2019年高三数学三模试卷及答案

2019年高三第三次模拟测试

数 学

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填

写在相应位置上．．．．．

． 1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝ ． 2．设a ∈R ，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝ ．

3．设a ∈R ，则“1>a ”是“21a >”的 条件． (填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)

4．已知平面向量,a b 的夹角为3π，且|a |＝1，|b |＝12

，则2+a b 与b 的夹角大小是 ．

5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b

-=>>

的焦距为直线20x y +=垂

直，则双曲线的方程为 ．

6．已知函数()(2+1)e x f x x =(e 是自然对数的底)，则函数()f x 在点(0，1)处的

切线方程为 ．

7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某人根据这一思想，设计了如右图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入的a 的值为 ． 8．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= ．

9．当实数x ，y

满足240,10,1

x y x y x +-⎧⎪

--⎨⎪⎩≤≤≥时，14ax y +≤≤

恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知O 为坐标原点，F 是椭圆

C ：22221y x a b

+=(0a b >>)的左焦点，A ，B

分别为C 的左，右

A

D C B

E

顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则

C 的离心率为 ．

11．已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC ，△MCA ，

△MAB 的面积分为x ，y ，z ，则

1x y x y z

+++的最小值分别为

．

12．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1101,55a S ==．记[]=lg n n b a ，其中[x ]表示不超过x 的

最大整数，如[][]0.90,lg991==．则数列{}n b 的前2017项和为

．

13．如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝2

π，∠B ＝23π， AB ＝6．在AB 边上取点E 使得BE ＝1，连结EC ，ED ，若

∠CED ＝23π，EC CD ＝

． 14．已知函数4,0,

e ()2,0,e

x

x x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥若123123()()()()f x f x f x x x x ==<<，则21()f x x 的范围是

．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)

已知函数()4sin cos()3f x x x π

=++，0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

． (1)求函数()f x 的值域；

(2)已知锐角ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c a ，b 分别为函数()f x 的最小值与最大值，且ABC ∆求ABC ∆的面积．

A D

P M

B

16．(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PB =，PA PB ⊥，

AB BC ⊥，且平面PAB ⊥平面ABCD ，若2AB =，1BC =

，AD BD == (1)求证：PA ⊥平面PBC ；

(2)若点M 在棱PB 上，且:3PM MB =，求证//CM 平面PAD ．

17．(本小题满分14分) 有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O

D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．

(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；

(2)若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)

18．(本小题满分16分) 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210y x a b a b

+=＞＞ 的

，

抛物线E ∶24x y =的焦点F 是C 的一个顶点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设与坐标轴不重合的动直线l 与C 交于不同的两点A 和B ，与x 轴

交于点M ，且1(,2)2

P 满足2PA PB PM k k k +=，试判断点M 是否为定点？若是定点求出点M 的坐标；若不是定点请说明理由．

19．(本小题满分16分) 各项为正的数列{}n a 满足2

*111,()2n n n a a a a n λ

+==+∈N ，

(1)当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比；

(2)当2λ=时，令1

2n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，

求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．