关于乘法意义

关于“新教材‘乘法意义’”的再思考

- 作者：冷满红文章来源：作者原创

上个世纪八十年代中期，曾展开了一轮关于“乘法意义”的讨论，当时的结论基本上是赞同不必区分被乘数和乘数，后来的课程改革也是朝着这个方向走的。然而在实践了这段时间后，一些小学数学教师结合教学实践提出了自己的困惑。

一、问题的提出

实践了几年时间，更多的教师从教学实践的角度来反思新教材关于“乘法意义”改动的思考。很多教师提出，由于“乘法意义”的改革使教学实践中产生了一些很难理解的问题。例如：既然不再区分被乘数与乘数，也就不再区分相同加数与相同加数的个数的位置，这样一来，“8×2”或“2×8”都可以用来表示“8个2”，那么整数乘法意义“求几个相同加数的和的简便运算”该怎么理解呢？再如：“3×2/3”根据一个数成分数的意义应该表示3的2/3是多少，但是根据整数乘法意义的延伸，是否也可理解为3个2/3相加是多少呢？又如：路程=速度×时间，如果交换因数的位置来列式，列出来的算式又该如何理解呢？鉴于以上问题，一些教师提出了乘法意义“还是应遵循老教材中的说法为好”的意见。

二、对困惑的初步分析

纵观上述观点，认为“乘法意义应遵循老教材的说法”的一个重要的原因是对一些算式无法做出“合理”的解释。例如：“8×2”到底表示“8个2相乘”还是表示“2个8相乘”；“3×2/3”是表示“3的2/3是多少”还是也可以表示“3个2/3是多少”；“同学们去植树，每人植2棵，某班50人，共植多少棵树？”如果列式为“50×2”该如何理解等等。笔者认为出现这样的困惑很大程度上与改革的进程和新课程理念的落实有一定的关系。事实上，在九十年代，就已确定不再区分被乘数与乘数。但是直到如今，很多地区仍在使用的人民教育出版社《九年义务教育六年制小学教科书》上，仍将小数乘法的意义与分数乘法的意义作为一个学习的重点与难点来安排，仍在强调“3×2/3”与“2/3×3”这样的算式表示的意义上的不同。很多的教辅资料仍有一些要求进行严格区分意义的习题。如：“填空3×2/3表示（）”。这样一来，就与新教材的乘法意义发生了一定程度的冲突，给仍在使用老教材的教师与学生的思维造成了一定程度的“混乱”。但是改革需要一段较长的时间，新课程理念的扎根需要一个过程（当然，新老教材的交替也需要逐步进行）。面对这样一个“转型”阶段，我们更应深入地把握教材，深入地领会新课程理念。

三、新课程关于“乘法意义” 相关改动的连接

1、结合情境理解乘法意义，是新课程提出的新理念。

在《数学课程标准》13页明确表示：“结合具体情境，体会四则运算的意义。”由此可见，单独追问一个算式表示的意义已成为历史！“填空：3×2/3表示（）”之类的题目将随着老教材的逐步更新而退出舞台！（实际上，在一个具体的问题情境中，乘法算式所代表的意义一般可以认为是特定的，如“一根3米长的绳子，用去2/3，用去多少米？”不论你写成3×2/3还是写成2/3×3，都可以理解为“3米的2/3”。）另外，对学生“运算意义的理解和应用”的要求做了相应的调整，只要能“运用数与计算的知识描述并解决实际问题”（详见《数学课程标准》71页）就已达到了学习的要求。

2、淡化乘法意义的教学，是教材改编中的指导思想之一。

根据新课标关于乘法意义的改动，新教材对相关内容做出了合理的调整，乘法意义的教学呈淡化趋势。以人民教育出版社编辑出版的《义务教育课程标准试验教科书》为例(后面的分析中涉及课本时，均以此书参照)，在五年级上册“小数乘法”部分，已找不到关于“小数乘法意义”的专门的介绍，并且在相应的教师用书（在教师用书中写道：“与原义务教材比，淡化了小数乘法意义的教学，把重点放在计算的算理和方法的总结上，引导学生利用因数的变化引起积的变化规律来解释小数乘法的算理，并由此总结小数乘法的一般方法。”）中强调了意义教学的淡化与解决问题教学的突出。在六年级上册“分数乘法”部分，（没有象老教材那样将分数乘法的意义分为分数乘整数与一个数乘分数两部分进行学习）也找不到关于“分数乘法的意义”的专门介绍。

四、深入理解新课程关于乘法意义改动的必要性

1、新教材“乘法意义”更接近乘法的本质，更为科学。

整数乘法的意义是“求几个相同加数的和的简便运算”。这一本质在过去和今天的教材中都是一样的。只是在形式上，新教材允许把“2+2+2+2+2+2+2+2”改写成“2×8”，也可以改写成“8×2”。反过来，也就是说“2×8”可以表示“8个2相加的和”，也可以表示“2个8相加的和”。这可以说是“乘法意义”的一次突破，使我们对“乘法意义”的认识更接近其本质，因为“2×8”可以表示两种意义，以前只有一种意义完全是人为规定的。

实质上，“乘法意义”具有阶段性与统一性。“乘法意义”在不同阶段有不同的含义，并且可以用“向下兼容”来形容。首先，“几个”是“几倍”的特例。在整数乘法中，两者是等价的，这种思想可以让学生更容易认识“几倍”；当得不到整数倍时，就出现了小数倍，这时的“几个”是“几倍”的一种特例，乘法意义也就开始了扩展。其次，“一个数的几分之几”也是“一个数的几倍”的特例。当不到1倍时，我们就习惯于说“几分之几”，而不说“几倍”。再次，在学习了百分数后，“几倍”和“几分之几”都可以用百分数来表示，这样，乘法意义的不同表述的统一性又一次体现出来了。由此可见，“乘法意义”具有阶段性，同时又有统一性。过去，我们的思想却一直停留在一种不统一的状态，或人为分裂的状态。

2、新教材“乘法意义”为学生学习更多的“有价值的数学”提供支持。

①、减轻了学生的操练性负担。如让学生算“5个3是多少”，过去，教师在审题阶段就要反复强调3是相同加数，5是相同加数的个数。在列式时还要强调谁做被乘数，谁做乘数。即使这样，还是避免不了学生列出过去被认为是错误的“5×3”这样的算式。而新教材的改动，使教师从这样的枯燥反复的教学中解放出来。学生也不必再为“谁在前，谁在后”而抓耳挠腮，从而有更多的时间与精力投入到探究性的能发展思维的数学知识的学习当中去，“学有价值的数学”的新课程理念也在这得到了落实。

②、方便了学生对一些数学规律的探索。例如人教版试验教科书四年级下册（第33～34页）的乘法交换率部分的编写：首先教材创设了一个“学生植树的情境”，在情境中提供了一些线索“一共有25个小组，每组4人负责挖坑、种树”，然后在例1中提出了“负责挖坑、种树的一共有多少人”的问题。由于乘法意义的变革，（在对应的教师用书中写道“学生一般都能说出4×25和25×4两个算式。接着提问：这两个算式得数是否相等？都表示什么？两个算式之间可以用什么符号连接？然后让学生再举出几个这样的例子，再提问：看看从中能发现什