第一章函数、极限与连续.ppt
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《函数的极限与连续》课件
示例
考虑函数$f(x) = x^2$，在区间 $[0, 1]$上连续且单调增加。如果 $f(0) < c < f(1)$，则可以证明$c < frac{f(0) + f(1)}{2}$。
利用连续性求函数的零点
要点一
总结词
利用函数的连续性可以找到函数的零 点。
要点二
详细描述
如果函数在某区间上连续，且在该区 间上从正变负或从负变正，则可以利 用函数的连续性找到函数的零点。这 是因为函数在这一点上从增加变为减 少或从减少变为增加，的定义
函数在某点连续的定义
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
函数在区间上连续的定义
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
连续性的性质
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
复合函数在复合点连续的定义：如果一个复合函数在某点的极限等于该点的函数值，则复合函数在该点 连续。
与其他数学知识的联系
探讨函数极限与连续性与中学数学、微积分等其他 数学知识的联系，理解其在数学体系中的地位。
理论严谨性
深入思考函数极限与连续性理论的严谨性和 完备性，理解数学严密性的重要性。
对后续学习的展望
导数与微分
预告后续将学习函数的导数与微分概念，了解它们与 极限和连续性的关系。
级数与积分
简要介绍级数和积分的基本概念，理解其在数学中的 重要性和应用。
01
和差运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)pm g(x)]=Apm B$。
02
03
乘积运算性质
幂运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。
高等数学第一章的总结-PPT
n
1
lim
n
n2 n2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
1
n2
n2
1
2
n2
1
n
1
例:
lim
1
1
(e n
2
en
n
en
)
n n
1
e
x
d
x
e 1
0
1
n
1
解：原式
lim
n
1 n
e
n
(1
e
1
n
)
(1
e) lim
n
n
1
1en
1en
1
(1 e) lim ln(1 u) (1 e) lim ln(1 u) u e 1.
)x
e
两个重要极限
(1) lim sin 1
0
(2) lim ( 1 1 ) e
1
或 lim(1 ) e
0
注: 代表相同的表达式
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ;
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
5
x2,
x0 x 0在x 0处
x0
的左、右极限是否存在？当 x 0 时， f ( x) 的
专升本 高数 PPT课件
二、极限 4.极限存在准则
单调有界数列必有极限 两面夹定理
5.两个重要极限
6.无穷小与无穷大：定义、关系、性质、无穷小的比较
极限与无穷小关系、等价无穷小替换定理（整式替换、 常见等价无穷小代换）
Hale Waihona Puke 第一章 函数、极限与连续 知识梳理
三、连续 1.定义：两个定义、左右连续、连续充要条件 2.运算性质：四则运算
定义域 自变量 因变量（函数） 函数值 值域
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
一、函数 1.概念 （2）函数三要素
定义域 对应法则 值域 （3）函数的表示方法
图像法 表格法
分段函数 公式法用参数方程确定的函数
隐函数（显函数）
第一章 函数、极限与连续
知识梳理
定义域D关于原点对称
一、函数
高等数学辅导讲义（专升本）
• 第一章 函数、极限与连续 15%
• 第二章 一元函数的微分学 20%
• 第三章 一元函数的积分学 20%
• 第四章 多元函数微积分 15%
• 第五章 常微分方程
15%
• 第六章 无穷级数
10%
• 第七章 向量代数与空间解析几何5%
第一章 函数、极限与连续
（重点）
第一章 函数、极限与连续
复合函数的连续性 3.间断点及其分类：第一类：可去、跳跃
第二类 4.闭区间上连续函数的性质：最值性
介值性 零点定理
5. 初等函数 六种基本初等函数：
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
六种基本初等函数 • 常数函数：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性 • 幂函数： • 指数函数： • 对数函数： • 三角函数：六个（正割函数、余割函数） • 反三角函数：四个
高等数学 第一部分 函数、极限与连续 课件ppt
a 1 时，y log a x 单调递增， y
y logax (a 1)
0 a 1时y， log a x 单调递减。 o
x
y logax (0 x 1)
1-1 函数
4. 三角函数
正弦函数：y sin x
定义域：(,)．
值 域：[1,1] ．
单调性：
在
2
2k , 2
2k
单调增加；2
1-1 函数
函数的表示法
1）以数学式子表示函数的方法叫公式法如： y x2, y cos x 公式法的优点是便于理论推导和计算．
2）以表格形式表示函数的方法叫表格法，它是 将自变量的值与对应的函数值列为表格，如三角函 数表、对数表等，表格法的优点是所求的函数值容 易查得．
3）以图形表示函数的方法叫图形法或图象法， 这种方法在工程技术上应用很普遍，其优点是直观 形象，可看到函数的变化趋势．
4
2
3
（2） y sin x cosx 的周期T 2
（3） y cos 2x tan x 的周期T 3 ．
3 3 6
1-1 函数
4．有界性
定义 1.6 设函数 y f (x) 的定义域为 D，如果存在 一个正常数 M，使得对于任意的 x D ，都有| f (x) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上有界．如果不存在这样的正常 数 M，即对任意的正常数 M，都存在某个点 x0 D ，使 得| f (x0 ) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上无界．
2k ,
3
2
2k
单调减少．
奇偶性：奇函数．
周期性：周期函数．
有界性：有界函数．
余弦函数：y cosx
1-1 函数
《连续与极限》课件
极限的单调有界定理
单调有界定理是极限运算中的另一个重要定理，它指出如果一个数列是 单调递增（或递减）且有上界（或下界），那么这个数列必定收敛。
单调有界定理的应用也需要证明数列的单调性和有界性，并证明其收敛 性。在应用单调有界定理时，需要注意数列的单调性和有界性的判断。
单调有界定理在研究函数的极限和连续性等方面也有着重要的应用，可 以用来求解一些较为复杂的极限问题。
总结词
收敛数列的性质。
详细描述
数列的极限定义基于一个实数$lim_{n to infty} a_n = L$ ，表示当$n$趋向无穷大时，数列$a_n$趋向于一个常数 $L$。
详细描述
收敛数列具有唯一性、有界性和稳定性等性质，这些性质 在解决实际问题中具有重要应用。
函数的极限
总结词
函数的极限描述了函数在某一点或无穷远点的变化趋势。
泛函分析
泛函分析是数学分析的延伸和发展，涉及到函数空间、算子、泛函等概念。在泛函分析中，连续与极限 的概念被用于研究函数空间的结构、算子的性质以及解决一些与函数空间相关的数学问题。
在实际生活中的应用
金融
在金融领域中，连续与极限的概念被用于描述金融数据的波动和变化，以及预测 金融市场的走势和风险。例如，在期权定价、风险评估和投资组合优化等方面， 连续与极限的概念有着广泛的应用。
03
极限的运算
极限的四则运算
极限的四则运算法则是极限运算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算。
在进行极限的四则运算时，需要注意运算的优先级和运算顺序，同时要确保各项的 极限都存在。
极限的四则运算法则可以用来求解一些简单的极限问题，也可以为后续的夹逼定理 和单调有界定理等提供基础。
极限的夹逼定理
§13 极限四则运算法则 函数的连续性.ppt
lim
x x0
f (x).
练习6 设函数 f (x)
x 1, x 1,
2 x 0, 0 x 3.
讨论f (x)
在x
0
处的连续性.
解 这是分段函数, x 0是其分段点.因 f (0) 1 ,又
lim f (x) lim(x 1) 1,
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1,
x0
x0
所以函数在 x 0处右连续, 但不左连续, 从而它在 x 0
不连续．
函数在区 间上连续:
若函数 f (x) 在区间I 上每一点都连续,
则称函数f (x) 在 I 上连续, 或称 f (x) 为 I
上的连续函数.
函数在闭区 间上连续:
结论
函数 f (x) 在闭区间[a, b]上连续是指, 函
于是
§1.4中计算复利及 贴现时要用到求该 类极限.
幂的极限 =极限的幂
lim (1
n
1n)3n
lim[(1
n
1n)n]3
e3.
lim (1
n
1n)n
e
练习4
求
lim (1
n
21n)n3.
解 由幂的运算性质
(1 21n)n3 (1 21n)n (1 21n)3
积的极限 于是 =极限的积
数 f (x)在开区间(a, b)上连续; 且在端点 a处
右连续, 在端点 b处左连续, 即有:
lim f (x) f (a)， lim f (x) f (b).有定义的区间内都是连续的．
结论 初等函数在其有定义的区间内都是连续的．
x 根据这一结论, 求初等函数在其定义区间内某点 0
高等数学ppt课件
定积分的性质
定积分具有可加性、可积性、可微性等性质 。
定积分的应用
01
02
03
几何应用
定积分可以用于计算平面 图形和三维物体的面积和 体积，如矩形、圆形、球 体等。
物理应用
定积分可以用于计算变力 沿直线做功、液体压力等 物理问题。
经济应用
定积分可以用于计算经济 指标，如成本、收益、利 润等。
05
多重积分与向量分析
多重积分的概念与性质
多重积分的定义
多重积分是单变量积分概念的推广，它涉及多个变量 的积分。多重积分可以看作是对于每个变量进行积分 ，然后将结果相乘。
多重积分的性质
多重积分的性质包括积分的可加性、积分的可交换性、 积分的可结合性等。这些性质与单变量积分的性质类似 ，但需要考虑到多个变量的复杂性。
函数定义
函数是一种数学工具，它建立了数与数之间的对应关系，可以将一个数集中的每一个数唯一地映射到另一个数集中。 函数的性质包括定义域、值域、对应关系等。
函数的表示方法
函数的表示方法有表格法、图示法和解析法等，其中解析法是最常用的方法之一。解析法是通过数学表达式来表示函 数的关系。
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某区间内的单调递增或单调递减的性质。单调函数具有连续性和可导性等性质 。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数值随自变量改变速率的 方式，是函数局部性质的重要体现。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函 数在这一点处切线的斜率。导数的基本性 质包括：（1）常数函数的导数为零；（ 2）导函数在某点的极限就是原函数在该 点的导数值；（3）两个函数相加或相减 后的导数等于各自导数之和或之差；（4 ）常数倍函数的导数等于该常数乘以原函 数的导数。
《应用数学基础》(陈冲)157-8课件 第一章 函数、极限与连续
1.1 函数的概念 2．函数的性质
3）单调性
设函数 f (x) 在区间 I 上的任意两点 x1 ，x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称 y f (x) 在 区间 I 上为单调增加函数；反之，当 x1 x2 时， f (x1) f (x2 ) ，则称 y f (x) 在区间 I 上为单调
应用数学基础
第一章 函数、极限与连续
目录
ONTENTS
1 函数 2 函数的极限 3 无穷小量与无穷大量 4 极限的四则运算法则 5 两个重要极限 6 函数的连续性
01 函 数
1.1 函数的概念 1．函数的两个要素
➢ 函数的概念
定义 1 设 x 和 y 是两个变量， D 是一个给定的数集，如果对于给定的每个数 xD ，按照 某个法则 f 总有一个确定的 y 值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y f (x) ，数集 D 称为这个 函数的定义域， x 称为自变量， y 称为因变量， y 的取值范围称为函数的值域，用 M 表示．
1.2 基本初等函数
（1）常数函数： y C ． （2）幂函数： y x （ 为常数）． （3）指数函数： y ax （ a 0 ， a 1， a 为常数）． （4）对数函数： y loga x （ a 0 ， a 1， a 为常数）． （5）三角函数： y sin x ， y cos x ， y tan x ， y cot x ， y sec x ， y csc x ． （6）反三角函数： y arcsin x ， y arccos x ， y arctan x ， y arccot x ． 这六种函数统称为基本初等函数．这些函数的定义、图像和性质在中学已经学过，今后会 经常用到．
．
高等数学(微积分学)教学课件
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例：lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断：lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.
y x 1
表格法：用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法：用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数；如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D
高等数学-函数、极限与连续
(1) y=；(2) y=lg。
(4) g。
能力训练1.1
B组题
1.求下列函数的定义域：
(1) y=1/+5；
(2) y=2/x-；
(3) y=log31/1-x+；(4) y=arcsinx-1/2。
2.设f(x)=，求f(0)， f， f(1)， f。
3.设f(x+1)=x2-3x+2， 求f(x)。
(1) 解析法
(2) 列表法
(3) 图形法
4.分段函数
例2 绝对值函数
例3 符号函数
图 1-3
1.1.2 函数的几种特性
图 1-
4
1.1
函数
1. 函数的有界性
2. 函数的单调性
图 1-5
3. 函数的奇偶性
图 1-6
*例4
讨论函数f(x)=ln(x+)的奇偶性。
1.1
函数
解： 函数f(x)的定义域(－∞， +∞)是对称区间， 因为
题。
1.3.1 数列的极限
1.数列
(1) 1， 1/2， 1/3， 1/4， …， 1/n， …
(2) 1/2， 2/3， 3/4， …， n/n+1， …
(3) 1， -1， 1， -1， 1， …， (-1)n+1， …
(4) 3， 31/2， 32/3， 33/4， …， 4-1/n， …
1.3
4. 函数的周期性
1.1.3 反函数
例5 求y＝3x-1的反函数。
解： 由y＝3x-1得到x＝y+1/3， 然后交换x和y， 得到y＝x+1/3， 即
y＝x+1/3是y＝3x-1的反函数。
(4) g。
能力训练1.1
B组题
1.求下列函数的定义域：
(1) y=1/+5；
(2) y=2/x-；
(3) y=log31/1-x+；(4) y=arcsinx-1/2。
2.设f(x)=，求f(0)， f， f(1)， f。
3.设f(x+1)=x2-3x+2， 求f(x)。
(1) 解析法
(2) 列表法
(3) 图形法
4.分段函数
例2 绝对值函数
例3 符号函数
图 1-3
1.1.2 函数的几种特性
图 1-
4
1.1
函数
1. 函数的有界性
2. 函数的单调性
图 1-5
3. 函数的奇偶性
图 1-6
*例4
讨论函数f(x)=ln(x+)的奇偶性。
1.1
函数
解： 函数f(x)的定义域(－∞， +∞)是对称区间， 因为
题。
1.3.1 数列的极限
1.数列
(1) 1， 1/2， 1/3， 1/4， …， 1/n， …
(2) 1/2， 2/3， 3/4， …， n/n+1， …
(3) 1， -1， 1， -1， 1， …， (-1)n+1， …
(4) 3， 31/2， 32/3， 33/4， …， 4-1/n， …
1.3
4. 函数的周期性
1.1.3 反函数
例5 求y＝3x-1的反函数。
解： 由y＝3x-1得到x＝y+1/3， 然后交换x和y， 得到y＝x+1/3， 即
y＝x+1/3是y＝3x-1的反函数。
相关主题
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因为f (x) cos2 x 1 (1 cos x) g(x),即f (x)与g(x)具有相同的对 22
应法则，所以f (x)与g(x)是相同的函数；
(2)因为f (x) | x | 定义域是x 0的一切实数，而g(x) 1的定义域 x
是一切实数，所以f (x)与g(x)不是相同的函数。
,当n = m 当n > m
, 当n < m
(其中a0、a1、 、am和b0、b1、 、bn都是常数，且a0 0,b0 0)；
（ 6） lim sin x = 1 ；（ 7） lim tan x = 1
x0 x
x0 x
；（ 8） lim x
1+
1 x
x
=
e
；
1
（ 9） lim1+t t = e ；（1 0） lim qx 0 ( | q | 1 ) .
的定义域。
解 由已知得 2 4x 3 5，即 5 x 2，
4
故所求函数的定义域为 5 x 2. 4
二、判断两个函数是否相同
一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因
此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要
判断函数表达式是否统一即可。
例3 判断下列各对函数是否相同？
(1)
0，解得
x 1或x
17 3
x
2 19 ，
3
故所求函数定义域为17 x 19 ；
3
3
(2)若使函数有意义，必须
5x
x
2
20 7x 10
0，解得
x x
2 5 2,
x
5，
10 x 0
x 10
故所求函数的定义域为 2 x 10且x 2, x 5. 5
例 2 已知函数 y f (x)的定义域为[2,5]，求函数 y f (4x 3)
二、几个常用的基本极限
（1 ） lim c=c, xx0
(c为常数）；（ 2） lim x
x
=
x0
；
(x )
（ 3） lim 1 = 0 ； x x
（ 4） lim x
1 x
= 0，(为正的常数)
；
（ 5） lim x
a0 xm +a1xm-1 + b0 xn +b1xn-1+
+am +bn
=
a0 0b,0
x x0 0
1
lim(1 z) z e
z0
x1 z
lim
x
1
1 x
x
e
lim sin x 1 x0 x
五、表 1-2 列出了函数 y f (x)的点连续与区间连续
的概念
表 1-2
条
件
结论
(1) 如果
lim y 0 或
x 0
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
(2) 如果 y f (x) 在 (a，b) 内每一点连续
(3) 如果 y f (x) 在 (a，b) 内连续，
且 lim f (x) f (b)，lim f (x) f (b)
xb0
xa0
那么 y f (x) 在点 x0 连续 那么 y f (x) 在 (a，b) 内连续 那么 y f (x) 在 [a，b] 上连续
六、本章关键词
函数 极限 连续
f (x) cos2 x 与g(x) 1 (1 cos x)
2
2
；(2)
f (x) | x | 与g(x) 1 x
.
解 利用定义域和对应法则来判断。
(1)因为f (x) cos2 x 的定义域是一切实数，而g(x) 1 (1 cos x)
2
2
的定义域也是一切实数，所以f (x)与g(x)具有相同的定义域；又
系
无穷小
(x) A a 当 x x0 时a 0
(x )
函数的极限 lim f (x) A(常数)
x x0 (x)
右连续
lim
x x0 0
f (x)
f (x0 )
左连续
lim
x x0 0
f (x)
f (x0 )
lim f (x) A
x
lim f (x) A
三、判断函数奇偶性
第一章 函 数 、 极 限 与 连 接 （一） 本 章 内 容 小 结 （二） 常见问题分类及解法 （三） 思 考 题 （四） 课 堂 练 习
(一) 本章内容小结
一、本章的主要内容
函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数 与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运 算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷 小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间 上连续函数的性质。
x
x
x
（ 4） lim x x0
f (x)
f
(x0 )
lim
xx0 0
f
(x)
lim
xx0 0
f
(x)
f (x0 )
.
四、表 1-1 给出了当 x → ∞和 x → x0时函数的极限
与由此引申出来的有关概念之间的关系
表 1-1
无穷大
lim f (x)
x x0 (x)
有
倒
f (x) 0
数
关
义域，方法是解不等式组a (x) b .
例1 求下列函数的定义域：
(1)y
1
arccos(3x 18) ；
x2 3x 2
(2)y
ln(5x 2) x2 7x 10
10 x
.
解 所求定义域应使函数式中各部分都有意义，即求解不
等式组。
(1)若使函数有意义，必须
x2 3x 2 | 3x 18 | 1
x x0
点连续
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
续表
lim f (x) A
x
lim f (x) A
x x0
点连续
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
数列的极限
lim
n
xn
A
lim f (x) A
x
lim f (x) A
x
右极限 lim f (x) A
x x0 0
左极限 lim f (x) A
t 0
x
三、几个充要条件
（1 ） lim f xx0 (x)
(x)
A
f (x)
A
当 x
(
x0 x )
时 0
；
（ 2） lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A ；
x x0
xx0 0
xx0 0
（ 3） lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A ；
(二) 常见问题分类及解法
一、求函数的定义域
函数的定义域就是指使函数有意义的自变量 x 的取值 范围. 判断函数有意义的方法有以下几种：
①分式的分母不等于零； ②偶次方根式中，被开方式大于等于零； ③含有对数的式子，真数式大于零； ④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1； ⑤分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ⑥若已知 y f (x)的定义域是[a,b]，求 y f [(x)]的定