2021北京西城区高三期末数学(文)试题答案

2014北京西城区高三期末数学（文）试题答案

高三数学（文科）参考答案及评分标准

2014.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．D 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9 10． 1

8 34

11． 12．1

3

-

13． 2- (0,1] 14．○1○3

注：第10、12、13题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分，少选得2分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为π

()sin()(0)3

g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以 2||

ωπ

=π，解得2ω=． ……………… 3分

由 ()2

f α=

22α=，

即 cos 22

α=， ……………… 4分

所以 π

22π4

k α=±

，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-， 所以7πππ7π

{,,,}8888

α∈--. ……………… 6分

（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3

y f x g x x x =+=+-

ππ

2sin 2cos cos 2sin 33

x x x =+- (8)

分

1sin 222x x =

+ π

sin(2)3

x =+， (10)

分

由 2πππ

2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分

解得 5ππππ1212

k k x -+≤≤．

(12)

分

所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ

[ππ]()1212

k k k -+∈Z ,.…………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：依题意，得 1

1(889292)[9091(90)]33

a ++=+++， ……………… 3分

解得 1a =. ……………… 4分

（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 5分

依题意 0,1,2,,9a =，共有10种可能. (6)

分

由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同， 所以当2,3,4,,9a =时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能． (7)

分

所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84

()105

P A ==． ……………… 8分

（Ⅲ）解：设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件B ，………… 9分

当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种，

它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， (10)

分

所以事件B 的结果有7种，它们是：(88,90)，(92,90)，(92,91)，

(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92). (11)

分

因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率7

()9

P B =

. (13)

分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是正方形，

所以AC BD ⊥. ……………… 1分

又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =，

且AC ⊂平面ABCD ，

所以AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分

（Ⅱ）证明：在CEF ∆中，因为,G H 分别是,CE CF 的中点，

所以//GH EF ，

又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，

所以//GH 平面AEF . ……………… 6分

设AC BD O =，连接OH ，

F B

C

G

E

A

H D

O

在ACF ∆中，因为OA OC =，CH HF =， 所以//OH AF ，

又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，

所以//OH 平面AEF . ……………… 8分

又因为OH

GH H =，,OH GH ⊂平面BDGH ，

所以平面//BDGH 平面AEF . ………………10分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ），得 AC ⊥平面BDEF ，

又因为AO =，四边形BDEF 的面积3BDEF

S

=⨯=， (11)

分

所以四棱锥A BDEF -的体积1

1

43BDEF

V AO S =⨯⨯=. (12)

分

同理，四棱锥C BDEF -的体积24V =.

所以多面体ABCDEF 的体积128V V V =+=. (14)

分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为()()e x

f x x a =+，x ∈R ，

所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分

令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分

当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：

)