b（a≠0）与直线AC交于另一点B，点B坐标为（4，3）．（1）求a的值；（2）点P是射线CB上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，在x轴上点Q的右侧取点M，使MQ=，在QP的延长线上取点N，连接PM，AN，已知tan∠NAQ﹣tan∠MPQ=，求线段PN的长；（3）在（2）的条件下，过点C作CD⊥AB，使点D在直线AB下方，且CD=AC，连接PD，NC，当以PN，PD，NC的长为三边长构成的三角形面积是时，在y轴左侧的抛物线上是否存在点E，连接NE，PE，使得△ENP与以PN，PD，NC的长为三边长的三角形全等？若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由．26．如图1，直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．1.解：（1）∵圆心O的纵坐标为，∴设Q（m，），F（0，），∵QO=QF，∴m2+（）2=m2+（﹣）2，∴a=1，∴抛物线为y=x2．（2）∵M在抛物线上，设M（t，t2），Q（m，），∵O、Q、M在同一直线上，∴K OM=K OQ，∴=，∴m=，∵QO=QM，∴m2+（）2=（m﹣t）2=（﹣t2）2，整理得到：﹣t2+t4+t2﹣2mt=0，∴4t4+3t2﹣1=0，∴（t2+1）（4t2﹣1）=0，∴t1=，t2=﹣，当t1=时，m1=，当t2=﹣时，m2=﹣．∴M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）．（3）设M（n，n2）（n＞0），∴N（n，0），F（0，），∴MF===n2+，MN+OF=n2+，∴MF=MN+OF．2.（1）解：当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；当m≠0时，∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B，∴△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，∴1﹣4m≠0，∴m≠；（2）证明：∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m，∴y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，抛物线过定点说明在这一点y与m无关，显然当x2﹣2x﹣3=0时，y与m无关，解得：x=3或x=﹣1，当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）；当x=﹣1时，y=0，定点坐标为（﹣1，0），∵P不在坐标轴上，∴P（3，4）；（3）解：|AB|=|x A﹣x B|=====||=|﹣4|，∵＜m≤8，∴≤＜4，∴﹣≤﹣4＜0，∴0＜|﹣4|≤，∴|AB|最大时，||=，解得：m=8，或m=（舍去），∴当m=8时，|AB|有最大值，此时△ABP的面积最大，没有最小值，则面积最大为：|AB|y P=××4=．3.解：（1）∵y=mx2﹣2mx+m﹣1=m（x﹣1）2﹣1，∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）．（2）①∵m=1，∴抛物线为y=x2﹣2x，令y=0，得x=0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），∴线段AB上整点的个数为3个．②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），当抛物线经过（﹣1，0）时，m=，当抛物线经过点（﹣2，0）时，m=，∴m的取值范围为＜m≤．4.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∴OC=5．∵OC=5OB，∴OB=1，又点B在x轴的负半轴上，∴B（﹣1，0）．∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），∴，解得，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5．（2）由y=x2﹣4x﹣5，得顶点D的坐标为（2，﹣9）．连接AC，∵点A的坐标是（4，﹣5），点C的坐标是（0，﹣5），又S△ABC=×4×5=10，S△ACD=×4×4=8，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=18．（3）过点C作CH⊥AB，垂足为点H．∵S△ABC=×AB×CH=10，AB=5，∴CH=2，在RT△BCH中，∠BHC=90°，BC=，BH==3，∴tan∠CBH==．∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO=，∵∠BEO=∠ABC，∴，得EO=，∴点E的坐标为（0，）．5.方法一：（1）解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC=m，OA=m﹣3，∴点A的坐标是（3﹣m，0）．（2）解：∵∠ODA=∠OAD=45°∴OD=OA=m﹣3，则点D的坐标是（0，m﹣3）．又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，所以可设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2，得：解得∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1；（3）证明：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，设点Q的坐标是（x，x2﹣2x+1），则QM=CN=（x﹣1）2，MC=QN=3﹣x．∵QM∥CE∴△PQM∽△PEC∴即，得EC=2（x﹣1）∵QN∥FC ∴△BQN∽△BFC ∴即，得又∵AC=4∴FC（AC+EC）=[4+2（x﹣1）]=（2x+2）=×2×（x+1）=8即FC（AC+EC）为定值8．方法二：（1）略．（2）略．（3）设Q（t，t2﹣2t+1），B（3，4），设直线BQ：y=kx+b，∴l BQ：y=（t+1）x+1﹣3t，把y=0代入y=（t+1）x+1﹣3t，∴x=，即F（，0），∵P（1，0），Q（t，t2﹣2t+1），∴l PQ：y=（t﹣1）x+1﹣t，把x=3代入，∴y=2t﹣2，即E（3，2t﹣2），∴FC（AC+EC）=（C X﹣F X）（C X﹣A X+E Y﹣C Y）=（3﹣）（4+2t﹣2）=8．（4）过点Q分别作x轴及BC的垂线，垂足分别为H，G，设Q（t，t2﹣2t+1），∵∠EPC=∠CBF，∴tan∠EPC=tan∠CBF，∴，∴，∴t2﹣1=1，∴t=±，∴Q1（，3﹣2），Q2（﹣，3+2）．6.解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴当y=0时，x2﹣x﹣3=0，解得x1=﹣2，x2=4．当x=0，y=﹣3．∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．∵AD在x轴上，点M在抛物线上，∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，∵C点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）；②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3．当y=3时，x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；（3）结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC，∴四边形ABCP1为梯形；②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2．∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），∴直线AB的解析式为y=x﹣6，∴可设直线CP2的解析式为y=x+n，将C点坐标（0，﹣3）代入，得n=﹣3，∴直线CP2的解析式为y=x﹣3．∵点P2在抛物线y=x2﹣x﹣3上，∴x2﹣x﹣3=x﹣3，化简得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，∴P2（6，6）．∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四边形ABCP2为梯形．综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．7.解：（1）y=x2+x+m=（x+2）2+（m﹣1）∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）∵顶点在直线y=x+3上，∴﹣2+3=m﹣1，得m=2；（2）过点F作FC⊥NB于点C，∵点N在抛物线上，∴点N的纵坐标为：a2+a+2，即点N（a，a2+a+2）在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB=a2+a，∴NF2=NC2+FC2=（a2+a）2+（a+2）2，=（a2+a）2+（a2+4a）+4，而NB2=（a2+a+2）2，=（a2+a）2+（a2+4a）+4∴NF2=NB2，NF=NB；（3）连接AF、BF，由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA，∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°，又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴=，PF2=PA×PB=，过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，PG==，∴PO=PG+GO=，∴P（﹣，0）设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k=，b=，∴直线PF：y=x+，解方程x2+x+2=x+，得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），当x=﹣3时，y=，∴M（﹣3，）．8.（1）解：将C（0，﹣3）代入二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2），则﹣3=a（0﹣0﹣3m2），解得a=．（2）方法一：证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．由a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，解得x1=﹣m，x2=3m，则A（﹣m，0），B（3m，0）．∵CD∥AB，∴D点的纵坐标为﹣3，又∵D点在抛物线上，∴将D点纵坐标代入抛物线方程得D点的坐标为（2m，﹣3）．∵AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN，∵∠DMA=∠ENA=90°，∴△ADM∽△AEN．∴==．设E坐标为（x，），∴=，∴x=4m，∴E（4m，5），∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，∴==，即为定值．方法二：过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N，∵a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，∴x1=﹣m，x2=3m，则A（﹣m，0），B（3m，0），∵CD∥AB，∴D点的纵坐标为﹣3，∴D（2m，﹣3），∵AB平分∠DAE，∴K AD+K AE=0，∵A（﹣m，0），D（2m，﹣3），∴K AD==﹣，∴K AE=，∴⇒x2﹣3mx﹣4m2=0，∴x1=﹣m（舍），x2=4m，∴E（4m，5），∵∠DAM=∠EAN=90°∴△ADM∽△AEN，∴，∵DM=3，EN=5，∴．（3）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，﹣4），过点F作FH⊥x轴于点H．连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．∵tan∠CGO=，tan∠FGH=，∴=，∴，∵OC=3，HF=4，OH=m，∴OG=3m．∵GF===4，AD===3，∴=．∵=，∴AD：GF：AE=3：4：5，∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m．9.（1）证明：∵△=（k+2）2﹣4×1×=k2﹣k+2=（k﹣）2+，∵（k﹣）2≥0，∴△＞0，故无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）解∵抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，∴x 1•x2=，令0=（k+1）x+（k+1）2，解得：x=﹣（k+1），即x3=﹣（k+1），∴x1•x2•x3=﹣（k+1）•=﹣（k+）2+，∴x1•x2•x3的最大值为：；（3）解：∵CA•GE=CG•AB，∴，∵∠ACG=∠BCE，∴△CAG∽△CBE，∴∠CAG=∠CBE，∵∠AOD=∠BOE，∴△OAD∽△OBE，∴，∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y 轴于点D、E，∴OA•OB=，OD=，OE=（k+1）2，∴OA•OB=OD，∴，∴OB2=OE，∴OB=k+1，∴点B（k+1，0），将点B代入抛物线y=x2﹣（k+2）x+得：（k+1）2﹣（k+2）（k+1）﹣=0，解得：k=2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．10.解：（1）∵y=（x﹣m）2﹣4m2，∴当y=0时，（x﹣m）2﹣4m2=0，解得x1=﹣m，x2=3m，∵m＞0，∴A、B两点的坐标分别是（﹣m，0），（3m，0）；（2）∵A（﹣m，0），B（3m，0），m＞0，∴AB=3m﹣（﹣m）=4m，圆的半径为AB=2m，∴OM=AM﹣OA=2m﹣m=m，∴抛物线的顶点P的坐标为：（m，﹣2m），又∵二次函数y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），∴﹣2m=﹣4m2，解得m1=，m2=0（舍去），∴二次函数的解析式为y=（x﹣）2﹣1，即y=x2﹣x﹣；（3）如图，连接CM．在Rt△OCM中，∵∠COM=90°，CM=2m=2×=1，OM=m=，∴OC===，∴CD=2OC=．追加第（4）问：过点B作x轴的垂线l，若点F为直线l上一点，且△BCF是等腰三角形，求F点坐标．（4）∵FB⊥x轴，∴FB为⊙M的切线，∵△BCF是等腰三角形，∴BC=BF，BC=CF，BF=CF，设F（，t），∵B（，0），C（0，），∴（﹣0）2+（0﹣）2=t2，∴t=±，∴（﹣0）2+（0﹣）2=（﹣0）2+（t﹣）2，∴t1=0（舍），t2=，∴（﹣0）2+（t﹣）2=t2，∴t=，∴F1（，），F2（，﹣）．11.（1）解：由，解得：，．则A，B两点的坐标分别为：A（，3﹣），B（，3+），∵P是A，B的中点，由中点坐标公式得P点坐标为（，），即（，3），又∵PC⊥x轴交抛物线于C点，将x=代入y=2x2中得y=，∴C点坐标为（，）．（2）证明：由两点间距离公式得：AB==5，PC=|3﹣|=，∴PC=PA=PB，∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°，∴△ABC为直角三角形．（3）解：过点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，则H点的坐标为（，3﹣），∴S△PAC=AP•CG=PC•AH，∴CG=AH=|﹣|=．又∵直线l与l′之间的距离等于点C到l的距离CG，∴直线l与l′之间的距离为．12.（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则+=+==，联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，∴+===1，∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．13.解：（1）由y=0得，ax2﹣2ax﹣3a=0，∵a≠0，∴x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标（﹣1，0），点B的坐标（3，0）；（2）由y=ax2﹣2ax﹣3a，令x=0，得y=﹣3a，∴C（0，﹣3a），又∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，得D（1，﹣4a），∴DH=1，CH=﹣4a﹣（﹣3a）=﹣a，∴﹣a=1，∴a=﹣1，∴C（0，3），D（1，4），设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得，，解得，∴直线CD的解析式为y=x+3；（3）存在．由（2）得，E（﹣3，0），∵点B的坐标（3，0），N是线段OB的中点，∴N（，0）∴F（，），EN=，作MQ⊥CD于Q，设存在满足条件的点M（，m），则FM=﹣m，EF==，MQ=OM=由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，∴=，即=，∴2（+m2）=（﹣m）2，整理得4m2+36m﹣63=0，∴m2+9m=，m2+9m+=+（m+）2=m+=±∴m1=，m2=﹣，∴点M的坐标为M1（，），M2（，﹣）．14.解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：，解得；∴直线AB的解析式为y=﹣x+1；由题意知：抛物线的对称轴为y轴，则抛物线经过（﹣4，3），（2，0），（﹣2，0）三点；设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）（x+2），则有：3=a（﹣4﹣2）（﹣4+2），a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣1；（2）易知：A（﹣4，3），则OA==5；而A到直线l的距离为：3﹣（﹣2）=5；所以⊙A的半径等于圆心A到直线l的距离，即直线l与⊙A相切；（3）过D点作DM∥y轴交直线于点M交抛物线于点P，则P（m，n），M（m，﹣2）；∴PO2=m2+n2，PM2=（n+2）2；∵n=m2﹣1，即m2=4n+4；∴PO2=n2+4n+4=（n+2）2，即PO2=PM2，PO=PM；易知D（﹣1，），则OD的长为定值；若△PDO的周长最小，则PO+PD的值最小；∵PO+PD=PD+PM≥DM，∴PD+PO的最小值为DM，即当D、P、M三点共线时PD+PM=PO+PD=DM；此时点P的横坐标为﹣1，代入抛物线的解析式可得y=﹣1=﹣，即P（﹣1，﹣）；∴S四边形CPDO=（CO+PD）×|x D|=×（2++）×1=．15.解：（1）圆的半径r====4．如答图1，连接ME，∵NE是切线，∴ME⊥NE．在Rt△MNE中，∠ONE=30°，MA=ME=4，∴∠EMN=60°，MN=8，∴OM=2，∴OA=2，OB=6．∴点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0）．∵抛物线过A、B两点，所以可设抛物线解析式为：y=a（x+2）（x﹣6），又∵抛物线经过点C（0，﹣2），∴﹣2=a（0+2）（0﹣6），解得a=．∴抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣6）=x2﹣x﹣2．∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣2）2﹣，∴顶点D的坐标为（2，﹣）．（2）如答图2，由抛物线的对称性可知：AD=BD，∠DAB=∠DBA．若在抛物线对称轴的右侧图象上存在点P，使△ABP与△ADB相似，必须有∠BAP=∠BPA=∠BAD．设AP交抛物线的对称轴于D′点，显然，∴直线AP的解析式为，由，得x1=﹣2（舍去），x2=10．∴P（10，8）．过P作PG⊥x轴，垂足为G，在Rt△BGP中，BG=4，PG=8，∵∴PB≠AB．∴∠BAP≠∠BPA．．∴△PAB与△BAD不相似，同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点．所以在该抛物线上不存在点P，使得△PAB与△DAB相似．（3）如答图3，连结AF、QF，在△AQF和△AFH中，由垂径定理易知：弧AE=弧AF．∴∠AQF=∠AFH，又∠QAF=∠HAF，∴△AQF∽△AFH，∴，∴AH•AQ=AF2在Rt△AOF中，AF2=AO2+OF2=22+（2）2=16（或利用AF2=AO•AB=2×8=16）∴AH•AQ=16 即：AH•AQ为定值．16.解：（1）在函数y=﹣x+1中，令x=0，得y=1，∴B（0，1），令y=0，得x=1，∴A（1，0），则OA=OB=1，AB=，∴△AOB周长为1+1+=2+．（2）∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=45°，∴∠PBO=∠QAO=135°，设∠POB=x，则∠OPB=∠AOQ=135°﹣x﹣90°=45°﹣x，∴△PBO∽△OAQ，∴=，∴PB==，过点P作PH⊥OB于H点，则△PHB为等腰直角三角形，∵PB=，∴PH=HB=，∴P（﹣，1+）．（3）由（2）可知△PBO∽△OAQ，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等，∴PB=OA，∴=1，∴t=1，同理可得Q（1+，﹣），∴m==﹣1，∵抛物线经过点A，∴a+b+c=0，又∵6a+3b+2c=0，∴b=﹣4a，c=3a，对称轴x=2，取值范围﹣1≤x+1，①若a＞0，则开口向上，由题意x=﹣1时取得最大值=2+2，即（﹣1）2a+（﹣1）b+c=2+2，解得a=．②若a＜0，则开口向下，由题意x=2时取得最大值2+2，即4a+2b+c=2+2，解得a=﹣2﹣2．综上所述所求a的值为或﹣2﹣2．17.解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小，∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5×（0﹣1）2=5，②当1≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大，∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．18.解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，∴y=×（﹣2）2=1，A点的坐标为（﹣2，1），设直线的函数关系式为y=kx+b，将（0，4），（﹣2，1）代入得，解得，∴直线y=x+4，∵直线与抛物线相交，∴x+4=x2，解得：x=﹣2或x=8，当x=8时，y=16，∴点B的坐标为（8，16）；（2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，∴AG2+BG2=AB2，∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2=325．设点C（m，0），同理可得AC2=（m+2）2+12=m2+4m+5，BC2=（m﹣8）2+162=m2﹣16m+320，①若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2，即325+m2+4m+5=m2﹣16m+320，解得：m=﹣；②若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2，即325=m2+4m+5+m2﹣16m+320，解得：m=0或m=6；③若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2，即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325，解得：m=32；∴点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）（3）设M（a，a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，在Rt△MQN中，由勾股定理得MN==a2+1，又∵点P与点M纵坐标相同，∴+4=a2，∴x=，∴点P的横坐标为，∴MP=a﹣，∴MN+3PM=+1+3（a﹣）=﹣a2+3a+9，∴当a=﹣=6，又∵﹣2≤6≤8，∴取到最大值18，∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．19.方法一：解：（1）∵点A、B是抛物线y=x2与直线y=﹣x+的交点，∴x2=﹣x+，解得x=1或x=﹣．当x=1时，y=1；当x=﹣时，y=，∴A（﹣，），B（1，1）．（2）①∵点P（﹣2，t）在直线y=﹣2x﹣2上，∴t=2，∴P（﹣2，2）．设A（m，m2），如答图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．∵PA=AB，∴AE是梯形PGFB的中位线，∴GE=EF，AE=（PG+BF）．∵OF=|EF﹣OE|，GE=EF，∴OF=|GE﹣EO|∵GE=GO﹣EO=2+m，EO=﹣m∴OF=|2+m﹣（﹣m）|=|2+2m|∴OF=2m+2，∵AE=（PG+BF），∴BF=2AE﹣PG=2m2﹣2．∴B（2+2m，2m2﹣2）．∵点B在抛物线y=x2上，∴2m2﹣2=（2+2m）2 解得：m=﹣1或﹣3，当m=﹣1时，m2=1；当m=﹣3时，m2=9 ∴点A的坐标为（﹣1，1）或（﹣3，9）．②设P（a，﹣2a﹣2），A（m，m2）．如答图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．与①同理可求得：B（2m﹣a，2m2+2a+2）．∵点B在抛物线y=x2上，∴2m2+2a+2=（2m﹣a）2整理得：2m2﹣4am+a2﹣2a﹣2=0．△=16a2﹣8（a2﹣2a﹣2）=8a2+16a+16=8（a+1）2+8＞0，∴无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根．即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A，使得PA=AB成立．（3）∵△AOB的外心在边AB上，∴AB为△AOB外接圆的直径，∴∠AOB=90°．设A（m，m2），B（n，n2），如答图2所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．∴，即，整理得：mn（mn+1）=0，∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=﹣1．设直线m的解析式为y=kx+b，联立，得：x2﹣kx﹣b=0．∵m，n是方程的两个根，∴mn=﹣b．∴b=1．设直线m与y轴交于点D，则OD=1．易知C（0，﹣2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．设P（a，﹣2a﹣2），过点P作PG⊥y轴于点G，则PG=﹣a，GD=OG﹣OD=﹣2a﹣3．在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2，即：（﹣a）2+（﹣2a﹣3）2=32，整理得：5a2+12a=0，解得a=0（舍去）或a=﹣，当a=﹣时，﹣2a﹣2=，∴P（﹣，）．方法二：1）略．（2）①∵y=﹣2x﹣2，P（﹣2，t），∴P（﹣2，2），设A（a，a2），∵PA=AB，∴B（2a+2，2a2﹣2），∴2a2﹣2=（2a+2）2，∴a1=﹣1，a2=﹣3，∴满足题意的点A（﹣1，1）或（﹣3，9），②∵点P是直线：y=﹣2x﹣2上的点，∴设P（t，﹣2t﹣2），∵点A在抛物线：y=x2上，∴设A（a，a2），∵PA=AB，∴B（2a﹣t，2a2+2t+2），∴（2a﹣t）2=2a2+2t+2，∴2a2﹣4ta+t2﹣2t﹣2=0，△=（﹣4t）2﹣4×2（2t2﹣t+3）=8（t+1）2+8＞0，∴无论t为何值，关于a的一元二次方程总有两个不等的实数解，对于直线上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到A，使得PA=AB成立．（3）设直线AB与y轴交于点D，若△AOB的外心在边AB上，则OA⊥OB，设B（m，m2），∴K OB=m，又∵K OA×K OB=﹣1，∴K OA=﹣，∴l OA：y=﹣x，∵y=x2，∴A（，），B（m，m2），∴l AB：y=（m﹣）x+1，∴D（0，1），∵l AC：y=﹣2x﹣2，∴C（0，﹣2），设P（t，﹣2t﹣2），∵∠BPC=∠OCP，∴CD=PD，∴t2+（2t+3）2=32，∴t1=0（舍），t2=﹣，综上所述，满足题意的点P（﹣，）．20.（1）解：∵A（0，m﹣1）在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣2上，∴a（0﹣m）2+2m﹣2=m﹣1．∴a=．∴抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m﹣2．（2）证明：如图1，设直线PA的解析式为y=kx+b，∵点P（m，2m﹣2），点A（0，m﹣1）．∴．解得：．∴直线PA的解析式是y=x+m﹣1．当y=0时，x+m﹣1=0．∵m＞1，∴x=﹣m．∴点B的横坐标是﹣m．设直线OP的解析式为y=k′x，∵点P的坐标为（m，2m﹣2），∴k′m=2m﹣2．∴k′=．∴直线OP的解析式是y=x．联立解得：或．∵点C在第三象限，且m＞1，∴点C的横坐标是﹣m．∴BC∥y轴．（3）方法一：解：若点B′恰好落在线段BC′上，设对称轴l与x轴的交点为D，连接CC′，如图2，则有∠PB′C′+∠PB′B=180°．∵△PB′C′是由△PBC绕点P逆时针旋转所得，∴∠PBC=∠PB′C′，PB=PB′，∠BPB′=∠CPC′．∴∠PBC+∠PB'B=180°．∵BC∥AO，∴∠ABC+∠BAO=180°．∴∠PB′B=∠BAO．∵PB=PB′，PC=PC′，∴∠PB′B=∠PBB′=，∴∠PCC′=∠PC′C=．∴∠PB′B=∠PCC′．∴∠BAO=∠PCC′．∵点C关于直线l的对称点为C′，∴CC′⊥l．∵OD⊥l，∴OD∥CC′．∴∠POD=∠PCC′．∴∠POD=∠BAO．∵∠AOB=∠ODP=90°，∠POD=∠BAO，∴△BAO∽△POD．∴=．∵BO=m，PD=2m﹣2，AO=m﹣1，OD=m，∴=．解得：∴m1=2+，m2=2﹣．经检验：m1=2+，m2=2﹣都是分式方程的解．∵m＞1，∴m=2+．∴若点B′恰好落在线段BC′上，此时m的值为2+．方法二：∵点C关于直线l的对称点为C″，∴，∵C（﹣m，2﹣2m），P（m，2m﹣2），∴m=，∴C′X=3m，∴C′（3m，2﹣2m），∵将△PBC绕点P逆时针旋转，∴△BCP≌△B′C′P，∵点B′恰好落在线段BC′上，∴线段BP所对的∠BCP=∠B′C′P，∴点P，B，C，C′四点共圆，（同侧共底的两个三角形顶角相等，则四点共圆）∵C Y=C′Y=2﹣2m，∴CC′⊥BC，∴BC′为P，B，C，C′四点共圆所在圆的直径，∴BP⊥C′P，∴K BP×K C′P=﹣1，∵P（m，2m﹣2），∴C′（3m，2﹣2m），B（﹣m，0），∴=﹣1，∴m2﹣4m+2=0，∴m1=2﹣，m2=2+，∵m＞1，∴m=2+．21.解：（1）将A（，0）、B（1，）代入抛物线解析式y=x2+bx+c，得：，解得：．∴y=x2x+．（2）当∠BDA=∠DAC时，BD∥x轴．∵B（1，），当y=时，=x2x+，解得：x=1或x=4，∴D（4，）．（3）①四边形OAEB是平行四边形．理由如下：抛物线的对称轴是x=，∴BE=﹣1=．∵A（，0），∴OA=BE=．又∵BE∥OA，∴四边形OAEB是平行四边形．②∵O（0，0），B（1，），F为OB的中点，∴F（，）．过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN=﹣=，BN=1﹣=．在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF==．∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，∴∠FBM=2∠BMF．（I）当点M位于点B右侧时．在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF=，连接FG，则GN=BG﹣BN=1，在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG==．∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，∴∠BFG=∠BMF，又∵∠MGF=∠MGF，∴△GFB∽△GMF，∴，即，∴BM=；（II）当点M位于点B左侧时．设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，∴KF=OB=FB=，∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，∴∠BMF=∠MFK，∴MK=KF=，∴BM=MK+BK=+1=．综上所述，线段BM的长为或．22.解：（1）∵抛物线y=ax2﹣4与y轴相交于点B，∴点B的坐标是（0，﹣4），∴OB=4，∵AB=2，∴OA==2，∴点A的坐标为（﹣2，0），把（﹣2，0）代入y=ax2﹣4得：0=4a﹣4，解得：a=1，则抛物线的解析式是：y=x2﹣4；（2）方法一：∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，m2﹣4），过点P作PE⊥x轴于点E，∴OE=m，PE=m2﹣4，∴AE=2+m，∵=，∴=，∴CO=2m﹣4；方法二：∵点P在抛物线上，∴P（m，m2﹣4），设PA的直线方程为：y=kx+b，∴⇒，∴l PA：y=（m﹣2）x+2m﹣4，∴CO=2m﹣4；（3）方法一：∵tan∠ODC=，∴=，∴OD=OC=×（2m﹣4）=，∵△ODB∽△EDP，∴=，∴=，∴m1=﹣1（舍去），m2=3，∴OC=2×3﹣4=2，∵OA=2，∴OA=OC，∴∠PAD=45°，∴sin∠PAD=sin45°=．方法二：∵P（m，m2﹣4），B（0，﹣4），∴l PB：y=mx﹣4，∴D（，0），tan∠ODC=⇒，OC=2m﹣4，∴OD=，∵线段AP与y轴的正半轴交于点C，∴OC=2m﹣4（m＞2），∴，经整理：m2﹣2m﹣3=0，∴m1=﹣1（舍去），m2=3，∴P（3，5），∴l PA：y=x+2，∴∠PAD=45°，∴sin∠PAD=．23.解：（1）∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1，则有解得∴二次函数y=x2﹣2x，（2）由（1）得，B（1，﹣1），∵A（﹣1，3），∴直线AB解析式为y=﹣2x+1，AB=2，设点Q（m，0），P（n，n2﹣2n）∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有，解得或∴P（1+，2）和（1﹣，2）②当AB为边时，根据中点坐标公式得解得或∴P（1+，4）或（1﹣，4）．故答案为P（1+，2）或（1﹣，2）或P（1+，4）或（1﹣，4）．（3）设T（m，m2﹣2m），∵TM⊥OC，∴可以设直线TM为y=﹣x+b，则m2﹣2m=﹣m+b，b=m2﹣2m+，由解得，∴OM==，ON=m•，∴=，∴k=时，=．∴当k=时，点T运动的过程中，为常数．24.解：（1）设ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，把a=，c=2代入得：x2+bx+2=0，∵x1=2是它的一个根，∴×22+2b+2=0，解得：b=﹣，∴方程为：x2﹣x+2=0，∴另一个根为x2=3；（2）当x 1=2c时，x2==，此时b=﹣a（x1+x2）=﹣（2ac+），4ac=﹣2b﹣1，∵M（﹣，），当△ABM为等边三角形时||=AB，即||=（﹣2c），∴||=•，∴b2+2b+1=（1+2b+1），解得：b1=﹣1，b2=2﹣1（舍去），此时4ac=﹣2b﹣1=1，即2c=，A、B重合，∴△ABM不可能为等边三角形；（3）∵△BPO∽△PAO，∴=，即x1x2=c2=，∴ac=1，由S 1=S2得c=||=﹣c，∴b2=4a•2c=8ac=8，∴b1=﹣2，b2=2（舍去），方程可解为x2﹣2x+c=0，∴x 1===（﹣1）c，∴m=﹣1．25.解：（1）当x=0时，由y=kx+1得y=1，则C（0，1）．∵抛物线y=ax2﹣（6a﹣2）x+b（a≠0）经过C（0，1），B（4，3），∴，解得：，∴a=；（2）把B（4，3）代入y=kx+1中，得3=4k+1，解得：k=，∴直线AB的解析式为y=x+1．由y=0得0=x+1，解得：x=﹣2，∴A（﹣2，0），OA=2，∵C（0，1），∴OC=1，∴tan∠CAO==．∵PQ⊥x轴，∴tan∠PAQ==，设PQ=m，则QA=2m，∵tan∠NAQ﹣tan∠MPQ=，∴=，∵MQ=，∴﹣=，∴PN=；（3）方法一：在y轴左侧抛物线上存在E，使得△ENP与以PN，PD，NC的长为三边长的三角形全等．过点D作DF⊥CO于点F，如图2，∵DF⊥CF，CD⊥AB，∴∠CDF+∠DCF=90°，∠DCF+∠ACO=90°，∴∠CDF=∠ACO，∵CO⊥x轴，DF⊥CO，∴∠AOC=∠CFD=90°，在△ACO和△CDF中，，∴△ACO≌△CDF（AAS），∴CF=AO=2，DF=CO=1，∴OF=CF﹣CO=1，作PH∥CN，交y轴于点H，连接DH，∵CH∥PN，∴四边形CHPN是平行四边形，∴CN=HP，CH=PN=，∴HF=CF﹣CH=，DH==，∴DH=PN．∴△PHD是以PN，PD，NC的长为三边长的三角形，∴S△PHD=．延长FD、PQ交于点G，∵PQ∥y轴，∴∠G=180°﹣∠CFD=90°，∴S四边形HFGP=S△HFD+S△PHD+S△PDG，∴（HF+PG）FG=HF•FD++DG•PG．∵点P在y=x+1上，∴可设P（t，t+1），∴（+t+1+1）•t=××1++（t﹣1）•（t+1+1），∴t=4，P（4，3），∴N（4，），tan∠DPG==．∵tan∠HDF==，∴∠DPG=∠HDF．∵∠DPG+∠PDG=90°，∴∠HDF+∠PDG=90°，∴∠HDP=90°．∵PN=DH，若△ENP与△PDH全等，则有两种情况：①当∠ENP=∠PDH=90°，EN=PD时，∵PD==5，∴EN=5，∴E（﹣1，）．由（1）得：抛物线y=x2﹣x+1．当x=﹣1时，y=，所以点E在此抛物线上．②当∠NPE=∠HDP=90°，BE=PD时，则有E（﹣1，3），此时点E不在抛物线上，∴存在点E，满足题中条件，点E的坐标为（﹣1，）．方法二：作BF∥CN交y轴于点F，如图3，。
抛物线中考压轴题(精选)
1.（08福建莆田）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a=-）4.（08广东深圳）如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝31． （1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.y x O E D CB A GA BCD O xy7.（08湖北荆门）已知抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点A 在x 轴上，与y 轴的交点为B （0，1），且b =－4ac ． (1) 求抛物线的解析式；(2) 在抛物线上是否存在一点C ，使以BC 为直径的圆经过抛物线的顶点A ？若不存在说明理由；若存在，求出点C 的坐标，并求出此时圆的圆心点P 的坐标；(3) 根据(2)小题的结论，你发现B 、P 、C 三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?10.（08湖北武汉）如图 1，抛物线y=ax2-3ax+b 经过A （-1,0），C （3,2）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B.（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将 四 边 形ABCD 面积二等分，求k 的值；（3）如图2，过点 E （1，-1）作EF ⊥x 轴于点F ，将△AEF 绕平面内某点旋转 180°后得△MNQ （点M ，N ，Q 分别与 点 A ，E ，F 对应），使点M ，N 在抛物线上，求点M ，N 的坐标.3（08湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为(0，-3)，AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)你能求出经过点C 的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；O x y ABO x y A C B P P 1 D P 2 PAOBMDCyx(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D 的“蛋圆”切线的解析式.14.（08江苏常州）如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ,它的顶点为A ,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l ,设P 是直线l 上一动点.(1) 求点A 的坐标;(2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;(3) 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+,求x 的取值范围.15、（08江苏淮安）如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D. (1)写出点P 的坐标；(2)连结AP ，如果△APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点C 、D 的坐标； (3)在(2)的条件下，连结BC 、AC 、AD ，点E(0，b)在线段CD(端点C 、D 除外)上,将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，根据不同情况，分别用含b 的代数式表示S ．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．27、（08江西南昌）如图，抛物211y ax ax =--+经过点19(,)28P -，且与抛物线221y ax ax =--相交于A 、B 两点（1）求a 值；（2）设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；（3）设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点(0)Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C ，D 两点，试问当x为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？33、（08山东临沂）如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。
中考数学必刷题压轴题专题：抛物线之新定义之整点专题
中考数学抛物线压轴题之新定义（整点问题）1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与y轴交于点A．（1）求点A和抛物线顶点的坐标（用含a的式子表示）；（2）直线y＝﹣ax+3a与抛物线y＝ax2﹣4ax+3a围成的区域（不包括边界）记作G．横、纵坐标都为整数的点叫做整点．①当a＝1时，结合函数图象，求区域G中整点的个数；②当区域G中恰有6个整点时，直接写出a的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线与x轴交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a+1（a＜0）的对称轴为直线x＝1．（1）用含有a的代数式表示b；（2）求抛物线顶点M的坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点P（0，a）作x轴的平行线交抛物线于A，B两点．记抛物线在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．①当a＝﹣1时，直接写出区域W内整点的个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求a的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y＝x2+bx+c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求c、b（用含t的代数式表示）；（2）嘉琪认为：“当这条抛物线经过点B时，一定不会经过点C”请你通过计算说明他的说法对吗？（3）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．5．在平面直角坐标系中，y＝ax2﹣bx﹣c与y轴交于点A，将点A向右平移两个单位长度，得到点B，点B 在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A、B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有两个整点，结合函数图象，求a的取值范围．6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的各边与坐标轴平行，其中A（﹣4，2），B（2，2），反比例函数y＝的图象过B点，抛物线y＝﹣（x+m）2+2顶点在线段AB上．（1）若该抛物线与反比例函数y＝的交点在正方形的边AD上，求m的值．（2）若抛物线过原点O，判断抛物线与双曲线的交点能否在正方形的边上，试通过计算说明．（3）我们把横纵坐标都是整数的点称为整点（如A点），已知正方形，二次函数下方和反比例函数图象所形成的封闭区域（如图中阴影区域，包括边界）中的整点恰好有13个，求m的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．（1）求抛物线的对称轴；（2）①过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m的取值范围．8．已知点P（2，﹣3）在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；（2）当L经过（3，3）时，求此时L的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；（4）点M（x1，y1），N（x2，y2）是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2的顶点为A，直线y＝x+3与抛物线交于点B，C（点B 在点C的左侧）．（1）求点A坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段BC及抛物线在B，C两点之间的部分围成的封闭区域（不含边界）记为W．①当a＝0时，结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；②如果区域W内有2个整点，请求出a的取值范围．10．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2．（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合：．（2）求抛物线y＝﹣x2+x+1的“同轴对称抛物线”．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′．①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．11．如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x+m与y轴交于点B，抛物线y＝x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m＞0）．（1）当AB＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m＝2020时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣1）2﹣1与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．（1）求点A，B的坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．①直接写出线段AB上整点的个数；②将抛物线y＝（x﹣1）2﹣1沿x翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在x轴上方的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点的个数．13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝mx2+2mx+m﹣1沿x轴翻折得到抛物线C2．（1）求抛物线C2的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝1时，求抛物线C1和C2围成的封闭区域内（包括边界）整点的个数；②如果抛物线C1和C2围成的封闭区域内（包括边界）恰有7个整点，求出m的取值范围．14．如图，已知二次函数y＝x2+2x﹣1的图象经过点P（1，m）．（1）求m的值和图象的顶点A的坐标；（2）点Q（n，t）在该二次函数图象上．①将点Q向左平移6单位得点Q′，若Q′恰好也在抛物线上，求n，t的值．②将横、纵坐标均为整数的点称为整点，在直线y＝t下方的抛物线上（包括边界）恰好存在7个整点，则t的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）与x轴的交点为A、B，（点A在点B的左侧），且AB＝2．（1）求抛物线的对称轴及m的值（用含字母a的代数式表示）；（2）当a＞0时，抛物线a＝aa2﹣4aa+a的顶点为C，若△ABC为等边三角形，则求抛物线的解析式；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．（1）当a＝1时，求点A，B，D的坐标；（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有7个整点，结合函数图象，求a的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2﹣4ax+3a的对称轴交于点A（m，﹣1），点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点．（1）求抛物线的对称轴及a的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线围成的封闭区域（不含边界）为W．①当k＝1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求b的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）与x轴的交点为A、B，（点A在点B的左侧），且AB＝2．（1）求抛物线的对称轴及m的值（用含字母a的代数式表示）；（2）若抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）与y轴的交点在（0，﹣1）和（0，0）之间，求a的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2的顶点为M．（1）顶点M的坐标为．（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若MN∥y轴且MN＝2．①点N的坐标为；②过点N作y轴的垂线l，若直线l与抛物线交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m的取值范围．20．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y＝x2+bx+c经过点O和点P已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求c，b（用含t的代数式表示）（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N设△MPN的面积S，求S的取值范围；（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点，称为“整点”若抛物线将这些“整点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．。
中考数学复习《抛物线压轴题中的动点问题》(五大必考题型汇编)专题练习
中考数学复习高频考点提升《抛物线压轴题中的动点问题》（五大必考题型汇编）专题练习考型一：平移型动点问题1. 如图,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A,B,且过点C(5,4).(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标.(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的表达式.2.如图，抛物线y＝x2＋(m＋2)x＋4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋2与抛物线交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)将直线AB上下平移，平移后的直线y＝x＋t与抛物线交于A′、B′两点(A′在B′的左侧)，当以点A′、B′、(2)中第二象限的点P为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值．3. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1．0)，B(4．0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E．垂直于x 轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2＋bx＋4和BC所在直线的表达式；（2）连接CP，CD，在移动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．考型二：动点与面积问题1. 如图,抛物线经过A(-2,0),B,C(0,2)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)在直线AC下方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求点D的坐标.CA O EFBPDlxy2.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx＋3与抛物线交于点A(9，－6)，与y 轴交于点B，抛物线的顶点C的坐标是(4，－11)．(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；(2)D是抛物线上位于对称轴左侧的点，若△ABD的面积为812，求点D的坐标；3.如图，抛物线y＝x2＋(m＋2)x＋4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋2与抛物线交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上一点，若S△PAB＝2S△ABC，求点P的坐标；4. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),与y轴交于点C.(1)求这条抛物线的表达式.(2)如图1,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标.考型三：动点与角度变换问题1. 如图,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(1)求抛物线解析式;(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积为1;(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.2. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx＋3与抛物线交于点A(9，－6)，与y轴交于点B，抛物线的顶点C的坐标是(4，－11)．(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；(2)在y轴上是否存在一点P，使∠APC＝45°？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．考型四：动点与图形周长问题1. 如图,抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x=2.(1)求抛物线的表达式.(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.2. 如图，抛物线y＝x2＋(m＋2)x＋4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋2与抛物线交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上一点，若S△PAB＝2S△ABC，求点P的坐标；3. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),与y轴交于点C.(1)求这条抛物线的解析式;(2)如图2,线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.4. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),与y轴交于点C.(1)求这条抛物线的表达式.(2)如图2,线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.考型五：动点与图形存在问题1. 如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,-2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=-1.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在第二象限内,且PE=2OD,求△PBE的面积;(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使△BDM 是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.2. 如图1所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,C.(1)求抛物线的解析式;(2)点E在抛物线的对称轴上,求CE+OE的最小值;(3)如图2所示,M是线段OA上的一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AC 和抛物线分别交于点P,N.若点P恰好是线段MN的中点,点F是直线AC上的一个动点,在坐标平面内是否存在点D,使以点D,F,P,M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.3. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．（1）如图1，当AC∥x轴时，①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．（2）如图2，若b＝﹣2，BCAC =35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋3分别交x轴、y轴于A，B 两点，经过A，B两点的抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的正半轴相交于点C (1，0)．(1)求抛物线的解析式;(2)若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长;(3)在(2)的条件下，设M是y轴上一点，试问:抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出点N的坐标;若不存在，请说明理由．。
中考数学 抛物线-压轴题
1 / 5数学中考题精选----------抛物线1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ， △AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值． （3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 直接写出相应的点Q 的坐标．2、已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A （0，4），且抛物线的对称轴为直线x ＝2． （1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线的顶点为B ，在抛物线上是否存在点C ，使得A 、B 、O 、C 点构成的四边形为梯形？若存在，请求出点C （3）试问在抛物线上是否存在着点P ，使得以3为半径的⊙P 既与x 又与对称轴相交？若存在，请求出点P 的坐标，并求出对称轴被⊙P 的弦EF 的长度；若不存在，请说明理由．3、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为Q （2，－1），且与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由． ．4、如图，平面直角坐标系中，点A 、B 、C 在x 轴上，点D 、E 在y 轴2 / 5上，OA ＝OD ＝2，OC ＝OE ＝4，DB ⊥DC ，直线AD 与经过B 、E 、C 三点的抛物线交于F 、G 两点，与其对称轴交于M .点，P 为线段FG 上一个动点（与F 、G 不重合），PQ ∥y 轴与抛物线交于点Q ． （1）求经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P ，使得以P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOD 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N ，连接QN ，探究四边形PMNQ 的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．5、如图，把抛物线y ＝－x 2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线l 1，抛物线l 2与抛物线l 1关于y 轴对称．点A 、O 、B 分别是抛物线l 1、l 2与x 轴的交点，D 、C 分别是抛物线l 1、l 2的顶点，线段CD 交y 轴于点E ．（1）分别写出抛物线l 1与l 2的解析式；（2）设P 是抛物线l 1上与D 、O 两点不重合的任意一点，Q 点是P点关于y 轴的对称点，试判断以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由．（3）在抛物线l 1上是否存在点M ，使得S △ABM ＝S 四边形AOED ，如果存在，求出M 点的坐标；如果不存在，请说明理由．6、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A （3，0），B （2，－3），C （0，－3）．（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；（2）点P 从B 点出发以每秒个单位的速度沿线段BC 向C 点运动，点Q 从O 点出发以相同的速度沿线段OA 向A 点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t 秒．①当t 为何值时，四边形ABPQ 为等腰梯形；②设PQ 与对称轴的交点为M ，过M 点作x 轴的平行线交AB 于点N ，设四边形ANPQ 的面积为S ，求面积S 关于时间t 的函数解析式，并指出t 的取值X 围；当t 为何值时，S 有最大值或最小值． 说明理由．7、如图，二次函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴交于A （－21，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；3 / 5（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．8、如图，Rt △ABC 的顶点坐标分别为A （0，3），B （－21，23），C （1，0），∠ABC ＝90°，BC 与y 轴的交点为D ，D 点坐标为（0，33），以点D 为顶点、y 轴为对称轴的抛物线过点B ．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABC 沿AC 折叠后得到点B 的对应点B ′，求证：四边形AOCB ′是矩形，并判断点B ′是否在（1）的抛物线上；（3）延长BA 交抛物线于点E ，在线段BE 上取一点P ，过P 点作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，是否存在这样的点P ，使四边形PADF 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．9、如图，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，A （－3，0），过点C 的直线y ＝－2x ＋4与x 轴交于点D ，二次函数y ＝－21x 2＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点． （1）求B 、C 两点的坐标； （2）求二次函数的解析式；（3）若点P 是CD 的中点，求证：AP ⊥CD ；（4）在二次函数的图象上是否存在这样的点M ，使以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，在平面直角坐标系中，以点A (－3，0)为圆心、5为半径的圆与x 轴相交于点B 、C 两点（点B 在点C 的左边），与y 轴相交于D 、M 两点（点D 在点M 的下方）．（1）求以直线x ＝－3为对称轴、且经过D 、C 两点的抛物线的解析式； （2）若点P 是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC ＋PD 的取值X 围；（3）若点E E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F4 / 511、如图，已知抛物线y ＝ax 2－2ax －b （a ＞0）与x 轴的一个交点为B (－1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标； （2）以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的解析式；②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．12、如图，已知抛物线与x 轴交于点A (－1，0)和点B (1，0)，与y 轴交于点C (0，－2)，直线x ＝m (m ＞1)与x 轴交于点D ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线x ＝m (m ＞1)上有一点P （点P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在点Q ，使得四边形ABPQ 为平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．13、已知抛物线：x x y 22121+-= （1）求抛物线y 1的顶点坐标；（2）将抛物线y 1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y 2，求抛物线y 2的解析式；（3）如下图，抛物线y 2的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在y 1、y 2这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．x ＝m5 / 514如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ．有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB ＝4米，AC ＝3米，网球飞行最大高度OM =5米，圆柱形桶的直径为，高为（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？15、已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 交y 轴于点A ，点A 关于抛物线对称轴的对称点为B （3，－4），直线y ＝41x 与抛物线在第一象限的交点为C ，连结OB ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点P 在射线．．OC ．．上运动，连结BP ，设点P 的横坐标为x ，△OBP 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；（3）如图（2），点P 在直线．．OC ．．上运动，点Q在抛物线上运动，试问点P 、Q 在运动过程中是否存在以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形的情况，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图（1） 图（2） 备用图。
一题多变抛物线的压轴题
一题多变抛物线的压轴题
本文将介绍一道题目，它考察了抛物线的多个性质，是一道典型的“一题多变”类型的题目，被称为抛物线的压轴题。
题目如下：
已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 上有点 $A(1,1)$，且该抛物线在点$A$ 处的切线斜率为 $2$，则：
(1) 求 $a,b,c$ 的值；
(2) 若该抛物线经过点 $B(2,5)$，求 $a,b,c$ 的值。
(3) 若该抛物线过点 $C(3,7)$，求 $a,b,c$ 的值。
(4) 若该抛物线经过点 $D(4,13)$，求 $a,b,c$ 的值。
(5) 若该抛物线在 $x$ 轴上的交点为 $(5,0)$，求 $a,b,c$ 的值。
(6) 若该抛物线在 $y$ 轴上的截距为 $-3$，求 $a,b,c$ 的值。
(7) 若该抛物线对称于直线 $y=x$，求 $a,b,c$ 的值。
(8) 若该抛物线在顶点处的纵坐标为 $2$，求 $a,b,c$ 的值。
通过这道题目的求解，可以感受到抛物线的多个性质之间的联系和影响，掌握了这些性质，就可以更加深入地理解和应用抛物线。
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抛物线压轴题答案
综合题答案1.如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．1答案：2.如图，二次函数y=ax2+x+c的图象与x轴交于点A 、B两点，且A 点坐标为（-2，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求出这个二次函数的解析式；（2）直接写出点B的坐标为______；（3）在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）∵y=ax2+x+c的图象经过A（-2，0），C（0，3），∴c=3，a=-，∴所求解析式为：y=-x2+x+3；（2）（6，0）；（3）在Rt△AOC中，∵AO=2，OC=3，∴AC=，①当P1A=AC时（P1在x轴的负半轴），P1（-2-，0）；②当P2A=AC时（P2在x轴的正半轴），P2（-2，0）；③当P3C=AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；④当P4C=P4A时（P4在x轴的正半轴），在Rt△P4OC中，设P4O=x，则（x+2）2=x2+32解得：x=，∴P4（，0）；（4）解：如图，设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=-x2+x+3上，即：Q点坐标为（x，-x2+x+3），连接OQ，S四边形ABQC=S△AOC+S△OQC+S△OBQ=3+x+3（-x2+x+3）=-x2+x+12，∵a＜0，∴S四边形ABQC最大值=，Q点坐标为（3，）。
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专题训练-25二次函数抛物线压轴题
郧西三中薛代星
1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直
接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的
m的值．
2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，
它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上
的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的
动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？
若能，求出m的值；若不能，请说明理由．3、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．
4、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求b、c的值；
（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．
5、如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6、如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x +的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．7、如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；
（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
8、如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A （，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9、抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．
（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；
（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，
使S
△ACE =S
△ACD
，求点E的坐标；
（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
10、如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t 秒．连接PQ．
（1）填空：b= ，c=；
（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；
（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；
（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．11、已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．
（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；
（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；
（3）直线y=x+m 与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，D两点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于E．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S
△ADF
=S
△ADE
，求此时抛物线的表达式．
12、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．
13、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB 于点E．
①当PE=2ED时，求P点坐标；
②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
14、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x ﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．
（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K 是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x ﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．
（1）求直线y=kx+b的函数解析式；
（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x 的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．
16、已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；
（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒
个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．。