第一章 三角形的证明 1.1等腰三角形 2课时 导学案(最新北师大版)
北师大版八年级数学下第一章1.1等腰三角形第一课时教学设计
1.分组讨论等腰三角形的性质及应用
我会将学生分成若干小组，让他们讨论等腰三角形的性质在实际问题中的应用。例如，如何利用等腰三角形的性质求解底边长度、底角大小等。
2.分组探讨等腰三角形的判定定理
各小组学生还需探讨等腰三角形的判定定理，并尝试运用定理解决实际问题。在此过程中，我会巡回指导，解答学生的疑问。
-对于作业中的共性问题，将在课堂上进行集中讲解，确保学生理解到位。
-表现优秀的作业将在课堂上展示，以激发学生的学习积极性。
2.学会使用等腰三角形的判定定理，判断一个三角形是否为等腰三角形。
-学生能够理解并掌握“两边相等的三角形是等腰三角形”这一判定定理，并能够运用到实际问题的解决中。
3.掌握等腰三角形的周长和面积计算方法，能够解决相关问题。
-学生能够根据等腰三角形的性质，运用周长和面积公式进行计算，解决实际应用问题。
（二）过程与方法
2.培养学生合作交流的意识，增强团队协作能力。
-教学过程中，教师鼓励学生进行小组合作、讨论交流，培养学生合作解决问题的能力。
3.培养学生勇于探索、积极思考的精神，树立正确的价值观。
-教师引导学生面对问题，勇于尝试，不怕困难，培养积极思考、解决问题的精神。
-学生在学习过程中，认识到数学知识在解决实际问题中的价值，树立正确的价值观。
3.提高学生的应用意识，将等腰三角形的知识与实际生活相结合。
-重难点：将理论知识应用于解决生活中的问题。
-设想：设计真实的情境问题，如建筑物的平面设计、艺术作品的对称性分析等，让学生在解决问题的过程中体验数学的价值。
（二）教学设想
1.采用探究式学习法，激发学生的求知欲和主动性。
-设想：通过引入富有挑战性的问题，如“如何确定等腰三角形的高线和中线？”激发学生的好奇心，引导学生通过实验、观察、推理等手段自主探索答案。
八年级数学下册第一章三角形的证明1.1.2等腰三角形教案北师大版(new)
1.1等腰三角形课题 1.1等腰三角形（2)授课时间年月日教学目标知识与技能：①探索--发现-—猜想-—证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；过程与方法：让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力情感与价值：鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲；教学重点能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．教学难点在命题的变式中,发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性;。
教学准备画图工具教学方法讲解和小组讨论第一环节：提出问题,引入新课在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗？第二环节:自主探究活动内容:在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。
教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：你可能得到哪些相等的线段？你如何验证你的猜测?你能证明你的猜测吗?试作图，写出已知、求证和证明过程;还可以有哪些证明方法？通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出:等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．并对这些命题给予多样的证明。
如对于“等腰三角形两底角的平分线相等",学生得到了下面的证明方法：第三环节：经典例题变式练习在课本图1-4的等腰三角形ABC中，(1)如果∠ABD=错误!∠ABC，∠ACE=错误!∠ACB呢?由此,你能得到一个什么结论?(2）如果AD=12AC，AE=错误!AB，那么BD=CE吗？如果AD=错误!错误!AC，AE=错误!AB呢？由此你得到什么结论?第四环节:拓展延伸,探索等边三角形性质活动内容：提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°。
第一章 三角形的证明 复习(有答案)导学案
第一章三角形的证明复习课导学案班级：__________姓名：_____________一．本章重要知识回顾：1．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形是图形．（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“”），它们所在的直线都是等腰三角形的，等腰三角形有条对称轴．（3）等腰三角形的两个底角，简称；（4）等腰三角形的相等；相等；相等；（5）等腰三角形底边的中点到两腰的距离（6）等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于。
2.等腰三角形的判定：（1）的三角形叫做等腰三角形（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也，简称．3.等边三角形的性质：（1）等边三角形三边都相等，三个内角都是，等边三角形是图形，等边三角形有条对称轴．（2）等边三角形内任意一点到三边距离之和等于。
4.等边三角形的判定：（1）三边都的三角形是等边三角形；（2）三角都的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于的三角形是等边三角形.5.直角三角形的性质：（1）直角三角形的两锐角；（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于；（4）如果直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角 .6.直角三角形的判定：（1）有一个是直角的三角形是直角三角形；（2）如果一个三角形的两条边的平分和等于第三条的平方，这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
7.直角三角形全等的判定方法：ASA,AAS,SSS,SAS,HL8.线段的垂直平分线和角平分线的性质和判定：（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个的距离相等。
（2）到一条线段两个距离的点，在这条线段的垂直平分线上。
(3)三角形三条边的垂直平分线相交于点，并且这点到的距离相等。
（4）角平分线上的点到的距离相等。
（5)在一个角的内部，到角距离相等的点，在这个角的上。
（6）三角形三个角的平分线相交于点，并且这点到的距离相等。
八年级数学下册 1 三角形的证明 课题 等腰三角形的判定与反证法学案 (新版)北师大版
课题等腰三角形的判定与反证法【学习目标】1．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．2．了解反证法的基本证明思路，并能简单应用．【学习重点】等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．【学习难点】反证法的证明方法．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．方法指导：1．等腰三角形的判定方法有两种：①根据定义判定；②等角对等边．2．“等角对等边”可以将图形中角的等量关系转化为线段的等量关系，是证明线段相等的一种重要方法．情景导入生成问题旧知回顾：1．等腰三角形性质定理内容是什么？等腰三角形两底角相等．2．我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两角所对的边也相等吗？答：还成立．如图，△ABC中，∠B＝∠C.求证：AB＝AC.证明：作AD⊥BC于D，由∠ADB＝∠ADC＝90°，∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC.自学互研生成能力知识模块一等腰三角形的判定【自主探究】阅读教材P8的内容，回答下列问题：等腰三角形的判定定理内容是什么？答：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”．范例：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，过D作DE⊥BC于E，并与CA的延长线相交于点F.求证：AD＝AF.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)．∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠DEC＝90°，∴∠2＋∠B＝∠F＋∠C＝90°，∴∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠F，∴AF＝AD(等角对等边)．仿例1：如图所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点，试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．证明：∵AC＝BD，∠BAC＝∠ABD，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD(SAS)，∴∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB(等角对等边)，∵OE是中线，∴OE⊥AB.仿例2：如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE 的周长是5 cm.归纳：注意等角对等边的灵活应用，仿例2中平行线和角平分线结合是得出等腰三角形的范例．学习笔记：行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．学习笔记：教会学生整理反思．知识模块二反证法阅读教材P8－9的内容，回答下列问题：什么是反证法？有哪些重要步骤？答：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．【合作探究】1．用反证法证明“等腰三角形的底角都是锐角”．已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B、∠C都是锐角．证明：假设∠B、∠C都是直角或钝角，∴∠B≥90°，∠C≥90°，∴∠B＋∠C≥90°＋90°＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，∴假设不成立，原命题的结论正确，即∠B、∠C都是锐角．2．用反证法证明一个三角形中不能有两个直角的第一步是假设这个三角形中有两个角是直角．3．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．归纳：对直接证明有困难的命题均可用反证法证明，它有三个基本步骤：①反设；②推出矛盾；③否定反设、肯定命题成立．交流展示生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一等腰三角形的判定知识模块二反证法检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
第1课时 等腰三角形的性质PPT课件(北师大版)
A．5
B．4
C．3
D．2
3．(2015·永州)如图，在△ABC中，∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5， AE＝2，则CE＝__3__．
4．(2015·南宁)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的 度数为( ) A
A．35° B．40° C．45° D．50°
5．(2015·黄石)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC， ∠ABC＝72°，则∠ABD等于( )B A．36° B．54° C．18° D．64°
知识技能： 1．三角形全等的判定方法中至少有一边对应相等． 2．“三线合一”是证明线段相等、角相等或两直线垂直的重要根据． 易错提示：“三线合一”的前提条件是在等腰三角形中．
C A．AB＝AC B．AD平分∠BAC C．AB＝BC D．∠BAC＝90°
12．(202X·滨州)如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且 AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )D
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
13．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE. 求证：AD＝AE.
第1章 三角形的证明
1．1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质
1．(2015·海南)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是( )D A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB C．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB
2．如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是( )A
∴△AMD≌△AND(SAS)，∴DM＝DN
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB.AE＝CE，求证： (1)△AEF≌△CEB； (2)AF＝2CD.
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.1.3 等腰三角形导学案 (新版)北师大版-(新版)北师大
等腰三角形导学案学习目标1、会运用等腰三角形的判定定理其进行简单的证明.2、能用反证法的基本证明思路简单应用.学习重点：等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.学习难点：反证法的证明方法.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题.二、合作探究探究点一、等腰三角形的判定定理问题1：前面我们证明了等腰三角形有两个角相等.反过来有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？问题2：如图在△ABC中，∠B=∠C，要证明AB=AC，你是怎样构造的两个三角形全等的，你是怎样证明的？与同伴交流.结论：定理 .简述为：.变式训练1.满足下列条件不是等腰三角形的是（）的三角形2.有一个三角形不同顶点的外角的度数比是3：2：3，则这个三角形是三角形.探究点二、运用定理问题：已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E，△AED是等腰三角形吗？请你说明理由，并与同伴交流.变式训练1.如图，在△ABC中，AB=AC=8，D是BC上的动点（D与B、C不重合），且DE∥AC，DF∥AB，则四边形DEAF的周长是.2.如图，三角形ABC中，AB=AC，∠A=36 º, ∠ACB的平分线交AB于点E，D为AC的中点，连接ED.（1）求∠AED的度数；（2）若CE=5，求BC的长.探究点三、反正法问题：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?．强化训练：反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.三、随堂检测1．在△ABC中，∠B=∠C,AB=5,则AC的长（）A．2 B．3C．4 D．52．用反证法证明“a<b”时，应该假设（）A．a>b B．a≥b C．a=b D．a≤b3．如图，在△ABC中，AD平分∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是（）A．任意三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形4.如图，在已知三角形ABC中，BD是∠ABC平分线，∠ABD=360，∠C=720，则图中等腰三角形的个数.5.如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CD平分∠△DBC是等腰三角形.6.用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个角大于或等于60°7.如图，△ABC的边AB的延长线上有一点D，过D作DF⊥AC于点F，交BC于点E，且BD=BE，求证：△ABC是等腰三角形.参考答案探究点一、等腰三角形的判定定理问题2：解：可作BC边上的高或∠A的平分线都可以构造两个全等三角形，已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC．证法一:作AD⊥BC于点D.(如图所示)在△ABD和△ACD中,∵∠B=∠C, ∠BDA=∠CDA, AD=AD,∴△ABD≌△ACD (AAS).∴ AB=AC (全等三角形的对应边相等).证法二：作△ABC顶角的平分线AD交BC于点D.(如图所示)在△ABD和△ACD中,∵∠B=∠C, ∠BAD=∠CAD, AD=AD,∴△ABD≌△ACD (AAS).∴ AB=AC (全等三角形的对应边相等).结论：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形简述为：等角对等边.变式训练1.C探究点二、运用定理问题：解：△AED是等腰三角形.理由如下：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,，∴△ABD≌△DCA(SSS)∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）∴AE=DE(等角对等边）∴△AED是等腰三角形.变式训练2.（1）∠AED =54 º，（2）BC=5探究点三、反正法问题：假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC，结论成立.强化训练已知：△ABC，求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°, ∠B=90°，于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞1 80°这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B都是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.三、随堂检测1．D2．B3．C5.证明：∵AB=AC内角和小于180°，与三角形中三内角和等于180°矛盾，故假设不成立．原命题成立．7.证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA=∠EFC=90°．∴∠A=∠DFA-∠D，∠C=∠EFC-∠CEF，∵BD=BE，∴∠BED=∠D．∵∠BED=∠CEF，∴∠D=∠CEF．∴∠A=∠C．∴△ABC为等腰三角形．。
八年级数学下册第一章三角形的证明11等腰三角形教案1北师大版
《等腰三角形》第1课时教学目标知识与技能：1、了解等腰三角形的概念；2、探索并掌握等腰三角形的性质；过程与方法：1、经历动手制作出等腰三角形的过程，从对称轴的角度去体会等腰三角形的特点；2、通过实践、观察、证明等腰三角形性质的过程，发展学生合情推理能力和演绎推理能力；3、通过观察等腰三角形的对称性，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；情感态度与价值观：1、通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形的性质的过程中培养学生认真思考的习惯.2、引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲；教学重难点教学重点：1、等腰三角形的概念及性质．2、等腰三角形性质的应用．教学难点：1、等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．2、等腰三角形性质的证明.教学过程一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容如图(1)，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特征？你能画出具有这种特征的三角形吗？DC BA图(1)二、学生活动设计：学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB=AC ．教师活动设计：让学生总结出等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．如图(2)：CBA图(2)△ABC中，若AB=AC ，则△ABC是等腰三角形，AB 、AC 是腰、BC 是底边、∠A是顶角，∠B和∠C是底角． 学生观察、归纳并展示结论，教师适时引导(如指出：重合即相等)，结合学生的猜想给出性质： 性质1：等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.(板书在黑板上)教师在学生的猜想基础上，引导学生观察、完善、归纳出等腰三角形的性质1和性质2.三、等腰三角形性质的证明已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B＝∠C证明：取BC 边的中点D ，连接ADD 是BC 的中点∴BD=CD在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧===AD AD CD BD AC AB∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠B＝∠C(全等三角形对应角相等)受性质1的证明的启发，由△ABD≌△ACD，还可以得出CDA,BDA CAD;BAD ∠=∠∠=∠从而BC AD ⊥.这也就证明了等腰三角形ABC 底边上的中线AD 平分顶角BAC ∠，并垂直于底边BC.教师在上面证明的基础上添加下面证明步骤：∠=同理=∠∠ADCCAD,ADB:∠BADADB又ADC∠∠180=︒+BACAD∠∴AD的角平分线，边上的高是是BC师：用类似方法，我们还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，地边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了性质2.四、随堂练习，变式训练求等腰三角形个角度数：(1)在等腰三角形中，有一个角的度数为36°.(2)在等腰三角形中，有一个角的度数为110°.归纳：已知等腰三角形的一个内角的度数，求其它两角时，(a)若已知角为钝角或直角，则它一定是顶角；(b)若已知角为锐角，它可能是顶角，也可能是底角.五、小结请大家拿出前面剪得的等腰三角形，与小组同学一起结合图形指出你知道的内容.等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.第2课时教学目标1、理解并掌握等腰及等边三角形的定义，探索等腰、等边三角形的性质和判定方法定2、体会等腰、等边三角形与现实生活的联系．3、能够用等腰、等边三角形的知识解决相应的数学问题．教学重难点教学重点：等腰、等边三角形的性质．教学难点：等腰、等边三角形性质应用．教学过程一、知识回顾：1、回顾一般三角形定义及判定定理2、当两边相等边的三角形是什么三角形？它有什么特点？假如它三边相等呢？它又是什么三角形？二、教学内容等腰三角形：等腰三角形基本概念；有两边相等的三角形叫作等腰三角形；相等的两边叫作腰，另一边叫作底边；两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．1、等腰三角形的基本性质性质1：等腰三角形的两个底角相等．(简写成“等边对等角”)；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(简称成“三线合一”)2、等腰三角形的判定定理判定定理：有两边相等的三角形是等腰三角形典型例题(1)、一个等腰三角形的周长是13，其中一条边是3，那么腰长是_________(2)、已知等腰三角形的一个内角是40°，那么这个等腰三角形的顶角为_________例1：如下图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各个内角的度数．DCBA例2：已知：如下图，△ABC中，AB=AC ，D为BC边的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．求证：DE=DF等边三角形1、等边三角形定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形．等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形．讨论：等边三角形的性质？(学生分组讨论，教师提示从角、边、重要线段、对称性去考虑)2、等边三角形的性质(1)等边三角形的三条边相等；(2)等边三角形的内角相等，且为60°；(3)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)；(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴．3、等边三角形的判定：(1)三边相等的三角形是等边三角形(2)三角相等的三角形是等边三角形(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形4、例题分析例3：已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD•的夹角是多少度？例4：如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC•于点D，•求证：•BC=3AD.D CAB课后总结1．等腰、等边三角形的性质2．等腰、等边三角形的判定3．等腰、等边三角形的轴对称性及轴对称图形第3课时教学目标知识与技能1．了解等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称图形；2．会阐述、推证等边三角形的性质和判定方法．能力目标：经历“猜想—验证—总结归纳—应用”的探究过程，采用自主探索与合作交流的方式，亲历“做数学”的过程，培养探究 数学问题、解决问题的能力．情感目标：1．体验数学充满着探索与创造，感受数学的严谨性，对数学产生强烈的好奇心和求知欲．.2．在学习中获得成功的体验，感受到数学学习的乐趣，建立自信心．3．体会数学源于生活而又反作用于生活，培养用数学的意识．教学重难点教学重点：等腰三角形的性质判定．教学难点：等腰三角形的性质判定的证明及应用．教学过程学生活动设计：学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，发现问题的本质是在条件∠A＝∠B下，线段AO 和BO 是否相等，证明两条线段相等，可以考虑这两条线段所在的三角形全等，而图中没有别的三角形，因此需要构造全等的三角形．C OBA图1学生活动设计：教师启发学生发现问题本质，让学生探索“AO=BO”成立的原因，引导学生构造全等三角形：过O 作O C⊥AB于点C ，利用AAS 可以证明△OAC和△OBC全等，进而得到AO=BO ．最后归纳出等腰三角形的判定方法．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．(简写成“等角对等边”)第4课时教学目标知识与技能：1．掌握证明的基本步骤和书写格式．2．能够用综合法证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理．能力目标：经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，能够用综合法证明直角三角形的有关性质定理和等边三角形的判定定理．情感目标：1．探索含30°角的直角三角形的性质．2．理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算．教学重难点教学重点：探索并理解含30°角的直角三角形的性质.教学难点：等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理．教学过程(一)．复习旧知，导入新知[师]上一节课中，我们学习了等边三角形的性质和判定，请大家回忆一下：1．等边三角形有哪些性质？2．你有哪些判定等边三角形的方法？这一节课，我们将应用等边三角形的性质和判定解决一些相关的问题．(二)自主探究，学习新知[师]我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，•它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？(让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明)[生1]用含30°角的直角三角尺摆出了如下等边三角形：(1)D C AB理由：因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC ，又因为Rt△ABD中，∠BAD=30，所以∠ABD=60°，所以△ABC 是等边三角形.(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．[生2]图(1)中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．(三个角都相等的三角形是等边三角形).[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图(1)是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半．[师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？[生]可以，在图(1)中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC ．•而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=12BC ．所以BD=12AB ，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的边BD 是斜边AB 的一半．[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．下面我们一同来完成这个定理的证明过程．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=12AB ． AB DC A B图2 分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ．证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD(如上图)∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°．∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)． ∴BC=12BD=12AB ． [师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，它是证明线段倍分关系的又一定理.你能写出这个定理的符号语言吗？图3如图3，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠BAC=30°．∴ BC=12AB ． 下面我们就来看一下这个定理在实际中的应用．(三)合作探究，应用新知[师]再看下面的例题．例：等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高． DC A图4已知：如图4，在△ABC中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a ，而∠DAC是△ABC的一个外角，•则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°． ∴CD=12AC=a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)． [师]下面我们来做练习．(四)．课堂小结说一说你在等边三角形这一节中印象最深的是什么？都有哪些收获？这节课，我们应用等边三角形的性质和判定推理证明了含30°角的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．(五)．活动与探究在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．方法分析：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．_A_BAB 图5已知：如图(5)，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12 AB．求证：∠BAC=30°．证明：延长BC到D，使CD=BC，连结AD．∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC，∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=12 BD．又∵BC=12 AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD为等边三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．如果BC＝3，AC＝5，那么AB＝（）A．34B．4 C．4或34D．以上都不对2．正十边形的每一个内角的度数为（）A．B．C．D．3．如图，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的平分线，若AD=5，DE=6，则平行四边形的面积为（）A．96 B．48 C．60 D．304．9的平方根是（）A．3B．3±C．3-D．3±5．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为51和38，则△EDF的面积为（）A．6.5B．5.5C．8D．136．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F，若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为（）m．A．3100 B．4600 C．3000 D．36007．用配方法解一元二次方程2210x x +-=，配方后得到的方程是（ ）A ．()212x -=B ．()212x +=C ．()222x +=D ．()222x -= 8．如图，△ABC 的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点A 1、B 1，则四边形A 1ABB 1的面积为34，再分别取A 1C 、B 1C 的中点A 2、B 2，取A 2C 、B 2C 的中点A 3、B 3，依次取下去…利用这一图形，能直观地计算出233333++++4444n=（ ）A ．1B ．144n n - C ．11-4n D ．414n n+ 9．甲、乙、丙三种糖果的售价分别为每千克6元、7元、8元，若将甲种8千克，乙种10千克，丙种3千克混在一起，则售价应定为每千克( )A ．7元B ．6.8元C ．7.5元D ．8.6元10．在平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的可能情况是（ ）A ．2：7：2：7B ．2：2：7：7C ．2：7：7：2D ．2：3：4：5二、填空题11．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE 的3个外角，若220A B ∠+∠=︒，则123∠+∠+∠=________.12．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系xOy ，使“帥”的坐标为（﹣1，﹣2），“馬”的坐标为（2，﹣2），则“兵”的坐标为__．13．如图，在□ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG ＝2BG ，S △BPG ＝1，则S □AE PH ＝______．14．数据1x ,2x ,3x ,4x 的平均数是40，方差是3,则数据11x +,21x +,31x +,41x +的平均数和方差分别是_____________．15．分式43a bc 与25a c的最简公分母是_________. 16．菱形的两条对角线长分别为2cm 和23cm ，则该菱形的面积__________2cm ．17．若关于x 的分式方程223242mx x x x +=--+有解,则m 的取值范围是_______. 三、解答题18．如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接AM ，点E 是线段AM 上一点，∠CDE 的平分线交AM 延长线于点F ．(1)如图1，若点E 为线段AM 的中点，BM ：CM ＝1：2，BE ＝10，求AB 的长；(2)如图2，若DA ＝DE ，求证：BF+DF ＝2AF ．19．（6分）如图，在△ABC 中，CE ，BF 是两条高，若∠A ＝70°，∠BCE ＝30°，求∠EBF 与∠FBC 的度数．20．（6分）如图1，在正方形ABCD 中，1AB =，M 为对角线BD 上的一点，连接AM 和CM ．（1）求证：AM CM =；（2）如图2，延长CM 交AB 于点E ，F 为CD 上一点，连接EF 交AM 于点，且有CE EF =． ①判断EF 与AM 的位置关系，并说明理由；②如图3，取AE 中点G ，连接AF 、NG ，当四边形AECF 为平行四边形时，求NG 的长． 21．（6分）（1）如图，若图中小正方形的边长为1，则△ABC 的面积为______.（2）反思（1）的解题过程，解决下面问题：若222a b +，229a b +，2225a b +（其中a ，b 均为正数）是一个三角形的三条边长，求此三角形的面积．22．（8分）已知等腰三角形ABC 的底边BC ＝20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD ＝16cm ，BD ＝12cm ．(1)求证：CD ⊥AB ；(2)求该三角形的腰的长度．23．（8分）如图,在△ABC 中,∠C=90∘，AC=BC ，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，垂足为E.(1)求证：CD=BE ；(2)若AB=10，求BD 的长度．24．（10分）文具商店里的画夹每个定价为20元，水彩每盒5元，其制定两种优惠办法：①买一个面夹赠送一盒水彩；②按总价的92%付款．一美术教师欲购买画夹4个，水彩若干盒(不少于4盒)，设购买水彩x 盒，付款y 元．(1)试分别建立两种优惠办法中y 与x 的函数关系式；(2)美术老师购买水彩30盒，通过计算说明那种方法更省钱．25．（10分）如图，两块大小不等的等腰直角三角形按图1放置，点C 为直角顶点，点E 在AC 上，将DCE ∆绕点C 顺时针旋转α角度()0180α︒<<︒，连接AE 、BD .=，则当α=︒时，四边形ACDE是平行四边形；（1）若ED AC⊥于点F，延长FC交BD于点G，求证：G是BD的中点；（2）图2，若CF AE⊥.（3）图3，若点M是AE的中点，连接MC并延长交BD于点N，求证：MN BD参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．A【解析】解：∵∠C=90°，AC=5，BC=3，∴AB=2253+=34．故选A．+=22AC BC2．C【解析】【分析】利用正十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数．【详解】解：∵一个十边形的每个外角都相等，∴十边形的一个外角为360÷10=36°．∴每个内角的度数为180°-36°=144°；故选：C．【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和是360度．多边形的内角与它的外角互为邻补角．3．B【解析】试题解析：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵DE 、CE 分别是∠ADC 、∠BCD 的平分线，∴∠ADE=∠CDE ，∠DCE=∠BCE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AD=BC=5，∠CDE=∠DEA ，∠DCE=∠CEB ，∴∠ADE=∠AED ，∠CBE=∠BEC ，∴DA=AE=5，BC=BE=5，∴AB=10，则DF 2=DE 2-EF 2=AD 2-AF 2，故62-FE 2=52-（5-EF ）2，解得：EF=3.6，则22DF EF ，故平行四边形ABCD 的面积是：4.8×10=1．故选B ．4．B【解析】【分析】根据开平方的意义，可得一个数的平方根．【详解】解：9的平方根是±3，故选：B ．【点睛】本题考查了平方根，乘方运算是解题关键,注意平方根是两个互为相反的数．5．A【解析】【分析】过点D作DH⊥AC于H，利用角平分线的性质得到DF=DH，将三角形EDF的面积转化为三角形DGH的面积来求．【详解】如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△DEF=S△DGH，∵△ADG和△AED的面积分别为51和38，∴△EDF的面积=．故选A．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．6．B【解析】【分析】连接CG，由正方形的对称性，易知AG=CG，由正方形的对角线互相平分一组对角，GE⊥DC，易得DE=GE．在矩形GECF中，EF=CG．要计算小聪走的路程，只要得到小聪比小敏多走了多少就行．【详解】连接GC，∵四边形ABCD为正方形，所以AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，∵∠CDB=45°，GE⊥DC，∴△DEG是等腰直角三角形，∴DE=GE．在△AGD和△GDC中，，∴△AGD≌△GDC（SAS）∴AG=CG，在矩形GECF中，EF=CG，∴EF=AG．∵BA+AD+DE+EF-BA-AG-GE，=AD=1500m．∵小敏共走了3100m，∴小聪行走的路程为3100+1500=4600（m），故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质及等腰三角形的性质．解决本题的关键是证明AG=EF，DE=GE．7．B【解析】先把常数移到等号右边，然后根据配方法，计算即可.【详解】解：2210x x +-=,2x 2x=1+ ,2x 2x 1=11+++ ,()2x 1=2+, 故选：B.【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方法，注意等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键. 8．C【解析】【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点.【详解】解：∵A 1、B 1分别是AC 、BC 两边的中点，且△ABC 的面积为1，∴△A 1B 1C 的面积为114⨯ ∴四边形A 1ABB 1的面积=△ABC 的面积-△A 1B 1C 的面积31144==-； ∴四边形A 2A 1B 1B 2的面积=11A B C △的面积- 22A B C △的面积22113444=-= …∴第n 个四边形的面积1113444n n n -=-= ∴23213333111111114444444444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：C本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.9．B【解析】【分析】根据加权平均数的计算方法：先求出所有糖果的总钱数，再除以糖果的总质量，即可得出答案．【详解】 售价应定为：68710838103⨯+⨯+⨯++≈6.8(元)； 故选B ．【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是对加权平均数的理解不正确，而求6、7、8这三个数的平均数．10．A【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∠B=∠D ，∴∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的可能情况是2：1：2：1．故选：A ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等定理的应用．二、填空题11．220【解析】【分析】先求出∠A 与∠B 的外角和，再根据外角和进行求解.【详解】∵220A B ∠+∠=︒∴∠A 与∠B 的外角和为360°-220°=140°，∵∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE 的3个外角，∠+∠+∠=360°-140°=220°，∴123故填：220°.【点睛】此题主要考查多边形的外角，解题的关键是熟知多边形的外角和为360°.12．(-3,1)【解析】【分析】直接利用已知点坐标得出原点的位置进而得出答案．【详解】解：如图所示：“兵”的坐标为：（-3，1）．故答案为（-3，1）．【点睛】本题考查坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．13．1【解析】【分析】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH=S四边形PFCG．，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案．【详解】解：∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，∴S△PEB=S△BGP，同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，∴S△ABD-S△PEB-S△PHD=S△CDB-S△BGP-S△DFP，即S四边形AEPH=S四边形PFCG．∵CG=2BG，S△BPG=1，∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=1×1=1；故答案为：1．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行⇔四边形为平行四边形，②两组对边分别相等⇔四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等⇔四边形为平行四边形，④两组对角分别相等⇔四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分⇔四边形为平行四边形． 14．41，3【解析】 试题分析：根据题意可知原数组的平均数为1234414x x x x x +++==，方差为()()()()22222123414s x x x x x x x x ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦=3，然后由题意可得新数据的平均数为1234+1+1+1+1414x x x x x +++==，可求得方程为2=3s . 故答案为：41，3.15．15bc 1【解析】 试题分析：分式43a bc 与25a c的最简公分母是15bc 1． 故答案为15bc 1．点睛：本题考查了最简公分母的找法，若分母是单项式，一般找最简公分母分三步进行：①找系数，系数取所有分母系数的最小公倍数；②取字母，字母取分母中出现的所有字母；③取指数，指数取同一字母指数的最大值．16．【解析】【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得其面积．【详解】由已知得,菱形面积=122⨯⨯故答案为: 【点睛】此题考查菱形的性质，解题关键在于掌握运算公式.17．m 1m 4m 6≠≠-≠，，【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，确定出m 的范围即可．【详解】 解：223242mx x x x +=--+， 去分母，得：2436x mx x ++=-，整理得：(1)10m x -=-，显然，当m 1=时，方程无解，∴m 1≠；当m 1≠时，101x m =--， ∴1021m -≠±-， 解得：m 4m 6≠-≠，；∴m 的取值范围是：m 1m 4m 6≠≠-≠，，；故答案为：m 1m 4m 6≠≠-≠，，.【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．三、解答题18． (1)AB ＝2；(1)证明见解析.【解析】【分析】（1）设BM ＝x ，则CM ＝1x ，BC ＝BA ＝3x ；在Rt △ABM 中，E 为斜边AM 中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AM ＝1BE ＝．由勾股定理可得AM 1＝MB 1+AB 1，即可得30＝x 1+9x 1，解得x ＝1．所以AB ＝3x ＝2；（1）延长FD 交过点A 作垂直于AF 的直线于H 点，过点D 作DP ⊥AF 于P 点．证明△ABF ≌△ADH ，根据全等三角形的性质可得AF ＝AH ，BF ＝DH ．再由Rt △FAH 是等腰直角三角形，可得HF AF ．由HF ＝DH+DF ＝BF+DF ，可得BF+DF AF ．【详解】解：(1)设BM ＝x ，则CM ＝1x ，BC ＝3x ，∵BA ＝BC ，∴BA ＝3x ．在Rt △ABM 中，E 为斜边AM 中点，∴AM ＝1BE ＝．由勾股定理可得AM 1＝MB 1+AB 1，即30＝x1+9x1，解得x＝1．∴AB＝3x＝2．(1)延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠1．∵DE＝DA，DP⊥AF∴∠3＝∠3．∵∠1+∠1+∠3+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝35°．∴∠DFP＝90°﹣35°＝35°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF≌△ADH(SAS)．∴AF＝AH，BF＝DH．∵Rt△FAH是等腰直角三角形，∴HF2．∵HF＝DH+DF＝BF+DF，∴BF+DF2．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质等知识点，熟练运用相关知识是解决问题的关键.19．∠EBF=20°，∠FBC=40°．【解析】试题分析：在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，求得∠EBF的度数，在Rt△BCF中∠FBC=40°求得∠FBC的度数．解：在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，∴∠EBF=20°，∠ECA=20°，又∵∠BCE=30°，∴∠ACB=50°，∴在Rt△BCF中∠FBC=40°．20．(1)证明步骤见解析;(2) ①EF⊥AM，理由见解析;②1 3【解析】【分析】(1)证明△ABM≌△CBM(SAS)即可解题,(2) ①由全等的性质和等边对等角的性质等量代换得到∠ECF=∠AEF,即可解题,②过点E作EH⊥CD于H,先证明四边形EBCH是矩形,再由平行四边形的性质得到E,G是AB的三等分点,最后利用斜边中线等于斜边一半即可解题.【详解】解(1)在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABM=∠CBM=45°,BM=BM∴△ABM≌△CBM(SAS)∴AM=CM(2) ①EF⊥AM由(1)可知∠BAM=∠BCM,∵CE=EF,∴∠ECF=∠EFC,又∵∠EFC=∠AEF,∴∠ECF=∠AEF,∴∠AEF+∠BAM=∠BCM+∠ECF=90°,∴∠ANE=90°,∴EF⊥AM②过点E作EH⊥CD于H,∵EC=EF,∴H是FC中点(三线合一),∠EHC=90°,在正方形ABCD中,∠EBC=∠BCH=90°,∴四边形EBCH是矩形,∴EB=HC,∵四边形AECF是平行四边形,G为AE中点, ∴AE=CF,BE=DF∴CH=HF=DF同理AG=EG=BE∵AB=1∴AE=2 3由①可知∠ENA=90°,∴NG=1123AE=(斜边中线等于斜边一半)【点睛】本题考查了正方形的性质,平行四边形的性质,矩形的判定,直角三角形斜边的中线的性质,中等难度,熟悉图形的性质是解题关键.21．（1）3.5；（2）ABC∆的面积为：4ab.【解析】【分析】（1）根据图形可知：△ABC的面积等于以3为边长的正方形面积与三个直角三角洲面积之差，代入数据即可得出结论；（2）构造以5a为长、2b为宽的矩形，利用（1）的面积的求法，代入数据即可得出结论．【详解】解：（1）S△ABC=3×3-12×1×212-×2×312-×1×3=3.5，故答案为：3.5;（2）构造如图的矩形：。
北师大2024八年级数学下册 1.1 第1课时 等腰三角形的性质 教案
1.1 等腰三角形主要师生活动一、创设情境，导入新知图中有你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?师生活动：教师播放课件，学生独立思考回答问题.问题 1 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8 条基本事实？1.两点确定一条直线.2. 两点之间线段最短.3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4. 同位角相等，两直线平行.5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.8. 三边分别相等的两个三角形全等.二、探究新知二、小组合作，探究概念和性质知识点一：全等三角形的判定和性质定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).问题2：你能用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？师生活动: 教学时应鼓励学生独立完成. 教师要提醒学生首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”“求证”，最后写出证明过程.已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°，∠D +∠E +∠F = 180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，∠F = 180°－(∠D +∠E).∵∠A =∠D，∠B =∠E (已知)，∴∠C =∠F (等量代换).∵BC = EF (已知)，∴△ABC≌△DEF (ASA).根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等.设计意图：学生在七年级下册已经探索并认识了判定三角形全等的“角角边”定理，这里意在让学生根据基本事实证明这一定理.设计意图：七年级下册给出的“全等三角形”的定义是“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”，“全等三角形的对应边相等、对应角相等”则是由全等三角形的定义推出来的，本章很多证明都会用到它，因此，这里特别提出这一结论，以便后续证明使用.知识点二：等腰三角形的性质及其推论问题3：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?定理：等腰三角形的两个底角相等.推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一).问题4：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？已知：如图，在△ABC中，AB = AC.求证：∠B = ∠C.方法一：作底边上的中线证明：如图，取BC的中点D，连接AD.∵AB = AC，BD = CD，AD = AD∴△ABD≌△ACD (SSS).∴∠B =∠C(全等三角形的对应角相等).师：还有其他的证法吗？方法二：作顶角的平分线证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD =∠CAD.∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，∴△BAD≌△CAD (SAS).∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).师生活动:教学时教师要注意引导学生根据条件正确、规范地写出“已知”“求证”，有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能设计意图：这里让学生回忆以前的折纸过程，目的是引导学生发现证明的思路，学生一般可以由折纸确定辅助线的位置，但对于作辅助线的规范叙述仍需教师帮助.设计意图：教学中，应鼓励学生寻求其他证明方法，实际上，除作底边中线外，还可以通过作顶角平分线的方法证明结论，此时证明的依据是基本事实SAS. 这两种证明方法都是受折纸的启发(轴对称)，通过作辅助线将图形分成两部分，再证明这两部分全等，教师可以引导学生分析这两种证明方法的共性，加深对等腰三角形性质的认识.教学时，可能会有学生通过作底边上的高并利用勾股定理来证明这一定理，对此，教师一方面要保护学生的学习积极性，另一方面也要引导学生认识力，关注证明过程及其表达的合理性.想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么论？由△BAD≌△CAD，可得BD = CD，∠ADB =∠ADC，∠BAD =∠CAD.又∵∠ADB +∠ADC = 180°，∴∠ADB =∠ADC = 90°，即AD⊥BC.故AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高.师生活动: 让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论.定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).几何语言：如图，在△ABC中，∵AB = AC (已知)，∴∠B =∠C (等边对等角).推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合(三线合一）.练一练1. 已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°，则∠AED的度数为( )A.60°B.90°C. 80°D. 20°到：我们虽然在以前探索并认识了勾股定理，但尚未用基本事实证明过，所以从逻辑上来说，勾股定理不能作为这里证明的依据.设计意图：这一结论通常简述为“三线合一”, 即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”(顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高) 之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”.设计意图：综合运用全等三角形和等腰三角形的相关知识解决问题,加深学生印象，考察学生对于知识的掌握情况.三、当堂练习，巩固所学师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导.典例精析例1 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1) 如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2) 如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.证明：(1) 如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG.∴BG－DG＝CG－EG，即BD＝CE.(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.三、当堂练习，巩固所学1. 如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使∠ABC∠∠AED，还需添加一个条件，这个条件可以是________________________．2. (1) 等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为__________；(2) 等腰三角形一个角为36°，它的另外两个角为设计意图：在定理证明的基础上进行难度更高的推论证明，巩固学生知识的运用，并培养学生发散思维，提高学生解题技巧.设计意图:考查对全等三角形判定的掌握.设计意图:结论：在等腰三教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).全等三角形的对应边相等，对应角相等.。
1.1 等腰三角形2 第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
A
已知：如图，在ΔABC中，∠B=∠C。 求证：AB=AC
证明: 作∠BAC的平分线AD 则∠1=∠2
在△BAD和△CAD中 ∠1=∠2 ∠B=∠C AD=AD （公共边）
12
B
DC
你还有其 他证法吗?
∴ △BAD ≌ △CAD （AAS）
∴ AB= AC （全等三角形的对应边相等）
等腰三角形的判定定理：
1、等腰三角形是怎样定义的？
A
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。
2、等腰三角形有哪些性质？
①等腰三角形是轴对称图形。
B DC
②等腰三角形的两个底角相等（简写
成“等边对等角”） 。
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高重合（也称为“三线合一”）.
探究新知
1.我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反 过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那 么这两个角所对的边也相等吗？
3、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（ A ） A.3条 B.6条 C.9条 D.7条
课堂小结
等边三角形的性质:
名 称
图形
性质
等
A
三条边都相等
边
三个角都相等，且都为60°
三
角B
C 三线合一
形
轴对称图形，有三条对称轴
第3课时 等腰三角形的判定及反证法
北师大版 八年级下册
复习旧知
既是性质又
是判定
注意：在同 一个三角形 中应用哟！
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所 对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
A
几何语言：
∵∠B =∠C （已知）
∴ AB=AC（等角对等边）
新北师大版八年级数学下册《一章三角形的证明1.等腰三角形等腰三角形的判定与反证法》教案_7
（）
（ A ）35° （ B） 20° （C）35 °或 20°（ D）无法确定
4．等腰三角形的顶角等于一个底角的 3 倍，则顶角的度数为
，底角的
度数为
5．等腰三角形三个内角与顶角的外角之和等于 260°，则它的底角度数为
6．等腰△ ABC 中， AB=AC ， BC=6cm，则△ ABC 的周长的取值范围是
三等分，则图中等腰三角形的个数（
）
（ A ）3 （B） 4 （ C）5 （D） 6
2．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，BD=BC ， AD=DE=EB ，则∠ A 等于（ ）
（ A ）30° （ B） 36° （C）45 °（D） 54°
3．等腰三角形的一个内角为 70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是
7．已知如图，在△ ABC 中，∠ B＝90°，AB ＝BC， BD ＝CE，M 是 AC 的中点，
求证：△ DEM 是等腰三角形
六、能力提升： 1．如图，等腰三角形 ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，BD 平分∠ ABC ，DE⊥BC 且 BC＝10，求△ DCE 的周长。
2．已知△ ABC 中， AB=AC ，D、M 分别为 AC 、BC 的中点， E 为 BC 延长线上 一点，且 CE=12 BC，求证：（1）∠ DMC= ∠ DCM ；（2）DB=DE
布置作业： 【评价反思】
自 学习态度 A
B
C
D
我 学习效果 A
B
C
D
评 合作情况 A
B
C
D
价 尚需改进
反
思
等腰 三角形的
相等。反过来，有两个角相等的三 角形
是
。
定理：
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.1.2 等腰三角形导学案 (新版)北师大版-(新版)北师大
等腰三角形导学案学习目标1、能够证明等腰三角形的判定定理，并会运用其定理进行证明.2、掌握特殊的等腰三角形---等边三角形的性质定理并会证明.学习重点：等腰三角形中重要线段相等推导过程,等边三角形的性质定理的证明.学习难点：运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明.一、自学释疑运用“等角对等边”解决实际应用问题中，应该注意些什么？二、思学质疑把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区。
___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________三、合作探究探究点一：等腰三角形的角平分线特征.问题1：在等腰三角形中，画出三个角的角平分线，你能发现其中有相等的线段吗？你能说明理由吗？已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD，CE分别∠ABC，∠ACB的角平分线．求证：BD=CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等问题2：已知：△ABC中，AB=AC，（1）如果∠ABD=13∠ABC，∠ACE=13∠ACB．BD=CE吗？（2）如果∠ABD=14∠ABC，∠ACE=14∠ACB．BD=CE吗？（3）如果∠ABD=1n∠ABC，∠ACE=1n∠ACB．BD=CE吗？请你说明理由，与同伴交流.探究点二：等腰三角形两腰上的中线的特征.问题1：在等腰三角形中，画出三个角的三条中线，你能发现其中有相等的线段吗？你能证明吗？已知：等腰△ABC中，AB=AC，AD=DC，AE=EB，求证：BD=CE.问题2：已知：△ABC中，AB=AC，与同伴交流，如果我们把它推广到下列情况。
（1）AD=13AC，AE=13AB．BD=CE吗？（2）AD=14AC，AE=14AB．BD=CE吗？（3）AD=1nAC，AE=1nAB．BD=CE吗？请你证明你的结论。
八年级数学下册第一章三角形的证明1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质作业课件新版北师大版
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，若AB＝13，AD ＝12，则BC的长为( B )
• A．5 B．10 C．20 D．24
6．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝30°，且AD＝AE，则 ∠EDC等于( C )
• A．10° B．12.5° C．15° D．20°
• (2)分以下两种情况：
• ①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；
• ②当0＜x＜90时，
• 若∠A为顶角，则∠B＝
；
• 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；
• 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.
•当
≠180－2x且180－2x≠x且
≠x，
• 即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
• 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD＝CB，若∠ACD＝42°，则∠BAC＝ __3_2_°___.
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD 的延长线于点E，求证：CE＝AB.
9．(2018·临沂)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分
• A3. 2
• B．2 • C．22
• D.
别是点D，E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是( B )
10
10．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上 分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，……按此规律作下去，若∠A1B1O＝α，则
∠A10B10O＝( B )
• 综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，
• ∠B有三个不同的度数．
4．推论：等腰三角形顶角的_平__分__线_、底边上的_中__线__及底边上的_高__线____互相重合．
广平县第八中学八年级数学下册第一章三角形的证明1等腰三角形第3课时等腰三角形的判定教案新版北师大版9
第3课时等腰三角形的判定1．探索等腰三角形的判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．3．了解反证法的基本证明思路，并能简单应用．4．培养学生的逆向思维能力．重点掌握等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．难点理解和掌握反证法的证明方法．一、复习导入问题1：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2：我们是如何证明上述定理的？问题3：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？二、探究新知1．等腰三角形的判定定理师：你能证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”吗？并与同伴交流．处理方式：学生在练习本上画图，写出已知、求证；小组之间探究讨论多种证明方法．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.求证：AB＝AC.证法一：过点A作BC的垂线，垂足为D.∵AD⊥BC ，∴∠BDA＝∠CDA＝ 90°.在△ABD和△ACD中，∵∠B＝∠C, ∠BDA＝∠CDA, AD＝AD ，∴△ABD≌△ACD (AAS)．∴ AB＝AC (全等三角形的对应边相等)．证法二：作∠BAC的角平分线，交BC于点D.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.在△ABD和△ACD中，∵∠B＝∠C, ∠BAD＝∠CAD, AD＝AD,∴△ABD≌△ACD (AAS) .∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)．(教师引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确地添加辅助线，规范地写出推理过程，鼓励学生一题多解．)师指出：作△ABC的边BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，这两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，这是“SSA”，是不能证明两个三角形全等的．因此，这种添加辅助线的方法是不可行的．引导学生归纳等腰三角形的判定定理：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．简述为：等角对等边．2．反证法课件出示：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？处理方法：学生积极动脑思考，小组交流讨论．师引导：用综合法证明本结论是行不通的，因此，我们要探究一种新方法来完成它的证明，下面来看小明同学的想法：(课件出示)如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.师：你能理解他的推理过程吗？师出示“反证法”的定义：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．三、举例分析例1 已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形．证明：∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA ，∴△ABD≌△DCA.∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)．∴AE＝DE(等角对等边)．∴△AED是等腰三角形．例2 (课件出示教材第9页例3)处理方法：学生独立完成，教师点评．四、练习巩固1．如果三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是( )A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，D，E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED＝80°，则图中共有等腰三角形( )A．6个B．5个C．4个D．3个,第2题图) ,第3题图) 3．如图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，又DE∥BC，交AC于点E，若DE ＝4 cm，AE＝5 cm，则AC等于( )A．5 cm B．4 cm C．9 cm D．1 cm五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．教材第9页“随堂练习”第1、2题．2．教材第9～10页习题1.3第1～4题．本节课的主要内容是探索等腰三角形的判定定理，在复习性质定理的基础上，引导学生反过来思考猜想新的命题，并进行证明．这样可以发展学生的逆向思维能力，同时引入反证法的基本证明思路，学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一．第4章一次函数一、选择题（共26小题）1．2017年5月10日上午，小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．2．小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（）A．B．C．D．3．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（）A．B．C．D．4．均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（）A．B．C．D．5．如图，某个函数的图象由线段AB和BC组成，其中点A（0，），B（1，），C（2，），则此函数的最小值是（）A．0 B．C．1 D．6．某星期天下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所用的时间x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是（）A．小强从家到公共汽车站步行了2公里B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟C．公共汽车的平均速度是30公里/小时D．小强乘公共汽车用了20分钟7．货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．8．如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．9．小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（）A．B．C．D．10．如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数F（N）与时间t（s）的函数图象大致是（）A．B．C．D．11．函数y=的图象为（）A．B．C．D．12．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是下图中的（）A．B．C．D．13．如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（）A．﹣3≤y≤3B．0≤y≤2C．1≤y≤3D．0≤y≤314．甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．甲、乙两人进行1000米赛跑B．甲先慢后快，乙先快后慢C．比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等D．甲先到达终点15．如图所示的容器内装满水，打开排水管，容器内的水匀速流出，则容器内液面的高度h随时间x变化的函数图象最接近实际情况的是（）A． B．C． D．16．如图，匀速地向此容器内注水，直到把容器注满，在注水过程中，下列图象能大致反映水面高度h随注水时间t变化规律的是（）A．B．C．D．17．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（）A． B．C．D．18．汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．19．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（）A．小明看报用时8分钟B．公共阅报栏距小明家200米C．小明离家最远的距离为400米D．小明从出发到回家共用时16分钟20．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为（）A．40平方米B．50平方米C．80平方米D．100平方米21．图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）A．体育场离张强家2.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时22．“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打6折，设购买种子数量为x千克，付款金额为y元，则y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．23．若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）A．±B．4 C．±或4 D．4或﹣24．已知函数y=，当x=2时，函数值y为（）A．5 B．6 C．7 D．825．一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费．这两种收费方式的通话费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．小红根据图象得出下列结论：①l1描述的是无月租费的收费方式；②l2描述的是有月租费的收费方式；③当每月的通话时间为500分钟时，选择有月租费的收费方式省钱．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．326．如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（）A．凌晨4时气温最低为﹣3℃B．14时气温最高为8℃C．从0时至14时，气温随时间增长而上升D．从14时至24时，气温随时间增长而下降二、填空题（共4小题）27．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是℉．28．放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是千米/分钟．29．已知函数，那么= ．30．如图，根据所示程序计算，若输入x=，则输出结果为．第4章一次函数参考答案与试题解析一、选择题（共26小题）1．2017年5月10日上午，小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】动点型．【分析】根据在电脑上打字录入这篇文稿，录入字数增加，因事暂停，字数不变，继续录入并加快了录入速度，字数增加，变化快，可得答案．【解答】解：A．暂停后继续录入并加快了录入速度，字数增加，故A不符合题意；B．字数先增加再不变最后增加，故B不符合题意错误；C．开始字数增加的慢，暂停后再录入字数增加的快，故C符合题意；D．中间应有一段字数不变，不符合题意，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了函数图象，字数先增加再不变最后增加的快是解题关键．2．小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据匀速行驶，可得路程随时间匀速增加，根据原地休息，路程不变，根据加速返回，可得路程随时间逐渐减少，可得答案．【解答】解：由题意，得以400米/分的速度匀速骑车5分，路程随时间匀速增加；在原地休息了6分，路程不变；以500米/分的速度骑回出发地，路程逐渐减少，故选：C．【点评】本意考查了函数图象，根据题意判断路程与时间的关系是解题关键，注意休息时路程不变．3．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由于开始以正常速度匀速行驶，接着停下修车，后来加快速度匀驶，所以开始行驶路S是均匀减小的，接着不变，后来速度加快，所以S变化也加快变小，由此即可作出选择．【解答】解：因为开始以正常速度匀速行驶﹣﹣﹣停下修车﹣﹣﹣加快速度匀驶，可得S先缓慢减小，再不变，在加速减小．故选：D．【点评】此题主要考查了学生从图象中读取信息的能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．4．均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．【解答】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短．故选A．【点评】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的粗细不同得到用时的不同．5．如图，某个函数的图象由线段AB和BC组成，其中点A（0，），B（1，），C（2，），则此函数的最小值是（）A．0 B．C．1 D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数图象的纵坐标，可得答案．【解答】解：由函数图象的纵坐标，得＞＞，故选：B．【点评】本题考查了函数图象，利用了有理数大大小比较．6．某星期天下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所用的时间x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是（）A．小强从家到公共汽车站步行了2公里B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟C．公共汽车的平均速度是30公里/小时D．小强乘公共汽车用了20分钟【考点】函数的图象．【分析】根据图象可以确定小强离公共汽车站2公里，步行用了多长时间，等公交车时间是多少，两人乘公交车运行的时间和对应的路程，然后确定各自的速度．【解答】解：A、依题意得小强从家到公共汽车步行了2公里，故选项正确；B、依题意得小强在公共汽车站等小明用了10分钟，故选项正确；C、公交车的速度为15÷=30公里/小时，故选项正确．D、小强和小明一起乘公共汽车，时间为30分钟，故选项错误；故选D．【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．7．货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题．【分析】根据出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米；经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故而得出答案．【解答】解：由题意得出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故C符合题意，故选：C．【点评】本题考查了函数图象，理解题意并正确判断辆车与乙地的距离是解题关键．8．如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题．【分析】立方体的上下底面为正方形，立方体的高为x，则得出y﹣x=2x，再得出图象即可．【解答】解：正方形的边长为x，y﹣x=2x，∴y与x的函数关系式为y=x，故选：B．【点评】本题考查了一次函数的图象和综合运用，解题的关键是从y﹣x等于该立方体的上底面周长，从而得到关系式．9．小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】生活中比较运动快慢通常有两种方法，即比较相同时间内通过的路程多少或通过相同路程所用时间的多少，但统一的方法是直接比较速度的大小．【解答】解：根据题中信息可知，相同的路程，跑步比漫步的速度快；在一定时间内没有移动距离，则速度为零．故小华的爷爷跑步到公园的速度最快，即单位时间内通过的路程最大，打太极的过程中没有移动距离，因此通过的路程为零，还要注意出去和回来时的方向不同，故B符合要求．故选B．【点评】此题考查函数图象问题，关键是根据速度的物理意义和比较物体运动快慢的基本方法．10．如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数F（N）与时间t（s）的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题．【分析】开始一段的弹簧称的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧称的读数逐渐增大，直到全部进入空气，重量保持不变．【解答】解：根据铁块的一点过程可知，弹簧称的读数由保持不变﹣逐渐增大﹣保持不变．故选：A．【点评】本题考查了函数的概念及其图象．关键是根据弹簧称的读数变化情况得出函数的图象．11．函数y=的图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题．【分析】从x＜0和x＞0两种情况进行分析，先化简函数关系式再确定函数图象即可．【解答】解：当x＜0时，函数解析式为：y=﹣x﹣2，函数图象为：B、D，当x＞0时，函数解析式为：y=x+2，函数图象为：A、C、D，故选：D．【点评】本题考查的是函数图象，利用分情况讨论思想把函数关系式进行正确变形是解题的关键，要能够根据函数的系数确定函数的大致图象．12．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是下图中的（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为C．故选C．【点评】此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．13．如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（）A．﹣3≤y≤3B．0≤y≤2C．1≤y≤3D．0≤y≤3【考点】函数的图象．【分析】根据图象，找到y的最高点是（﹣2，3）及最低点是（1，0），确定函数值y的取值范围．【解答】解：∵图象的最高点是（﹣2，3），∴y的最大值是3，∵图象最低点是（1，0），∴y的最小值是0，∴函数值y的取值范围是0≤y≤3．故选：D．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是会观察图象，找到y的最高点及最低点．14．甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．甲、乙两人进行1000米赛跑B．甲先慢后快，乙先快后慢C．比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等D．甲先到达终点【考点】函数的图象．【分析】根据给出的函数图象对每个选项进行分析即可．【解答】解：从图象可以看出，甲、乙两人进行1000米赛跑，A说法正确；甲先慢后快，乙先快后慢，B说法正确；比赛到2分钟时，甲跑了500米，乙跑了600米，甲、乙两人跑过的路程不相等，C说法不正确；甲先到达终点，D说法正确，故选：C．【点评】本题考查的是函数的图象，从函数图象获取正确的信息是解题的关键．15．如图所示的容器内装满水，打开排水管，容器内的水匀速流出，则容器内液面的高度h随时间x变化的函数图象最接近实际情况的是（）A． B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据容器内的水匀速流出，可得相同时间内流出的水相同，根据圆柱的直径越长，等体积的圆柱的高就越低，可得答案．【解答】解：圆柱的直径较长，圆柱的高较低，水流下降较慢；圆柱的直径变长，圆柱的高变低，水流下降变慢；圆柱的直径变短，圆柱的高变高，水流下降变快．故选：A．【点评】本题考查了函数图象，利用了圆柱的直径越长，等体积的圆柱的高就越低．16．如图，匀速地向此容器内注水，直到把容器注满，在注水过程中，下列图象能大致反映水面高度h随注水时间t变化规律的是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．【解答】解：最下面的容器容器最小，用时最短，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器较粗，那么用时较短．故选B．【点评】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的粗细不同得到用时的不同．17．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象；中心投影．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据中心投影的性质得出小红在灯下走的过程中影长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图象．【解答】解：∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l 与行走的路程S之间的变化关系应为：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，∴用图象刻画出来应为C．故选：C．【点评】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出l随S的变化规律是解决问题的关键．18．汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，所以前1小时路程随时间增大而增大，后来以100千米/时的速度匀速行驶，路程的增加幅度会变大一点．据此即可选择．【解答】解：由题意知，前1小时路程随时间增大而增大，1小时后路程的增加幅度会变大一点．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象．本题的关键是分析汽车行驶的过程．19．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（）。
北师大八年级下《1.1等腰三角形》课时练习含答案解析
北师大数学八年级下册第一章三角形的证明第1节等腰三角形练习一、选择题1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）A ．80°B ．80°或20°C ．80°或50°D ．20° 答案：B解析：解答：当80°的角是底角时，等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理得到顶角为20°；另一种情况是80°是顶角.分析：等腰三角形等边对等角，结合三角形内角和为180°，从而得出两种结果.2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（ ）A ．8B ．9C ．10或12D ．11或13答案：D解析：解答：当3是腰时，两腰和为6加上底边5，周长为11；当5是腰时，两腰和为10加上底边3，周长为13.分析：等腰三角形两腰相等，结合三角形中两小边和大于第三边.3．在等腰△ABC 中，AB =AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．11C ．7或11D ．7或10答案：C解析：解答：设AB =AC =x BC =y则有12,2152x x x y +=+=⎧⎨⎩或者12,2152x x x y +=+=⎧⎨⎩ 所以x =8， y =11或者x =10，y =7.即三角形AB =AC =8，BC =11.或AB =AC =10，BC =7.故选C.分析：等腰三角形两腰相等，会解二元一次方程.4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）A ．60°B ．120°C ．60°或150°D ．60°或120°答案：D解析：解答：分两种情况：一种是这个高在三角形内,即此三角形是锐角三角形顶角=180°-90°-30°=60°，另一种是这个高落在一腰延长线上,即此三角形为钝角三角形顶角的补角=180°-90°-30°=60°，顶角=180°-60°=120°.分析：此题要注意分两种情况，要考虑锐角三角形和钝角三角形.5.在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36°B．54°C．18 °D．64°答案：B解析：解答：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°.∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°-36°=54°.分析：根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数.6. 在△ABC中，D是BC上的点，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°答案：A解析：解答：∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.∵AD=DC，∴12C DAC ADB∠=∠=∠=35°.分析：等腰三角形两底角相等，再根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和.7. 在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D解析：解答：∵∠B=∠C，∴AB=AC=5．分析：等腰三角形的性质可得AB=AC，继而得出AC的长．8. 在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2答案：C解析：解答：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形.分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形.9. 在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是（）A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cm C．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10cm 答案：B解析：解答：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB=AC=x cm，则BC=（20-2x）cm，∴2x＞20−2x，即20−2x＞0.解得5 cm＜x＜10 cm．分析：设AB=AC=x，则BC=20-2x，根据三角形的三边关系即可得出结论.10. 在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A. 4 cm B．2 cm C. 3 cm D.1 cm答案：C解析：解答：∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm.∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm.分析：根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE，即可得出CE的值11.在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5答案B解析：解答：AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6-2=4，点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3∴点B到直线y=x的距离为6×32=33，∵33＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x 的交点为点C再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点12. 在△ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒答案：D解析：解答：设运动的时间为x cm/s，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20-3x，AQ=2x即20-3x=2x，解得x=4．分析：设运动的时间为x，则AP=20-3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20-3x=2x，解得x即可.13. 等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（）A．3 B．5 C．7 D．9答案：C解析：解答：等腰但不等边的三角形底边上的角平分线、中线、高线三线重合成一条；腰上的三条线不重合，因而共有7条线.分析：画出图形，根据等腰三角形的性质进行分析即可得到答案14. 已知△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0，则∠A等于（）A. 60°B．45°C．90°D．不能确定答案：A解析：解答：△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0∴b-c=0，a-b=0，∴a=b=c，∴三角形是等边三角形，∴∠A=60°.分析：根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择答案即可.15.等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm答案：B解析：解答：因为两边长之比为4：1，所以设较短一边为x，则另一边为4x；(1)假设x为底边，4x为腰；则8x+x=36，x=4，即底边为4；(2)假设x为腰，4x为底边，则2x+4x=36，x=6，4x=24；∵6+6＜24，∴该假设不成立．所以等腰三角形的底边为4cm．分析：题中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析，再结合三角形三边的关系将不合题意的解舍去.二、填空题16. 等腰三角形的一个外角为110°，则底角的度数可能是_______.答案：70°或55°解析：解答：当110°是等腰三角形底角的外角时，底角为70°；当110°是等腰三角形顶角的外角时，因为等腰三角形两底角相等，所以一个底角的度数等于外角110°的一半，即55°分析：外角与它相邻的内角互补，外角等于和它不相邻的两个内角和.17. 等腰三角形的对称轴是____________.答案：底边上的高(顶角平分线或底边的中线)所在的直线解析：解答：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．分析：本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．18.△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1 =_______度，此三角形有_______个等腰三角形．答案：72°/3解析：解答：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠ABC=（180°−36°）12⨯=72°.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°，∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∴∠1=180°-36°-72°=72°=∠C，∴BC=BD，△CDB是等腰三角形.图中共有3个等腰三角形．分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏.19. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度是_________.答案：80°或50°或20°解析：解答：∵∠A的相邻外角是100°，∴∠A=80°．分两种情况：（1）当∠A为底角时，另一底角∠B=∠A=80°；（2）当∠A为顶角时，则底角∠B=∠C=(180°−80°)12⨯=50°（3）当∠B是顶角时，∠B=180°-2∠A=20°．综上所述，∠B的度数是80°或50°或20°.分析：已知给出了∠A的相邻外角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立.20. 在△ABC中，若∠A=80°，∠B=50°，AC=5，则AB=_______.答案：5解析：解答：∵∠A=80°，∠B=50°，∴∠C=180°-80°-50°=50°.∴AB=AC=5.分析：由已知条件先求出∠C的度数是50°，根据等角对等边的性质求解即可.三、解答题.21.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∠C=63°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.答案：27°/2 解答：∵AB =AC ，∠C =63°，∴∠B =∠C =63°，∴∠BAC =180°-63°-63°=54°. 又∵AD 是BC 边上的高，∴AD 是∠BAC 的平分线，AD 是BC 边上的中线，∴∠BAD =12∠BAC =27°，DC =12BC =2. 解析：分析：根据等腰三角形的两个底角相等求出顶角∠BAC 的度数，再由等腰三角形的三线合一性质即可求出∠BAD =12∠BAC =27°，DC =12BC =2. 22.在△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F .求证：AF 平分∠BAC答案：证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB .又∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BEC =∠CDB =90°. 在△BCE 和△CBD 中，∠ABC =∠ACB ，∠BEC =∠CDB ，BC =BC.∴△BCE ≌△CBD （AAS ）.∴BE =CD.∵AB =AC ，BE =CD ，∴AB -BE =AC -CD ，∴AE =AD.∴在△AEF 和△ADF 中，AE =AD , AF =AF.△AEF ≌△ADF （HL ）.∴∠EAF =∠DAF ，AF 平分∠BAC.解析：分析：要通过两次三角形全等，再结合等腰三角形的性质得出结论.23.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形.BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，求证：（1）△BCE ≌△ACD ； 答案：证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴∠BCA =∠DCE =60°，BC =AC =AB ，EC =CD =ED ，∴∠BCE =∠ACD .在△BCE 和△ACD 中，,,,BC AC BCE ACD CE CD =⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩∴△BCE ≌△ACD （S A S ）；（2）CF =CH ； 答案：∵△BCE ≌△ACD ，∴∠CBF =∠CAH ．∵∠ACB =∠DCE =60°，在△BCF 和△ACH 中，∴∠ACH =60°，∴∠BCF =∠ACH ，,,,CBF CAH BC AC BCF ACH ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△BCF ≌△ACH （A S A ），∴CF =CH ；（3）△FCH 是等边三角形；答案：∵CF =CH ，∠ACH =60°，∴△CFH 是等边三角形．（4）FH ∥BD.答案：证明：∵△CHF 为等边三角形∴∠FHC =60°，∵∠HCD =60°，∴FH ∥BD解析：分析：由等边三角形的三边相等，三角都是60°，再根据平角的关系，就能证明△BCE ≌△ACD ；由△BCE ≌△ACD 得出对应角相等，结合等边三角形的边角特点证明△BCF ≌△ACH ，能得出CF =CH ；两边等，加上一个角60°推出△CFH 是等边三角形；根据内错角相等，两直线平行推出FH ∥BD .24. 如图，已知AB =AC =AD ，且AD ∥BC ，求证：∠C =2∠D答案：证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD.∴∠ABC=∠CBD+∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.解析：分析：首先根据AB=AC=AD，∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D25.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB=5，AC=4，求△ADE的周长.答案：解答：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.解析：分析：由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．。
1-1等腰三角形1-2直角三角形复习2022-2023学年北师大版数学八年级下册
角形；
（2）若∠BAC=∠DAE≠60° ①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明； ②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请 直接写出结论并画出相应的图形．
解：（1）∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴△AED和△ABC为等边三角形， ∴∠C=∠ABC=60°，∠EAB=∠DAC， ∴△EAB≌△DAC， ∴∠EBA=∠C=60°， ∵EF∥BC， ∴∠EFB=∠ABC=60°， ∵在△EFB中，∠EFB=∠EBA=60°，
B
30°
的正北方向，此时它与灯塔的距离是
_2_0___3_海里(结果保留根号).
A
C
东
小结（2分钟）
（考点）
1、等腰三角形的性质与判定： 等边对等角、三线合一
2、等边三角形的性质定理及其判定定理 3、直角三角形的性质定理及其判定定理 4、反证法的证明步骤，互逆命题、互逆定理的概念
（易错点） 1.做没有图形的几何问题求边长或角度时应注意：
是否进行分类讨论
2.做互逆命题的问题应注意：
注意互逆命题的语言的准确性
当堂训练（15分钟） 1、如图，长方形纸片ABCD,AD∥BC，将长方
形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C’ 处，折痕为EF,则 △BEF为 等腰 三角形.
2.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=8, 点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则ON=( B )
②AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），
以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，
∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连 接BE．
北师大版数学八年级下册1.1第2课时等边三角形的性质课件
探究新知
1 等腰三角形的重要线段的性质
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、
高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 能证明你的
结论吗? A
A
A
ED
B
C
猜想1：底角的两
条平分线相等
NM
B
C
猜想2：两条腰
上的中线相等
Q
P
B
C
猜想3：两条腰 上的高线相等
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
这是由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.
2 等边三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三
角形的内角有什么特征呢？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都
等于 60°.
可以利用等腰 三角形的性质 进行证明.
怎样证明这 一定理呢？
证一证
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.
当堂小结 等腰三角形两底角上的角平分线、两腰上的高、两 腰上的中线的相关性质：
底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等. 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都 等于 60°.
课堂练习 1.如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，若△ABC
的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是
八年级下册数学（北师版）
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第2课时 等边三角形的性质
情景导入 在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边 三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台 球室的三角架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明了等腰三角形的两底角相等， 那等边三角形的各角之间有什么关系呢？
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1.1 等腰三角形
第一课时
一、课前准备：
1、有 的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做 ，腰与底边的夹角叫做 ； 的三角形是等边三角形。
2、公理、定理、证明
公理：公认的 称为公理。
定理：经过证明的 称为定理。
证明： 的过程称为证明。
3、证明的一般步骤是：根据题意 ；根据条件、结论，结合图形 ；经过分析，找出由已知推出求证的途径， 。
对假命题的判断，只要举 来证明即可。
二、学习目标：
1、了解作为证明基础的几条公理、定理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、掌握等腰三角形的性质。
3、结合实例体会反正法的含义。
三、自学提示： 1、你知道吗？
全等三角形的判定及性质（见课本P2想一想） 2、你发现了吗？ （1）把探究1中剪出的△ABC 沿折痕AD 对折，
根据得到的信息，填入右表：
（2）从上表中你能发现等腰三角形的角有什么样
的特点吗？
底边上的中线，高线，顶角平分线有什么样的特点吗？ （3）你能证明你所得到的结论吗？
求证：等腰三角形的两个底角相等。
已知： ΔABC 中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：.
等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个底角 （简写成“ ” ）；
性质2 等腰三角形的顶角的 、底边上的 、底边上的 相互 。
【我是小翻译】请将等腰三角形性质（文字语言）“翻译”成图形和符号语言。
B
五、夯实基础：
1.等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
2.等腰三角形的顶角为100°，它的底角为______.
3.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.
4.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为__________________.
5.在△ABC 中，AB=AC ，∠1=∠2=55°，则BD=5，CD=____。
6.在△ABC 中，AB=AC ，BM=CM ，∠BAM=35°，则∠CAM=_____°，∠AMB=_____°。
7.在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，∠BAC=90°，BD=2，则CD=_____,∠CAD=___°。
5题图 6 题图六、能力提升：
1.在△ ABC 中，AB=AD=DC ， ∠BAD=26°，求∠ B 和∠ C 的度数
2.如图,在△ABC 中,AB=AC,点D 在AC 上,且BD = BC = AD,求△ABC 各角的度数。
3.已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 º, 过屋顶A 的立柱AD BC , 屋
椽AB=AC.
求顶架上∠B 、∠C 、∠1、∠2的度数.
布置作业：
A
B C
D 21C
B A
C B
A
D C B A 21C
B A
1.1 等腰三角形 第二课时
一、课前准备：
1.如图：△ABC 中，⑴若AB=AC,则___ ____； ⑵若AB=AC, ∠BAD=∠CAD,则 ____ ___，____
若AB=AC, BD=CD,则___ __，__ ____； 若AB=AC, AD ⊥BC,则__ ___，__ ____。
（3）△ABC 中，如果∠B=∠C,则___ ____ 二、学习目标：掌握等腰三角形的性质和等边三角形的性质 三、自学提示： 任务一：
1、自主学习：
△ABC 中，AB=AC ，BD 和CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于O 点。
求证：BD=CE
2、判断下列命题的真假并证明：
⑴等腰三角形两腰上的中线相等 ⑵等腰三角形两腰上的高相等 3、巩固练习：在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求△ABC 各角的度数．
任务二、
1、 探究合作：已知 在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 边上，且AD=AE ， 求证：BD=CE
C
2、练习：△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，BC CE 2
1
，E 在△ABC 外， 求证：∠ACE=∠B 。
四、学习小结：你有哪些收获？ 五、夯实基础：
1、等腰三角形中，若底角是65°，则顶角的度数是 。
2、等腰三角形的一个角是70°，则其它两角的度数为 。
3、等腰三角形的周长是10cm,一边长是3cm,则其它两边长分别是 。
4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20，则等腰三角形的底角是 。
5、等腰三角形的两边长分别为25cm 和13cm,则它的周长是（ ）
A.63cm
B.51cm
C.63cm 和51cm
D.以上都不正确 8、已知：如图，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，AC=BC=BD ， AD=AE ，DE=CE ，求∠B 的度数。
六、能力提升：
9、已知：如图，Rt △ABC 中, ∠BAC=90,AB=AC,D 是 BC 的中点,且AE=BF 。
求证(1) DE=DF
(2) △DEF 为等腰直角三角形。
布置作业：。