第10章 振动与波动(习题与答案)

第10章 振动与波动

一. 基本要求

1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。

2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。

3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。

4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。

5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。

6. 理解机械波产生的条件。

7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。

8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。

9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。

10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。

二. 内容提要

1. 简谐振动的动力学特征 作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即

kx F -=

取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为

x t

x 222d d ω-= 2. 简谐振动的运动学特征 作谐振动的物体的位置坐标x 与时间t 成余弦（或正弦）函数关系，即

)cos(ϕ+ω=t A x

由它可导出物体的振动速度 )sin(ϕ+ωω-=t A v

物体的振动加速度 )cos(ϕ+ωω-=t A a 2

3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即

2v ω+=2020x A

4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。周期与频率互为倒数，即

ν=1T 或 T

1=ν 5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ω

π=2T 或 πν=ω2

6. 相位和初相 谐振动方程中（ϕ+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即

00

x v ω-=ϕtan

应该注意，由此式算得的ϕ在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。

7. 旋转矢量法 作逆时针匀速率转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A ，其角速度等于谐振动的角频率ω，且t=0时，它与x 轴的夹角为谐振动的初相ϕ，t=t 时刻它与x

轴的夹角为谐振动的相位ϕω+t 。旋转矢量A ϖ的末端在x 轴上的投影点的运动代表着质

点的谐振动。

8. 简谐振动的能量 作谐振动的系统具有动能和势能，其

动能 )(sin ϕ+ωω==

t A m m E k 22222121v 势能 )(cos ϕ+ω==t kA kx E p 2222

121 机械能 22

1kA E E E p k =+= 9. 两个具有同方向、同频率的简谐振动的合成 其结果仍为一同频率的简谐振动，合振动的振幅

)cos(122122212ϕ-ϕ++=A A A A A

初相 22112

211ϕ+ϕϕ+ϕ=ϕcos cos sin sin tan A A A A

（1）当两个简谐振动的相差),,,( Λ210212±±=π=ϕ-ϕk k 时，合振动振幅最大，为21A A +，合振动的初相为1ϕ或2ϕ。

（2）当两个简谐振动的相差),,,( )(Λ2101212±±=π+=ϕ-ϕk k 时，合振动的振幅最小，为21A A -，合振动的初相与振幅大的相同。

10. 机械波产生的条件 机械波的产生必须同时具备两个条件：第一，要有作机械振动的物体——波源；第二，要有能够传播机械波的载体——弹性媒质。

11. 波长λ 在同一波线上振动状态完全相同的两相邻质点间的距离（一个完整波的长度），它是波的空间周期性的反映。

12. 周期与频率 波前进一个波长的距离所需的时间，它反映了波的时间周期性。周

期的倒数称为频率，波源的振动频率也就是波的频率。

13. 波速u 单位时间里振动状态（或波形）在媒质中传播的距离，它与波源的振动速度是两个不同的概念。

波速u 、波长λ、周期T （频率ν）之间的关系为 uT =λ

14. 平面简谐波的波动方程 如果平面波沿x 轴正向传播，则其波动方程为

])(2 cos[ ])(2 cos[ ])([ cos 000ϕ+λ

-π=ϕ+λ-νπ=ϕ+-ω=x T t A x t A u x t A y 若波沿x 轴的负向传播，则其波动方程为

])(2 cos[ ])(2 cos[ ])([ cos 000ϕ+λ

+π=ϕ+λ+νπ=ϕ++ω=x T t A x t A u x t A y 其中0ϕ为坐标原点的初相。

15. 波的能量 波动中的动能和势能之和，其特点是同体积元中的动能和势能相等：

（1）在平衡位置处，动能最大，势能也最大；

（2）在最大位移处，动能最小（为零），势能也最小（为零）；

（3）当媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中：它从相邻的一段媒质质元获得能量，其能量逐渐增加。

(4) 当媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中：它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小。

16. 波的干涉 满足相干条件（同频率、同振动方向且相位差恒定）的两列波的叠加，其规律是：

（1）若两列波的相位差),,,( Λ210221212±±=π=λ

-π-ϕ-ϕ=ϕ∆k k r r 则合成振动的振幅有极大值：21A A A +=，为干涉加强（相长干涉）。

（2）若两列波的相位差),,,( )(Λ2101221

212±±=π+=λ-π-ϕ-ϕ=ϕ∆k k r r 合成振动的振幅有极小值：21A A A -=，为干涉减弱，当A 1=A 2时，相消干涉。

17. 驻波 无波形和能量传播的波称为驻波，它由两列同振幅的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成，是波的干涉中的一个特例。其振幅随x 作周期变化，因而为分段的独立振动，有恒定的波腹和波节出现。