2019年高三数学三模试卷及答案

2019年高三第三次模拟测试
数 学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填
写在相应位置上．．．．．
． 1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝ ． 2．设a ∈R ，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝ ．
3．设a ∈R ，则“1>a ”是“21a >”的 条件． (填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)
4．已知平面向量,a b 的夹角为3π，且|a |＝1，|b |＝12
，则2+a b 与b 的夹角大小是 ．
5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b
-=>>
的焦距为直线20x y +=垂
直，则双曲线的方程为 ．
6．已知函数()(2+1)e x f x x =(e 是自然对数的底)，则函数()f x 在点(0，1)处的
切线方程为 ．
7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某人根据这一思想，设计了如右图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入的a 的值为 ． 8．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= ．
9．当实数x ，y
满足240,10,1
x y x y x +-⎧⎪
--⎨⎪⎩≤≤≥时，14ax y +≤≤
恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知O 为坐标原点，F 是椭圆
C ：22221y x a b
+=(0a b >>)的左焦点，A ，B
分别为C 的左，右
A
D C B
E
顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则
C 的离心率为 ．
11．已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC ，△MCA ，
△MAB 的面积分为x ，y ，z ，则
1x y x y z
+++的最小值分别为
．
12．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1101,55a S ==．记[]=lg n n b a ，其中[x ]表示不超过x 的
最大整数，如[][]0.90,lg991==．则数列{}n b 的前2017项和为
．
13．如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝2
π，∠B ＝23π， AB ＝6．在AB 边上取点E 使得BE ＝1，连结EC ，ED ，若
∠CED ＝23π，EC CD ＝
． 14．已知函数4,0,
e ()2,0,e
x
x x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥若123123()()()()f x f x f x x x x ==<<，则21()f x x 的范围是
．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
已知函数()4sin cos()3f x x x π
=++，0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
． (1)求函数()f x 的值域；
(2)已知锐角ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c a ，b 分别为函数()f x 的最小值与最大值，且ABC ∆求ABC ∆的面积．
A D
P M
B
16．(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PB =，PA PB ⊥，
AB BC ⊥，且平面PAB ⊥平面ABCD ，若2AB =，1BC =
，AD BD == (1)求证：PA ⊥平面PBC ；
(2)若点M 在棱PB 上，且:3PM MB =，求证//CM 平面PAD ．
17．(本小题满分14分) 有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O
D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．
(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；
(2)若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)
18．(本小题满分16分) 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210y x a b a b
+=＞＞ 的
，
抛物线E ∶24x y =的焦点F 是C 的一个顶点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设与坐标轴不重合的动直线l 与C 交于不同的两点A 和B ，与x 轴
交于点M ，且1(,2)2
P 满足2PA PB PM k k k +=，试判断点M 是否为定点？若是定点求出点M 的坐标；若不是定点请说明理由．
19．(本小题满分16分) 各项为正的数列{}n a 满足2
*111,()2n n n a a a a n λ
+==+∈N ，
(1)当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比；
(2)当2λ=时，令1
2n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，
求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．
20．(本小题满分16分) 已知函数2ln )(ax x x f +=（a ∈R ），)(x f y =的图象连续不间断．
(1)求函数)(x f y =的单调区间；
(2)当1=a 时，设l 是曲线)(x f y =的一条切线，切点是A ，且l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象(即动点在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧)，求切线l 的方程．
数学参考答案
一、填空题
1．{-101}，， 2．1- 3．充分不必要 4．6
π
5．2
214
x y -=
6．310x y -+= 7．4
8．6425
9．3[1,]
2
10．13
11．3
12．4944 13．7 14．(1,0)-
二、解答题
15．
(1)1()4sin (cos )22
f x x x x =⋅-
22sin cos x x x =-
sin 2x x =2sin(2)3x π
=+
(4)
分 因为06
x π≤≤，所以223
3
3
x πππ+≤≤，
sin(2)123
x π
+≤， ……………………………6分 所以函数()f x
的值域为⎤⎦．
(7)
分
(2)
依题意a =
2b =，ABC ∆
的外接圆半径4
r =
，
sin 23
2
a A r =
=
=
， ……………………………9分
sin 23
2
b B r =
=
=
cos 3
A =
，1cos 3
B =，………………………11分
sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=
， (13)
分
所以11sin 22
2
3
ABC
S ab C ∆=
=
⨯=． (14)
分
16．(1)证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAB 平面
ABCD
于AB ， 又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面PAB ．………3分 又PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ． ……………5分 由已知PA PB ⊥，且PB BC B =，
所以PA ⊥平面PAB ． ……………………………7分 (2)证明：如图，取AD 的中点E ，连结CE ， 在平面PAB 内，过点M 作//MF AB 交PA 于F ， 连结,FM FE . 在△PAB 中，由作法知//MF AB ，且334
2
MF AB ==， (9)
分
P
M B
C
D
A
F E
在底面ABCD 中，易证//CE AB 且32
CE =
， 所以//MF CE 且MF CE =， ………………………11分 所以四边形MCEF 是平行四边形，
所以//CM EF ， ………………………12分 又EF ⊂平面APD ，CM ⊄平面APD ，所以//CM 平面PAD ．……………14分
17．建立如图所示的平面直角坐标系，则
D (1)小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB
长为定值，故只需要AB 最小即可． 作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则
AB ==
又d OD =≤，故AB =≥ 此时点D 为AB 中点． 故小路的最短长度为4+(百米)(2)显然，当广场所在的圆与△ABC 面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为则△ABC 的面积为1()2
2
ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，……………6分 由弦长公式
AB =可得
2
2
44
AB d =-
，所以
222
2
(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+， (8)
分
设AB x =，则2222
2
(16)(4)
()444(4)
x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（）， 所
以
32222
28322(416)
'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==
++， (10)
分 又因为
0d CD
<≤，即
0d <，所以
)x AB ⎡==⎣，……………12分
所以22
2(416)
'()04(4)
x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-， 即
△ABC 的内切圆的面积最大
值为
(6-π．………………………………………14分
18．(1)由题意c a
=
1c =， …………………2分
所以2,1a b ==，故椭圆的方程为2
214
x y +=． …………………4分
设直线1122:(,),(,)AB x ty m A x y B x y =+，，代入22
14
x y +=得22()14ty m y ++=，
即222
(4)240()t y tmy m +++-=*，212122224,44
tm m y y y y t t -+=-=++，……………6分
22222
2
22
222412112(2)42(8)164242241211514424242m tm t m t m t m t m t t m tm t t m m t m t t -⎛
⎫⎛
⎫-----+--- ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭=
=-⎛⎫⎛⎫⎛
⎫--+--+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭，……………10分
又24
1
122
PM
k m
m =
=
--，8212PM k m =-． (12)
分
因为2PA PB
PM k k k +=，所以2
158241280181416.2122m m m m m ⎧⎪-⋅=-⎪⎪
-=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎩
，，
解得8m =．……………15分
经检验()*有解时恒成立，存在定点(8,0)M 符合条件．……………16分
19．证明：(1)由1n a λ+=，得2
11
n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=，两边同时除以2n a 可得：
2
11
10n n n n a a a a ++⎛⎫-
-= ⎪⎝⎭
，……………2分
解得1n n a
a +=． ……………4分
121212*********
2
12122222
11112222
1122()()42211()22PA PB y y y y k k x x ty m ty m ty y t y y m y y m t y y t m y y m ----+=
+=+--+-+-
⎛⎫⎛
⎫-++-+-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
因为0n a >
，所以
1n n a a +=为常数，故数列{}n a
是等比数列，公比为
12
．……6分
(2)当2λ=时，2
12
n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+，
所以1
1122n
n n n a b a a +==+．
……………8分 1
1211223111111111
()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==，……10分
又2111
111
22n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；
……………12分 所以12111111
2n n n n S b b b a a a ++=+++=
-=-， ……………14分 故11
111
11122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ……………………16分
20．解:(1)2121
'()2(0)ax f x ax x x x
+=+=>，………………………1分
①0≥a 时，)(x f 的单调增区间是),0(+∞； (3)
分
②
<a 时，
)
(x f 的单调增区间是)21,0(a
-
，减区间是
),21
(+∞-
a
．……………6分
(2)设切点))(,(00x f x A ,00>x x x
x f 21
)(+=
',所以在点A 处切线的斜率是0021x x + 所以切线方程为))(21
(
)(000
0x x x x x f y -+=-，………………………7分
即02
000
ln 1)21
(x x x x x y +--+=．
l 在点
A 处穿过函数)(x f y =的图象，即在点A 的两侧，曲线)(x f y =在
直线的两侧．
令02
000
ln 1)21()(x x x x x x g +--+=，设)()()(x g x f x h -=，所以在0x x =附近两侧
)(x h 的值异号． (8)
分
设02
000
2ln 1)21
(ln )(x x x x x x x x h -+++-+=，注意到0)(0=x h ．
下面研究函数的单调性：
002121)(x x x x x h --+=
'=)1
2)((00x
x x x --=x
x x x x x x x x x x )21
)((212)(0
000
0-
-=--． …
……………10分
当
021x x <时：
)(),,0(0x h x x ∈0)()(0=<x h x h
当)(),21
,
(0
0x h x x x ∈是减函数,所以0)()(0=<x h x h 所以)(x h 在0x x =处取极大值，两侧附近同负，与题设不符． ……………12分
同理，当0
021x x >时，)(x h 在0x x =处取极小值，两侧附近同正，与题设
不符．
故0
021x x =
,
即2
20=
x 时，22(2()0x h x x
'=
≥，所以)(x h 在),0(+∞内单调增
所以当
)()(),,0(00=<∈x h x h x x ，当
0)()(),,21
(
00
=>+∞∈x h x h x x 符合题
设．………14分
所以2
20=
x ，切线方程为13
ln 222
y =--．
(16)
分
21．A ．证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FA
EA
=，
故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A ．
因为B ，E ，F ，C 四点共圆， ……………5分 所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EF A ＝∠CFE ＝90°． 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．
……………10分
21．B ．解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所
以
23,1,
,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨
-+==⎩⎩
且解得1,5,2,4a b c d ====.所以
1524M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
．……………5分
M 的特征多项式1
5
()(1)(4)10(1)(6)02
4
f λλλλλλλ--=
=---=+-=--, 所以λ＝6错误!未找到引用源。

或－1错误!未找到引用源。

．所以矩阵M 的特征值为6或－1． ……………10分
21．C ．解：曲线C 的普通方程为22
1124
x y +=． …………2分
由曲线
C 方程与直线20x y --=联立,可求得AB =4
分
PAB 的面积最大，即点P 到直线l 的距离d 最大．
设
,sin )P θθ，|4cos()2|
d θπ
+-==， (6)
分
当cos()16θπ
+=-，即2,6
k k θ5π
=π+∈Z 时，
max d =
=8分
PAB 的最大面积为1
92
S AB d =⨯⨯=．
……………10分
21．D ．证明：因为1a b c ++=，
所以()()()222
111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++． 所以要证明()()2211a b ++++()21613
c +≥，
即证明22213
a b c ++≥．
……………5分
因为222a b c ++=()2
a b c ++()2ab bc ca -++()2
a b c ≥++-()2222a b c ++， 所以()2223a b c ++()2
a b c ++≥． 因为1a b c ++=，所以22213
a b c ++≥．
所以()()2211a b ++++()21613
c +≥．……………10分
22．以A 为原点，AB 、AD 、AP 的方向分别作为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示．设AB ＝b ，则：
A (0,0,0)，
B (b,0,0)，
C (b,2,0)，
D (0,2,0)，P (0,0,1)． (1)因为PC ＝(b,2，－1)，DB ＝(b ，－2,0)．
易证得BD ⊥平面PAC ，从而PC ⊥DB ，……………2分 所以PC ·DB ＝b 2－4＝0，
从而b ＝2．结合(1)可得DB ＝(2，－2,0)，……………4分 是平面APC 的法向量．
现设n ＝(x ，y ，z )是平面BPC 的法向量，则n ⊥BC ，n ⊥PC ，即n ·
BC ＝0，n ·
PC ＝0． 因为BC ＝(0,2,0)，PC ＝(2,2，－1)， 所以2y ＝0,2x －z ＝0．
取x ＝1，则z ＝2，n ＝(1,0,2)． ……………6分
令θ＝〈n ，DB 〉，则
cos
||||5DB DB θ⋅=
==n n ……………8分
sin
θ，tan θ＝3．
由图可得二面角B －PC －A 的正切值为3．……………10分 23．解：(1)由于(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，由定义1
(,)
||n i i i d A B a b ，
可得(,)4d A B . ……………4分
(2)反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T 向量序列123,,,,m A A A A ， 使得1(1,1,1,1,1)A ，(0,0,0,0,0)m A ．
因为向量1(1,1,1,1,1)A 的每一个分量变为0，都需要奇数次变化， 不妨设1A 的第(1,2,3,4,5)i i 个分量1变化了21i n 次之后变成0， 所以将1A 中所有分量1 变为0 共需要 12345(21)(21)(21)(21)(21)n n n n n 123452(2)1n n n n n 次，此数为奇数． 又因为*1(,)2,i i d A A i N ，说明i A 中的分量有2个数值发生改变，进而变化到1i A +，所以共需要改变数值2(1)m -次，此数为偶数，所以矛盾．
所以该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0)．……………10分。