几何重数小于等于代数重数证明

几何重数小于等于代数重数证明及P190.3

设T是n维欧氏空间V上的一个线性变换，

λ是T的一个特征值，

试证：

λ的几何重数小于等于代数重数.

设ε1，ε2,ε3,ε4是线性空间ε的一组基，已知线性变换ε在这组基下的矩阵为

A=(

1021−1213 1255

2−21−2

)

求 (1) ε在基ε1=ε1−2ε2+ε4；ε2=3ε2− ε3−ε4；ε3=ε3+ε4；ε4=2ε4下的矩阵；

（2）ε的核与值域；

（3）在ε的核中选取一组基，把它扩充为V的一组基，并求ε在这组基下的矩阵；（4）在ε的值域中选取一组基，把它扩充为V的一组基，并求ε在这组基下的矩阵。

解：（1） 因为(ε1，ε2,ε3, ε4)=(ε1，ε2,ε3, ε4)( 1 0 0 0 −2 3 0 0

0 −1 1 01 −1 1 2)=

(ε1，ε2,ε3, ε4)ε 所以

ε（ε1，ε2,ε3, ε4)=ε(ε1，ε2,ε3, ε4)ε=(ε1，ε2,ε3, ε4)εε=(ε1，ε2,η3, ε4)ε−1εε

故ε在基 ε1，ε2,ε3, ε4 下的矩阵为ε−1εε, 因此， ε−1εε=

( 1 0 0 0 23 13 0 0 23 13 1 0 −12 0 −12 12 ) ( 1 0 2 1−1 2 1 3 1 2 5 5 2 −2 1 −2)( 1 0 0 0 −2 3 0 0 0 −1 1 01 −1 1 2) =13( 6 −9 9 6 2 −4 10 10 8 −16 40 40 0 3 −21 −24

)

（2） 解：(2)设44332211εεεεαx x x x +++= ∈ε,则A α=0,故

A (ε1ε2

ε3ε4

)=0

计算知,2)(=A r 且上述齐次线性方程组的基础解系为T T )1,0,2,1(,)0,1,2

3

,2(---

-,因而 421232112,2

3

2εεεαεεεα+--=+--=

是ker (ε)的一组基,ker (ε)=L (ε1,ε2).

显然,矩阵A 的前两列线性无关,构成矩阵A 的列向量组的一个极大无关组,因而

ε(ε)=εV =L (εε1,εε2,εε3,εε4)=L ( εε1,εε2)

其中εε1=ε1−ε2+ε3+2ε4,εε2=2ε2+2ε3−2ε4是εV的一组基. (3) 取ker (ε)的基21,αα把它扩充成V 的基2121,,,ααεε,

基4321,,,εεεε到基2121,,,ααεε的过渡矩阵为

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛--

--=10

00010022310120

11T , ε在基2121,,,ααεε下的矩阵为⎪⎪⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛-==-002200210012

9

002

5

1111AT T B . (1) 取εV的基εε1,εε2把它扩充成V 的基εε1,εε2,ε3,ε4,

基4321,,,εεεε到基εε1,εε2,ε3,ε4的过渡矩阵为⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=10220121002

10001

2T , ε在基2121,,,ααεε下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛==-00

0000022312

9

12252122AT T B 。

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