几何重数小于等于代数重数证明
线性系统 第23讲
第七章第二讲线性系统稳定性特性四、线性系统的稳定性判据由于线性动态方程的稳定性等价于其对应的齐次方程的零解的稳定性，故这里只讨论齐次方次零次程A()(75)x t x =− 对于（7-5）零解的稳定性问题。
由于A (t )不是常量矩阵，因此一般不能用特征值来讨论系统运动的性质，而应该用与系统运动关系密切的状态转移矩阵 Φ(t ,t 0)。
齐次方程如下例7-221t e ⎡⎤−=⎥ 01x x⎢−⎣⎦7-21L 稳定等价于状态转移矩阵范数的有界性定理72表明：对线性系统1.Lyapunov 稳定等价于状态转移矩阵范数的有界性；2.一致稳定等价于状态转移矩阵范数‖ Φt t 0) ‖(,)的一致有界性；3渐近稳定等价于状态转移矩阵范数‖)3. Φ(t ,t 0) ‖趋向于零；4.一致渐近稳定等价于状态转移矩阵按指数规律稳定。
讨论：1）定理7-2所给出的线性系统的重要性质，完全是由0000(,,)(,)x t x t t t x =Φ中的线性关系所致状态转移阵0000(,,)(,)x t x t x t t Φ中，对的线性关系所致。
状态转移阵决定了解的一切性质。
一般地，对于非线性系统，定理7-2的结论均不成立。
2）线性系统的稳定性具有全局性质。
定义对任意的x (t 0) , 均有x (t )有界,则称=A (t )x 的x零解是Lyapunov 意义下全局稳定的。
定义：系统的零解称为是全局（一致）渐近(,)xx t =F 稳定的，若其零解是（一致）渐近稳定的且无论初始扰动多大，均有lim ()0t x t →∞=统：系例4xx =− 是全局渐近稳定的。
()()清楚地表明定理7-2之(3)、(4)清楚地表明，对于线性系统=x 而言，若其零解是（一致x A (t )x 而言，若其零解是（致)渐近稳定的，那么由状态空间任一点为起点的运动轨线都要收敛到原点点，即原点的渐定稳定的吸引区遍及整个状态空间，这就是上面定义所述的全局（一致）渐近稳定概念。
特征多项式、代数重数与几何重数
特征多项式、代数重数与⼏何重数概要主要介绍了特征多项式、代数重数、⼏何重数以及重要的性质。
⼀个复⽅阵有多少个特征值？⾸先要做的当然是给出定义啦！接下来给出⼀个结论： 证明：我们分三步加以说明，1. 由tI−A⾏列式的计算展开表达式知，只有全取对⾓元素时，求和项次数才能达到n，即(t−a11)⋯(t−a nn)=t n−(a11+⋯+a nn)t n−1+⋯任何其它因⼦必包含⾮对⾓因⼦ −a ij(i≠j)，则对⾓元素t−a ii与t−a jj不可能也是因⼦。
因此求和项次数不可能⼤于n−2，于是式 1 确定了t n和t n−1的系数。
p A(t) 的常系数项正好是p A(0)=det(−A)=(−1)n det A .2. p A(λ)=0⇔det(λI−A)=0⇔(λI−A)x=0,x≠0⇔λ∈σ(A)3. ⼀次数为n⩾1 的多项式⾄多有n个不同零点。
结论 1.1 告诉我们，结合推⼴的韦达定理知：p A(t) 的零点之和是A的迹tr(A)，⽽零点之积则是A的⾏列式 det A。
进⼀步，如果p A(t) 的每个零点的重数都是 1，tr(A) 是A的特征值之和，⽽ det A是A的特征值之积 . 其实条件 “ 如果p A(t) 的每个零点的重数都是 1” 可以不需要，只不过得按照它们作为特征⽅程的重数来对A的特征值加以计数，下⾯引⼊代数重数的概念，我们约定A∈M n的特征值总是指这个特征值与其相对应的（代数）重数的合并称谓. 因此⽆需限制就能说：每个矩阵A∈M n在复数中恰好有n个特征值，且A的迹和⾏列式分别是它的特征值之和以及乘积.我们知道了每⼀个n×n复矩阵都有有限多个特征值，故可以给出如下定义.在本⼩节的最后，再给出⼀个重要的定理， 证明：在上⼀节的推论 1.2 知，λ∈σ(A)⇔λ+ε∈σ(A+εI)，我们的⽬标是λ+ε≠0, 如果A的所有特征值都为零，取δ=1，如果A的某个特征值不为零，则令δ=min , 此时任何⼀个满⾜0<\lvert \varepsilon \rvert<\delta的\varepsilon, 必有-\varepsilon \notin \sigma(A)，所以\lambda + \varepsilon \neq 0, 即0 \notin \sigma(A+\varepsilon I), 因此A+\varepsilon I是⾮奇异的.上述定理表明，⼀个奇异的复矩阵总可以稍加平移使之成为⾮奇异的.⼏何重数开始先给出⼀个关于特征值的结论， 证明：由于\mathrm{det}(tI-A^T)=\mathrm{det}(tI-A)^T=\mathrm{det}(tI-A), 我们有p_{A^T}(t)=p_A(t), 所以有p_{A^T} (\lambda)=0当且仅当p_A(\lambda)=0. 类似地，\mathrm{det}(\bar{t}I-A^*)=\mathrm{det}[(tI-A)^*]=\overline{\mathrm{det}(tI-A)}, 所以p_{A^*}(\bar{t})=\overline{p_A(t)}, ⼜p_{A^*} (\bar{\lambda})=0当且仅当p_A(\lambda)=0.如果x,y\in \mathbb{C}^n两者都是A\in M_n的与特征值\lambda相伴的特征向量，那么x与y的任何⾮零的线性组合也是它的与\lambda相伴的特征向量。
谱定理证明
谱定理证明
谱定理是一个重要的数学定理，它描述了一个线性算子在一个Hilbert空间上的谱与这个算子的特征向量之间的关系。
设T是一个在Hilbert空间H上的线性有界算子，它的定义域
为D(T)，则谱定理可以表述为以下两个主要结论：
1. 谱定理第一部分：谱分解
对于任意的λ∈C，记A:=T-λI，其中I是H上的恒等算子。
如果A的定义域为D(A)={x∈H:A(x)∈H}是稠密的，那么T的
谱λ ∈σ(T) （即λ是T的特征值）当且仅当A不是满的，即
A(D(A))≠H。
2. 谱定理第二部分：特征值的性质
对于任意的λ ∈σ(T)，其几何重数（geometric multiplicity）等
于代数重数（algebraic multiplicity）。
几何重数是指特征值对应的特征空间的维度，而代数重数是指特征值在T的特征多项式中的重数。
对于谱定理的证明，常常需要使用到线性代数、泛函分析等数学工具。
不同的文献和教材可能会给出不同的证明方法和步骤，所以具体证明的细节可以参考相关的教材或文献。
总体来说，谱定理的证明需要从T的特征向量出发，通过一
系列推导和分析，证明了特征向量可以构成H的一组完备正
交基，从而使得T的谱与特征向量之间建立了一一对应的关系。
通过这种对应关系，可以得到谱定理的两个主要结论。
需要注意的是，由于谱定理的证明涉及一些复杂的数学理论和技巧，对于初学者来说可能较为困难，需要有一定的数学基础和知识背景。
各种矩阵
等价矩阵线性代数和矩阵论中，两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。
假设有两个的矩阵，记作A和B。
它们之间等价当且仅当存在两个可逆的方块矩阵：的矩阵P以及的矩阵Q，使得相似关系有所不同。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们一定是等价矩阵，因为按照矩阵相似的定义，可以找到一个可逆矩阵P，使得由于其中的P-1也是可逆的矩阵，所以A和B相似必然推出它们等价。
但是，等价的矩阵不一定是相似的。
首先相似的两个矩阵必须是大小相同的两个方块矩阵，而等价矩阵则没有这个要求。
其次，即使两个等价矩阵都是同样大小的方阵，中用到的Q也不一定是P的逆矩阵。
性质等价关系。
两个矩阵等价当且仅当：其中一者能够经过若干次初等行或列变换变成另一者。
它们有相同的秩。
参见相似矩阵合同矩阵这是与数学相关的小作品。
你可以通过编辑或修订扩充其内容。
相似矩阵线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。
相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。
两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P，使得：或矩阵A与B之间的相似变换矩阵。
相似矩阵保留了矩阵的许多性质，因此许多对矩阵性质的研究可以通过研究更简单的相似矩阵而得到解决。
严格定义域为K的n×n的矩阵A与B为域L上的相似矩阵当且仅当存在一个系数域为L 的n×n的可逆矩阵P，使得：矩阵A与B“相似”。
B称作A通过相似变换矩阵：P得到的矩阵。
术语相似变换的其中一个含义就是将矩阵A变成与其相似的矩阵B。
性质等价关系，也就是说满足：1反身性：任意矩阵都与其自身相似。
2对称性：如果A和B相似，那么B也和A相似。
3传递性：如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。
子域，A和B是两个系数在K中的矩阵，则A和B在K上相似当且仅当它们在L 上相似。
这个性质十分有用：在判定两个矩阵是否相似时，可以随意地扩张系数域至一个代数闭域，然后在其上计算若尔当标准形。
置换矩阵，那么就称A和B“置换相似”。
线性变换及其矩阵表
层图：
传统机械按键设计要点
按
PCB
键
A
： 1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的
开关 键
按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键
设计间隙建议留
0.05~0.1mm，以防按键
死键。
3.要考虑成型工艺，合
设x1,x2,…,xn是n维线性空间V的一组基，T是V上的 线性变换。基向量的象可以被基线性表出，设
J :C a,b C a,b,
J
f
x
x
a
f
x
dx,
这是一个线性变换。
例5 考虑V=Pn[x]∩C[a,b]，易有DJ(f(x))=f(x)，但是 JD(f(x))=f(x)-f(a)。
因此DJ≠JD。
6
下列变换中，哪些是线性变换？
√ 1．在 R3 中，T x1, x2 , x3 (2x1, x2 , x2 x3 ). × 2．在 Pn[ x] 中，T f ( x) f 2( x). × 3．在线性空间V中，T , V 非零固定. √ 4．在 C nn中，T X AX , A C nn 固定. × 5．复数域C看成是自身上的线性空间，T( x) x . √ 6．C看成是实数域R上的线性空间， T( x) x . 7
例6 设线性空间R3中的线性变换T为：
T ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x1 x2 ),
求T在标准基e1,e2,e3下的矩阵。
例基7I：设fP0n[x]1中, f的1 线x性, f2变换x2T2! 为, ：, fTn(f(xxn)n)!=,f ’(x)，
基II： g0 1, g1 x, g2 x2, , gn xn,
组基下的矩阵为 A
相似矩阵的判定及其应用
相似矩阵的判定及其应用摘要：相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵A是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.关键字：相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形1.相似矩阵及其判定这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。
并通过一些具体的例子加以说明。
下面我们首先介绍相关的概念和性质。
定义1设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=1X A X，就说A相似于B，记BA~过渡矩阵矩阵等价 特征矩阵 行列式因子 不变因子 初等因子相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质： ⑴反身性: A A ~⑵对称性：如果B A ~，那么A B ~⑶传递性：如果B A ~，C B ~，那么C A ~在此基础上，定理1.1 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。
我们从下面的例1来看这个定理的应用。
例112312312311112A B A a εεεεεεεεεεεεε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ΛΛΛΛΛ=++1112133332312122232322213132331312112131a a a a a a 设=a a a ，a a a 是数域P 上的矩阵，证明A ，B 相似.a a a a a a 证明：设数域P 上的三维线性空间V 的一个线性变换在V 中的一组基，，下的矩阵为A ，（，，）=（，，）a a 即：32123312333212321132********,,a B A B a εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ=++⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ⎡⎤⎢⎥=Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦12223213233333231332221231213332312322211312a a a a a a a a a 于是a a a a a 在基，下的矩阵a a a a a a ,为同一线性变换在两组不同的基下的矩阵，a a 由定理1A B 可得：同一线性变换在两组不同的基下的矩阵相似，可得,相似.例2 设3P 的线性变换σ将基1α=（-1，0，-2），2α=（0，1，2）3α=（1，2，5）变成σ（1α）=（2，0，-1），σ（2α）=（0，0，1），σ（3α）=（0，1，2）求σ在基1β，2β，3β下的矩阵，其中1β=（-1，1，0），2β=（1，0，1），3β=（0，1，2）. 解题步骤：（1）先求出σ在基1α，2α，3α下的矩阵A ；（2）求出由基1α，2α，3α到1β，2β，3β的过渡矩阵P ； （3）求出σ在基1β，2β，3β下的矩阵B =1P AP -.解：我们从平常的解题中知道，我们通常取标准基1ε=（1，0，0），2ε=（0，1，0），3ε=（0，0，1）为中介，若令M =200001112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ， N = 101012225-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， T =110101012-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则σ（1α，2α，3α）=（1ε，2ε，3ε）M （1α，2α，3α）=（1α，2α，3α）N （1β，2β，3β）=（1ε，2ε，3ε）T ，故σ在基1α，2α，3α下的矩阵1A N M -=，并且由基1α，2α，3α到基1β，2β，3β的过渡矩阵1P N T -=，从而σ在基1β，2β，3β下的矩阵1111221421211B P AP T NN MN T -----⎡⎤⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦定理1.2 设A ，Ｂ为数域P 上两个n ⨯n 矩阵，它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价则可得A 与Ｂ相似.想保留证明过程，可以把它作为用定义1来判定矩阵相似的例子。
几何重数和代数重数和秩的关系
几何重数和代数重数和秩的关系嘿，咱今天就来唠唠几何重数和代数重数跟秩的关系这档子事儿哈。
你说这几何重数呢，就像是一个小团体里特别突出的那几个家伙，它们在自己的位置上闪闪发光。
代数重数呢，就像是这个团体背后默默支持的力量，虽然不那么显眼，但也很重要嘞。
而秩呀，就像是这个团体的核心骨干力量，撑起了整个场面。
想象一下哈，几何重数是那些在舞台前面尽情表演的明星，大家都能一眼看到它们。
代数重数呢，就是在后台帮忙递水、拿道具的工作人员，没他们也不行呀。
而秩呢，就是导演啦，掌控着全局，决定着这个表演能不能精彩呈现。
有时候呢，几何重数和代数重数会一起合作，让整个事情变得更加完美。
就好像演员和幕后人员配合默契，才能打造出一场精彩绝伦的演出。
而秩这个导演要是给力，那整个团队的表现都会更上一层楼。
咱再打个比方，几何重数是那美丽的花朵，代数重数是滋养花朵的土壤和养分，秩呢就是那个辛勤的园丁。
园丁要把土壤整理好，给花朵提供合适的环境，花朵才能开得艳丽，这关系可紧密着呢！
哎呀呀，总之呢，几何重数、代数重数和秩，它们三个就像是一个有趣的组合，相互关联，相互影响。
没有谁能单独存在，都得一起努力，才能让事情变得有意思。
说了这么多，咱再回过头来想想，这不就是生活中的各种关系嘛。
我们每个人都在自己的位置上，和身边的人相互配合，一起为了更美好的未来努力着。
就像几何重数、代数重数和秩一样，我们也在自己的小世界里发挥着重要的作用呢。
好啦，今天关于它们的关系就聊到这儿啦，希望你也能像理解它们的关系一样，理解生活中的各种美好和奇妙哟！嘿嘿。
几何平均数小于算术平均数证明
几何平均数小于算术平均数证明几何平均数小于算术平均数证明在数学中，几何平均数和算术平均数是常见的统计概念。
它们常常被用来描述一组数据的趋势和集中程度。
在本篇文章中，我将为大家介绍几何平均数小于算术平均数的证明过程，并分享对这个概念的个人观点和理解。
我们需要明确几何平均数和算术平均数的定义。
几何平均数是一组数的乘积的n次方根，而算术平均数则是一组数的总和除以该组数的个数。
几何平均数和算术平均数都可以用来描述一组数据的平均值，但是它们从不同的角度出发。
我们假设有n个正数，分别用a1，a2，...，an表示。
那么几何平均数G和算术平均数A可以表示为：G = (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)A = (a1 + a2 + ... + an)/n接下来，我们将证明几何平均数小于算术平均数，即G < A。
为了方便证明，我们使用数学归纳法。
当n = 2时，我们有：G = (a1 * a2)^(1/2)A = (a1 + a2)/2要证明G < A，我们需要证明(a1 * a2)^(1/2) < (a1 + a2)/2。
我们将(a1 * a2)^(1/2)的平方，得到a1 * a2。
我们需要证明a1 * a2 < (a1 + a2)^2/4，即4a1 * a2 < (a1 + a2)^2。
展开右边的平方项，得到a1^2 + 2a1a2 + a2^2。
我们需要证明4a1 * a2 < a1^2 + 2a1a2 + a2^2。
通过移项，得到0 < a1^2 - 2a1a2 + a2^2。
这等价于0 < (a1 - a2)^2，由于平方项的非负性，我们可以得出结论：几何平均数小于算术平均数。
接下来，我们使用数学归纳法证明对于任意的正整数n，都有G < A 成立。
假设当n = k时，G < A成立。
即：G = (a1 * a2 * ... * ak)^(1/k) < (a1 + a2 + ... + ak)/k = A现在我们要证明当n = k + 1时，G < A仍然成立。
矩阵化jordan标准型步骤
矩阵化jordan标准型步骤
矩阵化Jordan标准型的步骤如下：
1. 对于给定的矩阵A，计算其特征值λ和对应的特征向量。
2. 将矩阵A对角化，即找到一个可逆矩阵P使得P^-1·A·P得
到一个对角矩阵D，其中对角线上的元素是特征值λ。
3. 对于每个特征值λ，计算其对应的几何重数，即特征值λ对
应的特征向量线性无关的个数。
假设几何重数为k。
4. 对于特征值λ，如果几何重数等于代数重数（特征值λ的代
数重数即λ在特征多项式中出现的次数），则将λ对应的特征向量按列排列形成一个矩阵Ak。
如果几何重数小于代数重数，需要构建一个Jordan块，即由λ和其相关的线性无关向量组成。
5. 将所有特征值λ对应的特征向量矩阵Ak拼接形成一个矩阵P。
6. 计算可逆矩阵P的逆矩阵P^-1。
7. 计算矩阵A的Jordan标准型矩阵J = P^-1·A·P。
需要注意的是，在第4步中构建Jordan块时，需要按照一定
的规则填充向量。
具体规则如下：
- Jordan块的对角线元素为特征值λ；
- 块的数量等于特征值λ的代数重数减去几何重数；
- 每个块的大小等于块所对应的线性无关向量的数量减1。
最后得到的矩阵J即为矩阵A的Jordan标准型矩阵。
特征值与特征向量小结
(1 )k 是 k的 A 特 k 是 征 任 值 . 意常
(2)m 是 A m 的特 m 是 征正 值 . 整数
(3)当 A 可逆 ,1是 时 A 1的特 . 征值 (4)当 A 可逆 ,1A 时 是 A *的特. 征值
(5)当 f为多项 ,f(式 )是 f(函 A )的 数 特 .时 征
1. 求特征值特征向量
ex1. 求矩A阵 14
1 3
00的特征值和特. 征向
1 0 2
Solution. A的特征多项式为
1 1 0
EA 4 3 0 (2)(1)2,
1 0 2
所 A 的 以特 1 征 2 ,2 值 31 .为
当 1 2 时 ,解方 (2 E A ) 程 x 0 . 组
3 (2EA) 4
(4) 实对称矩阵的每个特征值的代数重数 与几何重数相等.
定理. 设A为n阶实对称 ,则矩 必阵 有正P交 ,使矩阵
P1APdia(g1,n) 其中 1,n是A的特征 . 值
二、题型与方法
1. 求特征值特征向量 2. 判别矩阵是否可对角化，
找可逆矩阵使其与对角阵相似 3. 实对称矩阵的对角化（可逆变换与正交变换）
1 1
0 0
1 0
0 1
0
0 ,
1 0 0 0 0 0
x1 0
从而
x
2
0
x1 x2
0 x3 0 ,
其中 k1, k2是任意.常数 (6 )若 A ~B ,则 A B ; (7 )若 A ~ B ,则 A m ~ B m ;
( 8 )若 A ~ B ,则 A 1 ~ B 1 ; (9)若 A~B ,则 f(A )~f(B )其 , f为 中多项 ; 式
几何重数小于等于代数重数证明
几何重数小于等于代数重数证明设T是n维欧氏空间V上的一个线性变换，λ是T的一个特征值，试证：λ的几何重数小于等于代数重数.设ε1，ε2,ε3, ε4是线性空间V的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵为A=(1 02 1−1 2 1 31 2 5 52 −2 1 −2)求(1) A 在基η1=ε1−2 ε2+ ε4；η2=3ε2− ε3− ε4； η3=ε3+ ε4；η4=2 ε4下的矩阵；〔2〕A 的核与值域；〔3〕在A的核中选取一组基，把它扩大为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵；〔4〕在A的值域中选取一组基，把它扩大为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵。
解：〔1〕因为(η1，η2,η3, η4)=(ε1，ε2,ε3, ε4)( 1 0 0 0 −2 3 0 00 −1 1 01 −1 1 2)=(ε1，ε2,ε3, ε4)P所以A （η1，η2,η3, η4)=A(ε1，ε2,ε3, ε4)P =(ε1，ε2,ε3, ε4)AP=(η1，η2,η3, η4)P −1AP故A 在基 η1，η2,η3, η4 下的矩阵为P −1AP , 因此， P −1AP=( 1 0 0 0 23 13 0 0 23 13 1 0 −12 0 −12 12 )( 1 0 2 1−1 2 1 3 1 2 5 5 2 −2 1 −2)( 1 0 0 0 −2 3 0 0 0 −1 1 01 −1 1 2) =13( 6 −9 9 6 2 −4 10 10 8 −16 40 40 0 3 −21 −24)〔2〕解：(2)设44332211εεεεαx x x x +++= ∈A ,那么Aα=0,故A (x 1x 2x 3x 4)=0计算知,2)(=A r 且上述齐次线性方程组的根底解系为T T )1,0,2,1(,)0,1,23,2(----,因而 421232112,232εεεαεεεα+--=+--=是ker (A)的一组基,ker (A )=L(α1,α2).显然,矩阵A 的前两列线性无关,构成矩阵A 的列向量组的一个极大无关组,因而R (A )=AV =L (Aε1,Aε2,Aε3,Aε4)=L( Aε1,Aε2)其中Aε1=ε1−ε2+ε3+2ε4,Aε2=2ε2+2ε3−2ε4是AV 的一组基. (3) 取ker (A)的基21,αα把它扩大成V 的基2121,,,ααεε,基4321,,,εεεε到基2121,,,ααεε的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=100001002231012011T ,A 在基2121,,,ααεε下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-002200210012900251111AT T B . (1) 取AV 的基Aε1,Aε2把它扩大成V 的基Aε1,Aε2,ε3,ε4,基4321,,,εεεε到基Aε1,Aε2,ε3,ε4的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10220121002100012T , A 在基2121,,,ααεε下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-0000000022312912252122AT T B 。
重数的概念六年级
重数的概念六年级
重数，数学名词，包括几何重数和代数重数。
在矩阵运算中，该矩阵有特征值是重根，则该特征值所对应的特征向量所构成空间的维数，称为几何重数。
（举例：一条直线与一个圆相切，那么切点的几何重数就是二，如果三条直线相交在一点，那么交点的几何重数就是三）。
几何重数概念：在矩阵运算中，该矩阵有特征值是重根，则该特征值所对应的特征向量所构成空间的维数，称为几何重数。
（举例：一条直线与一个圆相切，那么切点的几何重数就是二，如果三条直线相交在一点，那么交点的几何重数就是三）。
代数重数概念：指方程的根的重数，也就是说，方程的根是几重根。
（举例：（x-2）^3=0，这个方程的根为x=2，这个根是3重的，因此x=2的代数重数为3）几何重数≤代数重数。
1-2 线性变换及其矩阵表示
定理2：设x1,x2,…,xn是数域K上n维线性空间V的一 组基，在这组基下，V上的每一个线性变换都与 Kn×n中的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： ① 线性变换的和对应于矩阵的和； ② 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； ③ 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； ④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应 于逆矩阵。 推论1：设T是线性空间V的一组基x1,x2,…,xn下的 f 矩阵， ( x ) am x m am 1 x m 1 a1 x a0 , 则线 性变换f(T)在同一组基下的矩阵是： f ( A) am Am am 1 Am 1 a1 A a0 I .
2. 线性变换的矩阵表示
(a) 线性变换在给定基下的矩阵表示 设x1,x2,…,xn是n维线性空间V的一组基，T是V上 的线性变换。
对于V中的任意一个向量x，必存在数域K中的一 组数k1,k2,…,kn使得 x k1 x1 k2 x2 kn xn , 从而有 T ( x ) k1T ( x1 ) k2T ( x2 ) knT ( xn ). 这表明，T(x)由T(x1),T(x2),…,T(xn)完全确定。
设T为线性空间V的线性变换，若有V上的变换S 使得：TS=ST=Te，则称T为可逆变换，并称S为T 的逆变换，记为S=T-1。 1. 可逆变换的逆变换仍然是线性变换。 2. 线性变换T可逆当且仅当T是一一对应。 3. 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无 关的向量组。 4. 设x1,x2,…,xn是线性空间V的一组基，T是V上的 线性变换，则T可逆当且仅当T(x1),T(x2),…,T(xn)也 是V的一组基。 (T1T2 )1 T21T11 . 5. 若T1,T2都是可逆变换，则
实对称阵可对角化的几种证明及其推广
实对称阵可对⾓化的⼏种证明及其推⼴实对称阵是⼀类常见的矩阵, 它与实⼆次型和实内积空间上的⾃伴随算⼦有着密切的联系. 任⼀实对称阵 A 均正交相似于对⾓阵, 即存在正交阵 P , 使得P ′AP =diag{λ1,λ2,⋯,λn }.实对称阵的这条重要性质, 通常在内积空间的框架中加以证明 (参考复旦⾼代教材第 9.5 节). 事实上, 这⼀性质既可以在引⼊矩阵可对⾓化的定义和判定准则后直接加以证明, 也可以利⽤ Jordan 标准型理论加以证明. 下⾯我们将给出实对称阵可对⾓化的⼏种证明, 为此先来证明三个简单的引理.引理 1 实对称阵的特征值都是实数.证明 设 A 为 n 阶实对称阵, λ0∈C 是 A 的任⼀特征值, α=(a 1,a 2,⋯,a n )′∈C n 是对应的特征向量, 即 A α=λ0α. 上式两边同时左乘 ¯α′, 则有 ¯α′A α=λ0¯α′α. 注意到 α 是⾮零向量, 故 ¯α′α=n∑i =1|a i |2>0. 注意到 A 为实对称阵, 故 ¯(¯α′A α)′=¯α′A α, 即 ¯α′A α 是⼀个实数, 从⽽λ0=¯α′A α¯α′α也是实数. ◻引理 2 设 A 为 n 阶实对称阵, 则 r (A )=r (A 2)=r (A 3)=⋯.证明 由⾼代⽩⽪书的例 3.72 可知 r (A )=r (A ′A )=r (A 2), 从⽽ r (A )=r (A 2m) (m ≥1). 再由矩阵相乘秩相等或变⼩的性质以及夹逼法可知 r (A )=r (A k )(k ≥1). ◻引理 3 设 A 为 n 阶实对称阵, 则 Ker A ∩Im A =0 并且 Ker A =Ker A 2=Ker A 3=⋯.证明 由引理 2 以及线性映射的维数公式即得. ◻定理 1 实对称阵可实对⾓化.证法 1 (有完全的特征向量系) 由引理 1 可设 A 的全体实特征值为 λ1,λ2,⋯,λn , 我们对特征值 λ1 来证明其代数重数等于其⼏何重数. 不失⼀般性, 可设 λ1=⋯=λm , 但 λj ≠λ1(m <j ≤n ), 即 λ1 的代数重数为 m . 由复旦⾼代教材的定理 6.1.2 及其后的注可知, 存在⾮异实矩阵 P , 使得 P −1AP =B C 0D, 其中 B 是主对⾓元为 λ1 的 m 阶上三⾓阵, D 是主对⾓元分别为 λm +1,⋯,λn 的上三⾓阵, 于是P −1(A−λ1I n )P =B −λ1I mC 0D −λ1I n −m.注意到 B −λ1I m 是主对⾓元全为零的上三⾓阵, 这是⼀个幂零阵, 故 (B −λ1I m )m =0, 从⽽P −1(A−λ1I n )m P=B −λ1I mC 0D −λ1I n −mm=0∗0(D −λ1I n −m )m.注意到 (D −λ1I n −m )m 是⼀个主对⾓元全不为零的上三⾓阵, 从⽽是⾮异阵, 于是 r ((A −λ1I n )m )=n −m . 注意到 A −λ1I n 为实对称阵, 再由引理2 可知, λ1 的⼏何重数为n −r (A −λ1I n )=n −r ((A −λ1I n )m )=n −(n −m )=m ,即⼏何重数等于代数重数.证法 2 (全空间等于特征⼦空间的直和) 任取 A 的实特征值 λ0, 由引理 3 可知Ker(A −λ0I n )=Ker(A −λ0I n )2=⋯,再由⾼代⽩⽪书的例 7.13 的证法 1 完全相同的讨论即得结论. 另外, 由 Ker(A −λ0I n )=Ker(A −λ0I n )n 可知, λ0 的⼏何重数 dimKer(A −λ0I n )等于其代数重数 dimKer(A −λ0I n )n , 即 A 有完全的特征向量系, 这⼀⽅法⽐证法 1 更加简洁.证法 3 (极⼩多项式⽆重根) 任取 A 的实特征值 λ0, 由引理 3 可知Ker(A −λ0I n )=Ker(A −λ0I n )2=⋯,()()()()再由⾼代⽩⽪书的例 7.13 的证法 2 完全相同的讨论即得结论.证法 4 (Jordan 标准型之⼀) 任取A的实特征值λ0, 由引理 3 可知Ker(A−λ0I n)∩Im(A−λ0I n)=0,再由⾼代⽩⽪书的例 7.13 的证法 3 完全相同的讨论即得结论.证法 5 (Jordan 标准型之⼆) 任取A的实特征值λ0, 由引理 2 可知r(A−λ0I n)=r((A−λ0)2), 再由⾼代⽩⽪书的例 7.14 的证法 2 完全相同的讨论即得结论.证法 6 (Jordan 标准型之三) 设P为⾮异实矩阵, 使得P−1AP=J=diag{J r1(λ1),⋯,J rk(λk)}.⽤反证法, 若A不可对⾓化, 则不妨设r1>1. 设P′P=(b ij), 则b12=b21并且b11是P的第⼀列元素的平⽅和, 由P的⾮异性可知b11>0. 注意到P′AP=P′PJ为对称阵, 但P′PJ的第 (1,2) 元为b11+λ1b12, 第 (2,1) 元为λ1b21, 这两者不相等, ⽭盾.证法 7 (内积空间理论) 参考复旦⾼代教材的定理 9.5.2 和推论 9.5.2. ◻事实上, 我们也可以这样来看. 由上⾯的讨论可知, 对任⼀n阶实对称阵A, 全空间 R n等于A的所有特征⼦空间的直和. 容易证明: 在 R n的标准内积下, A的属于不同特征值的特征向量必正交, 属于同⼀特征值的特征向量可以利⽤ Gram-Schmidt 正交化⽅法化成两两正交的单位特征向量. 因此我们可以找到A的n个两两正交的单位特征向量, 将这些向量拼成矩阵P, 则P是⼀个n阶正交阵, 使得P′AP=diag{λ1,λ2,⋯,λn}.这就是A的正交相似标准型, 它对于深⼊探讨实对称阵的正定性和半正定性有着重要的作⽤.注 1 本题是 15 级⾼代 II 每周⼀题第 10 题第 1 ⼩问以及 16 级⾼代 II 每周⼀题第 6 题. 给出上述证法的复旦数学学院学⽣为: 章俊鑫 (证法 1),何陶然 (类似证法 1), 徐钰伦 (证法 2), 杨锦⽂ (证法 2), 杨钊杰 (证法 2), 蒋亦凡 (证法 3), 胡晓波 (证法 5), 杨彦婷 (证法 5), 沈伊南 (类似证法 6).下⾯将实对称阵可对⾓化的⼏种证法进⾏适当地推⼴, 从⽽不利⽤⾣相似标准型理论也可以直接证明: 实反对称阵, Hermite 阵, 斜 Hermite 阵,正交阵, ⾣阵, 以及更⼀般的复正规阵均可复对⾓化. 这是 15 级⾼代 II 每周⼀题第 10 题第 2 ⼩问以及 17 级⾼代 II 每周⼀题第 7 题第 2 ⼩问.我们先给出前三个引理的推⼴.引理 4 Hermite 阵的特征值都是实数. 特别地, 斜 Hermite 阵 (实反对称阵) 的特征值都是 0 或纯虚数.证明 Hermite 阵情形的证明完全类似于实对称阵情形的证明 (参考引理 1). 设A为斜 Hermite 阵, 则 i A为 Hermite 阵, 从⽽ i A的特征值都是实数, 于是A的特征值都是 0 或纯虚数. 实反对称阵是⼀种特殊的斜 Hermite 阵, 故结论也成⽴. ◻引理 5 设A为n阶复正规阵, 则r(A)=r(A2)=r(A3)=⋯.证明由⾼代⽩⽪书的例 3.72 对应的复版本可知: 对任意的m×n阶复矩阵A, 有r(A)=r(¯A ′A)=r(A¯A′).特别地, 若A是 Hermite 阵, 则r(A)=r(A2), 再仿照引理 2 的证明即得结论. 若A是复正规阵, 即A ¯A′=¯A′A, 注意到A¯A′是 Hermite 阵, 故有r(A2)=r(A2¯A2′)=r(AA¯A′¯A′)=r(A¯A′A¯A′)=r((A¯A′)2)=r(A¯A′)=r(A),再仿照引理 2 的证明即得结论. ◻引理 6 设A为n阶复正规阵, 则 Ker A∩Im A=0 并且 Ker A=Ker A2=Ker A3=⋯.证明由引理 5 以及线性映射的维数公式即得. ◻定理 2 复正规阵可对⾓化. 特别地, 实反对称阵, Hermite 阵, 斜 Hermite 阵, 正交阵, ⾣阵均可复对⾓化.证明定理 1 的证法 1--证法 5 可完全平⾏地改写⽤于证明定理 2; 定理 1 的证法 6 适当地修改之后可以证明: 实反对称阵, Hermite 阵,斜 Hermite 阵均可复对⾓化; 我们把具体的证明过程留给感兴趣的读者⾃⾏完成. 证法 7 可参考复旦⾼代教材的定理 9.6.2 和定理 9.6.3. ◻注 2 本⽂中的相关思想可推⼴为⼀般的可对⾓化判定准则, 具体的内容请参考教学博⽂ [3].参考⽂献[1] ⾼代教材: 姚慕⽣, 吴泉⽔, 谢启鸿编著, ⾼等代数学 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2014.[2] ⾼代⽩⽪书: 姚慕⽣, 谢启鸿编著, 学习⽅法指导书: ⾼等代数 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2015.Processing math: 100%。
Jordan标准型的推论
Jordan标准型的推论将学习到什么从 Jordan 标准型出发，能够获得⾮常有⽤的信息.Jordan 矩阵的构造Jordan 矩阵J=J n1(λ1)⋱J nk(λk),n1+n2+⋯+n k=n有确定的构造，这种构造使得与之相似的任何矩阵都显然具有某些基本性质：Jordan 块的个数k（计⼊同样的 Jordan 块出现的次数）就是J的线性⽆关的特征向量的最⼤个数矩阵J可以对⾓化，当且仅当k=n, 即当且仅当所有的 Jordan 块都是1×1 的与⼀个给定的特征值对应的 Jordan 块的个数就是该特征值的⼏何重数，它也就是其相伴的特征空间的维数. 与⼀个给定的特征值对应的所有 Jordan 块的阶之和就是它的代数重数设A∈M n是⼀个给定的⾮零矩阵，假设λ是A的⼀个特征值. 利⽤中式 (8) 的定义，我们知道存在某个正整数q，使得r1(A,λ)>r2(A,λ)>⋯>r q−1(A,λ)>r q(A,λ)=r q+1(A,λ)这个整数q就是λ作为A的特征值的指数；它也是A的以λ为特征值的最⼤ Jordan 块的阶.矩阵与其转置的相似性设K m是m×m反序矩阵（就是把单位矩阵I m旋转 90∘）, 它是对称的且是对合(A2=I)的：K m=K T m=K−1m.可以验证K m J m(λ)=J m(λ)T K m以及J m(λ)K m=K m J m(λ)T, 从⽽K m J m(λ) 与J m(λ)K m是对称的，且J m(λ)=K m J m(λ)T K m，所以每⼀个 Jordan 块都相似于它的转置（通过⼀个反序矩阵）. 这样⼀来，如果J是给定的 Jordan 矩阵，那么J T与J通过对称的对合矩阵K=K n1⊕⋯⊕K nk⽽相似：J T=KJK. 如果S∈M n是⾮奇异的（不⼀定对称）且A=SJS−1, 那么J=S−1AS,\begin{align}A^T &=S{-T}J TS T=S{-T}KJKS T=S{-T}K(S{-1}AS)KS T \notag \\&= (S{-T}KS{-1})A(SKS T)=(SKS T){-1}A(SKS T)\end{align}且使得A与A T之间的相似矩阵SKS T是对称的. 这就证明了如下定理： 定理 1：设A∈M n. 则存在⼀个⾮奇异的复对称矩阵S, 使得A T=SAS−1.若记\begin{align}A=SJS{-1}=(SKS T)(S{-T}KJS{-1})=(SJKS T)(S{-T}KS^{-1})\end{align}其中KJ与JK是对称的, 等式是凑的，拆开⼀合并就成⽴了. 这⼀结论证明了如下的定理： 定理 2：每⼀个复⽅阵都是两个复对称矩阵的乘积，可以选择其中任⼀个因⼦是⾮奇异的.对任意的域F，已知M n(F) 中的每个矩阵都可以通过M n(F) 中某个对称矩阵相似于它的转置. 特别地，每⼀个实⽅阵都可以通过某个实对称矩阵与其转置相似.⼏何重数-代数重数不等式给定A∈M n的⼀个特征值λ的⼏何重数是A的与λ对应的 Jordan 块的个数. 这个数⼩于或者等于与λ对应的所有 Jordan 块的[]阶之和，⽽这个和就是λ的代数重数. 于是，特征值的⼏何重数⼩于或者等于它的代数重数. ⼀个特征值λ的⼏何重数与代数重数相等，即λ是⼀个半单的特征值，当且仅当与λ对应的每⼀个 Jordan 块都是1×1 的.直和的 Jordan 标准型, 并假设每⼀个A i=S i J i S−1i, 其中每⼀个J i是⼀个 Jordan 矩阵. 这样，直和A=A1⊕⋯⊕A m就设对i=1,⋯,m给定A i∈M ni通过S=S1⊕⋯⊕S m相似于直和J=J1⊕⋯⊕J m. 此外，J是 Jordan 块的直和的直和，所以它是⼀个 Jordan 矩阵，从⽽Jordan 标准型的唯⼀性就保证了它是A的 Jordan 标准型.秩 1 摄动的 Jordan 标准型关于对于 Jordan 块有类似的结论：在某种条件下，复⽅阵的⼀个特征值可能通过⼀个秩 1 摄动⼏乎任意地加以变动⽽不破坏该矩阵的 Jordan 结构的其余部分. 定理 3：设n⩾, ⼜令\lambda,\lambda_2,\cdots,\lambda_n是A\in M_n的特征值. 假设存在⾮零的向量x,y \in\mathbb{C}^n, 使得Ax=\lambda x, y^*A=\lambda y^*, 且y^*x \neq 0. 那么 (a) 对某些正整数k,n_1,\cdots,n_k以及某个\{v_1,\cdots,v_k\} \subset \{\lambda_2,\cdots,\lambda_n\}, A的 Jordan 标准型是\begin{align} [\lambda]\oplus J_{n_1}(v_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(v_k) \end{align} (b) 对任何满⾜\lambda+v^*x \neq \lambda_j(j=2,\cdots,n)的v \in \mathbb{C}^n, A+xv^*的 Jordan 标准型是\begin{align} [\lambda+v^*x]\oplus J_{n_1}(v_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(v_k) \end{align}Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js。
矩阵理论第2章
1 1 及反厄米特矩阵均为正规矩阵；但 A= 也为正规矩阵。 1 1 a b H H 例3 设 A= 为正规矩阵，则 b 0 ， B B BB 。 0 B
a b a b a b a b 证明由 A A AA 可得， ，从而 0 B 0 B 0 B 0 B
k E B2
故 0 的代数重数至少为 k ，故 m k 。 注： A 的特征子空间为线性子空间，所有几何重数之和不超过 n ，所有代数 重数之和为 n 。
1 1 0 例1设线性变换 T 在基 e1 , e2 , e3 之下的矩阵为 A 4 3 0 ，求 T 的特征值 1 0 2
H AH x 证明 设 Ax x, x 0 ， 则 xH
x H Ax x H x x H x 。 。 由 AH A 可得，
由 x 0 可知， ，即特征值 为实数。 推论2 厄米特阵不同特征值对应的特征向量正交。
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证明设 Ax x, Ay y, x 0, y 0 ，则 x H AH x H 。由 AH A 和 可 得， x H y x H Ay x H y ，从而 x H y 0 ，即 x 与 y 正交。 例4 设 A, B 为厄米特阵，证明 AB 为厄米特阵的充要条件是 AB BA 。 证明 由 AB B H AH BA ，又 AB AB ，故 AB BA 。
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础解系为 0, 0,1
T
。由此可得，T 对应于 2 的特征向量为 ce ，其中 c 为非零
几何重数的概念
几何重数的概念几何重数是指一个几何体中每个顶点所共享的面的数目。
它是一个非常重要的概念，用于描述多面体和多面体的拓扑性质。
在几何中，重数可以帮助我们理解和分类不同的多面体，并且对于研究多面体的性质非常有用。
在介绍几何重数的概念之前，首先来了解一下几何体的基本概念。
几何体是指具有三个维度的有界实体。
我们可以通过将平面进行堆叠来创建几何体。
几何体有许多形状和大小，它们可以是立方体、圆柱体、球体等。
在几何体中，顶点是指多个边汇聚在一起的点，边是连接两个顶点的线段，面是由一组连续的边围成的平面。
对于一个多面体，它的顶点可以与多个面相连接，这些面共享的顶点数目就是几何重数。
几何重数的计算非常简单，只需要统计每个顶点所共享的面的数目即可。
例如，一个立方体的每个顶点都会与三个面相连接，因此它的几何重数为三。
而一个正五角星的每个顶点都会与两个面相连接，所以它的几何重数为二。
几何重数的概念在不同的几何体中扮演着不同的角色。
在某些情况下，几何重数可以帮助我们确定一个多面体的形状。
例如，对于一个凸多面体，每个顶点的几何重数至少为三。
如果一个顶点的几何重数小于三，则说明该几何体具有尖角。
而一个平面图形的顶点的几何重数为二，这是因为一个平面图形的每个顶点只与两条边相连接。
几何重数还可以用来判断多面体的拓扑性质。
具有相同几何重数的几何体在拓扑上是等价的，可以通过对应的变换相互转换。
几何重数的概念也与欧拉公式有密切关系。
欧拉公式是描述多面体拓扑性质的一个基本定理，它表示一个多面体的顶点数、边数和面数之间的关系。
对于一个具有V个顶点、E条边和F个面的多面体，满足欧拉公式：V - E + F = 2。
在一个多面体中，每个顶点的几何重数可以通过考虑多面体中的面的总数来计算得出。
由于每个面都会与多个顶点相连，所以每个面会贡献几何重数个顶点。
因此，多面体中所有顶点的几何重数之和等于所有面的总数。
结合欧拉公式，我们可以得到以下等式：V = 2 - 2g + E，其中g表示多面体中空洞（即欧拉特性数）的数量。
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几何重数小于等于代数重数证明及P190.3
设T是n维欧氏空间V上的一个线性变换，
λ是T的一个特征值，
试证：
λ的几何重数小于等于代数重数.
设ε1，ε2,ε3,ε4是线性空间ε的一组基，已知线性变换ε在这组基下的矩阵为
A=(
1021−1213 1255
2−21−2
)
求 (1) ε在基ε1=ε1−2ε2+ε4；ε2=3ε2− ε3−ε4；ε3=ε3+ε4；ε4=2ε4下的矩阵；
（2）ε的核与值域；
（3）在ε的核中选取一组基，把它扩充为V的一组基，并求ε在这组基下的矩阵；（4）在ε的值域中选取一组基，把它扩充为V的一组基，并求ε在这组基下的矩阵。
解：（1） 因为(ε1，ε2,ε3, ε4)=(ε1，ε2,ε3, ε4)( 1 0 0 0 −2 3 0 0
0 −1 1 01 −1 1 2)=
(ε1，ε2,ε3, ε4)ε 所以
ε（ε1，ε2,ε3, ε4)=ε(ε1，ε2,ε3, ε4)ε=(ε1，ε2,ε3, ε4)εε=(ε1，ε2,η3, ε4)ε−1εε
故ε在基 ε1，ε2,ε3, ε4 下的矩阵为ε−1εε, 因此， ε−1εε=
( 1 0 0 0 23 13 0 0 23 13 1 0 −12 0 −12 12 ) ( 1 0 2 1−1 2 1 3 1 2 5 5 2 −2 1 −2)( 1 0 0 0 −2 3 0 0 0 −1 1 01 −1 1 2) =13( 6 −9 9 6 2 −4 10 10 8 −16 40 40 0 3 −21 −24
)
（2） 解：(2)设44332211εεεεαx x x x +++= ∈ε,则A α=0,故
A (ε1ε2
ε3ε4
)=0
计算知,2)(=A r 且上述齐次线性方程组的基础解系为T T )1,0,2,1(,)0,1,2
3
,2(---
-,因而 421232112,2
3
2εεεαεεεα+--=+--=
是ker (ε)的一组基,ker (ε)=L (ε1,ε2).
显然,矩阵A 的前两列线性无关,构成矩阵A 的列向量组的一个极大无关组,因而
ε(ε)=εV =L (εε1,εε2,εε3,εε4)=L ( εε1,εε2)
其中εε1=ε1−ε2+ε3+2ε4,εε2=2ε2+2ε3−2ε4是εV的一组基. (3) 取ker (ε)的基21,αα把它扩充成V 的基2121,,,ααεε,
基4321,,,εεεε到基2121,,,ααεε的过渡矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--
--=10
00010022310120
11T , ε在基2121,,,ααεε下的矩阵为⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-==-002200210012
9
002
5
1111AT T B . (1) 取εV的基εε1,εε2把它扩充成V 的基εε1,εε2,ε3,ε4,
基4321,,,εεεε到基εε1,εε2,ε3,ε4的过渡矩阵为⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=10220121002
10001
2T , ε在基2121,,,ααεε下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛==-00
0000022312
9
12252122AT T B 。
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