数学建模大赛国奖论文

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：J2736所属学校（请填写完整的全名）：空军工程大学电讯工程学院参赛队员(打印并签名) ：1. 胡冰2. 曹盛德3. 杨凯陟指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：李炳杰日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：- 1 -储油罐的变位识别与罐容表标定摘 要本文研究卧式储油罐罐体变位识别与罐容表的标定问题，得到了不同变位角度下的罐容模型及变位参数识别模型。

对于问题一，通过建立恰当的坐标系，利用平行截面积已知时的体积公式，建立了椭圆型储油罐在无变位及仅有纵向变位情形下的罐容模型。

通过计算模型理论值与实验值的误差，分析误差产生的原因，确定了修正函数的形式并利用实验数据拟合出修正函数。

对模型修正后再次进行了误差分析，结果表明，模型理论值与实验数据吻合度较高。

最后，根据修正模型的结果制定了不同变位角下的罐容表。

对于问题二，通过分析横向变位情形下罐容表高度与无横向变位情形下罐容表高度的相互关系，建立两种罐容表高度的转换公式，从而将问题转化为仅有纵向变位情形下的罐容计算问题。

对于纵向变位的罐容问题，将油罐分为左球冠，圆柱体，右球冠三部分分别计算。

柱体部分容积的计算与问题一中的方法相同，球冠部分利用二重积分计算，最终得到反映罐容表高度与罐容关系的数学模型。

根据罐容模型的结果，利用储油罐的实际检测数据，建立了基于最小二乘法原理的变位参数识别模型，该模型的求解结果是储油罐变位参数为纵向变位角 o 2.1α=，横向变位角o 4.4β=。

最后，通过计算确定变位角参数后的模型理论值制定了罐容表，并通过与实际检测数据的比较，分析了模型的正确性。

通过将实际检测数据分组，分别利用变位参数识别模型进行参数识别，我们得到的结果是稳定的，这表明模型具有较高的可靠性。

关键词: 罐容 变位角 参数识别 修正函数 误差分析一 问题的重述1.1 基本情况通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

1.2 有关信息1）典型的储油罐，其主体为圆柱体，两端为球冠体。

2）图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图：3）图2是罐体横向偏转变位的截面示意图：油位探针α地平线图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮出油油位探测装置注油检查水平线3）图3是罐体横向偏转变位的截面示意图：1.3有待解决的问题1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。

2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二 模型假设及说明2.1模型建立的假设1）假设地基变形后罐体并未发生变形。

2）假设储油罐内部油位探针、注油口、出油管等部件会占用一定的空间。

3）假设罐内部件视为均匀的圆柱体，则它们浸没在油中的体积（近似等于V ∆）应与油料高度0h 成正比。

三 模型中符号说明0h 油浮子高度（即罐容表高度）h油面高度a罐体椭圆面长轴b罐体椭圆面短轴α罐体纵向倾斜角β罐体横向倾斜角S储油部分截面积V储油部分体积r罐体圆柱面半径C球冠高度R球体半径σ修正因子k比例系数E均方差e平均相对误差A投影区域O圆心四模型的建立与求解4.1问题1的分析与求解α=，即为纵向倾由题设可知，在罐体无变位的情况下,等价于罐体纵向倾斜角0斜的一种特殊情况，可纳入对纵向倾斜情况的讨论范围内。

故现仅针对罐体变位的情况进行分析，并建立一般模型[1]。

为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，需建立罐容表测量数值H与实际储油体积V 的映射关系，现以油浮子可达最低点为原点，面向纸外为x轴，罐底平行线为y轴，油浮子所在直线为z 轴，对储油罐建立直角坐标系：4.1.1计算横截面积储油体积可以由y 坐标轴上对应的罐椭圆面储油截面积对y 的积分求得[1][2]，那么，现先考虑罐椭圆面的截面积：根据所建立的坐标系，可得到椭圆方程：2222x ()1z b a b-+= 02h b << （1） 作水平分割，任取z 轴上（0，h ）区间内宽度为dz 的小区间（z ，z+dz ），可求得相应的小横条长度为22b 21a b-（z-）由此可知，对于y 轴上相应点的储油横截面面积为：222()()21hz b S h a dz b ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰（2）经计算得：22()arcsin 22h b h b S h ab bh h b b π--⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦（3）4.1.2计算储油体积通过截面积对y 的积分求储油体积：设油浮子的高度0z h =，纵向偏移角为0α>，罐底低侧点坐标为1y ，高侧点坐标为2y ，可得y 轴上点对应的储油截面高度为：0h(y)=h tan y α-• （4）联立（3）（4）两式，可以求得[()]S h y 的一个原函数为：[]32222()()()1F(y)= ()arcsin[]1[][2()()]tan 23abh y b h y b h y h y b bh y h y b b b πα⎧⎫--⎪⎪--+---⎨⎬⎪⎪⎩⎭（5）现讨论储油的5种情况：如图6所示，四条虚线段1234,,,L L L L 将储油罐储油分为5种情况，即：1）当储油刚好使油浮子在顶端，即02h b =时，油面线如1L 所示，若储油量继续增加，则油浮子不再移动，此时储油量无法确定，只能得到储油量的一个下限：201V(h ,)[()]dy-abyy S h y απ≥⎰ 02h b = （6）2）当储油刚好浸过储油罐低侧的罐顶时，油面线如2L 所示，设此时油浮子的高度为1z h =，112tan h b y α=+。

若油量继续增加，但不超过1L ，则有体积计算公式：200201tan 2V(h ,)=[()]dy+ab()tany h b h bS h y y ααπα---⎰ 102h h b ≤≤ （7）3）当储油刚好浸过储油罐高侧的罐底时，油面线如3L 所示，设此时油浮子高度为2z h =，22tan h y α=。

若油量继续增加，但不超过2L ，则有体积计算公式：210V(h )=[()]dyy y S h y α⎰ 201h h h ≤≤ （8）4）当储油刚好浸过储油罐油浮子所在探针时（即坐标原点），油面线如4L 所示，此时油浮子高度为0z h =，若油量继续增加，但不超过3L ,则有体积公式：1tan 0V(h ,)=[()]dyh y S h y αα⎰ 020h h ≤≤ （9）5）当储油低于油浮子所在探针时，油面线在4L 以下，此时油浮子高度为00z h ==，储油量无法确定，只能得到它的一个上限：10V(h ,)[()]dyy S h y α≤⎰ 00h = （10）总结以上五种情况，针对0α>，可得如下分段函数：220211110002110tan 0201tan020[()]dy-aby22=[()]dy+ab()2tan (,)=[()]dy=[()]dy 0[()]dy 0y y h by y h y y S h y h b h bS h y y h h bV h S h y h h h S h y h h S h y h ααππαα-⎧≥=⎪⎪--≤<⎪⎪⎪≤<⎨⎪⎪<<⎪⎪⎪≤=⎩⎰⎰⎰⎰⎰ （11）若偏角α=0，那么可由底面积乘以高直接算出，即：0021(,)()()V h S h y y α=•- (12)若偏角0α<，那么122tan h b y α=-，21tan h y α=-，同理可得：1012120202020tan 210020102tan 00[()]dy+aby22=[()]dy+ab )2tan (,)=[()]dy=[()]dy0[()]dy 0y h by y y y hy S h y h b h b S h y y h h bV h S h y h h h S h y h h S h y h ααππαα-⎧≥=⎪⎪-⎪-≤<⎪⎪⎪≤<⎨⎪⎪<<⎪⎪⎪≤=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰（ （13） 4.1.3误差分析对于题中所涉及的两组实验： 1）油罐倾斜角0α=时：联立（3）（4）（12），带入数据120.89,0.6,0.4, 2.05a b y y ===-=得油料体积V 油位高度0h 的关系：当0h 取实验中的值时，经计算得相应的油料体积，利用Matlab 软件做出图形显示理论值与实际试验间的差距[3]：将理论值与实验值作差，得到曲线如下：由上图可以看出，计算值的误差V ∆与油料高度0h 近似成线性关系，进一步分析：由于储油罐内部油位探针、注油口、出油管等部件会占用一定的空间，所以在同一高度下由实验所测得的油料体积会小于理论计算值。