反比例函数求K值

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专题01 用几何意义探究反比例函数中k值问题的多种解法(解析版)

专题01 用几何意义探究反比例函数中k 值问题的多种解法如图，反比例函数k y x =（k >0），A 、C 是第一象限上两点，S △OAB =S △OCD =2k ；S △OAC =S 梯形ABDC 在已知面积或比例线段解答反比例函数的问题中，善于利用k 与面积的关系，往往可以事半功倍．典例1．知面积比值，求k 值（2022•山东聊城中考真题）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y 轴交于点B ，过双曲线上的一点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交直线于点E ，且．()30y px p =+¹()0k y k x=>()2,A q 3y px =+:3:4AOB COD S S =△△(1)求k ，p 的值；(2)若OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，求点C 的坐标．【答案】(1)，；(2)点C 的坐标为(4，2)【解析】【方法一】坐标法（1）解：∵直线与y 轴交点为B ，∴，即．∵点A 的横坐标为2，∴．∵，∴△COD 的面积为4，设，∴，解得．∵点在双曲线上，∴，把点代入，得，∴，；8k =12p =3y px =+()0,3B 3OB =13232AOB S =´´=V :3:4AOB COD S S =△△,k C m m æöç÷èø142k m m×=8k =()2,A q 8y x=4q =()2,4A 3y px =+12p =8k =12p =（2）解：由（1）得8,C m m æöç÷èø，∴．∵OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，∴，∵32BOE S m =△，，∴，解得或（不符合题意，舍去），∴点的坐标为（4，2）．【方法二】k 的几何意义法解：（1）由题意知，△ABO 的面积为3，又，得：△OCD 的面积为4，故k =2S △OCD =8，所以，A （2,4），把点代入，得（2）如图，过A ，E 作y 轴垂线，垂足为M ，N则四边形ODEN 为矩形，所以，S △OEN =S △OED ，又S △OBE =S △OCE ，所以S △BEN =S △OCD =4，1,32E m m æö+ç÷èøBOE COE S S =△△13422COE m S m æö=+-ç÷èø△3134222m m m æö=+-ç÷èø4m =4m =-C :3:4AOB COD S S =△△()2,4A 3y px =+12p =所以S △ABM =1，∵AM ∥NE ，∴△ABM ∽△EBN ，其面积比为1:4，∴AM ：NE =1:2，即NE =4，∴C 点坐标为（4,2）典例2．知比例线段，求k 值（2022•贵州铜仁中考真题）如图，点A 、B 在反比例函数k y x=的图象上，AC y ^轴，垂足为D ，BC AC ^．若四边形AOBC 的面积为6，12AD AC =，则k 的值为_______．【答案】3．【解析】【方法一】坐标法设点,k A a a æöç÷èø，∵AC y ^轴，∴AD a =，k OD a =，∵12AD AC =，∴AC 2a =，∴CD =3a ，∵BC AC ^．AC y ^轴，∴BC ∥y 轴，∴点B 3,3æöç÷èøk a a ，∴233k k k BC a a a=-=，∵AOD AOBC OBCD S S S =+V 四边形梯形，四边形AOBC 间面积为6，∴12136232k k a k a a æö+´=+ç÷èø，解得：3k =．【方法二】k 的几何意义法如图，连接OC ，延长CB 交x 轴于E ，则S △AOD =S △BOE =12k ，因为AD ：AC =1:2，所以S △AOC =2S △AOD =k ，S △BOC =6-k ，又四边形DOEC 为矩形，OC 为对角线，所以，S △COD =S △COE ，所以12k +k =6-k +12k ，解得：k =3．典例3．知面积值，求k 值（2022•内蒙古呼伦贝尔中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB △的直角顶点B 在x 轴的正半轴上，点O 与原点重合，点A 在第一象限，反比例函数k y x=（0x >）的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D ，连接CD ．若ACD △的面积是1，则k 的值是_________．【答案】43．【解析】【方法一】坐标法解：设C （m ，k m），因为C 为OA 中点，所以A （2m ，2k m），则D （2m ，2k m ），又△ACD 的面积为1，所以12122k k m m m æö×-=ç÷èø，解得：k =43【方法二】k 的几何意义法解：连接OD ，过C 作CE AB ∥，交x 轴于E ，∵∠ABO ＝90°，反比例函数k y x =（x ＞0）的图象经过OA 的中点C ，1ACD S =V ，∴12COE BOD S S k ==△△，1ACD OCD S S ==V V ，2OC =OA ，∵CE AB ∥，∴△OCE ∽△OAB ，∴221124OCE S OC S OA æöæö===ç÷ç÷èøèø△△O A B ，∴4OCE OAB ACD OCD OBD S S S S S ==++V V V V V ，∴1141122k k ´=++，∴k ＝43，故答案为：43．1.（2022•辽宁锦州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的边OB 在y 轴上，边AB 与x 轴交于点D ，且BD =AD ，反比例函数y =k x(x >0)的图像经过点A ，若S △OAB =1，则k 的值为___________．【答案】2．【解析】【方法一】坐标法解：设A(a，b) ，如图，作A过x轴的垂线与x轴交于C，则：AC=b，OC=a，AC∥OB，∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，∴△ADC≌△BDO，∴S△ADC=S△BDO，∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，∴12×OC×AC=12ab=1，∴ab=2，∵A(a，b) 在y=kx上，∴k=ab=2 ．【方法二】k的几何意义法由上知，S△AOC=1，所以，k=2S△AOC=2故答案为：2．2.（2022•辽宁鞍山中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点．在Rt OAB V 中，90OAB Ð=°，边OA 在y 轴上，点D 是边OB 上一点，且:1:2OD DB =，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点D 交AB 于点C ，连接OC ．若4OBC S =△，则k 的值为_________．【答案】1．【解析】【方法一】坐标法解：∵反比例函数()0k y x x=>的图象经过点D ，∠OAB ＝90°，∴D （m ，k m ），∵OD ：DB ＝1：2，∴B （3m ，3k m），∴AB ＝3m ，OA ＝3k m ，∴反比例函数()0k y x x =>的图象经过点D 交AB 于点C ，∠OAB ＝90°，∴12AOC S k =△，∵4OBC S △＝，∴4AOB AOC S S -△△＝，即1313422k m k m ´×-=，解得k ＝1【方法二】k 的几何意义法如图，过D 作DE ⊥x 轴，则DE ∥AB ，因为OD ：BD =1:2，所以DE ：AB =1:3，所以S △ODE ：S △OAB =1：9，又S △ODE =S △OAC =12k ，所以12k +4=92k ，解得：k =13.（2022•江苏南通中考真题）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点．若，则k 的值为___________．【答案】【解析】【方法一】坐标法解：∵点是函数图象上的三点，∴，，∴m ＝n ，∴，，∴点B 、C 关于原点对称，∴设直线BC 的解析式为，代入得：，解得：，∴直线BC 的解析式为，xOy (,6),(3,2),(3,2)--A m m B m n C m n (0)k y k x=¹2ABC S =△34(,6),(3,2),(3,2)--A m m B m n C m n (0)k y k x =¹260k m =>6k mn =(3,2)B m m (3,2)C m m --()0y kx k =¹(3,2)B m m 23m mk =23k =23y x =不妨设m ＞0，如图，过点A 作x 轴的垂线交BC 于D ，把x ＝m 代入得：，∴D （m ，），∴AD ＝，∴，∴，∴，而当m ＜0时，可得，故答案为：．【方法二】由题意知，S △OAB =12632m n m m ×-×，O 为BC 中点，因为所以，S △OAB =12632m n m m ×-×=1，即291mn m -=①，又632m m m n k ×=×=②，23y x =23y m =23m 216633m m m -=()11633223ABC S m m m =´×+=V 218m =2136684k m ==´=34k =342ABC S =△由①②可得：4.（2022•湖北十堰中考真题）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数()110k y k x=>和()220k y k x =>的图象上．若BD y ∥轴，点D 的横坐标为3，则12k k +=（）A ．36B ．18C ．12D ．9【答案】B ．【解析】【方法一】解：连接AC ，与BD 相交于点P ，设PA =PB =PC =PD =t （t ≠0）．∴点D 的坐标为（3，23k ），∴点C 的坐标为（3-t ，23k +t ）．∵点C 在反比例函数y =2k x 的图象上，34k=∴（3-t ）（23k +t ）=k 2，化简得：t =3-23k ，∴点B 的纵坐标为23k +2t =23k +2（3-23k ）=6-23k ，∴点B 的坐标为（3，6-23k ），∴3×（6-23k ）=1k ，整理，得：1k +2k =18．【方法二】先利用D 点坐标，表示出A 和C 点坐标，再根据四边形ABCD 为正方形，BD 与y 轴平行，知AC 平行于x 轴，那么，A 和C 点的纵坐标相等，进而求解23,3k D æöç÷èø，13,3k B æöç÷èø，122123,636k k k C k k æöç÷--ç÷-ç÷-èø，121123,636k k k A k k æöç÷-+ç÷-ç÷+èø所以2112123366k k k k k k =---+，整理得：()212212180k k k k ---=即()()1212108k k k k -+=-因为()120k k -¹所以()12018k k +-=，即1218k k +=5.（2022•黑龙江龙东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数3y x =的图象上，顶点A 在反比例函数k y x=的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D ．【解析】解：设B点坐标为3,mmæöç÷èø，则A3,3kmmæöç÷èø，因为平行四边形OBAD的面积是5，所以353kmmmæö-×=ç÷èø，解得k=-2【方法二】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，∴1522AOB OBADS S==V Y，AB∥OD，∴AB⊥y轴，∵点B在反比例函数3yx=的图象上，顶点A在反比例函数kyx=的图象上，∴3,22 COB COAkS S==-V V，∴35222 AOB COB COAkS S S=+=-=V V V，解得：2k=-．故选：D．6.（2022•湖北黄石中考真题）如图，反比例函数kyx=的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，OCE△的面积为6，则k=______________．【答案】8．【解析】设C （m ，0），由题意知E 为AC 中点，因为△OCE 面积为6，所以E 点纵坐标为12m，所以E 12,12km m æöç÷èø，A 24,6km m m æö-ç÷èø，又A 在反比例函数图像上所以246km m k mæö-×=ç÷èø解得k =8【方法二】解：如图作EF ⊥BC ，则12EF AB =，设E 点坐标为（a ，b ），则A 点的纵坐标为2b ，则可设A 点坐标为（c ，2b ），∵点A ，E 在反比例函数k y x=上，∴ab =k =2bc ，解得：a =2c ，故BF =FC =2c -c =c ，∴OC =3c ，故113622OEC S OC EF c b =´´=´´=V ，解得：bc =4，∴k =2bc =8，故答案为：8．7.（2022•贵州六盘水中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．y x =4y x=A B(1)求，两点的坐标；(2)将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：联立与，解得，；（2）【方法一】解：如图，过点作轴于点，A B y x =a C x D y E 13CD DE =a ()()2,2,2,2A B --3a =y x =4y x=121222,22x x y y ==-ììíí==-îî()()2,2,2,2A B \--C CF y ^F，，，直线向下平移个单位长度得到，根据图象可知,令，得，令，得，，，，，与反比例函数在第一象限的图象交于点，，将代入，得，解得或（舍去）．【方法二】CF OD \∥Q 13CD DE =13OF CD OE DE \==Q y x =a y x a =-0a >0x =y a =-0y =x a =()0,E a \-(),0D a 10,3F a æö\ç÷èø13c y a \=Q y x a =-4y x=C 41213c x aa \==121,3C a a æöç÷èøy x a =-1123a a a=-3a =3a =-如图，连接OC ，过C 作CE ⊥x 轴，因为CD ：DE =1:3，CE ∥OE则△CDE ∽△EDO ，相似比为1:3，面积比为1:9，易知△ODE 面积为212a ，△OCE 的面积为12k =2，所以△OCD 的面积为2-2118a ，又△OCD 与△ODE 的面积比为1:3，所以2-2118a =21132a ´，解得：a =3或a =-3（舍）8.（2022•安徽中考真题）如图，平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，A 在x 轴的正半轴上，B ，C 在第一象限，反比例函数1y x =的图象经过点C ，()0k y k x=¹的图象经过点B ．若OC AC =，则k =________．【答案】3．【解析】【方法一】设C 1,m m æöç÷èø，因为OC =AC所以A ()2,0m ，又OABC 为平行四边形所以B 13,m m æöç÷èø因为B 点在k y x =上，所以k =133m m ×=【方法二】解：过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∴CD ∥BE ，∵四边形ABCO 为平行四边形，∴CB OA ∥ ，即CB DE ∥，OC =AB ，∴四边形CDEB 为平行四边形，∵CD ⊥OA ，∴四边形CDEB 为矩形，∴CD =BE ，∴在Rt △COD 和Rt △BAE 中，OC AB CD EB =ìí=î，∴Rt △COD ≌Rt △BAE （HL ），∴S △OCD =S △ABE ，∵OC =AC ，CD ⊥OA ，∴OD =AD ，∵反比例函数1yx=的图象经过点C，∴S△OCD=S△CAD=12，∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，∴S△OBA=11 2OCBAS=平行四边形，∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=13122+=，∴3232k=´=．故答案为3．。

应用反比例函数中k的几何意义解题举例

S1
B
S2
O
x
图3
1
图4
例 3 如图 4，A、B 是函数 y 2 的图象上关于原点对称的任意两点， x
BC∥ x 轴，AC∥ y 轴，△ABC 的面积记为 S ，则（）
A． S 2
B． S 4
C．2 S 4
D． S 4
解析 ∵ A、B 是函数 y 2 的图象上关于原点对称的任意两点， x
MO
x
∵ y k , ∴ xy=k, ∴ S = k .
图1
x
探究 2：若 Q(x，y)为反比例函数 y k (k≠0)图像上的任意一点如图 2 所示，过 Q 作 x
k
QA⊥x 轴于 A(或作 QB⊥y 轴于 B)，连结 QO，则所得三角形的面积为：S△QOA= （或 S△
2
4
k QOB= 2 ）.（本题由同学们自己试着说明理由）
2
（保留根号）．
解析：∵△AOB 的面积为 1，
∴
1
k=1,k=2
。
2
解方程组 y=x+1
Y= 2 , x
得 A 的坐标（1，2）。
由一次函数 y x 1的图象与 x 轴相交于点 C，
y A
C OB
x
图7
∴OC=1,BC=2,AB=2,由勾股定理得 AC ＝2 2 。
5、探讨面积的变化
例 7 如图 7，在直角坐标系中，点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点，点 B 是双曲线
y
k
解：∵S△MON= =2, ∴ k =4,∴k=±4．
M
2
又∵双曲线在第二、第四象限内，∴k＜0，
∴k=-4, ∴所求反比例函数的解析式为 y 4 ． x

反比例函数中k的几何意义的应用

反比例函数中k的几何意义的应用
k在反比例函数中具有重要的几何意义，以下列举一些它的应用。

1. 直线反比例函数：k反映直线斜率的倒数，即斜率m=-k。

当给定直
线k值时，由定点和k值可以求出斜率m，从而可以绘制出这条直线。

2. 圆反比例函数：k反映圆半径r的倒数，即r=1/k。

当给定圆k值时，由定点和k值可以求出圆半径，从而可以绘制出这个圆。

3. 抛物线反比例函数：k反映抛物线的开口方向，当k > 0时，抛物线
向右开口；当k < 0时，抛物线向左开口。

4. 双曲线反比例函数：k反映双曲线的开口方向，当k＞0时，双曲线
开口向右；当k＜0时，双曲线开口向左。

5. 其他函数反比例函数：k可以反映此类函数中曲线的凹凸，当k > 0时，曲线是凹曲线；当k < 0时，曲线是凸曲线。

总之，k在反比例函数中应用广泛，几乎所有的函数都可以用反比例函
数表示。

它的几何意义非常重要，不仅仅可以根据k值绘制出各种曲线，而且可以了解曲线的开口方向以及凹凸方向。

因此，k在反比例函
数绘制中发挥着重要的作用。

深圳优质微课件初三数学专题反比例函数之K值的几何意义

初三专题讲解
反比例函数之 K值的几何意义
授课人：陈靖怡深圳市宝安区西乡中学
O反比N例E函数之k值的几何意义
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• 方法技巧： • ①过双曲线上任一点作x轴、y轴的垂线，所得的
矩形面积
S PM PN
y x xy k
反O比N例E函数之k值的几何意义
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• ②过双曲线上任一点作x轴、y轴的垂线，并连接原点，所得的三角形面积
S 1 EF OF 2
1 x 例E函数之k值的几何意义
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O反比N例E函数之k值的几何意义
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x
经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝ ______2______．
图6
O反比N例E函数之k值的几何意义
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3
图6
O反比N例E函数之k值的几何意义
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感谢观看指导！
O反比N例E函数之k值的几何意义
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例如图，点A、B、C 为双曲线 y k (k 0)
x
上三点,过点A、B、C 分别向x 轴作垂线,垂足分
别是D、E、F,连接OA、OB、OC,设△AOD面积是S1、
△BOE面积是S2、△COF面积是S3，则（
）
A. S1＜S2＜S3 B. S1>S2>S3
y
C. S1=S3>S2
A
D. S1=S2=S3
B
C
O DE F
x
O反比N例E函数之k值的几何意义

八年级反比例函数综合(含答案)

反比例函数的综合要点一、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中y=kx，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对x，y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：(1)设所求的反比例函数为：y=kx(k≠0)；(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式，得到关于待定系数的方程；(3)解方程求出待定系数k的值；(4)把求得的k值代回所设的函数关系式y=kx中．要点二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．要点诠释：(1)若点(a,b)在反比例函数y=kx的图象上，则点(-a，-b)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；(2)在反比例函数y =k x(k 为常数，k ≠0)中，由于x ≠0且y ≠0，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．2．反比例函数的性质(1)如图1，当k ＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小．(2)如图2，当k ＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大．要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号．要点三、反比例函数y =k x(k ≠0)中的比例系数k 的几何意义过双曲线y =k x (k ≠0)上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k|．过双曲线y =k x (k ≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为||2k ．要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的．例1．两个反比例函数y =3x ，y =6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3……P 2020在反比例函数y =6x 图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3……x 2020，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3……P 2020分别作y 轴的平行线，与反比例函数y =3x的图象交点依次是Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，Q 3(x 3，y 3)……Q 2020(x 2020，y 2020)，则y 2020等于()A ．2019.5B ．2020.5C ．2019D ．4039例2．如图，直线y =k 1x +b 与双曲线y =2k x A ，B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜2k x +b 的解集是．1．一次函数y 1＝k 1x +b 和y 2＝2k x (k 2＞0)相交于A (1，m )，B (3，n )两点，则不等式k 1x +b ＞2k x的解集为()A．1＜x＜3B．x＜1或x＞3C．x＜0或x＞3D．1＜x＜3或x＜02．反比例函数y=kx和正比例函数y＝mx的图象如图．由此可以得到方程kx＝mx的实数根为()A．x＝﹣2B．x＝1C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝﹣2例3．如图，点A在双曲线y=kx的第一象限的那一支上，AB垂直y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为．1．如图，在反比例函数y=4x的图象上有一点A向x轴作垂线交x轴于点C，B为线段AC的中点，又D点在x轴上，且OD＝3OC，则△OBD的面积为．例4．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx(k≠0，x＞0)的图象经过点A(1，－4)，直线y=－2x+m与x轴交于点B(1，0)．(1)求k，m的值；(2)已知点P(n，－2n)(n＞0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=－2x+m于点C，过点P作平行于y轴的直线交反比例函数y=kx(k≠0，x＞0)的图象于点D，当PD=2PC时，结合函数的图象，求出n的值．1．如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝kx的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y2＞y1，则自变量x的取值范围是()A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0或x＞1．6C．﹣1＜x＜0D．x＜﹣1或0＜x＜12．设函数y1＝kx，y2＝kx (k＞0)，当2≤x≤3时，函数的y1最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，则ak＝()A．4B．6C．8D．103．已知反比例函数y＝8x和y＝3x在第一象限内的图象如图所示，则△AMN的面积为．4．如图，P1是反比例函数y=kx(k＞0)图象在第一象限上的一点，点A1的坐标为(2，0)．(1)当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？逐渐减少．(2)若点P2在反比例函数图象上，点A2在x轴上，△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，①求次反比例函数的解析式；②求点A2的坐标．5．如图，反比例函数y=kx图象和一次函数y＝ax+b经过M(1，6)和N(2，a)．(1)求一次函数解析式；(2)一次函数y＝ax+b与x轴交于点B，与y轴交于点A，求证：AM＝BN．6．已知：A (a ，y 1)．B (2a ，y 2)是反比例函数y =k x (k ＞0)图象上的两点．(1)比较y 1与y 2的大小关系；(2)若A 、B 两点在一次函数y =43x+b 第一象限的图象上(如图所示)，分别过A 、B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，且S △OAB =8，求a 的值；(3)在(2)的条件下，如果3m =－4x +24，3n =32x ，求使得m ＞n 的x 的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y =k x(x ＜0)的图象经过点A (﹣1，6)，直线y ＝mx ﹣2与x 轴交于点B (﹣1，0)．(1)求k ，m 的值；(2)过第二象限的点P (n ，﹣2n )作平行于x 轴的直线，交直线y ＝mx ﹣2于点C ，交函数y =k x(x ＜0)的图象于点D ．①当n ＝﹣1时，判断线段PD 与PC 的数量关系，并说明理由；②若PD ≥2PC ，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，函数y=mx(x＞0)的图象G与直线l：y=kx－4k+1交于点A(4，1)，点B(1，n)(n≥4，n为整数)在直线l上．(1)求m的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l围成的区域(不含边界)为W．①当n=5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求k的取值范围．【经典例题1】A【解析】解：∵P n 的纵坐标为：2n －1，∴P 2020的纵坐标为2×2020－1=4039．∵y =与y =在横坐标相同时，y =的纵坐标是y =的纵坐标的2倍，∴y 2020=×4039=2019．5．∴A 答案正确．【经典例题2】－5＜x ＜－1或x ＞0【解析】解：根据一次函数平移和反比例函数的对称性可得，直线y =k 1x －b 与双曲线y =2k x 交于第三象限点的坐标为(－5，－1)和(－1，－5)，如下图所示，∴不等式k 1x ＜2k x +b ，即k 1x －b ＜2k x 的解集，即当直线y =k 1x －b 的图象在反比例函数y =2k x 图象的下方对应的自变量x 的取值范围为：－5＜x ＜－1或x ＞0．【举一反三1】D【解析】解：如图，由图象可得：不等式k 1x +b ＞2k x 的解集是1＜x ＜3或x ＜0．故选：D ．【举一反三2】C【解析】解：如图，反比例函数y ＝和正比例函数y ＝mx 相交于点A (﹣2，1)，∴另一个交点为：(2，﹣1)，∴方程＝mx 的实数根为：x 1＝2，x 2＝﹣2．故选：C ．【经典例题3】163【解析】解：连DC ，∵AE =3EC ，S △ADE =3，∴S △CDE =1．∴S △ADC =4．设A (a ，b )，则AB =a ，OC =2AB =2a ．∵D 为OB 的中点，∴BD =OD =12b ．∵S 梯形OBAC =S △ABD +S △ADC +S △ODC ，12(a +2a )·b =12a ·12b +4+12·2a ·b ，∴ab =163．把A (a ，b )代入y =，得k =ab =163．【举一反三1】3【解析】解：设A （x 、y ），由反比例函数y =4x可知xy ＝4，BC ＝AC ＝y ，OD ＝3OC ＝3x ，∴S △OBD ＝BC ×OD ＝×y ×3x ＝xy ＝×4＝3．故答案为：3．【经典例题4】【解析】解：(1)把A(1，－4)代入y=k x，得k=1×(－4)=－4；把B(1，0)代入y=－2x+m，得－2+m=0，解得m=2；(2)反比例函数解析式为y=－(x＞0)，一次函数解析式为y=－2x+2，如图，当y=－2n时，－2x+2=－2n，解得x=n+1，则C(n+1，－2n)，∴PC=n+1－n=1，当y=－2n时，y=－=，∴D(n，－)，∴PD=|－2n+|，∵PD=2PC，∴|－2n+|=2，当－2n+=2时，解得n1=－2(舍去)，n2=1，当－2n+=－2时，解得n1=－1(舍去)，n2=2，综上所述，当PD=2PC时，n=1或n=2．【自我检测1】B【解析】解：由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞1．6时，双曲线y3落在直线y2上方，且直线y2落在直线y1上方，即y3＞y2＞y1，所以若y3＞y2＞y1，则自变量x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1．6．故选：B．【自我检测2】C【解析】解：∵k＞0，2≤x≤3，∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，∴当x＝2时，y1取最大值，最大值为＝a①；当x＝2时，y2取最小值，最小值为﹣＝a﹣4②；由①②得a＝2，k＝4，∴ak＝8，故选：C．【自我检测3】25 16【解析】解：设A(a，)，则M(a，)，N(，)，∴AN＝a﹣＝，AM＝﹣＝，∴△AMN的面积＝AN×AM＝××＝25 16，故答案为：25 16．【自我检测4】【解析】解：(1)△P1OA1的面积逐渐减少；(2)作P1C⊥OA1于C，∵△P1OA1为等边三角形，A1(2，0)，∴OC=1，P1C3P1(1，3)．∴反比例函数的解析式为y=3 x．(3)作P2D⊥A1A2于D，如上图，设A1D=x，则OD=2+x，P2D3x，∴P2(2+x3x)．将点P2代入y=3x，得y332x=+．x2+2x－1=0，解得x1=－2，x2=－12＜0(舍)．∴x=－2，OA2=2+x+x=2+2x=2+2(－2)=22．∴A2(22，0)．【自我检测5】【解析】解：(1)∵点M(1，6)在反比例函数y＝图象上，∴k＝1×6＝6，∴反比例函数的关系式为y＝，把N(2，a)代入得，a＝＝3，∴N(2，3)．∵点M(1，6)和N(2，3)在一次函数y＝ax+b的图象上，∴a+b＝6，2a+b＝3，解得a＝﹣3，b＝9，∴一次函数的关系式为y＝﹣3x+9；(2)过点M、N分别作MC⊥OA，ND⊥OB，垂足分别为C、D，当x＝0时，y＝9，当y＝0时，x＝3，∴一次函数y＝﹣3x+9与x轴的交点B(3，0)，与y轴的交点A(0，9)，由于A(0，9)，B(3，0)，M(1，6)，N(2，3)，∴MC＝1，AC＝9﹣6＝3，ND＝3，BD＝3﹣2＝1，∴MC＝BD＝1，AC＝ND＝3，又∵∠ACM＝∠NDB＝90°，∴△ACM≌△NDB(SAS)，∴AM＝BN．【自我检测6】【解析】解：(1)∵A、B是y=kx(k＞0)图象上的两点，∴a≠0．当a＞0时，A、B在第一象限，a＜2a，∴此时y1＞y2，同理，a＜0时，y1＜y2．(2)∵A(a，y1)、B(2a，y2)在y=kx(k＞0)图象上，∴AC=y1=，BD=y2=．∴y1=2y2．又A (a ，y 1)、B (2a ，y 2)在y =a +b 图象上，∴y 1=a +b ，y 2=a +b ．∴a +b =2(a +b )，得b =4a ．∵S △AOC +S 梯形ACDB =S △AOB +S △BOD ，又S △AOC =S △BOD ，∴S 梯形ACDB =S △AOB ，即[(a +b )+(a +b )]•a =8．∴a 2=4，由a ＞0，得a =2．(3)由(2)知，一次函数y =x +8，反比例函数y =．∵A 、B 两点的横坐标分别为2，4，且m =x +8，n =，∴使得m ＞n 的x 的范围，是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点的横坐标取值范围．∴由图可知，2＜x ＜4或x ＜0．【自我检测7】【解析】解：(1)∵函数y =k x (x ＜0)的图象经过点A (﹣1，6)，∴k ＝﹣6．∵直线y ＝mx ﹣2与x 轴交于点B (﹣1，0)，∴m ＝﹣2．(2)①判断：PD ＝2PC ．理由如下：当n ＝﹣1时，点P 的坐标为(﹣1，2)，∵y ＝﹣2x ﹣2交于于点C ，且点P (﹣1，2)作平行于x 轴的直线，∴点C 的坐标为(﹣2，2)，∵函数y =k x(x ＜0)的图象于点D ，且点P (﹣1，2)作平行于x 轴的直线，点D 的坐标为(﹣3，2)．∴PC ＝1，PD ＝2．∴PD ＝2PC ．②当PD＝2PC时，有两种情况，分别为：y＝2，或者y＝6．若PD≥2PC，0＜y≤2，或y≥6即0＜﹣2n≤2，或﹣2n≤6解得﹣1≤n＜0．或n≤﹣3【自我检测8】【解析】(1)解：把A(4，1)代入y=mx(x＞0)，得m=4×1=4；(2)①当n=5时，把B(1，5)代入直线l：y=kx－4k+1得，5=k－4k+1，解得k=4 3-，如图所示，区域W内的整点有(2，3)，(3，2)，有2个；(3)直线l：y=kx－4k+1过(1，6)时，k=53-，区域W内恰有4个整点，直线l：y=kx－4k+1过(1，7)时，k=－2，区域W内恰有5个整点，∴区域W内恰有5个整点时，k的取值范围是－2≤k＜5 3-．。

反比例函数

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。

而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。

形如函数y=k/x（k为常数且k≠0）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数表达式x是自变量，y是x的函数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^（-1）（即：y等于x的负一次方，此处x必须为一次方）y=k/x(k为常数且k≠0，x≠0）若y=k/nx此时比例系数为：k/n编辑本段自变量的取值范围① 在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是不等于0的任意实数；②函数 y 的取值范围也是任意非零实数。

解析式y=k/x 其中x是自变量，y是x的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^（-1）y=k\x(k为常数(k≠0），x不等于0）编辑本段反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。

编辑本段k的意义及应用过反比例函数y=k/x（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积 S=x的绝对值*y的绝对值=（x*y）的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。

反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。

浅谈反比例函数中“k”的性质与运用

浅谈反比例函数中“k ”的性质与运用诸暨市浣江初中有关反比例函数问题时常在中考中出现，并呈现出愈加灵活，有更深和更难的趋势，成为中考考查的重点之一，在解反比例函数问题时，灵活运用比例系数k 的几何意义，就会为解决问题提供极大的方便。

本文就做一次简单的探究，目的在于掌握反比例函数几何意义这一知识要点，灵活利用这一知识点解决数学相关问题，并熟悉与反比例函数k 几何意义的常见考查方式和解题思路。

一、反比例函数的概念：如果某个函数如果可以写成)0(≠=k xky 或)0(1≠=-k kx y 或)0(≠=k k xy 的形式，则这个函数为反比例函数。

二、反比例函数中k 与图像的形状关系：|k |越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直; |k |越小，图像的弯曲度越大。

三、反比例函数中k 值与图像位置和性质的关系：反比例函数与坐标轴没有交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线。

当k ＞0时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0 时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

四、反比例函数与一次函数中k 值关系：一次函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=的关系：（1）当21k k ⋅ ＜0时，两图像没有交点；（2）当时21k k ⋅ ＞0，两图像必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称。

五、反比例函数中k 和几何意义：如图1所示，反比例函数)0(≠=k xky 中，比例系数k 的几何意义，就是过该函数图像上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，所得矩形PMON 的面积S 矩形PMON = PM ・PN = |x|・|y| = |xy| = |k |，这就说明，过曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k |，这是系数k 几何意义。

同时通过k 性质可以延伸理解出多种图形面积的不变性特征，如下表所示：明确了k 的几何意义，会给以下几种类型的解题运用带来许多方便，我们可以通过以下几举例说明。

反比例函数中求K值或面积的方法探讨

反比例函数中求K值或面积的方法探讨作者：孙中淼来源：《教育周报·教育论坛》2018年第03期反比例函数中的难题一般为反比例函数与几何图形相结合求K值或面积的问题，学生遇到后往往束手无策。

常见解法是作辅助线，利用K值的几何意义与面积的关系进行推导，此法优点是计算简便，但考试时经常想不出.这里利用反比例函数与其他知识的关联运用，介绍一种更为实用的做法，帮助同学们突破难关！例1：如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC，若四边形ODBE的面积为6，则K=;;;;;;;;;;;.解：如图1，设点C的坐标为（a，0），由四边形OABC为矩形可知OC⊥BC，则，∵点E在反比例函数图象上，∴代入得，则点E.∵BE=2EC，∴点B.∵AB⊥OA，∴.∵点D在反比例函数图象上，∴代入得，则点D.，∵四边形ODBE的面积为6，∴代入得，解得：.小结：（1）解题过程分三步：①设点（从点C或点E开始为宜）;②标其他各点（顺序是E→B→D→A）;③利用面积相等关系列方程，求K值.（2）在垂直于轴的直线上，点的横坐标相同;在垂直于轴的直线上，点的纵坐标相同;（3）辅助未知数在解题过程中必然会抵消.此题用K的几何意义与面积的关系求解，推导过程如下：【解】连接OB，如图2所示，∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，，∵点D、E在反比例函数的图象上，∴，∴，∵BE=2EC，∴;，∴.例2：如图3，若反比例函数与边长为5的等边三角形AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC=3BD，求K的值.解析：过点C作CE⊥轴于点E，过点D作DF⊥轴于点F，∵△AOB是等边三角形，可得△OEC∽△BFD，∵OC=3BD，∴，设BF=a，则OE=3a，OF=5-a，在Rt△OCE和Rt△BDF 中，∠COE=∠DBF=60°，可得，則点C的坐标为，点D的坐标为，∵点C、D在反比例函数的图象上，∴，解得，故的值为.例3：如图4，A为函数的图象上一点，连接OA，交函数的图象于点B，C是轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为;;;;;;;;;;;;;;;;;.解析：设点B的坐标为，则可得直线OB的解析式为.联立方程组，得;，消去，整理得：，∵点A，B均在第一象限，∴，即，将代入，解得，则点A，∵AO=AC，∴根据对称性可得点C的坐标为。

浅谈反比例函数中的k值法解题

浅谈反比例函数中的“K ”值法解题摘要：随着新课程标准的推进，近几年，在中考试题中关于反比例函数方面的试题出现了不少新题型。

而反比例函数的“K ”值是一个最关键的因素，可以说是反比例函数的精髓所在。

接下来，让我们一起探讨一下反比例函数中利用“K ”值法解题的问题。

关键词：反比例函数 “K ”值象限图像所谓“K ”值法解题，就是通过反比例函数特有的“K ”值的一些性质进行分析解题。

结合近几年中考题，“K ”值主导的反比例函数习题越来越多。

这里就反比例函数的“K ”值的意义来解决问题进行例析。

以下是利用“K ”值求解关于面积、反比例函数性质、反比例函数图像及反比例函数和正比例函数相结合等方面的解法淡析。

一、“K ”值的几何意义及利用其求相关图形面积研究函数问题要透视函数的本质特征。

所以，我们先从“K ”值的本质出发对其进行精确剖析。

下面就是反比例函数的几何意义。

反比例函数y=x k (k ≠0)中，比例系数k 有一个很重要的几何意义。

那就是：过反比例函数y=xk (k ≠0)的图像上任意一点P 作x 轴，y 轴的垂线PM 、PN ，垂足为M 、N （如图1-1所示），则矩形PMON 的面积S=PM ·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，它们与x 轴、y 轴所围成的矩形面积为常数k 。

从而有PNO S ∆=PMO S ∆=k 21。

在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k 的几何意义，会给解题带来很多方便。

现举例说明。

例1.已知点C 为反比例函数6y x=-上的一点，过点C 向坐标轴引垂线，垂足分别为A 、B ，那么四边形AOBC 的面积为。

解析：因为四边形AOBC 的面积S=CA ·CB=xy x y =∙,又因为6y x=-,所以xy k =, 即S=6-=6,故四边形AOBC 的面积为6。

例2.（03年全国初中数学联赛试题）若函数kx y =（k ＞0）与函数1y x=的图象相交于A 、C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为（）。

精讲04反比例函数(K值解法)(课件)-【中考满分冲刺系列之数学思想方法及探究】2022年中考数学一

方法点睛一：借助图形的性质，再结合已知条件，求出已知反比例函
数图像的点坐标，利用待定系数法即可求出K的值.
【例1】（2019山西）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶
点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（﹣1，4），反比例函
数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，则k的值为
A．16 B．20 C．32 D．40
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可
设B（x，4）利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB=90°，
根据线AD2+AB2=BD2，列出方程22+42+（x-2）2+42=x2，求出x，得
到E点坐标，代入
BO
k2
A. 4 B. -4
C. 2 D. -2
【分析】分别作AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别为E，F，证明
△AOE∽△OBF得到
，结合反比例函数的系数的
几何意义即可得到答案．
【例5】（2020湖北十堰）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝ , 和y＝
的图象上，若∠BAD＝120°，则＝（）
A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出
=
，进而得出S△AOD=2，即可得出答案．【答案】C
【例4】（2020湖南郴州）在平面直角坐标系中，点A是双曲线
上任意一点，
连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线则 k1 （）
y2
k2 x
(x
0)
，交于点B，连接AB．已知 AO 2
A．
B．3
C．
D．
【分析】据对称性可知，反比例函数 ,

反比例求k的最佳方法

反比例求k的最佳方法反比例关系是数学中常见的一种函数关系，表示两个变量之间的倒数关系。

如果两个变量x和y满足反比例关系，可以表示为y=k/x，其中k 是常数。

求解反比例关系中的k的最佳方法主要有以下三种：直接法、图像法和数据法。

一、直接法直接法是最直观的一种方法，通过已知的具体数值，代入反比例关系式y=k/x中，求解k的值。

例如，已知当x=2时，y=6；当x=3时，y=4、代入反比例关系式，可以得到两个方程：6=k/2，4=k/3将两个方程相乘，可得24=k/2*k/3，化简后可得k^2=72，再开平方可得k≈8.485二、图像法图像法是利用函数图像来求解反比例关系中的k的方法。

将反比例关系式y=k/x对应的函数图像画出，根据已知的数据点的位置和趋势，确定最佳的k值。

例如，已知当x=2时，y=6；当x=3时，y=4、在坐标平面上画出这两个点，并连接它们，得到一条反比例函数的曲线。

通过观察曲线在其他地方的趋势，确定曲线与x轴的交点位置，即可确定最佳的k值。

三、数据法数据法是利用已知的多组数据进行近似拟合，从而确定反比例关系中的k的方法。

通过观察数据的变化趋势，可以确定具体的k值。

例如，已知表格中的一组数据：x，y----------2，123，84，65，46，3根据反比例关系式可以得到：k = xy根据表格中的数据计算出对应的k值，再求出其平均值，即可得到最佳的k值。

综上所述，求解反比例关系中k的最佳方法可以通过直接法、图像法和数据法来实现。

其中直接法比较直观，但需要已知具体的数值；图像法相对而言更需要准确的数据画出函数图像；数据法通过对多组数据进行拟合，可以得到相对准确的k值。

根据具体情况选择合适的方法，可以得到最佳的k值。

反比例函数知识点和常考求K值题型的技巧

A．4
B．－4
C．8
D．－8
7、如图，已知双曲线 y k ( k＞0 ) 经过直角三角形 OAB 斜边 OB 的中点 D，与
x
直角边 AB 相交于点 C．若△OBC 的面积为 3，则 k＝____________
9、如图，直线 y 3x 6 分别交 x 轴，y 轴于 A，B，M 是反比例函数 y k x
A． 81 3 25
B． 81 3 16
C． 81 3 5
D． 81 3 4
课堂练习
1、如图，在直角坐标系 xOy 中，点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴， OA 3 ．∠AOB OB 4
的角平分线与 OA 的垂直平分线交于点 C，与 AB 交于点 D，反比例函数 y k 的图 x
象过点 C．当以 CD 为边的正方形的面积为 2 时，k 的值是（） 7
二．解题小技巧 ①反比例函数算 k 的两大方向，第一，设出某个点的坐标（x，y），然后运
用整体思想算出 xy 的值（xy=k）；第二，运用 k 的几何意义，算出 S△xoy= 1 |k| 2
。 ②反比例函数上的任意两点 A（a，b）、B（c，d），那么 ab=cd，若 A、B 两
点有倍数关系，就可以用一点来代表另一点（例如 a=2c，那么 b=0.5d）。 ③一般会涉及到相似三角形和三角函数，常用的辅助线就是做坐标轴的垂线
A．3
B．4
C．6
D．8
6、如图，已知双曲线 y k 与直线 y=﹣x+6 相交于 A，B 两点，过点 A 作 x 轴 x
的垂线与过点 B 作 y 轴的垂线相交于点 C，若△ABC 的面积为 8，则 k 的值
为
．
7、如图，过原点 O 的直线 AB 与反比例函数 y k （ k 0 ）的图象交于 A、B 两 x

反比例函数中K值求解的谋略

反比例函数中K 值求解的谋略山东沂源县徐家庄中心学校 256116 左效平公富华反比例函数是中考的热点．求反比例函数中的k 值是考题的主要形式之一．下面我们就一起来探讨一下如何又快又准的求得k 的值．一、平移中求k 值例1 （2010年浙江省舟山市）如图1，点P 在反比例函数1y x= (x>0)的图象上，且横坐标为2．若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的象为点P '.则经过点P '的反比例函数图象的解析式是．分析：要想求出函数的解析式，关键是求得反比例函数中的k 的值．确定k 值的关键就是能确定函数图像上的一个点的坐标．因为点P 在反比例函数1y x= (x>0)的图象上，且横坐标为2，所以y=21，所以点P 的坐标为（2，21），点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位得到的坐标为（4，23），所以k=4×23=6，所以函数的解析式为y=x6．解：过点P '的反比例函数图象的解析式是y=x6．二、与一次函数相交中根据交点坐标求k 值例2 （2010年四川省南充市）如图2，直线y=x+2与双曲线xky =相交于点A ，点A 的纵坐标为3，k 的值为（）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4分析：理解交点坐标的意义是解题的关键所在．因为点A 的纵坐标为3，所以3=x+2，所以x=1，所以点A 的坐标为（1，3），所以双曲线xk y =经过点（1，3），所以13k =即k=3．解：选C ．三、与一次函数相交中根据线段的乘积求k 值例3 （ 2010年武汉市）如图3，直线3y x b =-+与y 轴交于点A ，与双曲线x k y =在第一象限交于B 、C 两点，且AB ·AC=4，则k=_________．分析：巧妙的进行等量代换和等式变形是解题的关键．解：如图3-1，令x=0，得y=b ，所以AO=b ．令y=0，解得x=3b ，即OE=3b,所以tanE=333==bb EO AO ，所以∠E=30°．设点B （1x ，1y ），C （2x ，2y ），则AB=1332x ，AC=2332x ，因为AB ·AC=4，所以1332x ×2332x =4，整理得 1x 2x =3．在直角三角形BFC 中，FC =2x -1x ,BF=1y -2y ，因为∠BCF=30°，所以2x -1x =3（1y -2y ）．因为B （1x ，1y ），C （2x ，2y ）在x k y =上，所以1y =1x k ，2y =2x k，所以2x -1x =3（1x k -2x k）=32112)(x x x x k -，所以k=321x x =3．解：k=3．四、根据生成三角形的面积求k 的值例4 （2010年盐城市）如图4，A 、B 是双曲线xky =（k ＞0）上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若A O C S △=6．则k= ．分析：用含有a ，k 的代数式表示出三角形AOC 的面积是问题的突破口．解：因为A 的横坐标是a 、所以点A 纵坐标为ak．因为B 点的横坐标是2a ，所以点B 纵坐标为a k 2．设直线AB 的解析式为y=nx+b ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+a k b an ak b an 22，解得：n= -22a k ，b=a k 23，所以直线的解析式为y= -22ak x+a k23．当y=0时，得到-22a k x+ak 23=0，解得x=3a ，所以点C 的横坐标为3a ，所以OC=3a ，所以三角形AOC 的面积为：aka ⨯⨯321=6，解得：k=4．解：k 的值是4．五、直角三角形的边在滑动中求k 的值例5 （2010年荆州市）如图5，直线l 是经过点（1，0）且与y 轴平行的直线．Rt △ABC 中直角边AC=4，BC=3．将BC 边在直线l 上滑动，使A ，B 在函数xky =的图象上．那么k 的值是（）A ．3B ．6 Ｃ．12 D ．415分析：可以利用设坐标法，表示出A ，B 两点的坐标，根据反比例函数的特点，则两点横坐标与纵坐标的积是相等的，就可以求得所设的待定字母的值，后求得k 的值．解：因为直线l 经过点（1，0），AC 的长为4，所以点A 的横坐标为5，设点A 的坐标为（5，a ）．因为AC 与x 轴是平行的，所以点C 到x 轴的距离也是a ，因为BC 的长为3，所以点B 的坐标为（1，a+3）．因为A ，B 在函数xk y =的图象上，所以5a=a+3，解得a=43，所以k=5a=415．解：选D ．六、梯形背景中根据三角形的面积求k 的值例6 （2010年无锡市）如图6，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线xky =交OB 于D ，且OD ：DB=1 ：2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值（）A ．等于2 B ．等于43 C ．等于524D ．无法确定分析：充分利用数学中的整体思想，也会让你的解题顺畅，富有趣味性．解：设点B 的坐标为（a ，b ），因为BC ∥AO ，AB ⊥AO ，所以点C 的纵坐标为b ．如图7所示，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，则DE ∥AB ，所以OAOEAB DE OB OD ==，因为OD ：DB=1 ：2，所以a OE b DE ==31，所以DE=31b ，OE=31a ，所以点D 的坐标为（31a ，31b ）．因为反比例函数xk y =经过点D ，所以k=31a ×31b=91ab ．因为点C 也在反比例函数的额图像上，且其纵坐标为b ，所以点C 的横坐标为91a ，所以BC=a-91a=98a ．因为△OBC 的面积等于3，所以21×98a ×b=3，所以91ab=43，即k=43．解：选B ．七、多边形背景下根据多边形的面积求k 的值例7 （2010年昆明市）如图8，点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）都在双曲线(0)ky x x=>上，且412=-x x ，221=-y y ；分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线段，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AC 与BF 相交于G 点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，那么双曲线的解析式为．分析：过反比例函数图像的点向两坐标轴分别引垂线，生成的四边形的面积是相等的，并且都等于反比例函数的比例系数k 的绝对值，这也是求k 的一种好方法．解：因为412=-x x ，221=-y y ，所以DC=4，AG=2．因为四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，所以2+42y +4+21x =14，所以1x +22y =4．根据反比例函数的性质得到：矩形AEOC 的面积等于矩形FODB 的面积，所以42y =21x ，所以42y =4，所以矩形FODB 的面积为2+4=6，所以k=6，所以反比例函数的解析式为y=x6．6解：反比例函数的解析式为y=．x。

反比例函数与几何综合求k值

反比例函数与几何综合求k 值1、如图1，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y =x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线()0≠=k k y 与△ABC 有交点，则k 的取值范围是。

2、（2016•十堰）如图2，将边长为10的正三角形OAB 放置于平面直角坐标系xOy 中，C 是AB 边上的动点（不与端点A ，B 重合），作CD ⊥OB 于点D ，若点C ，D 都在双曲线y=上（k ＞0，x ＞0），则k 的值为。

3、（2016•兰州）如图3，A ，B 两点在反比例函数y=的图象上，C 、D 两点在反比例函数y=的图象上，AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC=2，BD=3，EF=，则k 2﹣k 1=。

图1图2图34、（2016·湖北荆州）如图4，在Rt △AOB 中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A′O′B ．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B 的中点C ，S △ABO =4，tan ∠BAO=2，则k 的值为。

5、（2016·江西）如图5，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1=（x ＞0）及y 2=（x＞0）的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为2，则k 1﹣k 2=．图4图5图66、（2016·山东省滨州市）如图6，已知点A、C在反比例函数y=的图象上，点B，D在反比例函数y=的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=，CD=，AB与CD间的距离为6，则a﹣b的值是．7、（2016·云南省昆明市）如图7，反比例函数y=（k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为．8、（2016·浙江省湖州市）如图8，已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b ＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．（1）k的值是；（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若=，则b的值是．9、（2016·浙江省绍兴市）如图9，已知直线l：y=﹣x，双曲线y=，在l上取一点A（a，﹣a）（a＞0），过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交l于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a的值为．图7图8图910、（2016•南宁）如图10所示，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为．11、（2016·黑龙江齐齐哈尔）如图11，已知点P （6，3），过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y轴于点N ，反比例函数y=的图象交PM 于点A ，交PN 于点B ．若四边形OAPB 的面积为12，则k=．图10图11图1212、（2016·四川乐山）如图12，在反比例函数x y 2-=的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第一象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数xk y =的图象上运动，若，则的值为。

反比例函数讲义(知识点+典型例题)

变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。

（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。

（3）增减性：当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。

反比例函数解析式的几种常用求法及详细答案

反比例函数解析式的几种常用求法确定反比例函数解析式是反比例函数部分考查的一个重要知识点，也是进一步求解反比例函数问题的需要，那么怎样确定反比例函数的解析式呢？下面介绍几种常用的求解方法．一、定义型：例1、已知函数102)3(--=mx m y 是反比函数，求其解析式？分析：由反比例函数可知⎩⎨⎧-=-≠-110032m m∴⎩⎨⎧±=≠33m m ∴3-=m 即可写出函数解析式利用定义求反比例xky =解析式时，要保证k ≠0。

如例1中应保证03≠-m 的条件。

二、过点型：例2、（）已知图象经过点（1，1），的反比例函数解析式是。

分析：函数图象过某一点，则该点坐标满足函数解析式。

即可设函数解析式为xk y =然后将该点坐标代入解析式求出K 值即可（变式问法：已知反比例函数xky =，当x=1时，y ＝1，求这个函数的解析式。

）三、图象型：例3、已知某个反比例函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

分析：如图将点P （1,2）代入反比例函数解析式xky =中求出K 的值的即可。

四、面积型：例4、（枣庄）反比例函数xky =的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则反比例函数解析式？12 P分析：由反比例函数)0(≠=k xky 的图象上任一点P 与过这点作X 轴（或Y 轴）的垂线的垂足与坐标原点三点间的三角形的面积“S=K 21”可知∴K 21＝2 故可求出K 值，即写出解析式。

例5、如图所示，设A 为反比例函数xky =图象上一点，且矩形ABOC 的面积为3，则这个反比例函数解析式为分析：由上面知识可知S 矩形ABOC =K∴ K =3 即 K=±3又∵ 反比例函数图象在第二象限 ∴K=－3 即可写出解析式。

五、应用型：例6、某空调厂的装配车间原计划用2个月时间（每月以30天计算），组装1500台空调.（1）从组装空调开始，每天组装的台数m （单位：台／天）与生产的时间t （单位:天）之间有怎样的函数关系？（2）由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？分析：这一道工程问题，即“工作总量＝工作时间×工作效率”要时确 ∴ 1500＝mt 即 tm 1500=(0＜t ≤60) 之后的问题就可以用第一小问来解决了。