浅谈对弧长和坐标的曲线积分

浅谈对弧长和坐标的曲线积分

【摘要】由于弧长的曲线积分和坐标的曲线积分的运算公式不同,加上曲线与坐标之间的联系,决定了曲线积分运算的复杂性与解法的灵活性。本文通过对常用解法的介绍,加深对曲线积分的掌握和研究。

【关键词】弧长坐标曲线积分格林公式分区域

1.计算弧长的曲线积分(第一类曲线积分)。

定理:设在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为:

注意,定积分的下限α一定要小于上限β。

例1.计算,其中L是抛物线上点A(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧。

解:L的方程为:

特别地:当曲线L时特殊的参数方程

例2.计算半径为R、中心角2α为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度)

解:转动惯量I=,为了便于计算,利用L的参数方程。

L的参数方程为:

则I==

(3)当曲线L为空间曲线弧时(参数方程)

,,

例3.计算曲线积分,其中为螺旋线、,上相应于t从0到2一段弧。

计算坐标的曲线积分(第二类曲线积分)

定理:设、在有向曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为

下限对应于的起点,上限对应于的终点,不一定小于。

例4.计算,其中L为

(1)抛物线上从到的一段弧;

(2)抛物线上从到的一段弧;

解:(1)化为对x的定积分L:,x从0变1到,所以

(2)化为对y的定积分,y从0变到1,所以

特别地,(1)当L方程为

例5.计算,其中L为

(1)L是半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周;

(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段。

解:(1)L是参数方程当参数θ从0到π的曲线,因此

(2)L的方程为y=0,x从a变到-a,所以

例6.计算,是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段。

解:直线段AB的方程是化为参数方程为t从1变到0。所以

3.两类曲线积分之间的联系。

平面曲线L上的两类曲线积分之间的关系:

其中、为有向曲线弧在点处的切向量的方向角。

空间曲线上的两类曲线积分之间的关系:

其中、、为曲线在点处切向量的方向角。

例7.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分,其中L为:沿抛物线从点(0,0)到点(1,1)。

解:曲线上点处的切向量

例8.设为曲线上相应于t从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分。

解:由得

4.利用格林公式求解曲线积分。

定理:

其中L是D的取正向的边界曲线,即为格林公式。

特别地,在格林公式中取,即得,,即可利用此式来计算曲面积分。

例9.计算,其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续的曲线,L 的方向为逆时针方向。

解:令,则当时,有

记L所围成的闭区域为D,当时,由格林公式得。

当时,选取适当小的,作位于D内的圆域,记L和l所围成的闭区域为D1,对复连通区域D1用格林公式得:

其中l的方向取逆时针方向,于是

5.利用斯托克斯公式求解曲线积分。

斯托克斯公式:

为了便于记忆,可将斯托克斯公式写成行列式

即

利用两类去面积分间的联系,可得斯托克斯公式的另一形式

其中为有向曲面∑在点处的单位法向量。

例10.线积分,其中闭曲线的方向从轴正向看去是逆时针的。

解:

=

其中,∑是平面被柱面截下部分,是∑的法量方向余弦,由于π为下侧,所以

(其中是∑在平面上的投影,即)

小结:(1)斯托克斯公式是计算空间曲线积分的重要方法之一;

(2)其中∑是以C为边界的光滑或分片光滑的有向曲面,C的方向与∑的符合手法则。

参考文献

1 陈纪修、於崇华、金路.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2000

2 雷发社.高等数学重点难点100讲[M].陕西:陕西科学技术出版社,2003

3 毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳上册[M].华中科技大学出版社,2001

4 同济大学数学系.高等数学.上册[M].北京高等教育出版社,2007