《常微分方程》东师大第二版习题答案

积分，得 1 − x 2 + 1 − y 2 = c(c > 0)
6．求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及 x 轴可围成 一个等腰三角形(以 x 轴为底)，且通过点(1,2).
解：设所求曲线为 y = y(x) 对其上任一点 (x, y) 的切线方程：
Y − y = y'( X − x) 于 x 轴上的截距为 a = x − y 由题意建立方程： y'
当 z ≠ 0 时,有 dz = 6xdx ,得 z = Ce3x2 . z
令 z = C(x)e3x2 为方程 dz − 6xz = 3x 的一个解, 则有 C '(x) = 3xe−3x2 . dx
两边积分得 C(x)
=
1 2
e −3 x2
+ C1 ,带回得原方程的通解为
z
=
Ce3x2
−
1 2
,
dx cot x
sin y cos x
积分，得 ln sin y = − ln cos x + c1, ln sin y cos x = c1 ,
即 sin y cos x = ±ec1 = c, c ≠ 0
2．求下列方程满足给定初值条件的解：
dy (1) = y( y −1), y(0) = 1
dx 解： y = 0, y = 1 为特解，当 y ≠ 0, y ≠ 1时， ( 1 − 1 )dy = dx ，
（2） 如果在 3 小时时的细菌数为得104 个，在 5 小时时的细菌数为得 4 ×104 个，那么
在开始时有多少个细菌？
解：设 t 时刻的细菌数为 q (t) , 由题意建立微分方程 dq = kq k > 0 dt
求解方程得 q = cekt 再设 t = 0 时，细菌数为 q0 ,求得方程的解为 q = q0ekt
解： 原方程对应的齐次方程 y '− 1 y = 0 的通解为 ỹ = C(x − 2) . x−2
由常数变易法得原方程的一个特解为 y = (x − 2)3 .
则原方程的通解为 y = (x − 2)(x2 − 4x + C) .
(3) d ρ + 3ρ = 2 dθ
解：
dρ
原方程对应的齐次方程
dy 2 2x 2 + 3y 2 − 7
解：方程改写为
=
即
=
2xdx 3x 2 + 2 y 2 − 8
dx 2 3x 2 + 2 y 2 − 8
令
x2 = u, y2 = v
则
dv 2u + 3v − 7 =
du 3u + 2v − 8
⎧2α + 3β − 7 = 0 再令 ⎩⎨3α + 2β − 8 = 0 解得α = 2, β = 1
作变换
u = ξ + 2, v = η + 1，则方程化为
dη 2ξ + 3η =
dξ 3ξ + 2η
再作变换
ω = η ，则方程化为 ξ
3 + 2ω 2(1 − ω 2 )
dω
=
dξ ξ
(ω ≠ ±1)
6
积分，得
1+ω (1 − ω )5
= cξ 4
代回原变量，得原方程的通解为 (x 2 − y 2 − 1)5 = c(x 2 + y 2 − 3)
1 )du = dx
(u ≠ 0,1)
u u −1
x
u
积分，得
ln u −1
= ln c1x
即 u = c1x c1x −1
代回变量，得通解 x( y − x) = cy, y = 0 也是方程的解
(4) xy′ − y = x tan y x
dy y
y
解：方程改写为
− = tan
dx x
x
令
u=
y
z(1 + z 2 )
u
积分，得 ln zu = −2 arctan z + ln c
−2 arctan y−2
代回变量，得通解 y − 2 = ce
x+1
3 解方程 (2x 2 + 3y 2 − 7)xdx − (3x 2 + 2 y 2 − 8) ydy = 0
2 ydy 2x 2 + 3y 2 − 7
过点 (x, y) 的方程为 Y − y = y '(Z − x) .
依题意得 y − xy ' = x , 即 y ' = y −1. x
它对应的齐次方程 y ' = y 的通解为 ỹ = Cx . x
它的一个特解为 y = x ln | x | .
因此,所求曲线为 y = x ln | x | +Cx .
《常微分方程》习题解答
东北师范大学微分方程教研室 (第二版)
高等教育出版社
1
习 题 1.2
1 求下列可分离变量微分方程的通解：
(1) ydy = xdx
解：积分，得
1 2
y2
=
1 2
x2
+
c1
(2) dy = y ln y dx
即 x2 − y2 = c
解： y = 0, y = 1 为特解，当 y ≠ 0, y ≠ 1时， dy = dx ， y ln y
ln 4 3
= q0e 2
= 8q0
= 104
得 q0 = 1.25 ×103
习 题 1.3
1 解下列方程：
(2) ( y 2 − 2xy)dx + x 2dy = 0
解：方程改写为 dy = 2( y ) − ( y )2 dx x x
令
u=
y
，有
u + x du
= 2u − u 2
x
dx
1 整理为 ( −
解：方程改写为
dy 4 y − 2x − 6 =
dx x + y − 3
⎧− 2α + 4β = 0 令 ⎩⎨α + β − 3 = 0 ，解得 α = 1, β = 2
作变换 x = ζ + 1,
y =η +2
有
dη 4η − 2ζ =
dζ η + ζ
再令 u = η 上方程可化为 u + ζ du = 4u − 2
习 题 1.4
1 解下列方程.
(1) dy + 2xy = 4x dx
解：原方程对应的齐次方程 dy + 2xy = 0 的通解为 ỹ = Ce−x2 . dx
由常数变易法得原方程的一个特解为 y = 2 .
则原方程的通解为$y=Ce^{-x^2}+2$.
(2) y '− 1 y = 2(x − 2)2 x−2
ζ
dζ 1 + u
整理为
u + 1 du = − dζ (u ≠ 1,2)
(u −1)(u − 2)
ζ
积分，得 (u − 2)(u − 2)2 ζ = c u −1
5
代回变量，得通解 ( y − 2x)3 = c( y − x −1)2 , y = x + 1也是方程的解
(2) (2x + y + 1)dx − (4x + 2 y − 3)dy = 0
dy 2x + y + 1
解：方程改写为
=
dx 4x + 2y − 3
令
u = 2x + y ，有
du 5u − 5 =
dx 2u − 3
积分，得 2u − ln u −1 = 5x + c1
分离变量 2u − 3 du = 5dx (u ≠ 1) u −1
代回变量，得通解 2x + y −1 = ce2y−x
2
3y 3
1
积分，得 y 3 = x + c,
y = (x + c)3
将 y(2) = 0 代入，得 c = −2 ，即 y = (x − 2)3 和 y = 0 均为所求的解。
(4) ( y 2 + xy 2 )dx − (x 2 + yx 2 )dy = 0, y(1) = −1
1+ x 1+ y
+ 3ρ
= 0 的通解为 ρ̃
= Ce−3θ
.
dθ
由常数变易法得原方程的一个特解为 ρ = 2 . 3
则原方程的通解为 ρ = Ce−3θ + 2 , 或者 3ρ = Ce−3θ + 2 . 3
2 求曲线,使其切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标.
解：设所求曲线为 y = y(x) ,则它在曲线上任一点的斜率 k = y ' .
=
11 −
−e−2e x y
为所求的解。
y
4．求解方程 x 1 − y 2 dx + y 1 − x 2 dy = 0
解： x = ±1 (−1 ≤ y ≤ 1), y = ±1(−1 ≤ x ≤ 1) 为特解，
当 x ≠ ±1, y ≠ ±1时， x dx + y dy = 0
1− x2
1− y2
，有
x du = tan u = sin u
x
dx
cos u
积分，得 sin u = cx
代回变量，得通解 sin y = cx x
即 cot udu = dx (sin u ≠ 0) x
4
(5) xy′ − y = (x + y) ln x + y x
解：方程改写为 dy − y = (1 + y ) ln x + y
dx x
xx
令
u=
y
，有
x du = (1 + u) ln(1 + u)
x
dx
当 u ≠ 0, u ≠ −1 时
du
dx
=
(1 + u) ln(1 + u) x
积分，得 ln(1 + u) = cx 代回变量，得通解 ln(1 + y ) = cx
x (6) xy′ = x 2 − y 2 + y
解：方程改写为 dy = 1 − ( y )2 + y
(4) y′ = 2( y − 2 )2 x + y −1
解：令 u = x + 1, v = y − 2 则原方程变为 dv = 2( v )2 du u + v
再令 z = v ，则方程化为 z + u dz = 2( z )2
u
du 1 + z
分离变量 (1 + z)2 dz = − du (z ≠ 0)
x − y − x = x − 0 即 y' = − y , y(1) = 2
y'
x
求得方程的通解为 xy = ec , c ≠ 0 再由 2 = ec 得 c = ln2 , 得所求曲线为
3
为 xy = 2
7．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比 （1） 如果 4 小时的细菌数为原细菌数的 2 倍，那么经过 12 小时应有多少？
解： x = 0, y = 0 为特解，当 x ≠ 0, y ≠ 0 时， dx − dy = 0 ，
x2
y2
积分，得
− 1 + ln x + 1 − ln y
x
y
= c1,
x
11 −
= ±ec1 e x y
11 −
= ce x y , c ≠ 0
y
将 y(1) = −1代入，得
c
=
−e−2 ，即
x
3 解下列伯努利方程
7
(2) y '+ 2xy + xy4 = 0
解：原方程可化为 y−4 y '+ 2xy−3 = −x .令$z=y^{-3}$, 则有 dz − 6xz = 3x . dx
它对应的齐次线性方程为 dz = 6xz . dx
当 z = 0 时,有 y−3 = 0 ,得 y = 0 ;
y −1 y
积分，得
ln
y
−1 y
=
x
+
c1 ,
y − 1 = ±ec1 e x = ce x , c ≠ 0 y
将 y(0) = 1代入，得 c = 0 ，即 y = 1为所求的解。
(2) (x 2 −1) y′ + 2xy 2 = 0, y(0) = 1
dy 2xy 2
解：
dx
=
−
x2
, −1
y
dx
xx
令 u = y ，有 x du = 1 − u 2
x
dx
分离变量
du dx = (−1 < u < 1)
1−u2 x
积分，得 arcsin u = ln cx 代回变量，得通解 arcsin y = ln cx,
x
2 解下列方程：
y = ±x 也是方程的解
(1) (2x − 4 y + 6)dx + (x + y − 3)dy = 0
（1） 由 q(4) = 2q0 即 q0e4k = 2q0
ln 2Biblioteka Baidu
q(12) = q0e12k
12
= q0e
4
= 8q0
得 k = ln 2 4
（2）由条件 q(3) = q0e3k = 104 , q(5) = q0e5k = 4 ×104
比较两式得 k
=
ln 4
，
2
再由 q(3) = q0e3k
积分，得 ln ln y = x + c1, ln y = ±ec1 e x = ce x c ≠ 0 ，即 y = ecex (3) dy = e x−y
dx 解： 变形得 e y dy = e x dx 积分，得 e y − e x = c
(4) tan ydx − cot xdy = 0
解：变形得 dy = tan y ， y = 0 为特解，当 y ≠ 0 时， cos y dy = sin x dx .
即 y−3 = Ce3x2 − 1 . 2
(4) dy + y = y2 (cos x − sin x) dx
解：方程两边同乘以 − y−2 得 − y−2 dy − y−1 = sin x − cos x . dx
=
0 为特解，当
y
≠
0 时，
dy y2
=
−
2x dx ， x2 −1
积分，得 − 1 = − ln x 2 −1 + c y
2
将 y(0) = 1代入，得 c = −1 ，即 y =
1
为所求的解。
ln x2 −1 + 1
(3) y′ = 33 y 2 , y(2) = 0
dy 解： y = 0 为特解，当 y ≠ 0 时， = dx ，