人教版初一数学下册消元法——解二元一次方程组 (加减消元)

教学设计
消元法——解二元一次方程组
(加减消元法)
教学目标：
理解解二元一次方程组的思路是“消元”，体会化归思想；会用加减消元法解简单的二元一次方程组，并能选择适当方法解二元一次方程组；会用二元一次方程组表示简单实际问题中的数量关系．
重点：
用加减消元法解简单的二元一次方程组．
难点：
用二元一次方程组解简单的实际问题．
教学流程：
一、知识回顾
问题1：解二元一次方程组的基本思路：
答案：二元一次方程组――消元－→一元一次方程
问题2：用代入法解二元一次方程组的关键？
答案：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数.
二、探究1
问题1：还记得等式的性质1吗？
答案：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.
如果a＝b，那么a±c＝b±c
问题2：方程组
10
216
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
除了用代入法求解外，还有其他方法呢？
追问1：这两个方程中，y的系数有什么关系？答案：两个方程中y的系数相等
追问2：用②－①可消去未知数y吗？
解：②－①，得
2x＋y－(x＋y)＝16－10
解得：
x＝6
把x＝6代入①得：
y＝4
所以这个方程组的解是：
6
4 x
y
=⎧
⎨
=⎩
追问3：①－②也能消去未知数y，求出x吗？
问题3：联系刚才的解法，想一想怎样解方程组：
分析：未知数y的系数互为相反数，由①＋②，可消去未知数y，从而求出未知数x的值.
解：①＋②，得
3x＋10y＋(15x－10y)＝2.8＋8
18x＝10.8
x＝0.6
把x＝0.6代入①，得
3×0.6＋10y＝2.8
y＝0.1
所以这个方程组的解是：
0.6
0.1 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
追问：①＋②，这一步的依据是什么？
答案：等式的性质1
问题4：你能归纳刚才的解法吗？
定义：当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
练习1：(1)如何用加减消元法消去未知数x，求出未知数y？
解：(1)①－②，得
x ＋3y －(x ＋2y )＝13－10
y ＝3
(2)①＋②，得
2x －5y ＋(4y －2x )＝－6＋4
－y ＝－2
y ＝2
练习1：(2)如何用加减消元法消去未知数y ，求出未知数x ？
313 (1) 10 2x y x y +=⎧⎨+=⎩①②256(2)4 4 2x y y x -=-⎧⎨-=⎩
①② 追问1：怎样才能使未知数y 的系数相同？
答案：应用等式的性质2，即：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；如果a ＝b ，c ≠0，那么
a b c c = 解：(1)①×2，得：
2x ＋6y ＝26③
②×3，得：
3x ＋6y ＝30④
④－③，得：
x ＝4
追问2：怎样才能使未知数y 的系数相反？
(2)①×4，得：
8x －20y ＝－24③
②×5，得：
20y －10x ＝20④
③＋④，得：
－2x ＝－4
x ＝2
三、例3
用加减消元法解方程组3416 6 533x y x y +=⎧⎨
-=⎩①②
解：①×3，得：
9x ＋12y ＝48③
②×2，得：
10x－12y＝66④③＋④，得：
19x＝114
x＝6
把x＝6代入①，得：
3×6＋4y＝16
4y＝－2
1
2
y=-
所以这个方程组的解是：
6
1
2 x
y
=
⎧
⎪
⎨
=-⎪⎩
追问1：把x＝6代入②可以解得y吗？
追问2：如果用加减法消去x应如何去解？解得的结果一样吗？
练习2：用加减消元法解方程组：
29
(1)
321
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
①
②
；
258
(2)
325
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
解：(1)①＋②，得：
4x＝8
x＝2 把x＝2代入①，得：
2＋2y＝9
7
2
y=
所以这个方程组的解是：
2
7
2 x
y
=⎧
⎪
⎨
=⎪⎩
(2)①×3，得：
6x＋15y＝24③②×2，得：
6x＋4y＝10④③－④，得：
11y＝14
14
11 y=
把
14
11
y=代入①，得：
14
258
11
x+⨯=
9
11
x=
所以这个方程组的解是：
9
11
14
11 x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
归纳1：解二元一次方程组的基本思路：
归纳2：加减法解二元一次方程组的主要步骤
四、例4
2台大收割机和5台小收割机同时工作2h共收割小麦3.6hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5h收割小麦8hm2．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
问题1：题中有哪些未知量？
大收割机工作效率和小收割机工作效率这两种未知的量．
问题2：题中包含哪些等量关系？
2台大收割机2小时的工作量＋5台小收割机2小时的工作量＝3.6
3台大收割机5小时的工作量＋2台小收割机5小时的工作量＝8
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦x hm 2和y hm 2.根据题意可列方程组：
2(25) 3.65(32)8
x y x y +=⎧⎨+=⎩ 追问：你能用加减消元法解这个方程组吗？
去括号得：
410 3.615108x y x y +=⎧⎨+=⎩
①② ②－①，得：
11 4.4x =
解这个方程，得：
0.4x =
把x ＝0.4代入①得：
40.410 3.6y ⨯+=
解这个方程，得：
0.2y =
因此，这个方程组的解是：0.40.2
x y =⎧⎨=⎩ 答：1台大收割机每小时收割小麦0.4hm 2，1台小收割机每小时收割小麦0.2hm 2. 归纳：解决实际问题的基本思路：
五、应用提高
1.下面两个方程组各用什么方法比较简便？
2 1.5(1)0.80.6 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩；23(2)325x y x y +=⎧⎨-=⎩
答案：(1)用代入法比较简便；(2)用加减法比较简便
追问：在解二元一次方程组时，我们依据什么来选择更简便的方法？
2.列二元一次方程组解决下面问题：
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只？
解：设鸡有x 只，兔有y 只，根据题意可列方程组：
352494
x y x y +=⎧⎨+=⎩ 追问：用哪种方法解方程组比较简便呢？
解得：2312
x y =⎧⎨=⎩ 答：鸡有23只，兔有12只.
六、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.解二元一次方程组的核心思想是什么？
2.加减法解二元一次方程组大致有哪些步骤？
3.如何列二元一次方程组解决实际问题？
七、达标测评
1.选择适当的方法解下列方程组：
327(1)6211u t u t +=⎧⎨-=⎩；253(2)43x y x y -=-⎧⎨-+=-⎩
答案：(1)212
u t =⎧⎪⎨=⎪⎩；(2)11x y =⎧⎨=⎩ 2.一条船顺流航行，每小时行20km ；逆流航行，每小时行16km ．求轮船在静水中的速度与水的流速．
解：设轮船在静水中的速度为xkm /h ，水的流速为ykm /h ，根据题意可列方程组： 2016
x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解得：
182
x y =⎧⎨=⎩ 答：轮船在静水中的速度为18km /h ，水的流速为2km /h .
八、布置作业
教材98页习题8.2第3(2)(4)、5、6题．。