非线性约束优化
非线性约束最优化
⾮线性约束最优化CanChen ggchen@讲完了⼆次线性规划，这节课主要是讲了⼀般的⾮线性约束最优化怎么解。
等式约束-Lagrange-Newton先列Lagrange⽅程：然后⽤⽜顿法求⽅程的根（这个迭代⼜被称为Newton-Raphson迭代）：Sequential Quadratic Programming这个问题是最泛化的优化问题了，先看看怎么根据KT条件写出原始优化问题这⼀步实际上是把⼀般的优化问题，转化成了多个⼆次函数优化问题，循环求解。
对于每个⼦问题，需要采⽤active set⽅法，每次只考虑等式约束，根据具体情况添加或者删除约束。
罚函数法实际中总是逐渐增⼤罚因⼦，求解⽆约束问题。
这种通过求解⼀系列⽆约束问题来获得约束最优化问题的最优解，称之为序贯⽆约束极⼩化技术。
罚函数经典三引理：这⾥的引理1是关键，其实也很好证明，就是根据两个x分别是最优解，得到两个不等式，简单处理⼀下就⾏了。
三个引理刻画了罚函数法动态变化的过程。
其中，第三个引理就是说，我迭代到⼀步，不想迭代了，这个时候实际上得到的解是把定义域扩⼤了之后的解。
乘⼦罚函数这⾥实际上就是⽬标函数，加朗格朗⽇项，加罚项。
使⽤罚函数，必须要求罚因⼦趋于⽆穷⼤，然⽽这在实际中很难办到。
这⾥引⼊朗格朗⽇项，让罚因⼦不⽤趋于⽆穷，就能得到结果。
本质是就是将乘⼦罚函数在迭代中寻找和拉格朗⽇函数的关系，从⽽将带约束问题转化为⽆约束问题。
这⾥给出了带约束问题的⼆阶充分条件，⾮常⽜逼，之前只是必要条件。
障碍函数法这个实际上通过⽆限限制边界，将有约束问题转化为⽆约束问题。
内点法这个实际上是改变互补松弛条件，sz=u>0, 所以s>0,所以⼀定是内点。
本质上还是在求解KT系统，把不等式改造成等式，还在内部，这个⽐较野蛮。
后⾯凸优化就是⼲这个。
障碍函数法和内点法本质是⼀样的。
最优化方法第八章约束非线性优化
( 3)
15
i gi ( x*) 0 , i 1 , 2 , , l i 0 , gi ( x*) 0 ; i 0, i 1 , 2 , , l i 0 , gi ( x*) 0 ;
定理4(K-T条件): 设 x* Q ，f ( x) 和 g i ( x) (i I ( x*) ) 在x * 处可微，
g1 ( x) 4 x1 x2
g1 ( x ) [ 1 , 1 ]T
g2 ( x ) x1 , g2 ( x ) [ 1 , 0 ]T 。
g3 ( x ) x2 , g3 ( x ) [ 0 , 1 ]T 。
18
由 K T条件得
x1 3 1 1 0 x 3 1 1 2 0 3 1 0 2
s.t. ф(x,y)=0
引入Lagrange乘子：λ Lagrange函数 L(x,y;λ)= f(x,y)+ λ ф(x,y)
4
若(x*,y*)是条件极值，则存在λ* ，使 fx(x*,y*)+ λ* фx (x*,y*) =0 fy(x*,y*)+ λ* фy(x*,y*) =0 Ф (x*,y*)=0 推广到多元情况，可得到对于等式约束的情况： min f(x) 分量形式： s.t. hj(x)=0 j=1,2, …,l 若x*是其的最优解 , 则存在υ*∈ Rl 使
x1 d 1 d2
①可行方向与积极约束: 可行方向:
g2 ( x ) 0
设 x0 Q， d 为一个向量。如果存在 实数 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 使得对任意的 [ 0 , ] 有 x 0 d Q , 则称 d 为 x 0 处的 一个可行方向。
数学中的非线性优化算法
数学中的非线性优化算法非线性优化算法是一类应用于非线性优化问题的算法。
这类算法的优化目标函数通常是一个非线性函数，因此，在进行非线性优化时，需要考虑到函数本身的非线性性质，而不像线性优化问题那样只简单地寻找合适的线性方案即可。
在实际应用中，非线性优化算法与线性规划算法同样具有重要的地位。
例如，在工程中，我们经常需要通过优化非线性目标函数来寻找最优的工艺流程、产品材料、资源分配和生产布局等方案。
在金融领域，也需要使用非线性优化算法来找到投资组合中最理想的比例分配，以最大化收益并降低风险。
非线性优化算法的几类基本模型在非线性优化算法中，存在着多种基本模型。
这里简要介绍其中几种：1. 无约束优化模型无约束优化模型是指当目标函数的变量不受任何约束限制时所求的最优解。
在数学中，这种模型通常用以下形式表示：min f(x)，x∈R^n其中，x是自变量向量，f(x)是目标函数。
尽管看起来这是一个简单的问题，但实际情况并非如此。
在很多情况下，目标函数都是非线性函数，而且非常复杂，无法直接求出最小值。
因此，需要使用非线性优化算法来解决这个问题。
2. 约束优化模型与无约束优化模型相比，约束优化模型多出了一些约束条件。
在数学中，它通常会表示为以下形式：min f(x)，x∈R^ns.t. g_i(x)≤0,i=1,…,m其中，g_i(x)是约束函数，表示限制x必须满足的条件。
在这种情况下，我们需要使用不同的非线性优化算法来寻找满足约束条件的最小值。
常用的算法包括SQP算法、罚函数法等。
3. 二次规划模型另一个常见的优化问题是二次规划模型。
在这种情况下，目标函数和约束条件都是二次函数。
通常，二次规划模型会用以下形式表示：min 0.5x'Qx+px，x∈R^ns.t. Gx≤h其中，Q、p、G和h是矩阵或向量，表示二次函数的系数和约束条件。
在解决二次规划问题中，最常见的算法是内点法。
这个算法的核心思想是在可行空间的内部进行搜索，而不是沿着表面“爬山”。
非线性约束优化问题的数值解法
非线性约束优化问题的数值解法在实际问题中，我们经常会遇到一类非线性约束优化问题，即在一定约束条件下，最小化或最大化一个非线性目标函数。
这类问题的数学模型可以表示为：$$\begin{aligned}\min_{x} \quad & f(x) \\\text{s.t.} \quad & g_i(x) \leq 0, \quad i=1,2,\ldots,m \\& h_j(x) = 0, \quad j=1,2,\ldots,n\end{aligned}$$其中，$x$是决策变量，$f(x)$是目标函数，$g_i(x)$和$h_j(x)$是约束函数。
有时候，这类问题的解析解并不容易求得，因此需要借助数值方法来找到近似解。
本文将介绍几种常用的非线性约束优化问题的数值解法。
一、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是最基础的非线性约束优化问题求解方法之一。
它将原始问题转化为等价的无约束问题，并通过引入拉格朗日乘子来建立求解函数。
具体而言，我们将原始问题改写成拉格朗日函数的形式：$$L(x,\lambda,\mu) = f(x) + \sum_{i=1}^{m}\lambda_ig_i(x) +\sum_{j=1}^{n}\mu_jh_j(x)$$其中，$\lambda_i$和$\mu_j$是拉格朗日乘子。
然后，我们对拉格朗日函数求取对$x$的梯度，并令其等于零，得到一组等式约束：$$\nabla_x L(x,\lambda,\mu) = \nabla f(x) +\sum_{i=1}^{m}\lambda_i\nabla g_i(x) + \sum_{j=1}^{n}\mu_j\nablah_j(x) = 0$$再加上约束条件 $g_i(x) \leq 0$ 和 $h_j(x) = 0$，我们可以得到原始问题的一组等价条件。
二、内点法内点法是解决非线性约束优化问题的一种有效算法。
该方法通过将约束条件转化为惩罚项，将原问题转化为无约束的目标函数最小化问题。
非线性优化与约束优化问题的求解方法
非线性优化与约束优化问题的求解方法非线性优化问题是在目标函数和约束条件中包含非线性项的优化问题。
约束优化问题是在目标函数中加入了一些约束条件的优化问题。
解决这些问题在实际应用中具有重要意义，因此研究非线性优化和约束优化问题的求解方法具有重要的理论和实际意义。
一、非线性优化问题的求解方法非线性优化问题的求解方法有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 黄金分割法：黄金分割法是一种简单但有效的搜索方法，它通过不断缩小搜索范围来逼近最优解。
该方法适用于目标函数单峰且连续的情况。
2. 牛顿法：牛顿法利用目标函数的一阶和二阶导数信息来逼近最优解。
该方法收敛速度较快，但在计算高阶导数或者初始点选取不当时可能产生不稳定的结果。
3. 拟牛顿法：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过逼近目标函数的Hessian矩阵来加快收敛速度。
拟牛顿法可以通过不同的更新策略来选择Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法或者DFP方法。
4. 全局优化方法：全局优化方法适用于非凸优化问题，它通过遍历搜索空间来寻找全局最优解。
全局优化方法包括遗传算法、粒子群优化等。
二、约束优化问题的求解方法约束优化问题的求解方法也有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 等式约束问题的拉格朗日乘子法：等式约束问题可以通过引入拉格朗日乘子来转化为无约束优化问题。
通过求解无约束优化问题的驻点，求得原始约束优化问题的解。
2. 不等式约束问题的罚函数法：不等式约束问题可以通过引入罚函数来转化为无约束优化问题。
罚函数法通过将违反约束条件的点处添加罚项，将约束优化问题转化为无约束问题。
3. 逐次二次规划法：逐次二次规划法是一种常用的求解约束优化问题的方法。
该方法通过依次处理逐个约束来逼近最优解，每次处理都会得到一个更小的问题，直至满足所有约束条件。
4. 内点法：内点法是一种有效的求解约束优化问题的方法。
该方法通过向可行域内部逼近，在整个迭代过程中都保持在可行域内部，从而避免了外点法需要不断向可行域逼近的过程。
15非线性约束最优化算法
ci ( xk )T p c ( x k )
i
0, i 0, i I
ci ( xk )T p c ( x k )
i
15.13
非线性规划内点法
第19章，讨论非线性规划内点法（interior-point） 相对在14章讨论的线性规划来说，这种方法可以看做是原始对偶内点法 （primal-dual interior-point）的拓展，也可以看做是障碍法。
这个问题说明了用非线性消去变量，可能导致很难追踪错误的结果。 基于这个原因，大多数最优化算法中不用非线性消去法。相反，许多 约束条件的线性的算法会用到消去法去解一些简单问题。现在就系统 的概述下用线性约束去得到变量消除的目的。
15.32
用线性约束简单消去
思考线性函数的约束条件的最小化问题，约束条件是线性等式约束：
AP B N
N表示Ａ矩阵n-m剩余列。(这里的注释和第13章一致，讨论线性规划背 景的相似概念)
定义下面形式下的子向量 ：
x B PT x xN
(15.8)
xB为基变量，B为基矩阵。注意PPT=I可以将约束条件Ax=b改写如下：
b Ax Ap
15.12 连续二次规划方法
第18章，讨论序列二次规划方法（sequential quadratic programming） 简称SQP. 基本的SQP方法中定义Pk在(xk，λ k)迭代的方向，从而得到解
min
p
1 2
P
T
2 xx
L( xk ,k )
P
f ( xk )
T
p
约束条件：
非线性优化的基本理论
非线性优化的基本理论引言非线性优化是数学和计算机科学领域的一个重要研究方向。
它研究的是在给定约束条件下，如何寻找某个目标函数的最优解。
与线性优化问题不同，非线性优化问题涉及非线性函数的优化，更具有挑战性。
基本概念1.目标函数（Objective Function）：非线性优化问题中需要优化的目标函数，通常表示为f(x)，其中x表示自变量。
2.约束条件（Constraints）：非线性优化问题中限制目标函数的函数或等式，通常表示为g(x) <= 0和h(x) = 0。
3.最优解（Optimal Solution）：非线性优化问题中使目标函数取得最小（或最大）值的自变量的取值。
4.局部最优解（Local Optimum）：非线性优化问题中某个点附近的最优解，但不一定是全局最优解。
5.全局最优解（Global Optimum）：非线性优化问题中使目标函数取得最小（或最大）值的自变量的取值，是优化问题的最优解。
基本原理非线性优化的基本原理是寻找目标函数在给定约束条件下的最优解。
常用的方法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
1. 梯度下降法（Gradient Descent）梯度下降法是一种基于目标函数梯度信息的迭代优化方法。
它的基本思想是通过不断迭代调整自变量的取值，使目标函数逐渐收敛到最优解。
具体步骤如下：1. 初始化自变量的取值。
2. 计算目标函数在当前自变量取值下的梯度。
3. 根据梯度的方向和步长，更新自变量的取值。
4. 重复步骤2和步骤3，直到满足停止准则。
2. 牛顿法（Newton’s Method）牛顿法是一种基于目标函数二阶导数信息的迭代优化方法。
它的基本思想是通过将目标函数进行二阶泰勒展开，以二阶导数的倒数作为步长，调整自变量的取值。
具体步骤如下： 1.初始化自变量的取值。
2. 计算目标函数在当前自变量取值下的一阶导数和二阶导数。
3. 根据一阶导数和二阶导数，更新自变量的取值。
带约束的非线性优化问题解法小结
(1)带约束的非线性优化问题解法小结考虑形式如下的非线性最优化问题(NLP):min f(x)「g j (x )“ jI st 彳 g j (x)=O j L其 中， ^(x 1,x 2...x n )^ R n， f : R n > R ， g j :R n > R(j I L) ， I 二｛1,2,…m ｝， L ={m 1,m 2...m p}。
上述问题(1)是非线性约束优化问题的最一般模型，它在军事、经济、工程、管理以 及生产工程自动化等方面都有重要的作用。
非线性规划作为一个独立的学科是在上世纪 50年 代才开始形成的。
到70年代，这门学科开始处于兴旺发展时期。
在国际上，这方面的专门性 研究机构、刊物以及书籍犹如雨后春笋般地出现，国际会议召开的次数大大增加。
在我国， 随着电子计算机日益广泛地应用，非线性规划的理论和方法也逐渐地引起很多部门的重视。
关于非线性规划理论和应用方面的学术交流活动也日益频繁，我国的科学工作者在这一领域 也取得了可喜的成绩。
到目前为止，还没有特别有效的方法直接得到最优解，人们普遍采用迭代的方法求解： 首先选择一个初始点，利用当前迭代点的或已产生的迭代点的信息，产生下一个迭代点，一 步一步逼近最优解，进而得到一个迭代点列，这样便构成求解( 1)的迭代算法。
利用间接法求解最优化问题的途径一般有：一是利用目标函数和约束条件构造增广目标 函数，借此将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，然后利用求解无约束最优化问题的 方法间接求解新目标函数的局部最优解或稳定点，如人们所熟悉的惩罚函数法和乘子法；另 一种途径是在可行域内使目标函数下降的迭代点法，如可行点法。
此外，近些年来形成的序 列二次规划算法和信赖域法也引起了人们极大的关注。
在文献［1］中，提出了很多解决非线性 规划的算法。
下面将这些算法以及近年来在此基础上改进的算法简单介绍一下。
1. 序列二次规划法序列二次规划法，简称SQ 方法.亦称约束变尺度法。
带非线性约束的机器学习优化算法研究
带非线性约束的机器学习优化算法研究随着人工智能技术的发展，机器学习算法的研究也日益深入。
机器学习最基本的任务是根据输入的数据和模型，对新的数据进行预测和分类。
而机器学习中优化算法则是解决模型训练中的核心问题：如何通过训练数据得到最优的模型参数。
然而，优化算法研究领域仍然存在着一些难点，一个重要的难点是如何解决非线性约束下的优化问题。
一、什么是非线性约束的优化问题非线性约束的优化问题指的是，优化问题中存在着非线性约束条件。
在机器学习中，我们需要基于训练数据训练一个模型，从而得到该模型的参数。
而在实际的应用场景中，模型参数往往会受到一定的约束条件限制，例如：参数的取值范围、参数之间的相关性等。
这些非线性约束条件使得优化问题变得更加复杂，使得传统的优化算法无法有效地解决该问题。
二、传统的优化算法存在的问题在解决非线性约束的优化问题时，最广泛使用的是传统的优化算法，例如：梯度下降、牛顿法、拟牛顿法等。
但是，这些算法存在一些问题，例如：1.收敛速度慢。
由于非线性约束条件的存在，传统优化算法需要不断地调整模型参数，空间搜索的复杂度很高，导致算法收敛的速度非常慢。
2.陷入局部最优解。
传统的优化算法常常会陷入局部最优解，不能保证得到全局最优解，尤其是在非凸约束条件下。
3.对于复杂约束条件的支持不足。
现实中往往需要处理较为复杂的约束条件，例如：参数的取值范围、参数之间的相关性等。
传统的优化算法仅能支持简单的约束条件，对于复杂约束条件支持不足。
三、非线性约束的优化问题研究进展为了解决传统优化算法存在的问题，近年来，研究人员提出了许多新的优化算法，以解决非线性约束的优化问题。
1. 逐步逼近法逐步逼近法是一种不依赖于梯度信息的优化算法，通过逐步减小优化问题的范围，逐步逼近最优解。
这种算法在解决非线性约束条件的问题时，非常有效。
2. 改进型粒子群优化算法改进型粒子群优化算法是一种基于群体智能的优化算法，可以在复杂的非线性约束条件下找到全局最优解。
05运筹与优化—非线性规划约束最优化
一、约束优化最优性条件
Page 8
拉格朗日乘子法
定义 n+l 元函数：
l
L(x, )=f(x)- Th(x)=f(x)- ihi(x) i1 为 lagrange 函数，
称 为 lagrange 乘子向量。
例：求解最优化问题
min f x2 y2 xy 3
一、约束优化最优性条件
Page 9
m
f (x ) uigi (x ) 0
i 1
ui* 0 i 1, 2, , m
uigi (x ) 0 i 1, 2, , m
(互补松弛条件)
其中：i I，且满足CQ条件
x*
g2
g1
x
f
g3 g2
f
D
一、约束优化最优性条件
Page 12
3.一般约束的Khun-Tucker条件
定理3： Khun-Tucker条件（KKT条件，K-T条件）
2.不等式约束的最优化条件
考虑不等式约束最优化问题 min f(x),x∈R n s.t. gi(x)≤0
极小值取值特点
（1）极小值点落在可行 域内（不包含边界）
（2）极小值点落在可 行域外（包含边界）
一、约束优化最优性条件
Page 10
定义:若不等式约束问题的一个可行点 x使某个不等式 约束 g j (x)≥0 变成等式，即 g j ( x)=0，则该不等式约束 gj (x)≥0,称为关于 x的有效约束。
运筹与优化— 非线性规划优化方法
Page 2
某金属制品厂要加工一批长方形容器，按规格要求，上 下底的材料为25元/m2，侧面的材料为40元/m2，试确定长、 宽、高的尺寸，在容积一定的情况下（设为90 m3 ），使 这个容器的成本最低。
第四节：非线性约束最优化方法
返回
罚函数法迭代步骤：
M
1
, ,c
k : 1
求：minP ( x , M k )的解x k x (M k )
存在j(1 j m)使 g j (x k ) ?
否 停
M k 1 cM k : k 1
k
是
x min x k
例 用惩罚函数法求解：
min f ( X ) ( x1 2) ( x1 2x2 )
4 2
s.t.
2 x1
x2 0
解：取初始点X(0)=(2,1)T, M1=0.1,c=10，置k=1,
求函数 P(X,Mk)=(x1-2)4+(x1-2x2)2+Mk(x12-x2)2 的极小点X(k)(Mk)。 取=0.001, 计算结果如下：
迭代 Mk 次数 1 0.1 2 3 1.0 10.0
X(k)(Mk) (1.4539,0.7608)T (1.1687,0.7407)T (0.9906,0.8425)T
f(X(k)) MkP(X(k)) 0.0935 0.1837 0.5753 0.3908 1.5203 0.1926
4 5
100.0
第四节 约束最优化方法
概述
基本方法介绍 线性逼近法 惩罚函数法
NLP一般表达形式为
minf(X)
概
g i ( X ) 0 i 1,2, m s.t. hi ( X ) 0 j 1,2, l
(2-11)
述
常用算法类型
1）用LP来逐次逼近非线性规划的方法； 2）将约束问题转化为一系列无约束问题 来求解（如SUMT内点法、外点法）；
数学中的非线性优化问题
数学中的非线性优化问题在数学领域中，非线性优化问题是一类重要而复杂的问题。
它主要研究的是在某些约束条件下，如何寻找一个满足给定目标函数的最优解。
非线性优化问题的求解过程具有广泛的实际应用，包括经济学、工程学、物理学等领域。
本文将介绍非线性优化问题的定义、常用的解法以及相关应用。
一、非线性优化问题的定义非线性优化问题是在给定一组约束条件下，寻找某个函数的最优解的问题。
与线性优化问题不同的是，非线性优化问题中目标函数可以是非线性的，约束条件也可以是非线性的。
通常情况下，非线性优化问题的目标是最小化或最大化一个目标函数。
例如，考虑一个简单的非线性优化问题：$\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x)$subject to $g_i(x) \leq 0, \quad i=1,2,...,m$$h_j(x) = 0, \quad j=1,2,...,p$其中，$f(x)$是定义在$\mathbb{R}^n$上的目标函数，$g_i(x)$和$h_j(x)$是定义在$\mathbb{R}^n$上的约束条件。
优化问题的目标是寻找一组变量$x$的取值，使得$f(x)$达到最小值，并且满足约束条件$g_i(x) \leq 0$和$h_j(x) = 0$。
二、非线性优化问题的解法非线性优化问题的解法有多种，常见的包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
1. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的迭代算法，用于求解无约束非线性优化问题。
它通过不断沿着负梯度的方向更新变量值，直到达到最优解。
其基本思想是在每一次迭代中，通过计算目标函数的梯度来确定下降的方向和步长。
梯度下降法的优点是易于实现，但可能陷入局部最优解。
2. 牛顿法牛顿法是一种迭代算法，用于求解非线性优化问题。
它利用目标函数的函数值和梯度信息来近似地构造二次模型，并通过求解二次模型的最小值来确定下一步的迭代点。
牛顿法通常收敛速度较快，但需要计算目标函数的梯度和Hessian矩阵，且在某些情况下可能会出现数值不稳定的情况。
带有非线性约束的优化问题求解研究
带有非线性约束的优化问题求解研究随着科技的不断进步和发展，我们的生活也越来越依赖于计算机和数据分析。
而优化问题求解作为数学的一个重要分支，也在逐渐成为各个领域中不可或缺的一部分。
然而，在实际操作中，很多优化问题都存在着非线性约束的情况，它们的解决方式也因此而产生了很多新的挑战和难点。
一、带有非线性约束的优化问题的性质和挑战在数学中，优化问题的基本形式为：最大（小）化某个目标函数，使得满足一定的约束条件。
而当这些约束条件中出现非线性的情况时，这个问题就会变得更加复杂起来。
因为在非线性的情况下，目标函数的优化方向和约束条件的符号会相互影响，导致求解起来非常困难。
对于带有非线性约束的优化问题，其解决的难度主要有以下几个方面：1. 非凸性问题：许多非线性优化问题都是不凸的，也就是说，它们在某些区域内存在多个极小值或者鞍点。
这种情况下，传统的优化算法就很难有效地找到全局最优解，而且可能会被困在局部最优解中。
2. 约束条件的“硬度”：在非线性问题中，约束条件可能会比目标函数更加复杂和难以处理。
而且，这些约束条件可能会存在多个限制条件，甚至是不等式约束。
这些条件之间相互作用，很难通过简单的规则来处理。
因此，优化算法需要耗费更多的计算量和时间来解决。
3. 更加复杂的求解方法：在非线性优化问题中，传统的求解方法已经不再适用了。
相反，我们需要使用更加复杂和高级的优化算法，如线性规划、二次规划、仿射规划、鲁棒优化等。
二、约束优化问题的解法与优化算法在研究非线性约束的优化问题时，我们可以先根据约束条件的特点来确定使用何种优化算法。
同时，我们还需要根据目标函数的特点，合理地调整算法的参数，以实现最优化的效果。
下面介绍几种常见的优化算法：1. 内点法：内点法是一种能够解决带有等式或非平凡不等式约束的优化问题的算法。
它的主要思想是通过解决一个关于正定对称矩阵的方程组来求解优化问题的解。
内点法因为能够解决一般限制条件下的凸优化问题，因此在实际操作中很受欢迎。
关于非线性约束最优化方法-乘子法
非线性约束最优化方法 ——乘子法1.1 研究背景最优化理论与方法是一门应用性相当广泛的学科，它的最优性主要表现在讨论决策问题的最佳选择性，讨论计算方法的理论性质，构造寻求最佳解的计算方法，以及实际计算能力。
伴随着计算数学理论的发展、优化计算方法的进步以及计算机性能的迅速提高，规模越来越大的优化问题得到解决。
因为最优化问题广泛见于经济计划、工程设计、生产管理、交通运输、国防等重要领域，它已受到政府部门、科研机构和产业部门的高度重视。
然而，随着人们对模型精度和最优性的要求所得到的优化命题往往具有方程数多、变量维数高、非线性性强等特点，使得相关变量的存储、计算及命题的求解都相当困难，从而导致大规模非线性优化很难实现。
因此，寻求高效、可靠的大规模非线性优化算法成为近年来研究的热点。
本文讨论的问题属于非线性约束规划的范畴，讨论了其中的非线性等式约束最优化问题方面的一些问题。
1.2非线性约束规划问题的研究方法非线性约束规划问题的一般形式为（NPL ） {}{}m in (),,s.t. ()0,1,2,...,,()0,1,2,...,ni i f x x R c x i E l c x i I l l l m ∈=∈=≤∈=+++其中，(),()i f x c x 是连续可微的.在求解线性约束优化问题时，可以利用约束问题本身的性质，但是对于非线性约束规划问题，由于约束的非线性使得求解这类问题比较复杂、困难。
因此，我们将约束问题转化为一系列无约束优化问题，通过求解一系列无约束优化问题，来得到约束优化问题的最优解。
我们用到的几类主要的方法有:罚函数法、乘子法以及变尺度法。
传统上我们所提出的非线性约束最优化方法一般都遵循下列三个基本思路之一1 借助反复的线性逼近把线性方法扩展到非线性优化问题中来2 采用罚函数把约束非线性问题变换到一系列无约束问题3 采用可变容差法以便同时容纳可行的和不可行的X 矢量其中源于思路2 的乘子罚函数法具有适合于等式及不等式约束不要求初始点为严格内点，甚至不要求其为可行点对自由度的大小无任何要求等特点。
非线性优化算法研究及其应用
非线性优化算法研究及其应用在现代科技和工程领域中，许多问题都可以被抽象成数学模型，并进一步转换为优化问题。
这些问题的解决有时需要考虑非线性约束，这就需要运用非线性优化算法。
本文旨在介绍非线性优化算法的研究和应用。
一、什么是非线性优化算法在数学和计算机科学中，优化问题（ Optimization problem ）是找到最佳解决方案的问题。
如果解决方案必须满足一定的限制条件，则称为约束优化问题。
优化问题常常涉及复杂的函数，可能是非线性的。
非线性优化算法是处理这些问题的有效工具。
非线性优化问题的一般公式如下：Minimize f(x) s.t. g(x) ≤ 0, h(x) = 0其中，f(x) 是目标函数，g(x) ≤ 0 是不等式约束，h(x) = 0 是等式约束。
这个问题中，x 是优化变量。
目标是找到最小值，满足约束条件。
二、常见的非线性优化算法1.梯度下降（ Gradient Descent ）梯度下降是一种基本的优化算法，可以用于线性和非线性函数的最小化。
其核心思想是在函数曲线上沿着负梯度方向（下降最快的方向）逐渐逼近最小值。
梯度下降算法的主要优点是简单易懂，计算量不大，缺点是容易陷入局部最优解。
2.共轭梯度（ Conjugate Gradient ）共轭梯度是一种有效的迭代算法，主要应用于解压缩矩阵和解决大型稀疏线性方程组。
共轭梯度算法在一般情况下比梯度下降算法具有更快的收敛速度，并能够有效地避免陷入局部最优解。
3.牛顿法（Newton’s Method ）牛顿法是一种基于二阶导数（Hessian 矩阵）的优化算法。
在每个迭代步骤中，算法使用函数的一阶导数和二阶导数来快速逼近最小值。
牛顿法在近似二次函数的情况下具有很高的收敛速度。
但是，在高维问题中，牛顿法可能会失败，因为需要计算复杂的 Hessian 矩阵。
4.拟牛顿法（ Quasi-Newton Method ）拟牛顿法是一种综合了梯度下降和牛顿法的优化算法。
非线性优化问题的理论与算法
非线性优化问题的理论与算法一、引言优化问题是数学中的一个重要研究领域，其目标是找到使某个目标函数取得最优值的变量取值。
在实际应用中，很多问题都可以被抽象为优化问题，例如机器学习、经济学、工程设计等领域。
非线性优化问题是其中一类具有广泛应用的问题，本文将介绍非线性优化问题的理论与算法。
二、非线性优化问题的定义非线性优化问题是指目标函数或约束条件中至少存在一个非线性项的优化问题。
与线性优化问题相比，非线性优化问题更加复杂，因为非线性函数的性质往往难以直接求解。
因此，研究非线性优化问题的理论与算法具有重要意义。
三、非线性优化问题的数学建模在解决非线性优化问题之前，首先需要将实际问题转化为数学模型。
通常，非线性优化问题可以通过以下方式进行数学建模：1. 目标函数的建模：将实际问题中的目标转化为一个数学函数，该函数的取值与问题的最优解相关。
2. 约束条件的建模：将实际问题中的约束条件转化为一组等式或不等式约束，以限制变量的取值范围。
3. 变量的定义：将实际问题中的变量进行定义，并确定其取值范围。
通过以上步骤，可以将实际问题转化为一个数学模型，从而为后续的优化算法提供基础。
四、非线性优化问题的求解方法针对非线性优化问题，有多种求解方法可供选择。
以下介绍两种常用的非线性优化算法：1. 梯度下降法：梯度下降法是一种基于迭代的优化算法，其思想是通过迭代地沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，以逐步逼近最优解。
梯度下降法的优点是简单易实现，但在处理复杂的非线性问题时，可能会陷入局部最优解。
2. 牛顿法：牛顿法是一种基于二阶导数信息的优化算法，其思想是通过多次迭代来逼近最优解。
相比于梯度下降法，牛顿法具有更快的收敛速度，但也存在计算复杂度高和可能陷入局部最优解的问题。
除了以上两种算法，还有其他一些常用的非线性优化算法，例如拟牛顿法、共轭梯度法等。
选择合适的优化算法需要根据具体问题的特点和求解需求进行权衡。
五、非线性优化问题的理论研究除了算法的研究，非线性优化问题的理论研究也具有重要意义。
MATLAB中的非线性优化算法
MATLAB中的非线性优化算法引言：MATLAB是一种著名的科学计算软件，拥有丰富的工具箱和算法，可用于各种数学和工程应用。
其中，非线性优化算法是MATLAB中一个重要的应用领域。
非线性优化问题在实际应用中广泛存在，例如机器学习、金融建模和工程优化等。
在这篇文章中，我将介绍MATLAB中的一些常用的非线性优化算法及其应用。
一、非线性优化问题非线性优化问题是指目标函数和约束条件均为非线性的优化问题。
目标函数可以是最大化或最小化的某一指标，约束条件则是对变量的限制条件。
非线性优化问题在实际应用中非常普遍，例如用于优化机器学习模型的参数、金融投资组合优化和工程设计等。
在MATLAB中，有多种算法可供选择来解决这些问题。
二、MATLAB中的非线性优化算法1. fmincon函数fmincon函数是MATLAB中一种通用的非线性约束优化算法。
它可以处理有等式约束、不等式约束以及无约束的优化问题。
该函数基于内点法和序列二次规划算法，通过迭代优化目标函数来求解最优解。
在使用fmincon函数时，需要提供目标函数、约束函数和初始解等输入。
2. fminunc函数fminunc函数是MATLAB中用于无约束非线性优化的算法。
它采用拟牛顿方法的变体，通过估计目标函数的二阶导数信息来迭代优化。
与fmincon函数不同的是，fminunc函数只适用于无约束问题，在处理有约束问题时需要先转化为无约束问题。
使用fminunc函数时，需要提供目标函数和初始解等输入。
3. lsqnonlin函数lsqnonlin函数是MATLAB中用于无约束非线性最小二乘问题的算法。
最小二乘问题是指寻找最小化残差的参数。
该函数通过非线性最小二乘法迭代地优化目标函数，求解最优的参数估计。
在使用lsqnonlin函数时，需要提供目标函数和初始解等输入。
三、非线性优化算法的应用1. 机器学习中的参数优化机器学习算法中的模型参数优化是一个典型的非线性优化问题。
指数函数与对数函数的非线性优化与约束条件
指数函数与对数函数的非线性优化与约束条件指数函数与对数函数是数学中常见的非线性函数，它们在优化问题中起到了重要的作用。
本文将探讨指数函数和对数函数在非线性优化问题中的应用，并介绍如何在约束条件下进行优化。
在非线性优化中，目标是找到一个使得目标函数取得最大或最小值的变量值。
指数函数和对数函数具有非线性特性，因此它们在优化问题中具有广泛的应用。
首先，我们来介绍指数函数的优化。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。
在指数函数的优化中，常见的问题是求解最大化或最小化指数函数的取值范围。
这可以通过微积分和相关方法来实现。
例如，在生物学中，指数函数可以描述细菌或细胞的增长速度，我们希望找到使得细菌或细胞数量达到最大或最小值的条件。
在经济学中，指数函数可以表示投资的增长速度或收益率，我们希望找到最大化投资回报的最佳策略。
接下来，我们将讨论对数函数的非线性优化问题。
对数函数的一般形式为f(x) = loga(x)，其中a为常数且大于1。
在对数函数的优化中，常见的问题是求解满足约束条件下对数函数取最大或最小值的变量值。
对数函数的特性使其在信息论、经济学和物理学等领域具有广泛应用。
在约束条件下进行指数函数和对数函数的非线性优化是一种常见的问题。
在这种情况下，我们需要找到一个满足限制条件的最优解。
这可以通过拉格朗日乘子法或其他优化算法来实现。
例如，在工程设计中，我们可能需要最小化材料的使用量，同时满足一定的强度要求。
这可以通过指数函数和对数函数的优化来实现。
除了约束条件，我们还可以考虑非线性优化的其他限制。
例如，我们可能需要限制变量的取值范围，或者需要满足一组等式或不等式约束。
这些约束条件可以通过引入惩罚函数或其他方法来处理。
在指数函数和对数函数的优化中，我们需要仔细选择适当的约束条件，以便找到满足问题要求的最优解。
总之，指数函数和对数函数在非线性优化中扮演着重要角色。
它们广泛应用于各个领域，如生物学、经济学和工程学等。
非线性约束优化.ppt
例４２求解不等式约束问题的K-T点，并判断是否为局部极小
例min s.t.
f ( X )(x11)2 x22 g1( X )x1 x22 / 5
解： L( X , ) (x1 1)2 x22 {x1 x22 / 5}
f x1
构造拉日函数：L(X ,, ) f (x)
m i1
i*
gi
(
X
)
l i1
i
hi
(
X
)
如果x*----l.opt. 那么，u*i≥0, 使得
１）驻点条件：f (x)
m i 1
i*gi
(
X
*
)
l j 1
jhj
(
X
*)
0
２）互补条件：
３）非负条件： ui* 0 i 1, 2, , m ４）不等式约束：gi (x) 0 i 1, 2, , m
j 1, 2,..., l
P( X , M k ) f ( X ) (M k , g( X ), h( X ))
m
l
f ( X ) M k { [min(0, gi ( X ))]2 [(hj ( X ))]2}
i 1
j 1
这里(M k , g( X ), h( X ))是惩罚项：M k CM k1
2L( X *, * )
x12
2x2*
41*
4
2L( X *, * )
x1 x2
2x1*
21*
2
2L( X *, * )
x22
0
h1
(
Xx1*) Nhomakorabea4x1*
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例４２求解不等式约束问题的K-T点，并判断是否为局部极小
2 f ( X ) ( x1 1) x2 2 g1( X ) x1 x2 / 5 2 2 2 解： L( X , ) ( x1 1) x2 { x1 x2 / 5} 2
min 例 s.t.
f f g g 2( x1 1), 2 x2 , 1, 2 x2 / 5 x1 x2 x1 x2
* 2 2 * x22 x2 * * * 2( x1 1) * 0; 2 x2 0; * ( x1 ) 0; 0; x1 0 5 5 5
2 i 1 j 1 m l
这里( M k , g ( X ), h( X ))是惩罚项： k CM k 1 M 0, 满足约束 ( M k , g ( X ), h( X )) 0, 不满足约束
例题４－３用外点法求解
2 min f ( X ) x12 x2 , s.t. 2x1 x2 4, x1 , x2 0
解: 令 极大点的必要条件:
L( X ) x12 x2 1 ( 2 x12 2 x1x2 24 )
* * * * * (L / x1 ) x*, * 2 x1 x2 41 x1 21* x2 0 x1 2 * *2 * * x2 4 (L / x2 ) x*, * x1 21 x1 0 * *2 * * * (L / 1 ) x*, * (2 x1 x2 2 x1 x2 24 ) 0 1 1
k 1 2
.............
3）假设X D
求P( X , M k )驻点
3
2 , 则P( X , M k ) x12 x2 M k ( x1 x2 4) 2 ,以M k 为参数，
gi ( X *)T Y 0, i I1 ( X *) {i | gi ( X *) 0, i* 0} gi ( X *)T Y 0, i I 2 ( X *) {i | gi ( X *) 0, i* 0} gi ( X *)T Y 0, i 1, 2,..., I
g2(x)=0 x* g1(x)=0
g1(x*)=0, g1为起作用约束， 约束集已知时回归到含等式优化问题
问题: 事先并不知道约束集＝？
定理（任意情况的最优性必要条件）：（K-T条件） 问题(fg), 设Ｄ={x|gi(x) 0，i 1 ~ m; hj ( x) 0, j 1 ~ l }, x*∈Ｄ, I为x*点处的起作用集，设f, gi(x) ,i ∈I在x*点可微， gi(x) ,i I在x*点连续。 向量组{▽gi(x*), i ∈I}线性无关。 m l * L 构造拉日函数： ( X , , ) f ( x) i 1 i gi ( X ) i 1 i hi ( X )
第
四
章
约束最优化方法
问题
(fgh)
min f(x)
s.t. g(x) ≤0 h(x)=0
约束集 S={x|g(x) ≤0 , h(x)=0}
高等数学中所学的条件极值：
一、等式约束性问题的最优性条件： 考虑 min f(x) s.t. h(x)=0
问题: 在ф(x,y)=0的条件下, 求z=f(x,y)极值. min f(x,y) 。 s.t. ф(x,y)=0 引入Lagrange乘子：λ Lagrange函数 L(x, y;λ)= f(x,y)+ λф(x,y)
不可行域
1）假设X D
求P( X , M k )驻点
1
2 , 则P( X , M k ) x12 x2 M k x12 ,以M k 为参数，
P / x1 2 x1 (1 M k ) 0 P / x2 2 x2 0 M >0， x =0,x =0不满足假设条件，因此该解无效
２．二阶充分条件 设拉格朗日函数为
L( X , , ) f ( x) i 1 gi ( X ) i 1 i hi ( X )
m * i l
x*
为非线性规划的严格局部极小点的充分条件： １） x* 为Ｋ-Ｔ点； ２） x* 拉日函数的海瑟矩阵在Ｙ方向正定，并且 Ｙ方向满足下列等式：
i 1 j 1 m 2 ij ij
c m
c
n
2 ij
c
i 1 ij
u 1, j 1 ~ n
c
构造拉日函数： L i 1 (uij ) d (i 1 uij 1) 最优化的一阶必要条件为
c L ( i 1 uij 1) 0;
代回上式进入到约束条件： 1 c c 得 u ( )1/(m1) [ ]1/(m1) ( )1/(m1)
ㄡ ▽h(ㄡ )
最优性条件即：
▽h(*)
f ( x*) *h j ( x*) j
j 1
h
一 等式约束下的拉格朗日乘子算法 考虑等式约束问题:
min f ( X ), s.t. hi ( X ) 0, i 0,1,2,...,l
L( X , ) f ( X ) i 1 i hi ( X )
对于得到的三个根。 使用充分条件检验如下：
计算:
2 L( X * , * ) * * 2x2 41 4 x12 2 L( X * , * ) * * 2x1 21 2 x1 x2 4 z 2 16 2 L( X * , * ) 0 2 0 z 4 0 2 x2 16 4 0 h ( X * ) * * 1 4x1 2x2 16 x1 h1 ( X * ) * 2x1 4 x2
L [m(uij ) m 1 dij2 ] 0; uij [ 2 ]1/( m 1) uij mdij
i 1 ij
i 1
m
2 dij
m
i1[
c
1 1/(m1) ] 1 2 dij
所以
uij
[ l 1
c
1 dij dlj
]2/( m2)
FCM的中心迭代过程
D1 { X | 2 x1 x2 4 0, x1 0, x2 0} 2 D { X | 2 x1 x2 4 0, x1 0, x2 0} D 3 { X | 2 x x 4 0, x 0, x 0} 1 2 1 2 4 D { X | 2 x1 x2 4 0, x1 0, x2 0} D 5 { X | 2 x x 4 0, x 0, x 0} 1 2 1 2 D 6 { X | 2 x1 x2 4 0, x1 0, x2 0}
充分条件: 如果 L( X *, ) 0 且行列式方程:
所有根Zj>0(j=1,2,…,n-l)，则X*为局部极小点；反 之所有Zj<0，为局部极大点；有正有负非极值点
例题4-1用拉格朗日乘子算法求解:
max f ( X ) x12 , s.t. h1 ( x) 2x12 2x1x2 24 0
解：都是不等式约束。定义外部罚函数 １．解法一
P( X , Mk ) x x M k [min(0, 2x1 x2 4)] [min(0, x1)] [min(0, x2 )]
2 1 2 2 2 2 2
可行域
D {X | 2 x1 x2 4 0, x1 0, x2 0}
f ( x ) *h j ( x* ) 0 j
* l
以及
hj(x)=0， j=1,2, …,l
j 1
一、等式约束性问题的最优性条件： (续) 几何意义是明显的：考虑一个约束的情况：
－▽f(x*)
-▽f(ㄡ )
h(x)
这里 x* ---l.opt. ▽f(x*)与 ▽h(x*) 共线，而ㄡ非l.opt. ▽f(ㄡ )与▽h(ㄡ )不共线。
一、等式约束性问题的最优性条件： (续) 若(x*,y*)是条件极值，则存在λ* ，使 fx(x*,y*)+ λ* фx (x*,y*) =0 fy(x*,y*)+ λ* фy(x*,y*) =0 Ф (x*,y*)=0
推广到多元情况，可得到对于(fh)的情况： min f(x) s.t. hj(x)=0 j=1,2, …,l 若x*是(fh)的l.opt. , 则存在*∈ Rl使
2)不等式约束问题的Khun-Tucker条件：
考虑问题 min f(x) s.t. gi(x) 0
i=1,2, …,m
设 x*∈S={x|gi(x) 0 i=1,2, …,m} , 并令 I={i| gi(x*) =0， i=1,2, …,m} 称I为 x*点处的起作用集（紧约束集）。 如果x*是l.opt. ,对每一个约束函数来说，只有当它是起作用约 束时，才产生影响，如：
如果x*----l.opt. 那么，u*i≥0, 使得 m l f ( x ) i 1 i*gi ( X * ) j 1 j h j ( X * ) 0 １）驻点条件： ２）互补条件： ３）非负条件： ui* 0 i 1, 2, , m gi ( x ) 0 i 1, 2, , m ４）不等式约束： ５）等式约束： hi ( X *) 0, i 1,2,...,l 说明： １）如果是max问题等，要改变叙述。 ２）在一定条件下上面叙述变成充要条件。
l
令拉格朗日函数:
则等式约束下规划问题转化成无约束问题: min L(X, ) 该问题有极值点的必要条件为:
h ( X *) f ( X *) l L | X X *, * i 1 * i 0, j 1,2,...,n i x x j x j j L | h ( X *) 0, i 1,2..,l i X X *, * i