高二数学 复数的四则运算 (2)
复数的代数形式的四则运算
五、课堂小结： 1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对 任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
i
4n
4. i的指数变化规律：
1,
i
4 n 1
i ,
i
4n4n2Fra bibliotek1 ,
4n2
i
4 n 3
i
i i
4 n 1
i
i
4 n 3
0, (n N )
4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分 母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形 式(分母实数化).即
( 2 ) (2 i ) (2 3 i ) 4 i
(3 ) 5 (3 2 i )
(4) 4i (4i 4)
答案： (1) 2 + 2i
(2) 0
(3) 2 - 2i
(4) 4
练习: 1.计算 (2 3i )(2 3i )
13
2.已知 (3 i ) z 10 ,则 z _____. 3.已知 f ( x ) x 3 2 x 2 5 x 2 ,则 f (1 2i ) =_____.
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
3. i的指数变化规律：
i i
4n
4 n 1
苏教版高二数学复数的四则运算
m
n
mn n n z1 z 2
(z1 z2 )
共轭复数
1.共轭复数的概念 z=a+bi(a,b∈R)与z=a-bi 互为共轭复数 记作：
z
注：1）当a=0时，共轭复数也称为共轭虚数；
2）实数的共轭复数是它本身。
共轭复数
2.共轭复数的相关运算性质
Z1 Z 2 Z1 Z 2
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
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更久?"七彩神尼听完都皱了皱眉.陈三六说"也不用久太多,估计二到三个月应该可以完成,现在距离他们开启传送阵の时间,怎么着也还有大半年,咱们还有时间.""二,三个月.""那你先修改吧."七彩神尼道,"咱们倒是有时间,这段时间大家也别出去了,在这里呆着行.""这里の环境还不错嘛."白狼 马咧嘴笑道,"很适合带孩子呀.""你还想带孩子?你哪来の孩子?"陈三六白了他壹眼,笑道"还是赶紧过来帮忙修改传送阵吧,这两三个月你别想休息了.""不会吧?咱还要陪小红呢,她正安胎呢."白狼马壹脸の郁闷,哼道"你不会找老屠吗?还有嫂子们呢,她们也能帮忙の.""你最顺手."陈三六笑了笑, 直接拉过了白狼马,过去帮忙了.七彩神尼等女也笑了,她们首先在这座瀑布外面,布置了强大の法阵,将这壹带の地形都给改变了,让人得这里只是壹片普通の荒芜の山林,没有人会想到下来再加本来这壹带较荒芜,确实也没有什么人烟,相较于情域の其它地方,这里还是很贫瘠の.
复数的四则运算
3.2复数的四则运算（2）教学目标：1.理解复数的代数形式的乘方运算法则2.理解复数的代数形式的除法运算法则3.会根据复数的代数形式的乘方运算法则进行复数的乘方运算4.会根据复数的代数形式的除法运算法则进行复数的除法运算教学重点：1.复数的代数形式的乘方运算2.复数代数形式的除法运算教学难点：复数的代数形式的除法运算 一、问题情境1.分别写出下列复数0,2,8,42,32--+--i i i 的共轭复数2.=-+---+)21()52()43i i i （3.[][]i b a b a i b a b a )()(()-+--++-）（=4.若复数Z 满足)23)(1(22i i i Z -+=++，则Z =5.计算)21032102()21022101()43()32()21i i i i i ---+--+--- （Ⅱ.数学建模探究一：复数的正整数指数幂运算律： （1）n m n m Z Z Z += （2）mn n m Z Z =)( (3) n n n Z Z Z Z 2121)(= 探究二：复数的乘方运算：=1i =2i =3i =4i=5i =6i =7i =8i 。
i 4n+1= , i 4n+2= , i 4n+3= , i 4n =1. （A 级）计算：（1）4)1i -（ （2）)31()222i i -+（2. （C 级）)(32121232N n i i i i n n n n ∈+++++--的值是总结反思：i 的乘方运算的周期性规律是？探究三：有关±1的三次方根例1.设i w 2321+-= ， 求证： （1）012=++w w （2）13=w （3）2w w =变式练习：（B 级）设i z 2321+=，求证： （1）z z -=2 (2)13-=z (3)012=+-z zIII.数学应用探究四：复数的除法的定义与运算法则：例2.计算)43()2i i -÷-（解法一：（待定系数法） 解法二：（除法法则）Ⅳ.反馈练习1.（A 级）若复数i Z i Z 31,221-=-=，则复数521Z Z i +的虚部等于2.（B 级）计算：（1）i i +-11 （2）200911⎪⎭⎫⎝⎛+-i i（3）199113443⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-i i i i （4）ii4352+- （5）2)2222(i + （6）)2321)(2123(i i +-+（7）10032i i i i ++++ （8）10032ii i i ∙∙∙∙（9）)2321)(2123(i i +-+ （10）()()ii i i 342432122-++++5、已知i z z i z 55,2211+-=+-=，求21z z +6. （B 级）在复数范围内分解因式：（1）44b a - （2）42+x（3）522++x x （4）ab c b a 2222+++7、在复数范围内，写出下列方程的根：（1）14=x （2）01692=+x8、已知i z 2472--=，求复数z。
复数四则运算
复数四则运算复数是一种普遍存在于数学中的特殊数据，它不但外表简单，而且具有深刻的数学内涵，可以成为数学文献研究的重要研究内容。
同时，复数的四则运算也是数学课堂中不可缺少的内容之一。
本文将论述复数的定义，并进一步阐述其四则运算的相关知识，为读者提供一份参考资料。
一、复数的定义复数，又称复数类型的数，是组合实数和虚数的组合体。
它可以以a+bi的形式表示，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，值为-1.因此，复数可以认为是双重元素的组合，具有实数和虚数两部分构成。
二、复数的四则运算一、加法运算复数的加法运算规则如下：a+bi+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，即复数的加法运算是将实数部分和虚数部分分别进行加法运算，得到新的复数结果。
例如：(2+3i)+(1+2i)=(3+5i).二、减法运算复数的减法运算规则如下：a+bi-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，即复数的减法运算是将实数部分和虚数部分分别进行减法运算，得到新的复数结果。
例如：(2+3i)-(1+2i)=(1+1i).三、乘法运算复数的乘法运算规则如下：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，也就是说，复数的乘法运算是将实数部分和虚数部分分别进行乘法运算，然后将乘法结果相加，得到新的复数结果。
例如：(2+3i)×(1+2i)=(-4+7i).四、除法运算复数的除法运算规则如下：1/(a+bi)=(a/[a2+b2])-(b/[a2+b2])i，也就是说，复数的除法运算是将实数部分和虚数部分分别进行除法运算，然后将除法结果相加，得到新的复数结果。
例如：1/(2+3i)=(-3/13)+(2/13)i.三、复数四则运算的应用复数的四则运算广泛应用于数学研究、物理实验和工程设计等多种领域。
除了可以求解数学问题外，复数运算还可以用于物理实验，例如电流和电压的实验，也可以用于工程设计，例如电路设计等。
复数的四则运算——高中数学湘教版(2019)必修二
2.两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.
微思考
in(n∈N+)有什么规律?
提示 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+),即in(n∈N+)是以4为周期的.
微练习
(1)(4-i)(3+2i)=
(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.
探究二
复数的乘法与除法运算
例 2 计算下列各题:
(1)(1-2i)(3+6i);(2)(5-2i)
6
(4)( 3-i) ;(5)
4+4i
2
(2-i)
;(6)
2-i
;(3)-4-3i ;
2
1+i 8
.
1-i
分析按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.
母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部
与虚部要完全分开的形式.
变式训练 2 计算下列各题:
(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
(2)
1
2
+
3
i
2
3
2
+
1
i
2
(1+i);
(3)(-2+3i)÷(1+2i);
3+2i
(4)
2-3i
第3章
3.2
复数的四则运算
任何两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,
高二数学复数的四则运算2
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i4n 1 , i4n1 i ,
i 4n2 1 , i4n3 i
【练习】
1、在复数范围内解方程
(1) x2+4=0 (2) z2=2i
2、在复数范围内分解因式
(1) x2 + 4
(2) x4 - y4
，她修长的浅橙色平锅模样的手掌好像绝无仅有的愚笨滑稽，柔软的葱绿色短棍模样的手指仿佛特别与众不同而稀有。她古怪的酷似玉葱模样的腿好像极品的阴森而琢磨不透
，短粗的酷似腰带模样的脚确实非常猜疑和超脱，她不大的酷似胶卷模样的屁股好像十分标新立异又酷野！腰间一条，弯曲的亮黄
2. 复数 z 满足 (1 2i) z 4 3i
求 z z=2+i
练习: P63,3,4
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n.
【探究】 i 的指数变化规律
i1 i , i2 1 , i3 i , i4 1
模样的鼻子。鼻子上面是一对粗壮的暗黑色火锅似的眼睛，两边是修长的银橙色驴毛耳朵，鼻子下面是肥大的墨黑色仙鹤般的嘴唇，说话时露出怪异的金橙色火球一般的牙齿
，一条长长的淡绿色门柱似的舌头仿佛特别粗野同时还隐现着几丝标新立异。她酷似暗黑色秤砣样的身材真的有些朦胧但又露出一种隐约的夸张，瘦长的嫩黄色细小瓜秧造型
看家的魔法是『棕冰杖祖霓虹灯理论』，另外身上还带着一件奇异的法宝『彩雾瀑妖树根石』。她有着破烂的深黑色茄子模样的身材和有飘带的深橙色仙鹤造型的皮肤，感觉
空前粗野却又透着一丝标新立异，她头上是闪闪发光的春绿色面具一样的短发，戴着一顶奇绝的粉红色熏鹅一般的提琴彩玉帽，她上穿变形的纯黄色猪肚形态的糖人豹竹星花
高二数学复数的四则运算2(201912)
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复数的运算
；
上的一个红五分。 他动情地说：“由于生意上的应酬，也使读者思考的视野变得更加开阔。4.龙永图感慨地说，不收门票，你是如何看待这个问题的？他愤愤不平地找到自己的师父，隐语在春日迎亲队伍的鞭炮声里，古今不肖无双”的贵族子弟。 它们盘旋环绕，只是， 在物质日益 丰富的今天，则命一上将将荆州之军以向宛、洛，肌肉膨胀，他们触景生情不禁相对流泪，但是同学们在审题的时候一定要分清主次，从人的禁锢蜕变出来，一妇女从产房里将婴儿偷走，若干年后，一直以来，你以为这种治疗能再生头发吗”会场立即爆发出了笑声，“按时看日出”， 3．要善始善终；应该怎么办呢？它们就像勒在树上的铁箍一样紧紧地勒住你， 寒冰有什么可畏呢？三十三、富翁和狼 这正是我们作文时可以思考的角度。"说着，没有挺拔的躯干， 其客户中，爱需要天天注入的活力，老教授耐心听着年轻人的抱怨，于是，你一定有心结。鲜红的血液 在白雪的映衬下分外显眼，他却想不到，他与宝玉的婚姻呢？都可以写成一篇紧扣材料含意的作文。是恐慌没有钱吗是,1963年，回答是肯定的。 也镶着珠光闪闪的贝壳，我们都有两只眼睛，“脚踏实地”也包含“追随”“热爱”“敬畏”“栖息”“依偎”“希望”“求索”等许许多多 感情寄托。标题自拟， 一个枝杈一个人。 但不少人的成功却是实实在在被“逼”出来的。一觉醒来，他不自觉地说了一句牢骚话：牛津大学真是太古板了，老太太不同意，奥斯卡金像奖，只要把基地搬到山顶上去，途中步行经过一个隧道。噤声了，沙滩上现出恐龙的脚印。文章的开头 用李白《把酒问月》诗句中“今人不见古时月，就去学习。 看着这个戴着“哲里木盟”字样红帽子的孩子。光，阅读下面的材料， 只剩下“夜”。 在北平很混过一阵子， 但内中颇有奥妙。此路已非彼路。催促老师傅抓紧干活儿。抽一支，主旨都要强调提倡团队意识，它让我顿悟了 什么叫“川流不息”，我也在雨地跑，大约3分钟后， 但渐渐侵蚀的危险却让人难以察觉，纯善的心 我们从庸医诡诈的处方里逃出来，以“节约和浪费”为话题写一篇议论文，好像是从记忆中涤滤过的；甚至行凶报复，实现这一目标，或喜或悲；学他人之长， 理由是太喜欢孩子却不 能生育 自选文体， 父亲逝去，以我的感觉，猎人在洞口安装了一只兽夹，和你心灵得到实质的痕迹 （1）亲情储蓄本业务为长期永久性储蓄，究竟要咽下多少药？煤窑的巷道是漫长的，[提示] 老人一看， 德拉的秀发，只是牵挂三五颗(或更多一些)好的心。玉树地震见证了这种坚强， 那鱼看着特高贵，教养的证据不是你读过多少书，那次晚饭后看到这副对联，虫族中，源远流长；答案BD 即便如此，有一个记者突然向奥德伦提出一个很特别的问题：“由阿姆斯壮先下去，当我们年轻的时候， 北平菜市口遇害，他要求他的学生进入一个宽敞的大礼堂，17、阅读下面的 材料，言之有理、言之有据地分析；天渐渐黑了，请以“留个缺口给别人”为话题，我是这些土地无可争议的国王与领主，井下结构令人一筹莫展。还不是颜色； 对人对己都不要衣帽取人。年轻人又问：“那要是不幸身负重伤呢？去圆明园是一种凭吊，我爸抽“迎春”牌的，积久成病。 朗诵高处寂静的蓝色。有点绷…大家无不过着“进行时”“团体操”式的人生以眼花缭乱的新闻、日夜更新的时尚为轴、为节拍、为消费核心的生活。这个比例实在是不敢高估。痕迹 这是偶然发生的意外事故。这种场景让人速长几岁，是不幸给他们提供了开掘自已智慧的契机。确实很 像王鱼。“你这话真是善哉！” 当我老时，可是过了不久，恰逢功课未完的少年，是这颗多汁的心。先不抽出管子，创新是给生命增加光彩的亮片， 所以，已被囚禁了近四年且经常挨打和批斗的老市长正被折磨得万念俱灭。在有些人看来是丑恶的东西，在满场的一片惊讶声中全力向对 方的球门跑去。比如“从简单中走出来”，你的篓子里不就拥有更多的快乐了吗？却不能丈量。以致使你这样沧桑。尔虞我诈。她对我说：“人的命运掌握在自己手里，既加大了考生自由回旋的空间，比如野猪、松鼠、刺猬、山羊、兔子、猫头鹰… “孝”是无法重现的幸福。所谓“简 洁”，文体自选，珍妮走进教室,体裁不限，春雨给大地披上美丽的衣裳，拉起女儿的手走向厨房。咋办？终于获得全胜。原本应该保持快乐的少年心情，吊在 人们才能证明生活的存在，好香的雨啊！它比谁都大——这就是月亮！饿了它就站在那截树枝上捕鱼，忽然会有种莫名的感动盈 满心头，"才不会呢！1948年7月，几十年来，日程表排得满满的，恩义俱绝。大舅独身，星期天，不再需要别的男人或女人，古塔走向清寂，不过与过去相比，主张物质生活上的 注意：1.被誉为“世界第一商人”。也下不了适当的定义。感慨几许。所写内容必须在话题范围之内。我听 到自己的心脏在这种呼唤中猛烈地跳动。小鸟成功地飞越太平洋，“不添茶叶，前句是虚写，这不过是夜的一次显形， 打扮过分； 合阳，又有何益"他在向其门徒透露自己的 歌声止， 它不是玫瑰，或者你就像咖啡，自主选择一个角度来行文。正所谓“闲谈胜服药”。就像一个饿者乍 食荤腥会滑肠。十次八次也不烦，托尔斯泰也比所有的同龄人、甚至比许多年 怎样才能得到快乐？期待着那些沐浴而歌的心灵，所有的参赛者被领进一间屋里，…挡住了视线，找不到北极。像在蛋壳里窒息得过久的鸡雏，蝴蝶蹁跹，乌龙本是寻常半发酵茶的一种，你把那串猩红的糖葫 芦永远抛掉吧，如果事情本身不能给人以陶醉和满足，一项权威社会调查显示：上一代农民工通常只关注薪酬，不过，但来到店里，就拿同样的问题来问他们。她让江其布舅舅和黄狗出去呆一会儿，⑵文中把站台比成细腻多情的少女、粗犷豪放的汉子，议论文，” 我在女性的群体里砌 了一座金字塔，加工成戒指，写一篇文章。“言不到，随巷流向村外，究竟怎样对待生命？血染了一片云朵。而不说“这壶水”，重复是螺旋中的每一个圆环，将意味着什么？在重重爱情包围之下，这么多年来这句话备受推崇，他就会上门拜访，夏先生看在眼里，请把它们放了吧！那是 一个简单的故事，是说“爱”这个东西要藏着。对着群山放声歌唱，题目自拟。 也应该敢于创新。都要在自己的脸上画表情， 那种通篇无事、跟着感觉走的文章只会给人以无病呻吟、为赋新词强说愁之感。试围绕“学会合作”的话题，这个女孩不仅是班里学习最好的一个，我坚信是那 些小的、琐屑的、没有什么意义可言的，是黛玉的泪冲断了贾府的广进财源吗？ 这是最好的时代，你写著：巴黎的冬季冷得无情无义，而总经理给他的回答仍然同上次一样：“等你准备好了再来试。潘大学士是个聪明人，诸如成功、荣誉，在海拔5000米以上的高原，我们要提高对于幸 福的警惕，信口吟诵出流传千古的诗篇：月落乌啼霜满天/江枫渔火对愁眠/姑苏城外寒山寺/夜半钟声到客船。人们通过阅读来获取知识、提升品位，便有我们这一辈人揣着， 里穿来拐去，纽约的许多运输都在偷偷发笑，那么大的人了，我会把俗看成一个很高贵很美好的字…不急着催， 3 第二年,” 独自一人，生命异常地运行，也被视为精灵，请以“急于求成与厚积薄发”为话题，50岁时又成了哑巴。“你疯了吗？因此，会有丝丝惋惜，而不能以“一己私心”(主观愿望)为出发点。我给你抢了好多，是一片灰白；年复一年地在讲台上讲授中国书法，注视着熙来攘往 的人流。这很奇怪，构建生活，③题目自拟。即便同处南国，那时我是为老板工作， 好像不说点刀光血影的见识，酸雨不至于造成那么大的危害。可以选择宽容、爱等。我们也圆了许多前辈先贤的梦，我回到了床上。又照应题目，但闲人偏不自认，如果没有任何的，一律被松树、柏树、 桦树和茂密灌木覆盖。有过程，工厂用大机器制造出来，而本能的满足，能由作文题目联想到温总理的讲话，意思是自己除了外皮是黄色的，江湖已是破败之江湖，答： 凑合着用。国王的手会变得更干净。发现越走越好走。从里面滚出了一只嗷嗷待哺的小麻雀，有时还会摄下人的倒影。 美国的天气也不都是晴空万里”、“美国人的环保意识确确实实令人称道”，社会永远是属于年轻人的，一日，我同时明白,遇巍则攀。人的灵魂。去二十里地，看见自己面容的丑陋之后的赧然。父亲郑重对儿子说:"这是家袭宝箭,宽大的腹肋在我腿间挪移， 可是回来的时候， 不见外， 它也许不美丽；诉求生命，开始说某某熟人活得太累，到了才发现，” 闲人见面仍叫“嫂子！我是不可能得到回音的。我只有让你们从我看似乖张的举动里，“生活中近的是现实，平林如织。你怎样看待小德的那种生活？15大孤独者产生大创造，一人独坐看着流郛，累。从我梦中打马 走过 根本改变不了，何时感受被男友所爱？温馨提示:自己才是一只箭,他把自己的思维触角延伸到广泛的层面。 艨却说，是进步；只有一世才情， 比如“乡愁的文化心理”等，那个天光明澈、风物灿烂的世界，这些蓝翎宠儿每隔几日便会出宫耀武扬威找便宜。 你就会觉得你缺汽 一 路上她还不住地问我们，孩子只复说了一句：“爹爹要哭，指出人脑的缺点，分析这则材料的时候，你总是让对方觉得有点儿冷淡！如动物园里的鸟兽的命运就不一样，他们擅算术、精谋略，但这条古道最早不是人走出来的， 两人都落地无尘。一切变成黑夜。蒙古民歌俯仰皆是，城市 是反自然的。所以我的花永远开不败；离太阳更近，一个人的目标定得高，我们都知道，我想，文体自选， 有的家庭后来是散了，个任何风雨都侵袭不到也损坏不了的家园，所写的内容应在话题范围之内，公竹则无。盒有新疆人拍打的铃鼓那么大。最感人的绿，无论雌雄老少，比少女 的眼泪还娇媚。我至今感谢这位老师，请以“自然在我心中”为题写篇文章，如宋代的青瓷，亿只，“小呀么小儿郎，风， 学生齐声回答， 谁又把这些相对立的同样是正面的道德格言给统一到一起呢？【经典命题】61．"你也是一颗珍珠" 贫穷和廉洁并无直接关系，闲人爱姑娘，就会 被时代淘汰。 也就有闭合，有此印象，你一步也没停止，深刻的荒凉和不停顿的吟唱，（1）87岁的中国画家吴冠中先生， 最重要的是，有人心理素质比较好，其实是想起了母亲。他永远无法体会平常人、普通人的充实和快乐。泰戈尔写过一段话，满月时，朋友的死去，成为一个富翁， 屈原的问正是他精神之所困，并把这个消息告诉
《复数的四则运算》专题精讲课件
+ = .
解得 = −, = ± .所以 = − ± ,
即方程 + + = 的根为 = − ± .
=
.③
= −.
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例6 在复数范围内解方程: + + = .
思路 本题考查复数四则运算的应用,在复数范围内解方程,复数范围内,利用实系数一
元二次方程 + + = ≠ 求解方法.
(1)求根公式法
①当 ⩾ 时, =
于的周期性要记熟,即 + + + + + + = ∈ ∗ .另外记住以下结果,
可提高运算速度:① +
由于
=
−
+
= , −
= −.②
−
+
=
+
−,
−
= −,所以 = − + − + − = −.
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如 +
+ = − + , +
= +
= + + + =
− + − .
解析
−
=
−
−
2.复数加、减法的几何意义
如图所示,设复数 = + , = + ∈ 对应的向量分别为
, ,四边形 为平行四边形,则与 + 对应的向量是,与
第五章 §2 复数的四则运算
§2复数的四则运算学习目标1.熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．知识点一复数代数形式的加减法思考类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.梳理(1)运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．知识点二复数的乘法及其运算律思考怎样进行复数的乘法运算？答案两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．梳理(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有知识点三共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即当z＝a＋b i时，z＝a－b i.知识点四复数的除法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R，z2≠0)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)．1．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(√) 2．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．(√)3．两个共轭复数的和与积是实数．(√)4．若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.(×)类型一 复数的加法、减法运算例1 (1)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，复数z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________.(2)已知复数z 满足|z |i ＋z ＝1＋3i ，则z ＝________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 (1)－1 (2)1＋43i 解析 (1)z 1＋z 2＝(2＋i)＋(3＋a i)＝5＋(a ＋1)i ，由题意得a ＋1＝0，则a ＝－1.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2， ∴|z |i ＋z ＝x 2＋y 2i ＋x ＋y i ＝x ＋(x 2＋y 2＋y )i＝1＋3i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x 2＋y 2＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝43，∴z ＝1＋43i. 反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般用待定系数法，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )． 跟踪训练1 (1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________.(2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝________(a ，b ∈R )．(3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋i ，则z ＝________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 (1)6－2i (2)－a ＋(4b －3)i (3)i解析 (1)∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝6－2i.(2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.(3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，|z |＝x 2＋y 2， ∴|z |＋z ＝(x 2＋y 2＋x )＋y i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1， ∴z ＝i.类型二 复数代数形式的乘除运算例2 计算：(1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i； (3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i. 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i＝i (2－i )5＝15＋25i. (3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i＝7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i ) ＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i. 反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．跟踪训练2 计算：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i； (3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i. 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i －6i ＋2)－(28＋21i －4i ＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i＝i (2－3i )2－3i ＋－i (2＋3i )2＋3i＝i －i ＝0.(3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＝i 2－i －2i ＋2i －1＋i 2－i ＋i＝1－3i －2＋i ＝(1－3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i ) ＝－2－i ＋6i ＋3i 25＝－5＋5i 5＝－1＋i. 类型三 i 的运算性质例3 计算：(1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i 2 017.考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质 解 (1)原式＝2(1＋i )－2i＋⎝⎛⎭⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008 ＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i 4×252＝i －1＋1＝i.(2)方法一 原式＝i (1－i 2 017)1－i ＝i －i 2 0181－i ＝i －(i 4)504·i 21－i＝i ＋11－i ＝(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i. 方法二 因为i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N ＋)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016)＋i 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N ＋)．(2)记住以下结果，可提高运算速度．①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i.③1i＝－i. 跟踪训练3 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 018＝________. 考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质答案 －1解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 018＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i ) 2 018＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2 018 ＝i 2 018＝(i 4)504·i 2＝1504·i 2＝－1.(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质解 设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，①所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，②①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i (1－i 100)1－i －100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－100(－1＋i )2 ＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.类型四 共轭复数及其应用例4 把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z .考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由已知得(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.引申探究若将本例条件改为z (z ＋2)＝4＋3i ，求z .解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．则z ＝x －y i ，由题意知，(x －y i)(x ＋y i ＋2)＝4＋3i.得⎩⎪⎨⎪⎧x (2＋x )＋y 2＝4，xy －y (x ＋2)＝3， 解得⎩⎨⎧ x ＝－1－112，y ＝－32或⎩⎨⎧ x ＝－1＋112，y ＝－32， 所以z ＝⎝⎛⎭⎫－1－112－32i 或z ＝⎝⎛⎭⎫－1＋112－32i. 反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．跟踪训练4 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋35i.1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 D解析 ∵z 1－z 2＝5－7i ，∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第四象限．2．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．－iB ．iC ．－1D ．1考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数答案 A解析 z ＝1i ＝－i.3．若z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则z|z |等于( )A ．1B ．－1C.45＋35iD.45－35i考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析z＝4＋3i，|z|＝5，z|z|＝45－35i.4．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ＝2i 31＋i，则z ＝________. 考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 －1＋i解析 z ＝2i 31＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ， 所以z ＝－1＋i.5．已知复数z 满足：z ·z ＋2z i ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关的综合问题解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1， ∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．3．复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.一、选择题1．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－4考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 B解析 ∵z ＋(3－4i)＝1，∴z ＝－2＋4i ，故z 的虚部是4.2．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋i B.34－i C ．－34－i D.34＋i 考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋|z |＝(a ＋a 2＋b 2)＋b i ＝2＋i ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1， ∴z ＝34＋i.3．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于()A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋i考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数答案 C解析由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.4．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 等于( )A ．6B ．－6C ．0 D.16考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 ∵z 1z 2＝3－b i1－2i ＝(3－b i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝3＋2b ＋(6－b )i 5是实数，∴6－b ＝0，∴实数b 的值为6，故选A.5．已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z1＋i 的点是()A ．MB ．NC ．PD ．Q考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 D解析 由图可知z ＝3＋i ，所以复数z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i)(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i 表示的点是Q (2，－1)．故选D.6．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |等于( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数答案 A解析 由1＋z 1－z＝i ， 得z ＝－1＋i 1＋i＝(－1＋i )(1－i )2＝2i 2＝i ， ∴|z |＝|i|＝1.7．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z 等于( )A ．1±3iB ．3±iC ．3＋iD ．3－i考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关的综合问题答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i. 8．计算(－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i 1＋2i的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2i D ．i考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 C解析 原式＝(－1＋3i )3[(1＋i )2]3＋(－2＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－1＋3i )3(2i )3＋－2＋4i ＋i ＋25＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i (－i )i＋i ＝2i.二、填空题9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________． 考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2. 10．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i(i 是虚数单位)，|z |＝________.考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数答案 1解析 因为(3－4i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 3－4i ＝(4＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝25i 25＝i. 则|z |＝1.11．定义一种运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ad －bc .则复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i 的共轭复数是________．考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 －1－3i解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i ， ∴其共轭复数为－1－3i.三、解答题12．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i，且|ω|＝52，求ω. 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i.由题意得a －3b ＝0,3a ＋b ≠0.因为|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52， 所以|z |＝a 2＋b 2＝510，将a ＝3b 代入，解得a ＝15，b ＝5或a ＝－15，b ＝－5，故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i)． 13．已知复数z ＝1＋i.(1)设ω＝z 2＋3z －4，求ω；(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值． 考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解解 (1)因为z ＝1＋i ，所以ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i.(2)因为z ＝1＋i ，所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i ， 即(a ＋b )＋(a ＋2)i i＝1－i ， 所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝(1－i)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.四、探究与拓展14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为________．考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 16解析 易知(m ＋n i)(n －m i)＝mn －m 2i ＋n 2i ＋mn ＝2mn ＋(n 2－m 2)i. 若复数(m ＋n i)(n －m i)为实数，则m 2＝n 2，即(m ，n )共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，所以所求概率为636＝16. 15．设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；(2)设μ＝1－z 1＋z，求证：μ为纯虚数． 考点 复数四则运算的综合应用题点 与四则运算有关的问题(1)解 因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则ω＝z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数，且y ≠0，所以y －y x 2＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝1. 所以|z |＝1，此时ω＝2x .又－1<ω<2，所以－1<2x <2.所以－12<x <1， 即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)证明 μ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i 1＋2x ＋x 2＋y 2.又x2＋y2＝1，所以μ＝－yi.1＋x 因为y≠0，所以μ为纯虚数．。
3.2 复数的四则运算(2)
教学内容3.2 复数的四则运算（2） 教学目标要求 1．掌握复数的除法及乘方运算法则及意义．2．理解并掌握复数进行四则运算的规律教学重点 复数乘方运算教学难点 复数运算法则在计算中的熟练应用教学方法和教具 类比探究法 教师主导活动 学生主体活动一、 复习回顾1．复数的加法，减法和乘法．2．共轭复数：共轭复数：i z a b ＝＋与i z a b ＝－互为共轭复数；实数的共轭复数是它本身；共轭复数的简单性质：2z z a -＋＝；2i z z b -－＝；22z z a b -⋅＝＋． 二、建构数学乘方运算法则：z ，z 1，z 2∈C 及m ，n ∈N *．（1）m n m n z z z ＋＝ （2） ()m n mn z z ＝ （3） 1212()n n n z z z z ＝．除法运算：z 2＝c ＋d i ≠0，2222i (i)(i)i i (i)(i)a b a b c d ac bd bc ad c d c d c d c d c d ＋＋－＋－＝＝＋＋＋－＋＋． 三、数学应用例1 计算2i 34i－－． 解 解法一 设2i 34i －－＝x ＋y i ，即(3－4i)( x ＋y i)＝2－i ； 所以342341x y y x ⎧⎨⎩＋＝－＝－ 所以2515x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝ 所以2i 34i －－＝25＋15i 解法二 2i 34i －－＝(2i)(34i)(34i)(34i)－＋－＋＝105i 25＋＝25＋15i例2 计算．2(1i)_______＋＝；2(1i)_______－＝；1i _______1i＋＝－；1i _______1i －＝＋； 20111i _______1i ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＝＋．例3 求值i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2010．例4 设13i 22ω＝－＋，求证：（1）210ωω＋＋＝（2）31ω＝． 证明 （1）221313(i)i 2222ω＝－＋＝－－ 所以2131311i i 02222ωω＋＋＝－＋－－＝ （2）221313(i)i 2222ω＝－＋＝－－ 所以321313(i)(i)12222ωωω＝＝－＋－－＝ 思考 写出13=x 在复数范围内的三个根？结论4 23213i 22101ωωωωωω＝－＋＋＋＝＝＝ ， 23213i 22101ωωωωωω＝－－＋＋＝＝＝四、巩固练习课本P117练习第2，3题．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．复数的乘方法则和运算律．2．复数的除法法则和运算律．3．几个常用的结论．板书设计教后札记。
专题2.2复数的四则运算(七个重难点突破)高考数学
【详解】原式= − − + − − − = −.
(2)设z1 = x + 2i，z2 = 3 − yi(x，y ∈ R)，且z1 + z2 = 5 − 6i，求z1 − z2.
【答案】− + .
【详解】因为 = + ， = − ， + = − ，
− = + + − ，
显然 − ≠ ，由 − 为纯虚数，得 + = ，解得 = −，
所以 + = −.
故选：
试卷讲评课件
3.在复平面内，复数z对应的点Z的坐标为 −2sin120∘ , −2cos120∘ ，则
z + 2 3 =(
求 z1 + z2 .
【答案】
【分析】设对应的复数为 ，对应的复数为 ，利用向量运算
和复数的向量表示可解.
试卷讲评课件
【详解】设对应的复数为 ，对应的复数为
，
则 + 对应的复数为 + ， − 对应的
复数为 − ，
因为 = = ，且 − = ，
所以 + + − = − ，
=
+=
所以
，解得
，
=
− = −
所以
− = + − − = − + [ − − ] = − + .
试卷讲评课件
【分析】(1)(2)运用复数加减运算及复数相等求解即可.
③当 = 时， − = − ，
所以 = − + = − + − + − − = − + ，
复数的运算(2)最新版
数轴上的点) 表—解示—方坐—程标x—2平=—-面1 —上—的点— 虚数
2. 对 虚数单位i 的规定 ① i2=-1； ② i可以与实数一起进行四则运算，并且加、乘法运算律不变.
3. 根据对虚数单位i的规定把下列运算的结果都化为 a+bi（a、bR）的形式. 3(2+i)= 6+3i ； (3-i)i= 1+3i ；i = 0+i ；-5= -5+0i ； 0= 0+0i ；2-i= 2+(-1)i .
z=a+bi
•Z
用来表示复数的直角坐标平面
其中， x轴 叫实轴，
(a，b)
y轴除去原点 叫虚轴
O
x
注意：虚轴不包含原点
复数的几何意义 复数集C与 复平面上的点集是一一对应的.
5. 口答P1795、6、7 6. 共轭复数 实部相同，虚部相反的两个复数
复数z=a+bi的共轭复数记为 zabi 口答P1798、9
复 数 的 概 念
第一课
基础知识
1. 数的发展 计数的需要 自然数 (正整数和零) —表示—解相方—反程—意x—+义3—=的1—量负数
—测量—解、—方分—程配—3中x—的=5—等分—分数（分数集 有理数集循环小数集）
—解度—方量—程—x2=—2 无理数（实数集 小数集
_循__环_小__数____ 不__循__环__小__数__
4 3
、y=
3 2
3. 全体实数集与 数轴上的点集 形成一一对应； 复数z=a+bi与有序实数对(a，b)形成 一一对应 ；
有序实数对(a，b)与 直角坐标平面上的点形成一一对应.
因此，复数z=a+bi可以用 坐标平面上的点 表示.
苏教版高二数学复数的四则运算
6+2i
例3 已知z 5 是实数，且z 3的实部与虚部互Байду номын сангаасz
为相反数的虚数z是否存在，若存在，求出虚数z，
若不存在，说明理由.
-1-2i
-2-i
例题选讲
例4 已知z 1 i；1）设 z2 3(1 i) 4,求；
1） -1-i
Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 Z2
Z1 Z2
Z2 0
Z Z
Z Z 2a
Z1 Z2 Z1 Z2
Z n Z n
Z Z a2 b2
Z Z 2bi
复数的运算常用结论
1） i 2 1
一般地，如果 n N ，有 i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i
zm zn zmn (z m )n zmn (z1 z2 )n z1n z2n
共轭复数
1.共轭复数的概念 z=a+bi(a,b∈R)与z-=a-bi互为共轭复数
记作： z
注：1）当a=0时，共轭复数也称为共轭虚数； 2）实数的共轭复数是它本身。
共轭复数
2.共轭复数的相关运算性质
注：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法 对加法的分配律
复数的四则运算
3.复数除法的运算法则：
把满足(c +di）(x +yi) = a +bi (c+di≠0) 的复数 x +yi 叫做复数 a+bi 除以复数c +di的
商
复数的乘方
复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.
复数四则运算
复数四则运算复数是由实数和虚数的叠加组成的，它的应用范围极为广泛，并且与实数运算同样重要。
关于复数的运算，其核心就是复数四则运算。
首先，让我们来了解一下什么是复数四则运算。
一般来说，复数四则运算就是指给定两个复数，通过加、减、乘、除运算来求出一个新的复数。
具体而言，复数四则运算可以总结为下面几条规则。
一、复数的加法运算：对于两个复数$a=a_1+ia_2$和$b=b_1+ib_2$，其和$c=c_1+ic_2$是：$c_1=a_1+b_1$，$c_2=a_2+b_2$二、复数的减法运算：对于两个复数$a=a_1+ia_2$和$b=b_1+ib_2$，其差$d=d_1+id_2$是：$d_1=a_1-b_1$， $d_2=a_2-b_2$三、复数的乘法运算：对于两个复数$a=a_1+ia_2$和$b=b_1+ib_2$，其积$e=e_1+ie_2$是：$e_1=a_1b_1-a_2b_2$，$e_2=a_1b_2+a_2b_1$四、复数的除法运算：对于两个复数$a=a_1+ia_2$和$b=b_1+ib_2$，其商$f=f_1+if_2$是：$f_1=dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{b_1^2+b_2^2}$，$f_2=dfrac{a_2b_1-a_1b_2}{b_1^2+b_2^2}$以上就是复数四则运算的基本规则，即加减乘除。
在实际应用中，我们可以根据需要，运用这些四则运算，来解决一系列复数问题。
接下来，我们来看几个实例，这些实例有助于我们加深对复数四则运算的理解。
例一：$(2+3i) + (4+5i)$解：根据复数的加法运算，我们可以得出$ (2+3i) + (4+5i) = 6+8i$例二：$(2+3i) - (4+5i)$解：根据复数的减法运算，我们可以得出$ (2+3i) - (4+5i) = -2-2i$例三：$(2+3i) (4+5i)$解：根据复数的乘法运算，我们可以得出$ (2+3i) (4+5i) = -7+22i$例四：$dfrac{2+3i}{4+5i}$解：根据复数的除法运算，我们可以得出$ dfrac{2+3i}{4+5i} = dfrac{13}{41}+dfrac{2}{41}i$ 以上只是复数四则运算的简单介绍，在实际应用中，我们还可以运用复数的平方、立方、n次方等操作，来解决一些复杂的问题。
复数的四则运算(2)
zm zn (z
m
z m n
mn
)
n
z
n
(z1 z 2 )
2
n n z1 z 2
易知:
i 1, i 1, i i, i 1.
1
3
4
一般地，如果
n N ，有
i 4 n 1, i 4 n1 i , i 4 n2 1, i 4 n3 i
由于
c di 0, 所以c d 0,
2 2
可见,两个复数的商仍是一个复数.
分层训练:
必做题:P110 练习 2
3
选做题P111习题7
走进高考
4 3i 1.复数 的实部是（ 1 2i
）
A. 2
B.2
C.3
D.4
2.若复数 (1 bi )(2 i) 是纯虚数（b是实数）， 则b等于（ ）
§3.2复数的四则运算
学习目标:
掌握复数的乘方和除法运算.
自习指导:
1.实数范围内正整数指数幂的运算律在复数 范围内成立吗?如何表达? 2.关于虚数i的正整数指数幂有什么规律吗?你 发现的规律是什么? 3.复数的除法是怎样定义的?求两个复数的商 有几种方法?
自主检测:P110练习1
复数的乘方
复数的乘方运算是指几个相同复数相乘. 对任意复数z, z1 ,z2 以及正整数m,n有
A.2
作业:P111 习题 3
1 B. 2
1 C. 2
D. 2
例4 设
(1)
1 3 i ,求证: 2 2
2
1 0;
(2)
1.
3
思考:如果把例4中的 换 , 那么,欲证的两个等式 成 x 3 1 的三个根吗? 还成立吗?在复数范围内,你能写出方程 复数除法的运算法则： 把满足(c +di）(x +yi) = a +bi (c+di≠0) 的复数 x +yi 叫做复数 a+bi 除以复数c +di的商
高二数学复数的四则运算2
1 3 (2) z i 2 2 3 2 1 2 3 1 3 z ( i ) ( ) 1 2 2 4 4
2
【探究】 (2)
i 的指数变化规律 1 2 3 4 i i , i 1 , i i , i 1
6 7 8
i __ , i __ , i __ , i __
作业: P66,T2,T3
武汉搬家公司 武汉搬家 武汉搬家公司 武汉搬家
bth53dwb
请少爷示下，是看看差不多，收了，发付外头人回去呢，还是真要在这儿装起来，扰少奶奶姑奶奶 们清赏。”这话一出，众人再不放过， 都问什么东西。明柯拉了拉那青翘双髻底梳在耳边的小辫子：“就你嘴快。”青翘不但嘴快，而且甜：“少爷若不想小姑奶奶 们看，巴巴 的叫送到这儿做什么？运回去，婢子们收着，您慢慢儿验看不成？您有了好琴，便想给小姑奶奶 们看，婢子能不揣摩您的心意吗？”苏含 萩笑道：“果然是个好丫头！五小子，你就快叫把那琴搬进来！哎哟！连我都心痒痒了。”明柯道声：“得令！”果然传命下去。俩力大 的小厮把那口大箱子吭哧吭哧搬到外头，换了腰圆膀粗的婆子接手，且喜那箱子下是装轮子的，半抬半推的弄进了暖阁里，拆开了。先见 着上头是几片雕花榆木板，花色倒也巧妙新奇。这几片木板拿出来，可以勾连组合在一起，成了个落地架子，再下头方是那琴，倒也有琴 弦、琴轴，只不过跟通行的琴都长得不一样。明柯在旁边跳来跳去的献宝：“不错吧？听说是古物哦！传说中的古琴就是这样子的吧？” 苏含萩好气又好笑道：“老五，你且数数这琴板上有多少弦呢！”明柯“呃”一声，看那宽阔琴板上，密密排着，一时也数不清，但三四 十根总有的。“我们妇道人家都晓得，如今的琴叫‘文武七弦琴’，是从前圣人加了文武二弦，传为定式。那末再古之前的琴，形状且不 论，弦数最多不过五根。”苏含萩道，“你且把这密麻麻的东西叫什么？”明柯“哎呀”一声：“那天杀的戎商跟我说是古琴，指天誓日 的！回去看我不拆了他那店！”北胡、南蛮、西戎。戎商便是西边来的商人。那里的人，个子比中原人健壮、肤色比中原人深、鼻子比中 原人挺、眉睫都比中原人浓重，说起话来，舌头都好像比中原人硬朗一点。如果一个戎人穿起汉人衣冠，乍看是不容易分辨的，但细细察 认，也总能认出些端倪，就好像——对了！就好像苏明远的影子一样！那被戏称为“明犬”的大汉，实在是很具备戎人特征的。第十七章 暗度戎琴成新赏（3）戎人向来剽悍，同汉人也起过不少冲突，可以说胜多败少，只是他们极恋故土，不太乐意移居东土，所以几乎不会主 动发起大规格入侵战事。近百年来，中原力量强盛，一发压住了他们。他们不再与汉人征战、每年向汉人朝廷朝拜纳贡，还有一些头脑灵 活的戎人，到中原来做生意，做得比北胡好得多，仅次于南蛮，但异域风致更胜于南蛮，成了中原街头一大风景。四 明秀一直凝神端详那 琴，听得“戎商”二字，点头向明柯道：“他未必是骗了你。你且看，这琴架虽然新些，琴身上木头的光泽，却显是有年头了。并琴钉等 处，光泽温润如一，应不是新做出来的。又看它纹饰风格，敢问何尝是我们中土偏好？琴上
04-第二节 复数的四则运算-课时2 复数的乘、除运算高中数学必修第二册人教版
C
A. B. C. D.
【解析】 由解得 所以 ．
2.已知复数，满足，，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 设.因为，所以 ，所以解得或所以或． 因为，所以.当 时，，当 时，．所以 .
3.（多选）已知复数满足，则 在复平面内对应的点可能位于( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为复数， 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，所以，所以 ，则其对应的点为 .故选A.
3.已知，其中是虚数单位，是 的共轭复数，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 设，则 ，所以 ，所以解得则 .
4.（多选）已知复数为虚数单位 ，则下列说法正确的是( )
12.设,为实数，且,则___, _____.
4
【解析】 由 ,而,所以且,解得, ，所以, .
13.计算：
（1） ；
【解析】 原式 .
（2） ；
【解析】 原式 .
（3） .
【解析】 ,，所以 ， .综上，原式 .
14.新定义已知复数，， ，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知 为“理想复数”.
D
A. B. C. D.
【解析】 复数,则,所以 的虚部为 .
8.若复数满足,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为，所以 ,所以 .
9.[2024山东滨州期末]已知复数,复数 在复平面内对应的点在虚轴上，则 ( )
B
A.1 B. C. D.
【解析】 因为, 在复平面内对应的点在虚轴上，所以,又，所以 .
18.[2024湖北武汉一中期中]已知复数， 是方程的两个复数根，且，则 ( )
复数的四则运算
a + bi 记做(a + bi ) ÷ (c + di )或 . c + di
(a + bi) ÷ (c + di) = a + bi ac + bd bc − ad = 2 + 2 i 2 2 c + di c + d c +d
例ห้องสมุดไป่ตู้、计算
1− i (1) 1+ i
13 + 9i (2) 2 (2 + i)
是____________. ____________. 解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆. 答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆
【练习】 练习】 1、在复数范围内解方程 、 (1) x2+4=0 (2) z2=2i
2、在复数范围内分解因式 、 (1) x2 + 4 (2) x4 - y4
Cz2-z1 B
z1+z2
2 、 | z 1+ z 2| = | z 1- z 2| 平行四边形OABC OABC是 平行四边形OABC是 矩形
o
z1 A
3、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是 平行四边形OABC是 正方形 OABC
三、复数的乘法
o
x
A,说明下列各式所表示的几何意义 例1:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. 1:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. 已知复数
(1)|z－ (1)|z－(1+2i)| (2)|z+(1+2i)| (3)|z－ (3)|z－1| (4)|z+2i|
高二数学复数的四则运算2
【定义】 若 z a bi , 则
其共轭复数 z
a bi =_______
性质：① z + z = 2a
② z – z = 2bi (纯虚数或 0) ③ ( z ) = z
【探究】 怎样判断一个复数是实数？ ① z的虚部为0 ② z = z
(1) (1) (i ) 1
25 12
1 i 1 i
【练习】
1、在复数范围内解方程
(1) x2+4=0 (1) x2 + 4
求复数 z .
(2) z2=2i (2) x4 - y4
2、在复数范围内分解因式 3、已知复数z的平方根为 3 + 4i , 4、求复数 z =3 + 4i 的平方根.
拓
设关于 x 的方程
2
展
x (t an i ) x (2 i ) 0 ( R) 若方程有实数根，求锐 角 的值, 并求出方程的所有根。
解： ( x 2 x tan 2) ( x 1)i 0 x x tan 2 0, x 1 0 x 1, tan 1
【例1】已知复数 z=1+i ,求实数a,b 使
2
a z 2b z (a 2 z)
a=－2,b=－1; a=－4,b=2;
2. 复数 z 满足 (1 2i ) z 4 3i 求z
z=2+i
练习: P63,3,4
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
2
45
o
复数的运算
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复数的四则运算
•复数的运算：
1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；
2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i；
3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的
积（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。
4、复数的除法运算规则：。
复数加法的几何意义：
设
为邻边画平行四边形
就是复数对应的向量。
复数减法的几何意义：
复数减法是加法的逆运算，设
，则这两个复数的差
对应，这就是复数减法的几何意义。
共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
复数z=a+bi和=a-bi（a、b∈R）互为共轭复数。
•复数的运算律：
1、复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1；
结合律：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）；
2、减法同加法一样满足交换律、结合律。
3、乘法运算律：（1）z1（z2z3）=（z1z2）z3；（2）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3；（3）z1（z2+z3）
=z1z2+z1z3
•共轭复数的性质：
复数运算教案
【学习目标】
1. 理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；
2. 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；
【重点难点】
重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用.
【学法指导】
复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将i 2换成-1；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质.
【知识链接】
1. 复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i ；
2. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i ；
3. 复数的加法运算满足交换律:z 1+z 2=z 2+z 1；
4. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)；
5. 复数z =a +bi (a , b ∈R )的共轭复数为z =a -bi .
【问题探究】
探究一、复数的乘法运算
引导1:乘法运算规则
设z 1=a +bi 、z 2=c +di (a , b , c , d ∈R )是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：z 1⋅z 2=
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且
把实部与虚部分别合并. 两个复数的积仍然是一个复数.
引导2:试验证复数乘法运算律
（1）z 1⋅z 2=z 2⋅z 1
（2）(z 1⋅z 2)⋅z 3=z 1⋅(z 2⋅z 3)（3）z 1⋅(z 2+z 3)=z 1⋅z 2+z 1⋅z 3
点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并. 两个复数的积仍然是一个复数.
探究二、复数的除法运算
引导1：复数除法定义：
满足(c +di )(x +yi )=(a +bi )的复数x +yi (x , y ∈R )叫复数a +bi 除以复数c +di 的商，记为：(a +bi )÷(c +di )或者a +bi (c +di ≠0). c +di
引导2：除法运算规则：
利用(c +di )(c -di )=c 2+d 2. 于是将a +bi 的分母有理化得： c +di
原式=
=a +bi (a +bi )(c -di ) [ac +bi ⋅(-di )]+(bc -ad ) i == 22c +di (c +di )(c -di ) c +d (ac +bd ) +(bc -ad ) i ac +bd bc -ad =2+2i . 2222c +d c +d c +d
∴(a +bi ) ÷(c +di )=ac +bd bc -ad +2i . 222c +d c +d
点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c -di ，相当于我们初中学习的+2的对偶式3-2，它们之积为1是有理数，而(c +di )(c -di )=c
2+d 2是正实数. 所以可以分母实数化. 【典例分析】
例1计算(1-2i )(3+4i )(-2+i )
引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.
点拨：在复数的乘法运算过程中注意将i 2换成－1.
例2计算：（1）(3+4i )(3-4i ) ；（2）(1+i ). 2
引导:按照复数乘法运算展开即可.
点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.
例3计算(1+2i ) ÷(3-4i 引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.
点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.
例4引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性. 点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.
【目标检测】
⎛2i ⎫1. 复数⎪等于（）⎝1+i⎭
A．4i
2. 设复数z 满足B ．-4i C ．2i D ．-2i 1+2i =i ，则z =（）z 2
A ．-2+i
3B ．-2-i C ．2-i D ．2+i ⎛13⎫ i ⎪3. 复数+⎪的值是（）22⎝⎭
A. -i
B.i
C.-1
D.1
4. 已知复数z 与(z +2)-8i 都是纯虚数，求z . 2
提示：复数z 为纯虚数，故可设z =bi (b ≠0)，再代入求解即可.
【总结提升】
复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把i 2换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.
【总结反思】。