《经济数学》-第二章导数与微分

所以 y | x | 在x =0连
而
续
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
x x
1
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
x x
1
即函数 y | x | 在x=0处左右导数不相等,从而在 x=0不可导. 由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要 条件，但不是充分条件
即可导定连续,连续不一定可导.
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y f ( x x) f ( x)
( x x)2 x2 2xx (x)2
(2)算比值: (3)取极限:
y 2x x x
y lim y lim (2x x) 2x x0 x x0
同理可得: (x n ) nx n1(n为正整数）
特别地, (x) 1. (n 1)
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(u v w) u v w
(uvw) uvw uvw uwk.baidu.comw
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例1 设y x3 e x sin x ln 3，求y
解： y ( x3 e x sin x ln 3) ( x3 ) (e x ) (sin x) (ln 3)
3x 2 e x cos x
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) . x x0
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
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导数的几何意义
当自变量x0从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0 (x0 , f (x0 )). 变到M (x0 x, f (x0 x)).
(3)
u( x) v( x)
u( x)v( x) u( x)v( x) [v( x)]2
特别地,如果 u( x) 1,
可得公式
1 v( x)
v(
x)
[v( x)]2
(v( x) 0)
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注：法则（1）（2）均可推广到有限 多个可导函数的情形 例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均 可导，则
例2 求曲线 y 在x3点 处(的2,8切) 线与法线方程.
解:因为 (x3 ) ,由3x导2 数几何意义,曲线
y x3
在点 (2,8的) 切线与法线的斜率分别为:
k1 y
(3x 2 ) 12,
x2
x2
k2
1 k1
1 12
于是所求的切线方程为: y 8 12(x 2)
即 12x y 16 0
x x0
当 f (x0 ) 0 时,曲线 f ( x) 在 M0 的法线方程为
1
y
f ( x0 )
(x f ( x0 )
x0 ).
而当 f (x0) 0 时,曲线 f ( x) 在 M0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
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例1 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
2.2 导数的运算
2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则
定理一 设函数u(x)与v(x) 在点x处均可导，则:
(1)[u( x) v( x)]' u' ( x) v' ( x); (2)[u( x)v( x)]' u' ( x)v( x) u( x)v' ( x),
特别地, v( x) C(C为常数）,则( Cu) Cu
f'( x0 )或y'
|
x
x0
,
或
dy dx
|
x
x0
,
或
df dx
| xx0
.
或
f'( x0 )
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) .
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导数定义与下面的形式等价：
f
( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) . x x0
若y =f (x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y = f (x)在x = x0 不可导，此时意
f
( x0 )
lim
x0
y x
lim tan
tan
k
所以，导数 f (x0 ) 的几何意义 是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0)) 处的切线斜率.
M
P
M0
x0
x0 x
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设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处 的切线方程为： y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ). 而当 f (x0 ) 时,曲线 f ( x) 在 M0 的切线方程为
味着不存在.
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左导数与右导数
左导数:
f(x0 )
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 ).
右导数:
f(x0 )
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 ).
显然可以用下面的形式来定义左、右导数
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) , x x0
f( x0 )
此时x为割线两端点M0，M 的横坐标之差，而 y
则为M0，M 的纵坐标之差， 所以 y 即为过M0，M两点的
x
割线的斜率.
M
M0
x0
x0 x
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曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲
线y=f(x)无限接近 M0时的极限位置M0P，因而当 x 0
时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：
例2 设 y 5 x 2x , 求y
解： y (5 x 2 x ) 5( x )2 x 5 x (2 x )
5 2 x 5 x 2 x ln 2 2x
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例3 求y = tanx 的导数
解： y (tan x) ( sin x )
第2章 导数与微分
1.1 导数的概念 1.2 导数的运算 1.3 微分
结束
2.1 导数的概念
定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，x0 x 属于该邻域，记 y f ( x0 x) f ( x0 ),
若 lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
存在，则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为
法线方程为: y 8 1 ( x 2) 12
即 x 12 y 98 0
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2.1.2 可导性与连续性的关系
定理2 若函数y = f (x)在点x0处可导， 则f(x)在点x0 处连续.
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例3 证明函数 y | x | 在x=0处连续但不可导.
证 因为 lim | x | 0 x0