高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：导数及其应用#

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2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第3章必刷小题5 导数及其应用

因为函数f(x)＝(2x－1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x－1)ex＝(2x＋1)ex，令 f′(x)>0，解得 x>－12，所以函数 f(x)的单调递增区间为－12，＋∞.
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2.(2023·茂名模拟)若曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，f(1))处的切线为
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由题意，对于 A，函数 y＝x＋1x，y′＝1－x12，可得函数 y＝x＋1x在 (－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减，所以函数有两个极值点 x＝－1 和 x＝1；对于 B，函数 y＝2x2－x＋1 为开口向上的抛物线，一定存在极值点，即为顶点的横坐标 x＝14；
∵f(x)＝e2－x＋x，x∈[1,3]， ∴f′(x)＝－e2－x＋1，令f′(x)>0，解得x>2；令f′(x)<0，解得x<2，故函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增，所以函数f(x)在x＝2处取得极小值，也是最小值，为f(2)＝3，而 f(1)＝e＋1，f(3)＝3＋1e，则 f(1)>f(3)，故f(x)的最大值为f(1)＝e＋1.
x，h′(x)＝xcos
x－sin x2
x，令
φ(x)＝xcos
x－sin
x，
φ′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x<0，x∈0，π2，
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∴φ(x)在0，π2上单调递减，φ(x)<φ(0)＝0， ∴h′(x)<0，∴h(x)在0，π2上单调递减，h(x)>hπ2＝2π， ∴2k≤2π⇒k≤1π，令 g(x)＝xf(x)＝xcos x＋kx3，则 g(x)在0，π2上单调递增， g′(x)＝cos x－xsin x＋3kx2≥0 在 x∈0，π2上恒成立，

(江苏专用)高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第二节导数的应用第一课时导数与函数的单调

课时跟踪检测（十四）导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·某某模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2.答案：(2，＋∞)2．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：依题意，知当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒不小于0或恒不大于0. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≥0，即有－2a ≤x ＋5x在[1,3]上恒成立，而x ＋5x≥2x ·5x＝25(当且仅当x ＝5时取等号)，故－2a ≤25，解得a ≥－ 5. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≤0，即有－2a ≥x ＋5x恒成立，注意到函数g (x )＝x ＋5x 在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g (1)＝6>g (3)＝143，因此－2a ≥6，解得a ≤－3.综上所述，实数a 的取值X 围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[－5，＋∞)3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增．答案：单调递增4．(2016·启东模拟)已知a ≥1，f (x )＝x 3＋3|x －a |，若函数f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M ，m ，则M －m 的值为________．解析：当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3＋3(a －x )＝x 3－3x ＋3a (a ≥1)，∴f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以原函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以M ＝f (－1)＝3a ＋2，m ＝f (1)＝3a －2，所以M －m ＝4.答案：45．(2016·某某测试)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值X 围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·某某、某某、某某、某某调研)设f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋m －3，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x2＋2mx ＋m －3≥0在R 上恒成立，所以(2m )2－4×12(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x ＜－1时，x 2＞1，则有1a≤1，解得a ≥1或a ＜0.答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)5．(2015·某某、某某、某某、某某三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值X 围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上为单调递减函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调递减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x ≠0时，a ≤1x2，∵x∈(－1,0)∪(0,1)，∴a ≤1.综上，实数a 的取值X 围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．(2016·某某中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值X 围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞9．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x，又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0；当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2016·某某调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，某某数m 的取值X 围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值X 围是(－∞，2]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 2．(2016·某某模拟)若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3，0≤x ≤a ，x 3－ax 2，x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减； ②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值X 围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值X围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a 1－xx.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t ＜0，g ′3＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0 对任意t ∈[1,2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。

高考数学一轮复习第三章导数及其应用3

高考数学一轮复习第三章 3.7 利用导数研究函数零点题型一数形结合法研究函数零点例1 (2020·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝e x －a (x ＋2)． (1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x －(x ＋2)，f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )<0，解得x <0，令f ′(x )>0，解得x >0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)令f (x )＝0，得e x ＝a (x ＋2)，即1a ＝x ＋2ex ，所以函数y ＝1a 的图象与函数φ(x )＝x ＋2e x 的图象有两个交点，φ′(x )＝－x －1e x ，当x ∈(－∞，－1)时，φ′(x )>0；当x ∈(－1，＋∞)时，φ′(x )<0，所以φ(x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，所以φ(x )max ＝φ(－1)＝e ，且x →－∞时， φ(x )→－∞；x →＋∞时，φ(x )→0，所以0<1a <e ，解得a >1e .所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 教师备选已知函数f (x )＝x e x ＋e x .(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)讨论函数g (x )＝f (x )－a (a ∈R )的零点的个数．解 (1)函数f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＝(x ＋2)e x ，令f ′(x )＝0得x ＝－2，则f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：x (－∞，－2)－2 (－2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减－1e2 单调递增∴f (x )的单调递减区间是(－∞，－2)，单调递增区间是(－2，＋∞)．当x ＝－2时，f (x )有极小值为f (－2)＝－1e 2，无极大值．(2)令f (x )＝0，得x ＝－1，当x <－1时，f (x )<0；当x >－1时，f (x )>0，且f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，－1e 2，(－1,0)，(0,1)．当x →－∞时，与一次函数相比，指数函数y ＝e －x 增长更快，从而f (x )＝x ＋1e －x →0；当x →＋∞时，f (x )→＋∞，f ′(x )→＋∞，根据以上信息，画出f (x )大致图象如图所示．函数g (x )＝f (x )－a (a ∈R )的零点的个数为y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 的交点个数．当x ＝－2时，f (x )有极小值f (－2)＝－1e2.∴关于函数g (x )＝f (x )－a (a ∈R )的零点个数有如下结论：当a <－1e 2时，零点的个数为0；当a ＝－1e 2或a ≥0时，零点的个数为1；当－1e2<a <0时，零点的个数为2.思维升华含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x 表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．跟踪训练1 设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．解 (1)当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －e x 2＝x －e x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝2. (2)由题意知g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x >0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)．当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点， ∴x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.结合y ＝φ(x )的图象(如图)可知，①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．题型二利用函数性质研究函数零点例2 (12分)(2021·全国甲卷)设函数f (x )＝a 2x 2＋ax －3ln x ＋1，其中a >0. (1)讨论f (x )的单调性； [切入点：判断f ′(x )的正负](2)若y ＝f (x )的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围. [关键点：f (x )>0且f (x )有最小值]教师备选已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，g (x )＝x 2＋4. (1)讨论f (x )在[－π，π]上的单调性；(2)令h (x )＝g (x )－4f (x )，试证明h (x )在R 上有且仅有三个零点． (1)解 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0∪⎝⎛⎭⎫π2，π时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－π，－π2，⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－π2，0，⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减． (2)证明 h (x )＝x 2＋4－4x sin x －4cos x ， ∵h (－x )＝x 2＋4－4x sin x －4cos x ＝h (x )， ∴h (x )为偶函数．又∵h (0)＝0，∴x ＝0为函数h (x )的零点．下面讨论h (x )在(0，＋∞)上的零点个数： h (x )＝x 2＋4－4x sin x －4cos x ＝x (x －4sin x )＋4(1－cos x )．当x ∈[4，＋∞)时， x －4sin x >0,4(1－cos x )≥0， ∴h (x )>0， ∴h (x )无零点；当x ∈(0,4)时，h ′(x )＝2x －4x cos x ＝2x (1－2cos x )，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，h ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫π3，4时，h ′(x )>0，∴h (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫π3，4上单调递增， ∴h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫π3＝π29＋4－4π3sin π3－4cos π3＝π29＋2－23π3<0，又h (0)＝0，且h (4)＝20－16sin 4－4cos 4>0， ∴h (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上无零点，在⎝⎛⎭⎫π3，4上有唯一零点．综上，h (x )在(0，＋∞)上有唯一零点，又h (0)＝0且h (x )为偶函数，故h (x )在R 上有且仅有三个零点．思维升华利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．跟踪训练2 已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1)．(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )只有一个零点．(1)解当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3.令f ′(x )＝0，解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3. 当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时， f ′(x )>0；当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间为(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)，单调递减区间为(3－23，3＋23)． (2)证明因为x 2＋x ＋1>0在R 上恒成立，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2x 2＋2x ＋3x 2＋x ＋12≥0在R 上恒成立，当且仅当x ＝0时，g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点．又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－6⎝⎛⎭⎫a －162－16<0， f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点．综上所述，f (x )只有一个零点．题型三构造函数法研究函数的零点例3 (2021·全国甲卷)已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝x aa x (x >0)．(1)当a ＝2时，求f (x )的单调区间；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝1有且仅有两个交点，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 22x (x >0)，f ′(x )＝x 2－x ln 22x(x >0)，令f ′(x )>0，则0<x <2ln 2，此时函数f (x )单调递增，令f ′(x )<0，则x >2ln 2，此时函数f (x )单调递减，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，2ln 2，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2ln 2，＋∞. (2)曲线y ＝f (x )与直线y ＝1有且仅有两个交点，可转化为方程x a a x ＝1(x >0)有两个不同的解，即方程ln x x ＝ln aa 有两个不同的解．设g (x )＝ln xx (x >0)，则g ′(x )＝1－ln xx 2(x >0)，令g ′(x )＝1－ln xx 2＝0，得x ＝e ，当0<x <e 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，当x >e 时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减，故g (x )max ＝g (e)＝1e ，且当x >e 时，g (x )∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，又g (1)＝0，所以0<ln a a <1e ，所以a >1且a ≠e ，即a 的取值范围为(1，e)∪(e ，＋∞)．教师备选(2022·南阳质检)已知f (x )＝13x 3＋32x 2＋2x ，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)求f (x )的极值；(2)令g (x )＝f ′(x )＋k e x －1，若y ＝g (x )的函数图象与x 轴有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝－2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如表所示：x (－∞，－2)－2 (－2，－1)－1 (－1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗由表可知，函数f (x )的极大值为f (－2)＝－23，极小值为f (－1)＝－56.(2)由(1)知g (x )＝x 2＋3x ＋2＋k e x －1＝x 2＋3x ＋1＋k e x ，由题知需x 2＋3x ＋1＋k e x ＝0有三个不同的解，即k ＝－x 2＋3x ＋1e x有三个不同的解．设h (x )＝－x 2＋3x ＋1e x，则h ′(x )＝x 2＋x －2e x ＝x ＋2x －1e x ，当x ∈(－∞，－2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，当x ∈(－2,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，又当x →－∞时，h (x )→－∞，当x →＋∞时，h (x )→0且h (x )<0，且h (－2)＝e 2，h (1)＝－5e .作出函数h (x )的简图如图，数形结合可知，－5e<k <0.思维升华涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．跟踪训练3 设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x ，m >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥1时，讨论f (x )与g (x )图象的交点个数．解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝x ＋mx －mx .当0<x <m 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >m 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上，函数f (x )的单调递增区间是(m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m )． (2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x >0，题中问题等价于求函数F (x )的零点个数．F ′(x )＝－x －1x －m x ，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，因为F (1)＝32>0，F (4)＝－ln 4<0，所以F (x )有唯一零点；当m >1时，0<x <1或x >m 时，F ′(x )<0；1<x <m 时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，因为F (1)＝m ＋12>0， F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)<0，所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即函数f (x )与g (x )的图象总有一个交点．课时精练1．(2022·贵阳模拟)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2(a ≠0)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，g (x )＝f (x )－2x ＋b ，讨论g (x )的零点个数．解 (1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )，若a >0，当x ∈(－∞，0)∪(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，若a <0，当x ∈(－∞，a )∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(a,0)时，f ′(x )<0，综上，当a >0时，f (x )在(－∞，0)，(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，当a <0时，f (x )在(－∞，a )，(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减．(2)g (x )＝13x 3－12x 2－2x ＋b ，令g (x )＝0，所以b ＝－13x 3＋12x 2＋2x ，令h (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x ，则h ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)(x ＋1)，所以h ′(2)＝0，h ′(－1)＝0，且当x <－1时，h ′(x )<0；当－1<x <2时，h ′(x )>0；当x >2时，h ′(x )<0，所以h (x )极小值＝h (－1)＝13＋12－2＝－76， h (x )极大值＝h (2)＝－13×8＋12×4＋4＝103，如图，当b <－76或b >103时，函数g (x )有1个零点；当b ＝－76或b ＝103时，函数g (x )有2个零点；当－76<b <103时，函数g (x )有3个零点．2．已知函数f (x )＝e x (ax ＋1)，曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝bx －e.(1)求a ，b 的值；(2)若函数g (x )＝f (x )－3e x －m 有两个零点，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝e x (ax ＋1)，则f ′(x )＝e x (ax ＋1)＋e x ·a ＝e x (ax ＋1＋a )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′1＝e 2a ＋1＝b ，f 1＝e a ＋1＝b －e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3e ， ∴a ＝1，b ＝3e.(2)g (x )＝f (x )－3e x －m ＝e x (x －2)－m ，函数g (x )＝e x (x －2)－m 有两个零点，相当于函数u (x )＝e x ·(x －2)的图象与直线y ＝m 有两个交点，u ′(x )＝e x ·(x －2)＋e x ＝e x (x －1)，当x ∈(－∞，1)时，u ′(x )<0，∴u (x )在(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )>0，∴u (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴当x ＝1时，u (x )取得极小值u (1)＝－e.又当x →＋∞时，u (x )→＋∞，当x <2时，u (x )<0，∴－e<m <0，∴实数m 的取值范围为(－e,0)．3．已知函数f (x )＝e x ＋ax －a (a ∈R 且a ≠0)．(1)若函数f (x )在x ＝0处取得极值，求实数a 的值，并求此时f (x )在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围．解 (1)由f (x )＝e x ＋ax －a ，得f ′(x )＝e x ＋a .∵函数f (x )在x ＝0处取得极值，∴f ′(0)＝e 0＋a ＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝e x －x ＋1，f ′(x )＝e x －1.∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．易知f (x )在[－2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，且f (－2)＝1e 2＋3，f (1)＝e ，f (－2)>f (1)， ∴f (x )在[－2,1]上的最大值是1e 2＋3. (2)f ′(x )＝e x ＋a .①当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在R 上单调递增，且当x >1时，f (x )＝e x ＋a (x －1)>0，当x <0时，取x ＝－1a，则f ⎝⎛⎭⎫－1a <1＋a ⎝⎛⎭⎫－1a －1＝－a <0， ∴函数f (x )存在零点，不满足题意．②当a <0时，令f ′(x )＝e x ＋a ＝0，则x ＝ln(－a )．当x ∈(－∞，ln(－a ))时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(ln(－a )，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当x ＝ln(－a )时，f (x )取得极小值，也是最小值．当x →－∞时，f (x )→＋∞，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，函数f (x )不存在零点，等价于f (ln(－a ))＝e ln(－a )＋a ln(－a )－a ＝－2a ＋a ln(－a )>0，解得－e 2<a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2,0)．4．(2022·潍坊模拟)已知函数f (x )＝x 2－a sin x －2(a ∈R )． (1)若曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫π2处的切线经过坐标原点，求实数a ； (2)当a >0时，判断函数f (x )在x ∈(0，π)上的零点个数，并说明理由．解 (1)f ′(x )＝2x sin x －x 2－a cos x sin 2x， f ′⎝⎛⎭⎫π2＝π，所以f (x )在点⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫π2处的切线方程为y ＝πx ，所以f ⎝⎛⎭⎫π2＝π22，即π24－a －2＝π22，a ＝－π24－2. (2)因为x ∈(0，π)，所以sin x >0，所以x 2－a sin x －2＝0可转化为x 2－a －2sin x ＝0，设g (x )＝x 2－a －2sin x ，则g ′(x )＝2x －2cos x ，当x ∈⎣⎡⎭⎫π2，π时，g ′(x )>0，所以g (x )在区间⎣⎡⎭⎫π2，π上单调递增．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，设h (x )＝g ′(x )＝2x －2cos x ，此时h ′(x )＝2＋2sin x >0，所以g ′(x )在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，又 g ′(0)＝－2<0，g ′⎝⎛⎭⎫π2＝π>0，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2使得g ′(x )＝0且x ∈(0，x 0)时g (x )单调递减， x ∈⎣⎡⎭⎫x 0，π2时g (x )单调递增．综上，对于连续函数g (x )，当x ∈(0，x 0)时，g (x )单调递减，当x ∈(x 0，π)时，g (x )单调递增．又因为g (0)＝－a <0，所以当g (π)＝π2－a >0，即a <π2时，函数g (x )在区间(x 0，π)上有唯一零点，当g (π)＝π2－a ≤0，即a ≥π2时，函数g (x )在区间(0，π)上无零点，综上可知，当0<a <π2时，函数f (x )在(0，π)上有1个零点；当a ≥π2时，函数f (x )在(0，π)上没有零点．。

新高考高中数学名师预测考前押题精品导数及其应用(选择与填空)

精选09 导数及其应用（选择与填空）1．导数运算及切线的理解应注意的问题：（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．（2）直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．2．解答比较函数值大小问题，常见的思路：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答．数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用． 3．已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 4．恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<．若能分离常数，即将问题转化为()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<．一、单选题1．曲线sin cos y x x =+在0x =处的切线的倾斜角是 A ．4π-B ．4πC ．6π D ．3π 2．已知函数()3123f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率是AB ．1C ．D ．1-3．若函数1()ln f x x ax x=++在[)1,+∞上是单调减函数，则a 的取值范围是 A ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭4．函数2()2ln f x x x =-的单调递减区间是 A ．11(,)22-B ．1(,)2+∞ C ．1(0,)2D ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是 A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝21 C ．a <0或a >21D ．0<a <216．已知函数322()1()3f x x ax a x a R ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，若曲线y ＝f （x ）存在两条垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为 A ．（﹣∞，﹣1） B ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） C ．（3，+∞）D ．（﹣1，3）7．已知函数f (x )的导数()(1)()f x a x x a '=+-，且f (x )在x ＝a 处取得极大值，则实数a 的取值范围是 A ．1a >- B ．10a -<< C ．01a <<D ．1a >8．已知函数()328f x x ax x =--的导函数为偶函数，则()f x 的图象在点()()22f ,处的切线方程为 A ．4160x y --= B ．4160x y --= C ．280x y --= D ．440x y -+=9．已知函数321()(41)13f x x m x x =--++在R 上是单调递增函数，则m 的取值范围是 A ．01m ≤≤ B ．102m ≤≤C ．112m ≤≤D ．01m <<10．函数()22()2ln 2f x x x x x x =--+的单调递增区间为 A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞11．已知函数32()247f x x x x =---，其导函数为()'f x ．有下列命题： ①()f x 的单调减区间是2,23⎛⎫⎪⎝⎭； ②()f x 的极小值是15-；③当2a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()()()()f x f a f a x a '>+- ④函数()f x 有且只有一个零点．其中真命题的个数为 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个12．已知函数321()132a f x x x x =+++在,0，()3,+∞上为增函数，在1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为A ．105,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．(],2-∞-C ．10,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．105,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭13．若方程330x x m -+=在[0，2]上有解，则实数m 的取值范围是A ．[]22-,B ．[0，2]C ．[]2,0-D ．2()()2-∞-+∞，，14．当x ∈R 时，不等式11ex x ax -≤-恒成立，则实数a 的取值范围为A ．a =B ．2a =C ．2a ≥D ．1a ≤≤15．已知函数()ln f x x x =，()()2g x x ax a =+∈R ，若经过点1,0A 存在一条直线l 与()f x 图象和()g x 图象都相切，则a =A ．0B ．1-C ．3D ．1-或316．已知函数3()x f x e x =⋅，则以下结论不正确个数的是 ①()f x 在R 上单调递增②()()125log 2ln f f e f π-⎛⎫<< ⎪⎝⎭③方程()1f x =-有实数解④存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个17．若正实数a ，b 满足22ln ln 222+≥+-ba b a ，则A ．124+=+a b B ．122-=-a b C ．2a b > D ．240b a -<18．直线(0)x t t =>与函数2()1,()ln f x x g x x =+=的图象分别交于A ､B 两点，当|AB |最小时，t 为A ．1BC ．12D 19．已知函数3()x f x e -=，()1ln g x x =+，若()()f m g n =，则n m -的最小值为 A ．ln 2- B ．ln 2 C ．2D ．2-20．函数()ln f x x x =，()2a f =，14b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是A ．b c a <时()2()xf x f x '>，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(1,)-∞-+∞23．已知函数()ln(21)f x x =+，()2g x mx m =+，若()()f x g x ≤恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[),e +∞24．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且()11f =，导函数()'f x 满足()()f x f x '<恒成立，则不等式()1x f x e e<的解集为 A ．(1,)+∞B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,1)25．已知()sin f x x x =+，若[1,2]x ∈时，()2(1)0f x ax f x -+-≤，则a 的取值范围是A ．(,1]-∞B ．[1,)+∞C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦26．已知函数1()ln x f x x x-=+的一条切线方程为y kx b =+，则k b +的最小值为 A ．-1 B ．0 C ．1D ．227．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2xf x f x xe -'+=，若()01f =，则函数()()f x f x '的取值范围为 A ．[]2,0- B ．[]1,0- C ．[]0,1D ．[]0,228．若存在一个实数t ，使得F （t ）＝t 成立，则称t 为函数F （x ）的一个不动点，设函数g （x ）＝x 2+（1﹣a ）x ﹣a （a ∈R ），定义在R 上的连续函数f （x ）满足f （﹣x ）+f （x ）＝x 2，且当x ≤0时，f ′（x ）＜x ．若存在x 0∈{x |f （x ）≥f （1﹣x ）+x }，且x 0为函数g （x ）的一个不动点，则实数a 的取值范围为 A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．[0，+∞） C ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）D ．R29．已知函数2(1)()86(1)xe e xf x x ax x x ⎧-≥⎪=⎨⎪+-<⎩是定义在R 上的单调递增函数，1()(ln 1)e e g x x a x x e -=++-，当1≥x 时，()()f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围是A ．[)4,0-B ．[]4,2--C ．[]4,e --D ．[],2e --30．曲线sin 1(0)xxy x e =+≥的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为 A ．1y x =- B ．y x = C ．1y x =+D ．2y x =+31．若经过点P (2，8)作曲线3y x =的切线，则切线方程为 A ．12160x y --=B ．320x y -+=C ．12160x y -+=或320x y --=D ．12160x y --=或320x y -+=32．设0α>，0β>，e 是自然对数的底数，下列选项一定正确的是 A ．若43e e αβαβ+=+，则αβ> B ．若43e e αβαβ+=+，则αβ< C ．若43e e αβαβ-=-，则αβ<D ．若43e e αβαβ-=-，则αβ>33．已知函数222,0,()ln(1),0,x x x f x x x ⎧---≤=⎨+>⎩若关于x 的不等式1()2f x ax a ≤+-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是A ．12e -⎡⎢⎣B ．12⎤⎥⎦C ．12e -⎡⎢⎣D ．12e ⎡⎢⎣34．已知函数()2ln e x f x x =，若关于x 的方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为A ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,2⎛ ⎝⎭C．3,24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭35．若函数y ax b =+为函数1()ln f x x x=-图象的一条切线，则2a b +的最小值为 A ．ln 2 B ．1ln 22-C ．1D ．236．已知313y x x =-在区间()2,6m m -上有最小值，则实数m 的取值范围是 A．(-∞ B．(- C．⎡-⎣D ．[2,1)-37．若()f x 图象上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[],A B 称为函数()f x 的“友情点对”（点对[],A B 与[],B A 视为同一个“友情点对”）若()32,0,0x x x f x e ax x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩恰有两个“友情点对”，则实数a 的取值范围是 A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()1,0-38．已知直线20x y +-=分别与12xy e =和ln 2y x =的图象交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下列结论正确的是A ．1221ln ln 0x x x x +> B．1x >C ．1142xe x >+D ．12ln 22xe x +>39．已知函数()()25xf x x e =-，()32123g x x x a =--，若()()f x g x >对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 A ．4322,3e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()3,e +∞C ．2324,3e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()6,e +∞40．已知函数221()ln x e f x x kx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 有三个极值点，则实数k 的取值范围为 A ．)()224,22,e e e ⎡+∞⎣B ．[]0,4eC ．()()224,22,e ee +∞D ．[)0,4e二、多选题41．下列四个函数，同时满足：①直线12y x b =+()b R ∈能作为函数的图象的切线；②函数()()4y f x f x =+的最小值为4的是 A ．()1f x x=B ．()sin f x x =C ．()e xf x =D ．()2f x x =42．若点()11,,A x y ()22,B x y ()12x x <是函数f （x ）11=ln ,1x e x x x ⎧-+≤⎨>⎩，的图象上任意两点，且函数f （x ）在点A 和点B 处的切线互相垂直，则下列结论正确的是 A ．x 1＜0 B ．0＜x 1＜1 C ．21x x 最小值为e D ．x 1x 2最大值为e43．若函数y ＝f （x ）的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t ，则称函数y ＝f （x ）为“t 型函数”，下列函数中为“2型函数”的有 A ．y ＝x ﹣x 3 B ．y ＝x +e x C ．y ＝sin xD ．y ＝x +cos x44．已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记M =，则A ．M 的最小值为45B ．当M 最小时，24x =C ．MD ．当M 最小时，12x =45．已知函数()ln xf x e a x =+，其中正确的结论是A ．当0a =时，函数()f x 有最大值B ．对于任意的0a <，函数()f x 一定存在最小值C ．对于任意的0a >，函数()f x 在()0,∞+上单调递增D ．对于任意的0a >，都有函数()0f x > 46．设函数()32322xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，则下列说法正确的是 A ．函数()f x 在定义域R 上单调递增 B ．若()()220f a f a -+≤，则1a ≥或2a ≤- C ．若()()220f a f a -+≤，则21a -≤≤ D ．函数()f x 是定义域为R 的奇函数 47．已知函数()xf x e ax a =+-，a ∈R ，则A ．若()f x 在R 上单调递增，则0a >B ．若函数()()111ln1x x g x f x e x ++=++--，则()g x 为奇函数 C ．0a =时，若函数()()21log 11xx g x f x e x +=+-<-，则x 的取值范围是()(),13,-∞+∞D ．若函数()f x 不存在零点，则20e a -<≤48．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)x f x e x =+，则下列命题正确的是A ．当0x >时，()(1)x f x e x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为(,1)(0,1)-∞-D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<49．已知函数()f x 和()g x 分别为R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x e +=，则下列结论正确的是A ．()x x g x e e -=+，()x x f x e e -=-B ．若a b >，则()()f a f b >C ．当0x ≥时，()g x 的取值范围为(,2]-∞D ．当0x ≥时，()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围为(,2]-∞50．用符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]0.60=，[]2.32=．设()2()(1ln )2ln f x x ax x =-+有3个不同的零点1x ，2x ，3x ，则A ．e x =是()f x 的一个零点B ．123e x x x ++=C ．a 的取值范围是1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．若[][][]1236x x x ++=，则a 的范围是2ln 3ln 2,94⎡⎫--⎪⎢⎣⎭． 51．已知曲线2()(0)x f x ae a -=>与曲线2()(0)g x x m m =->有公共点，且在第一象限内的公共点处的切线相同(e 是自然对数的底数)，则当m 变化时，实数a 取以下哪些值能满足以上要求 A ．1 B ．e C ．2eD ．2e52．已知函数()sin cos xx f x e e =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是增函数 B ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数C ．()f x 在()0,π上有两个极值点D ．设()()f x g x x=，则满足144n n g g ππ+⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的正整数n 的最小值是2 53．已知函数()ln xf x x=，若12x x ≠时，有()()12f x f x m ==，π是圆周率，2.71828e =为自然对数的底数，则下列结论正确的是A ．()f x 的图象与x 轴有两个交点B ．1m e<C ．若1204x x <<<，则12x e <<D ．若3a e =，3e b =，c e π=，e d π=，3s π=，3t π=，则s 最大54．若直线y ax =与曲线()x f x e =相交于不同两点()11,A x y ，()22,B x y ，曲线()xf x e=在A ，B 点处切线交于点()00,M x y ，则 A ．a e >B ．1201x x x +-=C ．2AM BM AB k k k +>D ．存在a ，使得135AMB ∠=︒55．已知函数()ln xf x x=，则． A ．()()25f f >B ．若()f x m =有两个不相等的实根1x 、2x ，则212x x e <C ．ln 2>D ．若23x y =，x ，y 均为正数，则23x y > 三、填空题 56．若函数21()ln 2f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是___________．57．若函数()2ln x f x x e m x =-在点()()1,1f 处的切线过点()0,0，则实数m =___________．58．已知函数f (x )=xe x ﹣1，则曲线y =f (x )在x =1处的切线方程为___________． 59．曲线222xxy e -+=+在点()0,3处的切线方程为___________．60．已知函数()g x 满足()()()1211e 02x g x g g x x -'=-+，且存在正实数0x 使得不等式()021m g x -≥成立，则m 的取值范围为___________．61．已知函数2()4(2)cos sin f x x x x x x =-+--在x a =处取得最小值m ，则m a +=___________． 62．设函数232(),()1x xf xg x xe x -==+(e 是自然对数的底数)，若1(1,)x ∃∈-+∞，使得2(,ln 2]x ∀∈-∞，不等式()()2214mg x m f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________．63．若函数5mx y e x =+有极值点，则实数m 的取值范围是___________．64．已知定义在()0,∞+上的函数()0f x >，且满足()()()2f x f x f x '<<，若()()12f k f =⋅，则实数k 的取值范围为___________．65．已知关于x 的方程22(ln )ln 04x x ax x e-+=在(1,)+∞上有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围是___________．66．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，满足()2f x '>，()24f =，则不等式()2122xf x x x ->-的解集为___________．67．已知0x >，2()x f x x e =+，()2()1ln g x m x x =++，若()()f x g x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是___________．68．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为fx ，满足()()f x f x '<，且()102f =，则不等式()1e 02xf x -<的解集为___________． 69．若曲线3()2f x x x =-在点P 处的切线与直线20x y --=平行，则点P 的坐标为___________．70．已知函数1222x y kx k --=--的两个零点分别为1x ，2x ()12x x >，函数()f x 是定义在R 上的单调递增函数，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式()()12ln ln 1x x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫+->++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，则实数1x 的取值范围是___________．71．若0m >，不等式()221ln 0mx x xme m x+--≤恒成立，则m 的取值范围是___________．72．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足（1）()00f =；（2）当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；（3）当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：①1()sin f x x x =；②)2()ln=-f x x ；③3,0()ln(1),0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩；④4()1=--x f x e x 则“偏对称函数”有___________个．73．函数()22xf x x e =-在[]22-,有___________个零点． 74．已知对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1yx x a y e -++=成立(e为自然对数的底数)，则实数a 的取值范围是___________． 75．已知函数23()ln ()12 f x x x a a ⎫⎛=+-+≥⎪⎝⎭的两个极值点为1x ，2x ，且12x x <，则()()12f x f x -的取值范围是___________．。

高三数学一轮复习(函数、导数及其应用)单元练习题新人教版试题

2012版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用导数【高考目标定位】一、变化率与导数、导数的计算 1、考纲点击（1）了解导数概念的实际背景（2）理解导数的几何意义；（3）能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x 2,y=x 3,y=1x,y ; （4）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数。

2、热点提示（1）导数的几何意义是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中；（2）导数的运算每年必考，一般不单独考查，在考查导数应用研究的同时考查导数的运算。

二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1、考纲点击（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；（2）了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

（3）会利用导数解决某些实际问题。

2、热点提示（1）在高考中，重点考查利用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，以及利用导数解决生活中的优化问题。

有时在导数与解析几何、不等式、平面向量等知识交汇点处命题。

（2）多以解答题的形式出现，属中、高档题目。

【考纲知识梳理】一、变化率与导数、导数的计算 1、函数y=f(x)从x 1到x 2的平均变化率函数y=f(x)从x 1到x 2的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，21()()y f x f x ∆=-则平均变化率可表示为y x∆∆。

2、函数y=f(x)在x=x 0处导数（1）定义称函数y=f(x)在x=x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆为y=f(x)在x=x 0处导数，记作 0000000()()()|,()lim limx x x x f x x f x yf x y f x x x =∆→∆→+∆-∆'''==∆∆或即（2）几何意义函数f(x)在点x 处的导数0()f x '的几何意义是在曲线y=f(x)上点（0x ，0()f x '）处的切线的斜率。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第三章导数及其应用训练文

核按钮（新课标）高考数学一轮复习第三章导数及其应用训练文考纲链接1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．①常见的基本初等函数的导数公式：(C )′＝0(C 为常数); (x n )′＝nx n －1(n ∈N ＋)； (sin x )′＝cos x; (cos x )′＝－sin x ； (e x )′＝e x; (a x )′＝a xlna (a >0，且a ≠1)；(lnx )′＝1x ； (log a x )′＝1xlog a e (a >0，且a ≠1)．②常用的导数运算法则：法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )．法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )．法则3： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）－u （x ）v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)．5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．7．会用导数解决实际问题．§3.1 导数的概念及运算1．导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx之间的平均变化率，即ΔyΔx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作或0x x y ='，即f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .(2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆xf （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.(3)用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法①求函数的增量Δy ＝；②求平均变化率ΔyΔx＝；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x ΔyΔx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是．相应的切线方程为．3．基本初等函数的导数公式(1)c ′＝ (c 为常数)， (x α)′＝ (α∈Q *)； (2)(sin x )′＝____________， (cos x )′＝____________； (3)(ln x )′＝， (log a x )′＝；(4)(e x)′＝____________， (a x)′＝ . 4．导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________________. (2)[f (x )g (x )]′＝____________________；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝________.(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝ (g (x )≠0)．自查自纠：1．(1)可导 f ′(x 0) (3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0)②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2．f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)3．(1)0 αx α－1(2)cos x －sin x (3)1x1xlna(4)e xa xlna4．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x )(3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2若曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )A ．(－1，1)B ．(－1，－1)C ．(1，1)或(－1，－1)D ．(1，－1)解：y ′＝3x 2，令3x 2＝3，得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝－1.故选C.曲线y ＝sin x ＋e x在点(0，1)处的切线方程是( )A ．x －3y －3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解：∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x，∴y ′|x ＝0＝cos0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x在点(0，1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.故选C.(2015·保定调研)已知曲线y ＝lnx 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e解：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点(x 0，ln x 0)，则0x x y ='＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.故选C.(2015·天津)已知函数f (x )＝axlnx ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解：因为f ′(x )＝a (1＋lnx )，所以f ′(1)＝a ＝3.故填3.(2014·广东)曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．解：由y ＝－5e x ＋3⇒y ′＝－5e x，于是切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即y ＝－5x －2.故填y ＝－5x －2.类型一导数的概念用定义法求函数f (x )＝x 2－2x －1在x＝1处的导数．解法一：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2－2(x ＋Δx )－1－(x 2－2x －1)＝x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2－2x －2Δx －1－x 2＋2x ＋1＝(2x －2)Δx ＋Δx 2，所以 Δy Δx ＝0lim →∆x （2x －2）Δx ＋Δx 2Δx＝0lim →∆x [(2x －2)＋Δx ]＝2x －2.所以函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数为 f ′(x )|x ＝1＝2×1－2＝0.解法二：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－1－(12－2×1－1)＝1＋2Δx ＋Δx 2－2－2Δx －1＋2＝Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x Δx2Δx ＝0lim →∆x Δx ＝0.故f ′(x )|x ＝1＝0.点拨：利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率ΔyΔx ，再化简平均变化率，最后判断当Δx →0时，ΔyΔx无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h (t )＝5t 3＋30t 2＋45t ＋4(单位：m )．(1)求航天飞机在第1 s 内的平均速度； (2)用定义方法求航天飞机在第1 s 末的瞬时速度．解：(1)航天飞机在第1 s 内的平均速度为 h （1）－h （0）1＝5＋30＋45＋4－41＝80 m /s .(2)航天飞机第1 s 末高度的平均变化率为 h （1＋Δt ）－h （1）Δt＝5（1＋Δt ）3＋30（1＋Δt ）2＋45（1＋Δt ）＋4－84Δt＝5Δt 3＋45Δt 2＋120Δt Δt＝5Δt 2＋45Δt ＋120，当Δt →0时，5Δt 2＋45Δt ＋120→120，所以航天飞机在第 1 s 末的瞬时速度为120 m /s .类型二求导运算求下列函数的导数： (1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (2)y ＝sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(3)y ＝3x e x －2x＋e ； (4)y ＝lnxx 2＋1. 解：(1)解法一：∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.解法二：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)·(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)·(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.(2)∵y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝－12sin x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝(3x e x )′－(2x)′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2xln 2＝(ln 3＋1)(3e )x －2xln 2. (4)y ′＝（lnx ）′（x 2＋1）－lnx （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2xlnx （x 2＋1）2＝x 2（1－2lnx ）＋1x （x 2＋1）2.点拨：求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单．求下列函数的导数：(1)y ＝e xcos x ；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝ln xex .解：(1)y ′＝(e x )′cos x ＋e x(cos x )′＝e x(cos x －sin x )．(2)∵y ＝x 3＋1＋1x2，∴y ′＝3x 2－2x3.(3)y ′＝（ln x ）′e x －（e x）′ln x（e x ）2＝1xe x －e x ln x（e x）2＝1x －ln x e x ＝1－x ln x xex. 类型三导数的几何意义已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程．解：(1)y ′＝x 2，设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53，(－1，1)．故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)∵y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，∴在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，又∵切线的斜率k ＝0x x y ='＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.点拨：曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)解法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则斜率k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2，∴k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.1．“函数在点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )．(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的两种常用求法(1)利用导数的定义，即求lim →∆xf （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的值； (2)求导函数在x 0处的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0)．3．关于用导数求曲线的切线问题 (1)圆是一种特殊的封闭曲线，注意圆的切线的定义并不适用于一般的曲线．(2)求曲线在某一点处的切线方程，这里的某一点即是切点，求解步骤为先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．(3)求过某点的曲线的切线方程，这里的某点可能是切点(点在曲线上的情形)，也可能不是切点，即便点在曲线上，切线也不一定唯一，如本节例3(3)，就极易漏掉切线x －y ＋2＝0.1．函数f (x )＝x 3＋sin x 的导数f ′(x )＝( )A ．x 2－cos xB ．3x 2－cos xC ．x 2＋cos xD ．3x 2＋cos x解：f ′(x )＝3x 2＋cos x .故选D.2．(2015·郑州检测)已知曲线y ＝x 22－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.13解：设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0，由y ′＝x －3x ，得k ＝x 0－3x 0＝2，解得x 0＝3.故选A.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋lnx ，则f ′(1)等于( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e解：由f (x )＝2xf ′(1)＋lnx ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.故选B.4．函数f (x )＝e xcos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4 C ．1 D.π2解：由f (x )＝e x cos x ，得f ′(x )＝e xcos x －e x sin x .所以f ′(0)＝e 0cos0－e 0sin0＝1，即倾斜角α满足tan α＝1.根据α∈[0，π)，得α＝π4.故选B.5．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N *，则f 2016(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解：∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f ′2(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f ′3(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f ′4(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )，而2016＝504×4，∴f 2016(x )＝f 4(x )＝－cos x ＋sin x .故选B.6．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．不确定解：依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12， ∴f ′(x )＝－sin x ＋1，∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f ′(x )＞0, ∴f (x )＝cos x ＋x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，又－π2＜－π3＜π3＜π2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.故选C. 7．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋lnx 存在垂直于y轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解：∵f (x )＝12x 2－ax ＋lnx ，∴f ′(x )＝x －a＋1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，x ＞0，则a ＝x ＋1x≥2.故填[2，＋∞)．8．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1，0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a 的值为________．解：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )，②将点(1，0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解之得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t＝32代入①式，得k ＝－a 或k ＝274－a ，由它们互为相反数得a ＝278.故填278.9．求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线的方程．解：设切点坐标为(x 0，y 0)，∵f ′(x 0)＝3x 20－4＝－1，∴x 0＝±1. ∴切点为(1，1)或(－1，7)．切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.10．(2015·浙江联考)已知点M 是曲线y ＝13x3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在点M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解：(1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， ∴当x ＝2时，y ′＝－1为斜率最小值，此时y ＝53，∴斜率最小的切线过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴所求切线方程为x ＋y －113＝0.(2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 11．f (x )＝ax －1x，g (x )＝lnx ，x ＞0，常数a ∈R .(1)求曲线y ＝g (x )在点P (1，g (1))处的切线l .(2)是否存在常数a ，使(1)中的切线l 也是曲线y ＝f (x )的一条切线，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知，g (1)＝0，又g ′(x )＝1x，g ′(1)＝1，所以直线l 的方程为y ＝x －1.(2)f ′(x )＝a ＋1x2，设y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线为l ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ax 0－1x 0＝x 0－1，a ＋1x 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，a ＝34，此时f (2)＝1，即当a ＝34时，l 是曲线y ＝f (x )在点Q (2，1)处的切线．(2014·安徽)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(1)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①直线l ：y ＝0在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3②直线l ：x ＝－1在点P (－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2③直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x④直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1，0)处“切过”曲线C ：y ＝lnx解：对于①，y ′＝(x 3)′＝3x 2，y ′|x ＝0＝0，所以l ：y ＝0是曲线C ：y ＝x 3在点P (0，0)处的切线，画图可知曲线C ：y ＝x 3在点P (0，0)附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，l ：x ＝－1显然不是曲线C ：y ＝(x ＋1)2在点P (－1，0)处的切线，②错误；对于③，y ′＝(sin x )′＝cos x ，y ′|x ＝0＝1，曲线在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C ：y ＝sin x 在点P (0，0)附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，y ′＝(tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，y ′|x ＝0＝1cos 20＝1，曲线在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C ：y ＝tan x 在点P (0，0)附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，y ′＝(lnx )′＝1x，y ′|x ＝1＝1，在点P (1，0)处的切线为l ：y ＝x －1，令h (x )＝x －1－lnx (x ＞0)，可得h ′(x )＝1－1x ＝x －1x，所以h (x )min＝h (1)＝0，故x －1≥lnx ，可知曲线C ：y ＝lnx 在点P (1，0)附近位于直线l 的下方，⑤错误．故填①③④.§3.2导数的应用(一)1．函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内____________；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内____________；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间上是________．2．函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极大值，还是极小值的方法：一般地，当f′(x0)＝0时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧____________，右侧____________，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程____________的根；③检查f′(x)在上述根的左右对应函数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得____________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得____________．3．函数的最值与导数(1)在闭区间[a，b]上图象连续不断的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则____________为函数在[a，b]上的最小值，____________为函数在[a，b]上的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则____________为函数在[a，b]上的最大值，____________为函数在[a，b]上的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上图象连续不断，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与端点处的函数值______，______进行比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．自查自纠：1．单调递增单调递减常数函数2．(1)②f′(x)＜0 f′(x)＞0(2)②f′(x)＝0 ③极大值极小值3．(2)f(a) f(b) f(a) f(b)(3)②f(a) f(b) 最大值最小值关于函数的极值，下列说法正确的是( )A．导数为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数解：导数为0的点不一定是极值点(如y＝x3，在x＝0处)，而极值点的导数一定为0.极值是局部概念，因此极小值可能有多个且有可能大于极大值．极值点是单调性的转折点．故选D .(2015·北京海淀区模拟)函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是( )A．(0，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1，1)解：∵f′(x)＝2x －2x＝2（x＋1）（x－1）x(x ＞0)．∴当x∈(0，1)时f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．故选A.设函数f(x)＝2xe x－1，则( )A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解：求导得f′(x)＝2e x＋2xe x＝2e x(x＋1)，令f′(x)＝2e x(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．故选D.函数f(x)＝13x3－4x＋4在[0，3]上的最大值为________，在[0，3]上的最小值为________．解：f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＞0，得x＞2或x＜－2；令f′(x)＜0，得－2＜x＜2.所以f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增；在(－2，2)上单调递减，而f(2)＝－43，f(0)＝4，f(3)＝1，故f(x)在[0，3]上的最大值是4，最小值是－43.故填4；－43.若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是________．解：依题意得f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥1x在(1，＋∞)上恒成立，∵x＞1，∴0＜1x＜1，∴k ≥1.故填[1，＋∞)．类型一导数法判断函数的单调性已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )解：由题意得函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减，则其导函数在(0，＋∞)上恒小于0，排除B ，D ；又∵函数y ＝f (x )在(－∞，0)上先单调递增，后单调递减，再单调递增，则其导函数在(－∞，0)上先大于0，后小于0，再大于0，排除C ，故选A.点拨：导函数的图象在哪个区间位于x 轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)．(2014·北京联考)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在(－2，1)上f (x )是增函数B ．在(1，3)上f (x )是减函数C ．当x ＝2时，f (x )取极大值D ．当x ＝4时，f (x )取极大值解：由y ＝f ′(x )的图象可得y ＝f (x )的大致图象如图．由图可知，A ，B ，D 均错．故选C . 类型二导数法研究函数的单调性(2015·荆州质检)设函数f (x )＝13x3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间．解：(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)；单调递减区间为(0，a )．点拨：利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(2014·山东)设函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋lnx (k ≤0，k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)，求函数f (x )的单调区间．解：函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x －2xe x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x＝xe x －2e xx 3－k （x －2）x 2＝（x －2）（e x－kx ）x 3.由k ≤0可得e x－kx ＞0，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，函数y ＝f (x )单调递减，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．类型三导数法研究函数的极值问题(2014·重庆)已知函数f (x )＝x 4＋ax－lnx －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －lnx －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0，5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，5)上为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)上为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln5.点拨：找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数的零点就是极值点(如y ＝x 3)，还要保证该零点为变号零点．已知函数f (x )＝12x 3＋cx 在x ＝1处取得极值．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)f ′(x )＝32x 2＋c ，当x ＝1时，f (x )取得极值，则f ′(1)＝0，即32＋c ＝0，得c ＝－32.故f (x )＝12x 3－32x .(2)f ′(x )＝32x 2－32＝32(x 2－1)＝32(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或1.x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x(－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) ＋－＋f (x )极大值极小值因此，f (x )的极大值为f (－1)＝1，极小值为f (1)＝－1.类型四导数法研究函数的最值问题已知函数f (x )＝ax 2＋2，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，1]上的最大值．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ， ∵f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)，∴a ＋2＝1＋b ，且2a ＝3＋b ，解得a ＝4，b ＝5.(2)设h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋4x 2＋5x ＋2，则h ′(x )＝3x 2＋8x ＋5＝(3x ＋5)(x ＋1)． x ，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：x 错误! －53 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，－1 －1 (－1，＋∞) h ′(x)＋ 0 － 0 ＋h (x )极大值极小值所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53，(－1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，－1上单调递减． ∵h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝427，h (1)＝12，12＞427，∴f (x )＋g (x )在(－∞，1]上的最大值为12.点拨：函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点或极大值点取得，最小值一般是在端点或极小值点取得．设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝－12相切．(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e，e 上的最大值．解：(1)f ′(x )＝ax－2bx ，∵函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝a －2b ＝0，f （1）＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12. (2)f (x )＝lnx －12x 2，f ′(x )＝1x －x ＝1－x2x，∵当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )＞0，得1e≤x ＜1；令f ′(x )＜0，得1＜x ≤e ，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[1，e ]上单调递减，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝－12.类型五实际应用问题(优化问题)(2013·重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解：(1)∵蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又据题意200πrh ＋160πr 2＝12000π，所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．∵r >0，又由h >0可得r <53，故函数V (r )的定义域为(0，53)．(2)∵V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)．当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5，53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．点拨：解此类应用问题，应以读题、建模、求解、作答这四个步骤为主线，同时还应注意实际问题中函数的定义域．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝10x 3－150x 2＋720x －1078(3<x <6)．从而f ′(x )＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3，4) 4 (4，6) f ′(x ) ＋ 0 －f (x )单调递增极大值42 单调递减由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．1．用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．2．导数值为0的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件．3．极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性．(2)从个数上看，最值若存在，则必定是惟一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)．(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值．4．实际问题中的最值(1)要从问题的实际意义出发确定函数的定义域．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．1．(2014·新课标Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0，q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解：由条件知由q可推出p，而由p推不出q.故选C.2．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0，3)C．(1，4) D．(2，＋∞)解：f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x －2)e x，令f′(x)＞0，解得x＞2，故选D.3．已知函数f(x)＝e x－2x－1(其中e为自然对数的底数)，则y＝f(x)的图象大致为( ) 解：依题意得f′(x)＝e x－2.当x＜ln2时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，此时f(x)＞f(ln2)＝1－2ln2，而1－2ln2＜0；当x＞ln2时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，因此对照各选项知，C正确．故选C.4．(2015·潍坊期末)函数f(x)＝e x－x(e为自然对数的底数)在区间[－1，1]上的最大值是( ) A．1＋1eB．1 C．e＋1 D．e－1解：因为f(x)＝e x－x，所以f′(x)＝e x－1.令f′(x)＝0，得x＝0.且当x＞0时，f′(x)＝e x －1＞0；x＜0时，f′(x)＝e x－1＜0，即函数f(x)在x＝0处取得极小值，f(0)＝1，又f(－1)＝1e＋1，f(1)＝e－1，比较得函数f(x)＝e x－1在区间[－1，1]上的最大值是e－1.故选D.5．(2013·福建)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解：－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，(x0，f(x0))是极大值点，那么(－x0，－f(－x0))就是极小值点．故选D.6．(2015·陕西)对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数．．)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误．．的结论是( )A．－1是f(x)的零点B．1是f(x)的极值点C．3是f(x)的极值D．点(2，8)在曲线y＝f(x)上解：由A知a－b＋c＝0；由B知f′(1)＝2a ＋b＝0；对于C，f′(x)＝2ax＋b，令f′(x)＝0可得x＝－b2a，则f⎝⎛⎭⎪⎫－b2a＝3，则4ac－b24a＝3；由D 知4a＋2b＋c＝8.假设A选项错误，则⎩⎪⎨⎪⎧a－b＋c≠0，a≠0，2a＋b＝0，4ac－b24a＝3，4a＋2b＋c＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧a＝5，b＝－10，c＝8.满足题意，故A结论错误．同理易知当B或C或D选项错误时，不符合题意．故选A.7．已知x＝3是函数f(x)＝alnx＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________.解：f′(x)＝ax＋2x－10，由f′(3)＝a3＋6－10＝0得a＝12，经检验满足题设条件．故填12.8．已知圆柱的体积为16πcm3，则当底面半径r＝________cm时，圆柱的表面积最小．解：圆柱的体积为V＝πr2h＝16π⇒r2h＝16，圆柱的表面积S ＝2πrh ＋2πr 2＝32πr＋2πr 2＝2π⎝⎛⎭⎪⎫16r ＋r 2，由S ′＝2π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－16r 2＋2r ＝0，得r ＝2.因此 r(0，2) 2 (2，＋∞)S′－ 0＋S极小值，也是最小值∴当底面半径r ＝2时，圆柱的表面积最小．故填2.9．已知函数f (x )＝x 3－ax ，f ′(1)＝0. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)f ′(x )＝3x 2－a ，由f ′(1)＝3－a ＝0，得a ＝3.(2)∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3. 令f ′(x )＞0，得x ＜－1或x ＞1.所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间是[－1，1]．10．已知函数f (x )＝x 2＋alnx ，a ≠0. (1)若x ＝1是函数f (x )的极值点，求实数a 的值；(2)讨论f (x )的单调性．解：f ′(x )＝2x ＋a x，x ＞0.(1)因为f ′(1)＝0，所以2＋a ＝0，得a ＝－2，经检验，当a ＝－2时，x ＝1是函数f (x )的极值点．(2)①若a ＞0，则f ′(x )＞0恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a ＜0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a2，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a2，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．11．(2014·湖北三市高三期末)某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地AOCB 规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知AB ⊥BC ，OA ∥BC ，AB ＝BC ＝2AO ＝4 km ，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在AB ，BC 上，且一个顶点P 落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到0.1 km 2)．解：以O 为原点，AO 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图)．依题意可设抛物线的方程为 x 2＝2py ，且C (2，4)．∴22＝2p ·4，∴p ＝12.故曲线段OC 的方程为y ＝x 2(0≤x ≤2)．设P (x ，x 2)(0≤x ＜2)，则|PM |＝2＋x ，|PN |＝4－x 2. ∴工业园区的用地面积S ＝|PM |·|PN |＝(2＋x )(4－x 2)＝－x 3－2x 2＋4x ＋8.∴S ′＝－3x 2－4x ＋4，令S ′＝0⇒x 1＝23，x 2＝－2(舍去)，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23时，S ′＞0，S 是x 的增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，S ′＜0，S 是x 的减函数． ∴x ＝23时，S 取到最大值，此时|PM |＝2＋x ＝83，|PN |＝4－x 2＝329，S max ＝83×329＝25627≈9.5(km 2)．答：把工业园区规划成长(PN )为329km ，宽(PM )为83km 时，矩形工业园区的用地面积最大，最大用地面积约为9.5 km 2.(2013·深圳高三测试)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2lnx . (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝4处的切线相互平行，求a 的值；(2)设a ≤0，若f (x )在(0，2]上的最大值小于0，求a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x ，a ∈R ，∴f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x(x ＞0)，依题意，f ′(1)＝f ′(4)，即a －(2a ＋1)＋2＝4a －(2a ＋1)＋12，解得a ＝12.(2)f ′(x )＝（ax －1）（x －2）x(x ＞0)．由a ≤0，x ＞0，得ax －1＜0，在区间(0，2)上，f ′(x )＞0；在区间(2，＋∞)上，f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是(0，2)，单调递减区间是(2，＋∞)．由已知，在(0，2]上有f (x )最大值＜0，f (x )最大值＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln2＝－2a －2＋2ln2，∴－2a －2＋2ln2＜0，解得a ＞ln2－1. 故ln2－1＜a ≤0.§3.3导数的应用(二)1．当f′(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f(x)＝_________x3，当x＝0时，f′(x)＝，当x≠0时，f′(x)＞0，而f(x)＝x3显然在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．2．可导函数求最值的方法f′(x)＝0⇒x＝x1，x2，…，x n，x∈[a，b]．直接比较f(a)，f(b)，f(x1)，…，f(x n)，找出__________和____________即可．在此基础上还应注意：(1)结合____________可减少比较次数．(2)含参数的函数求最值时分类：①按____________分类；②按____________分类．3．实际问题中的导数，常见的有以下几种情形：(1)加速度是速度关于________的导数；(2)线密度是质量关于________的导数；(3)功率是功关于________的导数；(4)瞬时电流是电荷量关于________的导数；(5)水流的瞬时速度是流过的水量关于________的导数；(6)边际成本是成本关于________的导数．4．N型曲线与直线y＝k的位置关系问题如图，方程f(x)＝0有三个根x1，x2，x3时，极大值f(a)＞0且极小值f(b)＜0.曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有一个交点时，见图中的直线①或直线②，极大值f(a)______k或极小值f(b)______k；曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有两个交点时，见图中的直线③或直线④，极大值f(a)______k或极小值f(b)______k；曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有三个交点时，见图中的直线⑤.以上这些问题，常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目．自查自纠：1．02．最小值最大值(1)单调性(2)单调性极值点3．(1)时间(2)长度(3)时间(4)时间(5)时间(6)产量4．＜＞＝＝(2015·厦门模拟)函数f(x)＝x ln x，则f(x)( )A．在(0，＋∞)上单调递增B．在(0，＋∞)上单调递减C．在⎝⎛⎭⎪⎫0，1e上单调递增D．在⎝⎛⎭⎪⎫0，1e上单调递减解：因为函数f(x)＝x ln x，所以f′(x)＝ln x ＋1，令f′(x)>0，解得x>1e，则函数f(x)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1e，＋∞；令f′(x)<0，解得0<x<1e，则函数f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1e.故选D.(2015·长春调研)已知函数f(x)＝12x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：f′(x)＝32x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．故选A.若函数f(x)＝a(x3－x)的递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－33，33，则实数a的取值范围是( ) A．(0，＋∞) B．(－1，0)C．(1，＋∞) D．(0，1)解：∵f′(x)＝a(3x2－1)＝3a⎝⎛⎭⎪⎫x＋33⎝⎛⎭⎪⎫x－33，∴当－33＜x＜33时，要使f′(x)＜0，必须有a＞0.故选A.已知f(x)＝sin x＋2x，x∈R，且f(2a)＜f(a－1)，则实数a的取值范围是________．解：∵f ′(x )＝cos x ＋2＞0恒成立，∴f (x )在R 上单调递增．∵f (2a )＜f (a －1)，∴2a ＜a －1，得a ＜－1.故填(－∞，－1)．(2015·成都一诊)已知函数f (x )＝3xa－2x 2＋lnx (a ＞0)．若函数f (x )在[1，2]上为单调函数，则实数a 的取值范围是________．解：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a－4x＋1x ≤0在[1，2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x在[1，2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1，2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a ＞0，所以0＜a ≤25或a ≥1.故填⎝ ⎛⎦⎥⎤0，25∪[1，＋∞)．类型一函数单调性的进一步讨论已知函数f (x )＝ax 3－3x 2，a ∈R . (1)若a ＞0，讨论函数f (x )的单调性； (2)若函数f (x )在区间[0，1]上单调递减，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ，若a ＞0，令f ′(x )＞0，得x ＜0或x ＞2a，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减． (2)∵函数f (x )在区间[0，1]上单调递减，∴f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)≤0在[0，1]上恒成立．∵3x ≥0，∴ax －2≤0在[0，1]上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·0－2≤0，a ·1－2≤0，解得a ≤2.点拨：①函数f (x )在限定区间是单调函数，求参数范围的问题，可以转化为恒成立问题求解；而存在单调区间问题，可转化为不等式有解问题．②对导数进行研究时，不可忽略原函数的定义域，如y ＝ln x 中易忽略“x ＞0”．若函数f (x )＝ax 2－x 在[0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 解：∵f ′(x )＝2ax －1≤0在[0，1]内恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ·0－1≤0，2a ·1－1≤0，解得a ≤12.故选C.类型二极值与最值的进一步讨论已知函数f (x )＝x －1＋a ex (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．解：(1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－a ex .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，得f ′(1)＝0，即1－ae＝0，解得a ＝e . (2)f ′(x )＝1－a ex ，①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值．②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，即x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，lna )上单调递减，在(lna ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．点拨：本题要求掌握运用导数研究函数的单调性、极值的一般步骤．分类与整合思想是解这类题目常用的数学思想方法，注意：①分类标准统一，层次分明；②不重不漏．(2015·北京海淀区检测)已知函数f (x )＝x 2＋2a 3x＋1，其中a ＞0.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1平行，求a 的值；(2)求函数f (x )在区间[1，2]上的最小值．。

高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题含答案

高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题含答案一、导数及其应用多选题1．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（）A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点【答案】ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确；对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解，令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解，则sin xxa e -=在()π,π-上恰有一个解，即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e -'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=，当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为3423204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为42204g e ππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭，而()()()0,0,00g g g ππ-===，作出()sinxg x e -=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinx g x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点，即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确；对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x xa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e--'=，()π,πx ∈-，令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=，当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以422a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当422a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确；对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数）【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥，因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，所以()g x 在R 有且仅有一个零点，即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数，因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.3．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<，令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小.故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.4．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断；对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断；对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x -'=， (]0,x π∈，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <，所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<，所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<，所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确；当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误；由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得：所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1，所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=，从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.5．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=，()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增，所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ，在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.6．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x-'=，令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根，也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误；对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立，故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞，恒成立，也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.7．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（）A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥B ．若23a b e a e b +=+，则a b >C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．2ln a a bb e e-<恒成立【答案】AD【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误. 【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b +=此时1+→a b ，故A 错误.B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确 C. ()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a b b a ，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e；所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.8．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（）A ．21a a C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果. 【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确；C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->，所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n n a a +->，则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.。

高考数学一轮复习练习一元函数的导数及其应用

一元函数的导数及其应用(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020福建福州模拟,理7)已知函数f (x )为偶函数,当x<0时,f (x )=x 2-ln(-x ),则曲线y=f (x )在x=1处的切线方程为( ) A.x-y=0 B.x-y-2=0 C.x+y-2=0 D.3x-y-2=02.设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f'(x ),若函数f (x )在x=1处取得极大值,则函数y=-xf'(x )的图像可能是( )3.已知函数f (x )=x+1,g (x )=ln x ,若f (x 1)=g (x 2),则x 2-x 1的最小值为( ) A.1 B.2+ln 2 C.2-ln 2 D.24.已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足xf'(x )-f (x )<0,且f (2)=2,则f (e x )-e x >0的解集是( )A.(-∞,ln 2)B.(ln 2,+∞)C.(0,e 2)D.(e 2,+∞) 5.(2020北京房山区二模,5)函数f (x )=e x -x 2的零点个数为( )A.0B.1C.2D.36.(2020山东青岛5月模拟,8)已知函数f (x )=lnx x 2,若f (x )<m-1x2在(0,+∞)上恒成立,e 为自然对数的底数,则实数m 的取值范围是( ) A.m>e B.m>e2 C.m>1D.m>√e7.已知函数f (x )=x 2+|x-a|,g (x )=(2a-1)x+a ln x ,若函数y=f (x )与函数y=g (x )的图像恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围为( ) A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(0,+∞)D.(-∞,0)8.(2020河南新乡三模,理12)已知函数f (x )=x 2-ax (x ∈[1e ,e])与g (x )=e x 的图像上存在两对关于直线y=x 对称的点,则实数a 的取值范围是( ) A.[e -1e ,e] B.(1,e -1e ] C.[1,e -1e ]D.[1,e +1e ]二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2020山东潍坊临朐模拟二,12)已知函数f (x )=x ln x+x 2,x 0是函数f (x )的极值点,以下结论中正确的是( ) A.0<x 0<1eB.x 0>1eC.f (x 0)+2x 0<0D.f (x 0)+2x 0>010.(2020山东聊城二模,10)下列关于函数f (x )=x 3-3x 2+2x 的叙述正确的是( ) A.函数f (x )有三个零点B.点(1,0)是函数f (x )图像的对称中心C.函数f (x )的极大值点为x=1-√33D.存在实数a ,使得函数g (x )=[f (x )]2+af (x )在R 上为增函数11.(2020海南天一大联考第三次模拟,12)已知函数f (x )=x 3+ax+b ,其中a ,b ∈R ,则下列选项中的条件使得f (x )仅有一个零点的有( ) A.a012.(2020山东师大附中月考,12)设函数f (x )={|lnx |,x >0,e x (x +1),x ≤0,若方程[f (x )]2-af (x )+116=0有六个不等的实数根,则实数a 可能的取值是( )A.12B.23C.1D.2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020山东、海南两省4月模拟,13)函数f (x )=alnxe x 在点P (1,f (1))处的切线与直线2x+y-3=0垂直,则a= .14.设f (x )=e x (ln x-a ),若函数f (x )在区间1e,e 上单调递减,则实数a 的取值范围为 .15.已知函数f (x )=log 2x ,g (x )=√x +√a -x (a>0),若对∀x 1∈{x|g (x )=√x +√a -x },∃x 2∈[4,16],使g (x 1)=f (x 2)成立,则实数a 的取值范围是 .16.已知函数f (x )=2ln x ,g (x )=ax 2-x-12(a>0).若直线y=2x-b 与函数y=f (x ),y=g (x )的图像均相切,则a 的值为 ;若总存在直线与函数y=f (x ),y=g (x )的图像均相切,则a 的取值范围是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020河南郑州质量预测二,理21)已知函数f (x )=lnx a ,g (x )=x+1x(x>0). (1)当a=1时,求曲线y=f (x )g (x )在x=1处的切线方程; (2)讨论函数F (x )=f (x )-1g (x )在(0,+∞)上的单调性.18.(12分)(2020河南开封三模,理20)已知函数f (x )=ax e x -ln x+b (a ,b ∈R )在x=1处的切线方程为y=(2e -1)x-e . (1)求a ,b 值;(2)若f (x )≥mx 恒成立,求实数m 的取值范围.19.(12分)(2020陕西宝鸡三模,文21)已知函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,a∈R,f'(x)为f(x)的导函数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若g(x)=f(x)+a+1,当a>12时,求证:g(x)有两个零点.20.(12分)(2020辽宁大连一中6月模拟,文20)已知函数f(x)=x ln x-1,g(x)=(k-1)x-k(k∈R).(1)若直线y=g(x)是曲线y=f(x)的一条切线,求k的值;(2)当x>1时,直线y=g(x)与曲线y=f(x)+1无交点,求整数k的最大值.21.(12分)(2020天津,20)已知函数f(x)=x3+k ln x(k∈R),f'(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,(ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(ⅱ)求函数g(x)=f(x)-f'(x)+9x的单调区间和极值.(2)当k≥-3时,求证:对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有f'(x1)+f'(x2)2>f(x1)-f(x2)x1-x2.22.(12分)(2020浙江,22)已知1<a≤2,函数f(x)=e x-x-a,其中e=2.718 28…是自然对数的底数.(1)证明:函数y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点.(2)记x0为函数y=f(x)在(0,+∞)上的零点,证明:①√a-1≤x0≤√2(a-1);②x0f(e x0)≥(e-1)(a-1)a.参考答案单元质检卷三一元函数的导数及其应用1.A当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-ln x,又函数f(x)为偶函数,所以f(x)=x2-ln x,f(1)=1,所以,f'(1)=1,故切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.故选A.f'(x)=2x-1x2.B因为函数f(x)在R上可导且f(x)在x=1处取得极大值,所以当x>1时,f'(x)<0;当x=1时,f'(x)=0;当x<1时,f'(x)>0.所以当x<0时,y=-xf'(x)>0,当0<x<1时,y=-xf'(x)<0,当x=0或x=1时,y=-xf'(x)=0,当x>1时,y=-xf'(x)>0,可知选项B符合题意.故选B.3.D设f(x1)=g(x2)=t,所以x1=t-1,x2=e t,所以x2-x1=e t-t+1,令h(t)=e t-t+1,则h'(t)=e t-1,所以h(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以h(t)min=h(0)=2.4.A 令g (x )=f (x )x ,g'(x )=xf '(x )-f (x )x 2<0,则g (x )在(0,+∞)上单调递减,且g (2)=f (2)2=1,故f (e x )-ex>0等价为f (e x )e x>f (2)2,即g (e x )>g (2),故e x <2,即x<ln 2,则所求的解集为(-∞,ln 2).故选A .5.B 令f (x )=e x -x 2=0,得e x =x 2,分别画出y=e x 和y=x 2的图像,如图所示,当x<0时,函数y=e x 和y=x 2有一个交点. 当x>0时,f'(x )=e x -2x ,令g (x )=e x -2x ,则g'(x )=e x -2,当g'(x )=0时,可得x=ln 2.当x ∈(0,ln 2)时,g'(x )<0,g (x )单调递减,当x ∈(ln 2,+∞)时,g'(x )>0,g (x )单调递增.所以g (x )min =g (ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增.又因为f (0)=1,所以当x ∈(0,+∞)时,f (x )>0.故f (x )在(0,+∞)上无零点. 综上,函数f (x )=e x -x 2的零点个数为1.故选B . 6.B 若f (x )<m-1x 2在(0,+∞)上恒成立,即f (x )+1x 2<m 在(0,+∞)上恒成立,令g (x )=f (x )+1x 2=lnx+1x 2,故只需g (x )max <m 即可,g'(x )=1x ·x 2-(lnx+1)·2x x 4=-2lnx -1x 3,令g'(x )=0,得x=e-12,当0<x<e-12时,g'(x )>0;当x>e-12时,g'(x )<0,所以g (x )在(0,e-12)上单调递增,在(e -12,+∞)上单调递减,所以g (x )max =g (e-12)=e 2,所以实数m 的取值范围是m>e2. 故选B . 7.A当a ≠0时函数g (x )的定义域为(0,+∞),所以只研究这两个函数在x ∈(0,+∞)上的图像,当a ≤0时,f (x )单调递增,又g (x )单调递减,两者的图像最多只有一个交点,不符合题意.当a>0时,设φ(x )=f (x )-g (x ),即φ(x )={x 2-2ax -alnx +a ,0<x <a ,x 2+(2-2a )x -alnx -a ,x ≥a ,因为φ'(x )={2(x -a )-ax <0,0<x <a ,2(x -a )+2x -ax>0,x ≥a ,所以φ(x )在(0,a )上单调递减,(a ,+∞)上单调递增,所以φ(x )min =-a 2-a ln a+a ,因为x →0,x →+∞时,φ(x )→+∞,所以φ(x )有两个零点,当且仅当φ(x )min =-a 2-a ln a+a<0,解得a>1,即a 的取值范围为(1,+∞).8.B ∵f (x )与g (x )的图像在x ∈[1e ,e]上存在两对关于直线y=x 对称的点,则函数f (x )与函数φ(x )=ln x 的图像在x ∈[1e ,e]上有两个交点,∴ln x=x 2-ax 在x ∈[1e ,e]上有两个实数解,即a=x-lnx x 在x ∈[1e ,e]上有两个实数解,令h (x )=x-lnxx ,则h'(x )=x 2+lnx -1x 2.令k (x )=x 2+ln x-1,k (x )在x ∈[1e ,e]上单调递增,且k (1)=0,∴当x ∈[1e ,1]时,h'(x )<0,h (x )单调递减;当x ∈(1,e]时,h'(x )>0,h (x )单调递增.∴h (x )min =h (1)=1.对g 1e =e +1e ,g (e)=e -1e ,∴a 的取值范围是1,e -1e . 9.AD ∵函数f (x )=x ln x+x 2(x>0),∴f'(x )=ln x+1+2x.∵x 0是函数f (x )的极值点, ∴f'(x 0)=0,即ln x 0+1+2x 0=0,∵f'(x )在(0,+∞)上单调递增,且f'(1e )=2e >0,又x →0,f'(x )→-∞,∴0<x 0<1e ,即选项A 正确,选项B 不正确;f (x 0)+2x 0=x 0ln x 0+x 02+2x 0=x 0(ln x 0+x 0+2)=x 0(1-x 0)>0,即选项D 正确,选项C 不正确.故选AD .10.ABC 令f (x )=0,即x (x-1)(x-2)=0,解得x=0或x=1或x=2,故函数f (x )有三个零点,故选项A 正确;因为f (1+x )+f (1-x )=0,所以点(1,0)是函数f (x )图像的对称中心,故选项B 正确;令f'(x )=3x 2-6x+2=0,解得x=3±√33,故f (x )在-∞,3-√33上单调递增,在3-√33,3+√33上单调递减,在3+√33,+∞上单调递增,函数f (x )的极大值点为x=1-√33,故选项C 正确;因为f (x )在R 上不单调,所以不存在实数a ,使得函数g (x )=[f (x )]2+af (x )在R 上为增函数,故D 错误.故选ABC .11.BD 由题知f'(x )=3x 2+a.对于A,由f (x )是奇函数,知b=0,因为a<0,所以f (x )存在两个极值点,易知f (x )有三个零点,故A 错误;对于B,因为b 2+1≥1,所以a ≥0,f'(x )≥0,所以f (x )单调递增,则f (x )仅有一个零点,故B 正确;对于C,若取b=2,则f (x )的极大值为f (-1)=4,极小值为f (1)=0,此时f (x )有两个零点,故C 错误;对于D,f (x )的极大值为f -√-a3=b-2a3√-a3,极小值为f√-a 3=b+2a 3√-a3.因为a<0,所以b2+4a 327>b 2+a 36>0,所以b 2>-4a 327,则b>-2a 3√-a3或b<2a3√-a3,从而f -√-a3>0,f √-a3>0或f -√-a3<0,f √-a3<0,可知f (x )仅有一个零点,故D 正确.12.BC 当x ≤0时,f (x )=e x (x+1),则f'(x )=e x (x+1)+e x =e x (x+2).由f'(x )<0得,x+2<0,即x<-2,此时f (x )单调递减, 由f'(x )>0得,x+2>0,即-2<x ≤0,此时f (x )单调递增,即当x=-2时,f (x )取得极小值f (-2)=-1e 2,作出f (x )的图像如图:由图像可知当0<f (x )≤1时,有三个不同的x 的取值与f (x )对应. 设t=f (x ),因为方程[f (x )]2-af (x )+116=0有六个不等的实数根, 所以t 2-at+116=0在t ∈(0,1]内有两个不等的实数根, 设g (t )=t 2-at+116.则{g (0)>0,g (1)≥0,Δ>0,0<a 2<1,即{116>0,1-a +116≥0,a 2-4×116>0,0<a 2<1, 解得12<a ≤1716.结合选项可知实数a 可能是23或1,故选BC .13.e2由题意,得f'(x)=ax ex-ae x lnx(e x)2=ax-alnxe x.又切线斜率k=12.∴f'(1)=ae=12,∴a=e2.14.[e-1,+∞)由题意可得f'(x)=e x ln x+1x -a≤0在1e,e上恒成立.因为e x>0,所以只需lnx+1x-a≤0,即a≥ln x+1x在1e,e上恒成立.令g(x)=ln x+1x.因为g'(x)=1x−1x2=x-1x2.由g'(x)=0,得x=1.则g(x)在1e,1上单调递减,在(1,e)上单调递增,g1e =ln1e+e=e-1,g(e)=1+1e,因为e-1>1+1e,所以g(x)max=g1e=e-1.故a的取值范围为[e-1,+∞).15.[4,8]结合题意可得log24=2≤f(x)≤log216=4,要使得对∀x1∈{x|g(x)=√x+√a-x},∃x2∈[4,16],使g(x1)=f(x2)成立,则要求g(x)的值域在[2,4]上,对g(x)求导得g'(x)=√a-x-√x2√x·√a-x,令g'(x)>0,解得x<a2,结合该函数的定义域为[0,a],可知g(x)在0,a2上单调递增,在a2,a上单调递减,故g(x)在x=a2取到最大值,在x=0取到最小值,所以需要满足g a2≤4,且g(0)≥2,得到{√a2+√a2≤4,√a≥2,解得a∈[4,8].16.32[32,+∞)由题意,f'(x)=2x,g'(x)=2ax-1,因为直线y=2x-b与函数y=f(x),y=g(x)的图像均相切,所以{2x=2,2ax-1=2,解得x=1,a=32.设直线l与y=f(x)的图像相切于点P1(x1,y1),x1>0,则切线方程为y-2ln x1=2x1(x-x1),代入g(x)=ax2-x-12(a>0),得2x1x-2+2ln x1=ax2-x-1 2,即ax2-(1+2x1)x+(32-2ln x1)=0.所以Δ=(1+2x1)2-4a×(32-2ln x1)=0.所以a=(x 1+2)22x 12(3-4ln x 1)(x 1>0). 令y=(x 1+2)22x 12(3-4ln x 1)(x 1>0), 则y'=2(x 1+2)(4ln x 1+x 1-1)x 13(3-4ln x 1)2.令y'=0,解得x 1=1.当x 1>1时,y'>0,y 单调递增,当0<x 1<1时,y'<0,y 单调递减,因此y ≥(1+2)22×12(3-4ln1)=32,即a ≥32.17.解 (1)当a=1时,y=f (x )g (x )=xlnxx+1,y'=(1+lnx )(x+1)-xlnx(x+1)2=lnx+x+1(x+1)2,所以y'|x=1=ln1+1+1(1+1)2=12,即当x=1时,切线的斜率为12,又切线过点(1,0),所以切线方程为x-2y-1=0.(2)f'(x )=1ax ,(1g (x ))'=1(x+1)2,F'(x )=f'(x )-(1g (x ))'=1ax −1(x+1)2=(x+1)2-ax ax (x+1)2,当a<0时,F'(x )<0,函数F (x )在(0,+∞)上单调递减; 当a>0时,令h (x )=1a x 2+(2a -1)x+1a ,Δ=1-4a ,当Δ≤0,即0<a ≤4时,h (x )≥0,此时F'(x )≥0,函数F (x )在(0,+∞)上单调递增; 当Δ>0,即a>4时,方程1a x 2+(2a -1)x+1a =0有两个不等实数根x 1,x 2,设x 1<x 2,则x 1=a -2-√a 2-4a 2,x 2=a -2+√a 2-4a 2,所以0<x 1<1<x 2,此时,函数F (x )在(0,x 1),(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减. 综上所述,当a<0时,F (x )的单调递减区间是(0,+∞); 当a>4时,F (x )的单调递减区间是(a -2-√a 2-4a 2,a -2+√a 2-4a2),单调递增区间是0,a -2-√a 2-4a2,a -2+√a 2-4a2,+∞.当0<a ≤4时,F (x )的单调递增区间是(0,+∞). 18.解 (1)f'(x )=a e x +ax e x -1x .因为函数f (x )=ax e x -ln x+b 在x=1处的切线为y=(2e -1)x-e, 所以{f (1)=ae +b =e -1,f '(1)=2ae -1=2e -1,解得a=1,b=-1.(2)由f (x )≥mx 得,x e x-ln x-1≥mx (x>0),即m ≤xe x -lnx -1x. 令φ(x )=xe x -lnx -1x ,则φ'(x )=x 2e x +lnxx 2.令h (x )=x 2e x +ln x ,h (x )在(0,+∞)上单调递增,则h 1e=1e 2e 1e -1<e 2e 2-1=0,h (1)=e >0.所以h (x )在1e ,1上存在零点x 0,即h (x 0)=x 02e x 0+ln x 0=0,即x 0e x 0=-ln x0x 0=ln 1x 0(eln1x 0).由于y=x e x 在(0,+∞)上单调递增,故x 0=ln 1x 0=-ln x 0,即e x 0=1x 0.因为φ(x )在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+∞)上单调递增,所以φ(x )min =x 0e x 0-ln x 0-1x 0=1+x 0-1x 0=1. 所以m ≤1.实数m 的取值范围为(-∞,1]. 19.(1)解 f'(x )=1x +2ax-(2a+1)=(x -1)(2ax -1)x(x>0). ①当a ≤0时,令f'(x )>0,得0<x<1;令f'(x )<0,得x>1.所以f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.②当a>0时,令f'(x )=0,得x 1=1,x 2=12a . (ⅰ)当a=12时,f'(x )=(x -1)2x ≥0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增.(ⅱ)当a>12时,令f'(x )>0,得0<x<12a 或x>1; 令f'(x )<0,得12a <x<1.所以f (x )在0,12a 和(1,+∞)上单调递增,在12a ,1上单调递减. (ⅲ)当0<a<12时,令f'(x )>0,得0<x<1或x>12a ; 令f'(x )<0,得1<x<12a .所以f (x )在(0,1)和12a ,+∞上单调递增,在1,12a 上单调递减.综上,当a ≤0时,f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; 当a=12时,f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a>12时,f (x )在0,12a 和(1,+∞)上单调递增,在12a ,1上单调递减; 当0<a<12时,f (x )在(0,1)和12a ,+∞上单调递增,在1,12a 上单调递减.(2)证明由(1)知,当a>12时,f (x )在0,12a 和(1,+∞)上单调递增,在12a ,1上单调递减.则g (x )在0,12a 和(1,+∞)上单调递增,在12a ,1上单调递减.因为g (1)=0,所以1是函数g (x )的一个零点,且g 12a >0.当x ∈0,12a 时,取0<x 0<e -a-1且x 0<12a ,则a x 02-(2a+1)x 0+a+1=a x 02-x 0-2ax 0+a+1<a+1,g (x 0)<-a-1+a+1=0.所以g 12a ·g (x 0)<0,所以g (x )在0,12a 上恰有一个零点,所以g (x )在区间(0,+∞)上有两个零点.20.解 (1)由题意知f'(x )=ln x+1(x>0),设切点为P (x 0,x 0ln x 0-1),在点P 处的切线方程为y-(x 0ln x 0-1)=(1+ln x 0)(x-x 0).整理得y=(1+ln x 0)x-(x 0+1).由{1+ln x 0=k -1,k =x 0+1,即{ln x 0=k -2,x 0=k -1,得ln x 0=x 0-1.令h (x )=ln x-x+1,则h'(x )=1x -1=1-xx .当0<x<1时,h'(x )>0,h (x )在(0,1)上单调递增; 当x>1时,h'(x )<0,h (x )在(1,+∞)上单调递减. 所以h (x )的最大值为h (1)=0,即x 0=1,故k=2.(2)令F (x )=f (x )-g (x )=x ln x-(k-1)x+k ,则F'(x )=ln x+2-k=ln x-(k-2)(x>1). ①当k-2≤0时,F'(x )>0,所以f (x )在(1,+∞)上单调递增.所以F (x )>F (1)=1,即F (x )在(1,+∞)上无零点. ②当k-2>0时,由F'(x )=0,得x=e k-2.当1<x<e k-2时,F'(x )<0,所以F (x )在(1,e k-2)上单调递减; 当x>e k-2时,F'(x )>0,所以F (x )在(e k-2,+∞)上单调递增. F (x )的最小值为F (e k-2)=(k-1)e k-2-k (e k-2-1)=k-e k-2.令m (k )=k-e k-2,则m'(k )=1-e k-2<0,所以m (k )在(2,+∞)上单调递减,而m (2)=2-1=1,m (3)=3-e >0,m (4)=4-e 2<0,因此k 的最大值为3.21.(1)解 (ⅰ)当k=6时,f (x )=x 3+6ln x ,故f'(x )=3x 2+6x .可得f (1)=1,f'(1)=9,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-1=9(x-1),即9x-y-8=0.(ⅱ)依题意,g (x )=x 3-3x 2+6ln x+3x ,x ∈(0,+∞).从而可得g'(x )=3x 2-6x+6x −3x 2,整理可得g'(x )=3(x -1)3(x+1)x 2.令g'(x )=0,解得x=1.当x 变化时,g'(x ),g (x )的变化情况如下表:所以,函数g (x )的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);g (x )的极小值为g (1)=1,无极大值.(2)证明由f (x )=x 3+k ln x ,得f'(x )=3x 2+k x .对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,令x1x 2=t (t>1),则(x 1-x 2)[f'(x 1)+f'(x 2)]-2[f (x 1)-f (x 2)]=(x 1-x 2)3x 12+k x 1+3x 22+k x 2-2x 13−x 23+k ln x1x 2=x 13−x 23-3x 12x 2+3x 1x 22+k x 1x 2−x 2x 1-2k ln x 1x 2=x 23(t 3-3t 2+3t-1)+k t-1t -2ln t .①令h (x )=x-1x -2ln x ,x ∈(1,+∞). 当x>1时,h'(x )=1+1x 2−2x=(1-1x )2>0,由此可得h (x )在(1,+∞)上单调递增, 所以当t>1时,h (t )>h (1),即t-1t -2ln t>0. 因为x 2≥1,t 3-3t 2+3t-1=(t-1)3>0,k ≥-3,所以,x 23(t 3-3t 2+3t-1)+k t-1t -2ln t ≥(t 3-3t 2+3t-1)-3t-1t -2ln t =t 3-3t 2+6ln t+3t -1.② 由(1)(ⅱ)可知,当t>1时,g (t )>g (1),即t 3-3t 2+6ln t+3t >1,故t 3-3t 2+6ln t+3t -1>0. ③由①②③可得(x 1-x 2)[f'(x 1)+f'(x 2)]-2[f (x 1)-f (x 2)]>0. 所以,当k ≥-3时,对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,有f '(x 1)+f '(x 2)2>f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2. 22.证明 (1)因为f (0)=1-a<0,f (2)=e 2-2-a ≥e 2-4>0,所以y=f (x )在(0,+∞)上存在零点.因为f'(x )=e x -1,所以当x>0时,f'(x )>0,故函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,所以函数y=f (x )在(0,+∞)上有唯一零点.(2)①令g(x)=e x-1x2-x-1(x≥0),g'(x)=e x-x-1=f(x)+a-1,由①知函数2g'(x)在[0,+∞)上单调递增,故当x>0时,g'(x)>g'(0)=0,所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递增,故g(x)≥g(0)=0.由g(√2(a-1))≥0,得f(√2(a-1))=e√2(a-1)−√2(a-1)-a≥0=f(x0), 因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,故√2(a-1)≥x0.令h(x)=e x-x2-x-1(0≤x≤1),h'(x)=e x-2x-1,令h1(x)=e x-2x-1(0≤x≤1),h'1(x)=e x-2,所以故当0<x<1时,h1(x)<0,即h'(x)<0,所以h(x)在[0,1]上单调递减,因此当0≤x≤1时,h(x)≤h(0)=0.由h(√a-1)≤0,得f(√a-1)=e√a-1−√a-1-a≤0=f(x0),因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,故√a-1≤x0.综上,√a-1≤x0≤√2(a-1).②令u(x)=e x-(e-1)x-1,u'(x)=e x-(e-1),所以当x>1时,u'(x)>0,故函数u(x)在区间[1,+∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)=0.由e x0=x0+a可得x0f(e x0)=x0f(x0+a)=(e a-1)x02+a(e a-2)x0≥(e-1)a x02,由x0≥√a-1,得x0f(e x0)≥(e-1)(a-1)a.。

高考数学第一轮复习提分专练习题：导数的综合应用

高考数学第一轮复习提分专练习题：导数的综合应用学无止境，高中是人生生长变化最快的阶段，所以应该用心去想去做好每件事，查字典数学网为大家整理了2021年高考数学第一轮温习提分专练习题：导数的综合运用,希望可以协助到更多同窗!一、选择题1.设f(x)，g(x)区分是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)+f(x)g(x)0且g(3)=0，那么不等式f(x)g(x)0的解集是()A.(-3,0)(3，+)B.(-3,0)(0,3)C.(-，-3)(3，+)D.(-，-3)(0,3)答案：D 解题思绪：由于f(x)，g(x)区分是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)=f(x)g(x)为奇函数，当x0时，h(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)0，所以h(x)在(-，0)为单调增函数，h(-3)=-h(3)=0，所以当x0时，h(x)0=h(-3)，解得x-3，当x0时，h(x)0，解得-30时h(x)0的x的取值范围为(0,3)，应选D.2.假定f(x)=x2-2x-4ln x，不等式f(x)0的解集记为p，关于x的不等式x2+(a-1)x-a0的解集记为q，且p是q的充沛不用要条件，那么实数a的取值范围是()A.(-2，-1]B.[-2，-1]C. D.[-2，+)答案：D 解题思绪：关于命题p： f(x)=x2-2x-4ln x，f(x)=2x-2-=，由f(x)0，得 x2.由p是q的充沛不用要条件知，命题p的解集(2，+)是命题q不等式解集的子集，关于命题q：x2+(a-1)x-a0(x+a)(x-1)0，当a-1时，解集为(-，-a)(1，+)，显然契合题意;当a-1时，解集为(-，1)(-a，+)，那么由题意得-2-1.综上，实数a的取值范围是[-2，+)，应选D.3.定义在R上的函数f(x)，g(x)满足=ax，且f(x)g(x)A.7B.6C.5D.4答案：B 解题思绪：由f(x)g(x)4.(河南顺应测试)函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x(-，0]时，f(x)=e-x-ex2+a，那么函数f(x)在x=1处的切线方程为()A.x+y=0B.ex-y+1-e=0C.ex+y-1-e=0D.x-y=0答案：B 命题立意：此题考察了函数的奇偶性及函数的导数的运用，难度中等.解题思绪：函数f(x)是R上的奇函数，f(x)=-f(-x)，且f(0)=1+a=0，得a=-1，设x0，那么-x0，那么f(x)=-f(-x)=-(ex-ex2-1)=-ex+ex2+1，且f(1)=1，求导可得f(x)=-ex+2ex，那么f(1)=e，f(x)在x=1处的切线方程y-1=e(x-1)，即得ex-y+1-e=0，故应选B.易错点拨：要留意函数中的隐含条件的开掘，特别是一些变量的值及函数图象上的特殊点，防止出现遗漏性错误.5.设二次函数f(x)=ax2-4bx+c，对xR，恒有f(x)0，其导数满足f(0)0，那么的最大值为()A. B. C.0 D.1答案：C 解题思绪：此题考察基本不等式的运用.由于f(x)0恒成立，所以a0且=16b2-4ac0.又由于f(x)=2ax-4b，而f(0)0，所以b0，那么==2-，又因4a+c8b，所以2，故2-2=0，当且仅当4a=c，ac=4b2，即当a=b，c=4b时，取到最大值，其值为0.技巧点拨：在运用均值不等式处置效果时，一定要留意一正二定三等，特别是要留意等号成立的条件能否满足.6.函数f(x)，g(x)区分是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如下图，设函数h(x)=f(x)-g(x)，那么()A.h(1)B.h(1)C.h(0)D.h(0)答案：D 解题思绪：此题考察函数及导函数的图象.取特殊值，令f(x)=x2，g(x)=x3，那么h(0)二、填空题7.关于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)，给出定义：设f(x)是函数y=f(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，假定方程f(x)=0有实数解x0，那么称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的拐点.某同窗经过探求发现：任何一个三次函数都有拐点任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.依据这一发现，那么函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为________.答案：解题思绪：由f(x)=x3-x2+3x-，得f(x)=x2-x+3，f(x)=2x-1，由f(x)=0，解得x=，且f=1，所以此函数的对称中心为.8.设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).假定对一切的x0都有f(x)ax 成立，那么实数a的取值范围为________.答案：(-，1] 解题思绪：令g(x)=(1+x)ln(1+x)-ax，对函数g(x)求导数g(x)=ln(1+x)+1-a，令g(x)=0，解得x=ea-1-1.当a1时，对一切x0，g(x)0，所以g(x)在[0，+)上是增函数.又g(0)=0，所以对x0，有g(x)0，即当a1时，关于一切x0，都有f(x)ax.当a1时，关于0又g(0)=0，所以对0所以，当a1时，不是对一切的x0都有f(x)ax成立.综上，a的取值范围为(-，1].三、解答题9.函数f(x)=x3-ax+1.(1)当x=1时，f(x)取得极值，求a的值;(2)求f(x)在[0,1]上的最小值;(3)假定对恣意mR，直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值范围.解析：(1)由于f(x)=x2-a，当x=1时，f(x)取得极值，所以f(1)=1-a=0，a=1.又当x(-1,1)时，f(x)当x(1，+)时，f(x)0，所以f(x)在x=1处取得极小值，即a=1时契合题意.(2)当a0时，f(x)0对x(0,1)恒成立，所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在x=0处取得最小值f(0)=1.当a0时，令f(x)=x2-a=0，x1=-，x2=，当0当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减;当x(，1)时，f(x)0，f(x)单调递增.所以f(x)在x=处取得最小值f()=1-.当a1时，1.x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-a.综上所述，当a0时，f(x)在x=0处取得最小值f(0)=1;当0当a1时，f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-a.(3)由于mR，直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线，所以f(x)=x2-a-1对xR恒成立，只需f(x)=x2-a的最小值大于-1即可.而f(x)=x2-a的最小值为f(0)=-a，所以-a-1，即a1.故a的取值范围是(-，1).10.函数f(x)=x-ax2-ln(1+x)，其中aR.(1)假定x=2是f(x)的极值点，求a的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)假定f(x)在[0，+)上的最大值是0，求a的取值范围. 命题立意：此题考察导数与函数的极值、单调性、最值等知识，考察考生剖析效果、处置效果的才干，考察函数与方程、分类整合等数学思想方法.(1)依据可导函数在一定点处取得极值的必要条件是其导数等于零，得出关于a的方程即可求出a，再依据极值点两侧导数值异号停止检验;(2)讨论导数的符号，就参数a的取值状况停止分类讨论即可;(3)依据函数的单调性和极值点，以及函数最大值的概念分状况处置.解析：(1)f(x)=，x(-1，+).依题意，得f(2)=0，解得a=.经检验，a=时，契合题意.(2)当a=0时，f(x)=，x(-1，+).故f(x)的单调增区间是(0，+)，单调减区间是(-1,0).当a0时，令f(x)=0，得x1=0，x2=-1，当0f(x)的单调增区间是，单调减区间是(-1,0).当a=1时，f(x)的单调减区间是(-1，+).当a1时，-11时，f(x)的单调增区间是-1,0，单调减区间是(0，+).(3)由(2)知a0时，f(x)在(0，+)上单调递增，由f(0)=0知不合题意.当00，f(x)在区间上递增可知，ff(0)=0知不合题意.当a1时，f(x)在(0，+)单调递减，可得f(x)在[0，+)上的最大值是f(0)=0，契合题意.f(x)在[0，+)上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+).11.设函数f(x)=xln x(x0).(1)求函数f(x)的最小值;(2)设F(x)=ax2+f(x)(aR)，讨论函数F(x)的单调性;(3)斜率为k的直线与曲线y=f(x)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，令f(x)=0，得x=.当x时，f(x)当x时，f(x)0.当x=时，f(x)min=ln=-.(2)F(x)=ax2+ln x+1(x0)，F(x)=2ax+=(x0).当a0时，恒有F(x)0，F(x)在(0，+)上是增函数; 当a0时，令F(x)0，得2ax2+10，解得0.综上，当a0时，F(x)在(0，+)上是增函数;当a0时，F(x)在上单调递增，在上单调递减. (3)k==.要证x11知ln t0，故等价于证ln t1).(*)设g(t)=t-1-ln t(t1)，那么g(t)=1-1)，故g(t)在[1，+)上是增函数.当t1时，g(t)=t-1-ln tg(1)=0，即t-1ln t(t1).设h(t)=tln t-(t-1)(t1)，那么h(t)=ln t1)，故h(t)在[1，+)上是增函数.当t1时，h(t)=tln t-(t-1)h(1)=0，即t-11).由知(*)成立，得证.12.函数f(x)=ln x-px+1.(1)求函数f(x)的极值点;(2)假定对恣意的x0，恒有f(x)0，求p的取值范围;(3)证明：+++(nN，n2).解析：(1)由f(x)的定义域为(0，+)，f(x)=-p=， x0，当p0时，f(x)0， f(x)在(0，+)上单调递增，f(x)无极值点;当p0时，令f(x)=0， x=(0，+)，f(x)，f(x)随x的变化状况如下表：x f(x) + 0 - f(x) 增极大减从上表可以看出：当p0时，f(x)有独一的极大值点x=.(2)当p0时，f(x)在(0，+)上单调递增，所以不能够对恣意的x0，恒有f(x)0，当p0时，由(1)知在x=处取得极大值f=ln ，此时极大值也是最大值.要使f(x)0恒成立，只需f=ln 0，解得p1，所以p的取值范围是[1，+).(3)证明：令p=1，由(2)知ln x-x+10，ln xx-1，nN，n2，令x=n2，那么ln n2n2-1，=1-，所以结论成立.2021年高考数学第一轮温习提分专练习题：导数的综合运用，更多信息查字典数学网将第一时间为广阔考生提供，预祝各位考生报考到心仪的大学!。

高考数学冲刺一轮复习(文理)第七章导数及其应用

第七章、导数及其应用第1节导数的意义及运算考纲要求考纲研读1.了解导数概念的实际背景．2.理解导数的几何意义．3.能根据导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 的导数．4.能利用给出的8个基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数[仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数]的导数.1.函数y ＝f (x )在点x 0处的导数记为f ′(x 0)，它表示y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．导数源于物理，位移、速度的导数都有明显的物理意义．2.对于多项式函数的导数，可先利用导数的运算法则将其转化成若干个与8个基本初等函数有关的和差积商形式，再进行求导.1．函数导数的定义一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx＝ .2．导数的几何意义和物理意义(1)导数的几何意义：函数 y ＝f(x)在点 x 0 处的导数 f′(x 0)的几何意义，就是曲线 y ＝f(x)在点 P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线 y ＝f(x)在点 P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率是 f′(x 0)．相应地，切线方程为．(2)导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是 s ＝s(t)，那么该物体在时刻 t 0 的瞬时速度 v ＝．如果物体运动的速度随时间变化的规律是 v ＝v(t)，则该物体在时刻 t 0 的瞬时加速度为 a ＝．3．几种常见函数的导数 c ′＝ (c 为常数)；(x n )′＝ (n ∈R )；(sin x )′＝； (cos x )′＝；(ln x )′＝；(log a x )′＝；(e x )′＝；(a x )′＝ . 4．运算法则(u±v)′＝；(uv)′＝；'⎪⎭⎫⎝⎛v u ＝ (v ≠0)．5．复合函数的求导法则f ′x [φ(x )]＝或 .1．已知函数 f(x)＝4π2x 2，则 f′(x)＝( ) A ．4πx B ．8πx C ．8π2x D ．16πx2．已知曲线y ＝x 24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．43.若f (x )在x 0处可导，则f ′(x 0)等于( )A.lim Δx →0f （x 0）－f （x 0－Δx ）Δx B.lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0－Δx ）ΔxC.lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0－2Δx ）Δx D.lim Δx →0f （x 0＋2Δx ）－f （x 0－Δx ）Δx4．曲线 y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是( )A ．y ＝7x ＋4B ．y ＝7x ＋2C ．y ＝x －4D ．y ＝x －25．一个物体的运动方程为 s ＝1－t ＋t 2，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( )A ．7 米/秒B ．6 米/秒C ．5 米/秒D ．8 米/秒1.求下列函数的导数：(1)y ＝(x －1)(2x 2－x ＋4)；(2)y ＝e x lnx ；（3）xxy cos 1sin 1-+=2.设 f(x)＝xlnx ，若 f′(x 0)＝2，则 x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.22ln D.ln2 3.(湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎪⎭⎫⎝⎛0,4π处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.224.(江西)曲线 y ＝e x 在点 A(0,1)处的切线斜率为( ) A.1; B.2; C.e; De15.），曲线的切线方程。

高考一轮复习专题：导数及其应用

导数及其应用第一课时导数的概念及其运算例1.如果质点A 按规律32s t =运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为（） A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s变式：定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：x D ∀∈，∃常数0M >，都有|()|f x ≤M 成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界. 练1.若已知质点的运动方程为at t t S ++=11)(，要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.练2.若已知质点的运动方程为at t t S -+=12)(，要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.例2.已知xf x f x x f x ∆-∆+=→∆)2()2(lim ,1)(0则的值是（）A. 41-B. 2C. 41D. －2变式1：()()()为则设hf h f f h 233lim,430--='→（）A ．－１Ｂ．－2 C ．－3 D ．1变式2：()()()00003,lim x f x x f x x f x x x∆→+∆--∆∆设在可导则等于（）A ．()02x f 'B ．()0x f 'C ．()03x f 'D ．()04x f '3. 求所给函数的导数：()332991log ; ; sin ((1); 2; 2sin 25n xx x y x x y x e y xy x y e y x x --=+===+==+（文科）理科）变式：设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且g(3)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是（） A ．(－3,0)∪(3,+∞)B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞,－ 3)∪(3,+∞)D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)第二课时导数的几何意义题型一：已知切点，求曲线的切线方程；例1.曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =-题型二：已知斜率，求曲线的切线方程；例2.与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=题型三：已知过曲线外一点，求切线方程；例3. 求过点(20)，且与曲线1y x =相切的直线方程．变式1、已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 。

高考数学( 文科)一轮复习练习：第三章导数及其应用第3讲含答案

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.函数f (x )＝2x 3－6x 2－18x －7在[1，4]上的最小值为________. 解析 f ′(x )＝6x 2－12x －18＝6(x 2－2x －3) ＝6(x －3)(x ＋1)，由f ′(x )＞0，得x ＞3或x ＜－1；由f ′(x )＜0，得－1＜x ＜3，故函数f (x )在[1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (3)＝2×27－6×9－18×3－7＝－61. 答案－612.函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是________.解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1)＝3(x ＋1)2≥0，∴函数f (x )在R 上单调递增，故f (x )无极值点. 答案 03.(2015·泰州调研)函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则b 的取值范围是________.解析由f (x )＝x 3－3bx ＋3b ，得f ′(x )＝3x 2－3b .由已知可得f ′(x )＝3x 2－3b 在(0，1)上与x 轴有交点，且满足⎩⎨⎧f ′（0）＜0，f ′（1）＞0，即⎩⎨⎧b ＞0，3－3b ＞0.∴0＜b ＜1.∴b 的取值范围是(0，1). 答案 (0，1)4.(2015·扬州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则 ⎩⎨⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. 答案－75.(2016·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________. 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3×(a ＋6)＞0，即a 2－3a －18＞0. ∴a ＞6或a ＜－3.答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞)6.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________.解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1. 答案 (－∞，－1)7.已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析由题意，得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，得x ＝±2，又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32. 答案 328.(2015·苏、锡、常、镇模拟)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在x ＝0处有极大值1，在x ＝2处有极小值0，则常数a ，b ，c ，d 分别为________，________，________，________.解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，则⎩⎨⎧f （2）＝0，f ′（2）＝0，f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎨⎧8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，d ＝1，c ＝0，解得a ＝14，b ＝－34，c ＝0，d ＝1.答案 14 34 0 1 二、解答题9.(2016·徐州一检)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 时，函数f (x )＝ax －1＋ln x 在区间(0，e)上的最大值为－4，求a 的值.解由题意f ′(x )＝a ＋1x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a .∵a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ，∴0＜－1a ＜e ，由f ′(x )＞0，解得0＜x ＜－1a，由f ′(x )＜0，解得－1a ＜x ＜e.从而f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e .∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－4，解得a ＝－e 2.10.(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝ax（x ＋r ）2(a >0，r >0).(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若ar ＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值.解 (1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞). f (x )＝ax （x ＋r ）2＝axx 2＋2rx ＋r 2，f ′(x )＝a （x 2＋2rx ＋r 2）－ax （2x ＋2r ）（x 2＋2rx ＋r 2）2＝a （r －x ）（x ＋r ）（x ＋r ）4.所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0，当－r <x <r 时，f ′(x )>0.因此，f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞)； f (x )的单调递增区间为(－r ，r ).(2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减.因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar （2r ）2＝a 4r ＝4004＝100.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________.解析对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增， ∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1，1]时， f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. 答案－1312.(2016·南通调研)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是________.解析若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上无极值，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，y ＝x ＋1x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x 恒成立，a ≤2；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，实数 a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，10313.(2015·太原二模)已知f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )是函数f (x )的导函数，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f ′(－1)＝f ′(a )＝0，∴当a ＜－1时，x ＜a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；a ＜x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞－1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，此时f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意.当－1＜a ＜0时，x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；－1＜x ＜a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，此时f (x )在x ＝a 处取得极大值，符合题意.当a ＞0时，x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；－1＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；x ＞a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，此时f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意.∴实数a 的取值范围是(－1，0). 答案 (－1，0)14.(2015·南京、盐城调研)已知a ∈R ，函数f (x )＝a x ＋ln x －1. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1x ＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，x ∈(0，＋∞).因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14. 又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－12＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0. (2)因为f (x )＝ax ＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax 2，x ∈(0，＋∞). 令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值. ②若0＜a ＜e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时， f ′(x )＞0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln a.③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值a e.综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；当0＜a＜e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为ln a；当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为a e.。

高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用练习理-人教版高三全

第二章函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用练习理[A 组·基础达标练]1．函数f (x )＝x 4－4x 3＋4x 2的极值点是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝0，x ＝1和x ＝2 答案 D解析 f ′(x )＝4x 3－12x 2＋8x ＝4x (x 2－3x ＋2)＝4x (x －1)(x －2)，则结合列表可得f (x )的极值点为x ＝0，x ＝1和x ＝2.2．[2015·某某一检]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．则不等式f (x )<1的解集是( )A ．(－3,0)B ．(－3,5)C ．(0,5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞) 答案 B解析依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3,5)，选B.3．[2016·某某师大附中月考]若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518B ．(－∞，3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．[3，＋∞) 答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.4．[2013·某某高考]已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f (x 1)>0，f (x 2)>－12B ．f (x 1)<0，f (x 2)<－12C ．f (x 1)>0，f (x 2)<－12D ．f (x 1)<0，f (x 2)>－12答案 D解析 f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，依题意知f ′(x )＝0有两个不等实根x 1，x 2. 即曲线y 1＝1＋ln x 与y 2＝2ax 有两个不同交点，如图．由直线y ＝x 是曲线y ＝1＋ln x 的切线，可知：0<2a <1，且0<x 1<1<x 2.∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 由0<x 1<1，得f (x 1)＝x 1(ln x 1－ax 1)<0，当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0，当x >x 2时，f ′(x )<0，∴f (x 2)>f (1)＝－a >－12，故选D.5．[2015·某某一模]若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝4，则不等式f (x )>3ex ＋1(e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞) 答案 A解析由f (x )>3ex ＋1得，e x f (x )>3＋e x ，构造函数F (x )＝e x f (x )－e x－3，对F (x )求导得F ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．由f (x )＋f ′(x )>1，e x >0，可知F ′(x )>0，即F (x )在R 上单调递增，又因为F (0)＝e 0f (0)－e 0－3＝f (0)－4＝0，所以F (x )>0的解集为(0，＋∞)，所以选A.6．[2013·某某高考]已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x－1)(x －1)k(k ＝1,2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值答案 C解析当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，f ′(x )＝x e x－1，f ′(1)≠0，故A ，B 错；当k ＝2时，f (x )＝(e x－1)(x －1)2，f ′(x )＝(x 2－1)e x －2x ＋2＝(x －1)[(x ＋1)e x－2]，故f ′(x )＝0有一根为x 1＝1，另一根x 2∈(0,1)．当x ∈(x 2,1)时，f ′(x )<0，f (x )递减；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )递增，∴f (x )在x ＝1处取得极小值，故选C.7．[2016·东北八校月考]已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．答案 4解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′1＝3×12＋6a ×1＋3b ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值X 围是________．答案 (0,1)∪(2,3)解析由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －1x －3x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．答案－13解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，根据已知2a3＝2，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1,1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1,1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9.[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13. 10．[2015·某某一检]已知函数f (x )＝ln x －x1＋2x .(1)求证：f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增； (2)若f [x (3x －2)]<－13，某某数x 的取值X 围．解 (1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝ln x －x1＋2x， ∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x 1＋2x 2＝4x 2＋3x ＋1x 1＋2x 2. ∵x >0，∴4x 2＋3x ＋1>0，x (1＋2x )2>0. ∴当x >0时，f ′(x )>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )＝ln x －x 1＋2x ，∴f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－13.由f [x (3x －2)]<－13得f [x (3x －2)]<f (1)．由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x 3x －2>0x3x －2<1，解得－13<x <0或23<x <1.综上所述，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.11．[2015·某某一检]已知函数f (x )＝x ·ln x ，g (x )＝ax 3－12x －23e .(1)求f (x )的单调递增区间和最小值；(2)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点处存在公共切线，某某数a 的值．解 (1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， ∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .(2)∵f ′(x )＝ln x ＋1，g ′(x )＝3ax 2－12，设公切点的横坐标为x 0，则与f (x )的图象相切的直线方程为：y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与g (x )的图象相切的直线方程为：y ＝⎝⎛⎭⎪⎫3ax 20－12x －2ax 30－23e ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝3ax 2－12，－x 0＝－2ax 30－23e解之得x 0ln x 0＝－1e ，由(1)知x 0＝1e ，∴a ＝e26.12．[2016·某某检测]已知f (x )＝e x(x 3＋mx 2－2x ＋2)． (1)假设m ＝－2，求f (x )的极大值与极小值；(2)是否存在实数m ，使f (x )在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求m 的取值X 围；如果不存在，请说明理由．解 (1)当m ＝－2时，f (x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)，其定义域为(－∞，＋∞)．则f ′(x )＝e x(x 3－2x 2－2x ＋2)＋e x (3x 2－4x －2)＝x e x (x 2＋x －6)＝(x ＋3)x (x －2)e x， ∴当x ∈(－∞，－3)或x ∈(0,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(－3,0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0；f ′(－3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，∴f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增；在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝－3或x ＝2时，f (x )取得极小值；当x ＝0时，f (x )取得极大值， ∴f (x )极小值＝f (－3)＝－37e －3，f (x )极小值＝f (2)＝－2e 2， f (x )极大值＝f (0)＝2.(2)f ′(x )＝e x(x 3＋mx 2－2x ＋2)＋e x (3x 2＋2mx －2)＝x e x [x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2]． ∵f (x )在[－2，－1]上单调递增， ∴当x ∈[－2，－1]时，f ′(x )≥0. 又∵当x ∈[－2，－1]时，x e x<0， ∴当x ∈[－2，－1]时，x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′－2＝－22－2m ＋3＋2m －2≤0，f ′－1＝－12－m ＋3＋2m －2≤0，解得m ≤4，∴当m ∈(－∞，4]时，f (x )在[－2，－1]上单调递增．[B 组·能力提升练]1．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－5，1)B ．[－5，1)C ．[－2,1)D ．(－5，－2] 答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f (x )在区间(a,6－a 2)上有最小值，则函数f (x )极小值点必在区间(a,6－a 2)内，即实数a 满足a <1<6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2. 解a <1<6－a 2，得－5<a <1，不等式a 3－3a ≥f (1)＝－2，即a 3－3a ＋2≥0，即a 3－1－3(a －1)≥0，即(a －1)(a 2＋a －2)≥0，即(a －1)2(a ＋2)≥0，即a ≥－2.故实数a 的取值X 围是[－2,1)．故选C.2．[2016·某某调研]已知函数f (x )＝ln x ＋1ln x ，则下列结论中正确的是( )A ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是增函数B ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是减函数C ．∀x >0，且x ≠1，f (x )≥2D ．∃x 0>0，f (x )在(x 0，＋∞)内是增函数答案 D解析由已知得，f ′(x )＝1x ·ln 2x －1ln 2x(x >0且x ≠1)，令f ′(x )＝0，得ln x ＝±1，得x ＝e 或x ＝1e.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1e，1，x ∈(1，e)时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.故x ＝1e和x ＝e 分别是函数f (x )的极大值点和极小值点，但是由函数的定义域可知x ≠1，故函数f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 内不是单调的，所以A ，B 错；当0<x <1时，ln x <0，此时f (x )<0，C 错；只要x 0≥e，则f (x )在(x 0，＋∞)内是增函数，D 正确．3．[2015·某某高考]已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f x 1－f x 2x 1－x 2，n ＝g x 1－g x 2x 1－x 2.现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．答案 ①④解析 ①f (x )＝2x是增函数，∴对任意不相等的实数x 1，x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，即m >0，∴①成立．②由g (x )＝x 2＋ax 图象可知，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g (x )是减函数，∴当不相等的实数x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g x 1－g x 2x 1－x 2<0，即n <0，∴②不成立． ③若m ＝n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝g x 1－g x 2x 1－x 2，即f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x－x 2－ax ，h ′(x )＝2x ln 2－2x －a ，令h ′(x )＝2xln 2－2x －a ＝0，得2xln 2＝2x ＋a .由y ＝2x ln 2与y ＝2x ＋a 的图象知，存在a 使对任意x ∈R 恒有2xln 2>2x ＋a ，此时h (x )在R 上是增函数．若h (x 1)＝h (x 2)，则x 1＝x 2， ∴③不成立． ④若m ＝－n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝－g x 1－g x 2x 1－x 2，f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令φ(x )＝f (x )＋g (x )，则φ(x )＝2x＋x 2＋ax ，φ′(x )＝2x ln 2＋2x ＋a .令φ′(x )＝0，得2xln 2＋2x ＋a ＝0，即2xln 2＝－2x －a .由y 1＝2xln 2与y 2＝－2x －a 的图象可知，对任意的a ，存在x 0，使x >x 0时y 1>y 2，x <x 0时y 1<y 2，故对任意的a ，存在x 0，使x >x 0时，φ′(x )>0，x <x 0时φ′(x )<0，故对任意的a ，φ(x )在R 上不是单调函数．故对任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使m ＝－n ， ∴④成立．综上，①④正确．4．已知函数f (x )＝e x－ln (x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0. 解 (1)f ′(x )＝e x－1x ＋m. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x－ln (x ＋1)，x ∈(－1，＋∞)．函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln (x ＋m )≤ln (x ＋2)，故只需证当m ＝2时f (x )>0. 当m ＝2时，f ′(x )＝e x－1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一的解x 0，且x 0∈(－1,0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故当x ＝x 0时，f (x )取极小值．故f ′(x )＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln (x 0＋2)＝－x 0. 故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝x 0＋12x 0＋2>0.综上所述，当m ≤2时，f (x )>0.。

全国统考2022版高考数学大一轮复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算2备考试题文含解析

第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算1.点P 在曲线y =4(2x +1)ln2上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,那么α的取值范围是 ()A .[0,π4) B .[π4,π2) C .(π2,3π4] D .[3π4,π)2.[2021晋南高中联考]函数f (x )=ln 2x -1x的图象在点(12,f (12))处的切线方程为()A.y =6x -5B.y =8x -6C.y =4x -4D.y =10x -73.[条件创新]函数f (x )=(x 2+m )e x(m ∈R)的图象在x =1处的切线的斜率等于e,且g (x )=f (x )x,那么g'(-1)=()A.4e 4eC.e 4e44.[易错题]函数f (x )=f'(1)x 2+2x +2f (1),那么f'(2)的值为()5.[2021石家庄市一检]原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天然元素外,主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成,这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后,会转变成稳定的原子,这种过程称之为“衰变〞.这种不稳定的元素就称为放射性同位素.随着科学技术的开展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中,其含量N (单位:贝克)与时间t (单位:天)满足函数关系N (t )=N 02-t24,其中N 0为t =0时钍234的含量.t =24时,钍234含量的瞬时变化率为-8ln 2,那么N (120)= ()B.12ln 2贝克D.6ln 2贝克6.[2021江西五校联考]曲线C :y =x e x过点A (a ,0)的切线有且仅有两条,那么实数a 的取值范围是 ()A .(-∞,-4)∪(0,+∞)B .(0,+∞)C .(-∞,-1)∪(1,+∞)D .(-∞,-1)7.[2021福建五校联考]函数f (x )={ln (-x +1),x <0,x 2+3x ,x ≥0,假设f (x )-(m +2)x ≥0,那么实数m 的取值范围是()A.(-∞,1]B.[-2,1]C.[0,3]D.[3,+∞)8.[2021洛阳市统考]直线y =2x +1与曲线y =x 3+ax +b 相切于点(1,3),那么a 3+b =.9.[2021大同市调研测试]假设曲线y =ln x +1的一条切线的方程是y =ax +b ,那么4a +e b的最小值是. 10.[2021河北六校联考]函数f (x )=x ln x -12mx 2(m ∈R),g (x )=-x+1e x −2e x +e -1e.(1)假设函数f (x )的图象在(1,f (1))处的切线与直线x -y +1=0平行,求m ;(2)证明:在(1)的条件下,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),f (x 1)>g (x 2)成立.11.[数学探索]函数f (x )=12ax 2-ax +ln x 的图象在点(x 1,f (x 1))处与点(x 2,f (x 2))(x 1≠x 2)处的切线均平行于x 轴,那么x 1+x 2+x 1x 2+f (x 1)+f (x 2)的取值范围是()A.(-∞,-74-2ln 2) B .(-74-2ln 2,74-2ln 2)C.(74-2ln 2,+∞) D.(-74-2ln 2,+∞)12.[2021南昌市高三测试]曲线C 1:y =e x +m ,C 2:y =x 2,假设恰好存在两条直线l 1,l 2与曲线C 1,C 2都相切,那么实数m 的取值范围是()A.(2ln 2-2,+∞)B.(2ln 2,+∞)C.(-∞,2ln 2-2)D.(-∞,2ln 2)13.[2021长春市第四次质量监测]函数f (x )=e mx +e -mx +x 2-mx (m ∈R)的图象在点A (x 1,f (x 1)),B (-x 1,f (-x 1))处两条切线的交点P (x 0,y 0)一定满足()A.x 0=0B.x 0=mC.y 0=0D.y 0=m14.[2021惠州市二调]实数a >0,函数f (x )=2x +a 2x +a ln x ,x ∈(0,10). (1)讨论函数f (x )的单调性;(2)假设x =1是函数f (x )的极值点,曲线y =f (x )在点P (x 1,f (x 1)),Q (x 2,f (x 2))(x 1<x 2)处的切线分别为l 1,l 2,且l 1,l 2在y 轴上的截距分别为b 1,b 2,假设l 1∥l 2,求b 1-b 2的取值范围.15.[2021唐山市摸底考试]函数f (x )=ax sin x +b cos x ,且曲线y =f (x )与直线y =π2相切于点(π2,π2). (1)求f (x );(2)假设f (x )≤mx 2+1,求实数m 的取值范围. 16.[角度创新]函数f (x )=e x,g (x )=ln x.(1)假设曲线y =f (x )在x =0处的切线方程为y =kx +b ,且存在实数m ,n ,使得直线y -m =k (x +n )+b 与曲线y =g (x )相切,求m +n 的值;(2)假设函数φ(x )=x +af (x )(g (x )-x )有零点,求实数a 的取值范围.答案第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算1.D y =4(2x +1)ln2的导数为y'=4ln2·-2x ln2(2x +1)2=-42x +12x +2,由2x+12x ≥2√2x ·12x =2(当且仅当x =0时取等号),得12x +12x +2∈(0,14],所以-42x +12x +2∈[-1,0),即tan α∈[-1,0),结合0≤α<π,可得3π4≤α<π.应选D .2.A f (12)=ln 1-2=-2,因为f'(x )=1x +1x 2,所以f'(12)=6,所以切线方程为y -(-2)=6(x −12),即y =6x -5,应选A . 3.A 由题意得f'(x )=2x e x+(x 2+m )e x =(x 2+2x +m )e x ,f'(1)=(3+m )e,由题意得(3+m )e=e,所以m =-2,所以f (x )=(x 2-2)e x.解法一所以g (x )=f (x )x=(x −2x)e x,g'(x )=(1+2x 2)e x+(x −2x)e x,所以g'(-1)=4e.解法二 f'(x )=(x 2+2x -2)e x,f (-1)=−1e,所以f'(-1)=−3e,又g'(x )=xf '(x )-f (x )x 2,所以g'(-1)=4e.4.D 因为f'(x )=2f'(1)x +2,所以f'(1)=2f'(1)+2,解得f'(1)=-2,所以f'(x )=-4x +2,所以f'(2)=-6,应选D.5.A 因为N (t )=N 0·2-t 24,所以N'(t )=N 0·2-t 24·ln 2·(−124)=−N 024·ln 2·2-t 24,因为当t =24时,钍234含量的瞬时变化率为-8ln 2,即N'(24)=-8ln 2,所以−N 024ln 2×2-1=-8ln 2,所以N 0=384,即N (t )=384×2-t 24,所以N (120)=384×2-12024=38432=12,应选A.6.A 对函数y =x e x求导得y'=e x+x ·e x=(1+x )e x.设切点坐标为(x 0,x 0e x 0),那么曲线y =x e x过点A (a ,0)的切线的斜率k =(1+x 0)e x 0=x 0e x 0x 0-a,化简得x 02−ax 0-a =0.依题意知,上述关于x 0的二次方程有两个不相等的实数根,所以Δ=(-a )2-4×1×(-a )>0,解得a <-4或a >0.应选A .7.B 令g (x )=x 2+3x (x ≥0),那么g'(x )=2x +3,所以g'(0)=3,所以函数g (x )的图象在原点处的切线方程为y =3x ,故函数f (x )的图象在原点处的切线方程为y =3x.如图D 3-1-1,画出函数f (x )的图象,切线y =3x ,以及直线y =(m +2)x ,分析可知,为满足f (x )-(m +2)x ≥0,即f (x )≥(m +2)x ,那么0≤m +2≤3,解得-2≤m ≤1.应选B .图D 3-1-18.2因为(x 3+ax +b )'=3x 2+a ,所以{3×12+a =2,13+a ×1+b =3,解得{a =-1,b =3,所以a 3+b =2.9.4 y'=1x ,设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0),那么{y 0=lnx 0+1,y 0=ax 0+b ,a =1x 0,所以b =ln x 0,所以4a +e b =4x 0+x 0≥2√4x 0·x 0=4,当且仅当x 0=2时取“=〞,故4a +e b 的最小值为4.10.(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=ln x +1-mx ,f'(1)=1-m ,因为f (x )的图象在(1,f (1))处的切线与直线x -y +1=0平行,所以1-m =1,即m =0. (2)在(1)的条件下,f (x )=x ln x ,f'(x )=ln x +1,当x ∈(0,1e)时,f'(x )<0,f (x )单调递减,当x ∈(1e,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,所以f (x )=x ln x 在x =1e时取得最小值f (1e )=−1e ,所以f (x 1)≥−1e .g (x )=−x+1e x−2e x +e -1e,那么g'(x )=x e x −2e ,令h (x )=g'(x )=xe x −2e ,x >0,那么h'(x )=1-xe x ,所以当x ∈(0,1)时,h'(x )>0,h (x )单调递增,当x ∈(1,+∞)时,h'(x )<0,h (x )单调递减.所以当x >0时,g'(x )≤g'(1)=h (1)=−1e ,因为g'(x )≤−1e <0,所以g (x )在(0,+∞)上单调递减, 所以g (x 2)<g (0)=−1e .所以对任意x 1,x 2∈(0,+∞),f (x 1)>g (x 2).11.A 函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f'(x )=ax -a +1x =ax 2-ax+1x,那么根据导数的几何意义知x 1,x 2是方程ax 2-ax +1=0的两个不等正根,那么{Δ=a 2-4a >0,x 1x 2=1a>0,x 1+x 2=1,那么a >4.令h (a )=x 1+x 2+x 1x 2+f (x 1)+f (x 2)=1+1a+ln x 1+12a x 12−ax 1+lnx 2+12a x 22−ax 2=1+1a +ln 1a +12a (1−2a )-a =−12a -ln a +1a .易知函数h (a )=−12a -ln a +1a 在(4,+∞)上单调递减,那么h (a )<h (4)=−74−2ln 2,所以x 1+x 2+x 1x 2+f (x 1)+f (x 2)的取值范围是(-∞,−74−2ln 2),应选A .12.C 解法一设直线l 与曲线C 1和曲线C 2都相切,且与曲线C 1:y =e x +m相切于点(x 0,e x 0+m ),因为(e x +m)'=e x +m,所以直线l 的斜率为e x 0+m ,故直线l 的方程为y −e x 0+m =e x 0+m (x -x 0),即y =e x 0+m x +(1-x 0)·e x 0+m .由{y =e x 0+m x +(1-x 0)·e x 0+m ,y =x 2,消去y 并化简得x 2−e x 0+m x -(1-x 0)·e x 0+m =0,那么其判别式Δ=(−e x 0+m )2+4(1-x 0)·e x 0+m =0,由于e x 0+m >0,所以e x 0+m +4(1-x 0)=0,即e x 0+m −4x 0+4=0.依题意可知关于x 0的方程e x 0+m −4x 0+4=0有两个不同的根.构造函数g (x )=e x +m-4x +4,那么g (x )有两个零点.(题眼)g'(x )=e x +m-4,令g'(x )=0,解得x 1=ln 4-m ,令g'(x )>0,得x >x 1,令g'(x )<0,得x <x 1,所以g (x )在(-∞,x 1)上单调递减,在(x 1,+∞)上单调递增,且当x →-∞时,g (x )→+∞,当x →+∞时,g (x )→+∞,所以要使g (x )有两个零点,那么需g (x 1)<0,即e ln 4-4(ln4-m )+4<0,解得m <2ln 2-2.应选C .解法二同解法一得到“关于x 0的方程e x 0+m −4x 0+4=0有两个不同的根〞,即e x 0+m =4x 0-4有两个不同的根,即函数y =e x +m 与y =4x -4的图象有两个不同的交点.求出直线y =4x -4与曲线y =e x +m 相切时m 的值,即可求出m 的取值范围.令(e x +m )'=e x +m=4,得x =ln 4-m ,那么切点为(ln 4-m ,4),代入切线方程y =4x -4得4=4(ln 4-m )-4,解得m =2ln 2-2,此时直线y =4x -4与曲线y =e x +m 相切,将曲线y =e x +2ln 2-2向右平移可满足与直线y =4x -4有两个不同的交点,所以m <2ln 2-2.应选C .13.A 由题意,得f'(x )=m e mx-m e -mx+2x -m ,那么切线PA 的方程为y -(e mx 1+e -mx 1+x 12−mx 1)=(m e mx 1−m e -mx 1+2x 1-m )(x -x 1),切线PB 的方程为y -(e -mx 1+e mx 1+x 12+mx 1)=(m e -mx 1−m e mx 1−2x 1-m )(x +x 1),将(x 0,y 0)代入两条切线方程,得{y 0-(e mx 1+e -mx 1+x 12-mx 1)=(me mx 1-me -mx 1+2x 1-m )(x 0-x 1) ①,y 0-(e -mx 1+e mx 1+x 12+mx 1)=(me -mx 1-me mx 1-2x 1-m )(x 0+x 1) ②,①-②,得2mx 1=2(m e mx 1−m e -mx 1+2x 1)x 0+2mx 1,即(m e mx 1−m e -mx 1+2x 1)x 0=0. 因为对任意m ∈R,x 1∈R,m e mx 1−m e -mx 1+2x 1=0不恒成立,所以x 0=0,应选A. 14.(1)f'(x )=−2x 2+a 2+a x =(ax+2)(ax -1)x 2(0<x <10),∵a >0,0<x <10,∴ax +2>0.①当1a ≥10,即a ∈(0,110]时,f'(x )<0,那么f (x )在(0,10)上单调递减; ②当0<1a<10,即a ∈(110,+∞)时,令f'(x )<0,得0<x <1a ,令f'(x )>0,得1a <x <10,∴f (x )在(0,1a)上单调递减,在(1a,10)上单调递增.(由于a >0,0<x <10,因此分类讨论的标准是以1a是否在定义域内进行制定的)综上,当a ∈(0,110]时,f (x )在(0,10)上单调递减;当a ∈(110,+∞)时,f (x )在(0,1a)上单调递减,在(1a,10)上单调递增.(2)∵x =1是f (x )的极值点,∴f'(1)=0,即(a +2)(a -1)=0, 解得a =1或a =-2(舍),此时f (x )=2x +x +ln x ,f'(x )=−2x 2+1x +1, ∴切线l 1的方程为y -(2x 1+x 1+ln x 1)=(−2x 12+1x 1+1)(x -x 1),令x =0,得b 1=4x 1+ln x 1-1,同理可得b 2=4x 2+ln x 2-1.∵l 1∥l 2,∴−2x 12+1x 1+1=−2x 22+1x 2+1,整理得x 1x 2=2(x 1+x 2),∴x 2=2x 1x1-2,∴b 1-b 2=4x 2-4x 1x 1x 2+lnx 1x 2=2(x 2-x 1)x 1+x 2+lnx 1x 2=2(1-x 1x 2)1+x 1x 2+ln x1x 2.又0<x 1<x 2<10,∴x 1<2x 1x 1-2<10,得52<x 1<4,令x1x 2=t ,那么t =x 1·x 1-22x 1=x 12−1∈(14,1),设g (t )=2(1-t )1+t+ln t ,那么g'(t )=−4(1+t )2+1t=(t -1)2t (t+1)2>0,∴g (t )在(14,1)上单调递增,又g (1)=0,g (14)=65−2ln 2,∴g (t )∈(65−2ln 2,0),(换元以及构造新函数,利用导数研究新函数的单调性和在特定区间上的值域,从而求得b 1-b 2的取值范围) 即b 1-b 2的取值范围为(65−2ln 2,0).15.(1)由f (π2)=aπ2=π2得a =1,那么f'(x )=x cos x +(1-b )sin x ,由f'(π2)=1-b =0得b =1,所以f (x )=x sin x +cos x. (2)令g (x )=mx 2+1-f (x )=mx 2-x sin x -cos x +1, 由g (x )≥0得g (2π)=4π2m ≥0,所以m ≥0.易知g (x )为偶函数,所以只需满足当x ≥0时,g (x )≥0即可.g'(x )=2mx -x cos x =x (2m -cos x ),下面只讨论x ≥0时的情形.当m ≥12时,g'(x )≥0,即g (x )在[0,+∞)上单调递增, 所以g (x )≥g (0)=0,所以当m ≥12时,f (x )≤mx 2+1恒成立.当0≤m <12时,因为y =2m -cos x 在[0,π2]上单调递增, 且当x =0时,y =2m -1<0,当x =π2时,y =2m ≥0,所以存在x 0∈(0,π2],使得2m -cos x 0=0,因此当x ∈(0,x 0)时,g'(x )<0,即g (x )在(0,x 0)上单调递减, 所以当x ∈(0,x 0)时,g (x )<g (0)=0,与g (x )≥0矛盾. 因此当0≤m <12时,f (x )≤mx 2+1不恒成立. 综上,满足题意的m 的取值范围是[12,+∞).16. (1)f'(x )=e x,f'(0)=1,f (0)=1,所以曲线y =f (x )在x =0处的切线方程为y =x +1,所以k =b =1, 那么y -m =k (x +n )+b ,即y =x +m +n +1.g'(x )=1x ,那么曲线y =g (x )在点(x 0,ln x 0)处的切线方程为y -ln x 0=1x 0(x -x 0),即y =1x 0x +ln x 0-1,从而1x 0=1,ln x 0-1=m +n +1,所以x 0=1,m +n =-2.(2)由题意知φ(x )=x +a e x(ln x -x ),x ∈(0,+∞), 函数φ(x )有零点,即φ(x )=0有根. 当a =0时,φ(x )=x >0,不符合题意. 当a ≠0时,函数φ(x )有零点等价于1a =e x(1−lnx x)有根.设h (x )=e x(1−lnx x),那么h'(x )=e x(1−lnx x)+e x(−1-lnx x 2)=e xx 2(x -1)(x +1-ln x ),设s (x )=x +1-ln x ,那么s'(x )=1−1x ,当x ∈(0,1)时,s'(x )<0,s (x )单调递减,当x ∈(1,+∞)时,s'(x )>0, s (x )单调递增,所以s (x )≥s (1)=2>0,所以h'(x )=0仅有一根x =1,且当x ∈(0,1)时,h'(x )<0,h (x )单调递减, 当x ∈(1,+∞)时,h'(x )>0,h (x )单调递增,所以h (x )≥h (1)=e . 所以假设函数φ(x )有零点,那么1a ≥e,从而0<a ≤1e .。

2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算课件理

先化为和、差的形式,再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式,再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
复合形式
先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元
P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k= f ＇(x0) .相应地,切线方程为y-f(x0)=
f ＇(x0)(x-x0).
说明函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和
倾斜角,这三者是可以相互转化的.
考点2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=C(C为常数)
y=3x-1,则f(1)+f ＇(1)=
5
.
考向扫描
考向1
导数的运算
1.典例求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);

2
(2)y=sin (1-2cos );
2
4
2−1
1
(3)y=ln
(x> ).
2+1
2
考向1
解析
导数的运算
(1)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
f ＇(x)=
a
考点2
导数的运算
2.导数的四则运算法则
若f ＇(x),g＇(x)存在,则
(1)[f(x)±g(x)] ＇ =f ＇(x)±g＇(x) ;
(2)[f(x)·g(x)]＇= f ＇(x)g(x)+f(x)g＇(x) ;

高考数学一轮复习导数及其应用多选题(讲义及答案)含答案

高考数学一轮复习导数及其应用多选题(讲义及答案)含答案一、导数及其应用多选题1．已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（）A34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D．63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC 【分析】构造函数()()cos f x g x x =，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，即可得23643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭可判断C 选项.【详解】因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，所以构造函数()()cos f x g x x =，则()()2cos sin ()0cos f x x f x x g x x'+'=>， ∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，666cos 6f g f ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对于AB，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭⎝，故AB 错误；对于C ，()04g g π⎛⎫<⎪⎝⎭，()044f ππ⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D 263f fππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确；故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对应的新函数()()cos f x g x x=，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于较难题.2．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（）A ．cos 2x x π+D ．1ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，即可得sin 22x x ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2yx 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin2xf x =，()h x =的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以022x ππ<-<，令()sin f x x x =-，()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，所以sin 22x x ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正确，对于选项B ：由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：要证22sin 24xx x >+ 令()sin 2x f x =，()224xh x x =+()()f x f x -=-，()sin2xf x =是奇函数， ()()h x h x -=，()224x h x x =+是偶函数，令2224144x t x x ==-++ ，则y t = 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2414t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =调递增，由符合函数的单调性可知()224x h x x =+在()0,∞+单调递增，其函数图象如图所示：由图知当()0,1x ∈时22sin 24xx x >+C 正确；对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()221110x g x x x x-'=-=<，所以()1ln 1x g x x=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=，即1ln 10x x+->，可得1ln 1x x >-，故选项D 不正确.故选：ABC 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.3．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+，令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>，可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确；对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠，令0y '>，即ln 1x >，有x e >，知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立，等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立，令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x -'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根，即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根，由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．4．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项．【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知，方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确；对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦，则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确；对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.5．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+- C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论．【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②；因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立，又20x >，所以222x x e e -+>，则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立，因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，令()()2ln 1u x x x =-+，0x >，则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=，则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③；综上，ACD 选项是“偏对称函数”，故选：ACD. 【点睛】思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）6．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点【答案】ACD 【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误；因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++-1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭，易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数，则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--，所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34，则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>，所以()f x 只有一个零点，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：①切点坐标满足原曲线方程；②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.7．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1f x x '<，且()11f =，则下列结论正确的是（）A ．()2f e >B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()1,x e ∀∈，()2f x <D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫+>⎪⎝⎭- 【答案】BCD【分析】令()()ln F x f x x =-，求导得：'1()()0F x f x x'=-<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；【详解】令()()ln F x f x x =-，∴'1()()0F x f x x'=-<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减，(1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误；以B ，111(1)()110e F F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+， (1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；对D ，111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭ 1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭， 1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：BCD.【点睛】根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.8．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-【答案】AD【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>，所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确.故选：AD【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.。

高考数学一轮复习导数及其应用多选题复习题及解析

高考数学一轮复习导数及其应用多选题复习题及解析一、导数及其应用多选题1．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1xf xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增，所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e ，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-，所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.2．已知函数()1ln f x x x x=-+，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（）A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈B ．()f x 恰有3个零点C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()121()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()2110g x x x''=--<，所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<，所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确；由函数()1ln f x x x x=-+，当0x >时，()1ln f x x x x=-+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点，当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减；又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点，综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点，所以B 不正确；令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-，设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-，可得()1ln 1x x x ϕ'=+-，则 ()2110x x xϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增，又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增，当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=，又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，可得()()12222222211111ln ln1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()121()f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 121x x =，即121=x x ，同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.3．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则2123x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴21x x -==≥，B对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-，且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解，即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错，故选：ABC ．【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.4．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x'=，()'f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点C ．当120x x e <<< 时，221212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32m ≥D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()g x ，再利用导数确定()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ．【详解】()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，得1212ln 10ln 2x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确2ln 1()x g x x+=， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得121ln 2x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<，故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在12e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >()g x ∴的大致图象为()g x ∴只有一个零点，故B 错．记2()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32m ∴≥．故C 正确．2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个交点．()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得320x e -=，当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，332203()21202H x e e --⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0(0,)x x ∈时，322ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．5．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()22x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自然对数的底数），则（）A ．()()()m x f x g x =-在302x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]2,1- D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2ey ex =-【答案】BD 【分析】对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断；对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为2e y kx =-；可得到222x ekx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用导数证明()2eh x ≤-，进而作出判断. 【详解】对于A ，()()()2122x m x f x g x x =-=-， ()322121022x m x x x x +'∴=+=>，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误；对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，22x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立，所以21480k b ∆=+≤，所以0b ≤，又12kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，因为0b ≤，所以0k ≤且21480b k ∆=+≤，所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤，所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]2,0-，故B 正确，C 错误；对于D ，函数()f x 和()h x的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(2e y k x -=，即2e y kx =-，则222x ekx ≥-（x ∈R），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，则()24420k e ∆=-≤，解得k =，此时隔离直线方程为：2ey =-，下面证明()2e h x ≤-，令()()ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则()x G x x'=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()0min G x G==，()()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即()2eh x ≤-，∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线2ey =-，D 正确. 故选：BD . 【点睛】关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.6．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1f x x'<，且()11f =，则下列结论正确的是（） A ．()2f e > B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()1,x e ∀∈，()2f x <D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭- 【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-，求导得：'1()()0F x f x x'=-<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；【详解】令()()ln F x f x x =-，∴'1()()0F x f x x'=-<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误；以B ，111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；对D ，111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭，1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：BCD. 【点睛】根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.7．已知()2sin x f x x x π=--.（）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数， (),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确.因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误. 故选：BC【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.8．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（）A ．21a a C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x =+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n na a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果. 【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确；C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->，所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n n a a +->，则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.。

(word完整版)高三理科数学一轮总复习导数及其应用教师用书95891

第三章导数及其应用高考导航知识网络3.1 导数的概念与运算典例精析题型一导数的概念【例1】已知函数f (x )＝2ln 3x ＋8x ，求0Δlim→x f (1－2Δx )－f (1)Δx 的值.【解析】由导数的定义知：0Δlim→x f (1－2Δx )－f (1)Δx ＝－20Δlim →x f (1－2Δx )－f (1)－2Δx ＝－2f ′(1)＝－20.【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx →0时，平均变化率ΔyΔx 的极限.【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可以近似地表示为f (t )＝t 2100，则在时刻t ＝10 min 的降雨强度为( ) A.15 mm/minB.14 mm/min C.12mm/minD.1 mm/min 【解析】选A. 题型二求导函数【例2】求下列函数的导数. (1)y ＝ln(x ＋1＋x 2)； (2)y ＝(x 2－2x ＋3)e 2x ； (3)y ＝3x 1－x. 【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则. (1)y ′＝1x ＋1＋x2(x ＋1＋x 2)′＝1x ＋1＋x 2(1＋x 1＋x 2)＝11＋x 2.(2)y ′＝(2x －2)e 2x ＋2(x 2－2x ＋3)e 2x＝2(x 2－x ＋2)e 2x . (3)y ′＝13(x 1－x 32)-1－x ＋x (1－x )2＝13(x 1－x 32)-1(1－x )2 ＝13x 32- (1－x ) 34-【变式训练2】如下图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝；0Δlim→x f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(用数字作答).【解析】f (0)＝4，f (f (0))＝f (4)＝2，由导数定义0Δlim→x f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1).当0≤x ≤2时，f (x )＝4－2x ，f ′(x )＝－2，f ′(1)＝－2. 题型三利用导数求切线的斜率【例3】已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且l 与C 切于点P (x 0，y 0) (x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.【解析】由l 过原点，知k ＝y 0x 0 (x 0≠0)，又点P (x 0，y 0) 在曲线C 上，y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，所以y 0x 0＝x 2－3x 0＋2. 而y ′＝3x 2－6x ＋2，k ＝3x 20－6x 0＋2. 又 k ＝y 0x 0，所以3x 20－6x 0＋2＝x 20－3x 0＋2，其中x 0≠0，解得x 0＝32.所以y 0＝－38，所以k ＝y 0x 0＝－14，所以直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为(32，－38).【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.【变式训练3】若函数y ＝x 3－3x ＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程. 【解析】设切点为P (x 0，y 0)，则由 y ′＝3x 2－3得切线的斜率为k ＝3x 20－3.所以函数y ＝x 3－3x ＋4在P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(3x 20－3)(x －x 0). 又切线经过点(－2,2)，得2－y 0＝(3x 20－3)(－2－x 0)，① 而切点在曲线上，得y 0＝x 30－3x 0＋4， ② 由①②解得x 0＝1或x 0＝－2. 则切线方程为y ＝2 或 9x －y ＋20＝0.总结提高1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数通常有以下两种求法： (1) 导数的定义，即求0Δlim→x ΔyΔx ＝0Δlim →x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的值；(2)先求导函数f ′(x )，再将x ＝x 0的值代入，即得f ′(x 0)的值. 2.求y ＝f (x )的导函数的几种方法： (1)利用常见函数的导数公式； (2)利用四则运算的导数公式； (3)利用复合函数的求导方法.3.导数的几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)，就是函数y ＝f (x )的曲线在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率.3.2 导数的应用(一)典例精析题型一求函数f (x )的单调区间【例1】已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R )，求函数f (x )的单调区间. 【解析】函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)的定义域是(1，＋∞). f ′(x )＝2x －a －ax －1＝2x (x －a ＋22)x －1，①若a ≤0，则a ＋22≤1，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)x －1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤0时，f (x )的增区间为(1，＋∞).②若a ＞0，则a ＋22＞1，故当x ∈(1，a ＋22]时，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)x －1≤0；当x ∈[a ＋22，＋∞)时，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)x －1≥0，所以a ＞0时，f (x )的减区间为(1，a ＋22]，f (x )的增区间为[a ＋22，＋∞).【点拨】在定义域x ＞1下，为了判定f ′(x )符号，必须讨论实数a ＋22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.【变式训练1】已知函数f (x )＝x 2＋ln x －ax 在(0,1)上是增函数，求a 的取值范围. 【解析】因为f ′(x )＝2x ＋1x －a ，f (x )在(0,1)上是增函数，所以2x ＋1x －a ≥0在(0,1)上恒成立，即a ≤2x ＋1x恒成立.又2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时，取等号).所以a ≤22，故a 的取值范围为(－∞，22].【点拨】当f (x )在区间(a ，b )上是增函数时⇒f ′(x )≥0在(a ，b )上恒成立；同样，当函数f (x )在区间(a ，b )上为减函数时⇒f ′(x )≤0在(a ，b )上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.题型二求函数的极值【例2】已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由. 【解析】(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . 因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，所以x ＝±1是方程f ′(x )＝0，即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根.由根与系数的关系，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-② ,13① ,032ac ab又f (1)＝－1，所以a ＋b ＋c ＝－1.③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)得f (x )＝12x 3－32x ，所以当f ′(x )＝32x 2－32＞0时，有x ＜－1或x ＞1；当f ′(x )＝32x 2－32＜0时，有－1＜x ＜1.所以函数f (x )＝12x 3－32x 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数.所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f (x )来讲， f (x )在点x ＝x 0处取极值的必要条件是f ′(x )＝0.但是，当x 0满足f ′(x 0)＝0时， f (x )在点x ＝x 0处却未必取得极值，只有在x 0的两侧f (x )的导数异号时，x 0才是f (x )的极值点.并且如果f ′(x )在x 0两侧满足“左正右负”，则x 0是f (x )的极大值点，f (x 0)是极大值；如果f ′(x )在x 0两侧满足“左负右正”，则x 0是f (x )的极小值点，f (x 0)是极小值.【变式训练2】定义在R 上的函数y ＝f (x )，满足f (3－x )＝f (x )，(x －32)f ′(x )＜0，若x 1＜x 2，且x 1＋x 2＞3，则有( )A.f (x 1)＜f (x 2)B.f (x 1)＞f (x 2)C.f (x 1)＝f (x 2)D.不确定【解析】由f (3－x )＝f (x )可得f [3－(x ＋32)]＝f (x ＋32)，即f (32－x )＝f (x ＋32)，所以函数f (x )的图象关于x ＝32对称.又因为(x －32)f ′(x )＜0，所以当x ＞32时，函数f (x )单调递减，当x ＜32时，函数f (x )单调递增.当x 1＋x 22＝32时，f (x 1)＝f (x 2)，因为x 1＋x 2＞3，所以x 1＋x 22＞32，相当于x 1，x 2的中点向右偏离对称轴，所以f (x 1)＞f (x 2).故选B.题型三求函数的最值【例3】求函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在区间[0,2]上的最大值和最小值.【解析】f ′(x )＝11＋x －12x ，令11＋x －12x ＝0，化简为x 2＋x －2＝0，解得x 1＝－2或x 2＝1，其中x 1＝－2舍去.又由f ′(x )＝11＋x －12x ＞0，且x ∈[0,2]，得知函数f (x )的单调递增区间是(0,1)，同理，得知函数f (x )的单调递减区间是(1,2)，所以f (1)＝ln 2－14为函数f (x )的极大值.又因为f (0)＝0，f (2)＝ln 3－1＞0，f (1)＞f (2)，所以，f (0)＝0为函数f (x )在[0,2]上的最小值，f (1)＝ln 2－14为函数f (x )在[0,2]上的最大值.【点拨】求函数f (x )在某闭区间[a ，b ]上的最值，首先需求函数f (x )在开区间(a ，b )内的极值，然后，将f (x )的各个极值与f (x )在闭区间上的端点的函数值f (a )、f (b )比较，才能得出函数f (x )在[a ，b ]上的最值.【变式训练3】(2008江苏)f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝. 【解析】若x ＝0，则无论a 为何值，f (x )≥0恒成立. 当x ∈(0,1]时，f (x )≥0可以化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，x ∈(0，12)时，g ′(x )＞0，x ∈(12，1]时，g ′(x )＜0.因此g (x )max ＝g (12)＝4，所以a ≥4.当x ∈[－1,0)时，f (x )≥0可以化为 a ≤3x 2－1x 3，此时g ′(x )＝3(1－2x )x 4＞0， g (x )min ＝g (－1)＝4，所以a ≤4. 综上可知，a ＝4.总结提高1.求函数单调区间的步骤是： (1)确定函数f (x )的定义域D ； (2)求导数f ′(x )；(3)根据f ′(x )＞0，且x ∈D ，求得函数f (x )的单调递增区间；根据f ′(x )＜0，且x ∈D ，求得函数f (x )的单调递减区间.2.求函数极值的步骤是： (1)求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)判断f ′(x )在方程根左右的值的符号，确定f (x )在这个根处取极大值还是取极小值. 3.求函数最值的步骤是：先求f (x )在(a ，b )内的极值；再将f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3.3 导数的应用(二)典例精析题型一利用导数证明不等式【例1】已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在区间[1，e]上的值域； (2)求证：x ＞1时，f (x )＜23x 3.【解析】(1)由已知f ′(x )＝x ＋1x，当x ∈[1，e]时，f ′(x )＞0，因此f (x )在 [1，e]上为增函数. 故f (x )max ＝f (e)＝e 22＋1，f (x )min ＝f (1)＝12，因而f (x )在区间[1，e]上的值域为[12，e 22＋1].(2)证明：令F (x )＝f (x )－23x 3＝－23x 3＋12x 2＋ln x ，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x ，因为x ＞1，所以F ′(x )＜0，故F (x )在(1，＋∞)上为减函数. 又F (1)＝－16＜0，故x ＞1时，F (x )＜0恒成立，即f (x )＜23x 3.【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.【变式训练1】已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x ＞0时，f ′(x )＞0，g ′(x )＞0，则x ＜0时( )A.f ′(x )＞0，g ′(x )＞0B.f ′(x )＞0，g ′(x )＜0C.f ′(x )＜0，g ′(x )＞0D.f ′(x )＜0，g ′(x )＜0 【解析】选B. 题型二优化问题【例2】 (2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y 万元.(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？【解析】(1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x－1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256(m x －1)＋mx (2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知f ′(x )＝－256m x 2＋12mx 21 ＝m2x2(x 23－512).令f ′(x )＝0，得x 23＝512.所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64,640)内为增函数.所以f (x )在x ＝64处取得最小值.此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小.【变式训练2】(2010上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).【解析】设圆柱底面半径为r ，高为h ，则由已知可得4(4r ＋2h )＝9.6，所以2r ＋h ＝1.2. S ＝2.4πr －3πr 2，h ＝1.2－2r ＞0，所以r ＜0.6. 所以S ＝2.4πr －3πr 2(0＜r ＜0.6). 令f (r )＝2.4πr －3πr 2，则f ′(r )＝2.4π－6πr . 令f ′(r )＝0得r ＝0.4.所以当0＜r ＜0.4，f ′(r )＞0；当0.4＜r ＜0.6，f ′(r )＜0.所以r ＝0.4时S 最大，S max ＝1.51. 题型三导数与函数零点问题【例3】设函数f (x )＝13x 3－mx 2＋(m 2－4)x ，x ∈R .(1)当m ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)已知函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β.若对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】(1)当m ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2＋5x ，f ′(x )＝x 2－6x ＋5.因为f (2)＝23，f ′(2)＝－3，所以切点坐标为(2，23)，切线的斜率为－3，则所求的切线方程为y －23＝－3(x －2)，即9x ＋3y －20＝0.(2)f ′(x )＝x 2－2mx ＋(m 2－4). 令f ′(x )＝0，得x ＝m －2或x ＝m ＋2.当x ∈(－∞，m －2)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，m －2)上是增函数；当x ∈(m －2，m ＋2)时，f ′(x )＜0，f (x )在(m －2，m ＋2)上是减函数；当x ∈(m ＋2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(m ＋2，＋∞)上是增函数.因为函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且f (x )＝13x [x 2－3mx ＋3(m 2－4)]，所以⎩⎨⎧≠->--.0)4(3,0)4(12)3(222m m m 解得m ∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4). 当m ∈(－4，－2)时，m －2＜m ＋2＜0，所以α＜m －2＜β＜m ＋2＜0.此时f (α)＝0，f (1)＞f (0)＝0，与题意不合，故舍去. 当m ∈(－2,2)时，m －2＜0＜m ＋2，所以α＜m －2＜0＜m ＋2＜β.因为对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，所以α＜1＜β.所以f (1)为函数f (x )在[α，β]上的最小值.因为当x ＝m ＋2时，函数f (x )在[α，β]上取最小值，所以m ＋2＝1，即m ＝－1. 当m ∈(2,4)时，0＜m －2＜m ＋2，所以0＜m －2＜α＜m ＋2＜β.因为对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，所以α＜1＜β.所以f (1)为函数f (x )在[α，β]上的最小值.因为当x ＝m ＋2时，函数f (x )在[α，β]上取最小值，所以m ＋2＝1，即m ＝－1(舍去). 综上可知，m 的取值范围是{－1}.【变式训练3】已知f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x . (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值范围. 【解析】(1)当a ＞0时，F (x )的递增区间为(1a ，＋∞)，递减区间为(0，1a)；当a ≤0时，F (x )的递减区间为(0，＋∞). (2)[12ln 2，1e). 总结提高在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.3.4 定积分与微积分基本定理典例精析题型一求常见函数的定积分【例1】计算下列定积分的值. (1)⎰21(x －1)5d x ；(2)⎰2π(x ＋sin x )d x .【解析】(1)因为[16(x －1)6]′＝(x －1)5，所以⎰21 (x －1)5d x ＝6)1(61-x 12＝16. (2)因为(x 22－cos x )′＝x ＋sin x ，所以⎰2π0(x ＋sin x )d x ＝)cos 2(2x x -12π＝π28＋1. 【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：①若f (x )是偶函数时，则⎰-a a f (x )d x ＝2⎰a 0f (x )d x ； ②若f (x )是奇函数时，则⎰-a a f (x )d x ＝0. 【变式训练1】求⎰-55(3x 3＋4sin x )d x . 【解析】⎰-55(3x 3＋4sin x )d x 表示直线x ＝－5，x ＝5，y ＝0和曲线y ＝3x 3＋4sin x 所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.又f (－x )＝3(－x )3＋4sin(－x )＝－(3x 3＋4sin x )＝－f (x ).所以f (x )＝3x 3＋4sin x 在[－5,5]上是奇函数，所以⎰-50(3x 3＋4sin x )d x ＝－⎰05(3x 3＋4sin x )d x ，所以⎰-55(3x 3＋4sin x )d x ＝⎰-50(3x 3＋4sin x )d x ＋⎰05(3x 3＋4sin x )d x ＝0. 题型二利用定积分计算曲边梯形的面积【例2】求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 所围成的平面图形的面积.【解析】方法一：如图，由⎩⎨⎧-==,4,22x y x y 得交点A (2,2)，B (8，－4)，则S ＝⎰02[2x －(－2x )]d x ＋⎰28[4－x －(－2x )]d x＝0223324x ＋28)32224(232x x x +-＝163＋383＝18. 方法二：S ＝⎰-42[(4－y )－y 22]d y ＝42)61214(32---y y y ＝18. 【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y 为积分变量时，应注意将曲线方程变为x ＝φ(y )的形式，同时，积分上、下限必须对应y 的取值.【变式训练2】设k 是一个正整数，(1＋x k )k 的展开式中x 3的系数为116，则函数y ＝x 2与y ＝kx －3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为.【解析】T r ＋1＝C r k (x k )r ，令r ＝3，得x 3的系数为C 3k 1k 3＝116，解得k ＝4.由⎩⎨⎧-==34,2x y x y 得函数y ＝x 2与y ＝4x －3的图象的交点的横坐标分别为1,3.所以阴影部分的面积为S ＝⎰13(4x －3－x 2)d x ＝(2x 2－3x －13)313x ＝43. 题型三定积分在物理中的应用【例3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；(2)一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时阻力所做的功.【解析】(1)当0≤t ≤1时，v (t )≥0，当1≤t ≤2时，v (t )≤0，所以前2秒内所走过的路程为s ＝⎰01v (t )d t ＋⎰12(－v (t ))d t ＝⎰01(1－t 2)d t ＋⎰12(t 2－1)d t=01)31(3t t -＋12)31(3t t -＝2.2秒末所在的位置为x 1＝x 0＋⎰02v (t )d t ＝1＋⎰02(1－t 2)d t ＝13. 所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x 1＝13. (2) 物体的速度为v ＝(bt 3)′＝3bt 2.媒质阻力F 阻＝kv 2＝k (3bt 2)2＝9kb 2t 4，其中k 为比例常数，且k ＞0.当x ＝0时，t ＝0；当x ＝a 时，t ＝t 1＝(a b)31，又d s ＝v d t ，故阻力所做的功为W 阻＝⎰阻F d s ＝⎰01t kv 2·v d t ＝k ⎰01t v 3d t ＝ k ⎰01t (3bt 2)3d t ＝277kb 3t 71 ＝ 277k 3a 7b 2. 【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v (t )＝⎰a ba (t )d t ，s (t )＝⎰ab v (t )d t 和W ＝⎰a b F (x )d x 这三个公式.【变式训练3】定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，x ，y ∈(0，＋∞).令函数f (x )＝F [1，log 2(x 2－4x ＋9)]的图象为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A (0，m )，过坐标原点O 向曲线C 1作切线，切点为B (n ，t )(n ＞0)，设曲线C 1在点A ，B 之间的曲线段与线段OA ，OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值.【解析】因为F (x ，y )＝(1＋x )y ，所以f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))＝)94log(22+-x x ＝x 2－4x ＋9，故A (0,9)，又过坐标原点O 向曲线C 1作切线，切点为B (n ，t )(n ＞0)，f ′(x )＝2x －4. 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=,42,942n nt n n t 解得B (3,6)，所以S ＝⎰03(x 2－4x ＋9－2x )d x ＝(x 33－3x 2＋9x )03=9. 总结提高1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.3.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；（4）计算定积分，写出答案.。

高考数学一轮复习知识点与练习导数的应用

1．函数的单调性在某个区间 (a， b)内，如果 f′ (x)>0，那么函数y＝ f(x) 在这个区间内单调递增；如果f′ (x)<0 ，那么函数 y＝ f( x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值一般地，当函数f(x)在点 x0处连续时，(1)如果在 x0附近的左侧 f′ (x)>0 ，右侧 f′( x)<0 ，那么 f(x0)是极大值；(2)如果在 x0附近的左侧 f′ (x)<0 ，右侧 f′( x)>0 ，那么 f(x0)是极小值．3．函数的最值(1)在闭区间 [a，b] 上连续的函数 f( x)在 [a，b]上必有最大值与最小值．(2) 假设函数f( x)在 [a，b] 上单调递增，那么f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；假设函数f(x)在 [a， b]上单调递减，那么 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【思考辨析】判断下面结论是否正确 (请在括号中打“√〞或“×〞 )(1)假设函数 f( x)在 (a， b)内单调递增，那么一定有 f′ (x)>0.()(2)如果函数 f(x) 在某个区间内恒有f′ (x)＝ 0，那么 f(x)在此区间内没有单调性．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)对可导函数 f(x)， f′ ( x0)＝ 0 是 x0点为极值点的充要条件． ()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()1．函数 y＝ 4x2＋1的单调增区间为____________ ．x2．定义在实数集R上的函数 f( x)满足 f(1) ＝ 3，且 f(x)的导数 f′ (x) 在R上恒有 f′ (x)<2( x∈R )，那么不等式 f(x)<2x＋ 1 的解集为 __________ ．323． (2021 ·州二模广 )函数 f(x) ＝x －3x ＋ 1 在 x＝________ 处取得极小值．专注·专业·口碑·极致- 1 -4． (教材改编 ) 如图是 f(x)的导函数f′ (x)的图象，那么f(x)的极小值点的个数为________．5．设 1<x<2，那么ln x， (ln x 2，ln x2x x)2的大小关系是 __________________． (用“ <〞连接 ) x课时 1导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性例 1求函数f(x)＝lnxx的单调区间．思维升华确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数 f(x) 的定义域；(2)求 f′ (x)；(3)解不等式 f′ (x)>0 ，解集在定义域内的局部为单调递增区间；(4)解不等式 f′ (x)<0 ，解集在定义域内的局部为单调递减区间．定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝ xsin x＋ cos x，那么 f( x)的单调递增区间是_______．题型二含参数的函数的单调性例2 函数 f(x)＝ ln x＋ ax＋a＋x1－ 1.(1)当 a＝ 1 时，求曲线 y＝ f(x)在点 (2， f(2)) 处的切线方程；1(2) 当－2≤ a≤ 0 时，讨论f(x)的单调性．思维升华(1) 研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2) 划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0 的点和函数的间断点．专注·专业·口碑·极致- 2 -(3) 个别导数为0 的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′ (x)＝3x2≥ 0(f′ (x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．讨论函数f(x)＝ (a－ 1)ln x＋ ax2＋ 1 的单调性．题型三利用函数单调性求参数例3 设函数 f(x)＝13x3－a2x2＋ bx＋ c，曲线 y＝ f( x)在点 (0 ，f(0)) 处的切线方程为 y＝1.(1)求 b， c 的值；(2)假设 a>0，求函数 f(x)的单调区间；(3) 设函数 g(x)＝ f(x)＋ 2x，且 g(x)在区间 (－ 2，－ 1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围．引申探究在本例 3(3)中，1．假设 g(x)在 (－ 2，－ 1)内为减函数，如何求解？专注·专业·口碑·极致- 3 -2．假设 g(x)的单调减区间为(－2，－ 1)，求 a 的值．3．假设 g(x)在 (－ 2，－ 1)上不单调，求 a 的取值范围．思维升华函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理： y＝f(x)在 (a， b)上单调，那么区间 (a， b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“假设函数单调递增，那么 f′ (x)≥ 0；假设函数单调递减，那么 f′ (x)≤ 0〞来求解．函数f(x)＝ e x ln x－ ae x(a∈R )．1(1)假设 f(x)在点 (1， f(1)) 处的切线与直线 y＝e x＋1垂直，求 a 的值；(2)假设 f(x)在 (0，＋∞ )上是单调函数，求实数 a 的取值范围．5．分类讨论思想研究函数的单调性专注·专业·口碑·极致- 4 -典例(14 分 )函数f(x)＝ ln x，g( x)＝ f(x)＋ ax2＋ bx，其中函数 g(x)的图象在点 (1， g(1))处的切线平行于x 轴．(1)确定 a 与 b 的关系；(2)假设 a≥ 0，试讨论函数 g(x)的单调性．温馨提醒(1) 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程 f ′ (x)＝ 0 是否有根；②假设f′ (x)＝ 0 有根，求出根后是否在定义域内；③假设根在定义域内且有两个，比拟根的大小是常见的分类方法．(2) 此题求解先分a＝ 0 或 a>0 两种情况，再比拟 1 和1的大小．2a[方法与技巧 ]1．函数解析式求单调区间，实质上是求f′ (x)>0， f′ (x)<0 的解区间，并注意定义域．2．含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性．3．函数单调性可以利用区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决．[失误与防范 ]1．f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈ (a，b)都有 f ′(x)≥ 0 且在 (a，b)内的任一非空子区间上f′( x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否那么漏解．2．注意两种表述“ 函数f(x)在(a，b)上为减函数〞与“函数f(x)的减区间为(a，b)〞的区别．3．讨论函数单调性要在定义域内进行，不要忽略函数的间断点．专注·专业·口碑·极致- 5 -A 组专项根底训练( 时间： 40 分钟 )1．函数 f(x)＝ (x－ 3)e x的单调递增区间是____________．2．假设函数f(x)＝ 2x3－ 3mx2＋ 6x 在区间 (2，＋∞ )上为增函数，那么实数m 的取值范围为 __________ ．3．设函数f(x)＝ x－ 2sin x 是区间t, t上的减函数，那么实数t 的取值范围是___________．24．定义在R上的函数f(x)满足： f′ (x)> f(x)恒成立，假设x1<x2，那么e x1f x2与 e x2 f x1的大小关系为________________ ．5．函数 f(x) 在定义域R内可导，假设f(x)＝f(2－ x)，且当 x∈ (－∞， 1)时， (x－1)f′ (x)<0 ，设 a＝ f(0) ，b 1＝f(2)， c＝ f(3)，那么 a， b， c 的大小关系为 ____________．6．函数 f(x)＝ x－ ln x 的单调递减区间为________．7． a≥ 0，函数 f(x)＝ (x2－ 2ax)e x，假设 f(x)在 [－ 1,1] 上是单调减函数，那么 a 的取值范围是________．8 ．函数 f(x) ＝ x3＋ bx2＋ cx ＋ d 的图象如图，那么函数y＝ log 2x22bx c的单调递减区间为33____________ ．专注·专业·口碑·极致- 6 -9．函数 f(x)＝x＋a－ ln x－3，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点 (1， f(1)) 处的切线垂直于直线y＝1x.4 x22(1)求 a 的值；(2)求函数 f( x)的单调区间．110．函数 f( x)＝ ln x， g( x)＝2ax＋ b.(1)假设 f(x)与 g(x)在 x＝ 1 处相切，求 g(x)的表达式；(2)m x－1－ f(x)在[1，＋∞ )上是减函数，求实数m 的取值范围．假设φ(x)＝x＋1B 组专项能力提升( 时间： 20 分钟 )12上单调递减，那么实数 a 的取值范围是 __________．11．设函数 f(x)＝ x － 9ln x 在区间 [a－ 1，a＋ 1]212． f(x)，g(x) (g(x)≠ 0)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′ (x)g(x)<f(x)g′ (x)，且f(－f x3)＝0，那么g x <0 的解集为 ____________．专注·专业·口碑·极致- 7 -13122，＋∞ )上存在单调递增区间，那么 a 的取值范围是 ________．13．假设函数 f( x)＝－ x＋x＋ 2ax 在 [32312t 的取值范围是 ________．14．函数 f( x)＝－ x ＋ 4x－ 3ln x 在区间 [t，t＋ 1]上不单调，那么215．函数 f(x)＝ ax3＋ 3x2＋ 3x (a≠ 0)．(1)讨论函数 f(x) 的单调性；(2) 假设函数 f( x)在区间 (1,2)上是增函数，求a 的取值范围．课时 2导数与函数的极值、最值题型一用导数解决函数极值问题命题点 1根据函数图象判断极值例 1 设函数 f(x)在R上可导，其导函数为 f ′(x)，且函数 y＝(1 －x)f ′ (x)的图象如下图，那么函数 f( x) 的极大值、极小值分别是 ________．专注·专业·口碑·极致- 8 -命题点 2求函数的极值例 2(2021 ·青岛二模 )函数323f( x)＝ ax － 3x＋ 1－ (a∈R且 a≠ 0)，求函数 f(x)的极大值与极小值．a命题点 3极值求参数例 3 (1) f(x) ＝x3＋ 3ax2＋ bx＋ a2在 x＝－ 1 时有极值0，那么 a－b＝ ________.(2) 假设函数 f( x)＝x3a21a 的取值范围是 ____________．3－ x＋ x＋1 在区间 ( ， 3)上有极值点，那么实数22思维升华(1) 求函数 f(x)极值的步骤：① 确定函数的定义域；②求导数 f′ (x)；③解方程 f′ (x)＝ 0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′ (x)在 f′ (x)＝ 0 的根 x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在 x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在 x0处取极小值．(2)假设函数 y＝ f(x)在区间 (a，b)内有极值，那么 y＝f(x)在 (a， b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．1(1) 函数 y＝ 2x－x2的极大值是 ________．专注·专业·口碑·极致- 9 -x在其极值点处的切线方程为 ________．(2)(2021 陕·西 ) 函数 y＝ xe题型二用导数求函数的最值例4 a∈R，函数 f(x)＝a＋ ln x－ 1. x(1)当 a＝ 1 时，求曲线 y＝ f(x)在点 (2， f(2)) 处的切线方程；(2)求 f(x)在区间 (0， e]上的最小值．思维升华求函数 f(x)在 [a， b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在 (a， b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a) ，f(b)；(3)将函数 f( x)的极值与 f(a)， f(b)比拟，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．y＝ f(x)是奇函数，当1x∈ (0,2)时， f(x)＝ ln x－ ax (a> )，当 x∈(－2,0)时， f(x)的最小2值为 1，那么 a 的值等于 ________．题型三函数极值和最值的综合问题专注·专业·口碑·极致- 10 -例 5函数 f(x)＝ax2＋ bx＋ c(a>0) 的导函数 y＝ f′ (x)的两个零点为－ 3 和 0.xe(1)求 f(x)的单调区间；(2)假设 f(x)的极小值为－ e3，求 f(x)在区间 [－ 5，＋∞ )上的最大值．思维升华求函数在无穷区间(或开区间 )上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．设函数 f(x) ＝ ax3－ 3x＋ 1 (x∈R )，假设对于任意x∈ [－1,1]，都有 f(x)≥ 0 成立，那么实数 a 的值为 ________．3．利用导数求函数的最值问题典例(14 分 )函数f(x)＝ ln x－ ax (a∈R) ．(1)求函数 f( x)的单调区间；(2)当 a>0 时，求函数 f(x)在[1,2] 上的最小值．思维点拨 (1) 函数解析式求单调区间，实质上是求 f′ (x)>0，f′ (x)<0 的解区间，并注意定义域． (2) 先研究 f(x)在 [1,2] 上的单调性，再确定最值是端点值还是极值． (3) 两小问中，由于解析式中含有参数 a，专注·专业·口碑·极致- 11 -要对参数 a 进行分类讨论．用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题第一步： (求导数 )求函数 f(x)的导数 f′ (x)；第二步： (求极值 )求 f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步： (求端点值 )求 f(x)在给定区间上的端点值；第四步： (求最值 )将 f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比拟，确定f(x)的最大值与最小值；第五步： (反思 )反思回忆，查看关键点，易错点和解题标准．温馨提醒(1) 此题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[1,2] 上的最值，属常规题型．(2)此题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况．(3)思维不流畅，答题不标准，是解答中的突出问题．[方法与技巧 ]1．如果在区间 [ a，b]上函数 y＝ f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．专注·专业·口碑·极致- 12 -2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比拟即可．3．当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值．4．求极值、最值时，要求步骤标准、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小．[失误与防范 ]1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比拟才能下结论．3．函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比拟才能确定最值．A 组专项根底训练( 时间： 40 分钟 )1．当函数y＝ x·2x取极小值时，x＝ ________.2．函数 y＝ ln x－ x 在 x∈ (0， e]上的最大值为 ________．3．函数f(x)＝ x3－3x－ 1，假设对于区间 [－ 3,2]上的任意x1， x2，都有 |f(x1)－ f(x2)|≤ t，那么实数t 的最小值是________．4．函数f(x)＝ x3＋ ax2＋bx＋ a2在 x＝1 处有极值10，那么 f(2)＝ ________.5．函数f(x)＝ x3＋ ax2＋(a＋6)x＋ 1 有极大值和极小值，那么实数 a 的取值范围是 __________ ．3x26．函数 f(x)＝3＋ x － 3x－ 4 在[0,2] 上的最小值是 ________．7．设 a∈R，假设函数 y＝e x＋ ax 有大于零的极值点，那么实数a 的取值范围是 ________．专注·专业·口碑·极致- 13 -8．函数 f(x)＝ x3－ 3a2x＋ a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，那么 a 的取值范围是________．9．设 f(x) ＝a( x－5) 2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y＝ f(x)在点 (1， f(1)) 处的切线与y 轴相交于点 (0,6) ．(1)确定 a 的值；(2)求函数 f( x)的单调区间与极值．10．函数f( x)＝ (x－ k)e x.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间 [0,1] 上的最小值．B 组专项能力提升专注·专业·口碑·极致- 14 -( 时间： 20 分钟 )f x11．定义域为R 的可导函数y＝ f(x)的导函数为 f ′(x)，满足 f(x)>f′ ( x)，且 f(0)＝ 1，那么不等式e x<1的解集为 __________ ．12.假设函数 y＝ f(x)的导函数y＝ f′ (x)的图象如下图，那么y＝ f(x)的图象可能为 ________．13．函数 f(x)＝ x3－ 3ax＋ b(a>0) 的极大值为 6，极小值为2，那么 f(x)的单调递减区间是________．14．假设函数f( x)＝ x3－ 3x 在( a,6－ a2)上有最小值，那么实数a 的取值范围是________．15．函数f( x)＝ (ax－2)e x在 x＝ 1 处取得极值．(1)求 a 的值；(2)求函数 f( x)在 [m， m＋ 1]上的最小值；(3)求证：对任意 x1， x2∈[0,2] ，都有 |f(x1)－ f(x2)| ≤ e.专注·专业·口碑·极致- 15 -课时 3导数与函数的综合问题题型一用导数解决与不等式有关的问题命题点 1解不等式例 1 设 f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(2)＝ 0，当 x>0 时，有xf′ x － f x22<0 恒成立，那么不等式 x f(x)>0x的解集是 _________．命题点 2证明不等式2例 2证明：当x∈[0,1] 时，2 x≤sin x≤x.专注·专业·口碑·极致- 16 -命题点 3不等式恒成立问题例 3函数f(x)＝ ln x－a.假设 f(x)< x2在 (1，＋∞ )上恒成立，求 a 的取值范围．x思维升华(1) 利用导数解不等式，一般可构造函数，利用条件确定函数单调性解不等式；(2) 证明不等式f(x)<g(x)，可构造函数F(x)＝ f(x)－ g(x)，利用导数求F(x)的值域，得到F(x)<0 即可；(3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可别离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．设a∈R，函数 f(x)＝ax3－3x2.(1)当 a＝ 1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)假设对任意的 x∈[1,3] ，有 f(x)＋ f′ (x)≤ 0 恒成立，求实数 a 的取值范围．题型二利用导数解决函数零点问题例 4 (2021 ·课标全国Ⅱ )函数f(x) ＝x3－3x2＋ ax＋ 2，曲线 y＝ f(x)在点 (0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－ 2.(1)求 a； (2) 证明：当 k<1 时，曲线 y＝ f(x) 与直线 y＝ kx－2 只有一个交点．思维升华研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最 )值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．函数f(x)＝ x2＋ xsin x＋ cos x 的图象与直线y＝ b 有两个不同交点，求 b 的取值范围．题型三利用导数解决生活中的优化问题例 5某商场销售某种商品的经验说明，该商品每日的销售量y(单位：千克 )与销售价格x( 单位：元 /千克 )满足关系式y＝a＋10(x－6)2，其中3<x<6， a 为常数．销售价格为 5 元/千克时，每日可x－ 3售出该商品11 千克．(1)求 a 的值；(2)假设该商品的本钱为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．思维升华在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中的最大 (小 )值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．某品牌电动汽车的耗电量y 与速度 x 之间有关系y＝1x3－39x2－ 40x(x>0)，为使耗电量最32小，那么速度应定为________．一审条件挖隐含典例(14 分 )设 f(x)＝ax＋ xln x， g(x)＝ x3－ x2－ 3.(1)如果存在 x1， x2∈ [0,2]使得 g(x1)－ g(x2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s， t∈ [1， 2]，都有 f(s)≥ g(t)成立，求实数 a 的取值范围．2(1)存在 x1， x2∈[0,2] 使得 g(x1) －g( x2)≥M (正确理解“存在〞的含义 )[g(x1)－ g(x2)] max≥M↓挖掘 [g(x1) －g(x2)] max的隐含实质↓g( x)max－g(x)min≥ M ↓求得 M 的最大整数值1 (2) 对任意 s， t∈ [2，2]都有f(s)≥g(t)↓ (理解“任意〞的含义)f(x)min≥ g(x) max↓求得 g( x)max＝1a＋ xln x≥ 1 恒成立↓别离参数a2a≥ x－ x ln x 恒成立↓求 h(x)＝ x－ x2ln x 的最大值a≥ h(x)max＝ h(1) ＝ 1↓a≥ 1温馨提醒 (1) “恒成立〞、“存在性〞问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化． (2) 构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用别离参数的方法，转化为求函数的值域问题．[方法与技巧 ]1．用导数方法证明不等式f(x)>g( x)时，找到函数h(x)＝ f(x)－ g(x)的零点是解题的突破口．2．在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x 轴 (或某直线 )的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最 )值的应用．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比拟．[失误与防范 ]1．利用导数解决恒成立问题时，假设别离参数后得到“ a<f(x)恒成立〞，要根据f(x)的值确定 a 的范围中端点能否取到．2．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．A 组专项根底训练－x2＋ 2x x≤ 0 ，1．函数f(x)＝假设|f(x)|≥ ax，那么a的取值范围是__________．ln x＋ 1 x>0 ，f x1 1 ，2．定义域为R的奇函数 y＝ f(x)的导函数为 y＝ f′ (x)，当 x≠ 0 时， f′ (x)＋x >0，假设 a＝2f2b＝－ 2f(－ 2)， c＝ln 1·f ln1，那么 a， b， c 的大小关系是 ________．223．假设商品的年利润 y(万元 )与年产量 x(百万件 )的函数关系式： y＝－ x3＋ 27x＋ 123(x>0)，那么获得最大利润时的年产量为 ________百万件．4．假设 a>0， b>0 ，且函数f(x)＝4x3－ax2－ 2bx＋ 2 在 x＝ 1 处有极值，那么ab 的最大值为 ________．5．设 f′ (x)和 g′ (x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数，假设 f ′ (x) ·g′ (x)<0 在区间 I 上恒成立，那么称 f(x)和g(x)在区间 I 上单调性相反．假设函数132＋2bx在区间 ( a， b)上单调性相反，那么bf( x)＝ x － 2ax(a>0)与 g(x) ＝x3－ a 的最大值为 ________．6．二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c 的导函数为 f′ (x)，f′ (x)>0 ，对于任意实数x，有 f(x)≥ 0，那么f 1f′ 0的最小值为 ________．7．设函数 f(x)是定义在 (－∞， 0)上的可导函数，其导函数为f′ (x)，且有 2f(x)＋ xf′ (x)>x2，那么不等式(x＋2 014)2f(x＋ 2 014)－ 4f(－2)>0 的解集为 ________．数x≥ 0，函数 f(x)＝ e ＋ ax 恒大于零，那么实数专注·专业·口碑·极致- 21 -x9．设 a 为实数，函数f( x)＝ e － 2x ＋ 2a ，x ∈R .(1) 求 f(x)的单调区间与极值；(2) 求证：当 a>ln 2 －1 且 x>0 时， e x >x 2－ 2ax ＋ 1.10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度 ) ．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假设建造本钱仅与外表积有关，侧面的建造本钱为 100 元 /平方米，底面的建造本钱为 160 元 /平方米，该蓄水池的总建造本钱为12 000 π元 ( π为圆周率 )．(1) 将 V 表示成 r 的函数 V(r) ，并求该函数的定义域；(2) 讨论函数 V(r )的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大．B 组专项能力提升( 时间： 20 分钟 )11．设函数 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c(a ， b ， c ∈ R )．假设 x ＝－ 1 为函数 g(x)＝ f(x)e x 的一个极值点，那么以下图象不可能为 y ＝ f(x)的图象的是 ________． (填序号 )12．函数 3－3x ＋ 1 对 x ∈ (0,1] 总有 f(x)≥0 成立，那么实数a 的取值范围是 ________．f( x)＝ ax13．函数f( x)＝ ax 3－3x 2＋ 1，假设 f(x)存在唯一的零点 x 0，且 x 0>0，那么 a 的取值范围是 ________．14．设函数 f( x)＝ a 2ln x － x 2＋ ax ， a>0.(1) 求 f(x)的单调区间；(2) 求所有的实数 a ，使 e －1≤ f( x)≤ e 2 对 x ∈ [1， e]恒成立．115．函数f( x)＝ ln x ＋ x －1.(1) 求函数 f( x)的单调区间；(2) 设 m ∈R ，对任意的 a ∈ (－ 1,1)，总存在 x 0∈ [1， e]，使得不等式 ma －f(x 0)<0 成立，求实数 m 的取值范围．。