高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式

合集下载

数学竞赛辅导讲座：组合恒等式、组合不等式

数学竞赛辅导讲座：组合恒等式、组合不等式① ⑤ ② ③ ④ ⑥ 数学竞赛辅导讲座：组合恒等式、组合不等式知识、方法、技能Ⅰ．组合恒等式竞赛数学中的组合恒等式是以高中排列组合、二项式定理为基础，加以推广、补充而形成的一类组合问题.组合恒等式的证明要借助于高中常见的基础组合等式.例如0)1(2321021011111=-++-+-=++++?==+==----+++-nn n n n n n nn n n n n mr mn m n m n r n r n rn r n r nr n rn nr nC C C C C C C C C C C C C C r n C C C C C C组合恒等式的证明方法有：①恒等变形，变换求和指标；②建立递推关系；③数学归纳法；④考虑组合意义；⑤母函数. Ⅱ．组合不等式组事不等式以前我们见的不多，在其他一些书籍中组合不等式的著述也很少，但是近年来组合不等式的证明却出现在国内、国际大赛上.例如1993年中国高中数学联赛二试第二大题为：设A 是一个有n 个元素的集合，A 的m 个子集A 1，A 2…，A m 两两互不包含，试证：（1）∑=≤mi A nI C（2）∑=≥m i A n m C I 12||其中|A i |表示A i 所含元素的个数，||I A n C 表示n 个不同元素取|A i |的组合数. 再如1998年第39届国际数学奥林匹克竞赛中第二大试题为：在某一次竞赛中，共有a 个参赛选手与b 个裁判，其中b ≥3，且为奇数.每个裁判对每个选手的评分中只有“通过”或“不及格”两个等级，设k 是满足条件的整数；任何两个裁判至多可对k 个选手有完全相同的评分. 证明：.21bb a k -≥ 因此我们有必要研究组合不等式的证明方法.组合不等式的证明方法有： 1．在集合间建立单射，利用集合阶的不等关系定理，设X 和Y 都是有限集，f 为从X 到Y 的一个映射，（1）若f 为单射，则|X|≤|Y|；（2）若f 为满射，则|X|≥|Y|. 2．利用容斥原理例如：设元素a 属于集族{A 1，A 2，…，A n }的k 个不同集合k i i i A A A ,,,21 ，则在∑=ni iA 1||中a 被计算了k 次，当k ≥2时，集合k i i i A A A ,,,21 两两的交集共有2k C 个.由于||,12)1(12j nj i i k A A a k k k C ∑≤≤≤-≥-=在故中至少少被计算了k －1次，这样我们得到下面的不等式：1jnj i ii ni i ni AA A A ∑∑≤≤≤==-≥组合不等式（*）可由容斥公式：||)1(||||||1)1(111i ni n jnj i ii ni i ni A AA A A =-≤≤≤==-++-=∑∑ 删去右边第三个和式起的所有和式得到.采用这种办法，我们可以从容斥公式得到另外一些组合不等式，只是要注意这些不等式的方向的变化.3．利用抽屉原则由于抽世原则的结论本身就是组合不等式关系，所以我们利用抽屉原则，巧妙构造抽屉的方法证明组合不等式.4．利用组合分析在复杂的组合计数问题、离散极值问题等问题中，会出现一些组合不等式，这时可运用组合分析方法证明之.赛题精讲例1 证明：∑=-?+=nk n k n n n n C 0122!!2)!2(2【分析】把∑∑∑∑+=+===-nn k kn n n k knnk k nnk k nC C CC21221220202,而对于变形为，变换求和指标.【证明】k n j C CCC Cnn k kn nn k k nnnn k k nnk k nnk k n-=-=-=∑∑∑∑∑+=+=+===2,,2 212212221220202令对于和式，则.20202212212nn nk k n nj n nj n n j j n nn k k nC C C C C C-=-==∑∑∑∑==-=+= 所以.2202202nn nk k n nnk k nC C C+-=∑∑== 即 nn n nk kn C C220222+=∑=，从而有∑=-?+=nk n k n n n n C 0122!!2)!2(2.例2 求证：.,)1(111)1(312111210N n C n m C n m C m C m C m n nm nn nnn n ∈++=++-+-+++-++其中证明设n n n n n n n C n m C m C m C m a 11)1(312111210++-+-+++-+=，则由基本恒等式r n r n r n r n r n C nr C C C C =+=----1111及得.1)1()()1()(31)(211111122111112101110------------++-+++-+-+++++-+=n n n n n n n n n n n n n n C n m C C n m C C m C C m C m a .)1(1)1)(2())(1(!,)1)(2(12111,)3())(1(!))(1()1(1.1,1112111nn m n n n n n n n n n n C n m m m n m n m n a m m m m a a m n m n m n a n m n m n n a n m n a a a n m a a n m a a +----++=+++++=++=+-+=++++==+++-=++==+++-=从而有而所以即故【说明】注意到a n 中各项的系数均与n 无关，且符号正负相同，由此想到a n 与a n －1之间必定存在着某些联系，且是递推关系. 例3 求证：∑=+--+=?-nk kk n k n kn C 01222.12)1(【分析】考虑到恒等式12212---+-+=k k n k k n k k n C C C ，仿例2解决.【证明】令∑=+--??-=nk kk n k n kn C a 01222,2)1(因为，12212---+-+=k k n k kn kk n C C C ，.2)1(2)1(2)1(,1.2)1(2)1()(2)1(22)1(211)1(2102)1(21)1(212)1(21121221212202221212222112222-+---=--+---=--+--=---=-=----=--=+---=--=?-=?--=?-+?-=+?-+=?-+=∑∑∑∑∑∑∑n r r n n r r n r r r n n r r n r k kn nk kn kk k n nk k n k nk kkn kn kk k n nk k k n k n k nnk kk n k n k nn a C C Ck r C C C C C a 则令所以令∑=---+==?-nk n n n n kk n k n ka ab b C 01222,2)1(则① .42)1(4)1()(2)1(2)1(2)1(21110)1(22)1(211121112222112222---=---------=----=---=?--=-++?-+=-+?-+=∑∑∑n n n j j jn j n j n n k k n n k k k n k n k nn k n k k n k n k nn b a C a C C C b 又于是由①式得1221112112,4,---------=+--=++=n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b 即从而推知. 这说明{a n }为等差数列，而a 0=1,a 1=2，故公差d=1，且a n =n+1 .【说明】此题运用变换求和指标的方法，找出了a n ，a n －1，a n －2之间的线性关系式，再由初始条件求得a n .这种利用递推关系求组合数的方法，在解决较复杂的计算或证明组事恒等式时经常用到.。

高中数学竞赛专题讲座——竞赛中的三角恒等问题

高中数学竞赛专题讲座9——竞赛中的三角恒等问题（第一张）林国夫整理姓名__________班级_____________学号____________常用的三角恒等公式1.和角与差角公式:sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=,相关变式：①和差为积：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2sin cos 22αβαβαβ-+-=；cos cos 2coscos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- ②积化和差：1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=--+；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=++- 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=++-；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；tan tan tan()(1tan tan ),αβαβαβ+=+- tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+③辅助角公式：sin cos )a b αααϕ+=+，其中sin ϕϕ=或者sin cos )a b αααφ+=-，其中sin φφ==注意特殊角的三角函数：11sin,cos ,sin 62623232ππππ====. 2.二倍角公式：sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-.降次公式： ;22cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+= 万能公式：222222tan 1tan sin 22sin cos ,cos 2cos sin 1tan 1tan αααααααααα-===-=++22tan tan 21tan ααα=-. 3.三倍角公式3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-sin 3sin()sin sin()334ππαααα-⋅⋅+=；cos3cos()cos cos()334ππαααα-⋅⋅+=.tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγαβγαββγγα++-⋅⋅++=-⋅-⋅-⋅4.三角恒等的高次问题24sin sin()sin()033ππααα++++=；222243sin sin ()sin (332ππααα++++=； 444249sin sin ()sin (338ππααα++++=2222sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ-=-=+⋅- 2222cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ-=-=+⋅-5.三角的求和问题00021212sincos()sin()sin()222cos()2sin 2sin22nnn k k k d k k x kd x d x d x kd d d ===+-⋅++-++===∑∑∑ 211(1)sin()sin()sin cos()22222sin sin22n n d ndx d x d x d d +++-+⋅+=.00021212sin sin()cos()cos()222sin()2sin 2sin22n n n k k k d k k x kd x d x d x kd d d ===-+⋅++-++===∑∑∑ 21(1)cos()cos()sin sin()22222sin sin22d n n d ndx x d x d d ++--+⋅+=. 一.有关三倍角公式及其应用例1 有关三倍角公式及其应用（1）3sin 33sin 4sin ααα=-；（2）3cos34cos 3cos ααα=- （3）sin 3sin()sin sin()334ππαααα-⋅⋅+=；（4）cos3cos()cos cos()334ππαααα-⋅⋅+=.求解下列各式：sin18,sin18sin 54,sin 36sin 72︒︒︒︒︒.例2 设实数(1,2,,)i x i n = 满足111x -≤≤ ，且321133223111343434n n n n x x x x x x x x x x x ++⎧=-⎪=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪=⎩ ，求(1,2,,)i x i n = .例3 求值：23cos cos cos 777πππ-+例4 求23tantan tan777πππ，22223tan tan tan 777πππ++，2222222233tan tan tan tan tan tan 777777ππππππ⋅+⋅+⋅ 22223cot cot cot 777πππ++的值. 练习一：1.求函数()cos 46cos317cos 230cos f x x x x x =+++的值域.2.求函数()cos34cos 28cos ,f x x x x x R =++∈的最小值.3.求证：cos33cos 1(3cot cot 3)sin 32ααααα+=-.4.证明：cos 7π为无理数.5.已知数列{}n a 满足13133,2n n n a a a a +=-=，求数列{}n a 的通项公式.二.利用三角恒等公式求解三角值的各种方法与技巧例5.求下列三角函数的值（1）cot104cos10︒︒-（2）证明：11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα+= .（3）求值：(1tan1)(1tan 2)(1tan 45)︒︒︒+++= ____________.（4）证明：1sin()sin 2sin sin()sin[(1)]sin 2n nd d d n d d αααα-+⋅+++++-=.拓展：1sinsin 22sin sin 2sin sin 2n nn αααααα+⋅+++=.拓展：2sin sin sin 3sin 5sin(21)sin n n αααααα+++-= .拓展：sin(1)sin sin 2sin 4sin 6sin 2sin n n n αεααααα++++=拓展：23(1)sin sin sin sin cot 2n n n n n nπππππ-++++= .（5）证明：1cos()sin 2cos cos()cos[(1)]sin 2n nd d d n d d αααα-+⋅+++++-=拓展：1cossin 22cos cos 2cos3cos sin2n nn ααααααα+⋅++++=高中数学竞赛专题讲座9——竞赛中的三角恒等问题（第二张）林国夫整理姓名__________班级_____________学号____________拓展：cos(1)sin cos 2cos 4cos 6cos 2sin n n n ααααααα+⋅++++=拓展：cos sin cos cos3cos5cos(21)sin n n n ααααααα⋅++++-= .（6）①求sin1sin 2sin 3sin88sin 89︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅ 的值②sin1sin 3sin 5sin 87sin89︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅③44sin 2sin 4sin 6sin88sin 902︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅= . （7）39cos cos cos 131313πππ++（8）4444357cos cos cos cos 16161616ππππ+++ （9）55557coscos cos 999πππ++ 三.三角恒等变形中的裂项相消法例6 利用三角恒等求证下列各式：（1）证明：1111cot cot 2sin 2sin 4sin 8sin 2nnx x x x x x++++=- .（2）证明：223311111tan tan tan tan cot cot 2222222222n n n n x x x x xx +++++=- .（3）化简：111sin 45sin 46sin 47sin 48sin133sin134︒︒︒︒︒︒+++（4）化简：111sin1sin 2sin 2sin 3sin89sin 90︒︒︒︒︒︒+++（5）化简：2sin 24sin 46sin 6178sin178︒︒︒︒++++（6）化简：111cos33cos33sin 3k k nk kk x xx --=+=∑_______________.（2）由于1111121cos33cos311cot 3cot 3(3cot 3cot 3)(3sin 323233k k k k k kk k k k k x x x x x x x -------+=-=-⋅四.三角恒等中的递推思想例7（利用递归思想求解）证明：对任何的正整数n ，tan 15cot 15nn︒︒+为一个正偶数.练习二：1.(2011江苏)已知1cos 45θ=，则44sin cos θθ+= ．2.（2011山西）2000sin 130sin 70cos80+= ．3. 求sin 20sin 40sin80cos 20cos 40cos80︒︒︒︒︒︒+的值________________ 4.设,,αβγ是公差为3π的等差数列，求tan tan tan tan tan tan S αββγγα=++的值____ 5.（2011江西）sin 6sin 42sin 66sin 78︒︒︒︒= ． 6.求71cos15k k π=∏的值_______________ 7. 求111..._____sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin 90+++=︒︒︒︒︒︒.8.求441(1tan )k k ︒=+∏的值.9.求512cos11k k π=∑的值.10.求57coscos cos 999πππ++的值五.自主招生中的三角恒等问题1.（2017年北京大学博雅计划5）35(1cos )(1cos cos 777πππ+++的值为（） A.98 B. 78 C. 34D.前三个答案都不对 2.（2017年北京大学优特数学测试3）9tan102tan 204tan 40tan 80︒︒︒︒++-=________.3.（2010清华大学特色试题）求444sin 10sin 50sin 70︒︒︒++的值.4.（2015年清华大学金秋营1）已知函数31()4sin cos 2sin cos cos 42f x x x x x x =--，则()f x 的单调递减区间为_________________.5.（2017年北京大学自主招生试题4）3(1cos )(1cos )55ππ++的值为___________.6.（2016年北京大学生命科学冬令营试题5）设322παπ<<，则=_______. 7.（2016年北京大学博雅计划试题7）210cos cos cos 111111πππ 的值为( ) A.116-B.132-C.164- D.前三个答案都不对 8.（2017年清华大学附加科目测试试题5）55557cos cos cos 999πππ++9.（2016年清华大学领军计划13）设24x π=，则sin sin cos 4cos3cos3cos 2x x x x x x+ sin sin cos 2cos cos x xx x x++=_______________.10.（2016年北京大学生命科学冬令营试题16）设7πα=，则222sin sin 2sin 3ααα++的值为_______________.11.（2016年北京大学博雅计划7）210coscos cos 111111πππ⋅= ______________.12.（2015年北京大学化学体验营3）求证：（1）2468101cos cos cos cos cos 11111111112πππππ++++=-. （2）32tan 4sin 1111ππ+=.13.（2014年北京大学全国优秀中学生体验营3）证明：若n 为不小于2的自然数，t R ∈且sin 02t ≠，则2111sin 2(12cos )sin 2n k k p nt pt t -==⎛⎫ ⎪+=⎪ ⎪⎝⎭∑∑.。

数学中的三角恒等式与三角不等式

数学中的三角恒等式与三角不等式三角恒等式是指在三角函数中成立的等式关系，而三角不等式则是指在三角函数中成立的不等式关系。

这两个概念在数学中具有重要的意义，不仅在解题过程中有着广泛的应用，而且在理论推导和证明中也起到了关键的作用。

本文将从三角恒等式和三角不等式的定义、性质以及应用等方面进行论述。

一、三角恒等式1. 定义三角恒等式是指在三角函数中成立的等式关系。

常见的三角恒等式包括正弦函数、余弦函数和正切函数的恒等式。

例如，正弦函数的恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1是最为著名的三角恒等式之一。

2. 性质三角恒等式具有以下几个重要的性质：（1）对于任意实数θ，三角恒等式都成立；（2）三角恒等式在数学推导和证明中起到了重要的作用；（3）三角恒等式可以用来简化复杂的三角函数表达式；（4）三角恒等式的证明可以通过几何方法、代数方法以及三角函数的性质等多种途径。

3. 应用三角恒等式在数学中有着广泛的应用，特别是在解三角方程、求极限、求导数等方面。

通过运用三角恒等式，可以简化问题的解题过程，提高解题的效率。

此外，三角恒等式在物理学、工程学等实际应用中也有着重要的作用。

二、三角不等式1. 定义三角不等式是指在三角函数中成立的不等式关系。

常见的三角不等式包括正弦函数、余弦函数和正切函数的不等式。

例如，正弦函数的不等式sinθ < 1是最为常见的三角不等式之一。

2. 性质三角不等式具有以下几个重要的性质：（1）对于任意实数θ，三角不等式都成立；（2）三角不等式可以用来判断三角函数的取值范围；（3）三角不等式在数学推导和证明中起到了重要的作用；（4）三角不等式的证明可以通过几何方法、代数方法以及三角函数的性质等多种途径。

3. 应用三角不等式在数学中也有着广泛的应用。

它可以用来证明三角函数的性质，判断三角函数的增减性，以及解决与三角函数相关的不等式问题。

此外，三角不等式在几何学、物理学等领域中也有着重要的应用。

奥林匹克数学题型代数恒等式与不等式

奥林匹克数学题型代数恒等式与不等式奥林匹克数学题型：代数恒等式与不等式代数恒等式和不等式是奥林匹克数学竞赛中常见的题型之一。

通过研究恒等式和不等式的性质和性质，可以深入理解数学的基本概念和方法。

在本文中，我们将探讨奥林匹克数学竞赛中常见的代数恒等式和不等式题型及解题方法。

1. 线性恒等式和不等式线性恒等式和不等式是最简单和最基本的代数恒等式和不等式。

形式上，线性恒等式可用以下表示：ax + b = cx + d其中，a、b、c、d为实数，并且a和c不同时为0。

要求找到x的值使得等式成立。

解决线性恒等式时，可以通过合并同类项、移项、整理得到最终的结果。

例如：2x + 3 = 4x + 5将所有含x的项放到一边，常数项放到另一边，经过整理得到：2x - 4x = 5 - 3-2x = 2x = -1类似地，线性不等式的解题方法与线性恒等式类似。

不同之处在于，当乘以或除以负数时，需要改变不等号的方向。

2. 平方恒等式和不等式平方恒等式和不等式以平方项为主要特征。

形式上，平方恒等式可用以下表示：(ax + b)² = (cx + d)²其中，a、b、c、d为实数，并且a和c不同时为0。

解决平方恒等式的关键是找到可能的解，并对解进行验证。

举例来说：(x + 1)² = 9通过开方可得：x + 1 = ±3当x + 1 = 3时，x = 2当x + 1 = -3时，x = -4平方不等式与平方恒等式类似，不同之处在于需要考虑到平方的非负性质。

3. 分式恒等式和不等式分式恒等式和不等式以分式项为主要特征。

形式上，分式恒等式可用以下表示：(a/x + b/y) = (c/x + d/y)其中，x和y不等于0。

解决分式恒等式的关键是找到可能的解，并对解进行验证。

例如：(3/x + 1/y) = (2/x + 4/y)通过合并同类项，得到：(1/x + 3/y) = 0同样地，分式不等式的解题方法与分式恒等式类似。

高中数学奥林匹克竞赛讲座 33三角函数

竞赛讲座33－三角函数几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小.三角函数的本质就是用线段长度之比来表示角的大小，从而将两个基本量联系在一起，使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题.三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具.1．角函数的计算和证明问题在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：（1）三角函数的单调性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga 随a的值增大而减小；当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.注意到sin45°=cos45°=,由(1)可知,当时0＜a＜45°时,cosa＞sina;当45°＜a＜90°时,cosa＜sina.(2)三角函数的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出）.例1（1986年全国初中数学竞赛备用题）在△ABC中，如果等式sinA+cosA=成立，那么角A是（）（A）锐角（B）钝角（C）直角分析对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论.解当A=90°时，sinA和cosA=1；当45°＜A＜90°时sinA＞，cosA＞0，∴sinA+cosA＞当A=45°时，sinA+cosA=当0＜A＜45°时，sinA＞0,cosA＞∴sinA+cosA＞∵1, 都大于.∴淘汰（A）、（C），选（B）.例2（1982年某某初中数学竞赛题）ctg67°30′的值是（）（A）-1 （B）2-（C）-1（D）（E）分析构造一个有一锐角恰为67°30′的Rt△，再用余切定义求之.解如图36-1，作等腰Rt△ABC，设∠B=90°，AB=BC=1.延长BA到D使AD=AC，连DC，则AD=AC=，∠D=22.5°,∠DCB=67.5°.这时，ctg67°30′=ctg∠DCB=∴选(A).例3(1990年某某市初中数学竞赛题)如图,在△ABC中,∠A所对的BC边的边长等于a,旁切圆⊙O的半径为R,且分别切BC及AB、AC的延长线于D，E，F.求证:R≤a·x+a=y+b, ①且BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是,x-a=y-b. ②①+②得,x=y.从而知a=b.∴GE=BC=a.设⊙O′半径为r.显然R+r≤OO′ (当AB=AC)时取等号.作O′M⊥EO于M,则O′M=GE=a,∠OO′M=∴R+r≤两式相加即得R≤.例4（1985年某某等四市初中联赛题）凸4n+2边形A1A2A3…A4n+2（n为自然数）各内角都是30°的整数倍，已知关于x的方程：x2+2xsinA1+sinA2=0 ①x2+2xsinA2+sinA3=0 ②x2+2xsinA3+sinA1=0 ③都有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数.解∵各内角只能是、、、，∴正弦值只能取当sinA1=时，∵sinA2≥sinA3≥∴方程①的判别式△1=4（sin2A1-sinA2）≤440方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1≠.当sinA1=时，sinA2≥，sinA3≥，∴方程①的判别式△1=4（sin2A1-sinA2）=0.方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1=.综上所述，可知sinA1=1，A1=.同理，A2=A3=.这样其余4n-1个内角之和为这些角均不大于又n为自然数，∴n=1,凸n边形为6边形,且A4+A5+A6=4×2.解三角形和三角法定理推论设a、b、c、S与a′、b′、c′、S′.若我们在正、余弦定理之前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由.（1）解三角形例5（第37届美国中学生数学竞赛题）在图36-3中，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α,△CDE和△ABE的面积之比是( ).(A)cosα(B)sinα(C)cos2α(D)sin2α(E)1-sinα解如图，因为AB∥DC,AD=CB,且△CDE∽△ABE,BE=AE,因此连结AD，因为AB是直径，所以∠ADB=在直角三角形ADE中，DE=AEcosα.∴应选(C).例6 (1982年某某初中数学竞赛题)如图36-4,已知Rt△斜边AB=c,∠A=α,求内接正方形的边长.解过C作AB的垂线CH，分别与GF、AB交于P、H，则由题意可得又∵△ABC∽△GFC，∴，即（2）三角法.利用三角知识（包括下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法.其特点是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，通过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，从而减少几何计算和证明中技巧性很强的作辅助线的困难.例7（1986年全国初中数学竞赛征集题）如图36-5，在△ABC中，BE、CF是高，∠A=，则△AFE和四边形FBCE的面积之比是（）（A）1∶2（B）2∶3（C）1∶1（D）3∶4解由BE、CF是高知F、B、C、E四点共圆，得AF·AB=AE·AC.在Rt△ABE中，∠ABE=，∴S△AFE∶S FBCE=1∶1.应选(C).例8 (1981年某某中学生数学竞赛题)在△ABC中∠C为钝角,AB边上的高为h,求证:AB＞2h.证明如图36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB) ①∵∠C是钝角,∴∠A+∠B＜,∴ctgB＞ctg(-A)=tgA.②由①、②和代数基本不等式，得例9 （第18届国际数学竞赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长的和为16cm.试确定另一条对角线的所有可能的长度.解如图36-7，设四边形ABCD面积S为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z.则x+y+z=16(cm)由但S=32，∴sinθ=1,sin =1,且x-8=0.故θ==此处无图例10 (1964年某某中学数学竞赛题)设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，整数n≥3,求证:a n+b n＜.分析如图34-8,注意到Rt△ABC的边角关系:a=c sinα＞0,b=ccosα＞0,可将不等式转化为三角不等式sin nα+cos nα＜1来讨论.证明设直角三角形一锐角∠BAC=α(如图),则。

9(高中竞赛讲座)三角恒等式与三角不等式

高中数学竞赛讲座99三角恒等式与三角不等式三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律.三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。

证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。

当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于2t a n x t 的代数恒等式的证明问题..为此，同学们要熟练掌握各公式及各公式的来龙去脉和变形形式.上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础.此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法.三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器.三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式)](21[))()((c b a p c p b p a p p S ++=---=其中，大家往往不甚熟悉，但十分有用.例题讲解1．已知.cos sin )tan(:,1||),sin(sin A A A -=+>+=βββαβαα求证2．证明：.cos 64cos 353215cos 77cos 7x x x ocs x x =+++3．求证：.112tan 312tan 18tan 18tan 3=++ 4．已知.20012tan 2sec :,2001tan 1tan 1=+=-+αααα求证5．证明：.3sin )60sin()60sin(sin 4θθθθ=+-6．求证：①16178cos 66cos 42cos 6cos = ②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.106)41(45⨯ 7．证明：对任一自然数n 及任意实数m n k m x k ,,,2,1,0(2 =≠π为任一整数），有8．证明：.2sin 21sin )2sin()sin()2sin()sin(sin βββαβαβαβαα++=+++++++n n n 9．若πθ<<0，求证：03sin 312sin 21sin >++θθθ 10．已知πθ<<0，证明：22sin 2θθctg ≤，并讨论等号成立的条件。

高中数学奥林匹克竞赛知识讲座-不等式

. . . A B
n n
B
1 + i
aibi1
i 1
n
nk 2 (n 2) sec 2 ，其中约定 bn 1 b1 。 4 2n
A
A
1 + i
n
B
1
B
证明如图 1，作边长为 k 的正 n 边形 A1 A2 ... An ，易证
i
A
A
. . .
i
2
sn边形A1 A2 ... An
2
此外,阿贝尔恒等式也是许多有关和式的不等式的导出恒等式：
aibi bn ai ( ai ) bk bk 1 .
i 1 i 1 k 1 i 1
n
n 1
k
2.3
一些著名不等式的应用例5. 设 a, b, c 为正数且各不相等,求证:
2 2 2 9 . ab bc ca abc

x(
=
x 1 1 4 y 1 1 4 z 1 1 4 ( ) ( ) ( )6 6 , 2 y z yz 2 z x zx 2 x y x y
当且仅当 x y z ,即 a b c 时,等号成立. 评注换元法常用来去分母、去根号,从而化简数式,对于条件 abc 1 ，常用代换
n
a1a2 ...an 作代换
xi
ai ,1 i n ，则 x1 x2 ...xn 1 . G
以下证明：一定存在正整数 p ，对任意的 s ，均有 x p 1 x p 2 ...x p 3 1 。鉴于 x1 x2 ...xn 1 。那么可取 p n .若它只需对 s n 进行证明。如果 x1 , x1 x2 ..., x1 x2 ...xn 这 n 个乘积值均不大于 1，们之中至少有一个大于 1 ，则不妨设 x1 x2 ...x p 是其中的最大值，有

高中数学竞赛讲义(全套)

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

全国高中数学联赛培训讲座三角函数

全国高中数学联赛培训讲座第一讲三角函数一、考题回顾1．（92年）在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别记为a ,b ,c (b ≠1)，且A B A C sin sin ,都是方程x blog=log b (4x -4)的根，则△ABC ( )(A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 2．（92年）在区间[0,π]中，三角方程cos7x =cos5x 的解的个数是______. 3．（93年）若M ={(x ,y )| |tg πy |+sin 2πx =0}，N ={(x ,y )|x 2+y 2≤2}，则M N 的元素个数是（）(A)4 (B )5 (C )8 (D )9 4．（93年）若直线x =4π被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0 所截的弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( )(A) 4π (B ) 3π (C )2π (D )π5．（93年）在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则2cos 2sin A C A C ++-的值是( )(A)1 (B )21 (C )31 (D )-16．（94年）设a,b,c 是实数,那么对任何实数x, 不等式a x b x c sin cos .++>0都成立的充要条件是 (A)a,b 同时为0,且c >0 (B)a b c 22+=(C)a b c 22+< (D)a b c 22+>7．（94年）已知0104<<<<b a ,π,则下列三数:x a b a =(sin )log sin ,y a b a =(cos )log cos , z a b a =(sin )log cos 的大小关系是(A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z8．（94年）已知x y a R ,[,],∈-∈ππ44且x x a y y y a 332040+-=++=⎧⎨⎩sin sin cos 则cos()x y +2=_____.9．（94年）设0<<θπ,则sin (cos )θθ21+的最大值是______.10．（95年）1tg log ,1sin log ,1tg log ,1cos log 1cos 1cos 1sin 1sin 的大小关系是( ) (A)1tg log 1log 1sin log 1cos log 1cos 1sin 1cos 1sin <<<tg (B)1tg log 1cos log 1log 1sin log 1sin 1sin 1cos 1cos <<<tg (C)1cos log 1sin log 1tg log 1tg log 1sin 1cos 1cos 1sin <<< (D)1sin log 1cos log 1tg log 1tg log 1cos 1sin 1sin 1cos <<<11．（96年）设x ∈-(,)120,以下三个数απ1=cos(sin )x ,απ2=sin(cos )x ,απ31=+cos()x 的大小关系是( )(A)ααα321<< (B)ααα132<< (C)ααα312<< (D)ααα231<< 12．（97年）设x x x f π-=2)(,α =arcsin 31,)45(arcctg ),31arccos(,45arctg -=-==δγβ,则(A ))()()()(γδβαf f f f >>> (B ))()()()(γβδαf f f f >>> (C ))()()()(γβαδf f f f >>> (D ))()()()(βγαδf f f f >>> 13．（97年）设x ≥y ≥z ≥12π，且x +y +z =2π，求乘积cos x sin y cos z 的最大值和最小值．14．（99年）在△ ABC 中，记 BC = a ，CA = b ，AB = c ，若9 a 2 +9 b 2-19 c 2=0，则ctgBctgA ctgC+ =__________.15．（99年）已知当 x ∈[0,1]时，不等式x 2co sθ-x(1-x)+(1-x)2s inθ>0，恒成立，试求θ的取值范围。

高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座11三角运算及三角不等式

比赛讲座 11――三角运算及三角不等关系三角运算的基本含义是应用同角公式、引诱公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等的统称），对三角式作各样有目的的变形（主要指恒等变形），有时表现为计算求值、有时表现为推理证明。

因为三角公式好多，而且存在着联系，所以必定要注意选择公式的目的性与简单性。

三角运算一．三角运算的惯例思虑三角运算主权波及 3 个主要变形：角、函数名称、运算方式。

此中的难点与重点在角。

大批的三角运算技巧都与角的办理有关。

碰到一个三角问题，从角、函数名称、运算方式这 3 个主要方面去找寻下手地方与行进方向是解题的有效思虑。

特别地，关于证明题，从找条件与结论的差别下手，并向着除去差别的方向行进，常能成功。

例 1．已知,都是钝角，且12， cos()3sin，求 sin 135例 2．设,为锐角，且sin 2sin 2sin() ，求证：。

2二．三角变换与方程数学公式（或条件等式）自己就是一个等量关系，视公式（或等式）中的数学对象为已知值或未知值就成为一个方程。

例 3．已知sin sin b（a2b24），求sin() ， cos() 。

cos cos a三．三角变换与结构法经过结构对偶式、结构方程、结构函数、结构图形等门路来求解三角问题例 5．求cos 2cos4的值。

55例 6．求值：cos210cos2 50 sin 40 sin 80例 7．已知：A1 cos1A2 cos2A n cos n0A1 cos(11)A2cos(21)A n cos(n1)0求证：对随意R ，恒有 A1 cos(1)A2cos(2)A n cos(n)0 。

例 8 求知足等式15 12 cosx7 4 3 sin x 4 的锐角x。

四．三角法引进三角函数，进行三角变形去解决其余代数、几何问题。

例 9．已知a b 0 ，求证：2abab a b a 2b2。

a b22例 10．在△ABC 中，P 为形内一点，PD、 PE、 PF为 P到三边BC、CA、AB 的距离，求证：PA PB PC2( PD PE PF )例 11．求函数y x 415 3x 的值域。

三角恒等式和三角不等式

特别地，已知三角形两边及某边对角，求余下元素（如已知,,a b A ；求,,c B C ），有以下几种情况：A 为锐角A 为直角或钝角当a bsinA <时，无解；当a bsinA =时，有唯一解且为直角三角形；当bsinA a b <<时，有二解；当a b ≥时，有唯一解.当a b ≤时，无解；当a b >时，有唯一解.三、三角恒等式在ABC ∆中，（1）sin sin()A B C =+；cos cos()A B C =-+；tan tan()A B C =-+.（2）sincos 22A B C +=；cos sin 22A B C +=；tan cot 22A B C +=.（3）sin sin sin 4cos cos cos 222A B C A B C ++=；sin sin sin 4sin sin cos 222A B C A B C +-=；cos cos cos 14sin sin sin 222A B C A B C ++=+；cos cos cos 4cos cos sin 1222A B C A B C +-=-；tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；cot cot cot csc csc csc cot cot cot A B C A B C A B C ++=+.（4）sin sin sin 14sin sin sin 222444A B C A B B C C A +++++=+；cos cos cos 4cos cos cos 222444A B C A B B C C A +++++=；cotcot cot cot cot cot 222222A B C A B C ++=；tan tan tan tan tan tan 1222222A B B C C A ++=.（5）cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++=；tan tan tan tan tan tan sec sec sec 1A B C B C A A B C ++=+.（6）sin 2sin 2sin 24sin sin sin A B C A B C ++=；sin 2sin 2sin 24cos cos sin A B C A B C +-=；158cos 2cos 2cos 214cos cos cos A B C A B C ++=--；cos 2cos 2cos 214sin sin cos A B C A B C +-=-.（7）222sin sin sin 2(1cos cos cos )A B C A B C ++=+；222sin sin sin 2sin sin cos A B C A B C +-=；222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C ++=-；222cos cos cos 12sin sin cos A B C A B C +-=-.（8）333sin 3sin 3sin 34cos cos cos 222A B C A B C ++=-；333sin 3sin 3sin 34sin sin cos 222A B C A B C +-=-；333cos3cos3cos314sin sin sin 222A B C A B C ++=-；333cos3cos3cos314coscos sin 222A B C A B C +-=--.（9）333333sin sin sin 3cos cos cos cos cos cos 222222A B C A B C A B C ++=+；333333sin sin sin 3sin sin cos sin sin cos 222222A B C A B C A B C +-=+；333333cos cos cos 13sin sin sin sin sin sin 222222A B C A B C A B C ++=+-；333333cos cos cos 13coscos sin cos cos sin 222222A B C A B C A B C +-=-+-.（10）sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin sin sin A B C B C A C A B A B C ++=；cos sin sin cos sin sin cos sin sin 1cos cos cos A B C B C A C A B A B C ++=+.（11）sin sin cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos 222222222222A B C B C A C A B A B C ++=；sin cos cos sin cos cos sin cos cos 1sin sin sin 222222222222A B C B C A C A B A B C ++=+.159四、三角不等式由琴生不等式可以证得下面一些结论.一般来说，在三角形中当且仅当60A B C ===︒取等号.（1）33sin sin sin 2A B C ++≤；加强为23sin sin sin 34n n n nA B C ++≤⋅，其中n N *∈.（2）3sin sin sin 2222A B C ++≤；加强为3sinsin sin 2222n n n n A B C ++≤，其中n N *∈.（3）2223sin sin sin 2224A B C ++≥；加强为22223sin sin sin 2222n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.（4）33sin sin sin 8A B C ≤.（5）1sin sin sin 2228A B C ≤.（6）3sin 2sin 2sin 22A B C ++≥.（7）锐角三角形中，3cos cos cos 2A B C ++≤；加强为3cos cos cos 2n n n n A B C ++≤，其中n N *∈.（8）33cos cos cos 2222A B C ++≤；加强为23coscos cos 32224n n n n A B C ++≤⋅，其中n N *∈.（9）33cos cos cos 2222A B C ++≤.160（10）1cos cos cos 8A B C ≤.（11）33cos cos cos 2228AB C ≤.（12）3cos 2cos 2cos 22A B C ++≥-.（13）2223cos cos cos 4A B C ++≥即2229sin sin sin 4A B C ++≤；加强为22223cos cos cos 2n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.（14）3sin sin sin sin sin sin 2222224A B B C C A ++≤；加强为3sin sin sin sin sin sin 2222224n n n n A B B C C A ++≤，其中n N *∈.（15）锐角三角形中，3cos cos cos cos cos cos 4A B B C C A ++≤；加强为3cos cos cos cos cos cos 4n n n n A B B C C A ++≤，其中n N *∈.（16）锐角三角形中，tan tan tan 33A B C ++≥；加强为tan tan tan 3(3)n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.（17）tan tan tan 3222ABC++≥；加强为3tan tan tan 3()2223n n n n A BC++≥，其中n N *∈.（18）3tan tan tan 2229AB C ≤.（19）锐角三角形中，cot cot cot 3A B C ++≥；加强为3cot cot cot 3()3n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.161（20）cot cot cot 33222A B C ++≥；加强为cot cot cot 3(3)222n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.（21）锐角三角形中，sec sec sec 6A B C ++≥；加强为sec sec sec 32n n n n A B C ++≥⋅，其中n N *∈.（22）csc csc csc 23A B C ++≥；加强为23csc csc csc 3()3n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.另外还有一些结论，请参见不等式中的三角不等式有关结论.162。

高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式

高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式知识、方法、技能三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律. 三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。

当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于2tanxt =的代数恒等式的证明问题. 要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础. 此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器. 三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式)](21[))()((c b a p c p b p a p p S ++=---=其中，大家往往不甚熟悉，但十分有用. 赛题精讲例1：已知.cos sin )tan(:,1||),sin(sin AA A -=+>+=βββαβαα求证【思路分析】条件涉及到角α、βα+，而结论涉及到角βα+，β.故可利用αβαβββαα-+=-+=)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A ”入手. 【证法1】 ),sin(sin βαα+=A),sin()sin(βαββα+=-+∴A),cos(sin ))(cos sin(),sin(sin )cos(cos )sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A A.cos sin )tan(,0)cos(,0cos ,1||AA A -=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而【证法2】αβαβββαβααββββsin )sin(cos sin )sin()sin(sin cos sin sin sin -++=+-=-A).tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=例2：证明：.cos 64cos 353215cos 77cos 7x x x ocs x x =+++ 【思路分析】等号左边涉及角7x 、5x 、3x 、x 右边仅涉及角x ，可将左边各项逐步转化为x sin 、x cos 的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 【证明】因为,cos 33cos cos 4,cos 3cos 43cos 33x x x x x x +=-=所以从而有x x x x x 226cos 9cos 3cos 63cos cos 16++= =)2cos 1(29)2cos 4(cos 326cos 1x x x x +++++xx x x x x x x x x x x x cos 20cos 2cos 30cos 4cos 12cos 6cos 2cos 64,2cos 992cos 64cos 66cos 1cos 3276+++=+++++=.cos 353cos 215cos 77cos cos 20cos 153cos 153cos 65cos 65cos 7cos x x x x xx x x x x x +++=++++++=【评述】本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令77)1(cos 128,,1cos 2,sin cos zz z z i z +=+=+=αααα从而则，展开即可. 例3：求证：.112tan 312tan 18tan 18tan 3=++【思路分析】等式左边同时出现12tan 18tan 、12tan 18tan +，联想到公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+.【证明】 12tan 312tan 18tan 18tan 3++112tan 18tan )12tan 18tan 1)(1218tan(312tan 18tan )12tan 18(tan 3=+-+⨯=++=【评述】本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证)43tan 1()2tan 1)(1tan 1(+++222)44tan 1(=+ 等.例4：已知.20012tan 2sec :,2001tan 1tan 1=+=-+αααα求证【证明】)4tan()22sin()22cos(12cos 2sin 12tan 2sec απαπαπαααα+=++-=+=+.2001tan 1tan 1=-+=αα 例5：证明：.3sin )60sin()60sin(sin 4θθθθ=+- 【证明】θθθ3sin 4sin 33sin -=)60sin()60sin(sin 4)sin 60cos cos 60)(sin sin 60cos cos 60(sin sin 4])sin 21()cos 23[(sin 4)sin 41cos 43(sin 4)sin 43(sin 422222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+=-+=-=-=-=【评述】这是三倍角的正弦的又一表示. 类似地，有)60cos()60cos(cos 43cos θθθθ+-=)60tan()60tan(tan 3tan θθθθ+-+= . 利用这几个公式可解下例.例6：求证：①16178cos 66cos 42cos 6cos = ②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.106)41(45⨯【证明】①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°54cos 78cos 42cos ⨯.16154cos 4)183cos(4154cos 478cos 42cos 18cos =⨯==②sin1°sin2°sin3°…sin89°=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60° =4387sin 6sin 3sin )41(29⨯60sin 30sin )87sin 33sin 27(sin )66sin 54sin 6)(sin 63sin 57sin 3(sin 3)41(30=45sin )54sin 36)(sin 63sin 27)(sin 72sin 18)(sin 18sin 9(sin 3)41(81sin 18sin 9sin 3)41(4040⋅⨯⨯=⋅⨯=36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⋅= 又)72cos 1)(36cos 1(41)36sin 18(cos 2 -+=165)72cos 36cos 1(41)72cos 36cos 72cos 36cos 1(41=+=--+=即 .4536sin 18cos =所以 .106)41(89sin 2sin 1sin 45⨯= 例7：证明：对任一自然数n 及任意实数m n k mx k,,,2,1,0(2=≠π为任一整数），有.2cot cot 2sin 14sin 12sin 1x x xx x n n-=+++ 【思路分析】本题左边为n 项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.【证明】,2cot cot 2sin 2cos cos sin 2cos 22sin 2cos cos 22sin 122x x x xx x x x x x x -=-=-=同理x x x4cot 2cot 4sin 1-=……x x xnn n2cot 2cot 2sin 11-=- 【评述】①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：n n n n -=-+++ααααααααtan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan .1cot 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1.2cot 2cot 2tan 22tan 22tan 2tan 1122=+++-=++++++ααααααn n n n 例8：证明：.2sin21sin )2sin()sin()2sin()sin(sin βββαβαβαβαα++=+++++++n n n 【证明】)],2cos()2[cos(212sinsin βαβαβα--+-=)]sin()2sin()sin([sin 2sin,,)]212cos()212[cos(212sin )sin(,)]23cos()25[cos(212sin )2sin()],2cos()23[cos(212sin)sin(βαβαβααββαβαββαβαβαββαβαβαββαn n n n +++++++-+-++-=++-+-=++-+-=+各项相加得类似地.21sin )2sin()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--++-=n n n所以，.2sin21sin )2sin()sin()sin(sin βββαβαβαα++=+++++n n n 【评述】①本题也可借助复数获证.②类似地，有.2sin)2cos(21sin)cos()cos(cos ββαββαβααnn n ++=+++++利用上述公式可快速证明下列各式：2sin 21cos 2sin cos 3cos 2cos cos θθθθθθθ+=++++n n n.2197cos 95cos 93cos 9cos .2175cos 73cos 9cos等=+++=++πππππππ针对性训练题1．证明：sin47°+sin61°－sin11°－sin25°=cos7°. 2．证明：.sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+3．已知：sin A +sin B +sin C =0，cos A +cos B +cos C =0.求证：sin2A +sin2B +sin2C =0，cos2A +cos2B +cos2C =0. 4．已知.03sin 312sin 21sin :),,0(=++∈θθθπθ求证 5．已知αβαβπβα-=<<<求且,tan 3tan ,20的最大值.6．已知α、β、γ、θθγβαπθγβαπsin sin sin sin .),2,0(==+++∈y 求且的最大值. 7．△ABC 中，C=2B 的充要条件是.22ab b c =-8．△ABC 中，已知A 2sin 、B 2sin 、C 2sin 成等差数列，求证：A cot 、B cot 、C cot 也成等差数列.9．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知c a b +=2，求B 的最大值. 10．若α、),2,0(πβ∈能否以αsin 、βsin 、)sin(βα+的值为边长构成一个三角形.11．求函数x x y 382-++=的值域.12．求函数22122++++=x x xy 的值域.。

全国高中数学竞赛专题-三角函数

三角恒等式与三角不等式一、基础知识定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。

角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。

弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r 是圆的半径。

定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=xr,余割函数c s c α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α;（Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。

高中数学竞赛专题讲座之基本知识

不等式。而且使用柯西不等式不受-7c这项的影响。使用时，注意写明等号成立条件，检验最小值能否取到。
柯西不等式推广——赫尔德不等式若(i=1,2,…,n)，p>1，q>1且则注：这个式子成立的前提挺多，不难看出当p=q=2时，这个式子即为柯西不等式。
3排序不等式
4琴生不等式首先来了解凸函数的定义一般的，设f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内的任意两数 x1，x2都有则称f(x)是(a,b)内的下凸函数，一般说的凸函数，也就是下凸函数，例如y=x2，从图像上即可看出是下凸函数，也不难证明其满足上述不等式。如果对于某一函数上述不等式的等号总是不能成立，则称此函数为严格凸函数。注：凸函数的定义为我们提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法。这个方法经常使用。此外利用二阶求导也可以判断一个函数为凸函数，凸函数的二阶导数是非负数。凸函数具有的常用性质性质一：对于(a,b)内的凸函数f(x)，有注：此即常说的琴生不等式
来个复杂的设n为正整数，求证另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲
四、三角不等式证明最常用的公式一般就是：x为锐角，则；还有就是正余弦的有界性。
例求证：x为锐角，sinx+tanx<2x
设，且，求乘积的最大值和最小值。注：这个题目比较难数列关于数列的知识可以说怎么学怎么有，还好我们只是来了解竞赛中最基本的一些东西，不然我可写不完了。
练习，试求数列的通项公式。注：此题比较综合，需熟练掌握各种求通项公式的常用方法。
下面是我的一个原创题目已知数列满足，，求该数列的通项公式。
2数列求和求和的方法很多，像裂项求和，错位相减等等，这些知识就算单纯应付高考也应该都掌握了，这里不再赘述。主要写竞赛中应当掌握的方法 ——阿贝尔恒等式。阿贝尔（Abel）恒等式有多种形式，最一般的是其中注：个人认为，掌握这一个就够了，当然还有更为一般的形式，但是不容易记，也不常用。Abel恒等式就是给出了一个新的求和方法。很多时候能简化不少。

高中数学奥赛讲义竞赛中常用的重要不等式

不等式是数学竞赛的热点之一。

由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。

而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。

证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。

但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

竞赛中常用的重要不等式【内容综述】本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用【要点讲解】目录§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 切比雪夫不等式★ ★ ★§1。

柯西不等式定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当时成立。

本不等式称为柯西不等式。

思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。

证明1∴右-左=当且仅当定值时，等式成立。

思路2 注意到时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。

证明2当时等式成立；当时，注意到=1故当且仅当且（两次放缩等式成立条件要一致）即同号且常数，亦即思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。

证明3 构造函数。

由于恒非负，故其判别式即有等式当且仅当常数时成立。

若柯西不等式显然成立。

例1 证明均值不等式链：调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。

证设本题即是欲证：本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法(1)先证①注意到欲证①,即需证②此即由柯西不等式,易知②成立,从而①真(11)再证, ③欲证③,只需证④而④即要证⑤(注意)由柯西不等式,知⑤成立.(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是即各正数彼此相等.说明：若再利用熟知的关系(★)（其中，结合代换，即当且仅当时，等式成立，说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等式链其中等式成产条件都是．§２．排序不等式定理２设有两组实数，满足则(例序积和)（乱序积和）（须序积和）其中是实数组一个排列，等式当且仅当或时成立。

高中数学竞赛第24讲三角不等式教案

用心爱心专心 1第24讲三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．也是解决三角不等式的常用方法．其次，其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．A 类例题例1 已知α、β为锐角，且()02x παβ+->，求证对一切0x ¹，有(cos )(sin )xxαβ<分析要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数()f x x α=的单调性，因此首先应比较cos α与sin β的大小，而函数()f x x α=的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．证明（1）若x >0，则2παβ+>，则022ππβα>>->，由正弦函数的单调性，得0s i n ()s i n 12παβ<-<<，即0cos sin 1αβ<<<，又x >0，故有(cos )(sin )xxαβ<．（2）若x <0，则2παβ+<，则022ππβα<<-<，由正弦函数的单调性，得0sin sin()12πβα<<-<，即0sin cos 1βα<<<，又x <0，故有(cos )(sin )x xαβ<．说明比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组2πα±的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具．例2 已知0απ<<，试比较2sin 2α和cot 22α的大小．分析两个式子分别含有2α与2α的三角函数，的三角函数，故可考虑都化为故可考虑都化为α的三角函数，的三角函数，注意到注意到两式均为正，可考虑作商来比较．解法一2sin 21cos 4sin cos tan 4sin cos 2sin cot2ααααααααα-===2214cos 4cos 4(cos )12ααα-=--+，∵0απ<<，所以当1cos 2α=，即3πα=时，上式有最大值1，当0απ<<且3πα≠时，上式总小于1．因此，当3πα=时，2sin 2α=cot2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin 2α<cot2α．解法二设tan2tα=，由0απ<<得022απ<<，故tan 02t α=>，则1cot 2tα=，2224(1)22sin 24sin cos (1)t tt ααα-⋅==+，于是有cot2α-2sin 2α=2422222222214(1)2961(31)0(1)(1)(1)t tt t t tt t t t t -⋅-+--==≥+++因此，当3πα=时，2sin 2α=cot2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin 2α<cot2α．链接本题用到以下两组三角公式：（1）半角公式 1cos sin tan 2sin 1cos ααααα-==+（2）万能公式：22tan 2sin 1tan2ααα=+；221tan 2cos 1tan2ααα-=+；22tan 2tan 1tan2ααα=-例3 已知[0,]x πÎ，求证：cos(sin x )>sin(cos x )分析一从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sin x )小，同时比sin(cos x )大，即可证明原不等式．证法一（1）当0,,2x ππ=时，显然cos(sin x )>sin(cos x )成立．（2）当2x ππ<<时，0sin 12xπ<<<，cos 02x π-<<，则cos(sin x )>0>sin(cos x )．（3）当02x π<<时，有0<sin x <x <2π，而函数y =cos x 在(0,)2π上为减函数，从而有cos(sin x )>cos x ；而0cos 2x π<<，则sin(cos x )<cos x ，因此cos(sin x ) >cos x >sin(cos x )，从而cos(sin x )>sin(cos x )．分析二 cos(sin x )可看作一个角sin x 的余弦，而sin(cos x )可看作一个角cos x 的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．证法二当02x π<<时，有0<sin x <1，0<cos x <1，且sin x +cos x =2sin()4x π+22π≤<，即0<sin x <2π-cos x <2π，而函数y =cos x 在(0,)2π上为减函数，所以cos(sin x )>cos(2π-cos x )=sin(cos x )，即cos(sin x )>sin(cos x )．x 在其他区域时，证明同证法1．说明（1）本题的证明运用到结论：(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<，这是实现角与三角函数值不等关系转化的重要工具，函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cos x 来比较，证法二利用有界性得sin x +cos x 2π<，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至x R ∈.情景再现1．在锐角△ABC 中，求证： sin sin sin cos cos cos A B C A B C++>++.2．已知,(0,)2x y π∈，tan 3tan xy =，求证：6x y π-≤.3．当[0,]2x π∈时，求证：cos cos sin sin xx>.B 类例题例4 在ABC ∆中，证明：3sin sin sin 32A B C ++≤分析一本题中有三个变量A 、B 、C ，且满足A +B +C =180°，先固定其中一个如角C ，由于A +B =180°- C ,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A －B 有关的三角函数进行研究．证法一我们先假定C 是常量，于是A +B =π-C 也是常量.sin sin sin 2sincossin 22A B A B A B C C +-++=+2cos cossin 22c A B C-=+，显然，对于同一个C 值，当A =B 时，上式达到最大值．同样，对同一个A 或B ，有类似结论；因此,只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式sin sin sin A B C++就没有达到最大值，因而，当A =B =C =3π时，sin sin sin A B C ++有最大值332，∴原不等式得证．说明不等式中含有多个变量时，不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，我们往往固定其中部分变量，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，求其他变量变化时，求其他变量变化时，相相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．分析二即证sin sin sin 332A B C++≤，观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证明．证法二函数sin y x =是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量123,,(0,)x x x π∈，总有123123sinsin sin sin()33x x xx x x++++≥，等号当123x x x ==时成立．因此有sinsin sinsin()33A B CA B C++++≥，从而有sin sin sin 1803sin332A B C++︒≤=，因此原不等式成立．说明本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸函数，因此很多三角不等如均可利用凸函数的性质证明．链接关于凸函数与琴生不等式的有关知识凸函数定义：函数f (x )如果对其定义域中任意的x 1、x 2，都有如下不等式成立：f （122x x +）≤12[f (x 1)+f (x 2)]，则称f (x )是下凸函数，等号当x 1=x 2时成立．如果总有f（122x x +）≥12[f (x 1)+f (x 2)]，则称f (x )是上凸函数，等号当x 1=x 2时成立．其几何意义是，不等式①表示定义域中任意两点x 1、x 2，中点M 所对应的曲线上点Q位于弦上对应点P 的下面，不等式②则有相反的意义．定理：若f (x )是在区间I 内的下凸函数，则对区间I 内的任意n 个点x 1，x 2，…,x n ，恒有f （12nx x x n+++ ）≤1n[f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n )]，等号当x 1=x 2=…=x n 时成立．若f (x )为上凸函数，不等号反向．上述不等式称为琴生不等式，琴生不等式是丹麦数学家琴生(Jensen )于1905～1906年建立的．三角函数如y =sin x ，y =cos x 在（0，2π）是上凸函数；y =tan x ,y =cot x 在（0，2π）是下凸函数．例5 已知,,x y z R ∈,02x y z π<<<<．求证：2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22x y y z x y zπ++>++（90年国家集训队测试题）分析将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．证明即证即证sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4x y y z x x y y z zπ++>++即证明sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos 4x x y y y z z z π>-+-+注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而4π为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．例6 已知不等式62(23)cos()2sin 24sin cos a πθθθθ+-+-+36a <+对于[0,]2πθ∈恒成立．求a 的取值范围．（2004年首届东南地区数学奥赛试题）分析所给不等式中有两个变量，所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，给出其中一个的范围，给出其中一个的范围，求另一个的范围，求另一个的范围，求另一个的范围，常采用分离常采用分离变量的方法．注意到与角θ有关的几个三角函数式，2cos()(sin cos )42πθθθ-=+，sin 22sin cos θθθ=，因此考虑令sin cos xθθ+=进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路．解设sin cos xθθ+=，则22cos(),sin 2142x x πθθ-==-，当[0,]2πθ∈时，1,2x ⎡⎤∈⎣⎦．从而原不等式可化为：x 1 x 2M P Qx 1 x 2M PQ26(23)2(1)36a x x a x ++--<+，即26223340x ax x a x---++>，222()3()0x x a x a xx+--+->，()2(23)01,2(1)xx a xx ⎛⎫⎡⎤-+->∈ ⎪⎣⎦⎝⎭∴原不等式等价于不等式（1）， 1,2,230x x ⎡⎤∈∴-<⎣⎦（1）不等式恒成立等价于()201,2x a x x⎡⎤+-<∈⎣⎦恒成立．从而只要m ax2()(1,2)a xx x ⎡⎤>+∈⎣⎦．又2()f x x x=+在1,2⎡⎤⎣⎦上递减，m a x2()3(1,2)x x x⎡⎤∴+=∈⎣⎦，所以3a >．例7 三个数a ,b ,c ∈(0,)2π，且满足cos a a =，sin cos bb=，cos sin cc=，按从小到大的顺序排列这三个数．（第16届全苏竞赛题）分析比较a ,b ,c 三数的大小，cos a a =，sin cos cos bb b=<，cos sin cos cc c=>，等式的两边变量均不相同，的两边变量均不相同，直接比较不易进行，直接比较不易进行，直接比较不易进行，故考虑分类讨论，故考虑分类讨论，故考虑分类讨论，先比较先比较a 与b ，由cos si ncosa abb==，对等号两边分别比较，即先假定一边的不等号方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．解（1）若a b =，则cos sin cos a a=，但由cos a (0,)2π∈，故有cos sin cos a a >矛盾，即a ≠b ．（2）若ab<，则由单调性可知cos cos a b >，又由a b <及题意可得cos sin cos a b <，而sin cos cos b b <，因此又可得cos cos a b <，从而产生矛盾．综上，a b >．类似地，若c a =，则由题意可得cos cos sin a a =，从而可得sin a a =与sin a a >矛盾；若c a <，则sin sin c a a<<，即sin c a<，cos sin cos c a ∴>，即c a >矛盾．综上可得：b a c <<．说明本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．情景再现4．在三角形ABC 中，求证：（1）3sinsinsin2222A B C ++≤；（2）3sin sin sin 38A B C ≤．5．设12x y z π≥≥≥，且2x y z π++=，求乘积cos sin cos x y z 的最值．（1997年全国高中数学联赛）6．求证：|sin cos tan cot sec csc |221x x x x x x +++++≥-（2004年福建省数学竞赛题）C 类例题例8 已知当[0,1]x Î时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->恒成立，试求θ的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）分析一不等式左边按一、不等式左边按一、三两项配方，三两项配方，三两项配方，求出左边式子的最小值，求出左边式子的最小值，求出左边式子的最小值，根据最小值应当为正根据最小值应当为正求出θ的取值范围．解法一设22()cos (1)(1)sin f x x x x x θθ=--+-，则由[0,1]x ∈时()0f x >恒成立，有(0)sin 0f θ=>，(1)cos 0f θ=>，22()(cos )[(1)sin ]2(1)sin cos 2(1)sin cos f x x x x x x x θθθθθθ∴=+---+-(1)x x --21[cos (1)sin ]2(1)(sin cos )02x x x x θθθθ=----->，当sin sin cos xθθθ=+时，cos (1)sin 0x x θθ--=，令0sin sin cos x θθθ=+，则001x <<，0001()2(1)(sin cos )02f x x x θθ=-->，故11sin 222θ>，即1sin 22θ>，且sin 0,cos 0θθ>>，所求范围是：522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈，反之，当522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈时，有1sin 22θ>，且sin 0,cos 0θθ>>，于是只要[0,1]x ∈必有()0f x >恒成立．分析二不等式左边视为关于x 的二次函数，求出此二次函数的最小值，令其大于0，从而求出θ的取值范围．解法二由条件知，cos 0,sin 0θθ>>，若对一切[0,1]x ∈时，恒有()f x =22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->，即2()(c o s 1s i n )(12s i n )s i n 0f x x x θθθθ=++-++>对[0,1]x ∈时恒成立，则必有cos (1)0,sin (0)0f f θθ=>=>，另一方面对称轴为12sin 2(cos sin 1)x θθθ+=++[0,1]∈，故必有24(cos sin 1)sin (12sin )4(cos sin 1)θθθθθθ++-+>++，即4cos sin 10θθ->，1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Zπππθπ+<<+∈．分析三原不等式看作关于x 与1-x 的二次齐次式，两边同除x (1-x )．解法三原不等式化为：x 2cos θ+(1-x )2sin θ>x (1-x )，①x =0得sin θ>0，x =1得cos θ>0；②当x ≠0且x ≠1时，上式可化为：1xx-cos θ+1x x-sin θ>1对x ∈(0,1)恒成立，由基本不等式得1x x-cos θ+1x x -sin θ≥2sin cos θθ，∴1x x-cos θ+1x x-sin θ的最小值为2sin cos θθ，等号当1x x-cos θ=1x x-sin θ即sin sin cos xθθθ=+时取到，因此2sin cos θθ>1．∴1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Zπππθπ+<<+∈．例9已知,,,a b A B 都是实数，若对于一切实数x ，都有()1cos sin cos 2sin 20f x a x b x A x B x =----≥，求证：222a b +≤，221A B +≤．（1977第十九届IMO ）分析根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化成2222()1sin()sin(2)0f x a b x A B x θϕ=-++-++≥，其中x 为任意实数，为任意实数，注意到所要证的结注意到所要证的结论中不含未知数x ，故考虑用特殊值方法．证明若220a b +=，220A B +=，则结论显然成立；故下设220a b +≠，220AB +≠：令22222222sin ,cos ,sin ,cos abA B a b a b A B A B θθϕϕ====++++得，2222()1sin()sin(2)f x a b x A B x θϕ=-++-++，即对于一切实数x，都有2222()1sin()sin(2)0f x a b x A B x θϕ=-++-++≥（1）2222()1cos()sin(2)02f x a b x A B x πθϕ+=-+++++≥ （2）（1）+（2）得：222[sin()cos()]0a b x x θθ-++++≥，即222sin()cos()x x a bθθ+++≤+对于一切实数x 恒成立，222a b +2≥，因此222a b +≤．2222()1sin()sin(2)0f x a b x A B x πθϕ+=+++-++≥ （3）（1）+（3）得：2222sin(2)0A B x ϕ-++≥，即221sin(2)x A Bϕ+≤+恒成立，2211A B≥+，∴221A B +≤．例10 设αβγπ++=，求证：对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z有222sin sin sin 0yz zx xy αβγ++≤分析由0x y z ++=消去一个未知数z ，再整理成关于y 的二次不等式，对x 恒成立，即可得证．证明由题意，则将()z x y =-+代入不等式左边得，不等式左边=2222222[sin sin (sin sin sin )]y x xy αβαβγ-+++-（1）当sin 0α=，易证不等式左边0≤成立．；（2）当sin 0α≠，整理成y 的二次方程，证△≤0．左边2222(sin sin sin )[sin ]2sin x y αβγαα+-=-+22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--+，由222222(sin sin sin )4sin sin αβγαβ+--222222(sin sin sin 2sin sin )(sin sin sin 2sin sin )αβγαβαβγαβ=+-++--2sin sin [1cos()]2sin sin [1cos()]αβαβαβαβ=-+⋅--+ 2224sin sin [1cos ()]0αβαβ=--+≤，∴22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--0≤，∴不等式左边0≤成立．情景再现7．证明：对于任意△ABC ，不等式a cos A +b cos B +c cos C ≤p 成立，其中a 、b 、c 为三角形的三边，A 、B 、C 分别为它们的对角，p 为半周长．（第十六届全俄数学竞赛题）8．设,,αβγ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sin sin sin tan tan tan 2αβγαβγπ+++++>习题1．求证：对所有实数,x y ，均有22cos cos cos 3x y xy +-<．2．在锐角三角形ABC 中，求证： tan tan tan 1A B C> 3．在锐角三角形ABC 中．求证：sin sin sin 2A B C ++>4．求证：22222sin()cos(sin )sin(cos )2sin ()4242x x ππ-≤-≤+5．已知,(0,)2παβ∈，能否以sin ,sin ,sin()αβαβ+的值为边长，构成一个三角形？6．已知,αβ为锐角，求证：2222119cos sin sin cos ααββ+≥7．已知A +B +C =π，求证：222tantantan1222A B C ++≥8．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：3π≥++++cb a cC bB aA ．9．设A 、B 、C 为锐角三角形之内角，n 为自然数，求证：12tan tan tan 3nnnnA B C +++≥．（93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）10．已知02πθ<<，,0a b >，求证：223332()sin cos a b a b θθ+≥+11．设P 是三角形ABC 内任一点，求证：∠PAB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于30°．12．解方程cos cos cos cos sin sin sin sin x x=（1995年全俄竞赛题）本节“情景再现”解答：1．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而s i n c o s AB>，同理s i n c o s,s in c o s B C C A >>，三式相加得证．2．证明：由已知得tan 3tan tan x y y=>及,(0,)2x y π∈知，x y>，从而(0,)2x y π-∈，要证6x y π-≤，只须证明3tan()tan 63x y π-≤=，由于2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan x y yx y x y y--==++，于是问题归结为证22tan 3313tan y y≤+，即2(3t a n 1)0y -≥，而上式显然成立，因此原不等式成立．3．证法一：当x ∈(0,2π)时，∵0<sin x <x <2π,∴sinsin x <sin x ,再比较sin x 与coscos x的大小，由sin x =cos(2π-x )，即比较(2π-x )与cos x ，而cos x =sin(2π-x ),因此(2π-x )＞cos x ，从而cos(2π-x )< coscos x ，即sin x <coscos x ，从而得证．证法二： sin x +cos x 22π≤<，即0<cos x <2π-sin x <2π，所以cos(cos x )>cos(2π-sin x )=sin(sin x )．4．证明：（1）由琴生不等式即得．（2）3sin sin sin 3sin sin sin sin332A B CA B CA B C ++++≤≤=，从而得证．5．解：由条件知，312x y z ππ≥≥≥≥，()222123xy z ππππ=-+≤-⨯=，sin()0y z -≥，于是cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2x y z y z ++-1cos sin()2x y z ≥+22111cos cos2238x π=≥=，当,312x y z ππ===时取等号，故最小值为18（y 与z 相等，且x 达到最大时，乘积有最小值）．又cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2z x y x y +--211cos sin()cos 22z x y z≤+=2123cos2128π+≤=，且当5,1224z x y ππ===时等号成立，故cos sin cos x y z 的取大值为238+．6．证明：设()|sin cos tan cot sec csc |f x x x x x x x =+++++，sin cos t x x =+，则有21s i n c o s 2t x x -=，2222()||11t f x t t t =++--22|||11|11t t t t =+=-++--当1t >时，2()112211f x t t =-++≥+-；当1t <时，2()(1)12211f x t t =--+-≥--因此|sin cos tan cot sec csc |221x x x x x x +++++≥-．7．证明：因为cos x （x ∈（0，π））递减，所以a -b 与cos A -cos B 异号，从而（a -b ）（cos A -cos B ）≤0．即a cos A +b cos B ≤a cos B +b cos A =C （l ）当且仅当a =b 时等号成立．同理a cos A +c cos C ≤b （2） b cos B +c cos C ≤a （3），1[(1)(2)(3)]2⨯++即得所要证的不等式．8．证明：2242tan2tan4tan222sin tan 4tan 21tan 1tan 1tan 222ααααααααα+=+=>+--， 0,tan,sin tan 4tan22222πααααααα<<∴>∴+>> ，同理得另两个，命题得证．“习题”解答： 1．证明：22cos cos cos 3x y xy +-≤显然成立，下面证明等号不能成立．用反证法．若等号成立，则22cos 1,cos 1,cos 1x y xy ===-，则222,2,,*x k y n k n N ππ==∈，则2224,,*x y nk k n N π=∈，则2,,*xy nk k n N π=∈，2nk 不可能为奇数，因此cos 1xy ≠-，因此等号不成立． 2．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sincos A B>，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相乘得sin sin sin cos cos cos A B C A B C >．从而可得tan tan tan 1A B C >．3．解：22sin sin ,sin sin A A B B >>，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+22cos cos cos cos cos cos B B A A B A>+=+，三式相加得证．4．证明：cos(sin )sin(cos )cos(sin )cos(cos )2x x x x π-=--cos sin cos sin 2sin()sin()4242x xx x ππ+-=--又2cos sin2222x x ±-≤≤，2cossin 2424242x xπππ±-≤-≤+，又2042π->，242π+2π<，由正弦函数在[0,]2π上的单调性可知，原不等式成立．5．证法一：sin sin 2sin cos 2sin cos sin()2222αβαβαβαβαβαβ+-+++=>=+ |sin sin |2cos|sin|2cossinsin()2222αβαβαβαβαβαβ+-++-=<=+，因此可以构成三角形．证法二：在直径为1的圆内作内接三角形ABC ，使,A B αβ∠=∠=，()C παβ∴∠=-+则sin ,sin ,sin()BC AC AB αβαβ===+，因此可构成三角形．6．解：左222222214145tan 4cot 9cos sin sin 2cos sin ααααβαα=+≥+=++≥．7．证：左tantan tan tan tan tan 222222A B B C C A ≥++tan tantan(tantan)22222A B C B A =++tantan cot tan(1tantan)1222222A B A B A B AB ++≥+-=8．分析：注意到π可写成A +B +C ，故即证：3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )π,即证3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )（A +B +C ），即证(a -b )(A -B )+(b -c )(B -C )+(c -a )(C -A )≥0，由大边对大角得上式成立．9．证明：设tan ,tan ,tan xA yB zC ===，则,,0x y z>，x y z xyz++=，而33x y z x y z ++≥，代入得323xyz ≥，故132333nn n n n nnx y z x y z+++≥≥．10．证明：要证原不等式，即证222333()()sin cos a b a b θθ+≥+，即223322422422233sin cos sin cos a b ab a b a b a b θθθθ++≥+++上式中将θ看作变量，,a b 看作常数，考虑从左边向右边转化用心爱心专心 11即证222222sin cos cot tan 2sin cos a b ab θθθθθθ+++33422433a b a b ≥+ 即2222cot tan 2tan 2cot a b ab ab θθθθ+++33422433a b a b≥+因为3222242c o t2t a n c o tt a n t an 3a ab a a b a b a b θθθθθ+=++≥，同理可得22tan 2cot b ab θθ+3243a b ≥，从而原不等式成立．11．证明：如图，PA sin 1θ=PB sin θ5，PB sin θ2=PC sin θ6，PC sin θ3=PA sin θ4，三式相乘得sin 1θsin θ2 sin θ3= sin θ4 sin θ5 sin θ6，因此有(sin 1θsin θ2 sin θ3)2= sin 1θsin θ2 sin θ3 sin θ4 sin θ5 sin θ66123456sin sin sin sin sin sin 6θθθθθθ+++++⎛⎫≤⎪⎝⎭661234561sin ()62θθθθθθ+++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，从而sin 1θsin θ2sin θ331()2£，因此sin 1θ、sin θ2 、sin θ3中至少有一个小于或等于12，不妨设sin 1θ12≤，则1θ≤30°或1θ≥150°，此时三个角中至少有一个角小于30°．12．解：考虑周期性，考虑周期性，只要先解决只要先解决[0,2)x πÎ的解的情况，的解的情况，而当而当[,2)x ππ∈时，左边为正，右边非正，因此方程无解．由于[0,]2x π∈时有c o s c o s s i n s i n x x >，将x换成c o s c o sx 得（换成sinsin x 也可以）：cos cos cos cos sin sin cos cos x x >，又由于s i n s i n y x =在[0,]2x π∈时为增函数，因此有sin sin cos cos sin sin sin sin x x>，综上可得：cos cos cos cos sin sin sin sin xx>，因此原方程无解．当(,)2x ππ∈时，令2y x π=-，则(0,)2y π∈，在cos cos sin sin x x>，[0,]2x π∈中，将x 换成cos sin y 得，cos cos(cos sin )sin sin(cos sin )sin sin(sin cos )y y y >>，将2y x π=-代入得，cos cos cos cos sin sin sin sin x x>，原方程也无解．综上所述，对x R Î，恒有cos cos cos cos sin sin sin sin x x>，原方程无解．θθθθθθABCP。

高中数学奥林匹克竞赛讲座 16不等式

竞赛讲座16－不等式不等式是数学竞赛的热点之一。

由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。

证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。

但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

一、不等式证明的基本方法1．比较法比较法可分为差值比较法和商值比较法。

（1）差值比较法原理 A－ B＞0A＞B．【例1】（l）m、n是奇偶性相同的自然数，求证：（a m＋b m）（a n＋b n）＜2（a m+n+b m+n）。

（2）证明：··≤。

【例2】设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n，j1,j2,…,j n是1,2,…,n的任意一个排列，令S=a1+ a2+…+ a n，S0=a1b n+a2b n-1+…+a n b1，S1=a1b1+a2b2+…+a n b n。

求证：S0≤S≤S1。

（2）商值比较法原理若>1，且B>0，则A>B。

【例3】已知a,b,c>0，求证：a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b。

2．分析法【例4】若x,y>0，求证：>。

【例5】若a,b,c是△ABC的三边长，求证：a4+b4+c4<2(a2b2+b2c2+c2a2)。

3．综合法【例6】若a,b,c>0，求证：abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。

【例7】已知△ABC的外接圆半径R=1，S△ABC=，a,b,c是△ABC的三边长，令S=，t=。

求证：t>S。

4．反证法【例8】已知a3+b3=2，求证：a+b≤2。

5．数学归纳法【例9】证明对任意自然数n，。

高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式

数学竞赛辅导讲座：组合恒等式、组合不等式

高中数学竞赛专题讲座——竞赛中的三角恒等问题

数学中的三角恒等式与三角不等式

奥林匹克数学题型代数恒等式与不等式

高中数学奥林匹克竞赛讲座 33三角函数

9(高中竞赛讲座)三角恒等式与三角不等式

高中数学奥林匹克竞赛知识讲座-不等式

高中数学竞赛讲义(全套)

全国高中数学联赛培训讲座 三角函数

高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座11三角运算及三角不等式

三角恒等式和三角不等式

高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式

全国高中数学竞赛专题-三角函数

高中数学竞赛专题讲座之基本知识

高中数学奥赛讲义竞赛中常用的重要不等式

高中数学竞赛第24讲三角不等式教案

高中数学奥林匹克竞赛讲座 16不等式

全国高中数学联赛培训讲座三角函数