用矩阵概念来解决逻辑判断问题

用矩阵概念来解决逻辑判断问题(2012/12/14 9:27:49)

来源：原创

[转载] 分类：线性代数专栏

线性代数中矩阵概念的应用十分广泛，无论是在日常生活中还是在科学研究中,矩阵都是一种十分常见的数学现象,诸如学校里的课表、成绩统计表;工厂里的生产进度表、销售统计表;车站里的时刻表、价目表;股市中的证券价目表;科研领域中的数据分析表等,它是表述或处理大量的生活、生产与科研问题的有力工具.矩阵的重要作用首先在于它不仅能把头绪纷繁的事物按一定的规则清晰地展现出来,使我们不至于被一些表面看起来杂乱无章的关系弄得晕头转向;其次在于它能恰当地刻画事物之间的内在联系,并通过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系;最后在于它还是我们求解数学问题的一种特殊“数形结合”的途径.

现在展示一个矩阵概念在解决逻辑判断问题中的一个应用.

问题：甲、乙、丙、丁、戊五人各从图书馆借来一本小说，他们约定读完互相交换，这五本书的厚度以及他们五人的阅读速度差不多，因此，五人总是同时交换书，经四次交换后，他们五人读完了这五本书，现已知: (1)甲最后读的书是乙读的第二本书； (2)丙最后读的书是乙读的第四本书； (3)丙读的第二本书甲在一开始就读了； (4)丁最后读的书是丙读的第三本； (5)乙读的第四本书是戊读到第三本书； (6)丁第三次读的书是丙一开始读的那本书. 试根据以上情况说出丁第二次读的书是谁最先读的书？

解答：设甲、乙、丙、丁、戊最后读的书的代号依次为，则根据题设条件可以列出下列

初始矩阵：

12345x y A x

D y C C A B C D

E ??

? ? ?

? ? ???

甲乙丙丁戊

其中的表示尚未确定的书名代号. 同一字母代表同一本书.

由题意知，经5次阅读后乙将五本书全都阅读了，则从上述矩阵可以看出，乙第3次读的书不可能是A 、B 或C ， 另外由于丙在第3次阅读的是D ， 所以乙第3次读的书也不可能是D ，因此，乙第3次读的书是E ，从而乙第1次读的书是D. 同理可推出甲第3次读的书

是B. 因此上述矩阵中的

y 为A, x 为E. 由此可确定个人的阅读顺序，如下述矩阵所示：12345E D A C B C A E B D B E D A C D C B E A A B C D E ?? ? ?

? ? ?

???

甲乙丙丁戊

由此矩阵知，丁第2次读的书是戊一开始读的那一本书.

线性代数在飞机模型中的应用(2012/12/21 14:28:53)

来源：原创

[转载] 分类：线性代数专栏

为了设计新一代的民用或军用飞机，在正式建造飞机的物理模型之前，工程师们首先会利用数值模拟技术在计算机虚拟仿真系统中构建出飞机的三维模型，并通过对飞机飞行过程的虚拟研究飞机周围气流的变化，以解决飞机结构设计中的重大问题. 这在很大程度上缩短了设计周期、节省了设计成本和降低了试验风险，尤其是彻底打破了时间与空间的限制，这其中线性代数发挥了至关重要的作用.

虽然最后制造完成的飞机表面相当平滑，但其几何结构实

际上是错综复杂的（见图1），除了机翼和机身，一架飞机还包括发动机舱、水平尾翼、活动辅助翼和副翼. 飞机飞行时空气在这些部件周围的流动方式决定了飞机在空中的飞行方式. 描述这些气流的方程非常复杂. 因此，为了研究气流对飞机飞行的影响，工程师们需要高度精确地描述飞机的表面.

为了得到飞机结构的数值模型，典型的做法是向飞机的虚

拟实体模型中添加一个三维的立方体网格. 每个小网格中的立方体称为三维单元，它们或者完全位于飞机内部，或者完全位于飞机外部，或者与飞机表面相交（见图2）. 一个典型的三维网格可能包含几十万甚至上百万个三维单元. 可以想象的是，网格细分的程度越高，它包含的三维单元的个数就越多，虚拟系统的仿真程度也就越高. 当网格的细分使得相关的三维单元足够小时，则在该单元上，描述气流的复杂方程可被简单的线性方程（组）近似代替，因此，计算飞机表面的气流实质上需要反复求解包含多达数百万个线性方程和未知量的线性方程组. 即使利用目前市场上速度最快的计算机，工程师们建立并求解一个气流问题也要花费几小时到几天的计算时间. 而整个虚拟仿真过程可能要处理上千个这样的问题.

上一段中描述的将一个实体模型划分为有限个单元以及在充分小的单元上将复杂方程近似线性化的思想就是目前在许多计算与仿真软件系统中广泛采用的“有限单元法”的基本思想，它自20世纪80年代起迅速发展，目前已成为众多计算与仿真软件系统的算法基础. 线性代数在应用上的重要性与计算机的计算性能成正比例增长，而这一性能伴随着计算机软硬件的创新在不断提升. 最终，计算机并行处理和大规模计算的迅猛发展将会把计算机科学与线性代数紧紧地联系在一起，并广泛应用于解决飞机制造、桥梁设计、交通规划、石油勘探、经济管理等领域的科学问题.

科学家和工程师如今处理的问题远比几十年前想象的要复杂得多. 今天，对于理工科和经济管理学科专业的大学生来说，线性代数比其它大学数学课程具有更大的潜在应用价值.

如何利用范德蒙德(Vandermonde)行列式的结论计算特殊的行列式

（一）定义

形如1

2

3

2

222121

2

3

1

11112

31111(,,,)n

n n n n n n n n

x x x x D x x x x x x x x x x x ----=

的行列式称为n 阶范德蒙德行列式 且1()n i j j i n

D x x ≤<≤=

-∏

（二）应用举例

例1 计算行列式2

2

231

233

3312

3

1

1

1

D x x x x x x = 解：该行列式与范德蒙德行列式很接近，仅缺少一次项，可通过构造成为范德蒙德行列式。

令12342222

1233333

1

2

3

1

111x x x y D x x x y

x

x

x

y =

则412231

()()()

()i

j

i j D y x y x y x x x ≥>≥=----∏

另一方面，按第4列展开得，23

4142434441D A yA y A y A =+++

题设行列式324D A = 即y 的系数，则

312233131

()

()i

j

i j D x x x x x x x x ≥>≥=++-∏12

2331313221()()()()x x

x x x x x x x x x x =++---

例2 设0a b c >>>，试用范德蒙德行列式证明2

22

0a a bc D b

b a

c c

c ab

=< 证明 先利用行列式性质将第三列进行变换，再用范德蒙德行列式证明。

22

2

a a bc D

b b

ac c

c ab

=313131222

2

22312

22

c c a c c b c c c

a a a a

b a

c bc a a ab ac bc b b ab b bc ac c c b b ab bc ac

c c ac bc c ab c c ac bc ab

+?+?+?++++++++-+++++++

222222

2

2

2

11111()1()1()1

1a a a a ab bc ac b b ab bc ac b b ab bc ac a

b c c c c

c a b c =++=++=++

()()()()0ab bc ac c a c b b a =++---<

例3 计算n+1阶行列式

11111

1111

12

22222111

11111

n

n n n n n n n

n n n n n n n n n n a a b a b b a a b a b b a a b a b b ------++++++

解 每行元素a 的幂递减，b 为升幂。每行提a 的n 次幂有：

111

1

2

2

11

1122

11

22112

2

121

2

111

n n n n n n n

n

n n n n n

b b a a b b a a b b a a b a b a b a D a a a

+++++++???? ? ???

??

???? ? ?=???????? ? ?

??

??

12

1

11j n n

n i n j i n i j b b a a a a a +≤<≤+??

=- ? ???

∏ ()11

j i

i j

j i n a b a b ≤<≤+=

-∏

小结：利用范德蒙德行列式的结论计算行列式的本质：利用行列式的某些特殊行列式（即行列式中的行或列中元素为字母的递增次幂）化为范德蒙德行列式的计算结论来简化计算。