1.2无阻尼自由振动 振动力学课件

22
1k2 a 2mg 1l2si2n 2 m 2 l2 ( k2 a m ) g 0
2
2 2 m 2 l 2 (k2 a m ) g 0
1ka 22mg 1lmg2l
2
2
1(ka2mg)l2mgl
0
k a2 mgl ml2
2
d T V 0
dt
解法2：
广义坐标
零势能位置1
k1
A
k1
a
R
k2
Bb
k2
确定系统微振动的固有频率
解：
广义坐标：圆柱微转角
k1
A
k1
圆柱做平面运动，动能：
T 1mv2 1 J2
22
a
k2
R
B
b
k2
C
1(3mR2)2
22
J
1 2
mR2
C点为运动瞬心
A点速度： vA(Ra)
B点速度： vB(Rb)
xA(Ra) xB(Rb)
势能： V 1 2(2 k 1 )(R a )22 1 2 (2 k 2)(R b )22
－ 这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问 题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例 而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。
0
x
k
m
0 k/m
瑞利法的概念:
在单自由度质量弹簧系统中，将无阻尼自由振动的简谐
规律代入具有分布质量的弹性元件，即以集中质量代替分
布质量，计算其动能，即
或考虑两个特殊位置上系统的能量
静平衡位置上，系统势能为零，
动能达到最大
T max
1 2
m
x
2 max
V max 0
最大位移位置，系统动能为零，
m k
0
静平衡位置
x
最大位移位置
m
0
xma
x
静平衡位置
势能达到最大
TmaxVmax
Tmax 0
V max
1 2
kx
2 max
xma x 0xmax
k
x
例：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动
斜面倾角 300
质量 m=1kg 弹簧刚度 k=49N/cm
开始时弹簧无伸长，且速度为零
k
300
重力加速度取 9.8
求： 系统的运动方程。
x0 x
mg
解：以静平衡位置为坐标原点建立坐标系。
振动固有频率：
0 k /m 49 10 2 / 1 70 (rad / s )
产生单位转角所需的力矩 (Nm/rad) 求：系统的扭振固有频率
k
J
解：在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径 作为角位移的起点位置
由牛顿第二定律：
（动量矩定理） Jk0
020
扭振固有频率 0 k / J
例：复摆
刚体质量 m 重心 C
对悬点的转动惯量 J 0
a
0 I0
C
mg
求： 复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率 。
解：
由牛顿定律(动量矩定理) ：
J0m gasin0
a
0
因为微振动： sin
振动微分方程 ： J0mga0
C
I0
固有频率 ： 0 mga/ J0
mg
若已测出物体的固有频率 ， 0则可求出 ，再J 由0 移轴定理
，可得物质绕质心的转动惯量：
Jc J0 ma2
实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法。
零势能位置1
m k/2 k/
2
动能 势能
T1I2 1m2l2
22
V211ka2m1 gc l o s
22
1 2k2 a2mg1l12si2n2
l a
1(ka22mg2l) 1(ka2mg)l2
2
2
Tm axVm ax
ma x 0max
0
ka2 mgl ml2
例：已知均质圆柱
质量m，半径R 与地面纯滚动 在A、B点挂有弹簧
从两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包 含着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是 感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量 ，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的 元件，它表现为具有刚度或扭转刚度的弹性体。
同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低， 而若刚度增加，则固有频率增大 。
g x
计算是较为方便
m k
弹簧原长位置
x
0
静平衡位置
x
例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EI
m h
l/2
0
l/2
求：梁的自由振动频率和最大挠度(最大静位移)。
解： 取平衡位置
以梁承受重物时的静平衡位置 为坐标原点，建立坐标系。
m h
静变形 x 0 由材料力学 ：
x0
mgl3 48EI
动能：
T 1(3mR2)2
22 势能：
k
1
A
k
1
a
k
R Bb
k
2
2
V 1 2(2 k 1 )(R a )22 1 2 (2 k 2)(R b )22
T m a x V m a x , m a x 0m a x
0 2 2 [ k 1 ( R 3 a m ) 2 2 k /2 2 ( R R b ) 2 ] 3 4 m [ k 1 ( 1 R a ) 2 k 2 ( 1 R b ) 2 ]
v W
绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和 ：
Tmax Ts kAW kA
1.47105 0.74105
v
2.21105(N)
动张力几乎是静张力的一半
W
由于 kAk v v km
0
为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度
例：如图所示 圆盘转动惯量 J
k 为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘
可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的 数学描述完全相同。
如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚
度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不 加特别声明时，弹簧质量系统是广义的 。
m x k x0
弹簧原长位置
x
m
0
静平衡位置
0 k/m
k
k
x
I
Jk0
0 k / J
求：绳的上端突然被卡住时， （1）重物的振动频率， （2）钢丝绳中的最大拉力。
v W
解：
x(t)x0co0st x0 0si n0t
0
k=5.781069.8=19.6rad/s m 1.47105
卡住 x = 0
xv
x 0.25 A = 0.0128
0 19.6
x(t) x 0sin ( 0 t)0 .0 1 2 8sin (1 9 .6 t) (m )
0 34 m[k1(1R a)2k2(1R b)2]
例：
铅垂平面内一个滑轮-质量-弹簧系统
滑轮为匀质圆柱，绳子不可 伸长，且与滑轮间无滑动，绳右 下端与地面固结。
k
1
R M
m
确定系统微振动的固有频率。
k2
解： 广义坐标：质量块的垂直位移 x
动能： T 1 m x 2 1 M (1 x )2 1 (1 M 2 )x ( R 2 )2
mg kx0
弹簧原长位置
m
0 x0
静平衡位置
零势能点
k
x
mgx xk(x)dx 0
Vmgx0xkxdxmgxkx0x12kx2
1 2
kx 2
TV1mx21kx2 d T V0
22
dt
不可能 x 0
(m x k)x 0 m x k x0
如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在 弹簧为自由长时的位置。
小结： 单自由度系统自由振动分析的一般过程： 1、由力学模型建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程； 2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值； 3、根据本征值，写出标准方程的通解； 4、根据初始条件，计算标准方程的特解。
单自由度系统自由振动分析的一般目标：
1、求系统的固有角频率，即固有频率（由振动方程求） ； 2、求解标准方程。
系统最大势能：
Vmax
二、能量法
对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可 以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出 系统的固有频率。
无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能 T 和势 能 V 之和保持不变 ，即：
TVconst
或：
d T V 0
dt
如果将坐标原点取在系统的静平衡位置 动能： T 1 mx2 2 势能： （重力势能） （弹性势能）
2 2 2 22 R
1(m1M1M)x2
k
1
2 48
R
1(m3M)x2
M
28
m
势能： V12k2x212k1(12x)2
xk 2
1 2(k2
14k1)x2
动能： T1(m3M)x2 28
势能：
V12(k2 14k1)x2
T m a V m x,ax x m a0 x x max
k1
R M
02
2k1 8k2 3M8m
x
0
2k1 8k2 3M 8m
m k2
小结：
能量法的概念:
利用无阻尼系统的机械能守恒，即动能 T 和势能 V 之
和保持不变 ，即：
d T V 0
dt
或
Tmax Vmax
求系统的固有频率和振动方程，固有频率即
x ma x 0xma x 0x maxx max
三、瑞利法
－ 利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考 虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有 的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限;
动能：
T 1 mx2 2
势能：
x
Vmgx kxdx
0
mgx 1kx2
2
m x x m x k g x x 0
零势能点
m k
0
弹簧原长位置
x0
静平衡位置
x
m xk xmg
设新坐标
y x mg k
x x0
m yk y0 d T V 0
dt
如果重力的影响仅是改变了惯性元 件的静平衡位置，那么将坐标原点取 在静平衡位置上，方程中就不会出现 重力项。
l/2
0
l/2
x
x0
静平衡位置
自由振动频率为 ：
0
g
x0
48EI m l3
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
x0 2gh
则自由振动振幅为 ：
m h
A
x02
x0
0
2
x02 2hx0
l/2
0
l/2
x
梁的最大挠度： xmax Ax0
x(t)x0co0 st)( x 0 0si n0t)(
x0
静平衡位置
T 1 mx2 2
Fra Baidu bibliotek
从而计算系统固有频率。
瑞利法，基于能量法，用于处理弹簧质量不能忽略的质 量弹簧系统的振动问题。
例如：弹簧质量系统
设弹簧的动能:
Tt
1 2
mex2
系统最大动能：
m e 弹簧等效质量
0
x
k ,m t
m
T m a x 1 2 m x m 2 a x 1 2 m ex m 2 a x 1 2 (m m e)x m 2 a x
单自由度系统的自由振动为简谐振动
固有频率
0
k m
——系统决定
振幅
A
x02
( x0
0
)2
初相位 arctan(0x— 0 ) —初始条件决定
x0
表示振动方程三要素
工程实例
例： 提升机系统 重物重量 W1.47105N
钢丝绳的弹簧刚度 k5.7 8140N/cm 5.78106N/m
重物以 v15m/min的0.速25度m均/s匀下降
对于转动：ma x 0 max
0 k/m
x(t) 0A c o s( 0 t ) x(t)Asi n0t ()
例题 质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平
面内作微幅摆动如图所示。求系统的固有频率。
解: 系统的动能
T1mxl2 1Jx2
2
2
J0 l m l1dx x20 lm l1x2dx1 3m 1l2
第二节 无阻尼的自由振动
无阻尼的自由振动 能量法 瑞利法 等效质量和等效刚度
一、无阻尼自由振动
一个系统只在初始时受到外界干扰，例如用力 将质量块偏离静平衡位置后突然释放，或者给 质量块以突然一击使之得到一个初始速度，然 后就靠系统本身的弹性恢复力维持的振动，称 为自由振动。
当 c = 时0 为无阻尼的自由振动
T1 2m 2 x 2l 1 6m 1 l2 x 21 6 3 m m 1 l2 x 2
系统的势能为：
l
xm
1
m
V m g l 1 c o s x m 1 g 2 l 1 c o s x 1 2 m g l x 2 1 4 m 1 g l x 2 1 4 2 m m 1 g l x 2
设初始条件
x(0) x0
解出：
C1 x0
∴ x(t)x0co0st x0 0si n0t
x(0)x0
C2
x 0 0
x(t)Asi n0t()
振幅
A x0相2 位(x角00 )2
arctan(0x0 )
x0
固有频率
0
单位k ：弧度/秒（rad/s） m
结论：固有频率取决系统的物理特性（质量、刚度）， 与初始条件及激励（外界）条件无关。
Tmax Vmax
可得：
n
32mm1g 23mm1l
例：如图所示是一个倒置的摆
摆球质量 m 刚杆质量忽略
k 每个弹簧的刚度 2
m k/2 k/
2
l a
求: 倒摆作微幅振动时的固有频率。
解法1：
m
零势能位置2
k/2 k/ 2
l
a
动能 T1I21m2l2
22
零势能位置2
势能 V211ka2mg cols
k
300
0 x
考虑方向
振动初始条件： kx0m gsin 300
x00.1(cm )
初始速度： x0 0
运动方程： x(t) 0 .1 co 7ts )0((c)m
x(t)x0co0 st)( x 0 0si n0t)(
当不易得到的 m、系k统，若能测出静变形
在静平衡位置： mg kx
0
k m