北京四中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)
2014-2015年北京市丰台区高二(下)期中数学试卷(理科)(a卷)和答案
一.选择题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项． 1． （4 分） 在某校选修篮球课程的学生中， 高一年级有 40 名， 高二年级有 50 名． 现 用分层抽样的方法在这 90 名学生中抽取一个样本， 已知在高一年级的学生中 抽取了 8 名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ A．15 B．12 C．10 ） ） D．8
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ132 个
9． （4 分）下面的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次阅读测试中的成绩 （单位： 分） ， 已知甲组数据的中位数为 15， 乙组数据的平均数为 16.8， 则 x， y 的值分别为（ ）
A．5，8
B．5，5
C．6，8
D．8，8
10． （4 分）将 1，2，3，4，5 这 5 个数字任意排成一列，设事件 A 表示“排列中 相邻两个数字的差的绝对值大于 1 且小于 4”， 则事件 A 出现的概率是 （ A． B． C． D． ）
2． （4 分）如图程序段运行时输出的结果是（
A．12，5
B．12，21
C．21，5
D．21，12
3． （4 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机 取一个点 Q，则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4． （4 分）为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独 立地做 100 次和 150 次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为 t1 和 t2，已知两人在试验中发现对变量 x 的观测数据的平均值都是 s，对变量 y 的观测数据的平均值都是 t，那么下列说法正确的是（ A．t1 和 t2 有交点（s，t） B．t1 与 t2 相交，但交点不一定是（s，t） C．t1 与 t2 必定平行 D．t1 与 t2 必定重合
北京四中2014-2015学年高二第二学期期末考试化学试卷(Word版含答案)
化学试卷(试卷满分150分，考试时间为100分钟）可能用到的相对原子量：C 12 H 1 0 16第I 卷选择题（共40分，请将答案填在机读卡上）一、选择题（每小题．只有．．1．选个项符合题意，每小題2分，共40分） 1. 下列物质中，不属于高分子化合物的是 A A ．油脂 B.塑料 C. 纤维素 D. 淀粉 2.下列各组物质中，互为同系物的是 C3.下列表述正确的是 DA ．醛基的结构简式—COH B. 聚丙烯的结构简式C ．四氯化碳分子的电子式 D. 丙烷分子的球棍模型4.下列有关物质水解的说法中，正确的是 B A ． 蔗糖水解产物仅有葡萄糖B ． 淀粉、纤维素最终水解产物均为单糖C ． 酯在强碱作用下水解生成对应的酸和醇D ． 溴乙烷在NaOH 的醇溶液中水解生成乙烯5.实验室用右图所示的装置制取乙酸乙酯，下列说法中，不正确的是 BA.及时将乙酸乙酯蒸出，平衡向生成乙酸乙酯的方向移动B.向a 中先加入浓硫酸，然后边摇动试管边慢慢加入乙醇，再加冰醋酸C.试管b 中导气管下端不能浸入液面的目的是防止实验过程中产 生倒吸现象D.反应结束后用分液的方法分离b 试管中的混合液 6.下列说法中，正确的是 B A.天然气的主要成分是乙烯 B. 油分馏可以获得多种芳香烃C. 石油的裂化和裂解都属于物理变化D.天然气、沼气都属于可再生的清洁能源7.下列有关蛋白质的说法中，不正确的 DA.鸡蛋清溶液滴入浓硝酸微热有黄色沉淀生成B.采用多次盐析和溶解，可以分离提纯蛋白质C.用稀释后的福尔马林浸泡种子会使蛋白质变性D.蛋白质是由C、H、O三种元素组成的髙分子化合物8.用下列装置完成相关实验，不合理的是 BA.用a趁热过滤提纯苯甲酸B.用b制备并检验乙烯C.用c除去溴苯中的苯D．用d分离硝基苯与水9.是一种有机烯醚，可以用烃A通过下列路线制得 C下列说法正确的是A．的分子式为C4H4OB.A的结构简式是CH2=CHCH2CH3B.A和B都能使高锰酸钾酸性溶液褪色D. ①、②、③的反应类型分别为卤代、水解、消去10. 下列说法不正确的是 BA. 甲苯和环己烯都能使酸性髙锰酸钾溶液褪色B．用银氨溶液可以鉴别乙醛和葡萄糖溶液C．甲醛和乙二醇都可作为合成高分子化合物的单体E．丙烷和2-甲基丙烷的一氯代物均为两种11.莽草酸是一种合成治疗禽流感药物达菲的原料，鞣酸存在于苹果、生石榴等植物中。
北京市重点中学2014_2015学年高二数学下学期期中试卷理(含解析)
北京市重点中学 2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z的虚部为( )A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：由zi=2+i，得，∴z的虚部是﹣2．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有( )种不同的取法．A．120 B．16 C．64 D．39考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；排列组合．分析：利用分类加法原理，即可得出结论．解答：解：由于书架上有3+5+8=16本书，则从中任取一本书，共有16种不同的取法．故选B．点评：本题先确定拿哪种类型的书，考查分类计数原理的应用，考查两种原理的区别．3．已知曲线y=﹣3lnx+1的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )A．3 B．2 C．1 D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：求出函数的定义域和导数，利用导数是切线的斜率进行求解即可．解答：解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣，由f′（x）=﹣=，即x2﹣x﹣6=0，解得x=3或x=﹣2（舍），故切点的横坐标为3，故选：A．点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，求函数的导数，解导数方程即可，注意定义域的限制．4．由直线y=，y=2，曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积是( )A．2ln2 B．2ln2﹣1 C．ln2 D．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示出图形的面积，求出原函数，计算即可．解答：解：由题意，直线y=，y=2，曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积如图阴影部分，面积为=lny=ln2﹣ln=2ln2；故选A．点评：本题考查定积分的运用，利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积，考查了学生的计算能力，属于基础题．5．以下说法正确的是( )A．在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件B．在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件C．在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件D．在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件考点：分析法和综合法．专题：证明题．分析：利用综合法证题思路（执因索果）与分析法的证题思路（执果索因）及充分条件与必要条件的概念即可得到答案．解答：解：设已知条件为P，所证结论为Q，综合法的证题思路为执因索果，即P⇒Q1⇒Q2⇒…⇒Q n⇒Q，∴在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件，故A错误，B正确；分析法的证题思路是执果索因，即Q⇐Q n⇐…⇐Q2⇐Q1⇐P显然，在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件，故C错误；在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的充分条件．故选B．点评：本题考查分析法与综合法的应用，考查充分条件与必要条件的概念，属于中档题．6．设函数f（x）=xlnx，则f（x）的极小值点为( )A．x=e B．x=ln2 C．x=e2D．x=考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极小值点．解答：解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x）=1+lnx令f′（x）=1+lnx=0，可得x=∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0∴x=时，函数取得极小值，故选：D．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极小值点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．已知21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，…，以此类推，第5个等式为( ) A．24×1×3×5×7=5×6×7×8B．25×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9C．24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10D．25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：根据已知可以得出规律，即可得出结论．解答：解：∵21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，…，∴第5个等式为25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10故选：D点评：此题主要考查了数字变化规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．对于等式，要注意分别发现：等式的左边和右边的规律．8．在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为( )A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的乘法运算化简i（2+i），求出A，B的坐标，利用中点坐标公式求得C的坐标，则答案可求．解答：解：∵i（2+i）=﹣1+2i，∴复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B的坐标分别为：A（3，﹣4），B（﹣1，2）．∴线段AB的中点C的坐标为（1，﹣1）．则线段AB的中点C对应的复数为1﹣i．故选：D．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘法运算，是基础题．9．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）=x+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．解答：解：由于f（x）=x+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．点评：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．10．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m 的取值范围为( )A．（﹣∞，）B．[，5] C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，5]考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：本题根据二阶导数的定义及函数特征，研究原函数的二阶导数，求出m的取值范围，得到本题结论．解答：解：∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2，∴f′（x）=x4﹣mx3﹣4x，∴f″（x）=x3﹣mx2﹣4．∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，∴f″（x）＞0．∴x3﹣mx2﹣4＞0，x∈（1，3）．∴，∵在（1，3）上单调递增，∴在（1，3）上满足：＞1﹣4=﹣3．∴m≤﹣3．故答案为：C．点评：本题考查了二阶导数和恒成立问题，本题难度不大，属于基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）11．函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是[﹣3，+∞）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：求出f′（x），因为要求函数的增区间，所以令f′（x）大于0，然后讨论a的正负分别求出x的范围，根据函数在区间（1，+∞）上是增函数列出关于a的不等式，求出a的范围即可．解答：解：f′（x）=3x2+a，令f′（x）=3x2+a＞0即x2＞﹣，当a≥0，x∈R；当a＜0时，解得x＞，或x＜﹣；因为函数在区间（1，+∞）内是增函数，所以≤1，解得a≥﹣3，所以实数a的取值范围是[﹣3，+∞）故答案为：[﹣3，+∞）点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．会利用不等式解集的端点大小列出不等式求字母的取值范围，是一道综合题．12．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程+=1表示焦点位于y轴上的椭圆有10个．考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据a＜b，对A中元素进行分析可得到答案．解答：解：焦点位于y轴上的椭圆则，a＜b，当b=2时，a=1；当b=3时，a=1，2；当b=4时，a=1，2，3；当b=5时，a=1，2，3，4；共10个故答案为：10点评：本题主要考查椭圆的标准形式，此题的关键是根据条件得出a＜b．属基础题．13．设，则为．考点：微积分基本定理．专题：计算题．分析：运用微积分基本定理和定积分的运算律计算即可．解答：解：=+=﹣cosx+x=．故答案为：．点评：本题主要考查了定积分，运用微积分基本定理计算定积分．属于基础题．14．已知复数z=x+yi（x，y∈R，x≠0）且|z﹣2|=，则的范围为．考点：复数求模．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件即可得出．解答：解：∵|z﹣2|=|x﹣2+yi|，，∴．∴（x﹣2）2+y2=3．设，则y=kx．联立，化为（1+k2）x2﹣4x+1=0．∵直线y=kx与圆有公共点，∴△=16﹣4（1+k2）≥0，解得．∴则的范围为．故答案为．点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．15．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是．考点：类比推理．专题：计算题；推理和证明．分析：从平面图形到空间图形，同时模型不变．解答：解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：．故答案为：．点评：本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力．解题的关键是掌握好类比推理的定义．16．对定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被G（X）替代，D称为“替代区间”．给出以下命题：①f（x）=x2+1在区间（﹣∞，+∞）上可被g（x）=x2替代；②f（x）=x可被g（x）=1﹣替代的一个“替代区间”为[，]；③f（x）=lnx在区间[1，e]可被g（x）=x﹣b替代，则e﹣2≤b≤2；④f（x）=lg（ax2+x）（x∈D1），g（x）=sinx（x∈D2），则存在实数a（a≠0），使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代；其中真命题的有①②③．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：命题①直接由替代的定义得出为真命题；命题②|f（x）﹣g（x）|=，根据导数判断函数x+在区间上的最值，从而可说明|f（x）﹣g（x）|＜1，从而可判断该命题正确；命题③，根据替代的定义，|f（x）﹣g（x）|≤1在[1，e]上恒成立，根据导数判断函数lnx﹣x+b在[1，e]上的单调性，根据单调性即可求出函数lnx﹣x+b 的值域，该值域应为区间[﹣1，1]的子集，从而可得出b的取值范围，从而判断该命题的正误；命题④可先找出一个D1∩D2区间，可以在此区间找到一个x使对任意a|f（x）﹣g（x）|＞1，从而便可判断出该命题错误，这样便可最后找出所有的真命题．解答：解：①∵|f（x）﹣g（x）|=＜1；f（x）可被g（x）替代；∴该命题为真命题；②|f（x）﹣g（x）|=；设h（x）=，h′（x）=；∴时，h′（x）＜0，x∈（]时，h′（x）＞0；∴是h（x）的最小值，又h（）=，h（）=；∴|f（x）﹣g（x）|＜1；∴f（x）可被g（x）替代的一个替代区间为[]；∴该命题是真命题；③由题意知：|f（x）﹣g（x）|=|lnx﹣x+b|≤1在x∈[1，e]上恒成立；设h（x）=lnx﹣x+b，则h′（x）=；∵x∈[1，e]；∴h′（x）≤0；∴h（x）在[1，e]上单调递减；h（1）=b﹣1，h（e）=1﹣e+b；1﹣e+b≤h（x）≤b﹣1；又﹣1≤h（x）≤1；∴；∴e﹣2≤b≤2；∴该命题为真命题；④1）若a＞0，解ax2+x＞0得，x，或x＞0；可取D1=（0，+∞），D2=R；∴D1∩D2=（0，+∞）；可取x=π，则|f（x）﹣g（x）|=aπ2+π＞1；∴不存在实数a（a＞0），使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代；2）若a＜0，解ax2+x＞0得，x＜0，或x；∴可取D1=（﹣∞，0），D2=R；∴D1∩D2=（﹣∞，0）；取x=﹣π，则|f（﹣π）﹣g（﹣π）|=|aπ2﹣π|＞1；∴不存在实数a（a＜0），使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代；综上得，不存在实数a（a≠0），使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代；∴该命题为假命题；∴真命题的有：①②③．故答案为：①②③．点评：考查对替代定义的理解，根据函数导数判断函数单调性、求函数在闭区间上最值的方法，以及根据对数的真数大于0求函数定义域的方法，解一元二次不等式，在说明f（x）不能被g（x）替代的举反例即可．三、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=x3+ax2+2，x=2是f（x）的一个极值点，求：（1）实数a的值；（2）f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：（1）由x=﹣2是f（x）的一个极值点，得f′（2）=0，解出可得；（2）由（1）可求f（x），f'（x），令f′（x）=0，得x1=0，x2=2．当x变化时f′（x），f （x）的变化情况列成表格，由极值、端点处函数值可得函数的最值；解答：解：（1）∵f（x）在x=2处有极值，∴f′（2）=0．∵f′（x）=3x2+2ax，∴3×4+4a=0，∴a=﹣3．经检验a=﹣3时x=2是f（x）的一个极值点，故a=﹣3；（2）由（1）知a=﹣3，∴f（x）=x3﹣3x2+2，f′（x）=3x2﹣6x．令f′（x）=0，得x1=0，x2=2．当x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：x ﹣1 （﹣1，0）0 （0，2） 2 （2，3） 3f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）﹣2 2 ﹣2 2从上表可知f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值是2，最小值是﹣2．点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值，属中档题，正确理解导数与函数的关系是解题关键．18．已知a，b，c均为实数，且a=x2﹣2y+，b=y2﹣2z+，c=z2﹣2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0．考点：反证法与放缩法．专题：证明题．分析：用反证法，假设a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证．解答：解：反证法：假设a，b，c都小于或等于0，则有a+b+c=（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z ﹣1）2+π﹣3≤0，而该式显然大于0，矛盾，故假设不正确，故a，b，c中至少有一个大于0．点评：本题考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．19．已知函数 f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数F（x）=f（x）﹣在[1，2]上有且仅有一个零点，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；（2）分离参数得，令（x∈[1，2]），通过求导得到函数g（x）的单调性，从而求出g（x）的最大值、最小值，进而求出a的范围．解答：解：（1）f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）≥0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，f（x）在（lna，+∞）上单调递增．（2）由，得，令（x∈[1，2]），则令，h′（x）=x（e x﹣1），当1≤x≤2时，h′（x）＞0，∴h（x）在[1，2]上单调递增，∴，g′（x）＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，∴在[1，2]上的最小值为，最大值为，∴当时，函数在[1，2]上有且仅有一个零点．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，（2）中分离出a，求出相关函数的单调性是解答本题的关键，本题是一道中档题．20．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于任意n∈N*，都有2+＜＜2+成立，且a2=4．（1）求a1，a3的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并给出证明．考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接利用已知条件，通过n=1，直接求a1，n=2，求解a3的值；（2）通过数列的前3项，猜想数列{a n}的通项公式，然后利用数学归纳法的证明步骤证明猜想即可．解答：解：（1）因为，a2=4当n=1时，由，即有，解得．因为a1为正整数，故a1=1．…当n=2时，由，解得8＜a3＜10，所以a3=9．…（2）由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：…下面用数学归纳法证明．1°当n=1，2，3时，由（1）知均成立．…2°假设n=k（k≥3）成立，则，由条件得，所以，…所以…因为k≥3，，，又，所以．即n=k+1时，也成立．由1°，2°知，对任意n∈N*，．…点评：本题考查递推数列的应用，数学归纳法的应用，考查分析问题解决问题的能力．。
北京四校2014-2015学年高二上学期期中联考数学(理)试题
y y y
（
y
）
2
O 1
2
O
1
2
x
x
O
1
2
x
1
x
O 1
2
x
[来源:学科网 ZXXK]
（1）
A
2
B
C （ ）
D
9．函数 f ( x) cos( x x) 导数是 A. sin( x x) C. 2 x sin( x x)
3
2
B. (2 x 1) sin( x x) D. (2 x 1) sin( x x)
(ln x) '
； ；
(sin x) '
； (cos x) ' ；
；
(e x ) '
2 12.复数 1 i 的虚部为
， 共轭复数
。
13．命题“ x R, x 2 1 0 ”的否定是_________________． 14、定积分 的值为
15．曲线 y ln x 在点 M (e,1) 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 16.已知函数 y＝xf′(x)的图象如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数)，给出以下说法：
1 1
x ( x 1) dx 的值为
B.
(
) C.
A. 2
2 3
1 3
，命题 q: 2 是 3 的约数.则下列命题中为真的是( A.p 且 q C.非 p B.p 或 q D.非 p 且非 q
5．设函数 f ( x ) 在 x x0 处有导数，且 lim A.1 B.0 C. 2
北京西城44中高二下期中试卷 北师大 数学(理科)word含解析
北京市第四十四中学-度第二学期期中测试高二数学试卷（理科）一、选择题：每题只有一个正确答案，每题5分，共40分． 1．某一射手所得环数的分布列如下：X 45 6 7 8 9 10 P 0.03 0.04 0.05 0.09 0.28 0.29 0.22 A ．0.09 B ．0.79 C ．0.88D ．以上都不对【答案】C【解析】(6)0.090.280.290.22P x >=+++， 选C ．2．在复平面内，复数12i-对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】12i 2i 21i 2i (2i)(2i)555++===+--+， 第一象限，选A ．3．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）．A ．160B ．160-C ．480D ．480-【答案】B【解析】66216C 2(1)rr r r r T x --+=⋅⋅-⋅， 令620r -=，3r =，∴常数为336C 2(6)160⋅⋅-=-，选B ．4．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么()f x 的图象最有可能的是（ ）．A ．O xy-2B ．xyO -2C ．yOx-2D ．yO x-2【答案】A【解析】2x <-时，()0f x '<，()f x 单减，20x -<<时，()0f x '>，()f x 单增， 0x ≥，()0f x '<，()f x 单减，选A ．5．从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中既有男生又有女生，则不同选法的种数为（ ）． A ．25 B ．28 C ．31 D ．34【答案】D【解析】共有47C 35=种， 不可能仅有女生，仅有男生有1种情况， 选D ．6．极坐标方程(1)(π)0(0)ρθρ--=≥表示的图形是（ ）． A ．两个圆B ．一个圆和一条射线C ．两条直线D ．一条直线和一条射线【答案】B【解析】(1)(π)0ρθ--=， ∴1ρ=或πθ=，1ρ=为圆，πθ=为射线，选B ．7．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着．现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直线第3次才取得卡口灯泡的概率为（ ）．A ．2140B ．1740C ．310D ．7120【答案】D 【解析】从中取一只螺口概率为310， 再取一只螺口概率为29， ∵有8只灯泡，有一只螺口和7只卡口灯泡， ∴从中取一只卡口灯泡的概率是78． 到第3次才取得卡口灯泡， 选D ．8．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ）． A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +> C ．(0)(2)2(1)f f f +≥D ．(0)(2)2(1)f f f +≤【答案】C【解析】1x ≥时，()0f x '≥，()f x 在(1,)+∞上单增，1x <时，()0f x '≤，()f x 在(,1)-∞上单减，1x =时，()f x 取得极小值，也为最小值， 选C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数(2i)i z =-的虚部是__________． 【答案】2【解析】2i 1z =+，虚部为2．10．若3230123(21)x a a x a x a x +=+++，则该展开式的二项式系数之和为__________；0123a a a a -+-+ 的值为__________． 【答案】1 【解析】328=，令1x =-，有01231()a a a a -=-++-， 11．若120()d 0x mx x +=⎰，则m =__________．【答案】23-【解析】120()d x mx x +⎰，12．若圆C 的参数方程为3cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆C 的圆心坐标为__________，圆C 与直线30x y +-=的交点个数为__________．【答案】(1,0)C 2【解析】22(1)9x y -+=，3r =，(1,0)C ．有2交点．13．已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数，且()()f x xf x '>恒成立，则不等式21()0x f f x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为__________（结果写成集合或区间形式）． 【答案】{}|1x x > 【解析】()()f x F x x =，2()()()xf x f x F x x'-'=，∴()F x 为定义域上减函数，由21()0x f f x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，得1()1f f x xx x⎛⎫ ⎪⎝⎭>，14．函数()e ln x f x a x =+的定义域设为D ，关于函数()f x 给出下列命题： ①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数． ②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值．③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈,都有()0f x >成立．④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是__________．（写出所有正确命题的序号） 【答案】②④【解析】()e xa f x x'=+，①()e xa f x x'=+在(0,)a ∈+∞时，(0,)x ∈+∞恒大于零，()0f x '>，∴①错误．②对(,0)a ∀∈-∞，00x ∃>使000()e 0x a f x x '=+=且函数()f x 在0(0,)x 上单减，在0(,)x +∞单增，则函数()f x 存在最小值0()f x ，②正确． ③当(0,)a ∈+∞，画出e x y =，ln y a x =， 可看出，0x →时，()f x →-∞，③错误． ④当(,0)a ∈-∞时，由（2）知，()f x 存在，最小值0()f x ，存在a 使得000()e ln 0xf x a x =+<，当0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞， 所以()f x 有两零点，④对， 综上：②④对．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．已知二次函数2()3f x x mx =+-在点(0,3)-处的切线与直线2y x =-平行． （Ⅰ）求实数m 的值．（Ⅱ）求()()4g x xf x x =+的单调区间和极值． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）2()3f x x mx =+-，()2f x x m '=+， 由(0)2f '=-，得2m =-，令()0g x '=，得11x =，213x =．x 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 13 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦1[)1,+∞()g x ' +-0 + ()g x ↑427↓ 0 ↑∴1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，(1,)+∞为单调增区间，1,13⎛⎫⎪⎝⎭为单调递减区间， 在1x =，有极小值0，13x =有极大值427．16．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的． （Ⅰ）求进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买的概率．（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种概率．（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望． 【答案】见解析【解析】记A 为进入的1位买甲，B 为进入的1位买乙，C 为进入的1位买甲、乙中的一种，D 为进入的1位顾客至少购买甲、乙两种中的一种．17．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格． （Ⅰ）求甲、乙两人考试合格的概率分别是多少？ （Ⅱ）求乙答对试题数ξ的概率分布及数学期望？ 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）A ={甲合格}，B ={乙合格}， （Ⅱ）ξ可取1，2，3，ξ 1 2 3P8120 56120 5612018．已知1x =是函数2()1e xax bxf x +=+的极值点．（Ⅰ）求实数a 的值． （Ⅱ）试讨论()f x 的单调性． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）2()1e xax bxf x +=+， 而1x =为极点，当0b =时，()1f x =为常函数， 当0b >时，x (,1)-∞1 (1,)+∞()f x '+ 0- ()f x↑极大↓ x (,1)-∞1(1,)+∞ ()f x '-+()f x↓极小↑0b >时，()f x 在(,1)-∞单增(1,)+∞单减， 0b <时，()f x 在(,1)-∞单减，(1,)+∞单增．19．已知椭圆2214x C y +=:，点A 的坐标为(0,)m 直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N （均异于点A ）．（Ⅰ）若直线l 的方程为2y x =+，求线段MN 的长．（Ⅱ）若直线l 过点(1,0)，点M 、N 均在经点A 为圆心的圆上，求实数m 的取值范围． 【答案】425（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）22442x y y x ⎧+=⎨=+⎩，（Ⅱ）设:(1)l y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ， ∵M ，N 在以A 为圆心圆上， 而1212y y k x x -=-，11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， ∴原式为21212(2)20x x k x x km +++--=， ∴化简有233311441424k m k k k k k===++， 当且仅当12k =时等号成立， 当k 不存在时显然34m ≤时满足题意，综上：34m ≤．20．已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（Ⅱ）当0a >时，函数()f x 在[]1,e 上的最小值为2-，求实数a 的取值范围．（Ⅲ）若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x <，且1122()2()2f x x f x x +<+恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）1a =时，2()3ln f x x x x =-+， （Ⅱ）2()(2)ln f x ax a x x =-++定义域为(0,)+∞， 当0a >时，令()0f x '=，1()(21)(1)0f x x ax x'=--=，∴12x =或1a ，当101a <≤，即1a ≥时，()f x 在[1,e]单增，当11e a <<时，()f x 在[1,e]上最小为1(1)2f f a ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，舍去， 当1e a≥时，()f x 在[1,e]上单减， ∴()f x 在[1,e]上最小为(e)(1)2f f <=-舍去， 综上：1a ≥．（Ⅲ）设2()()2ln g x f x x ax ax x =+=-+，原条件等价为()g x 在(0,)+∞单增， 当0a =时，1()0g x x'=>，合题， 当0a ≠时，只需()0g x '≥在(0,)+∞恒成立， 而(0,)x ∈+∞，只要2210ax ax -+≥， 则要0a ≥，而221y ax ax =-+过(0,1)，104n x =>， 只要280a a ∆=-≤，即08a <≤． 综上，08a ≤≤．。
北京师大附中2014-2015学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科) 后有答案
北京师大附中2014－2015学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科） 后有答案本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 若复数mi m m +-)(2为纯虚数，则实数m 的值为（ ） A. －1B. 0C. 1D. 22. 一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，那么P （A ｜B ）＝（ ）A.41B.31 C.91 D.94 3. 若3322103)12(x a x a x a a x +++=+，则3210a a a a +-+-的值为（ ） A. －27B. 27C. －1D. 14. 若⎰>+=+aa dx xx 1)1(2ln 3)12(，则a 的值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 65. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为（1，3-）。
若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是（ ）A. )34,2(π B. )3,2(π-C. )3,1(π-D. )34,2(π-6. 随机变量ξ服从正态分布),0(2σN ，且4.0)01(=≤≤-ξP ，则)1(>ξP 等于（ ） A. 0.4B. 0.3C. 0.2D. 0.17. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B ，C 分别在x 轴和y 轴非负半轴上，点A 在第一象限，且∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，那么O ，A 两点间距离的（ ）A. 最大值是24，最小值是4B. 最大值是8，最小值是4C. 最大值是24，最小值是2D. 最大值是8，最小值是2 8. 已知抛物线241x y =和51612+-=x y 所围成的封闭曲线如图所示，给定点),0(a A ，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是（ ）A. （1，3）B. （25，4） C. )3,23(D. （2，4）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2014-2015年北京二十四中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
A．[﹣2，+∞）
8． （3 分）用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） B．328 C．360 D．648 ，则下列等式不能成立 的是
A．324 9． （3 分） （ ）
A．x⊗y＝y⊗x B． （x⊗y）⊗z＝x⊗（y⊗z）
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C． （x⊗y）2＝x2⊗y2 D．c• （x⊗y）＝（c•x）⊗（c•y） （其中 c 为常数） 10． （3 分）已知函数 y＝xf′（x）的图象如图所示（其中 f′（x）是函数 f（x） 的导函数） ，下面四个图象中 y＝f（x）的图象大致是（ ）
＝e+1﹣e0﹣0＝e．
【解答】解：∵z＝i（1+2i）＝i+2i＝﹣2+i， ∴复数 z 所对应的点为（﹣2，1） ， 故选：B． 4． （3 分）从 4 个男生，3 个女生中挑选 4 人参加智力竞赛，要求至少有一个女 生参加的选法共有（ A．12 种 ） C．35 种 D．36 种
B．34 种
【解答】解：根据题意，从 4 个男生，3 个女生共 7 人中挑选 4 人，有 C74＝35 种选取方法， 其中没有 1 名女生，即全部为男生的取法有 C44＝1 种， 则至少有一个女生参加的选法有 35﹣1＝34 种； 故选：B． 5． （3 分）用数学归纳法证明（n+1） （n+到 k+1，左边需要增乘的代数式为（ ）
为纯虚数，则实数 a 的值为
．
14． （4 分）曲线 y＝x3 在点（1，1）处的切线与 x 轴、直线 x＝2 所围成的三角 形的面积为 ．
15 ． （4 分）已知命题： “ 若 数 列 {an} 是 等 比 数 列 ， 且 an ＞ 0 ， 则 数 列 也是等比数列” ． 可类比得关于等差数列的一个性质 为 ． 的减区间是 ．
北京市重点中学年高二下期中数学试题(理)及答案(经典版)
北京市2014～2015学年度第二学期期中考试高 二数学（理）试卷(考试时间：100分钟 总分：100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1．已知复数z 满足：i zi +=2（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i 2- B ．i 2 C ．2 D ．2-2．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法。
A.120B.16C.64D.393．已知曲线23ln 14x y x =-+的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．124．由直线12y =,2y =,曲线1y x=及y 轴所围成的封闭图形的面积是（ ） A ．2ln 2 B ．2ln 21- C ．1ln 22D ．545．以下说法正确的是（ ）A.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件B.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件C.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件D.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件 6．设函数()ln =f x x x ，则()f x 的极小值点为（ ） A.=x e B.ln 2=x C.2=x e D.1=x e7．已知1212⨯=，221334⨯⨯=⨯，32135456⨯⨯⨯=⨯⨯,．．．，以此类推，第5个等式为（ ）A ．4213575678⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯B ．521357956789⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯C ．4213579678910⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯D ．5213579678910⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯8．在复平面内，复数34i -，()2i i +对应的点分别为A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为（ ）A ．22i -+B ．22i -C ．1i -+D ．1i - 9．已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）10．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已知()54112012f x x mx =-22x -在()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．31(,)9-∞ B ．31[,5]9C ．(,3]-∞D ．(),5-∞ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）11．函数3()2f x x ax =+-在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是12．设集合{}A b a A ∈=,,5,4,3,2,1,则方程122=+by a x 表示焦点位于y 轴上的椭圆有 个.13．设sin ,0,2()1,,22x x f x x ππ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，则20()f x dx ⎰为 。
北京四中高二数学下学期期中测试试题 文
（试卷满分150分，考试时间为120分钟） 试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1. 复数i-12等于 A. 1＋iB. 1－iC. －1＋iD. －1－i2. 在复平面内，复数iiz -=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列推理所得结论正确的是A. 由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x a a a log log )(log +=+B. 由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x sin sin )sin(+=+C. 由)()(c b a c b a ++=++类比得到)()(yz x z xy =D. 由nn nb a ab =)(类比得到nnny x y x +=+)(4. 若xx x f sin 1)(2-=，则)(x f 的导数是A. x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B. x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C. xx x x sin )1(sin 22-+-D. xx x x sin )1(sin 22---5. 复数i z +=1，z 为z 的共轭复数，则=--1z z zA. －2iB. –iC. iD. 2i6. 已知函数)(x f y =，其导函数)('x f y =的图象如下图，则对于函数)(x f y =的描述正确的是A. 在)0,(-∞上为减函数B. 在0=x 处取得最大值C. 在),4(+∞上为减函数D. 在2=x 处取得最小值7. 函数x x x f ln 3)(+=的单调递减区间为A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-e 1, C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1eD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,18. 函数216x xy +=的极大值为 A. 3B. 4C. 2D. 59. 函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是A. 0>aB. 0≥aC. 0<aD. 0≤a10. 当0<a 时，函数4331223---=x a ax x y 在()+∞,3上是增函数，则实数a 的取值范围是A. ()0,3-B. [)0,3-C. []1,3-D. ()1,3-11. 给出四个命题：（1）函数在闭区间],[b a 上的极大值一定比极小值大； （2）函数在闭区间],[b a 上的最大值一定是极大值；（3）对于12)(23+++=x px x x f ，若6<p ，则)(x f 无极值； （4）函数)(x f 在区间),(b a 上一定不存在最值。
北京四中14-15学年高二上学期期中考试数学理试题_(Word版含答案)
北京四中2014-2015学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
） 1. 抛物线x y 82-=的准线方程为（ ） A. x =2B. x =-2C. x =4D. x =-42. 若双曲线方程为1222=-y x ，则其渐近线方程为（ ） A. x y 2±= B. x y 2±= C. x y 21±= D. x y 22±= 3. 已知点M 的一个极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛3,5π，下列给出的四个极坐标仍能表示点M 的是（ ） A. ⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π B. ⎪⎭⎫⎝⎛34,5πC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5πD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-35,5π 4. “8<m ”是“方程181022=---m y m x 表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点与抛物线x y 82=的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的方程为（ ）A.1161222=+y xB.1121622=+y x C.1644822=+y xD.1486422=+y x 6. 设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 两个焦点分别为F 1,F 2，若C 上存在点P 满足1PF :21F F :2PF =4:3:2，则椭圆C 的离心率等于（ ）A.21B.32C.43 D.317. 已知点P 是抛物线x y 22=上的动点，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎪⎭⎫⎝⎛4,27，则PM PA +的最小值是（ ）A.27 B. 4 C.29 D. 58. 若有两个焦点1F ，2F 的圆锥曲线上存在点P ，使213PF PF =成立，则称该圆锥曲线上存在“α”点，现给出四个圆锥曲线：①112422=-y x ②11522=-y x ③17922=+y x ④141222=+y x 其中存在“α”点的圆锥曲线有（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市重点中学年高二下期中数学试题(理)及答案-精
北京市2014～2015学年度第二学期期中考试高 二数学（理）试卷(考试时间：100分钟 总分：100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知复数z 满足：i zi +=2（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i 2- B ．i 2 C ．2 D ．2-2．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法。
A.120B.16C.64D.393．已知曲线23ln 14x y x =-+的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．124．由直线12y =,2y =,曲线1y x=及y 轴所围成的封闭图形的面积是（ ）A ．2ln 2B ．2ln 21-C ．1ln 22D ．545．以下说法正确的是（ ）A.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件B.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件C.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件D.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件 6．设函数()ln =f x x x ，则()f x 的极小值点为（ ） A.=x e B.ln 2=x C.2=x e D.1=x e7．已知1212⨯=，221334⨯⨯=⨯，32135456⨯⨯⨯=⨯⨯,．．．，以此类推，第5个等式为（ ）A ．4213575678⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯B ．521357956789⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯C ．4213579678910⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯D ．5213579678910⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯8．在复平面内，复数34i -，()2i i +对应的点分别为A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为（ ）A ．22i -+B ．22i -C ．1i -+D ．1i -9．已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）10．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已知()54112012f x x mx =-22x -在()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．31(,)9-∞ B ．31[,5]9C ．(,3]-∞D ．(),5-∞二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）11．函数3()2f x x ax =+-在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是12．设集合{}A b a A ∈=,,5,4,3,2,1,则方程122=+by a x 表示焦点位于y 轴上的椭圆有 个.13．设sin ,0,2()1,,22x x f x x ππ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，则20()f x dx ⎰为 。
北京四中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)
北京四中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分。
卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1. 设i 为虚数单位，则31t＝（ ） A. iB. －iC. 1D. －12. 函数xxe y =的导函数y '＝（ ） A. x xeB. x eC. x e +1D. xe x )1(+3.⎰+1)2(dx x e x 等于（ ）A. 1B. 1-eC. eD. 1+e4. 在复平面内，复数iiz -=1（i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 函数x x x f ln 3)(+=的单调递增区间为（ ） A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0 B. ),(+∞e C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1eD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,16. 由直线0,3,3==-=y x x ππ与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为（ ）A.21B. 1C.23 D.37. 函数)(x f 是定义在),(+∞-∞内的可导函数，且满足：0)()(>>'x f x f x ，对于任意的正实数b a ,，若b a >，则必有（ ）A. )()(a bf b af >B. )()(b af a bf >C. )()(b bf a af <D. )()(b bf a af >8. 函数nmx ax x f )1()(-=在区间]1,0[上的图象如图所示，则n m ,的可能值是（ ）A. 1,1==n mB. 2,1==n mC. 1,2==n mD. 1,3==n m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 的值为____________。
10. 已知R b a ∈,，i 是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2)(bi a ____________。
北京四中2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)
北京四中2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分，考试时间120分钟。
卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1. 设i 为虚数单位，则1i= A. iB. i -C. 1D. －12. 下列函数求导运算正确的个数为 ①(21)2x '-=；②21(log )ln 2x x '=；③()x x e e '=；④()cos sin x x '=。
A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列函数中，在(0,)+∞上为增函数的是 A. 2sin y x = B. x y xe =C. 3y x x =-D. 11y x =+ 4. 由直线1,22x x ==，曲线1y x=及x 轴所围成封闭图形的面积是 A.154B.174C.1ln 22D. 2ln 25. 函数()2cos f x x x =+在[0,]π上的极大值点为 A.6π B.3π C.2πD.56π 6. 用数学归纳法证明22222222(21)12(1)(1)213n n n n n ++++-++-+++=时，由*()n k k N =∈的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是A. 22(1)k k ++B. 22(1)2k k ++C. 2(1)k +D.21(1)[2(1)1]3k k +++ 7. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图象大致为8. 设(0,0),(4,0),(4,4),(,4),A B C t D t t R +∈，记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为A. {9，10，11}B. {9，10，12}C. {9，11，12}D. {10，11，12}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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北京四中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分。
卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1. 设i 为虚数单位，则31t＝（ ） A. iB. －iC. 1D. －12. 函数x xe y =的导函数y '＝（ ） A. xxeB. xeC. xe +1D. x e x )1(+3.⎰+1)2(dx x ex等于（ ）A. 1B. 1-eC. eD. 1+e4. 在复平面内，复数iiz -=1（i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 函数x x x f ln 3)(+=的单调递增区间为（ ） A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0B. ),(+∞eC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1eD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,16. 由直线0,3,3==-=y x x ππ与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为（ ）A.21B. 1C.23 D.37. 函数)(x f 是定义在),(+∞-∞内的可导函数，且满足：0)()(>>'x f x f x ，对于任意的正实数b a ,，若b a >，则必有（ ）A. )()(a bf b af >B. )()(b af a bf >C. )()(b bf a af <D. )()(b bf a af >8. 函数nmx ax x f )1()(-=在区间]1,0[上的图象如图所示，则n m ,的可能值是（ ）A. 1,1==n mB. 2,1==n mC. 1,2==n mD. 1,3==n m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 的值为____________。
10. 已知R b a ∈,，i 是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2)(bi a ____________。
11. 设函数xbax x f -=)(，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为01247=--y x ，则函数)(x f y =的解析式是__________。
12. 函数x x x f cos 2)(+=在]2,0[π上的极大值点为____________。
13. 曲线)430)(4sin(ππ≤≤-=x x y 与坐标轴围成的面积是____________。
14. 函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，对R x ∈∀有2)()(x x f x f =+-，且在),0(+∞上，x x f >')(，若a a f a f 22)()2(-≥--，则实数a 的取值范围为____________。
三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。
15. 已知函数x x x f ln )(=。
（1）求函数)(x f 的极值点；（2）若直线l 过点)1,0(-，并且与曲线)(x f y =相切，求直线l 的方程。
16. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式2)6(103-+-=x x ay ，其中63<<x ，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
（1）求a 的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
17. 设函数R a x e x f ax∈+=,1)(2。
（1）当53=a 时，求函数)(x f 的单调区间； （2）设)(x g 为)(x f 的导函数，当]2,1[e ex ∈时，函数)(x f 的图象总在)(x g 的图象的上方，求a 的取值范围。
卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
1. 函数1)(-=x e x f ，34)(2-+-=x x x g ，若有)()(b g a f =，则b 的取值范围为（ ）A. ]22,22[+-B. )22,22(+-C. ]3,1[D. )3,1(2. 某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：3)10110()(t H t V -=（H 为常数），其图象如图所示。
记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为)/(3h m v ，那么瞬时融化速度等于)/(3h m v 的时刻是图中的（ ）A. 1tB. 2tC. 3tD. 4t3. 已知)(),(x g x f 均是定义在R 上的函数，)()()()(,0)(x g x f x g x f x g '<'≠，=)(x f25)1()1()1()1()01()(=--+>≠⋅g f g f a a x g x ，在有穷数列)10,2,1()()( =⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n g n f 中，任取正整数)101(≤≤k k ，则前k 项和大于1615的概率是（ ） A. 51 B.52C.53 D.54二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
4. 已知复数i z i z i z 23,1,21321-=-=+-=，它们所对应的点分别为C B A ,,。
若y x +=，则y x +的值是_________。
5. 如图，1±=x 是函数d cx bx ax x f +++=23)(的两个极值点，)(x f '为函数)(x f 的导函数，则不等式0)(>'⋅x f x 的解集为______________。
6. 当0>x 时，不等式1ln 1ln +≤+x kxx x 都成立，则实数k 的取值范围是___________。
三、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分。
7. 已知函数x e x f =)(，点)0,(a A 为一定点，直线)(a t t x ≠=分别与函数)(x f 的图象和x 轴交于点N M ,，记△AMN 的面积为)(t S 。
（1）当0=a 时，求函数)(t S 的单调区间；（2）当2>a 时，若]2,0[0∈∃t ，使得e t S ≥)(0，求实数a 的取值范围。
8. 已知函数1ln )(),(,)(-=∈=x x g R a ax x f 。
（1）若函数x x f xx g x h 2)(21)()(--+=存在单调递减区间，求a 的取值范围； （2）当0>a 时，试讨论)(x f 与)(x h 这两个函数图象的交点个数。
【试题答案】卷（Ⅰ）1-8 ADCCCDBB 9. 210. i 43+11. xx x f 3)(-= 126π 13. 222-14. ]1,(-∞15. 解（1）0,1ln )(>+='x x x f ， 由0)(='x f 得e x 1=， 所以，)(x f 在区间)1,0(e上单调递减，在区间),1(+∞e上单调递增， 所以，ex 1=是函数)(x f 的极小值点，极大值点不存在。
（2）设切点坐标为),(00y x ，则000ln x x y =， 切线的斜率为1ln 0+x ， 所以，00011ln x y x +=+， 解得0,100==y x ，所以直线l 的方程为01=--y x 。
16. 解：（Ⅰ）因为5=x 时11=y ，所以211102=⇒=+a a； （Ⅱ）由（Ⅰ）知该商品每日的销售量2)6(1032-+-=x x y ，所以商场每日销售该商品所获得的利润；63,)6)(3(102])6(1032)[3()(22<<--+=-+--=x x x x x x x f ； )6)(4(30)]6)(3(2)6[(10)(2--=--+-='x x x x x x f ，令0)(='x f 得4=x函数)(x f 在)4,3(上递增，在)6,4(上递减，所以当4=x 时函数)(x f 取得最大值)4(f ＝42答：当销售价格4=x 时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42。
17. 解：（Ⅰ）当53=a 时，22253)1(5)3103()(++-='x x x e x f x。
由0)(>'x f 得031032>+-x x ，解得31<x 或3>x ； 由0)(<'x f 得031032<+-x x ，解得331<<x ， 所以函数)(x f 的单调增区间为),3(),31,(+∞-∞，单调减区间为)3,31(。
（Ⅱ）因为222)1()2()()(++-='=x a x ax e x f x g ax ， 又因为函数)(x f 的图象总在)(x g 的图象的上方，所以)()(x g x f >，即2222)1()2(1++->+x a x ax e x e ax ax 在]2,1[e e x ∈恒成立。
又因为012>+x e ax，所以)1(2)1(22+<-+x x x a ，所以x x a 2)1)(1(2<+-， 又012>+x ，所以1212+<-x xa ， 设12)(2+=x x x h ，则])2,1[()(1mine e x x h a ∈<-即可， 又222)1()1(2)(+-='x x x h ，由0)1()1(2)(222>+-='x x x h ，注意到]2,1[e e x ∈，解得11<≤x e ； 由0)1()1(2)(222<+-='x x x h ，注意到]2,1[e e x ∈，解得e x 21≤<， 所以)(x h 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,1e 单调递增，在区间]2,1(e 单调递减， 所以)(x h 的最小值为)1(eh 或)2(e h ， 因为144)2(,12)1(22+=+=e e e h e e e h ，作差可知1214422+<+e ee e ， 所以14412+<-e ea ，所以a 的取值范围是)14144,(22+++-∞e e e 。
卷（Ⅱ）1. B2. C3. C4. 55. )1,0()1,( --∞6. 2≥k7. 解：（Ⅰ）因为e a t t S '-=||21)(，其中a t ≠ 当0=a ，e t t S '=||21)(，其中0≠t 当0>t 时，e t t S e t t S '+=''=)1(21)(,21)(， 所以0)(>'t S ，所以)(t S 在),0(+∞上递增， 当0<t 时，e t t S e t t S '+-=''-=)1(21)(,21)(， 令0)1(21)(>'+-='e t t S ，解得1-<t ，所以)(t S 在)1,(--∞上递增 令0)1(21)(<'+-='e t t S ，解得1->t ，所以)(t S 在)0,1(-上递减 综上，)(t S 的单调递增区间为)1,(),,0(--∞+∞ （Ⅱ）因为e a t t S '-=||21)(，其中a t ≠ 当2>a ，]2,0[∈t 时，e t a t S '-=)(21)( 因为]2,0[0∈∃t ，使得e t S ≥)(0，所以)(t S 在]2,0[上的最大值一定大于等于ee a t t S '---=')]1([21)(，令0)(='t S ，得1-=a t当21≥-a 时，即3≥a 时0)]1([21)(>'---='e a t t S 对)2,0(∈t 成立，)(t S 单调递增所以当2=t 时，)(t S 取得最大值2)2(21)2(e a S -= 令e e a ≥-2)2(21，解得22+≥ea ， 所以3≥a当21<-a 时，即3<a 时0)]1([21)(>'---='e a t t S 对)1,0(-∈a t 成立，)(t S 单调递增0)]1([21)(<'---='e a t t S 对)2,1(-∈a t 成立，)(t S 单调递减所以当1-=a t 时，)(t S 取得最大值121)1(-=-a e a S令e e a S a ≥=--121)1(，解得22ln +≥a 所以322ln <≤+a 综上所述，a ≤+22ln 8. 解：（1）21)(),0(22ln )(2--='>--=ax xx h x x x a x x h ， 若使)(x h 存在单调递减区间，则021)(<--='ax xx h 在),0(+∞上有解， 而当0>x 时，x x a x ax ax x 21210212->⇔->⇔<--问题转化为21xa >－x 2在),0(+∞上有解，故a 大于函数xx 212-在),0(+∞上的最小值， 又x xx x x 21,1)11(21222---=-在),0(+∞上的最小值为－1，所以1->a 。