专题二十完全平方数
完全平方数
一、 求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为32257⨯⨯，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。
(包括1和1400本身)2、 求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=二、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
5、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-例题精讲知识点拨例1、数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?百炼成钢1、1、126共有几个约数？全部约数和是多少？2、240共有几个约数？全部约数和是多少？3、324共有几个约数？全部约数和是多少？例2、写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．百炼成钢2、1、写出从1到200的自然数中有奇数个约数的数．2、 1～500中有奇数个约数的数有哪些？例3：求只有8个约数且不大于40的自然数。
百炼成钢3：1、共有8个不同约数，且小于120的自然数有哪些？2、有12个不同约数的最小自然数是多少？3、有10个不同约数的最小自然数是多少？例4：某自然数是4和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少？百炼成钢4：1、某自然数是9和2的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少2、某自然数是9和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少3、一本故事书，如果每天读70页，5天读不完，6天又有余。
第 9 讲 完全平方数(学习指导)
第9讲完全平方数第一部分基本知识点——这是重中之重一个自然数平方后所得到的数叫完全平方数，也叫平方数。
0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……都是完全平方数，同学们要数记前20个完全平方数。
观察这些完全平方数，可以得到完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9。
推论：个位数是2，3，7，8的整数一定不是完全平方数；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。
性质3：完全平方数除以3余0或1；完全平方数除以4余0或1；。
性质4：如果一个完全平方数的个位数字是6，则是位数字是奇数。
性质5：完全平方数分解质因数后，每个质因数的次数都是偶数。
性质6：一个正整数如果是完全平方数，那么它有奇数个约数(包括1和它本身)。
一个正整数如果它有奇数个约数(包括1和它本身)，那么它是完全平方数。
约数个数为3的自然数一定是某个质数的平方。
性质7：平方差公式A2－B2＝（A＋B）（A－B），其中A＋B与A－B的奇偶性相同。
第二部分学案[学案1] 完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，可是个位数字是0、1、4、5、6、9的不一定都是完全平方数，那么我们定义：个位数字是0、1、4、5、6、9且不是完全平方数的自然数为“伪平方数”，那么在两位数中，偶数与伪平方数那个多？分析：⑴两位数从10到99共90个，其中偶数90÷2＝45（个）。
⑵两位数中个位数字是“0、1、4、5、6、9”的有6×9＝54（个），其中完全平方数有16、25、36、49、64、81这6个，伪平方数有54－6＝48个。
⑶两位数中偶数45个，伪平方数48个，伪平方数比偶数多。
[学案2] 将16分解成若干个质数（可以相同）相加的形式，如果这些质数的乘积正好是平方数，那么这个平方数可能是几？分析：⑴要使这些质数的乘积是完全平方数，那么质数必须成对出现，我们把16分成8＋8的两组，每组用相同的方式分解成一些质数相加的形式即可。
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c，如果可以写成形式(a ± b)^2，那么它就是一个完全平方。
完全平方公式可以用来因式分解一元二次方程，也可以用来求解一元二次方程的根。
完全平方公式可以表示为，(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
这个公式可以帮助我们将一个二次三项式写成一个完全平方，从而更容易地进行因式分解或求解方程。
从代数的角度来看，完全平方公式是二次多项式的一个重要性质。
它可以帮助我们理解二次多项式的因式分解和根的性质。
当我们遇到一个二次多项式时，可以通过完全平方公式来判断它是否可以因式分解为两个一次多项式的平方。
从几何的角度来看，完全平方公式可以帮助我们理解平方的几何意义。
一个完全平方可以表示为一个正方形的面积，其中边长为(a ± b)。
这有助于我们直观地理解完全平方的概念，以及它在代数中的应用。
从应用的角度来看，完全平方公式在物理、工程等领域也有广
泛的应用。
例如，在物理学中，完全平方公式可以用来分析二次函数的最值和零点，从而帮助我们理解物体的运动规律和力学性质。
总的来说，完全平方公式是代数中一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解二次多项式的性质，还可以应用到实际问题中去。
通过多个角度的理解和应用，我们可以更好地掌握完全平方公式的概念和用法。
第二讲 完全平方数
第二讲 完全平方数定理1 完全平方数的个位数只能是0，1，4，9，6，5．逆否命题：个位数是2,3,7,8（52k ±型）的整数一定不是完全平方数．定理2 一个奇数的平方的十位数是偶数．逆否命题：定理3 如果一个完全平方数的个位数是6，那么它的十位数一定是奇数．定理4 奇数的平方仍然是奇数，并且被4除余1，偶数的平方是偶数，并且一定能被4整除． 推论１ 两个整数的平方和被4除的余数只能是0,1,2．即一个整数被4除余3，这个数一定不能表示成两个整数的平方和．推论2 两个整数的平方差被4除的余数只能是0,1,3．即一个整数被4除余2，这个数一定不能表示成两个整数的平方差．推论3 两个奇数的平方和一定不是完全平方数．定理5 凡是不能被3整除的整数的平方被3除余1，凡是3的倍数的平方一定能被3整除． 定理6 在两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数．定理7 一个正整数是完全平方数的充分且必要条件是它的约数个数一定是奇数．结论：若整数a 是下列情况之一，则一定不是完全平方数：（1）个位数是2，3，7，8的数；（2）个位数和十位数都是奇数的数；（3）个位数是6，十位数是偶数的数；（4）被4除余数是2或3的数；（5）被8除余数是2，3，5，6，7的数；（6）被3除余数是2的数；（7）在相邻两个完全平方数之间的数；（8）所有约数的个数是偶数的数．例1：如果2()f x x x =+，证明方程4()()f a f b =没有正整数解a 和b ．【分析】设a 、b 是方程4()()f a f b =的正整数解，则2244a a b b +=+，22440a a b b +--=解得：a =2222121(1)b b b b b b <++<++=+，所以21b b ++不是完全平方数，则a N *∉，得证．例2：设a 与b 为任意给定的整数，试证明方程210530x ax b +++=和210530x ax b ++-=都没有整数根．【分析】求根得：1,25x a =-22553a b -±不是完全平方数，因为2225535(5)3a b a b -±=-±，而25(5)a b -的个位数字为0或5，所以25(5)3a b -±的个位数字为2,3,7,8，由定理1知22553a b -±不是不是完全平方数．例3：求证：边长和对角线都是整数的矩形的面积是6的倍数．【分析】设矩形边长为,x y ，对角线长为z ，且,,x y z N *∈，则本题即为：若整数,,x y z 满足222x y z +=，则6|xy .①首先证明,x y 中至少一个是偶数．否则，若,x y 都是奇数，则22x y +为42k +（或82k +）型数，与结论（4）（或结论（5））矛盾，故,x y 中至少一个是偶数；②下再证明,x y 中至少一个是3的倍数．否则22,x y 皆为31k +型数，22x y +为32k +型数，但2z 不可能为32k +型（由结论（6）），所以,x y 中至少一个是3的倍数．又(2,3)1=，得证． 例4：求证：没有整数a ,b ,c 满足2286a b c +-=．【分析】假设存在整数a ,b ,c 满足2286a b c +-=，即2286a b c +=+．若a ,b 均为奇数，则22a b +为82k +型数，而等式右边为86c +，矛盾；若a ,b 均为偶数，则22a b +为4的倍数，而86c +不是4的倍数，矛盾；若a ,b 一奇一偶，则22a b +为奇数，而86c +是偶数，仍然矛盾，得证．例5：求22222a b c a b ++=的所有整数解．（1）若0c =，则2222a b a b +=，可知a b b a 且，所以a b =，即有2240a b a a +=⇒=或a =a Z ∈，所以0a b c ===满足方程．（2）若0c ≠，先证明0a ≠，0b ≠．否则，若0a =，则220b c +=．所以0b c ==与0c ≠矛盾．同理，若0b =，矛盾．①若c 为奇数，显然a b 、不同为偶数，当a b 、同为奇数，由于222,,a b c 同为41k +型，则222a b c ++为43k +型，而22a b 为41k +型，矛盾．当a b 、一奇一偶，222a b c ++为42k +型，22a b 为4k 型，矛盾．故若c 为奇数，方程无整数解．②若c 为偶数，当a b 、同为奇数，222a b c ++为42k +型，22a b 为41k +型，矛盾．当a b 、一奇一偶，222a b c ++为41k +型，22a b 为4k 型，矛盾．当a b 、同为偶数，则a b c 、、全为偶，不妨设2m a α=⋅，2n b β=⋅，2t c γ=⋅，其中αβγ、、为奇数，*m n t N ∈、、，于是22222222222222m n t m n αβγαβ+⋅+⋅+⋅=⋅⋅首先不可能有m n t ==，否则222222222()2(2)m m m αβγαβ++=⋅⋅，222αβγ++=2222m αβ⋅⋅，左奇右偶，矛盾．所以m n t 、、不可能全相等． 下证m 不可能是m n t 、、中最小的，否则两边同除以2m，得 22222n m αβ-+⋅+22222222t m n γαβ-⋅=⋅⋅，左奇右偶，矛盾．同理，n 不可能是m n t 、、中最小的．故t 最小，但222222222222222m t n t m n t αβγαβ--+-++=，仍有左奇右偶，矛盾． 例6：求一个三位数，使它等于2n ，并且各位数字之积等于1n -．设210010A n a b c ==++，其中,,a b c 为0,1,2, ,9中的某个数字，且0,2,3,7,8a c ≠≠．由条件，有：1abc n =-，显然0c ≠，否则1n =，A 不是三位数．若c 为偶数，则1abc n =-为偶数，n 为奇数，2n 也为奇数，矛盾．所以 1,9,5c =，下面只需在三位完全平方数中逐一筛查，得361A =．例7：求证：任意六个连续正整数的积不可能是一个整数的立方．【分析】首先证明对任意7n ≥且n N ∈，有33(3)(4)(6)(4)n n n n n +<++<+ 3(4)(6)(3)n n n n ++-+23270n n =-->，3(4)(4)(6)n n n n +-++22(1232)n n =++2(4)(8)0n n =++>设相邻6个正整数为,1,2,3,4,5a a a a a a +++++，则(1)(2)(3)(4)(5)a a a a a a +++++[(5)][(1)(4)][(2)(3)]a a a a a a =+++++222(5)(54)(56)a a a a a a =+++++.设25n a a =+，则6n ≥.当6n =时，61012720⨯⨯=不是一个整数的立方；当7n ≥时，由引理可知2322223(53)(5)(54)(56)(54)a a a a a a a a a a ++<+++++<++，而相邻两个立方数之间不可能有完全立方数，得证.※例8：求使23m n +为完全平方数的所有正整数m 、n ．【分析】设223m n x =+，则2x 必为奇数，且不能被3整除，于是2x 为31k +型，则2m也31k + 为型．当m 为奇数时，设21m t =+，则2122242(31)m t t t +==⋅=⋅+，由二项式定理知：(31)t +被3除余1．所以2m 为32k +型，矛盾．从而m 为偶数，设2m s =，则 2223s n x +=，因为2x 被4除余1，而242s ．所以3n 被4除余1．若n 为奇数，设21n k =+，则213393(81)k k k +=⋅=+，因为(81)k k +为4+1型．所以213k +为43k +型 ，矛盾．故n 为偶数，设2n q =，则22223s q x +=，22(3)(3)s q q x x =+-，所以3q x +与3q x -都是2 的幕的形式．设32q a x +=，则232q s a x --=，解得：121322q a s a ---=-，左奇，所以212121021s a s a s a --=⇒--=⇒=+，12232121q a s --=-=-，所以22231s q -=+，若q 为奇数.2212231(31)(33+1)s q q q ---=+=+-+ ……，242s -∴=1233q q ---+……1+，若1q >，上或右偶右奇，矛盾，1q ∴=，2421s -∴=，2,3,24s a m s ====，22n q ==，即422235+=课后练习：1．证明125n +型的数不可能是完全平方数．2．证明(1)n n +不是完全平方数．3．当22d n （表示d 整除22n ），n 和d 是正整数时，求证2n d +不是完全平方数．4．求证：任意相邻的四个正整数之积不是完全平方数．5．证明对所有正整数n ，22n n ++不可能被15整除．6．求证：两位或两位以上的平方数，至少含有两个不同的数字．7．求证：对于数31n N =+（1）当n 为偶数时，N 能被2整除；（2）当n 为奇数时，N 能被22整除；（3）不论n 为奇数还是偶数，它不能被2的更高次幂整除．8．求证：对任意的正整数n 、k ，622411k k nn ++不是完全平方数． ※9．求证：若整数a ，b ，c 满足222a b c +=，则a ，b ，c 至少有一个是5的倍数．※10．求证：相邻四个正整数的四次幂的和不可能是另一个正整数的四次幂．※11．已知a ，b 为正整数，当22a b +被a b +除时，所得的商为q ，余数为r ，求所有的正整数a 和b ，使得21977q r +=．《完全平方数》课后练习参考答案1．因为1253(41)2n n +=++，而32k +型的数不可能是完全平方数．2．由于222221(1)n n n n n n <+<++=+，所以2(1)n n n n +=+不是完全平方数．3．由于22d n ，则22n md =，其中m 是整数．若2n d +是完全平方数，设22n d x +=，则22222m n m d m x +=，222222m n n m m x +=，2222(2)n m m m x +=．如果上式成立，22m m +应为完全平方数，然而2222(1)m m m m <+<+，所以22m m +不可能是完全平方数，于是产生矛盾．4．设相邻四个整数为m ，1m +，2m +，3m +，则(1)(2)(3)A m m m m =+++ 22(31)1m m =++-．因为2222(3)(31)m m A m m +<<++，所以A 不是完全平方数．5．假定22n n ++能被15整除，设2215n n k ++=，22150n n k ++-=，n =607k -的个位数是3，所以607k -不是完全平方数，所以n 不可能是整数．6．由于完全平方数的个位数只能是0，1，4，9，6，5．（1）若平方数的个位数是1，5，9，则它的十位数是偶数，显然有两位数字不同；（2）若平方数的个位数是6，则它的十位数是奇数，也是两位数字不同；（3）若平方数的个位数是0，若它的十位数不是0，则已有两位数字不同，若它的十位数是0，则百位，千位，…至少有一位不是0，否则与已知二位或二位以上数字相矛盾；（4）若平方数的个位数字是4，它的十位数是偶数．若十位数不是4，则已有两位数字不同；若十位数字是4，而百位，千位，…有一位不是4，则也有两位数字不同．若各位数字都是4，则4444111=⨯ ．由于11…1不是完全平方数（否则，若是完全平方数，由位数是1，十位数应是偶数，这是不可能的），而4是完全平方数，显然它们的积4111444⨯= 不是完全平方数．由（1）（2）（3）（4）可知，两位或两位以上的完全平方数一定有两个数字不同．7．由于3n 是奇数，而任何奇数的平方被8除1．（1）当n 为偶数时，设2n m =，由于223131(3)1(81)1n m m M +=+=+=++，其中M 是整数．于是312(41)n M +=+．所以n 为偶数时，31n +能被2整除；（2）当n 为奇数时，设21n m =+，由于2123133313(81)1n m m a M ++=+=⋅+=++ 4(61)M =+，所以n 为奇数时，31n +能被242=整除；（3）由（1）（2），41M +和61M +都是奇数，所以31n +不可能被2的更高次幂整除．8．设2k t n =，设原式为A ，则32411A t t =++22(2)92t t =+++，若t 能被3整除，则22(2)t t +能被3整除，于是A 为32m +型．若t 不能被3整除，则22t +能被3整除，于是A 也为32m +型．因为32m +型的数不可能是完全平方数，所以A 不是完全平方数．9．首先证明一个不能被5整除的整数的平方一定是51k ±型．这是因为一个不能被5整除的整数可表为51m ±，52m ±型．而22(51)5(52)1m m m ±=±+，22(52)5(541)1m m m ±=±+-．下面证明本题．假定a ，b ，c 中任何一个都不是5的倍数，则2a ，2b ，2c 一定都是51k ±型．（1）若2a 和2b 都是51k +型或都是51k -型，则222a b c +=是52k ±型．但能被5整除的数的平方为5k 型，不能被5整除的数的平方为51k ±，于是2c 不可能为52k ±型，即产生矛盾；（2）若2a 和2b 中一个是51k +型，另一个是51k -型，则22a b +是5k 型，此时c 能被5整除，与假定不符．所以a ，b ，c ，中至少有一个是5的倍数．10．注意到奇数的平方为41k +型，则奇数的四次方也为41k +型，而偶数的四次方为4k 型． 由于相邻四个整数的四次幂的和是两个奇数和两个偶数的四次幂的和，因而是42k +型；但42k +型的数不可能是一个整数的四次幂．11．由0r ≥及21977q r +=知21977q ≤，44.4q ≤=…，这样q 和r 的取值只能是(44,41)，(43,128)，(42,213)，…另一方面：22()a b a b q r +=++，r a b <+， 则：222222()()11()2()2()22a b a b a b a b r a b a b a b +++=≥=+>+++．于是12q r >或112q r >-． 而43q ≤时，128r ≥，1632r q -≥>，所以不可能有43q ≤． 这样q 和r 的取值只能是44q =，41r =．此时有等式2244()41a b a b +=++，配方得 22(22)(22)1009a b -+-=．设22(22)x a =-，22(22)y b =-，则有221009x y +=．由于31.7y ≤= 以及2x 的个位数是0，1，4，9，6，5，从而2y 的个位数只是9，8，5，0，3，4．考虑到2y 是完全平方数，所以它的个位数只能是9，5，0，4．由于2x 和2y 在221009x y +=中的对称性，所以2x 和2y 的个位都不可能是1，6．这样x ，y 只能是0，2，3，5，7，8，10，12，13，15，17，18，20，22，23，25，27，28，30． 对应的2x 是0，4，9，25，49，64，100，144，169，225，289，324，400，484，529，625，729，784，900．由221009y x =-可取得相应的2y 值为1009，1005，1000，984，960，945，909，865，840，784，720，685，609，525，480，384，280，225，109．再考虑2x 和2y 的对称性，只能是上面两组数中共有的数才有可能满足221009x y +=，这种数只有784，225．于是22784225x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22225784x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即22(22)784(22)225a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(22)225(22)784a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 注意到a 和b 是正整数，解得：1 150 37a b =⎧⎨=⎩，22507ab=⎧⎨=⎩，333750ab=⎧⎨=⎩，44750ab=⎧⎨=⎩．。
初中数学重点梳理：完全平方数
完全平方数知识定位完全平方数是初等数论中的一个重要内容，由于数论内涵丰富，因此数论问题灵活而富于变化，解答完全平方数问题往往需要较强的分析能力与具备一定的数学素养。
正因为如此，完全平方数的有关问题常常是各层次数学竞赛的主要题源之一。
在处理有关完全平方数问题时，除了要求会熟练地运用某些常用的方法外，更重要的是要善于分析，要学会抓问题的本质特征。
本节介绍一些常见题型和基本解题思想和技巧的方法来提高学生的解题能力，是完全必要的，也是比较符合中学生的认知规律的，本文主要介绍一些适合初中学生解答的完全平方数问题。
知识梳理1、完全平方数的定义一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
2、完全平方数特征（1）末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
（2）除以3余0或余1；反之不成立。
（3）除以4余0或余1；反之不成立。
（4）约数个数为奇数；反之成立。
（5）奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
（6）奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
（7）两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y23、完全平方数的性质性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
完全平方数
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为
，则
= 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)2 是8n+1型的数；由k2为奇数或偶数可得(2k)2为8n型或8n+4 型的数。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类： 3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得
(3m)2=9m2=3k (3m+1)2=9m2+6m+1=3k+1 (3m+2)2=9m2+12m+4=3k+1
[例9]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这 四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与 百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个 矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。
解：设矩形的边长为x,y，则四位数
N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)
而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数， 因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
完全平方数
完全平方数的性质及推论一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1) 2=100a 2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3) 2=100a 2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5) 2=100a 2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7) 2=100a 2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9) 2=100a 2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知m2=10k+6，证明k为奇数。
因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4) 2=100+(8n+1)x10+6或 10k+6=(10n+6) 2=100+(12n+3)x10+6即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
完全平方数2
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441, 484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1)²=100a²+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)²=100a²+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)²=100a²+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)²=100a²+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)²=100a²+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知m²=10k+6，证明k为奇数。
因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)^2=100+(8n+1)x10+6或 10k+6=(10n+6)^2=100+(12n+3)x10+6即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
完全平方数
完全平方数什么是完全平方数？相等两个整数的乘积是完全平方数，常见的完全平方数有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441……例1.从1~10中最多可以选出个数，使得选出的数中，任何两个数的和不是完全平方数.[答疑编号0518320101]【答案】6【解答】选出2，3，4，8，9，10这六个数，可见其中任何两个数的和都不是完全平方数。
如果选出了七个数，将1~10分为6组，（10，6），（9，7），（8，1），（5，4），（2），（3），则必有一组中的两个数都被选出来了，那么它们的和是完全平方数。
所求的最大值是6。
完全平方数质因数分解的特征：将一个完全平方数质因数分解后，每个质因数的次数都是偶数。
推论：只有完全平方数恰有奇数个约数。
例2.从1到2012的所有自然数中，有个数乘以72后是完全平方数.1[答疑编号0518320102]【答案】31【解答】因为，所以要想乘以72以后是完全平方数，这个数本身应该是某个完全平方数的2倍.因为，所以从1到2012中，符合要求的数有31个.例3.素数A、B互不相等，已知A的平方的2倍有4个约数，则B的平方的4倍有个约数.[答疑编号0518320103]【答案】9【解答】如果A不是2，则A平方的2倍有3×2＝6个约数，故A＝2.所以B就不能是2，它平方的4倍有3×3＝9个约数.本题答案为9.涉及到完全平方的公式：例4. 一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平方数.那么这个正整数为.[答疑编号0518320104]【答案】156【解答】设加上100后为，加上168后为，那么，2即.因为b＋a和b－a的奇偶性相同，所以只可能是，解得.因此原正整数是.例5.一个正整数，如果能表示成两个完全平方数的差，就称它是一个“智慧数”，那么在1~2012中，有多少个“智慧数”？[答疑编号0518320105]【答案】1509【解答】设这个正整数是n,。
完全平方数
完全平方数若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，简称平方数。
完全平方数有下列性质：（1）平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；（2）偶平方数能被4整除，奇平方数被8除余1；（3）平方数只能是形如3k或3k＋1的数；（4）奇平方数的十位数一定是偶数；（5）若平方数的末位数是奇数时，则其十位数字必为偶数例1、设N＝23x＋92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有对。
因N＝23x＋92y＝23（x＋4y），且23为质数，故x＋4y＝23m2（m为正整数）例2、使n5－5n3＋4n＋7成为完全平方数的自然数n的取值（）A．有且只有一个B．有有限多个，但多于一个C．有无穷多个D．不存在将原式分解因式，分析个位数例3、已知a是正整数，且a2＋2004a是一个正整数的平方，求a的最大值解题思路设a2＋2004a＝m2，其中m是正整数，通过引入参数、配方将问题转化为解不定方程。
例4、若一个整数能够表示成x2＋2xy＋2y2（x，y是整数）的形式，则称该数为“好数”（1）判断29是否为好数（2）写出80，81，…，100中的好数；（3）如果m，n都是好数，证明：mm也是好数解题思路x2＋2xy＋2y2＝（x＋y）2＋y2，即一个好数可表示成两个完全平方数的和，这是好数的特征，亦是解本例的关键。
例5、某正整数的平方，其末三位是非0的相同数字，求具有该性质的最小正整数．解：设所求数为p，p＞0，p2即具有末三位数，则p2至少有三位数，p至少有两位数。
设p ＝10a士b（a，b为正整数，1≤b≤5），则p2=100a2±20ab+b2=100a2+10(±2ab)+b2。
验证知当b＝1，3，4，5时，p2的十位和个位数字奇偶性相反；当b＝2时，p2的末两位数字奇偶性相同．所以所求数必须形如10a±2，而p＝12时，p2＝144，末两位数字为4．又注意（50n士x）2＝2500n2士100nx＋x2＝100（25n2士nx）＋x2。
完全平方数的性质及推论
完全平方数的性质及推论(详细)一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后，得(10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知m^2=10k+6，证明k为奇数。
因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)^2=100n^2+(8n+1)x10+6 或10k+6=(10n+6)^2=100n^2+(12n+3)x10+6 即k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
三、关于完全平方数
三、关于完全平方数三、关于完全平方数我们已经知道，个位数字为2，3，7，8的自然数不可能是完全平方数。
其实，一个整数是否为完全平方数，还可以用其它方法来判断。
例如，我们可以将完全平方数逐个列出：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，……10000，……在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
即如果n2＜a＜（n＋1）2，那么a不是完全平方数，下面将给出完全平方数应满足的条件，若这些条件之一不满足，则决不可能是完全平方数。
1．任何偶数的平方必为4的倍数，可表为4k形式；任何奇数的平方必为4的倍数加1，可表为4k＋1形式；任何整数被4除，只有四种可能性，即余数为0，1，2，3。
或者说整数只有4k，4k＋1，4k＋2，4k＋3四种形式。
显然形如4k＋2，4k＋3的整数不是完全平方数。
2．（k为整数）任何整数被3除，只有三种可能性，即余数为0，1，2。
或者说整数只有3k，3k＋1，3k＋2三种形式。
形如3k的整数平方后仍是3的倍数；形如3k＋1的整数平方后仍是3的倍数加1；形如3k＋2的整数平方后必为3的倍数加1。
即任何整数平方后只可能是3n或3n＋1的形式。
因此，形如3n ＋2的数不可能是完全平方数。
3．（n，k为整数）任何整数被5除的余数有0，1，2，3，4共五种情形。
形如5k的整数平方后仍是5的倍数；形如5k＋1和5k＋4的整数平方后必为5的倍数加1；形如5k＋2，5k＋3的整数，平方后必为5的倍数加4。
所以任何整数平方后只可能是5n，5n＋1，5n＋4的形式。
即形如5n＋2，5n＋3的数，不可能是完全平方数。
（这就是说完全平方数个位数字不可能是2，3，7，8）。
同理可知，形如8n＋2，8n＋3，8n＋5，8n＋6，8n＋7的数不是完全平方数；形如9n＋2，9n＋3，9n＋5，9n＋6，9n＋8的数不是完全平方数。
4．（n，足为整数）考察完全平方数的个位和十位上的数字。
完全平方数的特征
小学数学奥林匹克思维训练6.3 完全平方数的特征一、引例少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这200个灯泡按1—200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。
这样继续下去，每4分钟一个周期。
问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？二、基础知识1、完全平方数的定义：如果一个正整数a是某一个整数b的平方，那么这个正整数a叫做完全平方数。
零也可称为完全平方数。
2、完全平方数的计算（1）找规律①求由n个1组成的数的平方。
如：112=1211112=1232111112=1234321=1234…n…4321 （n≤9）②由n个3组成的数的平方。
如：332=10893332=11088933332=11108889=（n≤9）③求个位数字是5的数的平方。
如：152=225252=625352=1225452=2025这些数的平方末两位均为25，25前面的数为该数删去个位5所余下的数乘以它与1的和。
即=a×(a+1)×100+25。
（2）与平方数有关的一些公式① 完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a―b)2=a2―2ab+b2② 平方差公式（a+b）(a―b)=a2―b23、完全平方数的性质由以上平方数不能发现完全平方数的以下特征：① 完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
② 在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
③ 任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1。
即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
（请读者自己证明）④一个完全平方数被3除的余数是0或1。
即被3除余2的数一定不是完全平方数。
⑤完全平方数个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。
以内平方数速记
五一节礼物—100 以内平方数速记上文中主要对一些有趣的完全平方数进行了介绍，这篇是将所有的100 以内完全平方数全部列举，并介绍一些速记方法。
我把它们分为20 位一组，共 4 组，希望大家能每天记住一组，这样会记得快一些，大家加油！第一组： 21～ 3071～8020 以内的平方如果还不熟记的话着实不应该啊！这两组呢，细心同学会发现21～ 30 是以 25 为中心， 71～80 以 75 为中心，所以它们可以说是对联：30 290080 264002124418412927125041624179222248478428272 25184608478223252972927273 25329592977224257667626274 25476 5 77676225 262575 25625末位 5 的平方可以用“头同尾合十〞来算，观察这两副对联的每一行，末2位全部一样！所以，41、 84、29、 76 这 4 个数大家一定要熟记！末 2 位解决掉之后，说说百位和千位。
20～ 30 百位较小，死记不难。
71～ 80 规律不明显，有两种记法：25041244150446①7121722518422 248451447732532923 252953548792624129284162854规律很明显吧，不过21～ 29 平方要特别熟记啊！② 73 、74 的千位为 5，百位和它们本身个位一样，25776 是符合一个数平方后末两位与它本76身相同的，比拟重要，应熟记；2，上文提过，先把这 4 个记住。
78 6084其余 71、 72 首位仍为 5，百位比它们个位小1； 77、 79 直接死记吧！第二组： 41～ 5051～60上一组比拟难记，下面来一组比拟轻松的。
先记 51～ 60，这一组可用尾同头合十来算！5122601551261201 522270455227 2 204 532280955328 3 209 542291655429 4 216 552302555530 5 225后面的几个规律留给大家自己来找吧！对于 41～ 50，其实和上述差不多，只不过用减法。
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专题二十 完全平方数（式）与配方法
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1. 已知实数x 、y 、z 满足=++-+==+z y x y xy z y x 32,9,52那么
2. 当整数a 、b 、c 取何值时，不等式cd b ab c b a 234222++≤+++成立？
3. 无论x 取任何实数，代数式m x x +-62
都有意义，则m 的取值范围为
4. 已知a 是正整数，且a a 20042+是一个正整数的平方，求a 的值。
5. 若3
2211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为
能力达标
1. 设,21,212222-=-+=-c b b a ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值为
2. 若实数y x 、满足052422=+--+y x y x ，则
x y y x 23--的值是
3. 已知,20021999,20011999,20001999+=+=+=x c x b x a
则多项式ca bc ab c b a -=-++222的值为
4. 的值有则满足不等式、整数y x y x y x y x ++≤++,22122（ ）个。
5. 化简的结果为312-21-3242+（ ）
6. 己知正整数c b a 、、满足不等式c b ab c b a 8943222++≤+++，求c b a 、、的值。
7. 已知⎩⎨⎧=+-=-+,
32,62z y x z y x z y x 为实数，且满足、、求22z y x ++的最小值。
拓展提升：
1. 若52
1332412---=----+c c b a b a ，则的值为c b a ++
2.已知y x 、为实数，且=+≤++x y xy y x 则,2422
2 ，=y ，=z
3. 已知M=941012422+++-y y xy x ，那么当x= ，=y 时，M 的值最小，为
4.己知 值为则b a c ab b a +=++=-,04,42（ ）
5.设ab b a b a 3,022=+>>，则
b
a b a -+的值为（ ）
6. 在△ABC 中，AB=c ，BC=a ，AC=b ,且满足22224442222c b c a c b a +=++，试判断△ABC 的形状。
7.已知c b a 、、为△ABC 的三边长，当3=++c
a b c a b 时，试确定△ABC 的形状。