《经济数学》-第二章导数与微分
(整理)经济数学基础讲义 第2章 导数与微分
第2章 导数与微分2.1 极限概念研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势. 例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例2 讨论当+∞→x 时，x1的变化趋势.例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势。
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下定义2.3 设函数)(x f 在点0x 的邻域（点0x 可以除外）内有定义，如果当x 无限趋于0x （但0x x ≠）时，)(x f 无限趋近于某个常数A ，则称x 趋于0x 时，)(x f 以A 为极限，记为A x f x x =→)(lim 0或A x f →)( )(0x x →若自变量x 趋于0x 时，函数)(x f 没有一个固定的变化趋势，则称函数)(x f 在0x 处没有极限.在理解极限定义时要注意两个细节：1.0x x →时，（0x x ≠）2.⎩⎨⎧→<→>→00000)()(x x x x x x x x （包括这两种情况）例1 讨论2x y =时, 22lim x x →=？ 解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.由几何图形可以看出，当2→x 时，42→=x y ，即22lim x x →=4 例2 讨论函数112--=x x y ,当1→x 时的极限11lim 21--→x x x解：此函数在1=x 处没有定义，可以借助图形求极限.由图形得到211lim 21=--→x x x2.1.3 左极限和右极限考虑函数x y =，依照极限的定义，不能考虑0→x 的极限. 因为x y =在0<x 处无定义.又如函数⎩⎨⎧>≤=010)(x x x x f ，如果讨论0→x 是的极限，则函数分别在0<x 和0>x 时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念. 定义2.4 设函数f x ()在点x 0的邻域（x 0点可以除外）内有定义，如果当x x <0且x 无限于x 0（即x 从x 0的左侧趋于x 0，记为x x →-0）时，函数f x ()无限地趋近于常数L ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以L 为左极限，记作= L ；如果当x x >0且x 无限趋于x 0（即x 从x 0的右侧趋于x 0，记为x x →+0）时，函数f x ()无限地趋近于常数R ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以R 为右极限，记作= R .极限存在的充分必要条件：极限)(lim 0x f xx →存在的充分必要条件是：函数f x ()在0x 处的左，右极限都存在且相等.即例3 ⎩⎨⎧>≤=010)(x x x x f , 求)(lim 0x f x → 解：注意到此函数当x =0的两侧表达式是不同，在0点处分别求左、右极限.11lim )(lim 00==++→→x x x f ，0lim )(lim 0==--→→x x f x x可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在0点处极限不存在. 2.1.4 无穷小量0)(lim 0=→x f x x 称当0x x →时，)(x f 为无穷小量，简称无穷小.补充内容：无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是：变量y 以为A 极限的充分必要条件是：y 可以表示成A 与一个无穷小量的和，即)0(lim lim =+=⇔=ααA y A y无穷小量的有以下性质：性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量；性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷大量：在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.例如 因为+∞=+∞→xx 2lim ，所以，当+∞→x 时，x 2是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”：定理：当0x x →（或∞→x ）时，若)(x f 是无穷小（而0)(≠x f ），则)(1x f 是无穷大；反之，若)(x f 是无穷大，则是无穷小.例4 2x y =，当0→x 时，?2→x解： 由图形可知，当0→x 时，02→x ，当0→x 时，2x 是无穷小量. 2.2 极限的运算2.2.1 极限的四则运算法则在某个变化过程中，变量v u ,分别以B A ,为极限，则B A v u v u ±=±=±lim lim )lim(，B A v u v u ⋅=⋅=⋅lim lim )lim(例1 求22lim x x → 解：422)lim )(lim ()(lim lim 22222=⨯==⋅=→→→→x x x x x x x x x 例2 求11lim 21--→x x x解：21)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 1121=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x例3 求xx x x +-∞→2231lim解：31)13()11(lim 31lim22222=+-=+-∞→∞→xx x x x x x x x 例4 求xx x 11lim 0-+→解：)11()11)(11(lim 11lim00++++-+=-+→→x x x x x x x x )11(lim++=→x x xx 21111lim=++=→x x 2.2.2 两个重要极限 1.1sin lim0=→xxx几何说明： 如图，设x 为单位圆的圆心角，则x 对应的小三角形的面积为2sin x，x 对应的扇形的面积为2x ，x 对应的大三角形的面积为2tan x 当0→x 时，它们的面积都是趋于0的 ，即之比的极限是趋于1的.例1 xxx 3sin lim0→解：x x x 3sin lim 0→=333sin 3lim0=→x x x 333sin lim 0=→xxx 2.e )11(lim =+∞→xx x e )1(lim 10=+→x x x 例2 求极限xx x)311(lim +∞→ 解: 31313313e ])311(lim [)311(lim )311(lim =+=+=+∞→⋅∞→∞→x x x x x x xx x例3 求极限xx x 10)21(lim -→解 2221)2(211e ]))2(1(lim [))2(1(lim )21(lim ---→--→→=-+=-+=-x x xx xx x x x2.3 函数的连续性定义 设函数)(x f 在点0x 的邻域内有定义，若满足)()(lim 00x f x f xx =→，则称函数)(x f 在点0x 处连续.点0x 是)(x f 的连续点. 函数间断、间断点的概念如果函数f x ()在点x 0处不连续，则称f x ()在点x 0处发生间断.使f x ()发生间断的点x 0，称为f x ()的间断点例如 函数32,x y x y ==，x y x y cos ,sin ==，xy x y e ,ln ==在定义域内都是连续的.例1 ⎩⎨⎧>-≤+=13211)(x x x x x f ,问)(x f 在1=x 处是否连续？ 注意：此函数是分段函数，1=x 是函数的分段点.解: 1)32(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x ，2)1(lim )(lim 11=+=--→→x x f x x )(lim 1x f x →不存在，)(x f 在1=x 处是间断的. 例2 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sinx x xx y ,问)(x f 在0=x 处是否连续？解: )0(01sinlim )(lim 0f xx x f x x ===→→ （无穷小量×有界变量=无穷小量）∴)(x f 在0=x 处是连续的. 结论:（1）基本初等函数在其定义域内是连续的；（2）连续函数的四则运算、复合运算在其有定义处连续； （3）初等函数在其定义区间内是连续的.例3xx x x 220cos 1e lim ++→解: 21110cos 01e cos 1e lim 220220=+=++=++→x x x x 注意： xx x 22cos 1e ++是初等函数，在0=x 处有定义，利用结论有极限值等于函数值. 2.4 导数与微分的概念本节的主要内容是导数与微分的概念. 三个引例边际成本问题 瞬时速率问题 曲线切线问题引例1： 边际成本问题 C —总成本，q —总产量已知 时当q q q q C C ∆+→=00),(（当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变量）)()(0q q C q C ∆+→），qq C q q C ∆-∆+)()(00（成本平均变化率），qq C q q C q ∆-∆+→∆)()(lim 000（边际成本）引例2: 瞬时速率问题路程S 是时间t 的函数)(t S ，当t 从t t t ∆+→00时，)(t S 从)()(00t t S t S ∆+→tt S t t S ∆-∆+)()(00 （平均速率）t t S t t S t ∆-∆+→∆)()(lim000 （在0t 时刻的瞬时速率）引例3：曲线切线问题考虑曲线)(x f y =在0x x =处的切线斜率.当x x x ∆+→00时，对应的y y y ∆+→00，曲线上))(,(00x f x 和))(,(00x x f x x ∆+∆+两点间割线的斜率为xx f x x f ∆-∆+=)()(tan 00φ（当0→∆x 时），xx f x x f x x ∆-∆+==→∆→∆)()(limtan lim tan 000φα 称为切线的斜率.qq C q q C q C q ∆-∆+=→∆)()(lim)(000tt S t t S t S t ∆-∆+=→∆)()(lim)(000xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(000关于函数)(x f y =x x x ∆+→00，)()(00x x f x f ∆+→，考虑极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000定义 设函数)(x f y =在点0x 的邻域内有定义，当自变量x 在点0x 处取得改变量)0(≠∆x 时，函数y 取得相应的改变量.)()(00x f x x f y -∆+=∆ 若当0→∆x 时，两个改变量之比xy∆∆的极限 x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并称此极限值为 )(x f y =在点0x 处的导数， 记为)(0x f '或0x x y ='或d d x x xf =或d d x x x y =即 )(0x f '=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000若极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导. 在理解导数定义时要注意：导数也是逐点讨论的. 导数定义的意义· 数量意义 变化率 · 经济意义 边际成本 · 几何意义 切线的斜率例1 2)(x x f y ==，求.)2(,)3(,)1(-'''f f f思路：先求)(x f '，再求)(0x f '.解：因为22)()(,)(x x x x f x x f ∆+=∆+=x x x x x xx x x xx f x x f x x x 2)(2lim )(lim )()(lim202200=∆∆+∆=∆-∆+=∆-∆+→∆→∆→∆ 所以x x x f 2)()(2='='，426321-=-'='='）（，）（，）（f f f 例2 x xg ln )(=，求).5.0(),10(g g ''解: 因为)ln()(,ln )(x x x x g x x g ∆+=∆+=xx x x x xx x xx x x xx x x xx g x x g ∆→∆→∆→∆→∆∆+=∆+∆=∆-∆+=∆-∆+10000)(ln lim ln 1lim ln )ln(lim )()(limx x xx x x xx x 1e ln ]lim ln[1110==∆+=⋅∆→∆）（所以2)5.0(,101)10(='='g g 导数公式 xx 1)(ln ='求导步骤1、求)(x f '；2、求0)(x x x f ='.注意：)(x f '是)(x f 的导函数，函数在0x 处的导数值0)()(0x x x f x f ='=' 微分的概念 设)(x f y =，导数)(d )(d d d x f y xx f x y '='==，两边同乘x d ，得到函数的微分. 微分 x x f x y x f y d )(d )(d d '='== 导数公式xx x x c 1)(ln )(0)(1='='='-αααxx x xa a a x x x x e )e (ln )(sin )(cos cos )(sin ='='-='='微分公式由导数公式可以得到微分公式x x x x x d )(d )(11--=='αααααα x xx xx d 1)(ln d 1)(ln ==' x x x x x d cos )(sin d cos )(sin ==' x x x x x d sin )(cos d sin )(cos -=-='x a a a a a a x x x x d ln )(d ln )(=='2.5 导数的计算 导数的加法法则设)(),(x v x u 在点x 处可导，则)()(x v x u ±在点x 处可导亦可导，且)()())()((x v x u x v x u '±'='± )())((x v c x cv '='（c 为常数）加法公式证明)()())()((x v x u x v x u '+'='+证：设)()()(x v x u x f +=，则)()()(x x v x x u x x f ∆++∆+=∆+，)()()(x v x u x f +=xx f x x f x v x u x f x ∆-∆+='±='→∆)()(lim))()(()(0xx v x u x x v x x u x ∆+-∆++∆+=→∆))()(())()((lim0])()()()([lim 0xx v x x v x x u x x u x ∆-∆++∆-∆+=→∆x x v x x v x x u x x u x x ∆-∆++∆-∆+=→∆→∆)()(lim)()(lim 00)()(x v x u '+'= 由已知条件，)(),(x v x u 均可导. 导数的乘法法则设)(),(x v x u 在点x 处可导，则)()(x v x u ⋅在点x 处可导亦可导，且)()()()())()((x v x u x v x u x v x u '+'=' )()()())((x v c x v c x v c x cv '='+'='导数除法法则设)(),(x v x u 在点x 处可导，则)()(x v x u 在点x 处可导亦可导，且 )()()()()())()((2x v x v x u x v x u x v x u '-'='（0)(≠x v ） 例1 设函数1453+-=x x y ，求?='y析：现在分别知道幂函数和常数函数的导数公式，利用上述法则可求它们组合后函数的导数. 解： )1()4()5(3'+'-'='x x y （利用加法法则）1)(4)(53'+'-'=x x )())((x v c x cv '='=4152-x （利用导数公式0)(,)(1='='-c x x ααα）例2 设x x x y ln 243+-=，求y '.解：)ln 2()()4(3'+'-'='x x x y)(ln 2)()(43'+'-'=x x x （提示 xx xx 1)(ln 21)(='=' ）212x =xx221+-例3 设4cos 3xy x+=，求y '. 解：)4cos ()3('+'='x y x（提示x x a a a x x sin )(cos ln )(-='='）)sin (413ln 3x x -+=4sin 3ln 3xx -=例4 x x y ln 213+-=，?='y解：因为x x y ln 212123+-=（由对数的性质：x x x ln 21ln ln 21==）所以 xx y 21232+='（其中常数的导数为0） 例5 设xx y e 2=，求y '.解：利用导数的乘法法则，)(e e )(22'+'='xxx x y （利用导数公式xx e )e (='）)2(e e e 22x x x x x x x +=+=例6 4x y =，求y '.解：<方法1> 由导数基本公式344)(x x =' <方法2> 利用导数的乘法法则224x x x y ⋅==3222222224422)()()()(x x x x x x x x x x x x y =⋅+⋅='⋅+⋅'='⋅='='说明无论用哪种方法其结果是唯一的. 例7 xxy sin =，求y '. 解：<方法1> 将函数看成x xy sin 1=，利用乘法法则求导. 22cos sin cos 1sin 1)(sin 1sin )1(x x x x x x x x x x x x y +-=+-='+'='<方法2> 利用导数的除法法则求导2sin cos )sin (xxx x x x y -='=' 其中x x v x x u ==)(,sin )(.两个结果是完全一样的. 例8 求)(tan 'x解：xx x x x x x x x 22cos 1cos )sin (sin cos cos )cos sin ()(tan =--⋅='=' （利用三角公式1cos sin 22=+x x ）同理可求x x 2sin 1)(cot -='. 2.5.2 复合函数求导法则问题：2)32(+=x y ，求?='y 100)32(+=x y ，则?='y解：第一个问题2)32(+=x y ，求导数没有直接公式可用.方法1：将函数展开9124)32(22++=+=x x x y利用加法法则有128+='x y方法2：将函数写成两个因式乘积的形式 )32)(32()32(2++=+=x x x y ，利用四则运算法则求导数.)32(4)32(2)32(2+=+++='x x x y第二个问题100)32(+=x y ，展开？共101项，求导很麻烦.写成因式乘积的形式，求导也将很麻烦.在这节课我们将介绍复合函数求导法则.讨论100)32(+=x y ，引进中间变量32+=x u9999)32(2002100d d d d d d +=⋅==='x u xu u y x y y 2.5.2 复合函数求导法则定理 设y=f (u ),u=(x ),且u (x )在点x 处可导，y=f (u )在点u=x )处可导，则复合函数y=f ((x ))在点x 处可导，且)()(x u f y x φ''='或x u x u y y '⋅'='复合函数求导步骤·分清函数的复合层次，找出所有的中间变量；·依照法则，由外向内一层层的直至对自变量求导.多层复合的函数求导数对于多层复合的函数，即若)(),(),(x v v u u f y φϕ===，则)()()(x v u f y φϕ'''=' 或x v u x v u y y '⋅'⋅'='注意：多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导.问题: 求由方程122=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '？解：先将y 从方程中解出来，得到21x y -=和21x y --=分别求导21x xy --='和21x xy -=' 将21x y -=和21x y --=分别代入，得 yx y -=' 01232=+--y x x （1）由（1）解得:)13(212+-=x x y 0e e =-+x xy y （2）在（2）中0),(=y x F 隐含)(x y y =隐函数求导方法步骤·方程两边求导，)(x y y =；·整理方程，求出y '.例1 求下列函数的导数或微分（1）xy 2e =，求.y ' 解：方法一: 由x x x x y e e e e )11(2⋅===+x x x y 222e 2e e =+='.这是用导数的乘法法则.方法二: 利用复合函数求导法则，设x u y u2,e ==x x u u u y 2e 2)e (='⋅'='（其结果是完全一样的) （2）x y e =，求.y ' 解：利用复合函数求导法则，设x u y u ==,e x u x u u x x u y e 2121e )e (⋅=⋅='⋅'='.（3）x y cos ln =，求y d .解：利用复合函数求导法则，设x u u y cos ,ln ==x x xx u u u y x u tan )sin (cos 1)(cos 1)(ln -=-='='⋅'=',x x y d tan d -= 例2 设21x y -= ，求).0(y '解：先求一般点上函数的导数，再将0=x 代入求得结果. 设21,x u u y -==，利用复合函数求导法则，221)2(21)1()(x x x ux u y x u --=-='-⋅'=',.0)0(='y 例3 设函数)2(sin 32x y +=，求y '. 解：（首先对函数进行分解，找出所有中间变量）322,sin ,x v v u u y +===,23cos 2x v u y ⋅⋅='2333)2cos()2sin(2x x x ⋅+⋅+=)2cos()2sin(6332x x x +⋅+= 例4 求函数321x y -=，求y '. 解：2311,x u u y -==)1()1(3121312'-⋅-='-x x y 322)1(32---=x x 例5 设函数x y 1cos 3=，求y '. 解: xv v u y u 1,cos ,3=== x v u u x v y )1()(cos )3(''⋅'=' [21)()1(---='='x x x ] )1)(sin )(3ln 3(2xv u --=)1)(1sin )(3ln 3(21cos x x x --=x x x 1cos 231sin 3ln ⋅⋅= 例6 求由方程122=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '.解：方程两边对自变量x 求导数，此时y 是中间变量.022='+y y x ,解出yx y -='（与前面的结果相同）. 例7 求由方程0e e =++x y xy 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '？解：方程两边对自变量x 求导数，此时y 是中间变量.0e e =+'++'x y y x y y ,解得注意：在隐函数的导数结果中常常含有y .例8 求双曲线1=xy 在点（1，1）处的切线斜率. 分析：此题是求隐函数在某点处的导数.解：因为0='+y x y ,所以xy y -=',且在点（1，1）处的切线斜率1)1,1(-='y2.6 高阶导数 )(x f 的高阶导数例1：4)(x x f = 34)(d )(d x x f xx f ='=22212)(d )(d d )d )(d d(x x f x x f x x x f =''==x x f xx f 24)(d )(d 33='''= 一般地，)(x f y =，函数的n 阶导数记为)(d d )()(x f y xy n n n n == 例1 求函数522-+=x x y 的二、三阶导数. 解： 14+='x y ，4=''y ，0='''y例2 求)1ln(x y +=的二阶导数 至n 导数. 解： xy +='11，2)1(1)11()(x x y y +-='+=''=''， 32)1(1)!2()1(x y +-=''' … n n n x n y )1(1)!1()1(1)(+--=-。
经济数学2知识点总结
经济数学2知识点总结经济数学是研究经济问题的一门交叉学科，它将数学理论和方法应用于经济学中的各种问题，如生产、消费、交换、分配等。
经济数学2是经济数学的深入学习阶段，相较于经济数学1，它更加注重数学知识的应用和理论的深入探讨。
在这篇文章中，我将对经济数学2中的一些重要知识点进行总结和分析。
1.微积分微积分是经济数学中最为基础和重要的知识之一。
它包括导数和积分两个部分。
在经济学中，微积分可以帮助我们理解和分析边际效用、边际成本等概念。
通过对函数的导数和积分运算，我们可以求解最优化问题，从而得到最大化利润、最小化成本等经济问题的解答。
在微积分中，常见的一些概念包括极值、微分方程、不定积分和定积分等。
极值是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点，它在经济学中常用于分析生产函数、效用函数等。
微分方程是用来描述经济现象中变化规律的数学工具，比如经济增长模型、资本积累模型等都可以通过微分方程进行描述。
不定积分和定积分则可以帮助我们计算函数的面积、求解曲线下的总收益等经济问题。
2.线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支，它在经济数学中有着广泛的应用。
在宏观经济学中，线性代数可以帮助我们理解多变量线性回归模型、宏观经济模型等。
在微观经济学中，线性代数可以帮助我们理解边际分配、成本和收益的计算等问题。
线性代数中的一些重要概念包括向量、矩阵、行列式、特征值特征向量等。
向量是指具有大小和方向的量，在经济学中可以用来表示市场需求、供给等。
矩阵是一个矩形的数学对象，它可以用来表示多个变量之间的线性关系，比如投入产出矩阵就可以用来表示不同产业之间的投入和产出关系。
行列式可以帮助我们判断矩阵的可逆性和求解线性方程组的解。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的对角化和矩阵的性质。
3.概率论与数理统计概率论与数理统计是经济数学中另外一个重要的基础知识。
它可以用来描述和分析经济现象中的随机性和不确定性。
在经济学中，很多经济现象都是受到随机因素的影响的，比如金融市场的波动、消费者的购买行为等。
导数与微分在经济学中的简单应用教学课件
03
微分在经济学中的应用
利用微分分析经济函示因变量y对于自变 量x的变动反应程度，即y对于x的变 化率。
弹性的计算
根据微分的定义，可以将弹性的计算 公式表示为d(y)/d(x)。
弹性的经济学意义
弹性反映了x变化时y的相应程度，对 于经济分析具有重要意义。
利用微分分析经济的价格弹性
微分的定义
函数在某一点的微分
函数在这一点变化率的近似值，表示函数在这一点的变化快慢。
微分的计算公式
根据定义，函数在某一点的微分等于函数值在该点的变化率与自变量在该点的变化率的比值的近似值 。
微分的几何意义
曲线在某一点的曲率
对于一条曲线，在任意一点处的微分就是该点处曲线在该点 的曲率，表示曲线在该点的弯曲程度。
导数与微分在经济学中的简单应用 教学课件
xx年xx月xx日
目 录
• 导数与微分的预备知识 • 导数在经济学中的应用 • 微分在经济学中的应用 • 导数与微分在经济学中的模型应用 • 导数与微分在经济学中的实证分析 • 导数与微分在经济学中的综合应用案例
01
导数与微分的预备知识
导数的定义
函数在某一点的导数
利用导数与微分进行经济周期的预测分析
总结词
经济周期是指经济运行中出现的繁荣、衰退、萧条和复苏等循环现象，对经济的 稳定和持续发展具有重要影响。
详细描述
利用导数与微分进行经济周期的预测分析，需要运用时间序列分析和谱分析等方 法，建立经济周期的数学模型，运用导数和微分的方法分析模型的动态性质，预 测未来经济周期的变化趋势，并制定相应的政策建议。
函数在这一点变化率的极限，表示函数在这一点的变化快慢 。
导数的计算公式
根据定义，函数在某一点的导数等于函数值在该点的变化率 与自变量在该点的变化率的比值。
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。
对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。
通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。
与物理学中定义米/秒是一个性质的。
把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。
（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。
）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。
2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。
只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。
举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。
如图所示。
绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。
比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。
求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。
下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。
4.函数的可导性与连续性的关系。
我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。
但反过来就不一定了。
归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。
y=|x|就是一个例子。
该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。
经济数学基础
经济数学基础微积分第一编微分学第二编一元函数积分学线性代数第一编微分学第1章函数第2章极限、导数与微分第3章导数应用第1章函数1.1 函数概念1.2 几类基本初等函数1.3 函数的运算1.4 利息与贴现(略)1.5 经济分析中常见的函数1.1 函数概念1.定义2.几点解释3.基本属性2.几点解释(1)记号(2)两要素(3)单值性(4)图形(5)表示法()y f x=定义域、对应规则一个x只有一个y与之对应解析法、图示法、表格法定义域1)分母≠02)被开偶次方根的数≥03)真数>04)三角函数的定义域列出不等式(组)后解不等式(组)tan ,2cot ,y x x k k Zy xx k k Z πππ=≠+∈=≠∈3.基本属性(1)单调性(2)奇偶性(3)有界性(4)周期性(1)单调性()()()()()()12121212, , x x D f x f x f x x x D f x f x f x ∀<∈∃<∀<∈∃>则称函数单调增加则称函数单调减少(2)奇偶性()()()()()() f x f x f x f x f x f x -=--=则称函数为奇函数则称函数为偶函数(3)有界性()()()()0f x M M f x M f x M M ≤-≤≤>，即则称函数有界显然，注：不是唯一的(4)周期性()()() f x T f x f x T +=则称函数为周期函数注：不是唯一的，其中最小的正数称为最小正周期，简称周期。
1.2 几类基本初等函数1.常数函数2.幂函数3.指数函数4.对数函数5.三角函数6.反三角函数(略)1.常数函数y c=yxcy c=2.幂函数y xα=0(1,1)yxq x() = x-1h x() = x3g x() = x2f x() = x()0,1xy aa a =>≠(0,1)y=(12)xy=2xyx()log 0,1a y x a a =>≠(1,0)ln y x=1lny x=Oxy5.三角函数y=t a n xy=c o s xy=s in xyx1.3 函数的运算1.复合()()(),,y u u x y x y f u u x y f x ϕϕ===⎡⎤⎣⎦是的函数，是的函数，则是的函数，即则2.初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算或复合而得到的能用一个式子表示的函数1.5 经济分析中常见的函数1.需求与供给①需求函数②供给函数③供需平衡点2. 成本、收入、利润①成本②收入③利润()0,0d q aq b a b =+<>()11110,0s q a q b a b =+><d sq q =①成本()()()()0C q c c q C q C q q=+=+==总成本固定成本变动成本总成本平均成本产量②收入()()()()R q q p R q q pq=⨯==⋅收入产价格不变时：量销售量价格③利润()()()()()()0 0 ()0 L q L L q R q C q L q q ==>-=<盈利盈亏平利润收入衡-本本保成亏损第2章极限、导数与微分2.1 极限的概念2.2 极限的运算2.3 函数的连续性2.4 导数与微分的概念2.5 导数计算2.6 高阶导数2.1 极限的概念1.极限的概念(1)数列的极限(2)函数的极限2. 左右极限3. 极限存在定理4. 无穷小量(1)数列的极限“一尺之棰，日截其半，万世不竭”──庄子·天下11111,,,,,,2482n 12n n 当无限增大时，越来越接近于(1)数列的极限{}{}(), lim n n n n n n x n x A n x A x A x A n →∞=→→∞数列当无限增大时，无限地接近于某个固定的常数则称趋于无穷时，数列或以为极限，记作(2)函数的极限①自变量趋于无穷的情形②自变量趋于有限值的情形①自变量趋于无穷xy观察函数1y x=()()()lim lim lim x x x f x f x f x →+∞→∞→-∞⎧⎪⎨⎪⎩②自变量趋于有限值观察函数211x y x -=-()()()0lim lim lim x x x x x x f x f x f x +-→→→⎧⎪⎨⎪⎩0x yx32132012.左右极限()()00lim lim x x x x f x L f x R-+→→==左极限右极限3. 极限存在定理()()()0lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A-+→→→⇔===函数在某一点的左、右极限都存在且相等称函数在这点的极限存在4.无穷小量10sin 10sin x x xx x x→→ 如：时是无穷小量时，无穷小，而有界极限为零的量叫无穷小量无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量无穷小量的倒数是无穷大量1. 运算法则加、减、乘、除、乘方、开方以后求极限等于先求极限再进行加、减、乘、除、乘方、开方()00lim lim x x x x x C C x x →→→∞==2.求极限的方法：①无穷小量性质()()0→∞→∞有界即无穷大量趋近于0有界即无穷小量趋近于00x x x ②当时，将代入后计算2.求极限的方法：因式分解或分子(分母)有理化，约去零因子后，代入计算0x 0若将代入后为“”型2.求极限的方法：x x ∞→∞∞③当时，将代入后为“”型分子分母同除以的最高次结果有三种：分子次数高：∞分母次数高：0分子分母次数同：最高次的系数比x2.求极限的方法：④两个重要极限()010sin lim 11lim 1lim 1xz x zx z x e x xe →→∞→=⎛⎫→+=+= ⎪⎝⎭3.注意区分0sin lim 1sin lim 01sin x x x xx xx x x →→∞==⎛⎫→∞ ⎪⎝⎭时，是无穷小，有界1.连续：简单讲就是函数在某点的极限等于该点的函数值()()0lim x x f x f x →=()()()()()()()0000000 lim lim lim li m x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x f x -+-+→→→→====连续左连续右连续2.间断点：不连续的点就是间断点存在三种情况：()()()()0000lim lim x x x x f x f x f x f x →→≠①不存在②不存在③x 02.4 导数与微分的概念1.引入导数的概念的实例2.导数的概念3.导数的几何意义4.可导与连续的关系5.函数的相对变化率(弹性)6.微分的定义①平均速率()()()()1010100000,0lim t s v t t t t t tts t s t s t t s t v t tst tv t ∆→∆=∆=-=+∆∆-+∆-==∆∆∆∆→∆,令当时，如果极限存在，即为时刻的瞬时速率②切线问题()()()()1010100000tan ,tan 0lim tan x yxx x x x x x f x f x f x x f x xxyx xx ααα∆→∆=∆∆=-=+∆-+∆-==∆∆∆∆→∆割线的斜率令当时，如果极限存在，即为处切线的斜率①函数在某一点的导数()()()0000000000lim lim x x x x x x x x f x x f x yx xx x dfdy f x y dxdx∆→∆→===+∆-∆=∆∆''极限存在,称函数在点处可导，极限值为处的导数，记作或或或注：若是左极限，则为左导数若是右极限，则为右导数②导函数()()()()()()(),,y f x a b x f x f x x y f x a b df dyf x y dx dx=''=''如果函数在区间内每一点都可导，则每取一个，都有一个导数与之对应，也就是说也是的一个函数，称其为函数在区间内的导函数，记为或或或，也简称为导数3. 导数的几何意义函数在某一点的导数，就是函数在这点切线的斜率4. 可导与连续的关系可导一定连续连续不一定可导5. 函数的相对变化率函数的相对变化率─ ─弹性()E ()()()()0000000000lim lim x x x xy y x x y Ef x x x y f x x x xEf x y f x y∆→∆→∆∆'==⋅=∆∆''==⋅()1%%xx f x E含义：当产生的改变时， 近似地改变6. 微分的定义dydy y dx y dx''=→=()()()()000000,,x x x x x x y f x x f x x x dydyf x xdx x x x dyf x dx===='∆'=∆''=∆=∆∴= 若函数在点处可导，则称为函数在点处的微分，记作即2.5 导数计算1.导数(微分)的四则运算法则2.复合函数求导法则3.隐函数求导4.基本初等函数求导公式。
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都存在且相等。这两个极限分别称为函数 f（x）在点 x0 处的左导数和右导数，记作 f ' (x0 )
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及 f ' (x0 ) ，即
f
'
(x0 )
lim
h0
f (x0 h) h
f (x0 )
f
'
( x0
（14） (arccos x) ' 1 ； 1 x2
（15） (arc tan
x) '
1 1 x2
；
（16） (arc cot
x) '
1 1 x2
。
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2．函数的和、差、积、商的求导法则
如果函数 U＝u（x）及 V＝v（x）都在点 x0 处具有导数，那么它们的和、差、积、商（除
比当△x→0 时的极限存在，则称函数 y＝f（x）在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y＝f（x）
在点 x0 处的导数，记为ｆ＇（x0），即
lim lim f '(x)
x
f (x0 x) f (x0 )
y x0
x0
x
也可记作
y ' |xx0
、
dy dx
x x0
或
df (x) dx
x x0
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x0 处的微分 dy=f′（x0）Δx。
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第二节 求导法则
常用公式、定理
1．基本导数公式
导数与微分
第二章 导数与微分数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. . 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容.第一节 导数概念下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度；(2) 求曲线上一点处的切线；(3) 求最大值和最小值.这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容要点： 1 导数的定义 2左右导数3导数的几何意义 4函数的可导性与连续性的关系一、引例1、直线运动速度设描述质点运动位置的函数为()s f t =，匀速时：tsv 时间路程=， 平均速度：tsv ∆∆=，因平均速度≠瞬时速度，则0t 到t 的平均速度为00()()f t f t v t t -=-，而0t 时刻的瞬时速度为000()()lim t t f t f t v t t →-=-2、切线问题（曲线在一点处切线的斜率）当点N 沿曲线C 趋于点M 时，若割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置MT ，直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线因0000()()tan y y f x f x yx x x x xφ--∆===--∆ [切线应为割线的极限]当N 沿曲线M C →时，0x x →，故0000()() lim lim x x x f x f x yk x x x ∆→→-∆==∆- 即为割线斜率的极限，即切线斜率。
瞬时速度000()()limt t f t f t v t t →-=-切线斜率000()()limx x f x f x k x x →-=-两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .二、导数的定义： 1、函数在一点处的导数设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x +∆仍在该邻域内）时，相应的函数y 取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称此极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为：00000()()limlim x x x x f x x f x y y x x =∆→∆→+∆-∆'==∆∆或0()f x '，x x dy dx=或()x x df x dx =即：已知()f x ，构造yx∆∆，求此增量比的极限，若极限存在，则可导，不存在就不可导（此时切线必垂直于x 轴）。
导数与微分在经济学中的简单应用教学课件
05
导数与微分在经济学中的实践练习
练习一：利用导数分析函数单调性
总结词
通过导数的符号判断函数的单调性
详细描述
首先，需要了解导数的基本概念及其与函数单调性的关 系。其次，通过实例，展示如何利用导数判断函数的单 调性。
练习二：利用微分求解函数极值
要点一
总结词
要点二
详细描述
通过微分求解函数的极值点
首先，需要了解微分的基本概念及其与函数极值的关系 。其次，通过实例，展示如何利用微分求解函数的极值 点。
2023
导数与微分在经济学中的 简单应用教学课件
contents
目录
• 导数与微分的概念 • 导数在经济学中的应用 • 微分在经济学中的应用 • 导数与微分在经济学中的案例分析 • 导数与微分在经济学中的实践练习
01
导数与微分的概念
导数的定义
1 2
函数在某一点的导数
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点的斜率。
案例一：商品价格与需求量的关系
01
总结词：价格弹性பைடு நூலகம்
02
详细描述：在经济学中，商品 价格与需求量之间的关系可以 用导数来描述。如果需求函数 是线性的，那么它的导数就是 价格弹性，表示价格变动对需 求量变动的影响程度。
03
公式展示：如果需求函数是 Q=a-bP，其中Q是需求量， P是价格，a和b是常数，那么 价格弹性就是-b/a。
导数可以用来寻找最大收入的解，即如何确定销售量以达到最大 收入。
03
微分在经济学中的应用
微分在函数极值中的应用
总结词
找寻经济函数的最大值和最小值
详细描述
通过微分，我们可以求出函数的一阶导数，并找到导数为零的点，这些点就是函数的极值点。在经济学中，我 们常常需要找出一个经济函数的最优解，即经济函数的最大值或最小值。例如，在成本最小化问题中，我们可 以通过微分来找到总成本的最小值点。
经济数学基础(上)导数与微分笔记整理
经济数学基础（上）数学笔记整理第二章导数与微分（P49）目录一、导数的符号要清楚1二、导数的几何意义1三、可导与连续的关系1四、导数的基本公式与练习题1五、切线方程问题4六、复合函数的求导5七、隐函数的导数9八、高阶导数10九、微分11十、可微、可导和连续、极限的关系12一、导数的符号要清楚（P51，52都有），最简单的就是二、导数的几何意义（P55）函数y=f（x）在点处的导数就是曲线y=f（x）在点（）处切线的斜率，k=，∴切线的方程为y三、可导与连续的关系（P56，2.1.5）定理2.1和注意可导连续（充分条件）y=f（x）的图像在点处出尖，则f（x）在处不可导。
例：y=，图像如下,此时，当x=0时，图像出尖，不可导。
四、导数的基本公式与练习题（P65~66，2.2.6的 1.，2.，3.，）就记书上的前8个就行了，其他的不用记再多记2个：①②【练习1：求导】①解：有分式，商的导数不好算，可以先化简。
∴∴【注意ln7为常数，常数的导数为0哦！】=②解决此题有2种方法，方法一是直接求。
方法二是先打开，再求。
你觉得怎么简单就怎么来。
一般情况是先打开再做比较容易，有时是怎么做都一样的。
方法一：直接求。
要用到乘积的导数。
（先打开再做就用不着乘积的导数，看过程就知道哪个方法简单了。
）=2（）+=10=30方法二：先打开，再求导。
=5=10∴【练习2：求导】①解：【注意：ln6为常数，导数也为0哦！】②解：③解：④解：⑤很容易能看出来，此题必须要化简了。
你要是想用商的导数来求的话，是够麻烦的了。
解：∵=（）·=∴⑥这题就不能化简了，怎么着都是麻烦。
商的导数会背吗？要用了。
注意所有公式都必须要会背哦！==【书上的题P75，3，4】P75,3.求导（2）这题就是怎么做都行，你想用乘积的方法做就直接挑战吧。
但是为了简单，我们的习惯就是先打开，再求导。
∵=2∴（4）此题也可以直接，前提是你必须会背两个公式。
导数与微分在经济学中的简单应用(讲课)
. 边际
导数与微分在经济学中的简单应用
.边际分析
在经济学中,边际概念是与导数密切相关的一个经济学概念,它反映一种经济变量y对另一种经济变量x的变化率.以导数为工具研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。
*
总成本、平均成本、边际成本
“总成本”是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成，用C(x)表示，其中x表示产品的产量，C(x)表示当产量为x时的总成本。
*
综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，高弹性商品适合采取薄利多销经济策略；低弹性商品采取提高价格增加经济收益的策略。
当 时，需求量增加(减少)的百分比小于价格下降(上浮)的百分比，降低价格 会使消费者用于购买商品的支出减少，这时销售者的收益减少 ,提高价格会使总收益增加。
（3）当 时，称为低弹性，这时当商品价格增加(减少)1%时,需求量相应地减少(增加) %, 即需求量变动的百分比小于1%，价格变动对需求量的影响不大。
*
在商品经济中，商品经营者关心的是提价 或降价 对总收益的影响，下面我们利用弹性的概念来分析需求的价格弹性与销售者的收益之间的关系。
*
定义设函数y=f(x)在点x=x0
称为函数f(x)从x=x0到点x=x0+△x两点间的平均相对变化率,经济上也叫做这两点间的“弧弹性”.
的某邻域内有定义，
且 ，如果极限
存在,则称此极限为函数y=f(x)在点 处的点弹性， 记为
而称比值
表示f(x)在x=x0处的相对变化率
*
由定义可知
如果函数y=f(x)在(a,b)内可导,且f(x)0，则称 为函数y=f(x)在(a,b)内的点弹性函数，简称为弹性函数。 相对变化率 平均相对变化率
《经济数学》 第2章
当
时,曲线
在
的法线方程为
而当
时,曲线
在
的法线方程为
(即法线平行y轴).
例3
求函数
的导数
解: (1)求增量:
(2)算比值:
(3)取极限:
同理可得: 特别地, .
例4
求曲线
在点
处的切线与法线方程.
解:因为 在点
,由导数几何意义,曲线 的切线与法线的斜率分别为:
于是所求的切线方程为:
即 法线方程为: 即
相应的增量为
从上式可以看出，
的线性函数
这表明
这部分就是面积
的增量的主要部分（线性主部）
所以上式可写成
定义 设函数 如果函数
所以
即为过M0，M两点
M0
的割线的斜率.
曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲
线y=f(x)无限接近 时的极限位置M0P，因而当
时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：
所以，导数
的几何意义
M
是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0)) 处的切线斜率.
M0
设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在 点处的切线方程为： 当 时,曲线 在 的切线方程为 而
例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均
可导，则
例1 解：
例2 设 解：
例3 求y = tanx 的导数
解：
即 类似可得
例4 求 y = secx 的导数 解：
即 类似可得
2.2.2 基本初等函数的导数
基本导数公式表
例5
解：
2.2.3 复合函数的导数
定理二 如果函数 在x处可导，而函数 在x处可导，且有 或 注： 对于多次复合的函数，其求导公式类似， 此法则也称链导法
经济数学复习第二章导数与微分市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
x2 1
1
1 x2
，dy
1
dx x2
．
x2
（3） y2 f (e2x)e2x dy2 f (e2x)e2xdx
练习
若
y
tan
x 2
则
dy ?
ESC
六. 基本初等函数旳微分公式
(1) d(C) 0
(10) d(cot x) csc2 xdx
(2) d(x) x 1dx (11) d(sec x) sec x tan xdx
d u v du dv d uv vdu udv
d cu cdu，（c为常数）
d
(u v
)
vdu udv， v2
(v 0)
ESC
六. 基本初等函数旳微分公式
例7求 d(cos2x)
例8 求函数 yexcos4x 旳微分 解：dycos4xd(ex)exd(cos4x) cos4xexd(x)ex(sin4x)d(4x) excos4xdx4exsin4xdx ex(cos4x4sin4x)dx
f (x0),
y x ,x0
dy dx
, x x0
或
df dx
. x x0
ESC
一、导数旳概念
即
f (x0)
lim
x0
f
(x0 x) x
f
(x0) .
或
f (x0)
lim
x x0
f
(x) x
f (x0) x0
.
定义2.2 若函数 y f (x) 在区间 (a,b)内
任意一点处都可导，则称函数 f ( x)在区间 (a,b)
第二章 导数与微分
第二章 导数与微分
经济数学2.1导数的概念
y ( x x )3 x 3
导函数
3 x 2 x 3 x ( x ) 2 ( x ) 3,
( x x )3 x 3 y lim x x 0
lim [ 3 x 2 3 x x ( x ) 2 ] 3 x 2.
M M M MM y 0
T
x
ESC
o
3
x 0 x0 x
x
一、变化率问题举例
案 例
1
何谓曲线的切线？
y f (x)
当点 M 沿着曲线 y f ( x )趋于 y 点 M 0 时, 割线 M 0 M 便绕着点 M 0 转动；当点 M 无限趋于点 M 0 时割线的极限位置是 M 0T , 割线 则称直线 M 0T 为曲线 y f ( x ) f ( x0 x ) 过点 M 0 处的切线. f ( x0) 切线
便绕着点 M 0 转动；当点 M f ( x0 x ) 无限趋于点 M 0 时， 割线的极限位置是 M 0T , 切线 f ( x ) y 则称直线 M 0T 为曲线 f ( x ) 过点 M 0 处的切线.
0
M0
x
1
o
ESC
x 0 x0 x
x
一、变化率问题举例
案 例
1
何谓曲线的切线？
ESC
二. 导数定义
函数在区间上的导数定义
定义2.2 若函数 y f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内 任意一点处都可导，则称函数 f ( x )在区间 (a , b) 内可导．
记作 f ( x ) 或 即
y 或
dy 或 dx
df . dx
经济数学基础公开课：导数与微分
导数与微分⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000存在，且该点处的导数就是这个极限。
导数极限还可写成0)()(limx x x f x f x x --→∆)(x f 在点0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处的切线斜率。
曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为)())((000x f x x x f y +-'=函数)(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。
反之函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 点不一定可导。
⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。
⒊熟记导数与微分的基本公式；熟练掌握导数与微分的四则运算法则。
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似v u v u d d )(d ±=± v u u v v u d d )(d +=⋅)0(d d )(d 2≠-=v v v u u v v u⒋熟练掌握复合函数的求导法则。
⒌掌握隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求导法。
一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，如321-+=x x y求y '。
直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31)1ln(21ln --+=x x y 两端求导得)2(31)1(21--+='x x y y 整理后便可得)2(682123---⋅-+='x x x x x y 若函数由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕψ 的形式给出，则有导数公式)()(d d t t x y ϕψ''=⒍了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。
综合练习 一、填空题⒈设f x x x ()=-+245，则f f x [()]'= 。
经济数学第二章
y x
，
则函数 f (x) 在点 x0 处的导数为 ，记作 f (x0 ) ．
如果令 x0 x x，则当 x 0时，有 x x0 ，故函数在点 x0 处的导数 f (x0 )
也可表示为
f
( x0
)
lim
x 0
f
(x) x
f( ．x0
x0
)
.
由该定义可看出，y x
f (x0
x) x
f (x0 )
反映的是自变量
x 从 x0改变到 x0
x
时，函数
f
(x) 的平均变化速度，称为函数的平均变化率．而
f
(x0 )
lim
x0
y x
反
映的是函数在点 x0 处的变化速度，称为函数在点 x0 的变化率．
1 导数的概念
经济数学 第二章. 第一节
第9 页
2.左、右导数
既然导数是比值 y 当 x 0时的极限，那么下面两极限 x
lim y lim f (x0 x) f (x0 ) ，
x x0
x0
x
lim y lim f (x0 x) f (x0 ) ，
x x0
x0
x
分别称为函数 f (x) 在点 x0 处的左导数和右导数，且分别记
为 f(x0 ) 和 f(x0 )．
1 导数的概念
经济数学 第二章. 第一节
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的曲线 L在相应点 (x0 ，y0 )处的切线斜率，这就是导数的几何意义．有了 曲线 L 在点(x0 ，y0 ) 处的切线斜率，就很容易写出曲线 L在该点处的切线
方程．
若 f (x0 ) 0，则曲线 L上点 (x0 ，y0 ) 处的切线方程
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所以 y | x | 在x =0连
而
续
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
x x
1
f(0)
lim
x0
y x
lim
x x
1
即函数 y | x | 在x=0处左右导数不相等,从而在 x=0不可导. 由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要 条件，但不是充分条件
即可导定连续,连续不一定可导.
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f
( x0 )
lim
x0
y x
lim tan
tan
k
所以，导数 f (x0 ) 的几何意义 是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0)) 处的切线斜率.
M
P
M0
x0
x0 x
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设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处 的切线方程为： y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ). 而当 f (x0 ) 时,曲线 f ( x) 在 M0 的切线方程为
此时x为割线两端点M0，M 的横坐标之差，而 y
则为M0，M 的纵坐标之差， 所以 y 即为过M0，M两点的
x
割线的斜率.
M
M0
x0
x0 x
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曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲
线y=f(x)无限接近 M0时的极限位置M0P，因而当 x 0
时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：
2.2 导数的运算
2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则
定理一 设函数u(x)与v(x) 在点x处均可导，则:
(1)[u( x) v( x)]' u' ( x) v' ( x); (2)[u( x)v( x)]' u' ( x)v( x) u( x)v' ( x),
特别地, v( x) C(C为常数）,则( Cu) Cu
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) . x x0
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
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导数的几何意义
当自变量x0从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0 (x0 , f (x0 )). 变到M (x0 x, f (x0 x)).
(3)
u( x) v( x)
u( x)v( x) u( x)v( x) [v( x)]2
特别地,如果 u( x) 1,
可得公式
1 v( x)
v(
x)
[v( x)]2
(v( x) 0)
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注：法则（1）（2）均可推广到有限 多个可导函数的情形 例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均 可导，则
例2 求曲线 y 在x3点 处(的2,8切) 线与法线方程.
解:因为 (x3 ) ,由3x导2 数几何意义,曲线
y x3
在点 (2,8的) 切线与法线的斜率分别为:
k1 y
(3x 2 ) 12,
x2
x2
k2
1 k1
1 12
于是所求的切线方程为: y 8 12(x 2)
即 12x y 16 0
f'( x0 )或y'
|
x
x0
,
或
dy dx
|
x
x0
,
或
df dx
| xx0
.
或
f'( x0 )
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) .
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导数定义与下面的形式等价：
f
( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) . x x0
若y =f (x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y = f (x)在x = x0 不可导，此时意
第2章 导数与微分
1.1 导数的概念 1.2 导数的运算 1.3 微分
结束
2.1 导数的概念
定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，x0 x 属于该邻域，记 y f ( x0 x) f ( x0 ),
若 lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
存在，则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为
x x0
当 f (x0 ) 0 时,曲线 f ( x) 在 M0 的法线方程为
1
y
f ( x0 )
(x f ( x0 )
x0 ).
而当 f (x0) 0 时,曲线 f ( x) 在 M0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
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例1 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
法线方程为: y 8 1 ( x 2) 12
即 x 12 y 98 0
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2.1.2 可导性与连续性的关系
定理2 若函数y = f (x)在点x0处可导， 则f(x)在点x0 处连续.
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例3 证明函数 y | x | 在x=0处连续但不可导.
证 因为 lim | x | 0 x0
y f ( x x) f ( x)
( x x)2 x2 2xx (x)2
(2)算比值: (3)取极限:
y 2x x x
y lim y lim (2x x) 2x x0 x x0
同理可得: (x n ) nx n1(n为正整数）
特别地, (x) 1. (n 1)
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(u v w) u v w
(uvw) uvw uvw uvw
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例1 设y x3 e x sin x ln 3，求y
解： y ( x3 e x sin x ln 3) ( x3 ) (e x ) (sin x) (ln 3)
3x 2 e x cos x
例2 设 y 5 x 2x , 求y
解： y (5 x 2 x ) 5( x )2 x 5 x (2 x )
5 2 x 5 x 2 x ln 2 2x
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例3 求y = tanx 的导数
解： y (tan x) ( sin x )
味着不存在.
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左导数与右导数
左导数:
f(x0 )
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 ).
右导数:
f(x0 )
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 ).
显然可以用下面的形式来定义左、右导数
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) , x x0
f( x0 )