理论力学点合成运动
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理论力学第八章点的合成运动
3
实例三
描述一个长杆在平面内同时作直线运动和回转运动的合成运动，讨论合成运动对 杆心运动特性的影响。
合成运动中的矢量操作
在合成运动中，我们经常需要进行矢量的加法、减法和乘法等操作。这些操作可以帮助我们推导、计算和分析 合成运动的各种特性。
合成运动的应用及展望
应用
合成运动的概念和原理广泛应用于物理学、工程学和运动学等领域，为我们理解和解决复杂 的运动问题提供了有力的工具。
点的合成运动的基本概念
点的合成运动是指多个点以各自不同的速度和方向同时运动，并在同一时间 到达相对位置的运动方式。它是合成运动的基本形式之一。
合成运动的示意图和公式推导
示意图
通过示意图展示合成运动的过程和结果，帮助加深 理解。
公式推导
推导合成运动的公式，使我们能够定量描述和计算 合成运动的各个特性。
质点运动的合成运动
质点的合成运动是指质点在运动过程中，同时具有平移运动和旋转运动的一 种复杂运动形式。在合成运动中，质点的运动轨迹会呈现出特定的形态和规 律。
质点合成运动实例分析
1
实例一
分析一个小球在倾斜平面上同时进行滚动和滑动的合成运动，探讨其运动规律和 性质。
2
实例二
研究一个弹射体在水平飞行过程中受到重力和空气阻力合成运动的影响，揭示合 成运动对物体运动轨迹的影响。
理论力学第八章点的合成 运动
欢迎大家来到本次关于理论力学第八章点的合成运动的精彩演讲。在本次演 讲中，我们将深入探讨合成运动的定义、基本概念、示意图与公式推导，以 及质点运动的合成运动等内容。
合成运动的定义
合成运动是指由多个简单的运动相结合而成的复杂运动。它将两个或多个运 动矢量合成为一个合成矢量，从而形成全新的运动方式。
理论力学7-2
z
M M '
rM z '
r'
O' x'
k ' rO ' i '
j'
y'
O
y
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第七章 点的合成运动
1. 动系做平移时 i 0, j 0, k 0
' k ' 0 2 x' i ' y ' j ' z
ve vr va ro
vB ve r O l l l
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第七章 点的合成运动
绝对加速度 相对加速度
n 2 aa aa O r
方向由A指向O
ar ?
n e 2 e
方向水平
2 O r2
v 牵连加速度 a l
l
方向由B指向D
v R vr aa R R 2 v R 2 r 2vr R
2 a 2
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第七章 点的合成运动
加速度合成定理(Theorem of composition of accelerations)
1. 动系做平移时
aa ae ar
2. 两个不相关的物体，求二者的相对速度。 根据题意, 选择所求相对运动速度的点为动点, 动系 固结于另一物体上。
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第七章 点的合成运动
3. 相对于运动物体在运动的物体上有一动点，求该点的绝 对运动。则取该点取为动点，动系固结于另一个运动物体 上。
理论力学基础点的合成运动
1
平动和转动的区别
2
它们之间的关系对于理解合成运动具有
重要意义；
3
运动学基本公式
4
位置、速度、加速度等运动学基本公式 是研究合成运动的基础知识。
牛顿第二定律
合力产生加速度，加速度与力成正比。 一切合成运动都符合牛顿第二定律；
匀速圆周运动的分解
它是所有曲线合成运动的基础，掌握分 解方法可以为其他曲线合成运动的研究 提供启示；
结论和总结
合成运动是力学基础点之一，但不同于其他运动，它是由多个运动步骤组 成的复杂过程，因此有其独特的研究方法和工具。对合成运动理论及其实 际应用的深度理解和掌握，具有重要意义。 ——陈晓明，中国科技大学教授
机器人动作设计
机器人动作设计中需要进行多种复杂的合成运动分析与控制。合成运动理论可以指导机器人 的运动规划、轨迹跟踪和动作执行。
运动传感设计
合成运动分解是一种重要的运动测量技术。在车辆安全、物流配送、航空监控等领域，合成 运动传感器为复杂运动测量提供了有效手段。
合成运动的实验方法和技术
1
高速相机
观测高速运动的一种重要方法。运用指定的曝光时间和快门速度，拍摄合成运动 过程中的关键帧。
2
追踪仪器
用于测量运动物体的位置、速度和加速度等多种参数，对于合成运动的分析和控 制有着重要作用。
3
动力学仿真软件
自动地计算合成运动的轨迹、速度、加速度等参数。可以模拟物体的运动过程， 为结构设计和工艺分析提供有力支持。
合成运动的分类和特点
线性合成运动
由两个或两个以上直线运动叠 加而成；
圆周合成运动
由两个或两个以上曲线运动叠 加而成；
复合合成运动
由不同类型直线运动或曲线运 动叠加而成。
理论力学第七章
12
例题
点的复合运动
例 题 7-1
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
va ve vr
13
例题
点的复合运动
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。 相对运动－沿杆BC直线运动。 牵连运动－平动。
24
ω0
O
30
C
例题
点的复合运动
例 题 8-10
3. 速度分析。
α
ω
60
绝对速度va：va = ω0 r，垂直于OA向下。
D A E 牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。
B
vr vB v a
a
a
n ae sin 30 cos 30
2 3o l r 3l
所以杆BD的角加速度
t ae l
2 3 o r (l r )
3l 2
27
例题
点的复合运动
习题课
28
第七章
一、基本概念
点的合成运动习题课
1.一个动点，两个坐标系，三种 运动 2.速度合成定理
v2 B
v1
30
vr 与 va 的夹角 ve
60
M
β
ve sin 60 46 12 arcsin vr
va
vr
18
§7-３点的加速度合成定理
先分析 k’ 对时间的导数。
' drA rA rO k vA e rA dt ' ' drO dk e (rO k ) dt dt 因为 v drO r O e O dt
例题
点的复合运动
例 题 7-1
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
va ve vr
13
例题
点的复合运动
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。 相对运动－沿杆BC直线运动。 牵连运动－平动。
24
ω0
O
30
C
例题
点的复合运动
例 题 8-10
3. 速度分析。
α
ω
60
绝对速度va：va = ω0 r，垂直于OA向下。
D A E 牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。
B
vr vB v a
a
a
n ae sin 30 cos 30
2 3o l r 3l
所以杆BD的角加速度
t ae l
2 3 o r (l r )
3l 2
27
例题
点的复合运动
习题课
28
第七章
一、基本概念
点的合成运动习题课
1.一个动点，两个坐标系，三种 运动 2.速度合成定理
v2 B
v1
30
vr 与 va 的夹角 ve
60
M
β
ve sin 60 46 12 arcsin vr
va
vr
18
§7-３点的加速度合成定理
先分析 k’ 对时间的导数。
' drA rA rO k vA e rA dt ' ' drO dk e (rO k ) dt dt 因为 v drO r O e O dt
理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]
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解： 从例6-2已知得： 1 =
vr r 3 , 2
ω 4
O
解： 从上例已知得： 1 =
r
M
ω 4
va
A
aaτ =0 ，
3 , 4
aan=2r aen=
ωr 8
x’
2
ac 21vr 2 r
va
30°
3 1 1/ s2 8
2
动点取A，
va v A
ar
dvr d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' 2 r 2 j 2 k dt dt dt dt
dx ' di ' dy ' dj' dz ' dk ' dt dt dt dt dt dt
ar ω vr
a a ae a r ac； ac= 2vr
ve
a n a ae a rn a rτ
矢量
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
例6-5 曲柄滑道机构，OA=01A=r=10cm, =30°,=4, 求: 转到30°时直杆的加速度a。 va vr 动点取A； 绝对:圆周； ve 解：相对:圆周；牵连:直线。 [速度] =
a a ae a r ac； aa a an ae aen ar arn ac；
例6-8 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， ’ y 求摆动到30°时的角加速度1。
例6-9 将例6-8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
vr
dv e dω dr r ω dt dt dt α r ω v e ω v r ae ω v r
理论力学点的合成运动
例 8-4 曲柄OA以匀角速度 w绕O轴转动，其上
套有小环 M，而小环 M又在固定的大圆环上运动，大 圆环的半径为 R。
试求当曲柄与水平线成的角 j ωt 时，小环 M
的绝对速度和相对曲柄 OA 的相对速度。
A
M w
R
O
j
C
解：（1）选择动点及 动系： 小环M为动点，动系固连在 OA上。
（2）分析三种运动：绝 对运动为圆周运动，相对运 动为沿OA的直线运动，牵连 运动为定轴转动。
y
OA杆转动的角速度为
O
wOA
ve OC
ve 2r
3u 6r
y
wOA B
j va vr
A
r ve C
x
u x
8.3 牵连运动是平动时点的加速度合成定理
在图8-9中，设 Oxyz为定系，Oxyz为动系且作平
动，M为动点。动点M在动系中的坐标为 x、y 、z， 动系单位矢量为 i、 j、k。动系平动，i、j、k 的
Oxyz 作某种运动，在瞬时t，动系连同相对轨迹AB在
定系中的I位置，动点则在曲线 AB
上的 M 点。经过时间间 隔 t ，动系运动到定系 中的II位置，动点运动到
点 M。 如果在动系上观
察点M 的运动，则它沿 曲线 AB 运动到点 M2。
z B
M2
vr
z
M O
A
O I
x
va
M B
ve M1
z
O x A
例 8-1 汽车以速度 v1 沿直线的道路行驶，雨滴 以速度 v2 铅直下落，试求雨滴相对于汽车的速度。
v1
解： 因为雨滴相对运动的汽车有运动，所以本题 为点的合成运动问题，可应用点的速度合成定理求解。
3理论力学 第八章点的合成运动解析
? ? tg ?1 v?
v平
[例8-2] 曲柄摆杆机构
φ
已知：OA= r , ? , OO1=l 图示瞬时OA? O
求：摆杆O1B角速度? 1
解：取套筒A点为动点，摆杆O1B为动系.基座为静系。
绝对速度va = r ?
相对速度vr = ?
方向? OA 方向//O1B
牵连速度ve = ?
方向? O1B
由速度合成定理 va ? vr ? ve 作出速度平行四边形 如图示。
r
ve ? va sin? ? r? ?
r2? l2
又?ve ? O1 A?? 1,
? ? 1 ? Ov1eA?
1? r 2 ?l2
r 2?
r2?
l2
?
r
r 2?
2 ? l2
（
）
[例8-3]圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R ? 3e , ? （匀角速度）
vr
va
A veva
B
aa
ar
va
A
Baen
ae?
练习三
解:
A
?
?
o
B
A
? ?
o
ve ? OB??
va
B
vr
动系:OA杆； 动点:滑块B
A
? ?
arn
o
aen ? OB?? 2
ar?
B
aa
a?e ? OB??
[例8-1] 桥式吊车。 已知：小 车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v? 。求物块A的运 行速度。
一、实例 : M点运动
地面: 摆线， 车箱: 圆。
二、复合运动的一般模型
理论力学-点的合成运动
第六章点的合成运动一、是非题1、不论牵连运动的何种运动，点的速度合成定理v a=v e+v r皆成立。
（）2、在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
（）3、当牵连运动为平动时，相对加速度等于相对速度对时间的一阶导数。
（）4、用合成运动的方法分析点的运动时，若牵连角速度ωe≠0，相对速度υr≠0，则一定有不为零的科氏加速度。
（）5、若将动坐标取在作定轴转动的刚体上，则刚体内沿平行于转动轴的直线运动的动点，其加速度一定等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。
（）6、刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵连加速度都是相等的。
（）7、当牵连运动定轴转动时一定有科氏加速度。
（）8、如果考虑地球自转，则在地球上的任何地方运动的物体（视为质点），都有科氏加速度。
（）二、选择题1、长L的直杆OA，以角速度ω绕O轴转动，杆的A端铰接一个半径为r的圆盘，圆盘相对于直杆以角速度ωr，绕A轴转动。
今以圆盘边缘上的一点M为动点，OA为动坐标，当AM垂直OA时，点M的相对速度为。
①υr=Lωr，方向沿AM；②υr=r（ωr－ω），方向垂直AM，指向左下方；③υr=r（L2+r2）1/2ωr，方向垂直OM，指向右下方；④υr=rωr，方向垂直AM，指向在左下方。
2、直角三角形板ABC，一边长L，以匀角速度ω绕B轴转动，点M以S=Lt的规律自A向C运动，当t=1秒时，点M的相对加速度的大小αr= ；牵连加速度的大小αe = ；科氏加速度的大小αk = 。
方向均需在图中画出。
①Lω2；②0；③3Lω2；④23 L ω2。
3．圆盘以匀角速度ω0绕O 轴转动，其上一动点M 相对于圆盘以匀速u 在直槽内运动。
若以圆盘为动系，则当M 运动到A 、B 、C 各点时，动点的牵连加速度的大小 ，科氏加速度的大小 。
①相等；②不相等；③处于A ，B 位置时相等。
大学本科理论力学课程第9章 点的合成运动
在任意瞬时，动参考系上与动点重合的那一点称为牵连点。 注意动点相对动系运动，故牵连点不是动系上的某个固定点。
有了牵连点的概念，可以定义牵连速度和牵连加速度如下： 牵连运动中,某瞬时牵连点的速度和加速度称为该瞬时动
点的牵连速度 ve 和牵连加速度 ae 。
下面通过例子来说明以上的各个概念:
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则M点速度大小：
v R O1M (OM sin ) r sin
由此，据线性代数知
v rOM
O1 R v
θ
M
r
O
上式是转动刚体上点的速度矢
积表达式。
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第九章 点的合成运动
由于角速度矢量与角加速度矢量共线，故
d
dt
又 v r
a dv dt
a dv d r
第九章 点的合成运动
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第九章 点的合成运动
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第九章 点的合成运动
不同动点的选择会有不同的运动分析结果，尤其是相对运动 轨迹有时简单明了有时复杂难辩，从而影响速度、加速度分析。 例如下面各例：
详例1：
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动点：AB杆上A点 动系：固结于偏心凸轮C上 定系：固结在地面上
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第九章 点的合成运动
下面介绍点的合成运动中的重要基本概念：“一点两系三运动” 一 点： 即动点，所研究的点。 P175 两 系：定（静）坐标系和动坐标系。 定（静）坐标系 — 固结于地面（地球）上的坐标系，
简称定（静）系。 动坐标系 — 建立在相对于地面运动着的物体上的坐标系，
简称动系。例如建立在行驶的火车上的坐标系。
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第九章 点的合成运动
理论力学第7章(点的合成运动)
（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
理论力学第八章点的合成运动
（3）注 意: 由于相对运动，动点在动系上的位 置随时间改变，所以牵连点具有瞬时性。
运动学/点的合成运动
运动学/点的合成运动
运动学/点的合成运动
运动学/点的合成运动
▼动点和动系的选择
基本原则： 1.动点对动系要有相对运动。 2.动点的相对运动轨迹要明确、容易确定。 具体选择方法： 1.选择持续接触点为动点。
（1）绝对运动方程： x x(t), y y(t)
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
§8-1 点的合成运动的概念
§8-2 点的速度合成定理
§8-3 牵连运动为平移时
点的加速度合成定理
§8-4
牵连运动为转动时
点的加速度合成定理
本章中点的速度合成是重点，点的加速度合成是难点。
运动学/点的合成运动
§8-1 点的合成运动的概念
一、坐标系 ●定坐标系：建立在固定参
考物上的坐标系，简称定系。 一般将定系固结在地面上。
建立在相对于定系运动着的物体上的坐
标系，简称动系。图示原点在轮心与车厢固连的坐标系
o`x`y` 汽车车厢相对于
运动，如果将 坐标系固
结于车厢上,则形成了相对于定系运动的坐标系
。
运动学/点的合成运动
二、动点 ●动点是指相对于定系和动系均 有运动的点，本章就是研究动点 相对于定系和动系的运动。
牵连运动： 直线平移
运动学/点的合成运动
▼凸轮机构运动分析
动点：凸轮圆心点O 动系:摇杆 静系：地面 绝对运动：直线 相对运动：直线
牵连运动：定轴转动
●注意的问题：
▼三种运动的分析必须明确什么物体相对什么参考体的
运动。 ▼相对、绝对运动指点的运动，可以是直线或曲线运动 ；牵连运动是指参考体的运动，是刚体的运动，可以是 平移或定轴转动以及刚体的其他运动形式。
运动学/点的合成运动
运动学/点的合成运动
运动学/点的合成运动
运动学/点的合成运动
▼动点和动系的选择
基本原则： 1.动点对动系要有相对运动。 2.动点的相对运动轨迹要明确、容易确定。 具体选择方法： 1.选择持续接触点为动点。
（1）绝对运动方程： x x(t), y y(t)
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
§8-1 点的合成运动的概念
§8-2 点的速度合成定理
§8-3 牵连运动为平移时
点的加速度合成定理
§8-4
牵连运动为转动时
点的加速度合成定理
本章中点的速度合成是重点，点的加速度合成是难点。
运动学/点的合成运动
§8-1 点的合成运动的概念
一、坐标系 ●定坐标系：建立在固定参
考物上的坐标系，简称定系。 一般将定系固结在地面上。
建立在相对于定系运动着的物体上的坐
标系，简称动系。图示原点在轮心与车厢固连的坐标系
o`x`y` 汽车车厢相对于
运动，如果将 坐标系固
结于车厢上,则形成了相对于定系运动的坐标系
。
运动学/点的合成运动
二、动点 ●动点是指相对于定系和动系均 有运动的点，本章就是研究动点 相对于定系和动系的运动。
牵连运动： 直线平移
运动学/点的合成运动
▼凸轮机构运动分析
动点：凸轮圆心点O 动系:摇杆 静系：地面 绝对运动：直线 相对运动：直线
牵连运动：定轴转动
●注意的问题：
▼三种运动的分析必须明确什么物体相对什么参考体的
运动。 ▼相对、绝对运动指点的运动，可以是直线或曲线运动 ；牵连运动是指参考体的运动，是刚体的运动，可以是 平移或定轴转动以及刚体的其他运动形式。
理论力学.
相对运动：沿O1B的直线运动； 牵连运动：摇杆绕O1轴的定轴转动。
2.速度分析： vavevr
大小：rω ? ?
方向：√ √ √
v e v as i n rs in
1
ve r2
O1A l2 r2
例7-4
已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终 与凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
求：当连线OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点M的绝对速度。
D
C
M
B A
解： 1.运动分析：
动点：M点 ； 动系:固连于框架BACD；
绝对运动：未知；
相对运动：以O为圆心的圆周运动；
牵连运动：绕AB轴的定轴转动。
2.速度分析
C
vavevr
大小： ？ Rω2 Rω 1
方向： ？ √ √
vave 2 vr2R1 222
用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，
滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲
柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。
求：曲柄在水平位置时摇杆的角 加速度。
解:
1.运动分析：
§动 绝牵点对连7-M运 运4相动动牵对、：连于相D运E地对动的面动绝运是水作动定平空点对、轴平间牵转移曲：运连动。线运时运滑动动点动的块：加速以度A合O；成点为动圆系心:，与O摇A杆为半固O径1 连B的；圆周运动；
arctvvaer)na( rct a1 2)n(
D M
B A
点的速度合成定理的解题步骤
1.选取动点、动参考系和定参考系； 2.分析三种运动和三种速度；
绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度 3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形； 绝对速度为平行四边形的对角线 4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。
2.速度分析： vavevr
大小：rω ? ?
方向：√ √ √
v e v as i n rs in
1
ve r2
O1A l2 r2
例7-4
已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终 与凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
求：当连线OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点M的绝对速度。
D
C
M
B A
解： 1.运动分析：
动点：M点 ； 动系:固连于框架BACD；
绝对运动：未知；
相对运动：以O为圆心的圆周运动；
牵连运动：绕AB轴的定轴转动。
2.速度分析
C
vavevr
大小： ？ Rω2 Rω 1
方向： ？ √ √
vave 2 vr2R1 222
用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，
滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲
柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。
求：曲柄在水平位置时摇杆的角 加速度。
解:
1.运动分析：
§动 绝牵点对连7-M运 运4相动动牵对、：连于相D运E地对动的面动绝运是水作动定平空点对、轴平间牵转移曲：运连动。线运时运滑动动点动的块：加速以度A合O；成点为动圆系心:，与O摇A杆为半固O径1 连B的；圆周运动；
arctvvaer)na( rct a1 2)n(
D M
B A
点的速度合成定理的解题步骤
1.选取动点、动参考系和定参考系； 2.分析三种运动和三种速度；
绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度 3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形； 绝对速度为平行四边形的对角线 4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。
理论力学点的合成运动
B
va
O
vr
r
v
ve
A
C
第二节 点的速度合成定理
一、点的速度合成定理 在任一瞬时，动点的绝对速度等于其牵连速度和相对速度
的矢量和，即
va ve vr
二、运用点的速度合成定理的解题步骤
1. 适当选取动点和动系； 说明：选择动点、动系的基本原则 —— 1）动点、动系之间应有相对运动； 2）相对轨迹应简单易认； 3）在分析机构运动时，应选择常接触点为动点。
2
va
ve
vr C
O
[例6] 绕轴 O 转动的圆盘及直杆 OA 上均有一导槽，两导槽间有一
活动销子 M ，导槽与转轴之间的距离 b = 0.1m。图示位置时，圆
盘及直杆的角速度分别为 1 = 9 rad/s 和 2 = 3 rad/s。试求此瞬时
销子 M 的速度。
2
解： 1）选择动点与动系 动点：活动销子 M 动系：分别固连于圆盘和
O
2）运动分析 绝对运动： 圆周运动 相对运动： 沿滑槽 DE 的直线运动 牵连运动： 滑杆 CDE 的水平平移
3）速度分析
va
vr
va ve vr
4）求解未知量 将上述速度矢量方程两边分 别向 x、y 轴投影，得
ve
O
va sin ve vr cos 60 va cos vr sin 60
二、绝对运动、相对运动与牵连运动
1. 绝对运动
2. 相对运动 相对运动：动点相对于动系的运动 相对速度：动点相对于动系的速度，记作 vr 相对加速度：动点相对于动系的加速度，记作 ar
3. 牵连运动 牵连运动：动系相对于定系的运动。 牵连点：动系中与动点重合的点 牵连速度：牵连点相对于定系的速度，记作 ve 牵连加速度：牵连点相对于定系的加速度，记作 ae
理论力学 点的合成运动
例1. 梯子 AB 长 L , 重 P，一端 B 靠在光滑的铅垂墙上， 另一端 A 放在摩擦系数为 f 的水平地面上，问梯子与水 平线所成的倾角 多大时，梯子能处于平衡？
y
解：
对象：梯子 P , NB , NA , FAmax
B
P m NA RAmax
分析力：
NB
L 列方程： m A ( F ) N B L sin P cos 0 2
摩擦角和自锁现象
2.利用摩擦角判断物体是否平衡的两条规律
全约束力的作用线范围
0 m
m
m
R
若某接触面上的主动力的合力作用线在摩 擦角的范围之内，则不论此力有多大，物体 将永远平衡。－－自锁现象
螺旋千斤顶 tg 1 f
m
f 0.1
5 43
例2. 已知排挡齿轮宽为 b，自重忽略不计，能在直径为 d 的轴上左右滑动。若齿轮与轴之间的摩擦系数为 f，求不 使齿轮被卡住，水平推力 P 的作用线离轴线的距离 a 的 y 范围。
解：
对象：排挡齿轮
d
NA A
P
a FA b
B m
分析力： P , NB , NA , FB , FA
FB NB
x
列方程：
Y N N 0 Y P F F 0
A B A B
RBmax
d mA ( F ) P(a ) N Bb FB d 0 2 FB fN B 摩擦定律： FA fN A
由式得 NA = NB 代入式
b a 2f
由式得 FA = FB = P/2 齿轮平衡
B A RBAmax RAmax RAmax RBAx 画封闭力三角形：
理论力学：第6章 点的合成运动
·1·第6章 点的合成运动6.1 主要内容6.1.1 点的绝对运动、相对运动和牵连运动1．定系和动系若存在两个有相对运动的坐标系，则可指定其中一个为定系，另一个即为动系。
但工程上一般以固定在地面上的坐标系为定系，相对于定系运动着的坐标系称为动系。
2．动点和牵连点动点为研究的对象，牵连点是动点在动系上的重合点，随动点的相对运动而变，是动系上的点，不同瞬时，有不同的牵连点。
3．三种运动的关系动点相对于定系的运动定义为绝对运动；动点相对于动系的运动定义为相对运动；动系相对于定系的运动定义为牵连运动。
本章的主要任务就是建立这三者之间的定量关系，从而用来解决工程实际某些运动分析问题。
6.1.2 点的速度合成定理动点的绝对速度等于它的牵连速度与相对速度的矢量和。
这就是点的速度合成定理。
a e r =+v v v6.1.3 牵连运动为平移时，点的加速度合成定理当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
a e r =+a a a6.1.4 牵连运动为转动时，点的加速度合成定理当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和，这就是牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
a e r C =++a a a a其中r C v a ⨯=ω2。
当取平动动系时0=e ω；0=C a 。
6.2 基本要求1．掌握运动合成与分解的基本概念和方法，准确理解本章阐述的若干概念。
2．明确动点与动系的选择原则，能在具体问题中恰当地选择动点与动系，并正确地分析三种运动。
3．熟练掌握点的速度合成定理和牵连运动为平动时的加速度合成定理及其应用。
4．掌握科氏加速度的概念和计算，准确应用牵连运动为转动时的加速度合成定理及其应用。
6.3 重点讨论应用点的合成运动理论解决实际问题时，其关键是正确地选择动点和动系。
选择原则因具体情况不同而略有区别。
常见的问题有三种题型。
1．两个独立运动的物体，研究两者的相对运动。
理论力学8—点的合成运动
(2) 应用速度合成定理时,可利用速度平行四边形中的 几何关系解出未知数。也可以采用投影法：即等式左 右两边同时对某一轴进行投影，投影的结果相等。
7.2 点的速度合成定理
通常选动点和动系主要有以下几种情况： 1. 有一个很明显的动点，在题中很容易发现；
2. 有一个不变的接触点，可选该点为动点；
3. 没有不变的接触点，此时应选相对轨迹容易确 定的点为动点； 4. 必须选某点为动点，而动系要取两次； 5. 根据题意，必须取两次动点和动系； 6. 两个不相关的动点，可根据题意来确定；
＝ωt， 已知：r，相对速度v，
求：点M的绝对运动方程。
t0
0。
解:
动点：M 点 动 系 ： O x y
相对运动方程
OO x O M cos 1 1 O y M sin 1
代入
vt r
＝ωt， 已知：r，相对速度v，
求：点M的绝对运动方程。
vt x r 1 cos r y r sin vt r
第 7 章
点的合成运动
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
8.2 点的速度合成定理
8.3 点的加速度合成定理
7.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
一、方法及思想起源
运动合成的思想我们 大家都很熟悉，比如说右 边直升飞机螺旋桨端的P 点，其运动就可以分解为： “随螺旋桨一起相对飞机 机身的运动”和“随机身 一起在空中的移动”。你 们可以试着点击一下图片， 看看运动合成的情况。
A
y`
转轮
x
现在我们可以这样陈述：动点A相对于坐标架xoy的运动（螺旋 线），可以分解为动点相对于坐标架x`oy`的运动（直线运动）和坐 标架x`oy`相对于坐标架xoy的运动（定轴转动）。
理论力学(第7版)第七章 点的合成运动
rM rO r ro' xi yj z k
ar ~ d 2r dt 2
xi j k y z
ae
d 2 rM dt 2
xi yj zk rO
?
√ √ √ √ 将加速度矢量式投影到法线上，得
a a sin a e cos
大小 方向
aa a e a r a r ? a0 R? √
?
n
n
ar
n
aa (ae cos ar n ) / sin
整理得
a AB
2 3 8 v0 aa (a0 ) 3 3 R
称为动参考系，简称动系。例如在行驶的 汽车。以o’x’y’z’坐标系表示。
[注]： 1、参考系须指明固结于哪个参考体上，选择参 考体是选择参考系的关键。 2、动系与参考体有区别：参考体是有限的，而 参考坐标系是无限大的，故动系无限大。
3
7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动
二、三种运动
１．绝对运动：动点对定系的运动 ２．相对运动：动点对动系的运动
2 (aa aen )sin 30 3O r (l r ) aet cos 30 3l
BD
2 aet 3O r (l r ) BD 3l 2
28
7-4 牵连运动是定轴时点的加速度合成定理 科氏加速度
1、牵连运动为转动情况：
定理推导:
rM rM
r xi yj z k
3、 v a v e v r 大小 r ? ?
ve r 2 1 2 O1 A l r 2
方向 OA O1B //O1B ve va sin r sin
ar ~ d 2r dt 2
xi j k y z
ae
d 2 rM dt 2
xi yj zk rO
?
√ √ √ √ 将加速度矢量式投影到法线上，得
a a sin a e cos
大小 方向
aa a e a r a r ? a0 R? √
?
n
n
ar
n
aa (ae cos ar n ) / sin
整理得
a AB
2 3 8 v0 aa (a0 ) 3 3 R
称为动参考系，简称动系。例如在行驶的 汽车。以o’x’y’z’坐标系表示。
[注]： 1、参考系须指明固结于哪个参考体上，选择参 考体是选择参考系的关键。 2、动系与参考体有区别：参考体是有限的，而 参考坐标系是无限大的，故动系无限大。
3
7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动
二、三种运动
１．绝对运动：动点对定系的运动 ２．相对运动：动点对动系的运动
2 (aa aen )sin 30 3O r (l r ) aet cos 30 3l
BD
2 aet 3O r (l r ) BD 3l 2
28
7-4 牵连运动是定轴时点的加速度合成定理 科氏加速度
1、牵连运动为转动情况：
定理推导:
rM rM
r xi yj z k
3、 v a v e v r 大小 r ? ?
ve r 2 1 2 O1 A l r 2
方向 OA O1B //O1B ve va sin r sin
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设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O’x’y’z’ 的曲线AB 运动, 而曲线AB同时又随同动系O’x’y’z’ 相对静系Oxyz运动。
当t t+△t 时 AB A' B' ， M M' 也可看成M M１ M´
MM ' 为绝对位移 M1M ' 为相对位移
2020/11/14
MM' ＝ MM1 ＋ M1M1'1
相对运动：直线； 相对速度 vr =v 方向
牵连运动：平动； 牵连速度 ve=v平 方向
绝对运动：曲线； 绝对速度 va 的大小、方向待求。
2020/11/14
14
由速度合成定理：vavevr
作出速度平行四边形如图示，则物块A的速度大小和方向为
vAva ve2vr2 v平2 v2
tg 1 v
下面举例说明以上概念：
2020/11/14
动点：AB杆上A点
动系：固结于凸轮Ｏ'上
静系：固结在地面上
5
2020/11/14
绝对运动：直线运动 相对运动：圆弧运动 牵连运动：直线平动
6
绝对速度 ：v a
相对速度 ：v r
牵连速度 ：v e
2020/11/14
7
绝对加速度：a a
相对加速度：a r 牵连加速度：a e
3 3
vAB
2 3e
3
()
17
2020/11/14
18
由上述例题知求解合成运动的速度问题的一般步骤为：
①选取动点、动系和静系。
②对三种运动及其速度进行分析。
③根据速度合成定理 va vevr作出速度平行四边形。
④根据速度平行四边形，求出未知量。 恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
动系：偏心轮
AB杆
静系：地面
地面
绝对运动：直线运动 圆周运动（红虚线）
相对运动：圆周运动 曲线运动（未知）
牵连运动：定轴转动 平动
注意：要指明动点在哪个 物体上，且动点不能选在 动系上。
2020/11/14
10
§8-2 点的速度合成定理
点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连 速度之间的关系。
理论力学点合成运动
前两章中我们研究点和刚体的运动，都是以地面为参考体。 然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上 观察和研究物体的运动。如从行驶的汽车上观看飞机的运动， 坐在行驶的火车内看下雨的雨点等。
本章研究同一物体相对于不同参考系的运动及其相互关系。
§8-1 相对运动·牵连运动·绝对运动
v平
2020/11/14
15
[例2] 曲柄摆杆机构。已知：OA= r 、 、
OO1=l，图示瞬时，OAOO1 。求：摆杆
O1B的角速度1。
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B 为动系，基座为静系。
绝对速度va = r ，方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va vevr作出速度平行四边形 如图所示。
ve vasin r
r r2 l2
r 2 r2 l2
则 2020/11/14 1
ve O1 A
1 r2 l2
r2
r 2
r2 l2 r 2 l 2（） 16来自[例3] 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。
一. 坐标系：
静坐标系：固结于地面上的坐标系。简称静系（Oxyz）。
动坐标系：固结于相对于地面运动物体上的坐标系。
2020/11/14
简称动系（O’x’y’z’） 。
2
同一物体的运动对于不同的参考体来说是不同的。 例如，下雨时，地面上的观察者看雨滴是铅垂向下的， 但对正在行进的车上的观察者来说，雨滴则是倾斜向后的。 又如，沿直线轨道滚动的车轮，站在地面上的人看轮缘上 点M的运动轨迹是一旋轮线，而在行驶着的车中的人看M点， 其轨迹则是一个圆。
MM' ＝ MM1 ＋ M1M' 将上式两边同除以△t， 取△t →0时的极限，得
lim M M lim M M 1 lim M 1 M t 0 t t 0 t t 0 t
va vevr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度 的矢量和，这就是点的速度合成定理。 说明：① 点的速度合成定理适用于牵连运动（动系的运动）为
2020/11/14
3
二. 动点：所要研究的运动着的点。
三. 三种运动及三种速度与三种加速度
1. 绝对运动：动点相对于静系的运动。 2. 相对运动：动点相对于动系的运动。 点的运动 3. 牵连运动：动系相对于静系的运动。 刚体的运动 在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。
绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度 v a 与绝对加速度 a a
求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘，
静系固结于基座。
绝对速度 va = ? 待求，方向//AB
相对速度 vr = ? 未知，方向CA
牵连速度 ve = OA =2e, 方向
由速度合成定理 va vevr
OA
（翻页请看动画）
作出速度平行四边形 如图所示。
2020/1v1a/14vetan300 2 e
动点、动系和静系的选择原则： ①动点、动系和静系须分别属于三个不同的物体，否则绝对、 相对运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动。
相对运动中动点的速度和加速度称相对速度 v r 与相对加速度 a r
牵连运动中牵连点的速度和加速度称牵连速度v e 与牵连加速度a e
2020/11/14
4
四. 动点的选择原则： 选择对动系、静系都为运动的点，例如主动件与从动件
的连接点。 五. 动系的选择原则：
动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的， 或者是能直接看出的。
任何运动的情况。
② 点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小、方向 2020/11/14 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个12 。
应用举例
[例1] 桥式吊车。已知： 小车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升的 速度为v。求物块A的运行 速度。
2020/11/14
13
解：选取 动点：物块A 动系：小车 静系：地面
2020/11/14
8
动点：圆盘上 A点 动系：O'A 摆杆 静系：机架 绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动 20牵20/1连1/14运动：定轴转动
动点：摆杆上 A1点 动系：圆盘 静系：机架 绝对运动：圆弧运动 相对运动：曲线运动 牵连运动：定轴转动
9
若动点A在偏心轮上时 动点：A(在AB杆上) A（在偏心轮上）
当t t+△t 时 AB A' B' ， M M' 也可看成M M１ M´
MM ' 为绝对位移 M1M ' 为相对位移
2020/11/14
MM' ＝ MM1 ＋ M1M1'1
相对运动：直线； 相对速度 vr =v 方向
牵连运动：平动； 牵连速度 ve=v平 方向
绝对运动：曲线； 绝对速度 va 的大小、方向待求。
2020/11/14
14
由速度合成定理：vavevr
作出速度平行四边形如图示，则物块A的速度大小和方向为
vAva ve2vr2 v平2 v2
tg 1 v
下面举例说明以上概念：
2020/11/14
动点：AB杆上A点
动系：固结于凸轮Ｏ'上
静系：固结在地面上
5
2020/11/14
绝对运动：直线运动 相对运动：圆弧运动 牵连运动：直线平动
6
绝对速度 ：v a
相对速度 ：v r
牵连速度 ：v e
2020/11/14
7
绝对加速度：a a
相对加速度：a r 牵连加速度：a e
3 3
vAB
2 3e
3
()
17
2020/11/14
18
由上述例题知求解合成运动的速度问题的一般步骤为：
①选取动点、动系和静系。
②对三种运动及其速度进行分析。
③根据速度合成定理 va vevr作出速度平行四边形。
④根据速度平行四边形，求出未知量。 恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
动系：偏心轮
AB杆
静系：地面
地面
绝对运动：直线运动 圆周运动（红虚线）
相对运动：圆周运动 曲线运动（未知）
牵连运动：定轴转动 平动
注意：要指明动点在哪个 物体上，且动点不能选在 动系上。
2020/11/14
10
§8-2 点的速度合成定理
点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连 速度之间的关系。
理论力学点合成运动
前两章中我们研究点和刚体的运动，都是以地面为参考体。 然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上 观察和研究物体的运动。如从行驶的汽车上观看飞机的运动， 坐在行驶的火车内看下雨的雨点等。
本章研究同一物体相对于不同参考系的运动及其相互关系。
§8-1 相对运动·牵连运动·绝对运动
v平
2020/11/14
15
[例2] 曲柄摆杆机构。已知：OA= r 、 、
OO1=l，图示瞬时，OAOO1 。求：摆杆
O1B的角速度1。
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B 为动系，基座为静系。
绝对速度va = r ，方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va vevr作出速度平行四边形 如图所示。
ve vasin r
r r2 l2
r 2 r2 l2
则 2020/11/14 1
ve O1 A
1 r2 l2
r2
r 2
r2 l2 r 2 l 2（） 16来自[例3] 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。
一. 坐标系：
静坐标系：固结于地面上的坐标系。简称静系（Oxyz）。
动坐标系：固结于相对于地面运动物体上的坐标系。
2020/11/14
简称动系（O’x’y’z’） 。
2
同一物体的运动对于不同的参考体来说是不同的。 例如，下雨时，地面上的观察者看雨滴是铅垂向下的， 但对正在行进的车上的观察者来说，雨滴则是倾斜向后的。 又如，沿直线轨道滚动的车轮，站在地面上的人看轮缘上 点M的运动轨迹是一旋轮线，而在行驶着的车中的人看M点， 其轨迹则是一个圆。
MM' ＝ MM1 ＋ M1M' 将上式两边同除以△t， 取△t →0时的极限，得
lim M M lim M M 1 lim M 1 M t 0 t t 0 t t 0 t
va vevr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度 的矢量和，这就是点的速度合成定理。 说明：① 点的速度合成定理适用于牵连运动（动系的运动）为
2020/11/14
3
二. 动点：所要研究的运动着的点。
三. 三种运动及三种速度与三种加速度
1. 绝对运动：动点相对于静系的运动。 2. 相对运动：动点相对于动系的运动。 点的运动 3. 牵连运动：动系相对于静系的运动。 刚体的运动 在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。
绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度 v a 与绝对加速度 a a
求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘，
静系固结于基座。
绝对速度 va = ? 待求，方向//AB
相对速度 vr = ? 未知，方向CA
牵连速度 ve = OA =2e, 方向
由速度合成定理 va vevr
OA
（翻页请看动画）
作出速度平行四边形 如图所示。
2020/1v1a/14vetan300 2 e
动点、动系和静系的选择原则： ①动点、动系和静系须分别属于三个不同的物体，否则绝对、 相对运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动。
相对运动中动点的速度和加速度称相对速度 v r 与相对加速度 a r
牵连运动中牵连点的速度和加速度称牵连速度v e 与牵连加速度a e
2020/11/14
4
四. 动点的选择原则： 选择对动系、静系都为运动的点，例如主动件与从动件
的连接点。 五. 动系的选择原则：
动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的， 或者是能直接看出的。
任何运动的情况。
② 点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小、方向 2020/11/14 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个12 。
应用举例
[例1] 桥式吊车。已知： 小车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升的 速度为v。求物块A的运行 速度。
2020/11/14
13
解：选取 动点：物块A 动系：小车 静系：地面
2020/11/14
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动点：圆盘上 A点 动系：O'A 摆杆 静系：机架 绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动 20牵20/1连1/14运动：定轴转动
动点：摆杆上 A1点 动系：圆盘 静系：机架 绝对运动：圆弧运动 相对运动：曲线运动 牵连运动：定轴转动
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若动点A在偏心轮上时 动点：A(在AB杆上) A（在偏心轮上）