届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学(文)试题(解析版)

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湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试(一模)数学(文)试题含答案解析

长郡中学2019届第一次适应性考试数学（文科）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。

2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出所有小于150的三位回文数，从中选取两个得到基本事件总数，再从中找出两个回文数的三位数字之和均大于3的个数即可求解。

【详解】列出所有小于150的三位回文数如下：101,111,121,131,141.从中任取两个数共有10种情况如下：（101,111），（101, 121），（101, 131），（101, 141），（111, 121），（111, 131），（111, 141），（121,131），（121,141），（131,141）.两个回文数的三位数字之和均大于3的有：（121,131），（121,141），（131,141）共3种情况.两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为：.故选：C【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算，还考查了新概念知识，属于基础题。

2020届湖南省长沙市长郡中学高三月考(六)数学(文)试题

绝密★启用前2020届湖南省长沙市长郡中学高三月考（六）数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}1,2,3,4U =，集合{}{}1,3,4S T ==，则()C S T υ⋃等于（） A ．{}2,4 B ．{}4 C ．φ D ．{}1,3,4 答案：A{}2,4U C S =, ()C S T υ⋃={}2,42．已知,a b 是实数，设i 是虚数单位，若1bia i i+=+，则复数a bi +是（） A ．2i - B ．2i + C ．12i + D ．12i -解：因为1bia i i +=+,所以(1)(1)a a i bi -++=,所以101a ab -=⎧⎨+=⎩，所以1,2,12a b a bi i ==∴+=+. 故选：C 点评：本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3．下列叙述正确的是（）A ．函数222()2f x x x =++的最小值是2 B ．“04m <≤”是“210mx mx ++≥”的充要条件C ．若命题2:,10p x R x x ∀∈-+≠，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈-+=D ．“已知,x y R ∈，若1xy <，则,x y 都不大于1”的逆否命题是真命题答案：CA ，利用基本不等式分析判断；B ，举反例判断得解；C ，利用全称命题的否定分析判断得解；D ，举反例判断得解.解：对于A: 222222()22222f x x x x x =+=++-≥++，但是22222x x +=+没有实数解，所以等号不成立，所以A 错；对于B ：当0m =时，210mx mx ++≥也成立，所以B 错；对于C ，命题2:,10p x R x x ∀∈-+≠，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈-+=，由全称命题的否定得该命题正确；对于D:当1,23x y ==时, 1xy <也成立，所以原命题错误，所以其逆否命题也错误，所以D 错；故选：C. 点评：本题主要考查全称命题的否定和基本不等式，考查充要条件和逆否命题的真假，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．如图，该程序运行后的输出结果为（）A ．0B ．3C ．12D ．2-答案：B试题分析：第一次运行结果：055,514,541S i S =+==-==-=；第二次运行结果：145,413,532S i S =+==-==-=；第三次运行结果：235,312,523S i S =+==-==-=；此时2,3i S ==，条件不满足，跳出循环，输出S 的值为3，故选择B ，注意多次给一个量赋值以最后一次的赋值为准. 【考点】程序框图中的循环结构.5．已知奇函数．．．()2sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值不可能．．．是（） A ．2 B ．4C ．6D ．10答案：B由三角函数的奇偶性和对称性可求得参数的值. 解：由()f x 是奇函数得,ϕπ= 又因为44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()f x 关于4x π=对称，所以,42k k Z ππϖππ+=+∈，解得24,,k k Z ϖ=-+∈ 所以当1k =时，得A 答案；当2k =时，得C 答案；当3k =时，得D 答案；故选B. 点评：本题考查三角函数的奇偶性和对称性，属于基础题.6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a ≠，若533a a =，则95S S =（） A ．95B ．59C ．53 D ．275答案：D把等差数列的前n 项和公式直接代入95S S 化简即得解.解：由题意得1()2n n n a a S +=，所以199********()9932725555()2a a S a a S a a a a +⨯====+. 故选：D 点评：本题主要考查等差数列的前n 项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．已知定义在R 上的奇函数()y f x =，对任意的x ∈R 都有(1)(1)f x f x +=-，当10x -≤<时，2()log ()f x x =-，则函数()()2g x f x =-在()0,8内所有零点之和为（）A ．6B ．8C ．10D ．12答案：D函数()()2g x f x =-在()0,8零点之和就是()y f x =与2x =交点横坐标的和，作出函数的图象分析得解. 解：函数()()2g x f x =-在()0,8零点之和就是()2f x =在()0,8内所有的根的和，就是()y f x =与2x =交点横坐标的和，函数()y f x =的图象如图所示，由图可知12342,10x x x x +=+=，所以123412x x x x +++=故选：D 点评：本题主要考查函数的图象的综合应用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．设70α︒=，若0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin tan cos βαβ+=，则β=（） A ．50︒ B ．60︒ C ．70︒ D ．80︒答案：A先化简已知得sin()sin()2παβα-=-，进一步分析得到22παβ-=得解.解：由1sin tan cos βαβ+=得sin cos cos cos sin αβααβ=+,sin()cos sin()2παβαα-==-,因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,70α︒=,所以,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭,0,22ππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,由sin()sin()2παβα-=-，得,222ππαβααβ-=-∴-=,所以50β︒=. 故选：A 点评：本题主要考查诱导公式，考查差角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线:l y x =与椭圆C相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为A B ．34C ．12D ．14答案：A根据题意表示出A 点坐标，然后代入椭圆方程，得到关于,,a b c 关系，求出离心率. 解：设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A ，则y x =由2AB c =，可知OA c ==c =，解得x =，所以1,33A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭把点A代入椭圆方程得到2222131c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=，因01e <<，所以可得e =故选A 项. 点评：本题考查通过对已知条件的转化，将椭圆上一点的坐标用,,a b c 表示，再代入椭圆方程求出离心率，属于中档题.10．已知函数2()2cos 2f x x x =-，在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，内角A 满足()1f A =-，若a =ABC V 的面积的最大值为（）A．BCD．答案：B通过将2()2cos 2f x x x =利用合一公式变为2cos 213x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，代入A 求得A 角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值. 解：2()2cos 2f x x x ==cos 2212cos 213x x x π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()2cos 211cos 2133f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=-⇒+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 为三角形内角，则3A π=a =222222cos 2abc bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，当且仅当b c =时取等号11sin 622ABC S bc A =≤⨯=V 点评：本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.11．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有()7,16λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ⋅=u u u v u u u v成立的点P 有（）个A ．2B ．4C ．6D ．0答案：B 解：以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则E （0，4），F （6，4）．（1）若P 在CD 上，设P （x ，0），0≤x ≤6．∴PE =u u u r （﹣x ，4），PF =u u u r（6﹣x ，4）． ∴PE PF ⋅=u u u r u u u r x 2﹣6x +16，∵x ∈[0，6]，∴7PE PF ≤⋅≤u u u r u u u r16． ∴当λ＝7时有一解，当7＜λ≤16时有两解．（2）若P 在AD 上，设P （0，y ），0＜y ≤6．∴PE =u u u r （0，4﹣y ），PF =u u u r（6，4﹣y ）．∴PE PF ⋅=u u u r u u u r （4﹣y ）2＝y 2﹣8y +16，∵0＜y ≤6，∴0PE PF ≤⋅u u u r u u u r ＜16．∴当λ＝0或4＜λ＜16，有一解，当0＜λ≤4时有两解．（3）若P 在AB 上，设P （x ，6），0＜x ≤6.PE =u u u r （﹣x ，﹣2），PF =u u u r（6﹣x ，﹣2）． ∴PE PF ⋅=u u u r u u u r x 2﹣6x +4，∵0＜x ≤6．∴﹣5PE PF ≤⋅≤u u u r u u u r4． ∴当λ＝﹣5或λ＝4时有一解，当﹣5＜λ＜4时有两解．（4）若P 在BC 上，设P （6，y ），0＜y ＜6，∴PE =u u u r （﹣6，4﹣y ），PF =u u u r（0，4﹣y ）． ∴PE PF ⋅=u u u r u u u r（4﹣y ）2＝y 2﹣8y +16，∵0＜y ＜6，∴0PE PF ≤⋅u u u r u u u r＜16． ∴当λ＝0或4≤λ＜16时有一解，当0＜λ＜4时有两解．所以，综上可知当()7,16λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=u u u r u u u r成立．故选B.12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()62sin 0f x f x x x ---+=，且0x ≥时，'()3cos f x x ≥-恒成立，则不等式3()()6)224f x f x x x πππ≥--+++的解集为（） A ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭B ．[,)4π+∞C ．(,0)6πD ．[,)6π+∞答案：B令()()3sin g x f x x x =-+，利用已知证明()g x 为偶函数，且0x ≥，()g x 单调递增，再利用函数的性质解不等式即得解. 解：0x ≥时，'()3cos f x x ≥-恒成立，即'()3cos 0f x x -+≥恒成立，令()()3sin g x f x x x =-+，则在0x ≥时，()g x 单调递增，又()()62sin 0f x f x x x ---+=，即()3sin ()3sin f x x x f x x x -+=-+-， ∴()()g x g x =-，。

湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高三上学期月考(二)数学试题(含解析)

长郡中学2022-2023届高三月考试卷（二）数学2022.10一、选择题1.已知全集U =R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{}2,4 B.{}0 C.{}5 D.{}0,52.若i1ia z +=-（i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （）A.-1B.0C.1D.23.已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A.2- B.2C.3- D.34.命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题，则a 的取值范围是（）A.40a -<£B.40a -≤< C.30a -≤≤ D.40a -≤≤5.当102x <≤时，4log xa x <，则a 的取值范围是（）A.0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.D.2)6.已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（）A.81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B.111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C.111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D.141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A.1624B.1198C.1024D.15608.已知函数()3f x x ax b =++，a 、b R ∈．1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，则当a 、b 取不同的值时，（）A.12n x +与22m x -均为定值B.12n x -与22m x +均为定值C.12n x -与22m x -均为定值D.12n x +与22m x +均为定值二、选择题9.已知奇函数())cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+-+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，则下列结论正确的是（）A.函数π()2sin(2)3g x x =- B.函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x10.正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则（）A.PC BD⊥ B.四棱锥外接球的表面积为8πC.PA 与底面ABCD 所成的角为60︒D.当平面α经过侧棱PC 中点时，截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3:111.已知数列{}n a 满足18a =，21a =，2,2,n n na n a a n +-⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（）A.n 为偶数时，()221n n a -=- B.229n T n n =-+C.992049T =- D.n T 的最大值为2012.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x +--=，()()1f x g x ''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A.()10g = B.函数()g x '的图象关于2x =对称C.()20221k g k ==∑ D.()()20211k f k g k ==∑三、填空题13.若22log log 6a b +=，则a b +的最小值为________．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- ，则AF EF ⋅的最小值为______.15.已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足117332,2a b a b a ====，则数列{}2(2)n n a b -的前n 项和为______.16.已知函数()ln xf x x =，()x xg x e=，若存在1>0x ，2x R ∈，使得()()120f x g x =<成立，则12x x 的最小值为______.四、解答题17.已知数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，13n n a S n +=-+，*n N ∈，12a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()*2n n n b n N S n =∈-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：()*1433n T n N <∈.18.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，23ABC π∠=．(1)若AC =，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC BD ⊥，求tan ABD ∠．19.如图，在三棱柱111ABCA B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,3AE EF BE ＝＝，求平面ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.20.统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A 种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用ξ表示其中A 种鱼的条数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望()E ξ;（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点构成的四边形的面积为312⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若矩形MNPQ 满足各边均与椭圆C 相切.求证：矩形MNPQ 对角线长为定值.22.已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R .（1）讨论()f x 极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.长郡中学2023届高三月考试卷（二）数学一、选择题1.已知全集U=R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{}2,4 B.{}0 C.{}5 D.{}0,5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答.【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是()U A B ð，而全集U =R ，{}2,3,4A =，{}0,2,4,5B =，所以(){0,5}UA B ⋂=ð.故选：D2.若i1ia z +=-（i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （）A.-1B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而根据纯虚数实部为0，虚部不为0即可求解.【详解】()()()i 1i 11i i ==1i 22a a a a z ++-+++=-，由于z 为纯虚数，因此10a -=且10a +，故1a =，故选：C3.已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A.2- B.2C.3- D.3【答案】D 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出()3f 和()3f '，即可求得.【详解】函数()f x 的图像在点()()33P f ,处的切线的斜率就是在该点处的导数，即()3f '就是切线27y x =-+的斜率，所以()32f '=-.又()32371f =-⨯+=，所以()()()33123f f -=--='.故选：D4.命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题，则a 的取值范围是（）A.40a -<£ B.40a -≤< C.30a -≤≤ D.40a -≤≤【答案】A 【解析】分析】存在命题为假命题，则其否定是全称命题且为真命题，写出命题的否定，由不等式的性质可得结论．【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题.首先，0a=时，40-<恒成立，符合题意；其次0a ≠时，则0a <且2(2)160a a ∆=+<，即40a -<<，综上可知，－4<0a ≤故选：A 5.当102x <≤时，4log xax <，则a 的取值范围是（）A.0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.D.2)【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，结合已知条件可得关于a 的不等式，即可求得答案.【详解】由题意得，当1a>时，log a y x =是增函数，102x <≤时，log 0a x <，不合题意；当01a <<时，log a y x =在102x <≤时单调递减，4xy =递增，要使得4log xa x <成立，需满足1214log 2a<，即21log 2log 2a a a >=，则212a>，解得12a <<，故选:B6.已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（）A.81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ B.111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C.111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ D.141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先由零点个数求出36ω≤<，再用整体法得到不等式组，求出ω的取值范围.【详解】π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππππ,π3333x ωωω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，其中2ππ4ππ3ωω≤-<，解得：36ω≤<，则ππ4π333ω+≥，要想保证函数在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有三个零点，满足①1111πππ+2π2π+2π33π4π+2π<π5π+2π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，1k Z ∈，令10k =，解得：1114,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；或要满足②2222ππ2ππ+2π33π2π+3π<π2π+4π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，2k Z ∈，令21k =，解得：175,3ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；经检验，满足题意，其他情况均不满足36ω≤<条件，综上：ω的取值范围是111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：C 【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定ω的范围，本题中就要根据零点个数，先得到ππ23TT ≤-<，从而求出36ω≤<，再进行求解.7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A.1624B.1198C.1024D.1560【答案】C 【解析】【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++- 所以11nn b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以()21133222nn n n bn -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n+-=+++-++++= 同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++-- 11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =.故选：C【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.8.已知函数()3f x x ax b =++，a 、b R ∈．1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，则当a 、b 取不同的值时，（）A.12n x +与22m x -均为定值 B.12n x -与22m x +均为定值C.12n x -与22m x -均为定值D.12n x +与22m x +均为定值【答案】D 【解析】【分析】分析得出0a<，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得知1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，再由()()1f x f n =、()()2f x f m =结合因式分解可得出结论.【详解】当0a≥时，()230f x x a '=+≥，此时，函数()f x 在R 上为增函数，当1x 、()2,x m n ∈时，()()1f x f n <，()()2f x f m >，不合乎题意，所以，0a <.由()0f x '=可得x =，当x <x >()0f x '>；当x <<()0f x '<.所以，函数()f x 的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝.对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，()()min f x f m =，()()max f x f n =，又当1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，所以，1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，则1x =，2x =，由()()1f x f n =可得3311x ax b n an b ++=++，可得()()33110x n a x n -+-=，即()()221110x n x nx n a -+++=，因为1x n ≠，则22110x nx n a +++=，1x = ，可得213ax =-，所以，221120n nx x +-=，即()()1120n x n x -+=，所以，120n x +=，同理可得220m x +=，故选：D.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用已知条件分析出1x 、2x 为函数()f x 的极值点；（2）利用等式()()1f x f n =，()()2f x f m =结合因式化简得出结果.二、选择题9.已知奇函数())cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+-+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，则下列结论正确的是（）A.函数π()2sin(2)3g x x =- B.函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 【答案】AB 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式将()f x 化为π()2sin()6f x x ωϕ=+-，根据函数的最小正周期确定ω，根据奇偶性确定π6ϕ=，可得其解析式，根据三角函数的平移变换可得函数()g x 的解析式，判断A;代入验证可判断B ；根据x 的范围，确定π23x -的范围，结合正弦函数性质，可判断C,D.【详解】由题意可得π())cos()2sin(6f x x x x ωϕωϕωϕ=+-+=+-，因为()f x 的最小正周期为π，所以2π2πω==，又因为()f x 为奇函数，所以πππ,π,Z 66k k k ϕϕ-=∴=+∈，而0πϕ<<，故π6ϕ=，所以()2sin 2f x x =，则将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，故ππ()2sin[2()]2sin(2)63g x x x =-=-，A 正确；将π3x =-代入π()2sin(2)3g x x =-中，有ππ2sin[2()]033---=，即函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称，B 正确；当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2[,]333x -∈-，由于正弦函数sin y x =在2ππ[,]33-上不单调，故()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是单调递增函数，故C 错误；当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，ππ2π2[,333x -∈-，π()2sin(2)[2]3g x x =-∈，函数最大值为2，D 错误，故选：AB 10.正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则（）A.PC BD⊥ B.四棱锥外接球的表面积为8πC.PA 与底面ABCD 所成的角为60︒D.当平面α经过侧棱PC 中点时，截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3:1【答案】ABD 【解析】【分析】根据BD ⊥平面PAC 即可判断A,由PO ⊥底面ABCD ，即可判断外接球的球心在PO 上，利用勾股定理即可求半径，进而可判断B,PAO ∠即为PA 与底面ABCD 所成角，根据几何法即可判断C,取PC 的中点E ，连接BE ，DE ，BD ，能证明PC ⊥面BDE ，分别求出截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积，能判断D ．【详解】过P 作PO ⊥底面ABCD 于O ，则O 为AC 中点，由于BD ⊂底面ABCD ,所以PO BD ⊥,又,,,AC BD AC PO O AC PO ⊥⋂=⊂平面PAC ,故BD ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，故BD PC ⊥,故A 正确，由正四棱锥的特征可知，其外接球的球心在PO 上，设半径为R ,则()222OCOP R R +-=,又PO ==,解得R =,故外接球的表面积为24π8πR =,故B 正确，过P 作PO ⊥底面ABCD 于O ，则O 为AC 中点，则PAO ∠即为PA 与底面ABCD 所成角，正四棱锥P ABCD -所有棱长为2，2AP ∴=，12AO AC ==cos AO PAO AP ∴∠==，45PAO ∴∠=︒，故C 错误，取PC 的中点E ，连接BE ，DE ，BD ，正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，PBC ∴ 为正三角形，PC DE ∴⊥，PC BE ⊥，又DE BE E ⋂=，,DE BE ⊂平面BDE所以PC ⊥面BDE ，故当平面α经过侧棱PC 中点时，平面α即为平面BDE ，此时111112232322E BCDBCD VS OP -=⋅=⨯⨯⨯⨯⨯，1122333P ABCD ABCD V S OP -=⋅=⨯⨯⨯，P ABCD E BCD V V V --∴=-=上，∴3E BCDV V -=上，故D 正确．故选：ABD11.已知数列{}n a 满足18a =，21a =，2,2,n n na n a a n +-⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（）A.n 为偶数时，()221n n a -=- B.229n T n n =-+ C.992049T =- D.n T 的最大值为20【答案】AC 【解析】【分析】对选项A ，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B ，检验当1n =时，所给表达式不满足；对选项C ，按照n为奇数和偶数分别讨论，根据10099100T T a -=，可直接求得；对选项D ，n T 的最大值为71021T T ==【详解】根据递推关系可知，n 为奇数时，()18292nn a n-⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭n 为偶数时，()221n n a -=-，故A 对；()()212342121321242n n n n n T a a a a a a a a a a a a --=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅+根据奇数项构成等差数列可得：()21321862109n a a a n n n -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+=-+而又：2421,0,n n a a a n ⎧++⋅⋅+=⎨⎩当为奇数当为偶数则有：2229,91,n n n n T n n n ⎧-+=⎨-++⎩为偶数为奇数，故B 错误；()100222991010005095012049a T T -=-=-+⨯--=-，故C 对；根据n T 中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据n T 特点可知：n T 的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，26393119T =-+⨯+=，76719221T T a =+=+=，2849420T =-+⨯=，98920020T T a =+=+=，210595121T =-+⨯+=，11101119T T a =+=，n T 的最大值为71021T T ==，故D 错故选：AC12.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x +--=，()()1f x g x ''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A.()10g = B.函数()g x '的图象关于2x =对称C.()20221k g k ==∑ D.()()20211k f k g k ==∑【答案】AD 【解析】【分析】由()1g x +为奇函数可得()10g =，由()()212f x g x +--=取导数可得()()30f x g x ''+-=，结合条件()()1f x g x ''=+，判断B ，再由条件判断函数()f x ，()g x 的周期，由此计算()20221k g k =∑，()()20211k f k g k =∑，判断C ，D.【详解】因为()1g x +为奇函数，所以()()11g x g x +=--+，取0x =可得()10g =，A 对，因为()()212f x g x +--=，所以()()210f x g x ''++-=所以()()30f x g x ''+-=，又()()1f x g x ''=+()()130g x g x ''++-=，故()()220g x g x ''++-=，所以函数()g x '的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为()()1f x g x ''=+，所以()()10f xg x '-+=⎡⎤⎣⎦所以()()1f x g x c -+=，c 为常数，因为()()212f x g x +--=，所以()()32f x g x --=，所以()()132g x g x c +--=-，取1x =可得2c =，所以()()13g x g x +=-，又()()11g x g x +=--+，所以()()31g x g x -=--+，所以()()2g x g x =--，所以()()42()g x g x g x +=-+=，故函数()g x 为周期为4的函数，因为()()2g x g x +=-，所以()()310g g =-=，()()42g g =-，所以(1)(2)(3)(4)0g g g g +++=，所以()[][]20221(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)k g k g g g g g g g g ==++++++++⋅⋅⋅∑[](2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(2022)g g g g g g ++++++，所以()202215050(2021)(2022)(1)(2)(2)k g k g g g g g ==⨯++=+=∑，由已知无法确定(2)g 的值，故()20221k g k =∑的值不一定为0，C 错；因为()()212f x g x +--=，所以()()221f x g x +=-+，()()625f x g x +=-+，所以()2(6)f x f x +=+，故函数()f x 为周期为4的函数，(4)(4)()()f xg x f x g x ++=所以函数()()f x g x 为周期为4的函数，又(1)2(0)f g =-，(2)2(1)2f g =-=，(3)2(2)2(0)f g g =-=+，(4)2(3)2f g =-=，所以(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)02(2)2(4)0f g f g f g f g g g +++=++=，所以()()[]20211505(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(2021)(2021)k f k g k f g f g f g f g f g ==++++∑()()20211(1)(1)0k f k g k f g ===∑，D 对，故选：AD.【点睛】本题解决的关键在于根据条件判断函数的周期性，对称性，并结合函数性质求函数值得和.三、填空题13.若22log log 6a b +=，则a b +的最小值为________．【答案】16【解析】【分析】由题得62ab =，再利用基本不等式求解.【详解】因为22log log 6a b +=，所以2log 6ab =.所以62ab=所以622216a b ab +≥≥=.当且仅当8ab ==时取等.故答案为：1614.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- ，则AF EF ⋅ 的最小值为______.【答案】7336-【解析】【分析】由22,3BE EC AE BD =⋅=- ，根据向量的线性运算以及数量积的运算律，可求得∠DAB ＝π3；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出AF EF ⋅，得到关于t 的二次函数，求得二次函数最小值即为所求．【详解】由题意知：2=3BE BC，设=DAB θ∠，所以()()22222333AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC BC AB ⋅=+⋅-=⋅-+-⋅=-故()22214cos 444cos cos 3332θθθ-+⨯-⨯=-⇒=由于()0，πθ∈，所以π=3θ，以AC 与BD 交点为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如图所示的直角坐标系，所以A （﹣3，0），C （3，0），D （0，1），B （0，﹣1），E （231,33-），设F （0，t ），则AF ＝（3，t ），EF ＝23133，t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2117323636AF EF t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当t ＝16-时，AF EF ⋅ 取最小值7336-，故答案为：7336-15.已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足117332,2a b a b a ====，则数列{}2(2)n n a b -的前n 项和为______.【答案】212n n +⋅【解析】【分析】根据等差等比数列基本量的计算可得公比和公差，进而得1,2nn na nb =+=，因此可得()22(2)=212n n n a b n n -+-，根据裂项求和即可求解.【详解】设公差和公比分别为(),0d q q >,由117332,2a b a b a ====得()2262222d q d +==+，解得1,2d q ==，因此1,2n nn an b =+=，所以()22(2)=212nnn a b n n -+-()()()()22222221212=2122212212n n n n n nnn n n n n n n +⎡⎤+---=⋅--⋅=⋅--⋅⎣⎦，设{}2(2)nn a b -的前n 项和为n S ，因此()2222123222112022212212n n nS n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-⋅+⋅-⋅++⋅--⋅⎣⎦⎦=⎣⎦⎣ 212=n n +⋅故答案为：212n n +⋅16.已知函数()ln xf x x =，()xx g x e =，若存在1>0x ，2x R ∈，使得()()120f x g x =<成立，则12x x 的最小值为______.【答案】1e-【解析】【分析】利用导数研究函数()f x 可得函数()f x 的单调性情况，且(0,1)x ∈时，()0f x <，(1,)x ∈+∞时，()0f x >，同时注意()()x x xx x lne g x f e e e===，则21xx e =，所以2122x x x x e =，构造函数()x h x xe =，0x <，利用导数求其最小值即可．【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()lnxf x x -'=，∴当(0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，又(1)f 0=，所以(0,1)x ∈时，()0f x <；(1,)x e ∈时，()0f x >；(,)x e ∈+∞时，()0f x >，同时注意到()()xx xx x lne g x f e e e===，所以若存在1(0,)x ∈+∞，2x R ∈，使得12()()0f x g x =<成立，则101x <<且212()()()x f x g x f e ==，所以21x x e =2(0)x <，所以2122xx x x e =，所以构造函数()x h x xe =(0)x <，而()(1)x h x e x '=+，当(1,0)x ∈-时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(,1)x ∈-∞-时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以1()(1)h x h e=-=-最小值，即12)1(x x e =-最小值.故答案为：1e-.【点睛】关键点睛：利用同构的方式将12x x ，联系起来，这样就构造了新函数，然后利用导数研究函数的单调性及最值.四、解答题17.已知数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，13n n a S n +=-+，*n N ∈，12a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()*2nn nb n N S n =∈-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：()*1433n T n N <∈.【答案】（1）22,13·21,1nn n a n -=⎧=⎨+>⎩.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知得13n n a S n +=-+，即有14n n a S n -=-+，两式相减得()1121n n a a +-=-，根据等比数列的定义得数列{}1n a -为第二项起为等比数列，由等比数列的通项公式可得答案；（2）由（1）得123·2nn n n nb S n -==-+，运用错位相减法和数列的单调性可得证.【小问1详解】解：当1n =时，2111324a S a =-+=+=，13n n a S n +=-+，得()142n n a S n n -=-+≥，两式相减得，11n n n a a a +-=-，即有()1121n n a a +-=-，即为数列{}1n a -为第二项起为等比数列，则213·2n na--=，1n >，n N ∈，即有22,13·21,1n n n a n -=⎧=⎨+>⎩；【小问2详解】解：13n n a S n +=-+，得13·22n n S n -=-+，则123·2n n n n nb S n -==-+，即有前n 项和为2112333·23·23·2n n nT -=+++⋯+，23112323·23·23·23·2n n n T =+++⋯+，两式相减可得，2111111233·23·23·23·2nn nnT -=+++⋯+-1112·133·212nn n ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--，化简得4412·3323·2nn nn T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由于{}n b 各项大于0，得113nT T =，由不等式的性质可得43nT <.故()*1433n T n N <∈.18.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，23ABC π∠=．(1)若AC =ABCD 的面积；(2)若AC BD ⊥，求tan ABD ∠．【答案】(1)(2)tan 3ABD ∠=．【解析】【分析】(1)ABC 中，利用含ABC ∠的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得ABC 面积，再利用面积关系求ADC 的面积得解；(2)由题设中角的信息用ABD ∠表示出ABC 与BDC 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tan ABD ∠的方程，解之即得.【详解】(1)设BC x =，在ABC 中，由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠得：22228222cos3x x π=+-⋅⋅⋅，即22240x x +-=，而x>0，解得4x =，所以4BC =，则ABC的面积11sin 24222ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=⋅⋅⋅=△，梯形ABCD 中，//AB CD ，ABC 与ADC 等高，且52ABCD =，所以ADC的面积52ABCADCS S ==△△，则梯形ABCD的面积ABC ADC S S S =+=△△；(2)在梯形ABCD 中，设ABD α∠=，而AC BD ⊥，则BDC α∠=，2BAC πα∠=-，23DBC a π∠=-，6BCA πα∠=-，在ABC 中，由正弦定理sin sin AB BC BCA BAC=∠∠得：2sin()sin()62BCππαα=--，在BDC 中，由正弦定理sin sin CD BC DBC BDC=∠∠得：52sin sin()3BCπαα=-，两式相除得：212sin()2cos sin )sin sin 3cos 5sin()sin()6222παααααππααα-⋅+=⇒--，整理得227sin cos 0αααα--=，即27tan 0αα--=解得tan 3α=或tan 5α=-，因为(,62ππα∈，则tan 3α=，即tan 3ABD ∠=．【点睛】(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解；(2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.19.如图，在三棱柱111ABC A B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,3AE EF BE ＝＝，求平面ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；（2）10【解析】【分析】（1）由1BB ⊥平面AEF ，知1CC ⊥平面AEF ，求得2AEB AFC π∠=∠=，由四边形11AA B B 与四边形11AAC C 面积相等知，AE AF =，则AEB AFC ≅△△，故BE CF =，结合1BB EF⊥，从而有四边形BEFC 为矩形.（2）证得AG ⊥平面11BB C C ，取BC 的中点H ，以G 点为坐标原点，,,GF GA GH→→→的方向分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得平面AEF 和平面ABC 的一个法向量，利用向量夹角求得二面角的正弦值.【详解】（1）在三棱柱中，11//BB CC ，则由1BB ⊥平面AEF ，知1CC ⊥平面AEF ，故1BB AE ^，1BB EF ⊥，1CC AF ⊥，从而2AEB AFC π∠=∠=，由四边形11AA B B 与四边形11AAC C 面积相等知，AE AF=又AB AC =，则AEB AFC ≅△△，故BE CF =结合//BE CF ，知四边形BEFC 为平行四边形，又1BB EF ⊥，故四边形BEFC 为矩形.（2）取EF 的中点G ，联结AG ，由（1）知AE AF =，且1BB ⊂平面11BB C C ，则平面AEF ⊥平面11BB C C ，又平面AEF 平面11BB C C EF=，则AG ⊥平面11BB C C ，取BC 的中点H ，以G 点为坐标原点，,,GF GA GH→→→的方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，由2AE AF EF ===知，AEF 为正三角形，故AG =故A，(1,0,)3B -，(1,0,3C，(1,3AB →=-，(1,3AC →=-，设平面ABC 的一个法向量为(,,)a x y z →=则00a AB a AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，故0303x z x z ⎧--+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，取1y =，则0,3x z ==，(0,1,3)a →=因为平面AEF 的一个法向量为(0,0,1)b →=则cos ,10a ba b a b→→→→→→⋅<>===则二面角的余弦值为10，故二面角的正弦值为1020.统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A 种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用ξ表示其中A 种鱼的条数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望()E ξ;（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.【答案】（1）分布列见解析，()725E =ξ（2）（i ）200；（ii ）199或200【解析】【分析】（1）根据超几何概率公式即可求解概率，进而得分布列和期望，（2）根据抽样比即可求解总数，根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值.【小问1详解】0,1,2ξ=,2112434377222505050C C C C 129433(0),(1),(2),C 175C 175C 175P P P ξξξ⋅=========故分布列为：ξ012P129175431753175()129433701217517517525E =⨯+⨯+⨯=ξ.【小问2详解】（i ）设池塘乙中鱼数为m ,则50520m =,解得200m =,故池塘乙中的鱼数为200.（ii ）设池塘乙中鱼数为n ,令事件B =“再捉20条鱼,5条有记号”,事件C =“池塘乙中鱼数为n ”则515505020C C ()C n n np P B C -⋅==∣,由最大似然估计法,即求n p 最大时n 的值,其中65n ,1(49)(19)(64)(1)n n p n n p n n +--∴=-+当65,......198n =时11n n p p +>，当199n =时11n n pp +=，当200,201,...n =时11n np p +<所以池塘乙中的鱼数为199或200.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点构成的四边形的面积为，点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若矩形MNPQ 满足各边均与椭圆C 相切.求证：矩形MNPQ 对角线长为定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）对当MN 的斜率的情况进行分类讨论，当MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN ：ykx t =+，与椭圆方程联立，根据0∆=，求得,k t的关系，利用两平行线之间的距离公式分别求得矩形边长，从而可求得对角线，即可得证.【小问1详解】解：由已知2212221914a b a b ⎧⋅⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆方程C ：22143x y +=；【小问2详解】证明：当MN 的斜率为0或不存在时，对角线MP NQ ===，当MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN ：y kx t =+，联立223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()2223484120k x ktx t +++-=，()()222264163430k t t k ∆=--+=，化简得2243k t +=，所以两平行线MN 和PQ的距离1dNP ===，以1k -代替k ，两平行线MQ 和NP的距离2d MN ===，所以矩形MNPQ的对角线MP NQ ==综上所述，矩形MNPQ对角线长为定值22.已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R .（1）讨论()f x 极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）分类讨论导函数e ()xf x x m x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭的实数根即可求解极值点，（2）构造函数()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈和2e ()(3)e e,(0,1)xxxG x x x x-=-+-∈，通过判断函数的单调性，求解最值，当导数正负不好确定的时候，需要构造新的函数，不断的通过求导判断单调性.【小问1详解】2()e 2xmx f x =-,则()e x f x mx '=-,0x = 显然不是()'f x 的零点,e (),x f x x m x '⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令e ()=xg x x,则2e (1)()-'=x x g x x ,()g x ∴在(,0)-∞单调递减,在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增.当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0>g x ，且()(1)eg x g ==极小值(,0)m ∴∈-∞时,e=x m x只有一个实数根，所以此时()f x 有1个极值点,[)0,e m ∈时,e=x m x没有实数根，故()f x 有0个极值点,当e m =时，e =x m x ，有一个实数根1x =，但1x =不是极值点，故此时()f x 没有极值点，(e,)m ∈+∞时,e =x m x有两个不相等的实数根，故()f x 有2个极值点.【小问2详解】由（1）知,(e,)m ∈+∞,且()()121201,,()x x g x g x m g x <<<==在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增,先证:122x x +>,即证:212x x >-，1201x x <<< 121x ∴->即证:()()212g x g x >-.即证:()()112g x g x >-.令()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈,即证:(0,1),()0x F x ∀∈>,2'22e e ()(1)()(2)x xF x x x x -=---令2(1,2)t x =-∈则x t<令2e ()h =λλλ,则4)(e (2)h'⋅⋅-=λλλλλ,则()h λ在(0,2)λ∈单调递减()()(2)h x h t h x ∴>=-,()0F x '∴<,即()F x 在(0,1)x ∈单调递减,()(1)0F x F ∴>=,证毕.再证:()()122e f x f x m +<-,1201x x <<< ,且122x x +>1122x x x ∴<-<.()f x 在()10,x 单调递增,在()12,x x 单调递减,在()2,x +∞单调递增,()()122f x f x ∴->.即证:()()1122e f x f x m +-<-,又11e x m x =,即证:()()()11121111e 23e e2e x x x f x f x m x x -+-+=-+-<.令2e ()(3)e e,(0,1)xx xG x x x x-=-+-∈,()23222222e 21e e (1)()(2)e e exx x xxxx x x x G x x x x '--+-+--∴=---=.令()23222()e 21e x p x x x x x =-+-+-,()2322()e 2212e x p x x x x x '∴=-+++-,令()()q x p x '=()2322()2e 22322e x x q x x x ∴=-+--'-,令()()r x q x '=()232()2e 41027x x x x r x ∴=-'+--令32()41027,(0,1)m x x x x x =+--∈,2()12202m x x x '∴=+-,11(0,1),()x m x ∴∃∈在()110,x 单调递减,在()11,1x 单调递增.(0)7,(1)5m m =-= ,12(0,1)x ∴∃∈,当()120,x x ∈时,()()0,r x q x >''单调递增;当()12,1x x ∈时,()()0,r x q x <''单调递减.()()2042e 0,10q q '<'=-= ,13(0,1),()x p x '∴∃∈在()130,x 单调递减,在()13,1x 单调递增.(0)10,(1)0p p ''=>= ,14(0,1),()x p x ∴∃∈在()140,x 单调递增,在()14,1x 单调递减.(0)1,(1)0p p == ,()0p x ∴>,()0G x '∴>,()G x ∴在(0,)x x ∈单调递增,()(1)2e G x G ∴<=,所以原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.。

数学---湖南省长沙市长郡中学2018届高三(上)开学试卷(文)(解析版)

湖南省长沙市长郡中学2018届高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x∈R|x2﹣6x﹣7＜0}，集合B={﹣2，1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{2} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）复数1﹣等于（）A．﹣i B．+i C．+i D．﹣i3．（5分）长郡中学高三学生小明利用暑假期间进行体育锻炼．一次他骑ofo共享单车时，骑的同一辆车第二次开锁（密码为四位数字）时忘记了密码的中间两位，只记得第二位数字是偶数，第三位数字非零且是3的倍数，则小明该输入一次密码能够成功开锁的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+1=0相交于A，B两点，若弦AB恰好被点（0，1）平分，则直线l的方程为（）A．2x+3y﹣3=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣1=0 D．x﹣y+1=0 5．（5分）函数f（x）=sin2x的图象与函数的图象关于直线x=m对称，则m的值不可能是（）A．B．C．D．6．（5分）已知，，则的值为（）A．B．C．D．7．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．b＞c＞a8．（5分）如图所示，边长为1的正方形网格中粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．8 D．129．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i=（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）函数的图象可能为（）A．B．C．D．11．（5分）定义：F：（x，y）=x+y2，若∃x∈[0，1]，满足不等于F（x+k，2x）+F（2x，x+k）≥6，则实数k的取值范围为（）A．k≤﹣3或k≥2 B．k≤﹣2或k≥﹣1C．k≤﹣2或k≥2 D．k≤﹣3或k≥﹣112．（5分）已知函数f（x）=ln x+2x，过点（2，5）可作曲线y=f（x）切线的条数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分）13．（5分）已知x，y满足则的最大值是．14．（5分）已知点P是抛物线y2=4x上的点，且点P到原点的距离为，则点P到该抛物线焦点的距离为．15．（5分）数列{a n}满足：，则a1+a2+…+a30=．16．（5分）已知边长为4的正方形ABCD中，AC与BD交于点E，且F、G分别是线段EC 和线段EB的中点，则（+）•=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S n+1=3S n+1，n∈N*，c n=log3a2n．（Ⅰ）求数列{c n}的通项公式；（Ⅱ），记数列{b n}的前n项和为T n，求证：．18．（12分）如图，已知多面体ABCDEF中，△ABD、△ADE均为正三角形，平面ADE⊥平面ABCD，AB∥CD∥EF，AD：EF：CD=2：3：4．（Ⅰ）求证：BD⊥平面BFC；（Ⅱ）若AD=2，求该多面体的体积．19．（12分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，长郡中学高三兴趣研究小组利用暑假空闲期间做了一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查，共调查了120人，其中女性70人，男性50人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：（Ⅰ）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系；（Ⅱ）根据统计数据建立一个2×2列联表；（Ⅲ）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系．附：20．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0），A，B，C，D是椭圆上的四个动点，且AB∥CD，，线段AC与BD交于椭圆E内一点P（m，n）．当点P的坐标为（0，0），且A，B分别为椭圆E的上顶点和右顶点重合时，四边形ABCD的面积为4．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）证明：当点A，B，C，D在椭圆上运动时，（n≠0）是定值．21．（12分）已知函数（a≠0）．（Ⅰ）若f（x）在点x=e处的切线与x轴平行，且f（x）在区间（0，+∞）上存在最大值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=b=1时，求不等式xf（x）﹣m≤0恒成立时m的最小整数值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：ρ=（ρ•cosθ+4）•cosθ．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求C1，C2的直角坐标方程；（Ⅱ）C与C1，C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺次为H，I，J，K，求||HI|﹣|JK||的值．【参考答案】一、选择题1．D【解析】根据题意，x2﹣6x﹣7＜0⇒﹣1＜x＜7，即A={x∈R|x2﹣6x﹣7＜0}={x|﹣1＜x＜7}，又由B={﹣2，1，0，1，2}，则A∩B={1，0，1，2}；故选：D．2．A【解析】1﹣=1﹣=1﹣=．故选：A．3．A【解析】∵密码为四位数字，忘记了密码的中间两位，只记得第二位数字是偶数，第三位数字非零且是3的倍数，∴基本事件总数n=5×3=15，∴小明该输入一次密码能够成功开锁的概率是p=．故选：A．4．D【解答】当直线l斜率不存在时，x=0带入圆方程，此时AB的中点不在F点，∴直线l的斜率存在，设直线方程为y=kx+1，带入圆的方程得，（k2+1）x2+（2﹣2k）x﹣2=0，∵弦AB的中点F坐标为（0，1），x1+x2=∴k=1，∴直线l的方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．故选：D．5．B【解析】由题意，令f（x）=g（x）即sin2x=cos（2x﹣），可得：cos（﹣2x）=cos（2x﹣），即﹣2x+2kπ=2x﹣．∴x=kπ，k∈Z．当k=﹣1时，可得x=，当k=0时，可得x=当k=1时，可得x=，∴m的值不可能．故选：B．6．D【解析】∵已知，，∴为锐角，cos（﹣θ）==，∴sin（﹣2θ）=2sin（﹣θ）cos（﹣θ）==cos2θ，cos（﹣2θ）=2﹣1==sin2θ，则=sin2θcos+cos2θsin=+=，故选：D．7．A【解析】∵＞（）0=1，=＞=＞20=1，＜=1．a，b，c的大小关系为a＞b＞c．故选：A．8．B【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P﹣ABCD，四个侧面三角形P AB、P AD、PBC、PCD全等，底面四边形ABCD为菱形，侧面积S=4×，底面积S=2×．∴该几何体的表面积为．故选：B．9．C【解析】第一次执行循环体后：S==，i=2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后：S=+=，i=3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后：S=++=1，i=4，不满足退出循环的条件，第一次执行循环体后：S=+++=，i=5，满足退出循环的条件，故输出的i值为5，故选：C10．A【解析】f（﹣x）===﹣f（x），∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除D，∵﹣1≤sin x≤1，∴当x＞1时，f（x）＜0，排除B，当x→+∞时，sin x﹣x→﹣∞，∴f（x）→0，且f（x）＜0，排除C，故选：A．11．C【解析】由题意，∃x∈[0，1]，满足不等于F（x+k，2x）+F（2x，x+k）≥6，∴x+k+（2x）2+2x+（x+k）2≥6，即5x2+x（3+2k）+k2+k﹣6≥0令g（x）=5x2+x（3+2k）+k2+k﹣6，∵∃x∈[0，1]，根据根的分布，函数g（x）≥0有解即可．可得：g（0）≥0．解得：k≤﹣3或k≥2，或g（1）≥0．可得k2+3k+2≥0，解得：k≤﹣2或k≥﹣1．综上可得：k≤﹣2或k≥﹣1．故选：C．12．C【解析】设切点为P（x0，ln x0+2x0），f（x）=ln x+2x的导数为f′（x）=+2，则f′（x0）=+2，则切线方程y﹣ln x0﹣2x0=（+2）（x﹣x0），代入（2，5）得，5﹣ln x0﹣2x0=（+2）（2﹣x0），即有2﹣ln x0=，方程的一个根x0=1，令y=2﹣ln x0﹣，函数在x＞2时是减函数，f（e）=1﹣＞0，f（e2）=﹣＜0，函数存在另一个零点，所以切线有两条．故选：C．二、填空题13．2【解析】x，y满足，对应的平面区域如下图示：由于=1+2×，其中表示平面上一定点（4，1）与可行域内任一点连线斜率，由图易得当该点为B（﹣3，﹣）时，的最大值是：=，则的最大值是1+2×=2．故答案为：2．14．3【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标（1，0），点P是抛物线y2=4x上的点，且点P到原点的距离为，设P（x，y），可得，解得x=2，y=±2，点P到该抛物线焦点的距离为：=3．故答案为：315．﹣840【解析】当n=1时，a1cos=1，可得a1=﹣2，当n=2时，a1cos+a2cos=4，可得a2=﹣6，当n=3时，a1cos+a2cos+a3cos=9，可得a3=5，则a1+a2+...+a30=（﹣2﹣6+5）+（﹣14﹣18+11）+...+（﹣110﹣114+59）=（﹣2﹣14﹣...﹣110）+（﹣6﹣18﹣...﹣114）+（5+11+ (59)=﹣20+×10×9×（﹣12）﹣60+×10×9×（﹣12）+50+×10×9×6 =﹣560﹣600+320=﹣840．故答案为：﹣840．16．﹣16【解析】以AB为所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，则A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），E（2，2）∴F（3，3），G（3，1）∴=（﹣3，1），=（﹣2，﹣2），=（3，1），∴+=（﹣3，1）+（﹣2，﹣2）=（﹣5，﹣1），∴（+）•=（﹣5，﹣1）•（3，1）=﹣16故答案为：﹣16三、解答题17．（Ⅰ）解：当n≥2时，a n+1=S n+1﹣S n=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，两式相减得：a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，∴．∵a1=1，∴a2=2S1+1=2a1+1=3，即．∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而，则c n=log3a2n=log332n﹣1=2n﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）有：=，∴==，由于T n随着n的增大而增大，∴T n最小值为．∴，∴．18．解：（Ⅰ）因为AB∥CD，所以∠ADC=120°，△ABD为正三角形，所以∠BDC=60°．设AD=a，因为AD：CD=2：4=1：2，所以CD=2a，在△BDC中，由余弦定理，得，所以BD2+BC2=CD2，所以BD⊥BC．取AD的中点O，连接EO，因为△ADE为正三角形，所以EO⊥AD，因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD．取BC的中点G，连接FG，OG，则，且EF∥OG，所以四边形OEFG为平行四边形，所以FG∥EO，所以FG⊥平面ABCD，所以FG⊥BD．因为FG∩BC=G，所以BD⊥平面BFC．（Ⅱ）过G作直线MN∥AD，延长AB与MN交于点M，MN与CD交于点N，连接FM，FN．因为G为BC的中点，所以MG=OA且MG∥OA，所以四边形AOGM为平行四边形，所以AM=OG．同理DN=OG，所以AM=OG=DN=EF=3．又AB∥CD，所以AM∥DN，所以AM∥DN∥EF，所以多面体MNF﹣ADE为三棱柱．过M作MH⊥AD于H点，因为平面ADE⊥平面ABCD，所以MH⊥平面ADE，所以线段MH的长即三棱柱MNF﹣ADE的高，在△AMH中，，所以三棱柱MNF﹣ADE的体积为．因为三棱锥F﹣BMG与F﹣CNG的体积相等，所以所求多面体的体积为．19．解：（Ⅰ）在等高条形图中，两个深颜色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深颜色条的高可以发现，女性中雾霾天外出戴口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出戴口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系；（Ⅱ）2×2列联表如下：（Ⅲ）由（Ⅱ）中数据，计算得：，所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系．20．解：（Ⅰ）由题可知：，解得a=2，b=1，所以椭圆E的标准方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），将点A，B的坐标代入椭圆方程得：，．两式相减得：（x1+x2）（x1﹣x2）=﹣4（y1+y2）（y1﹣y2），∵，∴（x1+x2）﹣2（y1+y2）=0，①将点C，D的坐标代入椭圆方程，同理可得：（x3+x4）﹣2（y3+y4）=0，∵AB∥CD，∴由AP=λPC（λ＞0），得（m﹣x1，n﹣y1）=λ（x3﹣m，y3﹣n），即，即x1=m（λ+1）﹣λx3，y1=n（λ+1）﹣λy3，②由BP=λPD，同理可得：x2=m（λ+1）﹣λx4，y2=n（λ+1）﹣λy4，③由①②③得：2m（λ+1）﹣λ（x3+x4）﹣2[2n（λ+1）﹣λ（y3+y4）]=0，整理得：2m（λ+1）﹣4n（λ+1）﹣λ[（x3+x4）﹣2（y3+y4）]=0，即2m（λ+1）﹣4n（λ+1）=0，∵λ+1≠0，n≠0，∴，所以是定值．21．解：（Ⅰ）=．∵f（x）在点x=e处的切线与x轴平行，∴f'（e）=0，∴b=0．因此，当a＞0时，在区间（0，e）上为正，在区间（e，+∞）上为负，因此f（x）在区间（0，e）上为增函数，在区间（e，+∞）上为减函数，即函数f（x）在x=e处取得唯一的极大值，即为最大值；当a＜0时，f（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）为增函数，即函数f（x）有最小值，无最大值．因此实数a的取值范围是（0，+∞）．（Ⅱ）当a=b=1时，设g（x）=xf（x）=ln x﹣e x，在区间（0，+∞）上为减函数，又g'（1）=1﹣e＜0，，因此存在唯一实数，使，由此得到，x0=﹣ln x0；此时g（x）在区间（0，x0）上为增函数，在区间（x0，+∞）上为减函数，由单调性知=，又，故，因此xf（x）﹣m≤0恒成立时m≥﹣2，即m的最小整数值为﹣2．22．解：（Ⅰ）∵曲线C1：ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1．∵曲线C2：ρ=（ρ•cosθ+4）•cosθ．∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．（Ⅱ）不妨设四点在C上的排列顺次至上而下为H，I，J，K，它们对应的参数分别为t1，t2，t3，t4，如图，连结C1，J，则△C1IJ为正三角形，∴|IJ|=1，||HI|﹣|JK||=||HI|﹣|IK|+|IJ||=||t1|﹣|t4|+1|=|﹣（t1+t4）+1|，把曲线C的参数方程为（t为参数）代入y2=4x，得：，即3t2+8t﹣32=0，故，∴||HI|﹣|JK||=．。

2025届长郡中学高三上学期第一次调研考试数学试题+答案

长郡中学2025届高三第一次调研考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}320,20A xx x Bxx x =−==−−<∣∣，则A B ∩=（）A.{}0,1B.{}1,0−C.{}0,1,2D.{}1,0,1−2.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则m ∥α的一个充分条件是（） A.m ∥,n n ∥α B.m ∥,βα∥βC.,,m n n m αα⊥⊥⊄D.,m n A n ∩=∥,m αα⊄3.20252x 的展开式中的常数项是（）A.第673项B.第674项C.第675项D.第676项4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm ，公共底面的半径为15cm ，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为38g /cm ，现有青铜材料1000kg ，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（）（注：π 3.14≈）A.1B.2C.3D.45.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()1f x x f x <−′（()f x ′为()f x 的导函数），且()10f =，则（）A.()22f <B.()22f >C.()33f <D.()33f >6.已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为π4的直线交C 于,A B 两点，M 是AB 的中点，点P 是C 上一点，若点M 的纵坐标为1，直线:3230l x y ++=，则P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为（）7.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ=+><，对于任意的ππ,1212x f x f x ∈+=−R ，()π02f x f x+−=都恒成立，且函数()f x 在π,010 − 上单调递增，则ω的值为（）A.3B.9C.3或8.如图，已知长方体ABCD A B C D ′−′′′中，2,AB BC AA O ==′=为正方形ABCD 的中心点，将长方体ABCD A B C D ′−′′′绕直线OD ′进行旋转.若平面α满足直线OD ′与α所成的角为53 ，直线l α⊥，则旋转的过程中，直线AB 与l 夹角的正弦值的最小值为（）（参考数据：43sin53,cos5355≈≈）二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立,A B 两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，A 组偏向于智能自动化方向，B 组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A 组性能得分为：91,81,82,96,89,73,B 组性能得分为：73,70,96,79,94,88，则（）A.A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高B.A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数小C.A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差大D.B 组性能得分的第75百分位数比A 组性能得分的平均数大10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中,AC BD 分别为两个截面椭圆的长轴，且,,,A C B D 都位于圆柱的同一个轴截面上，AD 是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为12,e e ，则能够保证CD 12,e e 的值可以是（）A.12e e =121,2e e ==C.12e e =D.12e e = 11.对于任意实数,x y ，定义运算“⊕”x y x y x y ⊕=−++，则满足条件a b b c ⊕=⊕的实数,,a b c 的值可能为（）A.0.30.50.5log 0.3,0.4,log 0.4a b c =−== B.0.30.50.50.4,log 0.4,log 0.3a b c ===− C.0.10.1100.09,,ln e 9abc ==D.0.10.110,ln ,0.09e 9ab c == 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z 对应的点为()1,1，则21zz−=+__________. 13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列{}n a 的通项公式n a =__________. ①m na a m n−−是常数，*,m n ∈N 且m n ≠；②652a a =；③{}n a 的前n 项和存在最小值.14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在n n ×的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数122C C nn n n −−.如图，现有34×的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A 走到右上角B 共有__________种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方，但可以到达直线AC ，则有__________种不同的走法.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知M 为圆229x y +=上一个动点，MN 垂直x 轴，垂足为,N O 为坐标原点，OMN 的重心为G . （1）求点G 的轨迹方程；（2）记第（1）问中的轨迹为曲线C ，直线l 与曲线C 相交于A B ､两点，点()0,1Q ，若点)H 恰好是ABQ 的垂心，求直线l 的方程. 16.（本小题满分15分）如图，四边形ABCD 为圆台12O O 的轴截面，2AC BD =，圆台的母线与底面所成的角为45 ，母线长为E 是 BD的中点.（1）已知圆2O 内存在点G ，使得DE ⊥平面BEG ，作出点G 的轨迹（写出解题过程）；（2）点K 是圆2O 上的一点（不同于,A C ），2CK AC =，求平面ABK 与平面CDK 所成角的正弦值. 17.（本小题满分15分）素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操､增强学生的表现力和自信心､提高学生的综合素质等有重要意义.为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的. （1）声乐班的学生全部进行测试.若声乐班每名学生通过测试的概率都为(01)p p <<，设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为()f p ，求()f p 的极大值点0p .（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试.若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为ζ，求ζ的分布列及数学期望. 18.（本小题满分17分）已知数列{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且1185482,8,a b a a a b ====. （1）求{}{},n n a b 的通项公式；（2）数列1ππ12242(1)n n b −+−⋅的前n 项和为n S ，集合*422,n n n S b A nt n n a ++ ⋅ =≥∈ ⋅N 共有5个元素，求实数t 的取值范围；（3）若数列{}n c 中，()212log 1,2114nnn a c c n b ==≥−，求证：1121231232n c c c c c c c c c c +⋅+⋅⋅++⋅⋅<19.（本小题满分17分）设有n 维向量1122,n n a b a b ab a b=，称1122,n n a b a b a b a b =+++ 为向量a 和b 的内积，当,0a b = ，称向量a 和b 正交.设n S 为全体由1−和1构成的n 元数组对应的向量的集合. （1）若1234a=，写出一个向量b ，使得,0a b =；（2）令[]{},,nBxy x y S =∈∣.若m B ∈，证明：m n +为偶数；（3）若()4,4n f =是从4S 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足,0a b =，猜测()4f 的值，并给出一个实例.长郡中学2025届高三第一次调研考试数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案ACDCDDAAADADBD6.D 【解析】由题得C 的焦点为,02p F，设倾斜角为π4的直线AB 的方程为2p y x =−，与C 的方程22y px =（联立得2220y py p −−=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1222,1y y p p +===，故C 的方程为212,,02y x F=.由抛物线定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，联立抛物线2:2C y x =与直线:3230l xy ++=，化简得291090x x ++=，由Δ1004992240=−××=−<得C 与l 相离.,,Q S R 分别是过点P 向准线､直线:3230l x y ++=以及过点F 向直线:3230l x y ++=引垂线的垂足，连接,FP FS ，所以点P 到C 的准线的距离与点P 到直线l 的距离之和PQ PS PF PS FS FR +=+≥≥，等号成立当且仅当点P 为线段FR 与抛物线的交点，所以P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为点1,02F到直线:3230l x y ++=. 故选：D.7.A 【解析】设函数()f x 的最小正周期为T ，因为函数()f x 在π,010−上单调递增，所以π0102T −−≤，得2ππ5T ω=≥，因此010ω<≤. 由ππ1212f x f x+=−知()f x 的图象关于直线π12x =对称，则11πππ,122k k ωϕ⋅+=+∈Z ①. 由()π02f x f x +−= 知()f x 的图象关于点π,04对称，则22ππ,4k k ωϕ⋅+=∈Z ②. ②-①得()2112πππ,,62k k k k ω⋅−−∈Z ，令21kk k =−，则63,k k ω=−∈Z ，结合010ω<≤可得3ω=或9.当3ω=时，代入（1）得11ππ,4k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=，此时()π2sin 34f x x=+，因为πππ32044x −<+<，故()f x 在π,010−上单调递增，符合题意；当9ω=时，代入（1）得11π,k k ϕ∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=−，此时()π2sin 94f x x=−，因为23πππ92044x −<−<−，故()f x 在π,010−上不是单调递增的，所以9ω=不符合题意，应舍去. 综上，ω的值为3. 故选：A.8.A 【解析】在长方体ABCD A B C D ′−′′′中，AB ∥C D ′′，则直线AB 与l 的夹角等于直线C D ′′与l 的夹角.长方体ABCD A B C D ′−′′′中，2,AB BC AA O ==′=为正方形ABCD 的中心点，则2OD OC ==′′，又2C D ′′=，所以OC D ′′ 是等边三角形，故直线OD ′与C D ′′的夹角为60 .则C D ′′绕直线OD ′旋转的轨迹为圆锥，如图所示，60C D O ∠=′′ .因为直线OD ′与α所成的角为53,l α⊥ ，所以直线OD ′与l 的夹角为37 . 在平面C D O ′′中，作,D E D F ′′，使得37OD EOD F ∠∠′==′ .结合图形可知，当l 与直线D E ′平行时，C D ′′与l 的夹角最小，为603723C D E ∠−′′== ，易知603797C D F ∠+′′== .设直线C D ′′与l 的夹角为ϕ，则2390ϕ≤≤ ，故当23ϕ= 时sin ϕ最小，而()sin23sin 6037sin60cos37cos60sin37=−=−sin60sin53cos60cos53=−≈故直线AB 与l . 故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.AD 10.AD11.BD 【解析】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c −++=−++，即a b b c c a −−−=−，若,a b c b ≤≤，可得a b b c c a −−−=−，符合题意，若,a b c b ≤>，可得2a b b c b a c −−−=−−，不符合题意，若,a b c b >≤，可得a b b c a c −−−=−，不符合题意，若,a b c b >>，可得2a b b c c a b −−−=+−，不符合题意，综上所述0,0a b b c −≤−≥，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可.对于A,B ，由题知0.50.50.510log 0.3log log 103−=<=，而0.3000.40.41<<=， 0.50.5log 0.4log 0.51>=，所以0.30.50.5log 0.30.4log 0.4−<<.（点拨：函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数），对于A ，a b c <<；对于B ，c a b <<，故A 错误，B 正确.对于C ，D 0.10.10.10.090.9e (10.1)e ,0.1e ==− （将0.9转化为10.1−，方便构造函数）构造函数()()[)1e ,0,1xf x x x =−∈，则()e xf x x ′=−，因为[)0,1x ∈，所以()()0,f x f x ′≤单调递减，因为()01f =，所以()0.11f <，即0.10.9e 1<，所以0.10.10.09e <. （若找选项中的最大值，下面只需判断0.10.1e与10ln 9的大小即可） ()10.10.10.10.10.1100.190.190.1ln ln ln ln 10.1e 9e 10e 10e −−=−=+=+−，构造函数()()[)ln 1,0,1e x xh x x x =+−∈，则()()211(1)e e 1e 1x x x x x h x x x −−−=−=−−′，因为[)0,1x ∈，所以()e 10xx −>，令()2(1)e xx x ω=−−，则()()21e xx x ω=−−−′，当[)0,1x ∈时，()()0,x x ωω′<单调递减，因为()00ω=，所以()0x ω≤，即()()0,h x h x ′≤单调递减，又()00h =，所以()0.10h <，即()0.10.1ln 10.10e +−<，所以0.10.110ln e 9<. 综上，0.10.1100.09lne 9<<.对于C ，a b c <<；对于D ，c a b <<，故C 错误，D 正确. （提醒：本题要比较0.09与10ln 9的大小关系的话可以利用作差法判断，即()11090.09ln 0.10.9ln 10.90.9ln0.9910− −=×−=−×+，构造函数()()(]1ln ,0,1g x x x x x =−+∈，则()()()221112112x x x x g x x x x x′+−+−++=−+==，因为(]0,1x ∈，所以()()0,g x g x ′≥单调递增，因为()10g =，所以()0.90g <，即100.09ln09−<，所以100.09ln 9<）故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.13i 55− 【解析】由于复数z 对应的点为()1,1，所以1i z =+，故()()()()1i 2i 21i 13i 13i 12i 2i 2i 555z z −−−−−====−+++−，故答案为：13i 55− 13.4n −（答案不唯一）14.35；14四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.【解析】（1）设()()00,,,G x y M x y ，则()0,0N x ，因G 为OMN 的重心，故有：00233x x y y = =，解得003,32x x y y ==，代入22009x y +=，化简得2214x y +=，又000x y ≠，故0xy ≠，所以G 的轨迹方程为()22104x y xy +=≠. （2）因H 为ABQ 的垂心，故有,AB HQ AH BQ ⊥⊥，又HQ k ==l k =，故设直线l 的方程为()1y m m +≠，与2214x y +=联立消去y 得：2213440x m ++−=，由2Δ208160m =−>得213m <，设()()1122,,,A x y B xy ，则212124413m x x x x −+=，由AH BQ⊥2211y x −=−，所以()211210x x m m −+++−=，所以)()21212410x x m x x m m +−++−=，所以()()()22444241130m m m m m −−−+−=，化简得2511160m m +−=，解得1m =（舍去）或165m =−（满足Δ0>），故直线l 的方程为165y =−.16.【解析】（1）E 是 BD的中点，DE BE ∴⊥. 要满足DE ⊥平面BEG ，需满足DE BG ⊥，又DE ⊂ 平面,BDE ∴平面BEG ⊥平面BDE如图，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于2,G G ，则线段12G G 即点G 的轨迹.（2）易知可以2O 为坐标原点，221,O C O O 所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系2O xyz −，45,2AC BD = ，21122,1,1O A O B O O ∴===，取K 的位置如图所示，连接2O K ，22,60CK AC CO K ∠=∴= ，即230xO K ∠= ，则)()()()(),0,2,0,0,1,1,0,2,0,0,1,1K A B C D −−，则)))),2,1,1,0,1AK BK CK DK −−− . 设平面ABK 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AK n BK ⋅= ⋅=，即111113020y y z +=+−=，令1x =)111,1,1,1z y n ==−∴=− . 设平面CDK 的法向量为()222,,m x y z =，则00m CK m DK ⋅= ⋅=，即222200y z −=−=，令2x =，则)223,3,z y m ==∴= . 设平面ABK 与平面CDK 所成的角为θ，则cos =sin θ∴17.【解析】（1）24名学生中恰有3名通过测试的概率()332124C (1)f p p p =⋅−，则()()322132032202424C 3(1)21(1)C 3()8,01jf p p p p p p p p p =−−−=⋅⋅′−−<< ，令()0f p ′=，得18p =，所以当108p <<时，()()0,f p f p ′>单调递增；当118p <<时，()()0,f p f p ′<单调递减，故()f p 的极大值点018p =. （2）利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名，则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名，所以ζ的所有可能取值为0,1,2,3，()()3213343377C C C 1120,1C 35C 35P P ζζ======， ()()1233443377C C C 1842,3C 35C 35P P ζζ======，则随机变量ζ的分布列为()112184120123353535357E ζ=×+×+×+×=. 18.【解析】（1）设数列{}n a 公比的为q ，数列{}n b 公差的为d 则由318518,82,2n n n a a q q a a q −==∴=∴==，4816a b ==，即()827162,2122n b d d b n n =+=∴=∴=+−=. （2）设1ππ12242(1)n n n d b −+ =−⋅则22224414243441424312848n n n n n n n n d d d d b b b b n −−−−−−+++=+−−=− ()()412344342414n n n n n S d d d d d d d d −−−∴=++++++++()12848802n n −+= ()6416n n +()()()()4222641622328222n n n n n n n n n S b n a ++++⋅+++⋅∴==⋅ 令()()()32822nn n f n ++=，则()()()()()()113240332824122n n n n n n f n f n +++++++−=− ()22144113288822n n n n n n +−−+−−+=，可得()()()()()1234f f f f f n <>>>> ，故当2n =时，()f n 最大.且()()()147160,5,6254f f f ===， 147254t ∴<≤，即t 的取值范围为14725,4. （3）由()()()121,2111n n n c c n n n n ===≥−+−，则当2n ≥时， ()()()122311324113451n n n c c c n n n n =××××=⋅⋅−+×××××+ ()()()21111221!1!!1!n n n n n n +−==− +++当1n =时，11c =也满足上式()()*12112!1!n c c c n n n ∴=−∈ + N 112123123n c c c c c c c c c c ∴+⋅+⋅⋅++⋅⋅()1111221222!2!3!!1!n n =−+−++−=−< + 故原不等式成立.19.【解析】（1）由定义，只需满足12342340b b b b +++=，不妨取1110b= −（答案不唯一）. （2）对于,1,2,,m B i n ∈=，存在{}{}1122,1,1,,1,1,ii n n x y x y x x y y x y ∈−=∈− ……使得[],x y m = . 当i i x y =时，1i i x y =；当i i x y ≠时，1i i x y =−.令11,,0,ni i i i i ii x y k x y λλ== == ≠ ∑. 所以所以22m n k n n k +−+为偶数.（3）当4n =时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即()44f =.不妨取123411111111,,,11111111a a a a −− −− ==== −−则有[][][][][][]121314232434,0,,0,,0,,0,,0,,0a a a a a a a a a a a a ======. 若存在5a ，使[]15,0a a = ，则51111a − = − 或1111 − − 或1111 − −. 当51111a − = −时，[]45,4a a =− ；当51111a − = −时，[]25,4a a =− ；当51111a = − −时，[]35,4a a =− ，故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交.。

湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考(开学考试)数学(文)试题Word版含解析

长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的运算，求并集即为求满足两个集合的最大范围。

【详解】集合A为，集合B为所以并集所以选D【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题。

2.2.复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，进而化简即可得到复数的虚部。

【详解】所以复数z的虚部为-3所以选B【点睛】本题考查了复数的基本运算和基本概念，注意复数的虚部只有数字，不含虚数单位，属于基础题。

3.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用二倍角的余弦公式求解即可.详解：,故选C.点睛：本题主要考查二倍角的余弦公式，属于简单题.4.4.某家具厂的原材料费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据回归直线经过样本平均数中心点，求得平均值，代入即可求得b。

【详解】因为回归直线方程经过样本中心点，代入回归直线方程得所以选A【点睛】本题考查了回归直线的简单应用，注意回归直线会经过平均数中心点，而不是某个样本点，属于基础题。

5.5.已知向量，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，所以答案 A ，B 都不正确；又，且，所以答案C不正确，应选答案 D。

6.6.执行如图所示的程序框图输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据程序框图循环结构运算，依次代入求解即可。

【详解】根据程序框图和循环结构算法原理，计算过程如下：所以选A【点睛】本题考查了程序框图的基本结构和运算，主要是掌握循环结构在何时退出循环结构，属于基础题。

湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷(三)

湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷（三）一、单选题1．设集合{}{}{}1,2,2,3,1,2,3,4A B C ===，则（）A ．AB =∅B ．A B C= C ．A C C= D ．A C B= 2．在复平面内，复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称，则12z z =（）A ．34i-+B ．34i--C ．5D3．已知向量a ，b 满足3a = ，b = 且()a ab ⊥+ ，则b 在a方向上的投影向量为（）A ．3B ．3-C ．3a- D ．a-r 4．已知函数()f x 的定义域为R ，()54f =，()3f x +是偶函数，[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，则（）A ．()04f <B ．()14f =C ．()24f >D ．()30f <5．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A ．24B ．32C ．96D ．1286．已知曲线e x y =在1x =处的切线l 恰好与曲线ln y a x =+相切，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．在直角坐标系中，绕原点将x 轴的正半轴逆时针旋转角π(0)2αα<<交单位圆于A 点、顺时针旋转角ππ()42ββ<<交单位圆于B 点，若A 点的纵坐标为1213，且OAB △的面积为4，则B 点的纵坐标为（）A ．2-B ．C ．D ．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为()0,,A F c 是双曲线C 的右焦点，点P 在直线2x c =上，且tan APF ∠C 的离心率是（）A ．B ．2C ．D ．4+二、多选题9．函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最小值C ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．把函数=的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数3sin 2y x =的图象10．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AB AA AD ===，点P 满足AP AB AD λμ=+，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则（）A ．若1B P 与平面ABCD 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π4B ．当λμ=时，1//B P 面11ACD C ．当12λ=时，有且仅有一个点，使得1A P BP ⊥D ．当2μλ=时，1A P DP +11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线2:2(0)C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90180270 ､､后所得三条曲线与C 围成的（如图阴影区域），,A B 为C 与其中两条曲线的交点，若1p =，则（）A ．开口向上的抛物线的方程为212y x =B ．A =4C ．直线x y t +=截第一象限花瓣的弦长最大值为34D ．阴影区域的面积大于4三、填空题12．若52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则2a =.13．已知函数24,1()ln 1,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩，若函数()2y f x =-有3个零点，则实数a 的取值范围是.14．设n T 为数列{}n a 的前n 项积，若n n T a m +=，其中常数0m >，数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则m =．四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +-++=.(1)求A ；(2)若D 为BC 边上一点，3,4,BAD CAD AC AD ∠∠==，求sin B .16．如图，三棱柱111ABC A B C -中，160A AC ∠=︒，AC BC ⊥，1A C AB ⊥，1AC =，12AA =.(1)求证：1A C ⊥平面ABC ；(2)直线1BA 与平面11BCC B 所成角的正弦值为4，求平面11A BB 与平面11BCC B 夹角的余弦值.17．人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m （*m ∈N ）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当X 0=时，答题也结束，机器人挑战失败.(1)当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；(2)当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.18．已知椭圆G22+22=1>>0的长轴是短轴的3倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为3,,A B 是椭圆左右顶点，过,A B 做椭圆的切线，取椭圆上x 轴上方任意两点,P Q （P 在Q 的左侧），并过,P Q 两点分别作椭圆的切线交于R 点，直线RP 交点A 的切线于I ，直线RQ 交点B 的切线于J ，过R 作AB 的垂线交IJ 于K .(1)求椭圆的标准方程.(2)若()1,2R ，直线RP 与RQ 的斜率分别为1k 与2k ，求12k k 的值.(3)求证：IK IA JKJB=19．对于函数()f x ，若实数0x 满足00()f x x =，则称0x 为()f x 的不动点.已知0a ≥，且21()ln 12f x x ax a =++-的不动点的集合为A .以min M 和max M 分别表示集合M 中的最小元素和最大元素.(1)若0a =，求A 的元素个数及max A ；(2)当A 恰有一个元素时，a 的取值集合记为B .（i ）求B ；（ii ）若min a B =，数列{}n a 满足12a =，1()n n n f a a a +=，集合141,3nn k k C a =⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭∑，*N n ∈.求证：*N n ∀∈，4max 3n C =.。

湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高三上学期月考数学

长郡中学2023届高三月考试卷数学本试卷共8页。

时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合||1|1,{} ==--∈A y y x x R ，{}3|log 1,=≥B x x ，则A∩=RBA ．{|1}≥-x xB ．{}|3<x xC ．}{|13-≤≤x xD ．{}|13-≤<x x2.若复数z 满足||2,3-=⋅=z z z z ，则2z 的实部为A -2B ．-1C ．1D ． 2★3.函数()()241--=-x x x e e f x x 的部分图象大致是★4.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，其对称中心O 平分线段MN ，且2MN BC =，点E 为DC 的中点，则⋅=EM ENA ． 12-B ．32-C ． -2D ．-3★5.随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升。

某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程，甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件A=“甲乙两人所选课程恰有一门相同”事件B=“甲乙两人所选课程完全不同”，事件C=“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则 A ． A 与B 为对立事件 B ．A 与C 互斥 C ． B 与C 相互独立D ． A 与C 相互独立★6.已知三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，底面△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，且23，π=∠=BC BCA ，三棱锥P-ABC的体积为3，过点A 作⊥AM PB 于M ，过M 作MN ⊥PC 于N ，则三棱锥P-AMN 外接球的体积为A ．323π B．3C．3D ．43π 7.若sin 2sin ,sin()tan()1αβαβαβ=+⋅-=，则tan tan αβ=A ．2B ．32C ． 1D ．128.已知函数f （x ），g （x ）的定义域为R 。

湖南省长沙市长郡中学近年届高三数学上学期第五次调研考试试题文(含解析)(最新整理)

,若目标函数
的最大值为 10．则实数 k
＝
A．2 B．5 C．
D．
7．我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十
六题,“物不知数”问题,原文如下：“今有物不知其数,三三
数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何?”其大
意为：一个整数除以三余二,除以五余三，除以七余二，求这
个整数．这类问题可以用计算机解决．记 N r（MOD m）,即正
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A．
B．
C．
D．
意的实数 x，都有
成立，当取最小值时
A．在增函数
上是增函数 B．在
上是
二、填空题 13．已知三棱锥 A－BCD 的四个顶点都在同一个球的球面上，AB＝，BC＝3，AC＝2 ，若三棱锥 A－BCD 体积的最大值
C．在减函数
上是减函数 D．在
上是
为，则此球的表面积为____． 14．设是函数 ____．
Q 是曲线 C 上异于 A、B 的一点，设曲线 C 在点 A、B、Q 处的切
线分别为 l1、l2、l3，切线 l1、l2 交于点 R，切线 l1、l3 交于点 S，切线 l2、l3 交于点 T，若 RST 的面积为 6，求 Q 点的横坐标．

湖南省长沙市长郡中学2017届高三上学期入学考试文数试题Word版含解析

2017届普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{|1}U x x =>，集合{|2}A x x =>，则U C A =（）A ．{|12}x x <≤B ．{|12}x x <<C ．{|2}x x >D ．{|2}x x ≤【答案】A【解析】试题分析：{|12}U C A x x =<≤,故选A.考点：集合的运算.2. 设i 是虚数单位，则复数25()2i i-+=+（） A ．22i - B ．1i - C ．3i - D ．115i -【答案】B【解析】试题分析：255(2)()11212(2)(2)i i i i i i i --+=-+=-+-=-++-,故选B. 考点：复数的运算.3. 已知(cos ,sin )66a ππ=，55(cos ,sin )66b ππ=，则||a b -=（）A ．1B ．2 C D ．2【答案】C【解析】试题分析：因为55(coscos ,sin sin )6666a b ππππ-=--=，所以||3a b -=，故选C.考点：向量的坐标运算.4. 分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为（）A ．710B ．310C ．35D ．25【答案】A考点：几何概型.5. 在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为（）A ．11B ．12C ．13D ．15【答案】D【解析】试题分析：此程序框图所表示的算法功能为1234515S =++++=，故选D.考点：程序框图.6. 将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（）【答案】D.【解析】试题分析：将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的函数解析式为cos[3()]cos(3)sin 31832y x x x πππ=++=+=-，故选D. 考点：1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.7. 某棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该棱锥的体积等于（）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，所以其体积1543203V =⨯⨯⨯=，故选B.考点：1.三视图;2.多面体的体积.8. 已知点(1,2)-和在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（）A ．(,)43ππB ．3(0,)(,)34πππC ．35(,)46ππD ．23(,)34ππ 【答案】D考点：1.直线的倾斜角与斜率；2.线性规划.9. 若不等式组1010102x y x y y ⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩表示的区域Ω，不等式2211()24x y -+≤表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻约为（）A ．114B ．10C ．150D ．50 【答案】A 【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示，其中芝麻落在区域Γ内的概率为23111132422221336322P ππ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯ ⎪+⎝⎭==⨯⨯，所以落在区域Γ中芝麻约为3236011436π+⨯≈,故选A.考点：1.线性规划；2.几何概型.【名师点睛】本题考查几何概型与线性规划，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过线性规划相关知识来完成的，把线性规划与几何概型有机的结合在一起是本题的亮点.10. 已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 也是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，1C 与2C 的一个交点为P ，若PF x ⊥轴，则双曲线1C 的离心率为（）A1 BC1 D1【答案】A【解析】试题分析：由题意可知22,22p b c p a ==，所以224b c a=，即222c a ac -=，所以2210e e --=，解之得1e =，故选A.考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.抛物线的标准方程与几何性质.11. 已知函数22()()()n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数且()(1)n a f n f n =++，则12350a a a a ++++=（）A ．50B ．60C ．70D ．80【答案】A【解析】试题分析：由题意可知221123a =-=-，222235a =-+=，223347a =-=-，224459a =-+=，4950,99,101a a =-=，所以1235012344950()()()25250a a a a a a a a a a ++++=+++++=⨯=，故选A. 考点：1.数列的表示；2.数列求和.【名师点睛】本题考查数列的表示以及数列求和，属中档题；数列求和问题是高考常考内容之一，数列求和的主要方法有：1.公式法；2.分组求和法；3.倒序相加法；4.错位相减法；5.裂项相消法.其中错位相减法与裂项相消法是考试的重点内容，本题主要采用的是分组求和法.12.若函数()()b f x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间上单调递增的是（）A ．(,1]-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(2,)+∞【答案】D考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与方程【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与方程，属中档题；导数与函数的单调性是高考的必考内容，也是难点，导数与单调性关系：()0()f x f x '>⇒单调递增，()0()f x f x '<⇒单调递减；反之，当()f x 在某个区间上单调递增()0f x '⇒≥，当()f x 在某个区间上单调递减()0f x '⇒≤.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，'()f x 为()f x 的导函数，'(1)2f =，则a = .【答案】2【解析】试题分析：因为1()ln (ln 1)f x a x ax a x x'=+⨯=+,所以(1)(ln11)2f a a '=+==. 考点：导数的运算. 14. 若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为 .【答案】4【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示的三角形区域，由图可知，目标函数3z x y =+取得最大值时的最优解为(1,1)B ，此时max 3114z =⨯+=.考点：线性规划.15抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .【答案】考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质与双曲线的标准方程与几何性质，属中档题；高考对圆锥曲线的考查主要是考查定义、标准方程、几何性质，小题和大题中均有.本题主要考查双曲线与抛物线的对称性的应用.16. 若定义在区间D 上的函数()y f x =满足：对,x D M R ∀∈∃∈，使得|()|f x M ≤恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上有界，则下列函数中有界的是 .①sin y x =；②1y x x=+；③tan y x =；④x x x x e e y e e ---=+；⑤321(44)y x ax bx x =+++-≤≤，其中,a b R ∈.【答案】①④⑤【解析】试题分析：因为sin 1x ≤，所以sin y x =为有界函数；12x x+≥，无上界，所以②不是有界函数；tan y x =的值域为(,)-∞+∞，是无界函数；22212111x x x x x x x e e e y e e e e ----===-+++,因为22021x e <<+，所以221111x e -<-<+，即1y <，所以x x x x e e y e e ---=+是有界函数；对于⑤，函数321y x ax bx =+++ 为实数上连续函数，所以在区间[4,4]-上一定有最大值和最小值，所以是有界函数，故应填①④⑤.考点：1.新定义问题；2.值域及求法.【名师点睛】本题主要考查新定义问题、值域及求法.函数值域的求解是难点，主要方法有：配方法、单调性法、数形结合法、换元法、基本不等式法、导数法、利用已知函数的有界性法等方法.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知函数2()2sin coscos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取最小值. （1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知1,()a b f A ===，求角C .【答案】(1)2π;(2) 712π或12π. 【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式得()sin()f x x ϕ=+，由在x π=处取最小值及0ϕπ<<查求得2πϕ=；（2）由()f A =可得6A π=，再由正弦定理求出sinB ，从而求出角B 的值，即可求角C .（2）因为()2f A =，所以cos 2A =，因为角A 为ABC ∆的内角，所以6A π=.又因为1,a b ==sin sin a b A B=，也就是sin 1sin 22b A B a ===，因为b a >，所以4B π=或34B π=. 当4B π=时，76412C ππππ=--=；当34B π=时，36412C ππππ=--=. 考点：1.三角恒等变换；2.正弦定理；3.三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、三角函数的图象与性质，属中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD AB ，2AB BC CP BP ====，1CD =.（1）求点B 到平面DCP 的距离；（2）点M 为线段AB 上一点（含端点），设直线MP 与平面DCP 所成角为α，求sin α的取值范围.【答案】；(2)[,]42.【解析】试题分析：(1) 要求点B到平面DCP的距离,只要能过点B作出平面DCP的垂线即可，由题意可知CD⊥平面CPB，所以CD⊥平面CPB内的任意一条直线，因此只要在平面CPB内过点B作BF PC⊥即可得到BF⊥平面DCP，求出BF的长即可；（2）由（1）可知点M到平面DCP的距离即点B到平面DCP的距离,所以sinBFMPα=，即只要求出BFMP的取值范围即可.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，属中档题；文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主. 19. （本小题满分12分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中,n p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[10,15)的概率.【答案】(1)0.625,0.075n p ==, 0.125a =，中位数为17；（2）23. 试题解析：（1）因200.25M ÷=，所以80M =，所以500.62580n ==， 310.250.6250.050.07540p =---==， 10.12558n a ===. 中位数位于区间[15,20)，设中位数为(15)x +，则0.1250.25x =，所以2x =，所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次. （2）由题意知样本服务次数在[10,15)有20人，样本服务次数在[25,30)有4人，如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在[10,15)和[25,30)的人数分别为：206524⨯=和46124⨯=. 记服务次数在[10,15)为12345,,,,a a a a a ，在[25,30)的为b . 从已抽取的6人任选两人的所有可能为：121314151232425234(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a b a a a a a a a b a a 3534545(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a a a b a b 共15种，设“2人服务次数都在[10,15)”为事件A ，则事件A 包括1213141523242534(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a a a a a a a a 3545(,),(,)a a a a共10种，所有102()153P A ==. 考点：1.频率分布表；2.频率分布直方图；3.古典概型. 20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上的左、右顶点分别为,A B ，1F 为左焦点，且1||2AF =，又椭圆C 过点(0,. （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2216x y +=上（点,A B 除外），设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若1234k k =，证明：,,A P Q 三点共线. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）见解析. 【解析】试题分析：(1)1||2AF a c ==-, 由椭圆C 过点(0,可得b =,,a b c 关系求出,,a b c 的值即可；(2) 由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由此可得2111121114416PA y y y k k x x x ∙=∙=+--，又因为22113124y x =-，1234k k =，由此可得21PA k k ∙=-，同理可得21QA k k ∙=-，所以PA QA k k =，即可证,,A P Q 三点共线.试题解析：（1）由已知可得2,a c b -==，又22212b a c =-=，解得4a =，故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以2111121114416PA y y y k k x x x ∙=∙=+--，因为11(,)P x y 在椭圆C 上，所以221111612x y +=，即22113124y x =-，所以2112131234164PA x k k x -∙==--. 又因为1234k k =，所以21PA k k ∙=-.（a ）由已知点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径，所以QA QB ⊥，所以21QA k k ∙=-（b ）由（a ）（b ）可得PA QA k k =，因为直线,PA QA 有共同点A ，所以,,A P Q 三点共线.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.（1）求函数()y f x =的单调区间和最小值；（2）若函数()()f x a F x x -=在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值；（3）若k Z ∈，且()(1)0f x x k x +-->对任意1x >恒成立，求k 的最大值. 【答案】(1) ()f x 的单调递增区间为1[,)e +∞，单调减区间为1(0,]e ,min 1()f x e=-.(2) a =3.【解析】试题分析：(1)求导'()ln 1(0)f x x x =+>，解不等式'()0f x ≥与'()0f x ≤可得函数()f x 的单调区间；(2)求函数()ln a F x x x =-的导数'2()x a F x x += ，分0a ≥与0a <讨论函数()ln a F x x x =-在区间[1,]e 的单调性与最小值，由min 3()2f x =求之即可；(3)由题意分离参数得ln 1x x x k x +<-对任意1x >恒成立，构造函数ln ()1x x xh x x +=-，求导'2ln 2()(1)x x h x x --=-，'2ln 2()(1)x x h x x --=-的符号由分子()ln 2(1)x x x x ϕ=-->确定，且函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈,由此可知函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增,所以min 0()k g x x <=，可证结论成立.试题解析：（1）因为'()ln 1(0)f x x x =+>，令'()0f x ≥，即1l n 1l n x e -≥-=，所以1x e≥，同理，令'()0f x ≤，可得1(0,]x e ∈，所以()f x 的单调递增区间为1[,)e+∞，单调减区间为1(0,]e. 所以min 1111()()ln f x f ee e e ===-. （2）()ln a F x x x =-，'2()x a F x x +=，Ⅰ．当0a ≥时，'()0F x >，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去.Ⅱ．当0a <时，()F x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增， ①若(1,0)a ∈-，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去，②若[,1]a e ∈--，()F x 在[1,]a -上单调递减，在[,]a e -上单调递增，所以min 3()(1)ln()2F x F a a ==-+=，解得[,1]a e =--. ③若(,)a e ∈-∞-，()F x 在[1,]e 上单调递减，min 3()()12a F x F e e ==-=，所以(,)2ea e =-∉-∞-，舍去，综上所述，a =（3）由题意得：(1)ln k x x x x -<+对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立. 令ln ()1x x x h x x +=-，则'2ln 2()(1)x x h x x --=-，令()ln 2(1)x x x x ϕ=-->，则'11()10x x x xϕ-=-=>，所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，因为方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈，当01x x <<时，()0x ϕ<，即'()0h x <，当0x x >时，()0x ϕ>，即'()0h x >.所以函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增. 所以0000min 0000(1ln )(12)()()(3,4)11x x x x h x h x x x x ++-====∈--所以min 0()k g x x <=，又因为0(3,4)x ∈，故整数k 的最大值为3. 考点：1.导数与函数的单调性、最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的单调性、最值；函数与不等式,属难题.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（1）求证：//BC DE ；（2）若,,,D E C F 四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠.【答案】(1)见解析；(2)27π. 【解析】试题分析：（1）要证//BC DE ，只要证EDC DCB ∠=∠即可，由弦切角和圆周角关系可得EDC DAC ∠=∠，由角平分线性质得EDC DAC ∠=∠，又同弧上的圆周角相等，所以DAB DCB ∠=∠，即可证得EDC DCB ∠=∠；（2）由,,,D E C F 四点共圆及（1）得CFA ACF ∠=∠，设DAC DAB x ∠=∠=，在等腰三角形ACF 中，列出方程7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=，解之即可.试题解析：（1）∵BAC ∠的平分线与圆交于点D ∴EDC DAC ∠=∠，DAC DAB ∠=∠，∵BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∴EDC DCB ∠=∠， ∴//BC DE .考点：1.圆的性质；2.等腰三角形性质；3.圆内接四边形性质. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线112:x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）设l 与1C 相交于,A B 两点，求||AB ；（2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.【答案】(1)11). 【解析】试题分析：(1)将直线与圆的参数方程化为普通方程，求出交点坐标，即可求AB ；（2）先由伸缩与平移变换规律求出曲线2C 的参数方程，交用参数表示点P 的坐标，用参数θ表示点P到直线l的距离22)2]244d θθπθ==-+，即可求最小值.试题解析：（1）直线l的普通方程为1)y x =-，1C 的普通方程为221x y +=，联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得l 与1C的交点为1(1,0),(,22A B -，则||1AB =. 考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.椭圆参数方程的应用.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|2f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|64}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2-;(2) {|0}k k k k ><=. 【解析】试题分析：(1) |2|62x a a -≤-333322a x a ⇔-≤≤-,由3362a -=-可求出a ；（2）由（1）2()(1)5f x k x ≤--可转化为2|22|1(1)x k x ++≤-，作出函数23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩的图象，数形结合可求k 的范围. 试题解析：（1）|2|62x a a -≤-，∴26262a x a a -≤-≤-， ∴333322a x a -≤≤- 3362a -=-，2a =-. （2）由（1）知，2|22|1(1)x k x ++≤-，23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩，()g x 的图象如图：要使解集非空，212k ->或211k -≤-，∴{|0}k k k k ><=.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示及应用.。

高三试卷数学-湖南省长沙市长郡中学等2023届高三一模考试数学试卷及参考答案

长郡中学2023届模拟试卷（一）数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x y x =,x ∈R },{}2,B y y x x ==∈R ∣,则A B ⋂等于A.{(0,0),(1,1)}B.{0}y y ∣ C.{}x x ∈R ∣D .∅2.某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠,已知在正常工作状态下生产线上生产的零件内径尺寸Z （单位:μm ）服从正态分布N （60,4）.甲、乙两名同学正进行尺寸测量练习,甲、乙对各自抽取的5个零件测量内径尺寸（单位:μm ）如下,甲同学测量数据：59,60,62,63,65;乙同学测量数据:52,53,55,57,62,则可以判断A.甲、乙两个同学测量都正确B.甲、乙两个同学测量都错误C.甲同学测量正确,乙同学测量错误D.甲同学测量错误,乙同学测量正确3.函数3sin ()xf x x x =-在[ ,0)(0,]ππ-⋃上的大致图象为A. B.C. D.4.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”,收录了有关降水量计算的四个例子,分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时,平地的降雨量是A.9寸B.6寸C.4寸D.3寸5.为调查某地区中学生每天睡眠时间,釆用样本量比例分配的分层随机抽样,现抽取初中生800人,其每天睡眠时间均值为9小时,方差为1,抽取高中生1200人,其每天睡眠时间均值为8小时,方差为0.5,则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为A.0.94 B.0.96 C.0.75 D.0.786.已知236m n ==,则m ,n 不可能．．．满足的关系是A.4m n +> B.4mn > C.228m n +< D.22(1)(1)2m n -+->7.已知,0,,sin(2)2sin 2παβαββ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭,则tan β的最大值为A.12B.33C.22D.328.已知O 为坐标原点,双曲线C :22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是F 1,F 2,离心率为62,点()11,P x y 是C 的右支上异于顶点的一点,过F 2作12F PF ∠的平分线的垂线,垂足是M ,||MO =若双曲线C 上一点T 满足125FT F T ⋅=,则点T 到双曲线C 的两条渐近线距离之和为A. B. C. D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知复数z=a+bi （a,b ∈R ）,其共轴复数为z ,则下列结果为实数的是A.2z B.2z C.(1)(1)z z ++ D.2023(i z z -⋅10.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线,它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy 中,M （-2,0）,N （2,0）,动点P 满足||||5PM PN ⋅=,则下列结论正确的是A.点P 的横坐标的取值范围是B.|OP |的取值范围是[1,3]C.△PMN 面积的最大值为52D.||||PM PN +的取值范围是,5]11.已知函数()sin f x x x =,则下列说法正确的有A.()f x 是偶函数B.()f x 是周期函数C.在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上,()f x 有且只有一个极值点D.（0,0）作y=()f x 的切线,有无数条12.在直平行六面体1111ABCD A B C D -中,160,2BAD AB AD AA ∠=︒===,P 为1CC 的中点,点Q 满足1([0,1],[0,1])DQ DC DD λμλμ=+∈∈.下列结论正确的是A.若1λμ+=,则四面体1A BPQ 的体积为定值B.若AQ ∥平面1A BP ,则AQC.若1A BQ △的外心为E ,则11A B A E ⋅为定值2D.若1A Q =,则点Q 的轨迹长度为23π三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知(1,2),(2,)a b t == ,若 ||||a b a b +=-,则t 的值为.14.已知a >0,若9290129()(1)(1)(1)x a a a x a x a x +=+++++++ ,且a 5=126,则a =.15.已知函数sin()(0,(0,2))y x ωϕωϕπ=+>∈的一条对称轴为6x π=-,且 ()f x 在4,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调,则ω的最大值为.16.如图,椭圆()2211221110x y a b a b +=>>与双曲线()222222221,0x y a b a b -=>有公共焦点1(,0)F c -,2(,0)(0)F c c >,椭圆的离心率为1e ,双曲线的离心率为2e ,点P 为两曲线的一个公共点,且123F PF π∠=,则221213e e +=;若I 为12F PF △的内心,1,,F I G 三点共线,GP IP ⋅= 0,x 轴上点A ,B 满足,AI IP BG GP λμ==,则22λμ+的最小值为.四、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知c =2,C =3π.(1)当2sin 2A +sin(2B +C )=sin C 时,求△ABC 的面积;(2)求△ABC 周长的取值范围.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,O 为AB 的中点,平面POC ⊥平面ABCD.AD//BC,AB ⊥BC,PA=PB=BC=AB=2,AD=3.(1)求证:平面PAB ⊥平面ABCD;(2)求二面角O-PD-C 的余弦值.19.(12分)市教育局计划举办某知识竞赛,先在A ,B ,C ,D 四个赛区举办预赛,每位参赛选手先参加“赛区预赛”,预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛,每个赛区预赛中,成功晋级并且得分最高的选手获得一次决赛中的“错题重答”特权.赛区预赛的具体规则如下:每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题.方式一:每轮必答2个问题,共回答6轮,每轮答题只要不是2题都错,则该轮次中参赛选手得20分,否则得0分,各轮答题的得分之和即为预赛得分;公众号：网课来了方式二:每轮必答3个问题,共回答4轮,在每一轮答题中,若答对不少于2题,则该轮次中参赛选手得30分,如果仅答对1题,则得20分,否则得0分.各轮答题的得分之和即为预赛得分.记某选手每个问题答对的概率均为p (0<p<1).(1)若12p =,该选手选择方式二答题,求他晋级的概率;(2)证明:该选手选择两种方式答题的得分期望相等.20.(12分)已知数列{}n a 满足14a =,当2n 时,144(1)nn n a a n n --=--.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)已知数列1n n b na =-,证明：1211149n b b b +++< .21.(12分)已知抛物线2:2(0)E y px p =>过点C (l,2),在E 上任取不同于C 的点A ,直线AC 与直线,y =x +3交于点P ,过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点B.(1)求证:直线AB 过定点;(2)求△ABC 面积的最小值.22.(12分)已知函数11()ln ,()ln (1)f x x ax g x x x a x x x=+-=+-+.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)记()f x 的零点为x 0,()g x 的极小值点为x 1,当a ∈(1,4)时,判断x 0与x 1的大小关系,并说明理由.长郡中学2023届模拟试卷(一)数学参考答案一、二、选择题2.C 【解析】根据正态分布的3σ原则,μ=60,σ=2,合格的内径尺寸范围是(54,66),则甲同学测量正确,乙同学测量错误,故选C.3.B 【解析】[,0)(0,]x ππ∈-⋃,而33sin()sin ()()()x xf x x x f x x x --=--=--≠-,且()()f x f x -≠-,即函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数,其图象关于原点、y 轴不对称,排除C 、D;而()f ππ=,排除A,故选B.4.D 【解析】由已知天池盆上底面半径是14寸,下底面半径是6寸,高为18寸,由积水深9寸知水面半径为12⨯(14+6)=10寸,则盆中水体积为()22196106105883ππ⨯⨯++⨯=(立方寸),所以平地降雨量为258814ππ=⨯3(寸),故选D.5.A 【解析】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为:8001200988.412008001200800⨯+⨯=++(小时),该地区中学生每天睡眠时间的方差为：2280012001(98.4)0.5(88.4)0.9412008001200800⎡⎤⎡⎤⨯+-++-=⎣⎦⎣⎦++.故选A.6.C 【解析】23236,log 6,log 6mnm n ==∴== ,即6611log 2log 31m n+=+=,即()m n mn m n +=≠.对于A,2,42m n m n mn m n +⎛⎫+=<∴+> ⎪⎝⎭成立.对于B,4mn m n mn =+>∴> ,成立.对于C,()222224,16()22m n m n m n mn m n +>∴<+=++<+ ,即228mn +>.对于D,222(1)(1)()22m n m n -+-=-+> 成立.故选C.7.B 【解析】,0,,sin(2)2sin 2παβαββ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭,sin[()]2sin[()],tan 0,tan 0αβααβααβ∴++=+->>,sin()cos cos()sin 2[sin()cos cos()sin ]αβααβααβααβα∴+++=+-+,即 3cos()sin sin()cos ,tan()3tan αβααβααβα+=+∴+=,即tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++,所以22tan 2tan 113tan 33tan tan αβααα==++,当且仅当13tan tan αα=,即3 tan 3α=时,等号成立,tan β取得最大值3 3.故选B.8.A 【解析】设半焦距为c ,延长2F M 交1PF 于点N,由于PM 是∠F 1PF 2的平分线,F 2M ⊥PM,所以△NPF 2是等腰三角形,所以Q|PN |=|PF 2|,且M 是NF 2的中点.根据双曲线的定义可知122PF PF a -=,即1 2NF a =,由于O 是12F F 的中点,所以MO 是△NF 1F 2的中位线,所以11||2MO NF a ===,又双曲线的离心率为 2,所以1c b ==,所以双曲线C 的方程为2212x y -=.所以12(F F ,双曲线C的渐近线方程为0x =,设(,),T u v T 到两渐近线的距离之和为S ,则S =,由22212(35FT F T u u v u v ⋅=++=+-= ,即u 2+v 2=8,又T 在22:12x C y -=上,则2212u v -=,即2222u v -=,解得226,2u v ==,由|||u v >,故S ==,即距离之和为.故选A.9.BCD 【解析】对于A ,z 2=a 2-b 2+2ab i ,不一定为实数;对于B,222z a b =+∈R ;对于C,22(1)(1)121z z z z z z a b a ++=⋅+++=+++∈R ;对于D,()506202320244(i2i2i2z z b b b -⋅===∈R .故选BCD.10.BC 【解析】设点(,)P x y ,依题意得2222(2)(2)25x y x y ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦,对于A,()2222222225(2)(2)(2)(2)4x y x y x x x ⎡⎤⎡⎤=++-++-=-⎣⎦⎣⎦,当且仅当0y =时取等号,解不等式()22425x -,得33x -,即点P 的横坐标的取值范围是[3,3]-,则A 错误;对于B,()()2222444425xy x x y x ⎡⎤⎡⎤+++++-=⎣⎦⎣⎦,则224x y ++=,显然209x ,因此||[1,3]OP ==,B 正确;对于C,.PMN △的面积115||||sin ||||222S PM PN MPN PM PN ∠==,当且仅当90MPN ∠=︒时取等号,当90MPN ∠=︒时,点P 在以线段MN 为直径的圆224x y +=上,由22224,4x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得39,45,4x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩所以PMN △面积的最大值为52,C 正确;对于D,点(3,0)在动点P 的轨迹上,当点P 为此点时,|PM |+|PN |=5+1=6,D 错误.故选BC.11.AC 【解析】显然()()f x f x -=,A 正确;B 错误;对于C,()sin cos ,()2cos sin f x x x x f x x x x '=-'=+',当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x ''<,则()f x '单调递减,又10,()02f f πππ⎛⎫=>'=-<⎪⎝⎭',故()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个解,C 正确;对于D,设切点为(,())P t f t ,则切线方程为sin (sin cos )()y t t t t t x t -=+-,代入(0,0),有2cos 0t t =,得t =0或,2t k k ππ=+∈Z .若0t =,则切线方程为0y =;若,2t k k ππ=+∈Z ,则切线方程为y x =±,故有且仅有3条切线,D 错误.故选AC.12.ABD 【解析】对于A,因为1([0,1],[0,1]),1DQ DC D λμλμλμ=+∈∈+=,所以1,,Q C D 三点共线,即点Q 在CD 1上,因为CD 1//A 1B,CD 1∈平面A 1BP ,A 1B ⊂平面A 1BP ,所以CD 1//平面A 1BP ,所以点Q 到平面A 1BP 的距离为定值,因为△A 1BP 的面积为定值,所以四面体A 1BPQ 的体积为定值,A 正确;对于B,取DD 1,D C 的中点分别为M,N ,连接AM,MN,AN ,则AM//BP,因为AM ⊄平面A 1BP ,BP ⊂平面A 1BP ,所以AM ∥平面A 1BP ,因为MN ∥CD 1,A 1B ∥CD 1,所以MN ∥A 1B ,因为MN ⊄平面A 1BP ,1A B ⊂平面A 1BP ,所以MN ∥平面A 1BP ,因为MN ⋂AM=M,MN,AM ⊂平面AMN ,所以平面AMN ∥平面A 1BP ,因为AQ ∥平面A 1BP ,所以AQ ⊂平面AMN ,又Q 在平面CDD 1C 1上,故点Q 在线段MN 上,所以当AQ ⊥MN 时,AQ 最小,因为160,2BAD AB AD AA ∠=︒===,所以AM=,MN=,AN==,所以222AM MN AN +=,所以Q,M 重合,所以AQ正确;对于C,若1A BQ △的外心为E ,过E 作EH 1A B ⊥于H ,因为1A B ==,所以11A B A E ⋅= 21142A B = ,C 错误;对于D,过A 1作111AO C D ⊥于点O ,因为DD 1⊥平面1111A B C D ,1AO ⊂平面1111A B C D ,所以DD 1⊥1AO ,因为1111111,,C D DD D C D DD ⋂=⊂平面11,DD C C 所以1A O ⊥平面11DD C C ,111cos13OD A D π==在DD 1,D 1C 1上取点A 3,A 2,使得13121D A D A ==,则1312322A A A A OA OA =====,所以若A 1Q =,则Q 在以O 为圆心,2为半径的圆弧 23A A 上运动,因为1131,D O D A ==,所以323A OA π∠=,则圆弧 23A A 等于23π,D 正确.故选ABD.三、填空题13.-1【解析】(1,2),(2,)a b t == ,故可得(3,2),||a b t a b +=++=,(1,2),||a b t a b -=---=||||a b a b +=-,=,整理得88t =-,解得1t =-.14.2【解析】因为9290129()(1)(1)(1)x a a a x a x a x +=+++++++ ,将原式变形为9[(1)1]x a ++-,通项为919C (1)(1)r rr r T x a -+=+-,5126a =对应5(1)x +的系数,故得到95,4r r -==,系数为449C (1)1260a a -=⇒=或2.故正实数a 的值为2.15.83【解析】函数sin()(0,(0,2))y x ωϕωϕπ=+>∈的对称轴可以表示为(),()6k x k f x ππω=-∈Z 在4,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调,则 k ∃∈Z ,使得,6 (1)4,63k k πππωπππω⎧-⎪⎪⎨+⎪-⎪⎩,解得62(1)73k k ω+,由62(1)73k k +,得3k ,当3k =时,的最大值为83.16.41+32(第一空2分,第二空3分)【解析】不妨设P 在第一象限,12,PF m PF n ==,则1212122,2,,m n a m n a m a a n a a +=-=∴=+=-,在12F PF △中,()()()()22222121212124c m n mn a a a a a a a a =+-=++--+-,即2222212122221231343,4a a c a a e e c +=+∴+==.由12121121212 ,2F A F A F A F A AI c AI IP e IP F P F P F P F P a λλ+=∴======+ ,由0GP IP ⋅=,知PA PB ⊥,又PA 平分12F PF ∠,可得出PB 是12F PF ∠的外角平分线,又BG GP μ= ,121221212222BF BF BF BF BG ce GP PF PF PF PF a μ-∴======-,()2222222221121222221212311311313(414442e e e e e e e e e e λμ⎛⎫⎛⎫∴+=+=++=++++=+⎪ ⎝⎭⎝⎭,当且仅当2221e =取得最小值.故最小值为12+.四、解答题17.【解析】（1）由A B C π++=,得4sin cos sin()sin()A A B A A B ππ++-=--,即4sin cos sin()sin()A A A B A B +-=+,即2sin cos cos sin A A A B =,当cos 0A =时,,26A B ππ==,得4323,33a b ==;当cos 0A ≠时,sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a =,联立224, 2,a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩.解得2343,33a b ==,故三角形的面积为123sin 23ABC S ab C ==△.（2）法一：由余弦定理可得:224a b ab +-=,由22()()43434a b a b ab ++=++得4a b +,当且仅当a=b 取等号.又a b c +>,即2,46a b a b c +>∴<++.即ABC △周长的取值范围是（4,6］.法二:222,,,0,3333C A B B A A ππππ⎛⎫=∴+=∴=-∈ ⎪⎝⎭,ABC △中,由正弦定理有2sin sin sin 3a b A B π===,公众号：网课来了22sin )2sin sin 3a b c A B A A π⎡⎤⎛⎫∴++=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1524sin cos 24sin ,,226666A A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=++=++<+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 1,4626A a b c π⎛⎫∴<+∴<++ ⎪⎝⎭.即ABC △周长的取值范围是（4,6].说明:未分cos A=0,扣1分.18.q 【解析】（1）//,,2,3AD BC AB BC BC AB AD ⊥===,222OC OD CD OD OC DC ∴====+,由勾股定理逆定理,OC CD ∴⊥,又平面POC ⊥平面ABCD,又平面POC ⋂平面ABCD=OC ,∴CD ⊥平面POC ,又PO ⊂平面POC,,,CD PO PA PB AB O ∴⊥== 为AB 的中点,PO AB ∴⊥,又AB,CD 相交,:.PO ⊥平面ABCD,∵PO ⊂平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面ABCD .（2）如图建立空间直角坐标系O -xyz ,则P （,D （-1,3,0）,C(l,2,0),(1,3,0),(1,2,(2,1,0)OP OD CP CD ∴==-=--=-.设平面OPD 的一个法向量为()111,,m x y z = ,平面PCD 的一个法向量为()222,,n x y z =,则由0,0,OP m OD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1110,30,x y =-+=⎪⎩取11y =得113,0x z ==,即(3,1,0)m = ,由0,0,CP n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得2222220,20,x y x y ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩取2x =,得225y z ==,即3cos ,4||||m n n n m n ⋅=∴==,显然二面角O-PD-C 为锐角,故二面角O-PD-C的余弦值为4.19.【解析】(1)该选手选择方式二答题,记每轮得分为X ,则X 可取值为0,20,30,且32013311113(0),(20)28228P X C P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅===⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2323331111(30).2222P X C C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记预赛得分为Y ,432243244411313(100)(120)(110)(100)22828P Y P Y P Y P Y C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+==+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭59128=.所以该选手选择方式二答题晋级的概率为59128.(2)①该选手选择方式一答题：设每轮得分为ξ,则ξ可取值为0,20,且22(0)(1),(20)1(0)2P p P P p p ξξξ==-==-==-,()20(2)E p p ξ∴=-.设预赛得分为Y 1,则()116,(6)6()120(2)Y E Y E E p p ξξξ====-.②该选手选择方式二答题：设每轮得分为ζ,则ζ可取值为0,20,30,且3223(0)(1),(20)3(1),(30)3(1)P p P p p P p p p ζζζ==-==-==-+,223()60(1)303(1)30(2)E p p p p p p p ζ⎡⎤∴=-+-+=-⎣⎦.设预赛得分为Y 2,则()224,(4)4()120(2)Y E Y E E p p ζζζ====-.因为()()12E Y E Y =,所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等.20.【解析】(1)当2n 时,144(1)n n n a a n n --=--,两边同除4n 后得1111441n n n n a an n ---=--,公众号：网课来了1212114412n n n n a an n -----=---,…21211442aa-=-,上式累加得14,4nn n n a a n n =∴=,又1n =时,14a =满足该式,故4nn a n=.（2）由1111141,441344134n n n n n n n n b na b ----=-=-∴=⋅-=⋅+-⋅,11134n n b -∴⋅,当1n =时,111439b =<,当2n 时,2112111111113444n n b b b -⎛⎫+++<++++ ⎪⎝⎭ 1111414411394914n n ⎛⎫⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-< ⎪⎝⎭-.21.【解析】(1)法一：由抛物线E ：y 2=2px (p >0)过点C (l,2),得p =2,.∴抛物线E ：y 2=4x ,设()2000020024,2,,4214AC y y A y y k y y ⎛⎫-≠== ⎪+⎝⎭-∴直线04:2(1)2AC y x y -=-+,即0002422y y x y y =+++,与3y x =+联立解得交点00006212,22y y P y y ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭,∴()()2002006212,22y y B y y ⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭,公众号：网课来了当2012y ≠时,()()220020642y y y -≠-,直线AB 的方程为2000202434y y y y x y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-,即()2000202412y y y x y y --=--,即()2000202412y y y y x y --=--过定点Q (3,2);当2012y =时,()0002123,,3,2y A y B y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭,直线AB 过定点Q (3,2).即直线AB 过定点Q (3,2).法二：由抛物线2:2(0)E y px p =>过点C (1,2),得p =2,∴抛物线2:4E y x =,设直线:AB x my t =+,与抛物线方程联立得:2440,Δ0y my t --=>,设()()1122,,,A x y B x y ,则12124,4y y m y y t +==-,又()223,P y y -,∵直线AP 过定点C (l,2),212122311y y y x --∴=---,111212,(1)(24)(1)260x my t m y y m y t y t =+∴---++--= ,1(23)(246)0m t y t m ∴-+-++-=,即()1(23)20m t y -+--=对任意12y ≠都成立,230m t ∴-+-=,即23t m =-+,∴直线:32(2)3AB x my m m y =+-=-+,即直线AB 过定点Q (3,2).(2)由(l):(2)3AB x m y =-+,联立24y x =,消去x ,得244(23)0,Δ0y my m -+-=>,则12124,4(23)y y m y y m +==-,∴当m =1时,ABC △面积的最小值为.22.【解析】(1)由222111 0,()ax x x f x a x x x +++'+>==,①若a 0,则()0,()f x f x >∴'在(0,)+∞上单调递增;②若a<0,令()0f x '>,则11402x a -<<,令()0f x '<,则1142x a ->,()f x ∴在1140,2a ⎛- ⎝⎭上单调递增,在114,2a ⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.(2)有01x x >，证明：由21()ln (0)g x x a x x '=-+>,设21()ln h x x a x =-+则312()0,()h x h x x x=+>∴'在(0,+∞)上单调递增,即()g x '在(0,+∞)上单调递增.又1(1)10,ln 2402g a g a ⎛''⎫=->=--+< ⎪⎝⎭,公众号：网课来了∴存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使()20,()g x g x =∴'在()20,x 单调递减,在()2,x +∞上单调递增,2x ∴为()g x 的极小值点,故21x x =.由()212112211110,,ln 0,ln g x x x x a a x x x '==∴-+=∴=,()()111111112111111ln ln ln 1ln f x x ax x x x x x x x x ⎛⎫∴=+-=+--=- ⎪⎝⎭,又()()()1211101,1,1ln 02x x f x x x f x ⎛⎫=∈∴=-<= ⎪⎝⎭,由（1）知a >0时,()f x 在(0,+∞)上单调递增,01x x ∴>.。

长郡中学学生高三数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的图像的对称中心是（）A. (0, 2)B. (1, -1)C. (1, 2)D. (0, -1)2. 若向量a = (1, 2)，向量b = (2, -1)，则|a + b|的值为（）A. 5B. 3C. 2D. 13. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 = 9，a4 + a5 + a6 = 27，则a1 + a6的值为（）A. 15B. 18C. 21D. 244. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f(2) = 4，f(3) = 6，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在三角形ABC中，AB = AC，点D是BC边的中点，AD = 3cm，BD = 4cm，则BC 的长度为（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm6. 已知复数z = 2 + 3i，则|z|^2的值为（）A. 13B. 17C. 23D. 277. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1 + a2 + a3 = 6，a4 + a5 + a6 = 18，则a1的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2 + b^2 = 2c^2，则△ABC的形状是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 梯形10. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，若f(x)在区间[1, 2]上单调递增，则f(1)与f(2)的大小关系是（）A. f(1) > f(2)B. f(1) < f(2)C. f(1) = f(2)D. 无法确定二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，则f(x)的图像的顶点坐标是______。

长郡中学高三数学考试卷

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的对称中心为（）A. (0, 0)B. (1, 0)C. (-1, 0)D. (3, 0)2. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则loga > logbC. 若a > b > 0，则a^3 > b^3D. 若a > b，则1/a < 1/b3. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n - 1，则数列{an}的前n项和S_n为（）A. 2^n - nB. 2^n + nC. 2^n - n - 2D. 2^n + n + 24. 下列复数中，属于纯虚数的是（）A. 3 + 4iB. 3 - 4iC. 4 + 3iD. 4 - 3i5. 函数y = log_2(x - 1)的图像与函数y = 2^x的图像的交点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角C的余弦值为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 17. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像关于点（）A. (1, 0)B. (2, 0)C. (0, 2)D. (2, 2)8. 已知等差数列{an}的前n项和为S_n，公差为d，若S_5 = 20，S_8 = 56，则数列{an}的第六项a_6为（）A. 6B. 8C. 10D. 129. 在平面直角坐标系中，直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相交于两点A、B，若AB的长度为√2，则k的取值范围是（）A. (-1, 1)B. (-√2, √2)C. (-√3, √3)D. (-∞, +∞)10. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

长郡中学数学高三考试卷

1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的对称中心是（）。

A. (0, 2)B. (0, -1)C. (1, 0)D. (1, 2)2. 若等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项an=（）。

A. 19B. 21C. 23D. 253. 在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与圆x^2+y^2=4相交于A、B两点，若OA=OB，则k的取值范围是（）。

A. (-√2, √2)B. (-√2, √2)∪{0}C. (-√2, √2]D. [√2, √2]4. 已知向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）。

A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/55. 函数y=2^x在定义域内的增减性为（）。

A. 增函数B. 减函数C. 增减性不确定D. 先增后减6. 已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则前n项和S_n=（）。

A. 2^n - 1B. 2^n + 1C. 2^n - 2D. 2^n + 27. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，c=8，则角A的余弦值为（）。

A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/48. 已知复数z=3+4i，则|z|^2=（）。

A. 9B. 16C. 25D. 499. 在等差数列{an}中，若a1=2，d=3，则第10项an=（）。

A. 28B. 30C. 32D. 3410. 已知函数y=ln(x+1)，则函数的定义域为（）。

A. (-1, +∞)B. (-∞, -1)C. [0, +∞)D. (-∞, 0)11. 若函数f(x) = x^2 - 2ax + a^2在区间[1, 3]上单调递增，则a的取值范围是__________。

12. 已知等差数列{an}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_5=25，则公差d=__________。

13. 已知复数z=3-4i，则z的模|z|=__________。

数学试卷长郡版高三

1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数，且f(1) = 2，f'(1) = 4，f''(1) = 6，则f(2)的值为（）A. 10B. 12C. 14D. 162. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 15，S10 = 50，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的取值范围是（）A. 实轴B. 纯虚轴C. 虚轴D. 第一象限5. 已知数列{an}满足an = an-1 + 2n - 1，且a1 = 1，则数列{an}的前10项和S10为（）A. 110B. 120C. 130D. 1406. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，则f'(x)的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，公差d = 2，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2n + 1B. an = 2n - 1C. an = n + 2D. an = n - 28. 已知函数f(x) = log2(x - 1)，则f(x)的定义域为（）A. (1, +∞)B. (-∞, 1)C. (-∞, 0)D. (0, +∞)9. 在直角坐标系中，点A(2, 3)，B(-1, 2)，则直线AB的斜率为（）A. 1B. -1C. 2D. -210. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，公比q = 3，则数列{an}的前5项和S5为（）A. 54B. 108C. 162D. 25211. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 12，S5 = 30，则公差d的值为______。