平方差公式完全平方公式(拓展)
完全平方公式和平方差公式
完全平方公式和平方差公式
平方差公式：
a²-b²=(a+b)(a-b)平方差：一个平方数或正方形，减去另一个平方数或正方形得来的乘法公式。
例句：6²-4²=(6+4)x(6-4)=10x2=20
完全平方差公式：
(a-b)²=a²-2ab+b²完全平方差：两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍即完全平方公式。
例句：(6-4)²=6²-2x6x4+4²=36-48+16=4
完全平方公式平方差公式区别：
计算具体数据结果不同（若a=2，b=1）完全平方差公式：（a-b）²=a²-2ab+b²=1。
平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）=3。
完全平方公式是三项：a²-2ab+b²，平方差公式是两项：a²-b²。
平方差可利用因式分解及分配律来验证。
先设a及b。
ba-ab=0那即是ab=ba，同时运用了环的原理。
把这公式代入：a²-ab+ba-b²若上列公式是a²-b²就得到以下公式：a²-ab+ba-b²-(a²-b²)=0以上运用了r-r=0，也即是两方是相等，就得到：a²-ab+ba-b²=a²-b²注：a2-ab+ba-b2=(a-b)(a+b)。
平方差和完全平方公式及经典例题
平方差和完全平方公式及经典例题专题一：平方差公式例1：计算下列各整式乘法。
①位置变化$(7x+3y)(3y-7x)$②符号变化$(-2m-7n)(2m-7n)$③数字变化$98\times102$④系数变化$(4m+n)(2m-n)-24$⑤项数变化$(x+3y+2z)(x-3y+2z)$⑥公式变化$(m+2)(m-2)(m^2+4)$变式拓展训练：变式1】$(-y-x)(-x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$变式2】$(2a-\frac{b}{3})^2-\frac{(b-4a)^2}{33}$变式3】$1002-992+982-972+\cdots+22-12$专题二：平方差公式的应用例2：计算$2004-2004^2\times2005\times2003$的值为多少？变式拓展训练：变式1】$(x-y+z)^2-(x+y-z)^2$变式2】$301\times(302+1)\times(302^2+1)$变式3】$(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)$变式4】已知$a$、$b$为自然数，且$a+b=40$。
1）求$a^2+b^2$的最大值；（2）求$ab$的最大值。
专题三：完全平方公式例3：计算下列各整式乘法。
①位置变化：$(-x-\frac{y}{2})(\frac{y}{2}+x)$②符号变化：$(-3a-2b)^2$③数字变化：$197^2$④方向变化：$(-3+2a)^2$⑤项数变化：$(x+y-1)^2$⑥公式变化$(2x-3y)^2+(4x-6y)(2x+3y)+(2x+3y)^2$变式拓展训练：变式1】$a+b=4$，则$a^2+2ab+b^2$的值为（）A.8B.16C.2D.4变式2】已知$(a-b)^2=4$，$ab=12$，则$(a+b)^2$=_____变式3】已知$x+y=-5$，$xy=6$，则$x^2+y^2$的值为（）A.1B.13C.17D.25变式4】已知$x(x-1)-(x^2-y)=-3$，求$x^2+y^2-2xy$的值专题四：完全平方公式的运用例4：已知：$x+y=4$，$xy=2$。
(完整)平方差和完全平方公式经典例题
典例剖析专题一：平方差公式例1：计算下列各整式乘法。
①位置变化(73)(37)x y y x +- ②符号变化(27)(27)m n m n ---③数字变化98102⨯ ④系数变化(4)(2)24n n m m +-⑤项数变化(32)(32)x y z x y z ++-+⑥公式变化2(2)(2)(4)m m m +-+◆变式拓展训练◆【变式1】2244()()()()y x x y x y x y ---+++【变式2】22(2)(4)33bba a ---【变式3】22222210099989721-+-++-…专题二：平方差公式的应用例2:计算22004200420052003-⨯的值为多少？◆变式拓展训练◆【变式1】22()()x y z x y z -+-+-【变式2】2301(3021)(3021)⨯+⨯+【变式3】(25)(25)x y z x y z +-+-++【变式4】已知a 、b 为自然数，且40a b +=， （1)求22a b +的最大值;(2)求ab 的最大值。
专题三:完全平方公式例3:计算下列各整式乘法.①位置变化：22()()x y y x --+②符号变化：2(32)a b --③数字变化：2197④方向变化：2(32)a -+⑤项数变化：2(1)x y +-⑥公式变化22(23)(46)(23)(23)x y x y x y x y -+-+++◆变式拓展训练◆【变式1】224,2a b a ab b +=++则的值为（ ）A 。
8 B.16 C 。
2 D.4【变式2】已知221() 4.,()_____2a b ab a b -==+=则 【变式3】已知225.6,x y xy x y +=-=+则的值为（ ）A 。
1 B.13 C 。
17 D 。
25【变式4】已知222(1)()32x x x y x y xy ---=-+-，求的值专题四：完全平方公式的运用例4:已知：4,2x y xy +==,求：①22x y +； ②44x y +； ③2()x y -◆变式拓展训练◆【变式1】2242411310,;x x x x x x-+=++已知求①②【变式2】225,2,4xy x y x y x y x y ++=++已知满足求的值。
平方差和完全平方公式经典例题
平方差和完全平方公式经典例题专题一：平方差公式我们来计算下列各整式乘法：①位置变化：$(7x+3y)(3y-7x)$改写为：$(3y-7x)(7x+3y)$③数字变化：$98\times102$改写为：$(100-2)\times(100+2)$②符号变化：$(-2m-7n)(2m-7n)$改写为：$-(2m-7n)(2m-7n)$④系数变化：$(4m+)(2m-)$这一段明显有问题，删除。
⑤项数变化：$(x+3y+2z)(x-3y+2z)$ 改写为：$(x+2z+3y)(x+2z-3y)$⑥公式变化：$(m+2)(m-2)(m+4)$改写为：$(m^2-4)(m+4)$变式拓展训练：变式1】$(-y-x)(-x+y)(x+y)(x+y)$变式2】$(2a-)-(-4a)$专题二：平方差公式的应用我们来计算 $2\frac{2}{4b^3}$ 的值：改写为：$\frac{2}{4}\times\frac{1}{b}\times\frac{1}{b}\times\frac{1}{b} \times\frac{1}{b}\times b^2$化简得：$\frac{1}{2b^2}$变式拓展训练：变式1】$(x-y+z)-(x+y-z)$变式2】$301\times(302+1)\times(302+1)222$变式3】$(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)$专题三：完全平方公式我们来计算下列各整式乘法：①位置变化：$(-x-y)(y+x)$改写为：$(x+y)(x+y)$③数字变化：$1972^2$改写为：$(2000-28)^2$②符号变化：$(-3a-2b)^2$改写为：$(3a+2b)^2$④方向变化：$(-3+2a)^2$改写为：$(2a-3)^2$⑤项数变化：$(x+y-1)$这一段明显有问题，删除。
⑥公式变化：$(2x-3y)+(4x-6y)(2x+3y)+(2x+3y)^2$改写为：$9x^2-10xy+9y^2$变式拓展训练：变式1】已知 $a+b=4$，则$a+2ab+b$ 的值为？解：$a+2ab+b=a+b(2a+1)=4(2a+1)=8$答案为 A。
平方差公式和完全平方公式复习和拓展
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形:
1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
1、对应练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1)(x+3)(x－3)=x2－3； (2)(－3a－5)(3a－5)=9a2－25.
(3)（5m2 +n)2
(4) 972
25m4 10m2n n2
9409
3、填空题：
(1)（3a-2b)(_3_a_+2b)=9a2-4b2
(2) (x-6)2=x2+_(-_1_2_x_) +36
（3）x2-4x+__4__=(x-__2__)2
4、选择题
c (1)下列各式中，是完全平方公式的是（ ）
则a _±__8____。
（2）已知，4x2 kxy 25y2是完全平方式，
则k __±__2_0______。
(3)x2 12x m是完全平方式,则m _36____
(4)请把4x4 1添加一项后是完全平方式，
可以添加__4_x_2或__-1_或_-_4x_4_或_4.x8或
3.在横线上添上适当的代数式，使等 式成立
(1)a2 b2 (a b)2 _2_a_b__ (2)a2 b2 (a b)2 _2_ab___ (3)(a b)2 (a b)2 _4_a_b____
4.公式变形的应用：((aa+-bb))22
平方差公式和完全平方公式复习和拓展-2022年学习资料
2、运用完全平方公式计算：-13x-229x2-12x+42-2n-5216y2-1-35m2+n2-49 2-25m4+10m2n+1n2-9409-3、填空题：-13a-2b3a+2b=9a2-4b2-2x-6 =x2+-12x+36-3x2.4x+4=X-22
4、选择题-1下列各式中，是完全平方公式的是-C-AX2-X+1-B4x2+1-CX2+2X+1-Dx2+ x-1-2如y2+ay+9是完全平方公式，则a的值等于D-A3-B-6-C6-D6或-6-3下列计算正确的 C-A.X-2y2y-x）=4y2-x2-B.-x-1X+1=x2.1-C.m-n-m-n）=-m2+n2 D.x2+2y-2y=x3-4y2
小试牛刀-2.下列计算中正确的是（D-A.（x+22=x2+2x+4-B.（-3-x（3+x=9-x2-C （-3-x3+x=-x2-9+6x-D.（2x-3y2=4x2+9y2-12xy
小试牛刀-3.x2+kx+81是一个完全平方式，则k是（D-A.9-B.-9-C.±9-D.±18
小试牛刀-15+3q2;-25+30q+9q1-2-2a-52.4a2+20a+25-32x+32（2x2;16x4-72x2+81-4x+y-4x+y+4;x2+2xy+y2-16-5a-1a+1a2-1.a -2a2+1
5.完全平方式-1已知，x2+ax+16是完全平方式，-则a=8-己知，4x2-ky+25y2是完全平方式 -则k=-±20-3x2+12x+m是完全平方式，则m=36-4请把4x4+1添加一项后是完全平方式，-可 添加-±4x2或-1或-4x4或4x8或
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式在数学中，平方差公式和完全平方公式是两个重要的公式，它们在代数中的运用频繁，能够帮助我们简化计算和解决问题。
本文将介绍这两个公式的定义、应用以及推导过程。
一、平方差公式平方差公式是指两个数的平方差等于它们的积与和的差。
具体表达如下：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)其中，a、b为任意实数。
平方差公式的应用可以帮助我们快速计算平方差，以及解决一些与平方差相关的问题。
例如，考虑以下例子：例1：计算 16^2 - 9^2 的值。
根据平方差公式，我们可以将该式转化为 (16 + 9)(16 - 9)。
进一步计算可得= 25 × 7= 175因此，16^2 - 9^2 的值为 175。
平方差公式也可以用于因式分解和方程求解等问题。
通过将平方差公式进行变形，可以将复杂的表达式进行简化。
二、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式能够被写成两个平方项的和的形式。
具体表达如下：(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2其中，a、b为任意实数。
完全平方公式的应用范围广泛，涉及到二次函数、方程、因式分解等等。
以下是一些例子：例2：将 x^2 - 6x + 9 表示为完全平方形式。
我们可以观察到该式可以写成 (x - 3)^2 的形式，其中 a = x，b = -3。
这样，我们就可以利用完全平方公式进行简化和计算。
例3：解方程 x^2 + 6x + 9 = 0同样地，我们可以将该方程改写为 (x + 3)^2 = 0 的形式。
根据完全平方公式，这意味着 x + 3 = 0 或 x = -3。
因此，方程的解为 x = -3。
总结：平方差公式和完全平方公式在代数中起到了重要的作用，能够帮助我们简化计算和解决问题。
我们可以通过灵活运用这两个公式来化简表达式、因式分解、解方程等。
熟练掌握平方差公式和完全平方公式，对理解和应用代数知识都有很大帮助。
平方差公式完全平方公式拓展
平方差公式完全平方公式拓展一、平方差公式的拓展(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²这两个公式常用于将两个含有平方项的多项式进行展开。
例如，要计算(3+4)²，可以利用平方差公式展开为3²+2*3*4+4²=9+24+16=49然而，这两个公式还可以进一步拓展。
1.平方差公式的三项展开(a+b+c)² 的展开式可以通过不断应用平方差公式进行简化。
我们首先展开(a+b)²，得到a² + 2ab + b²。
然后将 c 加入到这个式子中，得到a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²。
观察这个式子，我们可以发现其中有三个交叉项 2ab、2ac 和 2bc。
因此，我们可以将(a+b+c)² 的展开式写为三项的形式：(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc这个拓展的平方差公式对于展开三个或多个含有平方项的多项式非常有用。
2.平方差公式的负数展开前面提到的平方差公式是针对两个正数进行的展开。
但是，当其中一个数是负数时，我们可以将其用平方差公式进行展开。
例如，要计算(4-3)²，我们可以将其展开为4²-2*4*3+3²=16-24+9=1、这个拓展的平方差公式的形式如下：(a-b)² = a² - 2ab + b² （当 a 和 b 可能是任意实数时）这个公式对于将两个数的差的平方进行展开非常有用。
二、完全平方公式的拓展完全平方公式是指一个多项式是一些二次多项式的平方。
常见的完全平方公式如下：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²这两个公式常用于将含有平方项的多项式进行因式分解。
平方差完全平方公式
【知识点】一、平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
1、即：（a+b ）(a-b) = 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：a 2-b 2=（a+b ）(a-b)。
3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积 即：（a+b ）(a-b)或（a+b ）(b-a) ②有两数和的相反数与两数差的积 即：（-a-b ）(a-b)或（a+b ）(b-a) ③有两数的平方差 即：a 2-b 2 或-b 2+a 2二、完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2a 2-2ab+b 2=(a-b)22、能否运用完全平方式的判定 ①有两数和（或差）的平方即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。
即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2或-a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2探索练习：1、计算下列各式： （1）()()22-+x x （2）()()a a 3131-+ （3）()()y x y x 55-+2、观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？3、猜一猜：()()=-+b a b a －平方差公式1、平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即22))((b a b a b a -=-+。
2、其结构特征是：①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数； ②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
随堂练习：1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 （1）()()c a b a -+ （2）()()x y y x +-+ （3）()()ab x x ab ---33 （4）()()n m n m +--2、判断：（1）()()22422b a a b b a -=-+ （ ） （2）1211211212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+x x x （ ） （3）()()22933y x y x y x -=+-- （ ）（4）()()22422y x y x y x -=+--- （ ） （5）()()6322-=-+a a a （ ） （6）()()933-=-+xy y x （ ）3、计算下列各式：（1）()()b a b a 7474+- （2）()()n m n m ---22 （3）()()33221221--+-+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x4、填空：（1）()()=-+y x y x 3232 （2）()()116142-=-aa（3）()949137122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a ab （4）()()229432y x y x -=-+5、求()()()22y x y x y x +-+的值，其中2,5==y x6、计算：（1）()()c b a c b a --+- （2）()()()()()42212122224++---+-x x x x x x【例】运用平方差公式计算：102×98； 59.8×60.2；运用平方差公式计算：完全平方公式探索：一块边长为a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加b 米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。
《完全平方公式》 知识清单
《完全平方公式》知识清单一、完全平方公式的定义完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。
这两个公式分别叫做两数和与两数差的完全平方公式。
（a ＋ b）²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b）²＝ a² 2ab ＋ b²二、完全平方公式的特点1、左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
2、右边第一项是左边二项式中第一项的平方，第二项是左边二项式中两项乘积的 2 倍，第三项是左边二项式中第二项的平方。
3、公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式。
三、完全平方公式的推导我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。
以（a ＋ b）²为例：（a ＋ b）²＝（a ＋ b）（a ＋ b）＝ a×a ＋ a×b ＋ b×a ＋ b×b＝ a²＋ 2ab ＋ b²同理，对于（a b）²：（a b）²＝（a b）（a b）＝ a×a a×b b×a ＋ b×b＝ a² 2ab ＋ b²四、完全平方公式的常见变形1、 a²＋ b²＝（a ＋ b）² 2ab2、 a²＋ b²＝（a b）²＋ 2ab3、（a ＋ b）²（a b）²＝ 4ab五、完全平方公式的应用1、用于整式的乘法运算例如：计算（3x ＋ 2y）²解：（3x ＋ 2y）²＝（3x）²＋ 2×3x×2y ＋（2y）²＝ 9x²＋ 12xy ＋ 4y²2、用于因式分解例如：分解因式 x²＋ 6x ＋ 9解：x²＋ 6x ＋ 9 ＝（x ＋ 3）²3、用于简便计算例如：计算 102²解：102²＝（100 ＋ 2）²＝ 100²＋ 2×100×2 ＋ 2²＝ 10000 ＋ 400 ＋ 4＝ 104044、用于求解代数式的值已知 a ＋ b ＝ 5，ab ＝ 3，求 a²＋ b²的值。
平方差公式和完全平方公式练习
平方差公式和完全平方公式练习班级_________姓名____________一、平方差公式1、平方差公式用字母表示：语言叙述：两数的 。
公式结构特点：左边：右边：注意：熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
2、填空： (2x-1)( )=4x 2-1 (-4x+ )( -4x)=16x 2-49y 23、第一种情况：直接运用公式1）（a+3）(a-3) 2）(1+2c)(1-2c)3）(-x+2)(-x-2) 4） (2x+12)(2x-12)5）)43)(43(22---x x ※6）-)323)(323(4y x y x ---4、第二种情况：运用公式使计算简便1）1998×2002 2）498×5023）1.01×0.99 4）（20-19）×（19-89）5、第三种情况：两次运用平方差公式1）（a+b ）(a-b)(a 2+b 2) 2）(3a+2)(3a-2) (9a 2+4)3）(x-12)(x 2+14)(x+12) ※4)))94)(64)(32(2++-a a a6、第四种情况：需要先变形再用平方差公式1）（-2x-y ）(2x-y) 2）(y-x)(-x-y)3）(ab+1)(1-ab) ※4）22)3()3(x y y x +-7、第五种情况：每个多项式含三项1）（a+2b+c ）(a+2b-c) 2）(a+b-3)(a-b+3)※3）（x-y+z)(x+y-z) 4）(3x-2y+1)(3x+2y-1)完全平方公式一、完全平方公式：语言叙述：两数的 ， 。
公式结构特点：左边： 右边： 熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
公式变形：1）a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)22）（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)23）(a+b)2 +（a-b ）2=4）(a+b)2 --（a-b ）2=二、计算1）2)(y x + 2）2)12(--t3）2)313(c ab +- 4）-22)2332(y x +5）(0.02x+0.1y)2三、利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972四、计算：（1）22)(y x y +- （2）22)1()1(--+xy xy（3）()()2()x y x y x y --+- 4）(3mn+1)(3mn-1)-8m 2n五、综合练习（1）)4)(12(3)32(2+--+a a a （2）(2x 2)3－6x 3(x 3+2x 2+x)（3）化简求值),2)(2()2)(2(x y x y x y y x -+-+-其中x=1.y=2.（4）解关于x 的方程：41)41)(41()41(2=-+-+x x x六、拓展延伸 巩固提高1、若4229y mxy x +-是一个完全平方式，求m 值。
初一奥数专题讲义 完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33．公式的推广（1）多项式平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
（2）二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4（a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律4．公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)5．由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b ）(a 3－a 2b+ab 2－b 3)=a 4－b 4 (a+b)(a 4－a 3b+a 2b 2－ab 3+b 4)=a 5+b5(a+b)(a 5－a 4b+a 3b 2－a 2b 3+ab 4－b 5)=a 6－b 6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数 (a+b)(a2n －1－a2n －2b+a2n －3b 2－…＋ab2n －2－b2n －1)=a 2n －b2n(a+b)(a 2n －a 2n －1b+a 2n －2b 2－…－ab 2n －1+b 2n )=a 2n+1+b 2n+1 类似地：（a －b ）(a n －1+a n －2b+a n －3b 2+…＋ab n －2+b n －1)=a n －b n 由公式的推广③可知：当n 为正整数时 a n －b n 能被a －b 整除, a 2n+1+b 2n+1能被a+b 整除, a 2n －b 2n 能被a+b 及a －b 整除。
高中数学公式大全平方差公式与完全平方公式
高中数学公式大全平方差公式与完全平方公式高中数学公式大全：平方差公式与完全平方公式在高中数学中，有许多重要的公式被广泛应用于各个数学的领域。
本文将重点介绍两个重要的公式，即平方差公式和完全平方公式，并对其应用进行详细讲解。
一、平方差公式平方差公式是一种用于将一个式子因式分解的方法，它被广泛应用于高中数学的代数部分。
平方差公式可以将一个二次多项式的差平方分解为两个一次多项式的乘积。
其表达式如下：(a^2 - b^2) = (a + b)(a - b)其中，a和b可以代表任意实数。
平方差公式的应用非常广泛，尤其是在化简和因式分解二次多项式时，十分有用。
下面通过一些例子进一步说明平方差公式的应用。
例1：将多项式 x^2 - 9 进行因式分解。
解：根据平方差公式，可得到：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)因此，多项式 x^2 - 9 可以因式分解为 (x + 3)(x - 3)。
例2：将多项式 4a^2 - 25b^2 进行因式分解。
解：根据平方差公式，可得到：4a^2 - 25b^2 = (2a + 5b)(2a - 5b)因此，多项式 4a^2 - 25b^2 可以因式分解为 (2a + 5b)(2a - 5b)。
通过以上例子，我们可以看出平方差公式的应用范围相当广泛，学好此公式有助于化简和解决复杂的代数问题。
二、完全平方公式完全平方公式是另一个在高中数学中常见的重要公式。
它常用于将一个二次多项式转化为平方的形式。
其表达式如下：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2其中，a和b可以代表任意实数。
完全平方公式的应用也非常广泛，下面通过一些例子进一步说明它的用法。
例3：将多项式 x^2 + 6x + 9 进行化简。
解：根据完全平方公式，可得到：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2因此，多项式 x^2 + 6x + 9 可以化简为 (x + 3)^2。
例4：将多项式 9a^2 - 12ab + 4b^2 进行化简。
平方差公式完全平方公式拓展
平方差公式、完全平方公式2 2 2 2 2a +b =(a-b) +2ab (a+b) -(a-b) =4ab已知 a + b =6,ab =4，贝U a 2b +3a 2b 2+ab 2的值是1已知 X 2+y 2 -2x -4y + 5 = 0，贝U 5(xT)2-xy 的值是a 2 +b 2 +c 2 =(a +b +c)2 一、填空 -2ab -2ac-2bc 1、 (- 2x+y ) (- 2x — y ) = ______ 2、 (— 3x 2+2y 2) ( ______ ) =9x 4— 4y 4 3、(a+b — 1) (a — b+1) = ( _____ ) 2—( ______ ) 2 4、两个正方形的边长之和为 5，边长之差为2,那么较大正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是 5、计算：(a+1) ( a — 1) = ______ 若 a 2+b 2 — 2a+2b+2=0,则 a 2004+b 2005= _______ 一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a — 3b),则长方形的面积为 _________ 5— (a — b )的最大值是 _________ ，当5— (a — b )取最大值时，a 与b 的关系是 要使式子0.36x 2+1y 2成为一个完全平方式，则应加上____________ 4 6、 7、 8、 9、 10、 (4 a m ^ — 6a m ) * ZaE' ____ 11、 已知 x 2— 5x+1=0,则 X 2+4 =x 12、 已知(2005 — a)(2003 — a)=1000,请你猜想(2005 — a) 2+(2003 — a)2= 13、 若x2 — 7xy+M 是一个完全平方式，那么 M 是 _________ 14、 若 x 2— y 2=30，且 x — y= — 5，贝U x+y 的值是 ___ 15、 若 x 2— x — m = (x — m)(x+1)且 x 工 0,贝U m 等于(x+q)与(x+1)的积不含x 的一次项，贝U q 应是 _______ 5计算［(a 2— b 2)(a 2+b 2): 2等于 ______________ 已知(a+b)2=11,ab=2,则(a — b)2 的值是 _____已知 m +n -6m+10n+34=0,贝U m+n 的值是 ________ 29 X 31 X (302+1)= 16、 17、 18、 19、 20、 21、 已知X 2+y 2+4x -6y +13 = 0，x 、y 都是有理数，则x y的值是_2 +b已知(a + b)2=16,ab=4,则2-的值是 3、(a-b)2的值是22、 已知(a-b)=5,ab=3，则(a+b)2的值是 23、 已知a + b=6,a-b=4，贝U ab 的值是 _、3(a 2+b 2)的值是a 2+b 2的值是 _______24、已知a + b=4,a 2+b 2=4，则a 2b 2的值是、(a-b)2的值是25、 已知(a+b)2=60, (a-b) 2=80，贝U a 2+b 2的值是、ab 的值是2 2 2 a +b =(a+b) -2ab26、 27、C.x 2n 、y 2n一定是互为相反数D.x 2nT 、— y2n — 1一定相等28、 29、 已知X-J6，则X 2+丄的值是X X1X 2+3x +1 = 0 ,贝U X 2+P 的值是 X X 4+丄的值是X30、 2 2当代数式X +3x +5的值为7时，则代数式3x+ 9X-2的值是31、 已知2 2x+y=4 , xy=1，则代数式(X +1)(y +1）的值是32、 已知 X = 2 时，代数式 ax 5+bx 3+CX -8 =10, 则当X = —2时，代数式ax ' + bx3+ CX -8的值是33、 已知 a 2+a -1 =0，贝y a 3+2a 2+2007 的值是34、 35、 若 M =123456789x123456786 , N =123456788x123456787，则 M 与 N 的大小关系是 _3 3 3已知 a=—X-20 , b= —X-18 , c = —x-16，则代数式 a 2+b 2+c 2- ab - ac-be 的值是8 8 8 36、已知 X 工1 ( 1+X ) (1 — X ) =1 — X 2, (1 — X ) (1+X+X 2) =1 — X 3, (1 — X ) (?1+x+x 2+x 3) =1 —X 4.,(1) 观察以上各式并猜想：（1— X ） （ 1+X+X 2+…+X n ）=.（n 为正整数） 根据你的猜想计算:(1 — 2) ( 1+2+22+23+24+25)= (X — 1 ) (x 99+x 98+x 97+…+X 2+X+1 )=通过以上规律请你进行下面的探索: (a — b ) (a+b )= 二、选择 1、2、 3、 ②2+22+23+…+2n =（n 为正整数）.笑(a -b ) (a 2+ab+b 2)= (a — b ) (a 3+a 2b+ab 2+b 3)=下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ A . (a+b ) (b+a )B . (— a+b ) (a —b )下列计算中，错误的有（） 1 C . (— a+b ) (b — — a ) 3 3 D . (a 2— b ) ( b 2+a )◎ ( 3a+4) (3a — 4) =9a 2— 4 ;笑(2a 2— b ) (2a 2+b ) =4a 2— b 2; ®( 3 — X ) (x+3) =x 2 — 9;④(一x+y ) - (x+y ) = —( x — y ) (x+y ) = — x 2 下列运算正确的是（ ） A . a 3+a 3=3a 6 B . (— a ) 3•(— a ) 5= — a 8—y 2. Q O O C . (— 2a b ) 4a=— 24a b 1 1 2 12-a — 4b ) (— a — 4b ) =16b — - a 3 3 94、 下列四个算式：①4x 2y 4* 1xy=xy 3:② 16a 6b 4c*8a 3b 2=2a 2b 2c ；③9x 8y 2*3x 3y=3x 5y ； ④(12nm+8m 4 2 —4m)宁(—2n)= — 6m+4n+2, 其中正确的有( )个 5、 若x,y 互为不等于0的相反数， D .(— n 为正整数，你认为正确的是（ A.X 、y n 一定是互为相反数 B.(1八（丄）n —定是互为相反数 X y三、计算1、2 20 — 1X21 - 34016 2 4 20083 2、(3+1) (3 +1) (3 +1)…(3 +1)———23、 2 4(a+2) (a+4) (a+16) (a — 2)4、(2+1 ) (22+1 ) (24+1 ) (22)+1) +1 (n 是正整数)5、 利用平方差公式计算:2007 20072-2008x2006200722008^2006 + 16、 2(解方程)x (x+2) + (2x+1) (2x — 1) =5 (x +3)x(9x — 5) — (3x — 1)(3x+1)=57、 9 9(a — 2b+3c)2 — (a+2b —1 2[ab(3— b)— 2a(b — -b 2)]8、, C 2,3、 小100、/C L 100、/ /八2005 , 八—5(—3a b ); — 2 X 0.5 X (— 1) - (— 1)2[(x+2y)(x — 2y)+4(x — y) —四、综合应用请写出一个平方差公式，使其中含有字母m , n 和数字 4： _______________试说明不论x,y 取何值，代数式X 2+ y 2+6x-4y+15的值总是正数。
平方差公式和完全平方公式复习和拓展
平方差公式和完全平方公式复习和拓展一、平方差公式在代数中，我们常常需要将一个数分解成两个数的平方差，或是将两个数的平方差合并成一个数。
平方差公式就提供了一个简单的方法。
例如，如果我们需要将16分解成两个数的平方差，我们可以设一个数为x，则另一个数为16/x。
根据平方差公式，我们有(x+16/x)(x-16/x)=x^2-(16/x)^2=x^2-256、这样我们就将16分解成了两个数的平方差x^2-256除了在分解数的平方差时使用平方差公式，它还可以用来简化代数表达式。
例如，我们有一个代数表达式(x+2)(x-2)，我们可以根据平方差公式简化它为x^2-4二、完全平方公式完全平方公式用于求解一个二次多项式的平方。
设a和b为任意实数，则完全平方公式可以表示为：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2完全平方公式可以用来求解一些常见的问题，如求一个数的平方、求解二次方程等。
例如，如果我们需要求解x^2+6x+9=0的根，我们可以利用完全平方公式写成(x+3)^2=0。
从中我们可以得到x=-3，即方程的根为-3完全平方公式也可以用来展开一个二次多项式。
例如，如果我们需要展开(x+1)^2，我们可以利用完全平方公式得到x^2+2x+1三、平方差公式和完全平方公式的拓展除了基本的平方差公式和完全平方公式之外，还有一些相关的公式和技巧可以帮助我们更好地理解和应用这两个公式。
1. 平方差公式的展开形式：有时候，我们需要展开一个平方差的其他形式，例如(a+b)^2 - 4ab。
根据平方差公式，我们可以得到：(a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^22.完全平方公式的逆运算：有时候，我们需要根据一个完全平方公式的结果反推出原始的二次多项式，例如(x+3)^2=x^2+6x+9、根据完全平方公式的逆运算，我们可以得到x^2+6x+9=(x+3)^23.平方差公式的应用：平方差公式不仅可以用于分解数的平方差，还可以用于简化代数表达式。
平方差公式和完全平方公式复习和拓展39页PPT
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
平方差公式和完全平方公式复习和拓 展
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
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三次平方差公式和完全平方公式
三次平方差公式和完全平方公式三次平方差公式是指一个完全立方数与另一个完全立方数之差可以表示为一个完全平方数。
具体来说，三次平方差公式可以表示为：
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
其中，a和b为任意实数。
完全平方公式是指一个整数的平方可以表示为两个连续自然数之差。
具体来说，完全平方公式可以表示为：
n^2 = (n + 1) - (n - 1)
其中，n为任意整数。
拓展部分：
除了上面提到的三次平方差公式和完全平方公式之外，还有其他一些数学公式和恒等式可以用于拓展。
例如：
-完全立方公式：(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
-平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
-平方和公式：a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
-二次平方差公式：a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)
-奇数完全平方公式：奇数的平方可以表示为奇数之和(n为奇数)。
这些公式和恒等式在数学运算和解题过程中起到了重要的作用，
能够简化计算，推导结论等。
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平方差公式、完全平方公式
ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ ab b a b a 4)(22=--+）（
bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++
一、填空
1、（－2x+y ）（－2x －y ）=______
2、（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4
3、（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2
4、两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么较大正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____
5、计算：（a+1）（a －1）=______
6、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=________
7、一个长方形的长为(2a +3b ),宽为(2a －3b ),则长方形的面积为________
8、5－(a －b )2的最大值是________，当5－(a －b )2取最大值时，a 与b 的关系是________
9、要使式子0.36x 2+4
1y 2成为一个完全平方式，则应加上________ 10、(4a m+1－6a m )÷2a m －1=________. 29×31×(302+1)=________
11、已知x 2－5x +1=0,则x 2+21x
=________ 12、已知(2005－a )(2003－a )=1000,请你猜想(2005－a )2+(2003－a )2=________
13、若x2－7xy+M 是一个完全平方式，那么M 是
14、若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是
15、若x 2－x －m = (x －m)(x+1)且x ≠0,则m 等于
16、(x +q )与(x +5
1)的积不含x 的一次项，则q 应是 17、计算［(a 2－b 2)(a 2+b 2)］2等于
18、已知(a +b )2=11,ab =2,则(a －b )2的值是
19、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，则m+n 的值是
20、已知013642
2=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，则y x 的值是 21、已知 2
()16,4,a b ab +==则22
3a b +的值是 、2()a b -的值是 22、已知()5,3a b ab -==，则2()a b +的值是 、223()a b +的值是
23、已知6,4a b a b +=-=，则ab 的值是 、22
a b +的值是
24、已知224,4a b a b +=+=，则22a b 的值是 、2()a b -的值是 25、已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，则a 2+b 2的值是 、a b 的值是
26、已知6,4a b ab +==，则22223a b a b ab ++的值是
27、已知222450x y x y +--+=，则21(1)2
x xy --的值是
28、已知16x x -=，则221x x
+的值是 29、0132=++x x ，则221x x +的值是 、441x
x +的值是 30、当代数式532++x x 的值为7时,则代数式2932-+x x 的值是
31、已知4=+y x ，1=xy ，则代数式)1)(1(22++y x 的值是
32、已知2=x 时，代数式10835=-++cx bx ax ，则当2-=x 时，代数式835-++cx bx ax 的值是
33、已知012=-+a a ，则2007223++a a 的值是
34、若123456786123456789⨯=M ，123456787123456788⨯=N ，则M 与N 的大小关系是
35、已知2083-=x a ，1883-=x b ，168
3-=x c ，则代数式bc ac ab c b a ---++222的值是 36、已知x≠1，（1+x ）（1－x ）=1－x 2，（1－x ）（1+x+x 2）=1－x 3，（1－x ）（•1+x+x 2+x 3）=1－x 4．，……
（1）观察以上各式并猜想：（1－x ）（1+x+x 2+…+x n ）=______．（n 为正整数）
（2）根据你的猜想计算：
①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+…+2n =______（n 为正整数）．
③（x －1）（x 99+x 98+x 97+…+x 2+x+1）=_______．
（3）通过以上规律请你进行下面的探索：
①（a －b ）（a+b ）=_______． ②（a －b ）（a 2+ab+b 2）=______． ③（a －b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=______．
二、选择
1、下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A ．（a+b ）（b+a ）
B ．（－a+b ）（a －b ）
C ．（
13a+b ）（b －13a ） D ．（a 2－b ）（b 2+a ） 2、下列计算中，错误的有（ ）
①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4；②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；
③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3、下列运算正确的是（ ）
A ．a 3+a 3=3a 6
B ．（－a ）3·（－a ）5=－a 8
C ．（－2a 2b ）·4a=－24a 6b 3
D ．（－
13a －4b ）（13a －4b ）=16b 2－19a 2 4、下列四个算式:①4x 2y 4÷4
1xy =xy 3；②16a 6b 4c ÷8a 3b 2=2a 2b 2c ；③9x 8y 2÷3x 3y =3x 5y ； ④(12m 3+8m 2
－4m )÷(－2m )=－6m 2+4m +2，
其中正确的有（ ）个
5、若x ,y 互为不等于0的相反数，n 为正整数,你认为正确的是（ ）
A.x n 、y n 一定是互为相反数
B.(x
1)n 、(y 1)n 一定是互为相反数 C.x 2n 、y 2n 一定是互为相反数 D.x 2n －1、－y 2n －1一定相等
三、计算
1、2023
×2113 2、（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632
3、（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）
4、（2+1）（22+1）（24+1）…（22n +1）+1（n 是正整数）
5、利用平方差公式计算：22007200720082006
-⨯ 22007200820061⨯+
6、（解方程）x （x+2）+（2x+1）（2x －1）=5（x 2+3） x (9x －5)－(3x －1)(3x +1)=5
7、(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2 ［ab (3－b )－2a (b －2
1b 2)］
8、(－3a 2b 3);－2100×0.5100×(－1)2005÷(－1)－5 ［(x +2y )(x －2y )+4(x －y )2－6x ］÷6x
四、综合应用
1、请写出一个平方差公式，使其中含有字母m ，n 和数字4：
2、试说明不论x,y 取何值，代数式22
6415x y x y ++-+的值总是正数。
3、已知三角形 ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？
4、广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？
5、(2+1)(22+1)(24
+1) =(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22－1)(22+1)(24+1)
=(24－1)(24+1)=(28－1).
根据上式的计算方法，请计算
364
(3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)－
的值等于
2。