届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学(文)试题(解析版)

2017届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学（文）试题

一、选择题

1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．

【答案】A

【解析】试题分析：,故选A.

【考点】集合的运算.

2．设是虚数单位，则复数（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】试题分析：,故选B.

【考点】复数的运算.

3．已知，，则（）A．1 B．C．D．

【答案】C

【解析】试题分析：因为，所以，故选C.

【考点】向量的坐标运算.

4．分别在区间和内任取一个实数，依次记为和，则的概率为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】试题分析：分别在区间和内任取一个实数，依次记为和，则点构成的平面区域为一矩形，在矩形内且的区域为梯形，如下图所示，所以所求概率

，故选A.

【考点】几何概型.

5．在如图所示的算法流程图中，输出的值为（）

A．11 B．12 C．13 D．15

【答案】D

【解析】试题分析：此程序框图所表示的算法功能为

，故选D.

【考点】程序框图.

6．将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象可能为（）

【答案】D.

【解析】试题分析：将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数解析式为，故选D.

【考点】1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.

7．某棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该棱锥的体积等于（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥，所以其体积，故选B.

D C

A B

【考点】1.三视图；2.多面体的体积.

8．已知点和在直线的同侧，则直线倾斜角的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】试题分析：因为点和在直线

的同侧,

所以，即，所以，又直线的斜率，即，所以倾斜角的范围为，故选D.

【考点】1.直线的倾斜角与斜率；2.线性规划.

9．若不等式组表示的区域，不等式表

示的区域为，向区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域中芝麻约为（）

A．114 B．10 C．150 D．50

【答案】A

【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示，其中芝麻落在区域内的概率为

，所以落在区域中芝麻约为,故选A.

【考点】1.线性规划；2.几何概型.

【名师点睛】本题考查几何概型与线性规划，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过线性规划相关知识来完成的，把线性规划与几何概型有机的结合在一起是本题的亮点.

10．已知双曲线的右焦点也是抛物线

的焦点，与的一个交点为，若轴，则双曲线的离心率为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】试题分析：由题意可知，所以，即，所以，解之得，故选A.

【考点】1.双曲线的标准方程与几何性质；2.抛物线的标准方程与几何性质.

11．已知函数且，则

（）

A．50 B．60 C．70 D．80

【答案】A

【解析】试题分析：由题意可知，，，，，所以

，故选A.【考点】1.数列的表示；2.数列求和.

【名师点睛】本题考查数列的表示以及数列求和，属中档题；数列求和问题是高考常考内容之一，数列求和的主要方法有：1.公式法；2.分组求和法；3.倒序相加法；4.错位相减法；5.裂项相消法.其中错位相减法与裂项相消法是考试的重点内容，本题主要采用的是分组求和法.

12．若函数的导函数在区间上有零点，则

在下列区间上单调递增的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】试题分析：函数的导函数在区间上有零点,由得，所以,且函数的单调递增区间为，所以函数在区间

上单调递增，故选D.

【考点】1.导数与函数的单调性；2.函数与方程

【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与方程，属中档题；导数与函数的单调性是高考的必考内容，也是难点，导数与单调性关系：单调递增，单调递减；反之，当在某个区间上单调递增，当在某个区间上单调递减.

二、填空题

13．已知，为的导函数，，则.

【答案】

【解析】试题分析：因为,所以

.

【考点】导数的运算.

14．若满足约束条件，则的最大值为.

【答案】

【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示的三角形

区域，由图可知，目标函数取得最大值时的最优解为，此时.

【考点】线性规划.

15．抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则.

【答案】

【解析】试题分析：抛物线的焦点为,准线方程为，与双曲线的交点为

，又若为等边三角形，

所以，解之得：.

【考点】1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.

【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质与双曲线的标准方程与几何性质，属中档题；高考对圆锥曲线的考查主要是

考查定义、标准方程、几何性质，小题和大题中均有.本题主要考查双曲线与抛物线的对称性的应用.

16．若定义在区间上的函数满足：对，使得恒成立，则称函数在区间上有界，则下列函数中有界的是.

①；②；③；④；⑤

，其中.

【答案】①④⑤

【解析】试题分析：因为，所以为有界函数；

，无上界，所以②不是有界函数；的值域为，是无界函数；,因为，所以，即，所以是有界函数；对于⑤，函数为实数上连续函数，所以在区间上一定有最大值和最小值，所以是有界函数，故应填①④⑤.

【考点】1.新定义问题；2.值域及求法.

【名师点睛】本题主要考查新定义问题、值域及求法.函数值域的求解是难点，主要方法有：配方法、单调性法、数形结合法、换元法、基本不等式法、导数法、利用已知函数的有界性法等方法.

三、解答题

17．已知函数在处取最小值.