北京四中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)

北京四中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）

试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分。

卷（Ⅰ）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1. 设i 为虚数单位，则31

t

＝（ ） A. i

B. －i

C. 1

D. －1

2. 函数x xe y =的导函数y '＝（ ） A. x

xe

B. x

e

C. x

e +1

D. x e x )1(+

3.

⎰+1

)2(dx x e

x

等于（ ）

A. 1

B. 1-e

C. e

D. 1+e

4. 在复平面内，复数i

i

z -=1（i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

5. 函数x x x f ln 3)(+=的单调递增区间为（ ） A. ⎪⎭

⎫ ⎝⎛e 1,0

B. ),(+∞e

C. ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞,1e

D. ⎪⎭

⎫ ⎝⎛e e ,1

6. 由直线0,3

,3

==

-

=y x x π

π

与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为（ ）

A.

2

1

B. 1

C.

2

3 D.

3

7. 函数)(x f 是定义在),(+∞-∞内的可导函数，且满足：0)()(>>'x f x f x ，对于任意的正实数b a ,，若b a >，则必有（ ）

A. )()(a bf b af >

B. )()(b af a bf >

C. )()(b bf a af <

D. )()(b bf a af >

8. 函数n

m

x ax x f )1()(-=在区间]1,0[上的图象如图所示，则n m ,的可能值是（ ）

A. 1,1==n m

B. 2,1==n m

C. 1,2==n m

D. 1,3==n m

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 9. 设i 是虚数单位，复数

i

ai

-+21为纯虚数，则实数a 的值为____________。 10. 已知R b a ∈,，i 是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则

=+2)(bi a ____________。

11. 设函数x

b

ax x f -

=)(，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为01247=--y x ，则函数)(x f y =的解析式是__________。

12. 函数x x x f cos 2)(+=在]2,0[π上的极大值点为____________。 13. 曲线)4

30)(4

sin(π

π

≤

≤-

=x x y 与坐标轴围成的面积是____________。 14. 函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，对R x ∈∀有2

)()(x x f x f =+-，且在),0(+∞上，

x x f >')(，若a a f a f 22)()2(-≥--，则实数a 的取值范围为____________。

三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。 15. 已知函数x x x f ln )(=。 （1）求函数)(x f 的极值点；

（2）若直线l 过点)1,0(-，并且与曲线)(x f y =相切，求直线l 的方程。

16. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式2)6(103

-+-=

x x a

y ，其中63<

（1）求a 的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所

获得的利润最大。

17. 设函数R a x e x f ax

∈+=,1

)(2

。 （1）当5

3

=

a 时，求函数)(x f 的单调区间； （2）设)(x g 为)(x f 的导函数，当]2,1[e e

x ∈时，函数)(x f 的图象总在)(x g 的图象的上方，求a 的取值范围。

卷（Ⅱ）

一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

1. 函数1)(-=x e x f ，34)(2-+-=x x x g ，若有)()(b g a f =，则b 的取值范围为（ ）

A. ]22,22[+-

B. )22,22(+-

C. ]3,1[

D. )3,1(

2. 某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3

m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：3

)10

110()(t H t V -

=（H 为常数），其图象如图所示。记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为)/(3h m v ，那么瞬时融化速度等于)/(3h m v 的时刻是图中的（ ）

A. 1t

B. 2t

C. 3t

D. 4t

3. 已知)(),(x g x f 均是定义在R 上的函数，)()()()(,0)(x g x f x g x f x g '<'≠，=)(x f

25

)1()1()1()1()

01()(=--+>≠⋅g f g f a a x g x ，在有穷数列)10,2,1()()( =⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n n g n f 中，任取正整