人教版高中数学选修2-2学案1.5.3定积分的概念
人教版数学高一选修2-2(教案)1.5定积分的概念
20 年 月 日 第 课时教学过程：一、自主探究 复习：1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二、交流点拨1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S为函数()f x在区间[,]a b上的定积分。
记为：()baS f x dx=⎰其中()f x成为被积函数，x叫做积分变量，[,]a b为积分区间，b积分上限，a积分下限。
说明：（1）定积分()baf x dx⎰是一个常数，即n S无限趋近的常数S（n→+∞时）称为()baf x dx⎰，而不是n S．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[],a b；②近似代替：取点[]1,i i ix xξ-∈；③求和：1()niib afnξ=-∑；④取极限：()1()limnbia nib af x dx fnξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx=⎰；变速运动路程21()ttS v t dt=⎰；变力做功()baW F r dr=⎰2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分()baf x dx⎰的几何意义是介于x轴、函数()f x的图形以及直线,x a x b==之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x=，若()y f x=在[,]a b上可取负值。
高中数学1.5.3定积分的概念教学设计新人教A版选修2_2
§1.5.3定积分的概念教案一、教学目标⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景； ⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义； 教学过程： 二、预习导学1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 三、问题引领，知识探究1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim nbi an i b a f x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。
人教版高中数学选修2-2教师用书 1.5.3 定积分的概念 Word版含解析
．定积分的概念预习课本～，思考并完成下列问题()定积分的概念是什么？几何意义又是什么？()定积分的计算有哪些性质？．定积分的概念与几何意义()定积分的概念：一般地，设函数()在区间[，]上连续，用分点＝<<…<－<<…<＝将区间[，]等分成个小区间，在每个小区间[－，]上任取一点ξ(＝，…，)，作和式(ξ)Δ＝(ξ)，常数时，上述和式无限接近某个当，这个→∞[常数上的定积分，，]叫做函数()在区间记作()，即()＝(ξ)，[，区间积分上限，这里，与分别叫做积分下限与]积函数被叫做积分区间，函数()叫做，叫做积分变量，()叫做被积式．，[()定积分的几何意义：如果在区间]，那么定积分上函数连续且恒有≥()()表示由直线＝，＝(<)，和曲线＝()所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积)＝．[点睛]利用定积分的几何意义求定积分的关注点()当()≥时，()等于由直线＝，＝，＝与曲线＝()围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．()计算()时，先明确积分区间[，]，从而确定曲边梯形的三条直边＝，＝，＝，再明确被积函数()，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积而得到定积分的值：当()≥时，()＝；当()<时，()＝－.．定积分的性质()()＝(为常数)．().()()±＝[()±()]()．()(其中<<)()＋()＝()．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()＝.( )()()的值一定是一个正数．( )()(＋)＝＋.( )答案：()√ ()× ()√的值为( )． ． ．－答案：．已知()＝，则( )()＝()＝()＋()＝．以上答案都不对答案：．已知＝，则＝.答案：－错误!利用定义求定积分[典例] 利用定义求定积分.[解] 令()＝，()分割：在区间[]上等间隔地插入－个点，把区间[]分成等份，其分点为＝(＝，…，－)，这样每个小区间[－，]的长度Δ＝(＝，…，)．()近似代替、求和：令ξ＝＝(＝，…，)，于是有和式：(ξ)Δ＝·＝＝·(＋)(＋)＝.()取极限：根据定积分的定义，有＝(ξ)Δ ＝＝.用定义求定积分的一般步骤()分割：等分区间[，]；。
人教课标版高中数学选修2-2《定积分的概念》教案-新版
1.5.3 定积分的概念一、教学目标 1．核心素养通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力. 2．学习目标（1）借助几何直观体会定积分的基本思想； （2）初步了解定积分的概念. 3．学习重点定积分的概念与定积分的几何意义 4．学习难点 定积分的概念 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务:预习教材P 45—P 48,完成相应练习题 2．预习自测 1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，2x(x <0)，则⎠⎛－11f (x )dx 等于（ ）A ．⎠⎛－11x 2dxB ．⎠⎛－112x dC ．⎠⎛－10x 2dx ＋⎠⎛012x dxD ．⎠⎛－102x dx ＋⎠⎛01x 2dx 答案：D2.定积分⎰13(－3)dx 等（ ）A ．－6B ．6C ．－3D ．3 答案：A3.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)dx ＝8，则t ＝（ ）A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4 答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞=（S 即为曲边梯形的面积）2．问题探究问题探究一 什么是定积分？学生活动：阅读课本相应内容，找到定积分的定义，并概括出求定积分的基本步骤：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b-=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点()12i i ,,...,n ξ=，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()ba f x dx ⎰.即1()lim ()nbi a n i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰.这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.问题探究二 定积分的几何意义． 学生活动：定积分的定义和我们上节课所讲的曲边梯形的面积的求法有没有相同之处？你能说明定积分的几何意义吗？定积分的定义与曲边梯形面积的求法本质是相同的.如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积.问题探究三 学生活动：根据定积分的几何意义，论证定积分的性质 定积分的性质：（1）()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰(k 为常数)（2）1212[()()]()()bbba a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰； （3）()()()bcba a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 性质（1）（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.例1．计算定积分21(1)x dx+⎰详解：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52.即：215(1)2x dx +=⎰点拨：从定积分的几何意义出发解题3．课堂总结 【知识梳理】1.定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ(1,2,,)i n =，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()baf x dx ⎰.即1()lim ()nbi a n i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰. 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式2.定积分的几何意义：如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积3.定积分的性质：（1）()()b ba a kf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为 常 数 )（2）1212[()()]()()b b ba a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰； （3）()()()bcba a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 性质（1）（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.【重难点突破】（1）计算定积分过程中的两个常用结论 ①211(1)(21)6ni i n n n ==++∑；②231(1)2ni n n i =+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑； ③11101110lim k k k k kk k n k k k a n a n a n a a b b n b n b n b ---→∞-⋅++++=⋅++++（其中i a ，i b 为常数，0,1,,i k =）.（2）定积分的概念①定积分()ba f x dx ⎰就是和式1()ni i b af n ξ=-∑的极限，即()b a f x dx ⎰表示当n →∞时，和式1()ni i b af n ξ=-∑所趋向的定值. ②在计算定积分的过程中，为了计算的方便，我们常常将定义中的i ξ取为第i （1,2,,i n =）个小区间的左端点或右端点.③定积分()ba f x dx ⎰的值只取决于被积函数()f x 与积分上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()b b ba a a f x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰.（3）定积分的几何意义①当()f x 对应的曲线位于x 轴上方时，定积分的值为正值，且等于曲边图形的面积；当()f x 对应的曲线位于x 轴下方时，定积分的值为负值，且等于曲边图形面积的相反数；当()f x 对应的曲线x 轴上、下方都有时，定积分等于曲边图形面积的代数和，即等于x 轴上方曲边图形的面积减去x 轴下方曲边图形的面积.②定积分有很多实际意义，如：变速运动路程21()t t s v t dt =⎰；变力做功()baW F r dr =⎰.（4）根据定积分的几何意义，易得以下性质： ①在区间[,]a b 上，若()0f x ≥，则()0baf x dx ≥⎰；②在区间[,]a b 上，若()()f x g x ≤，则()()bba a f x dx g x dx ≤⎰⎰；③()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰.（5）定积分的性质的推广 ①11221122[()()()]()()()bb bbn n n n a aaak f x k f x k f x dx k f x dx k f x dx k f x dx +++=+++⎰⎰⎰⎰；②121()()()()nbc c ba a c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰（其中12n a c c c b <<<<<）.4．随堂检测1．定积分⎠⎛ab f (x )dx 的大小( )A ．与y ＝f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与y ＝f (x )有关，与积分区间[a ，b ]和ξi 的取法无关C ．与y ＝f (x )和ξi 的取法有关，与积分区间[a ，b ]无关D ．与y ＝f (x )、积分区间[a ，b ]、ξi 的取法均无关 答案：A解析：【知识点：定积分】定积分的大小仅与被积函数和积分的上、下限有关． 2．下列结论中成立的个数是( ) ①⎠⎛01x 3dx ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ；②⎠⎛01x 3dx ＝(i －1)3n 3·1n ； ③⎠⎛01x 3dx ＝i 3n 3·1nA ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C解析：【知识点：定积分】积分是一个极限的形式，根据积分的定义可知②③正确． 3．定积分⎠⎛13(－3)dx 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 答案：A解析：【知识点：定积分】⎠⎛133dx 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)dx ＝－⎠⎛133dx ＝－6. 4．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )dx 的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 答案：B解析：【知识点：定积分】(sin 5x ＋1)dx ＝sin 5xdx ＋1dx ，∵y ＝sin 5x 在[－π2，π2]上是奇函数，∴sin 5xdx ＝0.而1dx ＝＝π，故f (x )dx ＝π，故选B.5．设a ＝⎠⎛01x 13dx ，b ＝⎠⎛01x 2dx ，c ＝⎠⎛01x 3dx ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b 答案：B.解析：【知识点：定积分】根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3dx ＜⎠⎛01x 2dx ＜⎠⎛01x 13dx ，即a ＞b ＞c ，故选B.（三）课后作业 基础型 自主突破1．定积分⎠⎛01(2＋1－x 2)dx ＝________.答案：24π+解析：【知识点：定积分】原式＝⎠⎛012dx ＋⎠⎛011－x 2dx .∵⎠⎛012dx ＝2，⎠⎛011－x 2dx ＝π4，∴⎠⎛01(2＋1－x 2)dx ＝π4＋2.2．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的平面图形的面积可用定积分表示为________． 答案：S ＝2⎠⎛01(x 3＋sin x )dx .解析：【知识点：定积分】因y ＝x 3＋sin x 为奇函数，故⎠⎛0－1(x 3＋sin x )dx ＝－⎠⎛01(x 3＋sin x )dx ＜0，所以S ＝2⎠⎛01(x 3＋sin x )dx .3.若y ＝f (x )的图象如图所示，定义F (x )＝⎠⎛0x f (t )dt ，x ∈[0,1]，则下列对F (x )的性质描述正确的有________．(1)F (x )是[0,1]上的增函数； (2)F ′(1)＝0；(3)F (x )是[0,1]上的减函数； (4)∃x 0∈[0,1]使得F (1)＝f (x 0)． 答案：(1)，(2)，(4) 解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义可知，F (x )表示图中阴影部分的面积，且F (1)＝⎠⎛01f (t )dt 为一个常数，当x 逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，所以F (x )为增函数，故(1)，(2)正确，(3)错误．由定积分的几何意义可知，必然∃x 0∈[0,1]，使S 1＝S 2，此时矩形ABCO 的面积与函数f (x )的图象与坐标轴围成的区域的面积相等，即F (1)＝⎠⎛01f (t )dt ＝f (x 0)，故(4)正确．所以对F (x )的性质描述正确的有(1)，(2)，(4)． 4．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：答案：见解析解析：【知识点：定积分】(1)sin xdx .(2) ⎠⎛-42⎠⎛2－412x 2dx .(3)－⎠⎛49－x 12dx ＝⎠⎛49x 12dx .5．已知⎠⎛01x 3dx ＝14，⎠⎛12x 3dx ＝154，⎠⎛12x 2dx ＝73，⎠⎛24x 2dx ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3dx ；(2)⎠⎛146x 2dx ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)dx . 答案：见解析解析：【知识点：定积分】(1)⎠⎛023x 3dx ＝3⎠⎛02x 3dx ＝3(⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12x 3dx )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛146x 2dx ＝6(⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛24x 2dx )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)dx ＝3⎠⎛12x 2dx －2⎠⎛12x 3dx ＝3×73－2×154＝－12.能力型 师生共研6．将和式的极限 1p ＋2p ＋3p ＋…＋n p n p ＋1(p ＞0)表示成定积分为( )A.⎠⎛011x dxB.⎠⎛01x p dxC.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1x pd D.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x n p dx 答案：B解析：【知识点：定积分】 令ξi ＝in ，f (x )＝x p ，则1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1＝∑i ＝1n1n f (ξi )＝⎠⎛01x p dx .7．将(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )表示为定积分为________． 答案：⎠⎛0111＋x dx解析：【知识点：定积分】 由定积分的定义(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )＝∑i ＝1n(1in ＋1)·1n ＝∑i ＝1n(n n ＋i )·1n＝⎠⎛0111＋x dx . 8．设f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，求⎠⎛02f (x )dx .答案：见解析解析：【知识点：定积分】∵f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，∴⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01(x ＋1)dx ＋⎠⎛12(－2x ＋4)dx .又由定积分的几何意义得 ⎠⎛01(x ＋1)dx ＝12(1＋2)×1＝32， ⎠⎛12(－2x ＋4)dx ＝12×1×2＝1， ∴⎠⎛02f (x )dx ＝32＋1＝52. 9．抛物线y ＝12x 2将圆面x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在图中阴影部分的概率为14＋16π，求⎠⎛02(8－x 2－12x 2)dx .答案：见解析解析：【知识点：定积分】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2，得x ＝±2.∴阴影部分的面积为⎠⎛-22(8－x 2－12x 2)dx .∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·(14＋16π)＝2π＋43.由定积分的几何意义得⎠⎛02(8－x 2－12x 2)dx ＝12⎠⎛-22 (8－x 2－12x 2)dx ＝π＋23.探究型 多维突破10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3 x ∈[－2，2]，2x x ∈[2，π]，cos x x ∈[π，2π].则22()f x dx π-=⎰________．答案：见解析解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义知⎠⎛－22x 3dx ＝0，⎠⎛2π2xdx ＝(π－2)(2π＋4)2＝π2－4，由于cos x 关于32x π=对称，故2cos 0xdx ππ=⎰，由定积分的性质得⎠⎛－22πf (x )dx ＝⎠⎛－22x 3dx ＋⎠⎛2π2xdx ＋2cos xdx ππ⎰＝π2－4.11．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01f (x )dx .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f (x )dx 的近似值为________________． 答案：见解析解析：【知识点：定积分】因为0≤f (x )≤1且由积分的定义知：⎠⎛01f (x )dx 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的面积．又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足y i ≤f (x i )的有N 1个点，即在函数f (x )的图象上及图象下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f (x )在x ＝0到x ＝1上与x 轴围成的面积为N 1N×1＝N 1N ，即⎠⎛01f (x )dx ＝N 1N .自助餐1．已知⎠⎛a b f (x )dx ＝6，则⎠⎛a b 6f (x )dx 等于（ ）A ．6B ．6(b －a )C ．36D ．不确定 答案：C解析：【知识点：定积分】 2．11x dx --⎰等于（ ）A ．11()x dx --⎰B ．11xdx -⎰C ．0110()x dx xdx --+⎰⎰D ．0110()xdx x dx -+-⎰⎰ 答案：C解析：【知识点：定积分】3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a b f (x )dx 的符号（ ）A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的D ．以上都不对 答案：A解析：【知识点：定积分】4．若⎠⎛a b f (x )dx ＝1，⎠⎛a b g (x )dx ＝－3，则⎠⎛a b [2f (x )＋g (x )]dx ＝（ ）A ．2B ．－3C ．－1D ．4 答案：C解析：【知识点：定积分】5．设a ＝10⎰x 13dx ，b ＝10⎰x 2dx ，c ＝1⎰x 3dx ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b 答案：B解析：【知识点：定积分】根据定积分的几何意义，易知⎰01x 3dx ＜⎰01x 2dx ＜⎰01x 13dx ，即a ＞b ＞c .6．由曲线y =x 2-1，直线x =0，x =2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)可表示为（ ）A.220(1)x dx -⎰B.2201x dx -⎰C.220(1)x dx -⎰D.122201(1)(1)x dx x dx -+-⎰⎰ 答案：B解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义知，阴影部分的面积为2121222211(1)(1)(1)(1)x dx x dx x dx x dx ---=-++⎰⎰⎰⎰2201x dx =-⎰7．⎠⎛06(2x －4)dx ＝____________. 答案：12解析：【知识点：定积分】A (0，－4)，B (6,8)，M (2,0)，S △AOM ＝12×2×4＝4，S △MBC ＝12×4×8＝16，∴⎠⎛06(2x－4)dx ＝16－4＝128．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且⎠⎛01f (x )dx ＝1，则f (x )的解析式为_________________． 答案：f (x )＝65x ＋25解析：【知识点：定积分】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax ＋b )dx ＝a ⎠⎛01xdx ＋⎠⎛01bdx ＝12a ＋b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.9．定积分⎠⎛－33(9－x 2－x 3)dx 的值为________．答案：92π 解析：【知识点：定积分】 如图，由定积分的几何意义，得⎠⎛－339－x 2dx ＝π×322＝9π2，⎠⎛－33x 3dx ＝0.由定积分的性质，得 ⎠⎛－33(9－x 2－x 3)dx ＝⎠⎛－339－x 2dx －⎠⎛－33x 3dx ＝9π2. 10．已知f (x )=错误！未找到引用源。
人教版数学高二选修2-2讲义1.5.3定积分的概念
1.5.3定积分的概念1．了解定积分的概念．(难点)2．理解定积分的几何意义．(重点、易混点)3．掌握定积分的几何性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分的概念阅读教材P45内容，完成下列问题．如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<x i－1<x i<…<x n＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式∑i＝1nf(ξi)Δx＝________________，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作⎠⎛ab f(x)d x，即⎠⎛ab f(x)d x＝__________.其中a与b分别叫做__________与__________，区间[a，b]叫做______，函数f(x)叫做____________，x叫做__________，f(x)d x叫做__________．【答案】∑i＝1n b－an f(ξi)limn→∞∑i＝1n b－an f(ξi)积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式⎠⎛12(x＋1)d x的值与直线x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1围成的梯形的面积有什么关系？【解析】由定积分的概念知：二者相等．教材整理2 定积分的几何意义阅读教材P46的内容，完成下列问题．从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎠⎛ab f(x)d x表示由__________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f(x)d x的几何意义．【答案】直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)⎠⎛ab f(x)d x＝⎠⎛ab f(t)d t.()(2)⎠⎛ab f(x)d x的值一定是一个正数．()(3)⎠⎛12x d x<⎠⎛22x d x()【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理3定积分的性质阅读教材P47的内容，完成下列问题．1.⎠⎛ab kf(x)d x＝________________________(k为常数)．2.⎠⎛ab[f1(x)±f2(x)]d x＝⎠⎛abf1(x)d x±__________________.3.⎠⎛ab f(x)d x＝______________(其中a<c<b)．【答案】 1.k⎠⎛ab f(x)d x 2.⎠⎛ab f2(x)d x 3.⎠⎛ac f(x)d x＋⎠⎛cb f(x)d x填空：(1)由y＝0，y＝cos x，x＝0，x＝π2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________．(2)⎠⎛-11f(x)d x＝⎠⎛-10f(x)d x＋__________.(3)⎠⎛ab(x2＋2x)d x＝⎠⎛ab2x d x＋________.【答案】(1)⎠⎜⎛π2cos x d x(2)⎠⎛1f(x)d x(3)⎠⎛ab x2d x[小组合作型]利用定义求定积分利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x＋2)d x的值．【精彩点拨】根据定积分的意义，分四步求解，即分割、近似代替、求和、取极限．【自主解答】令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，将区间[1,2]等分成n个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.(2)近似代替、作和取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则S n＝∑i＝1nf⎝⎛⎭⎪⎫n＋i－1n·Δx＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(n＋i－1)n＋2·1n＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(i－1)n2＋5n＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝32×n2－nn2＋5＝132－32n.(3)取极限⎠⎛12(3x＋2)d x＝limn→∞S n＝limn→∞⎝⎛⎭⎪⎫132－32n＝132.利用定义求定积分的步骤[再练一题]1．利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值．【解】 令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n . (2)近似代替、作和取ξi ＝1＋in (i ＝1,2，…，n )，则 S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n ＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2 ＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n . (3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎦⎥⎤3＋1n＝23.定积分的几何意义利用定积分的几何意义求下列定积分． (1)⎠⎛-33－39－x 2d x ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)d x ； (3)⎠⎛-11－1(x 3＋3x )d x . 【导学号：62952046】【精彩点拨】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．【自主解答】 (1)曲线y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛-339－x 2d x ＝92π.(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知⎠⎛-11(x3＋3x)d x＝0.定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求⎠⎛ab f(x)d x的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及y＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(关键词：平面图形的形状)(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：分割)[再练一题]2．上例(1)中变为⎠⎜⎛－32329－x2d x，如何求解？【解】由y＝9－x2，知x2＋y2＝9(y≥0)，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32，其图象如图所示：由定积分的几何意义，知⎠⎜⎛－32329－x2d x等于圆心角为60°的弓形C ED的面积与矩形ABC D的面积之和．S弓形＝12×π3×32－12×3×332＝6π－934，S矩形＝|AB|×|BC|＝2×32×9－⎝⎛⎭⎪⎫322＝932，∴⎠⎜⎛－32329－x2d x＝6π－934＋932＝6π＋934.[探究共研型]定积分性质的应用探究1 【提示】 可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[a ，b ]上的定积分？【提示】 ①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝0；②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-aa g (x )d x ＝2⎠⎛0a g (x )d x .(1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，0≤x <1，2x 2，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.⎠⎛02(x ＋1)d xB.⎠⎛022x 2d x C.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛122x d x ＋⎠⎛02(x ＋1)d x (2)已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝________.【自主解答】 (1)∵f (x )在[0,2]上是连续的，由定积分的性质(3)得⎠⎛02f (x )d x＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x . (2)由定积分的性质(2)可得⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛022x d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x . 又∵⎠⎛02f (x )d x ＝8，⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，∴⎠⎛2[f(x)－2x]d x＝⎠⎛2f(x)d x－2⎠⎛2x d x＝8－2×2＝4.【答案】(1)C(2)4利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：(1)⎠⎛ab[f1(x)±f2(x)±…±f n(x)]d x＝⎠⎛ab f1(x)d x±⎠⎛ab f2(x)d x±…±⎠⎛ab f n(x)d x；(2)⎠⎛ab f(x)d x＝⎠⎜⎛ac1f(x)d x＋⎠⎜⎛c1c2f(x)d x＋…＋⎠⎜⎛c nb f(x)d x(其中a<c1<c2<…<c n<b，n∈N*)．[再练一题]3．已知⎠⎛e x d x＝e22，⎠⎛e x2d x＝e33，求下列定积分的值．(1)⎠⎛e(2x＋x2)d x；(2)⎠⎛e(2x2－x＋1)d x.【解】(1)⎠⎛e(2x＋x2)d x＝2⎠⎛e x d x＋⎠⎛e x2d x＝2×e22＋e33＝e2＋e33.(2)⎠⎛e(2x2－x＋1)d x＝2⎠⎛e x2d x－⎠⎛e x d x＋⎠⎛e1d x，因为已知⎠⎛e x d x＝e22，⎠⎛e x2d x＝e33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e 1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.1．下列等式不成立的是( )A.⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a b g (x )d xB.⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛ab f (x )d x ＋b －a C.⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g (x )d x D.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2π0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x【解析】 利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立． 例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4，即⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . 【答案】 C2．图1-5-3中阴影部分的面积用定积分表示为( )图1-5-3A.⎠⎛012x dxB.⎠⎛01(2x －1)d xC.⎠⎛01(2x ＋1)d xD.⎠⎛01(1－2x )d x 【解析】 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x－1)d x.【答案】 B3．由y＝sin x，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________.【导学号：62952047】【解析】∵0＜x＜π2，∴sin x＞0.∴y＝sin x，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎜⎛π2sin x d x.【答案】⎠⎜⎛π2sin x d x4．若⎠⎛ab[f(x)＋g(x)]d x＝3，⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x＝1，则⎠⎛ab[2g(x)]d x＝________.【解析】⎠⎛ab[2g(x)]d x＝⎠⎛ab[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]d x＝⎠⎛ab[f(x)＋g(x)]d x－⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x＝3－1＝2.【答案】 25．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x2d x.【解】由y＝4－x2可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．⎠⎛-114－x2d x等于圆心角为60°的弓形C E D的面积与矩形ABCD的面积之和．S弓形＝12×π3×22－12×2×2sinπ3＝2π3－ 3.S矩形＝|AB|·|BC|＝2 3.高中数学-打印版 精心校对完整版 ∴⎠⎛-114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.。
高中数学选修2-2学案5：1.5.3 定积分的概念
1.5.3 定积分的概念学习目标1. 了解定积分的概念(重点)． 2．会用定义求简单的定积分(难点)． 3．理解定积分的几何意义(重点)． 4．掌握定积分的基本性质． 知识提炼 1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和s n ＝f (x 1)Δx ＋f (x 2)Δx ＋…＋f (x i )Δx ＋…f (x n )Δx ，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数， 这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作∫b a f (x )d x ，即∫ba f (x )d x ＝i ＝1nb －an f (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式． 2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分∫b a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．温馨提示 注意积分结果的符号问题．因为定积分∫b a f (x )d x 是介于x 轴、函数f (x )的图象以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的各部分面积的代数和，在x 轴上方的取正号，在x 轴下方 3．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则： (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图①所示，则∫b a f (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图②所示，则∫b a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③所示，则∫b a f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则∫b a f (x )d x ＝0．温馨提示在利用定积分的几何意义求定积分时，要特别注意曲边梯形所在的位置，以此为依据确定积分值的符号．4．定积分的性质(1)∫b a kf(x)d x＝__________ (k为常数)；(2)∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝____________________；(3)∫b a f(x)d x＝_________________，其中a＜c＜b.思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)∫21f(x)d x＝∫21f(t)d t.()(2)∫b a f(x)d x的值一定是一个正数．()(3)∫b a(ln x－x3)d x＝∫b a ln x d x－∫b a x3d x.()(4)∫2－1(－2)d x＝6.()2．求由曲线y＝e x，直线x＝2，y＝1围成的图形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为()A．[0，e2] B．[0，2] C．[1，2] D．[0，1]3．下列值等于1的是()A.∫10x d xB.∫101 2d xC.∫101d xD.∫1012x2d x4．计算：∫101－x2d x＝________．5．用不等号连接下列各式：∫10x d x____∫21x d x.核心突破类型1用定积分的定义求定积分(自主研析)典例1利用定积分的定义计算：∫10x d x.变式训练利用定积分定义计算∫21(1＋x)d x.类型2利用定积分的几何意义求定积分典例2利用定积分的几何意义计算下列定积分．(1)∫102d x；(2)∫21x d x；(3)∫3－39－x2d x.归纳升华当被积函数的几何特征比较明显时，可利用定积分的几何意义求定积分，但要注意定积分的符号．常见的几何图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．变式训练利用定积分的几何意义，求值．(1)∫30(2x＋1)d x；(2)∫1－11－x2d x；(3)∫101－x2d x；(4)∫101－（x－1）2d x.类型3利用定积分的性质求定积分(互动探究)典例3(1)已知定积分∫60f(x)d x＝8，且f(x)为偶函数，则∫6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．16 C ．12 D ．8 (2)已知∫e 0x d x ＝e 22，∫e 0x 2d x ＝e 33，求下列定积分的值： ①∫e 0(2x ＋x 2)d x ；②∫e 0(2x 2－x ＋1)d x .迁移探究1 典例3(1)中把条件改为若f (x )为奇函数， 则结果如何？迁移探究2 典例3(1)改为试求∫6－6f (|x |)d x ，请解答． 归纳升华利用定积分的性质计算定积分的技巧：(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的线性性质进行计算，可以简化计算；(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算； (3)如果函数具有奇偶性，应借助图象的对称关系及定积分的几何意义求值． 课堂小结1．用定义法求定积分的四个步骤：(1)分割；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限．其中分割通常都是对积分区间进行等分，近似代替时通常取区间的端点，求和时要注意一些公式的灵活应用．2．当曲边梯形在x 轴下方时，积分值为负，在x 轴上方时，积分值为正，定积分的几何意义是在区间[a ，b ]上，曲线与x 轴所围成图形的面积的代数和．3．定积分的性质主要涉及定积分的线性运算，这是解决定积分计算问题的重要工具．注意这些性质的正用、逆用以及变形使用．——★ 参 考 答 案 ★——知识提炼4．(1)k ∫b a f (x )d x(2)∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x (3)∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x思考尝试1．[答案](1)√ (2)× (3)√ (4)×[解析](1)对，定积分的值仅与被积函数f (x )及积分区间[a ，b ]有关，与积分变量用什么字母表示无关．(2)错，∫b a f (x )d x 的值可以是正数、负数、零． (3)对，根据定积分的性质知，等式成立． (4)错，∫2－1(－2)d x ＝－6. 2．[答案]B[解析]解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x ，y ＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， 所以积分区间为[0，2]． 3．[答案]C[解析]由积分的几何意义可知应选C. 4．[答案]π4[解析]∫101－x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14， 所以∫101－x 2d x ＝14π·12＝π4. 5．[答案]＜[解析]由定积分的几何意义知∫10x d x ＜∫21x d x .核心突破类型1 用定积分的定义求定积分(自主研析)典例1 解：①分割：将区间[0，1]分为n 等份，形成n 个小区间[x i －1，x i ]＝⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1，2，…，n )，且每个小区间的长度为Δx i ＝1n (i ＝1，2，…，n )．②近似代替：在[x i －1，x i ]＝⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上取ξi ＝in (i ＝1，2，…，n )， 则f (ξi )Δx i ＝i n ·1n ＝in2(i ＝1，2，…，n )．③求和：S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎫i n ·Δx i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i n ·1n ＝1n 2∑i ＝1ni ＝1n 2·n （n ＋1）2＝n ＋12n .④取极限：∫10x d x＝S n＝n＋12n＝12.变式训练解：(1)分割：因为f(x)＝1＋x在区间[1，2]上连续，将区间[1，2]分成n等份，则每个区间长度为Δx i＝1n.(2)近似替代：在[x i－1，x i]＝⎣⎡⎦⎤1＋i－1n，1＋in上取ξi＝x i－1＝1＋i－1n(i＝1，2，…，n)，于是f(ξi)＝f(x i－1)＝1＋1＋i－1n＝2＋i－1n.(3)求和：(ξi)Δx i＝∑i＝1nf⎝⎛⎭⎫2＋i－1n·1n＝∑i＝1nf⎝⎛⎭⎫2n＋i－1n2＝2n·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋1n2·n（n－1）2＝2＋n－12n，(4)取极限：∫21(1＋x)d x＝⎝⎛⎭⎫2＋n－12n＝2＋12＝52.类型2利用定积分的几何意义求定积分典例2解：∫102d x表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以∫102d x＝2.(2)∫21x d x表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以∫21x d x＝32.(3)在平面上y＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，如图③所示，其面积S＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义，知∫3－39－x2d x＝92π.变式训练 解：(1)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线.∫30(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成的直角梯形OABC 的面积，如图①其面积S ＝12×(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义，知∫30(2x ＋1)d x ＝12.(2)∫1－11－x 2d x 表示的是图②中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为π2， 所以∫1－11－x 2d x ＝π2.(3)∫101－x 2d x 表示的是图③中阴影部分所示半径为1的圆的14的面积，其值为π4，所以∫101－x 2d x ＝π4. (4)∫101－（x －1）2d x 表示的是图④中阴影部分所示半径为1的14圆的面积，其值为π4， 所以∫101－（x －1）2d x ＝π4.类型3 利用定积分的性质求定积分(互动探究) 典例3 (1)[答案]B[解析]因为f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，由定积分的几何意义可知：∫0－6f (x )d x ＝∫60f (x )d x ，故∫6－6f (x )d x ＝∫0－6f (x )d x ＋∫60f (x )d x＝2∫60f (x )d x ＝16.(2)解：①∫e 0(2x ＋x 2)d x ＝2∫e 0x d x ＋∫e 0x 2d x ＝2×e 22＋e 33＝e 2＋e 33. ②∫e 0(2x 2－x ＋1)d x ＝2∫e 0x 2d x －∫e 0x d x ＋∫e01d x ，因为已知∫e 0x d x ＝e 22，∫e 0x 2d x ＝e 33. 又由定积分的几何意义知：∫e 01d x 等于直线x ＝0， x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积， 所以∫e 01d x ＝1×e ＝e ，故∫e 0(2x 2－x ＋1)d x ＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e. 迁移探究1 [解析]因为奇函数的图象关于原点对称，由定积分的几何意义，可知∫0－6f (x )d x ＝－∫60f (x )d x ， 故∫6－6f (x )d x ＝∫0－6f (x )d x ＋∫60f (x )d x ＝0. [答案]A迁移探究2 典例3(1)改为试求∫6－6f (|x |)d x ，请解答． 解：因为f (|－x |＝f (|x |)， 故f (|x |)为偶函数，且当x >0时， f (|x |)＝f (x )，故∫6－6f (|x |)d x ＝2∫60f (|x |)d x ＝2∫60f (x )d x ＝16.。
人教版高中数学选修2-21.5.3定积分的概念教案
1.5.3 定积分的观点教课建议1.教材剖析,经过归纳它们的共同特点本节是在前方研究曲边梯形的面积和变速直线运动的行程的基础上而引入定积分的观点,给出定积分的几何意义与基天性质.要点是定积分的观点 ,几何意义和性质 ;难点是定积分的求解方法和应用 .2.主要问题及教课建议(1)定积分的观点的理解 .,可作以下说明 .建议教师为了加深学生对定积分观点的理解①定积分的含义 .定积分 f(x)dx 是一种特定形式的和式f(ξi)的极限,即f(x)dx表示当n→ ∞时,和式f(ξi)所趋势的定值 .②解说 f(x)dx 中符号的含义 .③指引学生领会数学的力量.定积分把曲边梯形的面积、变速直线运动的行程这两个背景和实际意义截然相反的问题的结果,表示成了相同的形式,这显示了定积分的强盛的威力,也表示了数学的威力 .(2)定积分的几何意义 .建议教师让学生回首前方两个实例,联合图形 ,经过逐渐剖析 ,充足利用教材中的“研究”和“思虑”得出定积分的几何意义 .备选习题1 .计算:(1)s in xdx=;(2)( -)dx=.分析 :(1)∵曲线 y= sin x 在 [0,2π]上对于点 ( π,0)对称 ,∴sin xdx= sin dx+ sin xdx= sin xdx-sin xdx=0.(2)曲线 y= (x∈ [0,2]) 表示圆心在原点 ,半径为 2 的圆在第一象限的圆弧,则 dx 表示由直线x= 0,x= 2,y=0 和曲线 y= 围成的图形面积∵πr2∴, S== π,dx= π,∴(-)dx=- dx=- π.答案 :(1)0 (2)-π2 .求定积分-x)dx的值.解:22-x)dx 表示圆 (x-1) +y = 1(y≥ 0)的一部分与直线 y=x 所围成的图形 (图中暗影部分 )的面积 ,故原式=×π×12- ×1×1=.。
高中数学 专题1.5.3 定积分的概念教案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学教案
定积分的概念【教学目标】1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．2．理解定积分的几何意义．3．掌握定积分的基本性质．【教法指导】本节学习重点：掌握定积分的基本性质．本节学习难点：理解定积分的几何意义．【教学过程】☆复习引入☆任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一定积分的概念思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2 怎样正确认识定积分ʃb a f(x)d x?(2)定积分就是和的极限limn→∞∑ni＝1(ξi)·Δx，而ʃb a f(x)d x只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b 的定积分”．(3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1 利用定积分的定义，计算ʃ10x3d x的值．解令f(x)＝x3.(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝in(i ＝1,2，…，n )，则ʃ10x 3d x ≈S n ＝∑ni ＝1f (in)·Δx ＝∑ni ＝1(i n )3·1n＝1n 4∑ni ＝1i 3＝1n 4·14n 2(n ＋1)2＝14(1＋1n)2. (3)取极限ʃ10x 3d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞14(1＋1n )2＝14. 反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤． (2)从过程来看，当f (x )≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积． 跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x )d x .2＋i －1n ，从而得∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1(2＋i －1n )·1n ＝∑n i ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2 ＝2n ·n ＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n 2·n n －12＝2＋n －12n .(3)取极限：S ＝lim n →∞⎝⎛⎭⎪⎫2＋n －12n ＝2＋12＝52. 因此ʃ21(1＋x )d x ＝52.探究点二 定积分的几何意义思考1 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么ʃba f (x )d x 表示什么？答 当函数f (x )≥0时，定积分ʃba f (x )d x 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．思考2 当f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，ʃba f (x )d x 表示的含义是什么？若f (x )有正有负呢？答 如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )≤0时，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图①)． 由于b －an>0，f (ξi )≤0，故 f (ξi )b －a n≤0.从而定积分ʃb a f (x )d x ≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃba f (x )d x ＝－S .当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，定积分ʃba f (x )d x 表示介于x 轴、函数f (x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．(如图②)，即ʃba f (x )d x ＝－S 1＋S 2－S 3. 例2 利用几何意义计算下列定积分： (1)ʃ3－39－x 2d x ；(2)ʃ3－1(3x ＋1)d x .(2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：ʃ3－1(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴ʃ3－1(3x ＋1)d x ＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝503－23＝16. 反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定． 跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值： (1)ʃ1－1x d x ；(2)ʃ2π0cos x d x ；(3)ʃ1－1|x |d x . 解 (1)如图(1)，ʃ1－1x d x ＝－A 1＋A 1＝0. (2)如图(2)，ʃ2π0cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0.(3)如图(3)，∵A 1＝A 2，∴ʃ1－1|x |d x ＝2A 1＝2×12＝1.(A 1，A 2，A 3分别表示图中相应各处面积)探究点三 定积分的性质思考1 定积分的性质可作哪些推广？ 答 定积分的性质的推广①ʃb a [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ±…±ʃba f n (x )d x ； ②ʃba f (x )d x ＝ʃc 1a f (x )d x ＋ʃc 2c 1f (x )d x ＋…＋ʃbf (x )d x (其中n ∈N *)． 思考2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？例3 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值． 解 如图，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2，ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2. 反思与感悟 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算． 跟踪训练3 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求： (1)ʃ203x 3d x ；(2)ʃ416x 2d x ；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 解 (1)ʃ203x 3d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3(ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x )＝3×(14＋154)＝12；(2)ʃ416x 2d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6(ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x )＝6×(73＋563)＝126； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ213x 2d x －ʃ212x 3d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝7－152＝－12. ☆课堂提高☆1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑ni ＝1i 3n 3·1n； ②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑ni ＝1i －13n 3·1n；③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑ni ＝1i 3n 3·1n. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】 C2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (i ＝1,2，…，n )上的值可以用 ( )近似代替 A.inB ．1f n ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．i f n ⎛⎫⎪⎝⎭D ．1n【答案】C【解析】f (x )＝x 2在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值可以用区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上每一点对应的函数值近似代替，故选C. 3．下列等式不成立的是( ) A. ()()ba mf x ng x dx ⎡⎤+⎣⎦⎰＝m ()b a f x dx ⎰＋n ()ba g x dx ⎰ B. ()1ba f x dx ⎡⎤+⎣⎦⎰＝()ba f x dx ⎰＋b －aC. ()()baf xg x dx ⎰＝()()bbaaf x dxg x dx ⎰⎰D.2π2πsin xdx -⎰＝02π2πsin sin xdx xdx -+⎰⎰【答案】C【解析】利用定积分的性质进行判断，选项C 不成立．例如112xdx =⎰，12013x dx =⎰，13014x dx =⎰，11132000x dx xdx x dx ≠⋅⎰⎰⎰.故选C.4．已知定积分ʃ60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则ʃ6－6f (x )d x 等于( )． A ．0 B ．16 C ．12 D ．8 【答案】 B【解析】 偶函数图象关于y 轴对称，故ʃ6－6f (x )d x ＝2ʃ60f (x )d x ＝16，故选B. 5．已知1e e 1xdx =-⎰，221e e e xdx =-⎰，2283x dx =⎰，2122ln 2dx x =⎰.求：(1)2e xdx ⎰；(2)()220e 3xx dx +⎰；(3)211e x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 【解析】(1)21222001e e e e 1e e e 1x x x dx dx dx =+=-+-=-⎰⎰⎰.(2)()22e3xx dx +⎰＝2e xdx ⎰＋()223x dx ⎰＝2e xdx ⎰＋2203x dx ⎰＝e 2－1＋8＝e 2＋7.(3)211e x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰＝21e xdx ⎰＋21122dx x ⎰＝e 2－e ＋ln2. 6．利用定积分的定义计算ʃ21(－x 2＋2x )d x 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．(2)近似代替、求和取ξi ＝1＋in(i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑ni ＝1f (1＋i n )·Δx ＝∑ni ＝1[－(1＋i n )2＋2(1＋i n )]·1n＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n3[2n 2n ＋14n ＋16－n n ＋12n ＋16]＋2n2·n n ＋1＋2n2＝－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n .(3)取极限ʃ21(－x 2＋2x )d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞[－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n ]＝23，2 3的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．ʃ21(－x2＋2x)d x＝。
数学：1.5.3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2) (2)
实用文档 1.5.3 定积分的概念教学目标：1. 了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.2. 理解定积分及几何意义.3. 掌握定积分的基本性质及其计算教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算教学过程：1. 定积分的定义：2. 怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？t =0，t =1，v =0及v =-t 2-1所围成图形的面积？ 31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S 35)2()(102102⎰⎰=+-==dt t dt t v S 3. 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰b a dx x f )(的几何意义是什么? 梯形的面积所围成的曲边和曲线，，是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f b a ==≠==⎰ 4.4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？实用文档思考：试用定积分的几何意义说明1.⎰-2024dx x 的大小由直线x =0，x =2，y =0及24x y -=所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的41，.4202π=-∴⎰dx x 2. 0113=⎰-dx x 5. 例：利用定积分的定义，计算0103=⎰dx x 的值. 6.由定积分的定义可得到哪些性质？常数与积分的关系 ⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()( 和差的积分 推广到有限个也成立 ⎰⎰⎰±=±b ab a b a dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121 区间和的积分等于各段积分和 )()()()(bc a dx x f dx x f dx x f b c c a b a <<+=⎰⎰⎰其中 7练习：计算下列定积分⎰-312)2(dx x x。
人教版高中数学选修2-2学案：1.5.3定积分的概念
人教版高中数学选修2-2学案：1.5.3定积分的概念1.5.3定积分的概念【学习目标】1.了解定积分的概念和性质；2.了解定积分的几何意义；3.能对简单的定积分进行计算．【新知自学】知识回顾：求曲边梯形的面积：（1）思想：以直代曲、逼近；（2）步骤：分割?近似代替?求和?取极限；关键：近似代替；结果：分割越细，面积越精确.新知梳理：1.定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a?x0?x1?x2? …?xi?1?xi?…?xn?b将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为?x?______，在每个小区间?xi?1,xi?上取一点?i?i?1,2,Sn??f(?i)?x??i?1i?1nn,n?，作和式：b?af(?i).如果?x无限接近于0（亦即n???）时，上述和n式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为________________________．记为_______. 其中f(x)称为_________，x叫做________，[a,b]为_______，b叫做积分____，a叫做积分_____________．说明：（1）定积分?baf(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n???时）称为?baf(x)dx，而不是Sn．b（２）曲边图形面积：S??f?x?dx；变速运动路程S??v(t)dt；变力做功at1t2W??F(r)dr．ab2．定积分的几何意义：如下图所示，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)?0，那么定积分示直线x?a,x?b(a?b),y?0和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积.?f(x)dx表ab3．定积分的性质：（１）kdx?_______（k为常数）；a?b（２）kf(x)dx?____________（其中k是不为0的常数）；a?b（３）（４）??f(x)?fa1bab2(x)?dx?_______________；． ?f(x)dx?__________________（其中a?c?b）对点练习：1.下列等于1的积分是（） A.??101xdx B.?(x?1)dx01C.1dx D.01?02dx1?x2(x?0),13．设f(x)??x则f(x)dx的值是（）?2(x?0).?1?A.?01?1x2dx B.?2xdx?121x0x10?101C.?xdx??2dx D.?2dx??x2dx?13．曲线y?x2,x?0,y?1，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________.4.当函数f(x)在区间[a,b]上连续且恒有f(x)?0（即函数图象在x轴下方）时，定积分?f(x)dx表示___________________________.ab【合作探究】典例精析：例1. 根据定积分的几何意义计算定积分：|x?2|dx的值．1?3变式练习：根据定积分的几何意义计算定积分例2.利用定积分的定义，计算?21(x?1)dx的值．?x013dx的值．变式练习：计算?20x3dx的值，并从几何上解释这个值表示什么含义．【课堂小结】【当堂达标】1.求由y?ex,x?2,y?1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为（）A.［0，e2］B.［0，2］C.［1，2］D.［0，1］ 2.下列命题不正确的是（）． A.若f(x)是连续的奇函数，则B.若f(x)是连续的偶函数，则??a?aaf(x)dx?0 f(x)dx?2f(x)dx0?a?aC.若f(x)在[a,b]上连续且恒正，则D.若f(x)在[a,b]上连续且b?f(x)dx?0ab?f(x)dx?0，则f(x)在[a,b]上恒正a3.化简求值xdx?xdx?______________＝ _____________ ．01?1?24.试用定积分的几何意义说明?204?x2dx的大小．【课时作业】1.已知?20f(x)dx?3,则[f(x)?6]dx=( )0?2A.9 B.12 C.15 D.18 2.若函数f(x)?x3?x，则?2?2f(x)dx等于（）．A.0B.8C.f(x)dxD.2f(x)dx00?2?23.将和式的极限1p?2p?3p?.......?nplim(p?0)表示成定积分是（） n??nP?111pA.?dx B.?xdx00x1x11C.?()pdx D.?()pdx 0x0n14.利用定积分的性质和几何意义求定积分?30(2?x)2dx．5.用定积分表示右图中阴影部分的面积.yAy?f1(x)BDy?f(x)C2bxOa感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高二数学1.5.3定积分的概念学案新人教A版选修2-2
2
0
2
D.
2 sin xdx＝
2 sin xdx＋ 0 sin xdx
解析： 利用定积分的性质进行判断， C 不成立．
例如
1
1
0 xdx＝ 2，
1 0
x
2
dx
＝
1 3
，
1 0
x3d
x＝
1 4.
但
1 x3dx≠
1 xdx·
1 x2dx.
0
0
0
3．计算： 1 16－ x2dx＝ ( C) 0
A． 8π B ．16π C ． 4π D ．32π
解析： 4 16－ x2dx 表示以原点为圆心，半径为 0
π· 42＝ 4π .
1 4 的 4圆的面积，∴
4 0
16－
x2
dx
＝
1 4
基础巩固
1．定积分
b a f ( x)d x 的大小 ( A)
A．与 f ( x) 和积分区间 [ a， b] 有关，与 ξi 的取法无关 B．与 f ( x) 有关，与区间 [ a， b] 及 ξi 的取法无关 C．与 f ( x) 及 ξi 的取法有关，与区间 [ a， b] 无关 D．与 f ( x) 、积分区间 [ a， b] 和 ξi 的取法都有关
f ( x) 叫做 被积函数 ，x 叫做 积分变量 ， f ( x)d x 叫做 被积式 ． 2．定积分的几何意义：如果在区间 [ a， b] 上函数 f ( x) 连续且恒有 f ( x) ≥０，那么定积
b 分 a f ( x)d x 表示由直线 x＝ a，x＝ b( a≠ b) ，y＝ 0 和曲线 y＝ f ( x) 所围成的曲边梯形的面
0
A． e＋2
高中数学选修2-2学案2：1,5.3定积分的概念
§1.5定积分的概念学习目标1．理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；3．明确定积分的几何意义和物理意义；4．无限细分和无穷累积的思维方法.学习过程一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：函数23(sin )y x =的导数是复习2：若函数2log (23)a y x x =--的增区间是(,1)-∞-，则a 的取值范围是二、新课导学学习探究探究任务一：曲边梯形的面积问题：下图的阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把直线x a =，x b =()a b ≠，0y =和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 如何计算这个曲边梯形的面积呢？研究特例：对于 1x =，0y =，2y x =围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？新知：1.用流程图表示求曲边三角形面积的过程分割⇒近似代替⇒求和⇒取极限2.定积分的定义：1()lim ()nb i a n iba f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 3.定积分的几何意义：4.定积分的性质：（1）()()b ba a kf x dx k f x dx =⎰⎰ （k 为常数） （2）1212[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （3）()()()bc ba a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中a cb <<） 试试：求直线0,2,0x x y ===与曲线2y x =所围成的曲边梯形的面积.反思：在求曲边梯形面积过程中，你认为最让你感到困难的是什么？（如何分割，求和逼近是两大难点）典型例题例1 利用定积分的定义，计算130x dx ⎰的值变式：计算230x dx ⎰的值，并从几何上解释这个值表示什么？例2 计算定积分120(2)x x dx -⎰变式：计算定积分21(1)x dx +⎰动手试试练1. 计算130x dx ⎰，并从几何上解释这些值分别表示什么.练2. 计算031x dx -⎰，并从几何上解释这些值分别表示什么.三、总结提升学习小结1. 求曲边梯形的面积；2. 会计算定积分.。
人教版A版高中数学选修2-2：1.5.3定积分的概念
b
i
x
[ xn1，xn ]，各小段时间的长依次为
x1 x1 x0 ,x2 x2 x1,xn xn xn1,
在每个小区间[ xi1 xi ]上任意到一个点i ,求函数值f (i )
,并与小区间长度xi相乘得f (i )xi (i 1,2,3,, n), 再求
(2) 2 sin2 x cos xdx
0
0
解: (1)
3 e3xdx
0
1 3
3 e3xd 3 x
0
1 3
e3x 3 0
1 (e9 3
1)
(2) 2 sin2 x cos xdx 0
2 sin2 xd sin x 1 sin3 x 2 1
0
3
03
(3)
把[a,b]分成n个小区间 [ xi1, xi ] (i 1,2, ... , n)
y
y f (x)
其长度为
xi xi xi1 (i 1,2, ... , n) o a xi1 xi b x
过各个分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个 小曲边梯形，其面积为?
（1）分割：（前面）
定积分的概念
The Concept of Definite Integral
定积分的概念
定积分概念的引入
1. 求曲边梯形的面积
曲边梯形是指由连续曲线 y
y f ( x) ( f ( x) 0)、 和直线
A?
y f (x)
y 0、x a、x b 所组成
的平面图形。
高中数学选修2-2学案7：1.5.3 定积分的概念
1.5.3 定积分的概念教材新知：知识点一：定积分的概念提出问题问题1：求曲边梯形面积的步骤是什么？ 问题2：你能将区间[a ，b ]等分吗？ 导入新知定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx＝∑i ＝1nb －a n f (ξi )．当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1nb －an f (ξi )．其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．化解疑难对定积分概念的理解由定义可得定积分⎠⎛ab f (x )dx 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝⎠⎛ab f (u )d u .知识点二：定积分的几何意义提出问题问题1：根据定积分的定义，求⎠⎛12(x ＋1)d x 的值是多少．问题2：⎠⎛12(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形的面积有什么关系？ 导入新知定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛ab f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f (x )d x的几何意义．化解疑难评析定积分的几何意义关于定积分的几何意义，当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是以曲线f (x )为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象以及直线x ＝a ，x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.知识点三：定积分的性质提出问题问题1：利用定积分的定义，试求⎠⎛12x 2d x ，⎠⎛122x d x ，⎠⎛12(x 2＋2x )d x . 问题2：由问题1计算得出什么结论？ 问题3：还有相类似的性质吗？ 导入新知定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．化解疑难对定积分的性质的说明定积分的性质(1)(2)被称为定积分的线性运算，定积分的性质(3)被称为区间的连续可加性，定积分的性质可以推广为：①⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )±…±f m (x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎛a b f 2(x )d x ±…±⎠⎛ab f m (x )d x (m ∈N *)．②⎠⎛ab f (x )d x ＝()1c af x ⎰d x ＋⎠⎛c 1c 2f (x )d x ＋…＋()k bc f x ⎰d x (a <c 1<c 2<…<c k <b ，且k ∈N *)．例题讲解：题型一：利用定义求定积分例1：利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)d x 的值．类题通法利用定义求定积分的步骤活学活用：利用定积分的定义，计算⎠⎛12(x ＋1)d x 的值．题型二：利用定积分的几何意义求定积分例2：说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：(1)⎠⎛012d x ；(2)⎠⎛12x d x ；(3) ⎠⎛－111－x 2d x .类题通法利用几何意义求定积分的方法利用定积分所表示的几何意义求⎠⎛ab f (x )d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，直线x ＝b 及x 轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．活学活用：用定积分表示下图中阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出定积分的值．题型三：利用定积分的性质求定积分例3：已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求下列各式的值：(1)⎠⎛02(3x 3)d x ；(2)⎠⎛14(6x 2)d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .类题通法定积分与函数的奇偶性若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则： (1)若函数f (x )为奇函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝0；(2)若函数f (x )为偶函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .活学活用：已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝12，⎠⎛a b g (x )d x ＝6，求⎠⎛a b 3f (x )d x .随堂检测：1．下列等式不成立的是( )A. ⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛ab g (x )d xB. ⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛ab f (x )d x ＋b －aC. ⎠⎛ab f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g (x )d xD.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2π0πsin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x2．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )A.12x d x⎠⎛B.1(2x－1)d x⎠⎛C.1(2x＋1)d x⎠⎛D.1(1－2x)d x⎠⎛3．用定积分的几何意义求14－x2d x.⎠⎛－1——★参考答案★——教材新知：知识点一：定积分的概念提出问题问题1：答：分割、近似代替、求和、取极限． 问题2：答：可以． 知识点二：定积分的几何意义提出问题问题1：答：⎠⎛12(x ＋1)d x ＝52.问题2：答：相等． 知识点三：定积分的性质提出问题问题1：答：计算得⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛122x d x ＝3，⎠⎛12(x 2＋2x )d x ＝163. 问题2：答：⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＝⎠⎛12(x 2＋2x )d x . 问题3：答：有． 例题讲解：题型一：利用定义求定积分例1：解：令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋in ](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n.(2)近似代替、作和取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，则则S n ＝∑i ＝1nf (n ＋i －1n )·Δx＝∑i ＝1n[3(n ＋i －1)n ＋2]·1n＝∑i ＝1n[3(i －1)n 2＋5n ] ＝5＋3n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n . (3)取极限⎠⎛12(3x ＋2)d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞(132－32n )＝132.活学活用：解：f (x )＝x ＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度为Δx ＝1n. 在⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋in 上取ξi ＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，∴f (ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，∴∑i ＝1nf (ξi )·Δx ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫2＋i －1n ·1n＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n ＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝2＋n －12n ＝2＋12－12n ＝52－12n ，∴⎠⎛12(1＋x )d x ＝lim n →∞⎝⎛⎭⎫52－12n ＝52. 题型二：利用定积分的几何意义求定积分例2：解：(1)⎠⎛012d x 表示的是图①中阴影部分所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.(2)⎠⎛12x d x 表示的是图②中阴影部分所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以⎠⎛12x d x ＝32.(3) ⎠⎛－111－x 2d x 表示的是图③中阴影部分所示半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2.活学活用：解：图①中，被积函数f (x )＝－1－x 在区间[－1,2]上连续不间断，且f (x )≤0， 根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为 S ＝－⎠⎛－12 (－1－x )d x ＝12×3×3＝92，所以阴影部分的面积为92.图②中，被积函数f (x )＝－1－x 2在区间[－1,1]上连续不断，且f (x )≤0， 根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为 S ＝－⎠⎛－11－1－x 2d x ＝12π×12＝π2，所以阴影部分的面积为π2.题型三：利用定积分的性质求定积分例3：解：(1)⎠⎛02(3x 3)d x ＝3⎠⎛02x 3d x ＝3⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3×⎝⎛⎭⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛14(6x 2)d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6×⎝⎛⎭⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝⎠⎛12(3x 2)d x －⎠⎛12(2x 3)d x＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.活学活用：解：∵⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ， ∴⎠⎛ab f (x )d x ＝12－6＝6，∴⎠⎛a b 3f (x )d x ＝3⎠⎛a b f (x )d x ＝3×6＝18. 随堂检测：1．[解析]利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立． 例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4，⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . [答案]C2．[解析]根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x －1)d x .[答案]B3．解：由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图．⎠⎛－114－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CD 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3，S 矩形＝AB·BC ＝2 3.。
人教新课标A版高二数学《选修2-2》1.5.3 定积分的概念
3 3
9－x2 dx －
9π x dx＝ . 2
3
课时训练
A
2．用定积分表示下列阴影部 分的面积(不要求计算)：
(1)S1＝____________(如图1)；
(2)S2＝____________(如图2)；
课时小结谢ຫໍສະໝຸດ 大家！1.5.3 定积分的概念
学习目标
1．了解定积分的概念．
2．会用定义求一些简单的定积分．
5．用定积分表示下图中阴影部分的面积．
正
负 0
自主测评
A
C
C
题型一 用定义求定积分
s
i 1 i
n
方法提炼 用定义求定积分的步骤 ①分割；
②近似代替；
③求和；
④取极限
跟踪演练
解：令 f(x)＝3x＋2，(1)分割．在区间[1,2]上等间隔地插入 n －1 个分点，把区间[1,2]等分成 n
3 2 3 2
π 3 3 π 3 1 －x d x ＝ － ＋ ＝ ＋ . 3 4 2 3 4
2
题型三 利用性质求定积分
解：(1)如图：
由定积分的几何意义得：
3 3
2 π×3 9π 2 9－x dx＝ ＝ ， 2 2
3 3
x dx＝0.
3 3
3
由定积分性质得
3 3
( 9－x － x )dx ＝
n＋i－1 n＋i 个小区间 ， n n
n＋i n＋i－1 1 (i＝1,2，…， n)， 每个小区间的长度为 Δx＝ － ＝ . n n n
(2)近似代替． n＋i－1 取 ξi＝ (i＝1,2，…，n)， n 用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积 ΔSi＝f(ξi)·Δx. (3)求和．所有这些小矩形面积的和 Sn＝i＝ Σ1f(ξi)Δx＝i＝ Σ1 (3ξi＋2)Δx
人教版高中数学选修2-2教学案1.5--1.6：定积分的概念与微积分基本定理(学生版)
定积分的概念与微积分基本定理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积. 一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限， 事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限1定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：()()i ni ni i f nab x f ξξ∑∑==-=∆•11当n →+∞）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baf x dx ⎰即()baf x dx ⎰=()i ni n f nab ξ∑=∞→-1lim 其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 积分 ，a 积分 。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。
新人教A版选修(2-2)1.5.3《定积分的概念》word教案
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：李洪涛 审稿人：张林§1.5.3定积分的概念教案教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习：1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。
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定积分的概念
【学习目标】
.了解定积分的概念和性质；
.了解定积分的几何意义；
.能对简单的定积分进行计算．
【新知自学】
知识回顾：
求曲边梯形的面积：
（）思想：以直代曲、逼近；
（）步骤：分割近似代替求和取极限；关键：近似代替；
结果：分割越细，面积越精确.
新知梳理：
.定积分的概念：
一般地，设函数在区间上连续，用分点……
将区间等分成个小区间，每个小区间长度为，在每个小区间上取一点，作和式：
.如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为．记为.
其中称为，叫做，为，叫做积分，叫做积分．
说明：（）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为
，而不是．
（２）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功
．
．定积分的几何意义：
如下图所示，如果在区间连续且恒有，那么定积分表示直线,,和曲线()围成的曲边梯形的面积.
．定积分的性质：
（１）（为常数）；
（２）（其中是不为的常数）；
（３）；
（４）（其中）．
对点练习：
.下列等于的积分是（）
..
..
．设的值是（）
.
．曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为.
.当函数在区间连续且恒有（即函数图象在轴下方）时，定积分
表示.
【合作探究】
典例精析：
例.根据定积分的几何意义计算定积分：的值．。