2021北京西城区高三期末数学(文)试题答案
北京市西城区第一学期期末高三级数学(理)试题及答案
X 市西城区2021 — 2021学年度第一学期期末卷子高三数学〔理科〕 2021.1第一卷〔选择题 共40分〕一、 选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．假设集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B =〔A 〕{|13}x x -<< 〔B 〕{|10}x x -<< 〔C 〕{|02}x x <<〔D 〕{|23}x x <<2．以下函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是 〔A 〕1y x =-+〔B 〕|1|y x =-〔C 〕sin y x =〔D 〕12y x =3．执行如下列图的程序框图，输出的S 值为 〔A 〕2 〔B 〕6 〔C 〕30 〔D 〕2704．M 为曲线C ：3cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数〕上的动点．设O 为原点，则OM 的最大值是 〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3〔D 〕45．实数,x y 满足10,10,10,x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≥≥≥ 则2x y -的取值范围是〔A 〕[0,2] 〔B 〕(,0]-∞ 〔C 〕[1,2]- 〔D 〕[0,)+∞6．设,a b 是非零向量，且,a b 不共线．则“||||=a b 〞是“|2||2|+=+a b a b 〞的 〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件7．A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点．假设点A ，B 到直线12y =的距离相等， 则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是 〔A 〕(,1)-∞-〔B 〕(,2)-∞-〔C 〕(1,)-+∞〔D 〕(2,)-+∞8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度〔单位mol/L ，记作[H ]+〕和氢氧根离子的物质的量的浓度〔单位mol/L ，记作[OH ]-〕的乘积等于常数1410-．pH 值的定义为pH lg[H ]+=-，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ][OH ]+-可以为〔参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈〕 〔A 〕12〔B 〕13〔C 〕16〔D 〕110第二卷〔非选择题 共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分． 9．在复平面内，复数2i1i-对应的点的坐标为____． 10．数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ．假设212a =，则n a =____；5S =____．11．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC ，则 c =____．12．把4件不同的产品摆成一排．假设其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．〔用数字作答〕13．从一个长方体中截取局部几何体，得到一个以原长方体的局部顶点为顶点的凸多面体，其三视图如下列图．该几何体的外表积是____．14．函数2,2,()1,3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤假设0c =，则()f x 的值域是____；假设()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是____． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值13分〕函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．〔Ⅰ〕求()f x 的最小正周期；〔Ⅱ〕求()f x 在区间π[0,]2上的最大值． 16．〔本小题总分值13分〕表1和表2是某年局部日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年局部日期的天安门广场升旗时刻表〔Ⅰ〕从表1的日期中随机选出一天，试估量这一天的升旗时刻早于7:00的概率； 〔Ⅱ〕甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X 为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ．〔Ⅲ〕将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据〔如7:31化为31760〕．记表2中全部升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中全部升旗时刻对应数据的方差为2*s ，推断2s 与2*s 的大小．〔只需写出结论〕 17．〔本小题总分值14分〕如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，12AA AB AC ===，160A AC ︒∠=. 过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . 〔Ⅰ〕求证：1A C ⊥平面1ABC ；〔Ⅱ〕求证：四边形1AA EF 为平行四边形； 〔Ⅲ〕假设23BF BC =，求二面角1B AC F --的大小. 18．〔本小题总分值13分〕函数()e sin 1axf x x =⋅-，其中0a >．〔Ⅰ〕当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； 〔Ⅱ〕证明：()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点． 19．〔本小题总分值14分〕椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕设直线y kx =+C 交于,M N 两点．假设直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．20．〔本小题总分值13分〕数列n A ：12,,,(4)n a a a n ≥满足：11a =，n a m =，10k k a a +-=或1(1,2,,1)k n =-．对任意,i j ，都存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈且两两不相等．〔Ⅰ〕假设2m =，写出以下三个数列中全部符合题目条件的数列的序号； ① 1,1,1,2,2,2； ② 1,1,1,1,2,2,2,2； ③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2 〔Ⅱ〕记12n S a a a =+++．假设3m =，证明：20S ≥；〔Ⅲ〕假设2018m =，求n 的最小值．X 市西城区2021 — 2021学年度第一学期期末高三数学〔理科〕参考答案及评分标准2021.1一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．(1,1)- 10．32n -，3141112．8 13．36 14．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cos sin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]32cos2122x x =-+[ 5分]π)13x =-+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==．[ 8分] 〔Ⅱ〕因为 π02x ≤≤， 所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分] 当 ππ232x -=，即5π12x =时， [11分]()f x 1． [13分]16．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00〞， [ 1分]在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以 153(A)204P ==．[ 3分] 〔Ⅱ〕X 可能的取值为0,1,2． [ 4分] 记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00〞，则 51(B)153P ==，2(B)1(B)3P P =-=．[ 5分] 4(0)(B)(B)9P X P P ==⋅=； 12114(1)C ()(1)339P X ==-=； 1(2)(B)(B)9P X P P ==⋅=． [ 8分]所以 X 的分布列为：()0129993E X =⨯+⨯+⨯=． [10分]注：学生得到X ~1(2,)3B ，所以12()233E X =⨯=，同样给分．〔Ⅲ〕22*s s <． [13分]17．〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 1分]因为 三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1A C ⊥平面1ABC ． [ 4分] 〔Ⅱ〕因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 5分] 因为 平面1AA EF平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [ 6分]因为 平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF平面ABC AF =，平面1AA EF平面1111A B C A E =，所以 1//A E AF ． [ 7分] 所以 四边形1AA EF 为平行四边形． [ 8分] 〔Ⅲ〕在平面11AA C C 内，过A 作Az AC ⊥．因为 AB ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐标系A xyz -．[ 9分] 由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1A ，1C ．因为23BF BC =，所以 244(,,0)333BF BC −−→−−→==-， 所以 24(,,0)33F ．由〔Ⅰ〕得平面1ABC的法向量为1(0,1,A C −−→=设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即30,240.33y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则2x =-，z =所以(2,1,=-n ． [11分]所以111|||cos ,|||||A C A C A C −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n [13分] 由图知 二面角1B AC F --的平面角是锐角，所以 二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分]18．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕当1a =时，()e sin 1x f x x =⋅-，所以 ()e (sin cos )xf x x x '=+． [ 2分]因为 (0)1f '=，(0)1f =-， [ 4分]所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-． [ 5分]〔Ⅱ〕()e (sin cos )axf x a x x '=+． [ 6分]由 ()0f x '=，得 sin cos 0a x x +=． [ 7分] 因为 0a >，所以π()02f '≠． [ 8分]当 ππ(0,)(,π)22x ∈时， 由 sin cos 0a x x +=， 得 1tan x a =-．所以 存在唯一的0π(,π)2x ∈， 使得 01tan x a =-． [ 9分]()f x 与()f x '在区间(0,π)上的情况如下：所以 ()f x 在区间0(0,)x 上单调递增，在区间0(,π)x 上单调递减． [11分]因为π020π()()e 1e 102a f x f >=->-=， [12分]且 (0)(π)10f f ==-<，所以 ()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点． [13分]19．〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕由题意得 2a =，c e a ==， 所以c = [ 2分] 因为 222a b c =+， [ 3分] 所以 1b =， [ 4分]所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=．[ 5分] 〔Ⅱ〕假设四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 ||||PA MN =. [ 6分] 所以 直线PA 的方程为(2)y k x =-， 所以 (3,)P k，||PA = [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ． 由2244,y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(41)80k x +++=， [ 8分] 由0∆>，得 212k >．且12x x +=122841x x k =+． [ 9分] 所以||MN=． [10分]因为 ||||PA MN =， 所以整理得 421656330k k -+=， [12分]解得k =，或k = [13分]经检验均符合0∆>，但k =时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．所以k =，或2k =± [14分]20．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕②③． [ 3分] 注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．〔Ⅱ〕当3m =时，设数列n A 中1,2,3出现频数依次为123,,q q q ，由题意1(1,2,3)i q i =≥． ① 假设14q <，则有12s t a a a a +<+〔对任意2s t >>〕，与矛盾，所以 14q ≥． 同理可证：34q ≥． [ 5分]② 假设21q =，则存在唯一的{1,2,,}k n ∈，使得2k a =．那么，对,s t ∀，有 112k s t a a a a +=+≠+〔,,k s t 两两不相等〕， 与矛盾，所以22q ≥． [ 7分]综上：1324,4,2q q q ≥≥≥， 所以 3120i i S iq ==∑≥． [ 8分]〔Ⅲ〕设1,2,,2018出现频数依次为122018,,...,q q q ．同〔Ⅱ〕的证明，可得120184,4q q ≥≥，220172,2q q ≥≥，则2026n ≥．取12018220174,2q q q q ====，1,3,4,5,,2016i q i == ，得到的数列为：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B ．[10分] 下面证明n B 满足题目要求．对,{1,2,,2026}i j ∀∈，不妨令i j a a ≤，① 如果1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，所以符合条件； ② 如果1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，220172,2q q ==， 所以也成立；③ 如果1,2i j a a =>，则可选取2,1s t j a a a ==-；同样的，如果2017,2018i j a a <=， 则可选取1,2017s i t a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等； ④ 如果12018i j a a <<≤，则可选取1,1s i t j a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈且两两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026． [13分]。
2021西城高三文科数学上学期期末带答案
2021西城高三文科数学上学期期末带答案北京市西城区2021 ― 2021学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）2021.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A?{x|0?x?2}，B?{x|x?1?0}，那么A?B? （A）{x|0?x?1} （C）{x|?1?x?0}2．下列函数中，定义域为R的奇函数是（A）y?x?122（B）{x|1?x?2} （D）{x|?1?x?2}（B）y?tanx（C）y?2x（D）y?x?sinx3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（A）1 （B）0 （C）?3 （D）?10y24．已知双曲线x?2?1(b?0)的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为b2（A）x?3y?0 （C）x?3y?0（B）3x?y?0 （D）3x?y?0?x?1≥0,?5．实数x，y满足?x?y?1≥0,则y?4x的取值范围是?x?y?2≤0,?（A）(??,4]（B）(??,7]（C）[?,4]12（D）[?,7]126．设a,b是非零向量，且a??b．则“|a|?|b|”是“(a?b)?(a?b)”的（A）充分而不必要条件（C）充要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（A）20?25 （B）14?4（C）26 （D）12?2（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件5 5 8．8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（A）14（B）13（C）12（D）11第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1?i?____． 1?i10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(3,?1)，则△AOB的面积是____． 11．已知圆(x?1)?y?4与抛物线y?2px(p?0)的准线相切，则p?____． 12．函数y?222x?4的定义域是____；最小值是____． x?，sinB?2sinA，则a?____． 313．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．若c?3，C??0≤x≤a,?x,f(x)?14．设函数其中a?0．???log3x,x?a,① 若a?3，则f[f(9)]?____；② 若函数y?f(x)?2有两个零点，则a的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在等差数列{an}中，a2?3，a3?a6?11．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn?an?16．（本小题满分13分）2已知函数f(x)?sin(2?x?)?2cos?x?1(??0)的最小正周期为π．1，其中n?N*，求数列{bn}的前n项和Sn．an2π6（Ⅰ）求?的值；（Ⅱ）求f(x)在区间[0,17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号 1 2 125 123 3 122 127 4 124 120 5 124 a 7π]上的最大值和最小值． 12A型待机时间（h） 120 B型待机时间（h） 118 已知 A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率． 1（注：n个数据x1,x2,?,xn的方差s2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]，其中x为数据x1,x2,?,xn的n平均数）18．（本小题满分14分）PA?PD，AB?PA，AD?2，AB?BC?1．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC， ?BAD?90?，（Ⅰ）求证：AB?PD；（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE//平面PAB；（Ⅲ）设平面PAB?平面PCD?PM，点M在平面ABCD上．当PA?PD时，求PM的长．19．（本小题满分14分）x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点是F点P(2,1)在椭圆C上，且|PF1|?|PF2|?4．1，F2，ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P关于x轴的对称点为Q，M是椭圆C上一点，直线MP和MQ与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|?|OF|为定值．20．（本小题满分13分）对于函数f(x)，若存在实数x0满足f(x0)?x0，则称x0为函数f(x)的一个不动点．已知函数f(x)?x?ax?bx?3，其中a,b?R．（Ⅰ）当a?0时，（�。
北京西城区高三上学期期末考试数学试题理20210525160136
北京市西城区第一学期期末试卷高三数学（理科）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项．1．会集A{ x R |0x 1} ， B { x R | (2 x1)(x 1) 0} ，则A B（）1（A）(0,)（B）(1,1)2（C）(, 1) (1, )（D）(, 1) (0, ) 22．在复平面内，复数5i的对应点位于（）2i（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3．在极坐标系中，已知点P(2, ) ，则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）6（ A）sin1（B）sin3（ C）cos1（ D）cos34．履行以以下图的程序框图．若输出S15 ，则框图中① 处可以填入（）（ A）k2（B）k 3（C）k 4（D）k 55．已知函数f ( x) x bcos x ，此中b为常数．那么“b 0”是“ f ( x) 为奇函数”的（）（ A）充分而不用要条件（ B）必需而不充分条件（ C）充分必需条件（D）既不充分也不用要条件6．已知 a,b 是正数，且满足 2 a 2b 4 ．那么 a 2 b 2 的取值范围是（） （A ）(4, 16)（B ）(4,16)（ C ） (1,16)（D ）(16, 4)5 5 557．某四周体的三视图以以下图．该四周体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（ A ）2 5（ B ）2 6（ C ）2 7（ D ）4 28．将正整数 1,2,3,4,5,6,7 随机分成两组， 使得每组最少有一个数， 则两组中各数之和相等的概率是 （ ）（A ）2（B ）4（C ）1（D ）221 63 21 63第Ⅱ卷 （非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分．9.已知向量 a (1,3) ，b ( 2,1) ，c (3,2) . 若向量 c 与向量 k ab 共线，则实数 k_____ ．10．如图，Rt△ABC 中，ACB90 ，AC 3 ，BC 4 ．以 AC 为直径的圆交 AB 于点 D ，则BD； CD ______．11．设等比数列 { an } 的各项均为正数，其前 n 项和为 S n．若 a11，a3 4 ，S k63 ，则k______．x2y2F1， F2，点P在该椭圆上．若 | PF1 | | PF2 | 2 ，则△12．已知椭圆1的两个焦点是42PF1F2的面积是______．13．已知函数 f ( x)ππf ( x) 的值域是______；若 f (x) 的值域是sin(2 x) ，此中 x [, a] ．166[ ,1]，则a的取值范围是______．214．已知函数f ( x)的定义域为R．若常数 c0 ，对 x R ，有 f (x c) f ( x c) ，则称函数 f ( x) 拥有性质P．给定以下三个函数：① f ( x)2x；② f ( x)sin x ；③ f ( x)x3x ．此中，拥有性质 P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）在△ ABC 中，已知 3 sin 2B 1cos 2B ．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若BC 2 ，A，求△ ABC的面积．416．（本小题满分14 分）如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA PD ， PA平面PDC，E 为棱 PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB //平面EAC；（Ⅱ）求证：平面PAD平面ABCD；（Ⅲ）求二面角 E AC B 的余弦值．17．（本小题满分13 分）生产 A，B 两种元件，其质量按测试指标区分为：指标大于或等于82 为正品，小于 82 为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计以下：测试指标元件 A 元件 B [70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100] 81240328 71840296（Ⅰ）试分别预计元件 A，元件 B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，假如正品可盈余40 元，假如次品则损失 5 元；生产一件元件B，假如正品可盈余50 元，假如次品则损失10 元 . 在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记 X 为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学希望；（ⅱ）求生产 5 件元件 B 所获取的利润许多于140 元的概率．18．（本小题满分13 分）已知函数 f ( x)x，此中b R．2bx（Ⅰ）求 f ( x) 的单调区间；（Ⅱ）设 b 0 ．若x[ 1,3] ，使 f ( x) 1 ，求b的取值范围．4419．（本小题满分14 分）如图，已知抛物线y24x 的焦点为F．过点 P(2,0) 的直线交抛物线于A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 ) 两点，直线A F ， BF 分别与抛物线交于点M ， N ．（Ⅰ）求y1 y2的值；（Ⅱ）记直线 MN 的斜率为 k 1 ，直线 AB 的斜率为 k2 . 证明：k 1为定值．k 220．（本小题满分 13 分）如图，设A 是由 n n个实数构成的n 行 n列的数表，此中a ij (i, j 1,2,3,, n) 表示位于第 i 行第 j列的实数，且a ij{1, 1} . 记 S( n, n) 为全部这样的数表构成的会集．对于 AS( n, n)，记r i ( A) 为 A 的第 i 行各 数之积， c j ( A) 为 A 的第j 列各数之 积 ．令nnl ( A)r i ( A)c j ( A)．i 1j 1（Ⅰ）请写出一个A S(4, 4) ，使得l ( A) 0；（Ⅱ）能否存在A S(9, 9)，使得l ( A)0 ？说明原由；（Ⅲ）给定正整数 n ，对于全部的 A S( n, n) ，求 l ( A) 的取值会集．。
北京市各区2021-2022学年高三上学期期末考试数学解答题分类之导数
2021-2022学年度第一学期北京市各区期末解答题分类之导数1、（2022年海淀区期末第20题）函数()e sin 2x f x a x x =-+.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≥时，求函数()f x 在[0,1]上的最小值；（Ⅲ）直接写出a 的一个值，使()f x a ≤恒成立，并证明.已知函数2()e (1)x f x x ax =++.（Ⅰ）若0a =，求()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在(1,1)-上恰有一个极小值点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若对于任意(0]2x π∈，，2()e (cos 1)x f x x x >+恒成立，求实数a 的取值范围.已知函数()2ln ln f x x x a =--，0a >.（Ⅰ）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处切线的斜率；（Ⅱ）求函数()f x 的极大值；（Ⅲ）设2()=e x g x a x -，当(1,e)a ∈时，求函数()g x 的零点个数,并说明理由.曲线lnA t t处的切线l交x轴于点M.=在点(,ln)y xt=时，求切线l的方程；（Ⅰ）当e（Ⅱ）O为坐标原点 ,记AMO∆的面积为S.求面积S以t为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.已知函数2a≠.=-∈R且0)f x x a x a()ln((Ⅰ) 当1a=时，求曲线()y f xf,处的切线方程；=在点(1(1))a（Ⅱ）若()0f x≥恒成立，求的取值范围.已知函数2()1f x x =-，函数x a x g ln )(=，其中2a ≤．（Ⅰ）如果曲线()y f x =与()y g x =在1x =处具有公共的切线，求a 的值及切线方程；（Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求a 的取值范围．已知函数21()e xax x f x -+-=． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(01)-，处的切线方程； （Ⅱ）当0a >时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）求证：当a ≤1-时，()f x ≥e -．已知函数()(1)ln ()a f x a x a x=--∈R . (Ⅰ) 若1,a =-求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(Ⅱ) 曲线()y f x =在直线2y x =-的上方，求实数a 的取值范围.2021-2022学年度第一学期北京市各区期末解答题分类之导数答案与解析1、解：（Ⅰ）因为()e sin 2x f x a x x =-+，所以(0)f a =且'()e cos 2x f x a x =-+，所以'(0)121f a a =-+=+，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y a a x -=+-，即(1)y a x a =++.（Ⅱ）当0a ≥，[0,1]x ∈时,因为'()e cos 202cos 0x f x a x x =-++->≥,所以()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在[0,1]上的最小值为(0)f a =.（Ⅲ）取1a =-，以下证明()e sin 21x f x x x =--+-≤恒成立.令()e sin 21x g x x x =+--，即证()0g x ≥恒成立.（1）当(,0]x ∈-∞时，有e 1x ≤, cos [1,1]x ∈-，所以'()e cos 20x g x x =+-≤，所以()g x 在(,0]-∞上单调递减，所以()(0)0g x g =≥在(,0]-∞上恒成立.（2）当(0,)x ∈+∞时，令()'()e cos 2x G x g x x ==+-.因为e 1x >, sin (0,1]x ∈，所以'()e sin 0x G x x =->，所以()'()e cos 2x G x g x x ==+-在(0,)+∞上单调递增，所以'()'(0)0g x g >=在(0,)+∞上恒成立.所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g x g =≥在(0,)+∞上恒成立.综上，()0g x ≥恒成立，所以()f x a ≤恒成立.2、解：（Ⅰ）当0a =时，2()e (1)x f x x =+，2()e (21)x f x x x '=++，所以(0)1f '=，(0)1f =，所以切线方程为1y x =+.（Ⅱ）由2()e (1)x f x x ax =++，得2()e [(2)1]x f x x a x a '=++++.令()0f x '=，得11x a =--，21x =-.①若12x x ≤，则0a ≥，()0f x '≥在(1,1)-上恒成立，因此，()f x 在(1,1)-上单调递增，无极值，不符合题意.②若12x x >，则0a <，()f x '与()f x 的情况如下：因此，()f x 在(,1)-∞-，(1,)a --+∞上单调递增，在(1,1)a ---上单调递减.若()f x 在(1,1)-上有且只有一个极小值点，则需111a -<--<，所以20a -<<.综上，a 的取值范围是(2,0)-.（Ⅲ）因为e 0x >，所以22()e (1)e (cos 1)x x f x x ax x x =++>+，即22cos x ax x x +>.又因为0x >，所以22cos x ax x x +>，即cos a x x x >-.令()cos g x x x x =-，所以()cos sin 1(cos 1)sin g x x x x x x x '=--=--. 因为(0,]2x π∈， 所以cos 10x -<， 又sin 0x x >， 所以()0g x '<，所以()g x 为(0,]2π上减函数， 所以()(0)0g x g <=，所以0a ≥ 综上，实数a 的取值范围为[0,)+∞.3、解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞2()x f x x -'=， (1)1f '=，所以曲线()y f x =在()1,(1)f 处切线的斜率为1.（Ⅱ）()2ln ln f x x x a =--，则2()x f x x-'=. 令()0f x '=得2x =.当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以函数()f x 的极大值为(2)f =24ln e a . （Ⅲ）()e 2(1e)x g x a x a '=-<<，当(],0x ∈-∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在(],0x ∈-∞时单调递增.而(0)0g a =>，(1)10eag -=-<. 所以方程()0g x =在()1,0x ∈-时有且只有一个根，即方程()0g x =在(],0x ∈-∞时有且只有一个根.当0x >时，讨论函数()g x 的零点个数即讨论方程2e x a x =根的个数，即研究方程ln 2ln a x x += (1e >0)a x <<,的根的个数，即研究函数()f x =2ln ln x x a--(1e >0)a x <<,的零点个数.当1e a <<时，22e e a >，2244(2)lnln 0e e f a =<<，则函数()f x 在(0,)+∞上无零点. 综上,当(1,e)a ∈时，函数()g x 有且仅有一个零点. 4、解：（Ⅰ）设函数()ln f x x =，()f x 的定义域为()0+∞，.因为1'()f x x=，所以1'(e)e f =.当e t =时，ln 1t =，即(e,1)A . 所以切线l 的方程为11(e)ey x -=-， 即1ey x =. …………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线方程为1ln ()y t x t t-=-，即1ln 1y x t t=+-.令0y =，得ln x t t t =-，所以(ln 0)M t t t -，.11()ln ln =(ln )ln 22S t t t t t t t t t =-⋅-. ()S t 的定义域为(0,1)(1,e)(e,)+∞.设()(ln )ln (0)t t t t t t ϕ=->， 则 2'()ln ln 1t t t ϕ=+-.令'()0t ϕ>，解得ln t <ln t >即 0t <<，或t >.当01t <<，或e t >时，1()()2S t t ϕ=，''1()()2S t t ϕ=.'()0S t >，得 0t <<，或e t >.当1e t <<时，1()()2S t t ϕ=-，''1()()2S t t ϕ=-.'()0S t >，得 1t <<.所以函数()S t 的单调增区间为，，(e,)+∞.5、解：（Ⅰ）当1a =时，因为2()ln f x x x =-，所以1()2f x x x'=-，(1)1f '=. 又因为(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1(1))f ,处的切线方程为11y x -=-.即0x y -=. （Ⅱ）因为2()ln (f x x a x a =-∈R 且0)a ≠，所以22()2(0).a x af x x x x x-'=-=∈+∞，，当0a <时，()0f x '>，所以()f x 在(0)+∞，上单调递增.取1e ax =，则112(e )(e )10aa f =-<，不符合题意.当0a >时，令()=0f x '，解得x =x =（舍）.当(0x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在区间(0上单调递减.当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间)+∞上单调递增.所以()f x 在(0)+∞，上的最小值为(1ln )222a a af a =--.若()0f x ≥恒成立，只需0f ≥，解得02e a <≤. 综上可知，a 的取值范围是(02e],.6、解：（Ⅰ）()2,()(0)af x x g'x x x'==> 由题意，公共切线的斜率(1)(1)k f g ''==，即2a =又因为(1)0f =，所以切线方程为220x y --=．（Ⅱ）设函数2()()()1ln (0)h x f x g x x a x x =-=-->．“曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()h x 有且仅有一个零点”．22'()2a x a h x x x x -=-=① 当0a ≤时，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增． 又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意．② 当2a =时，令 ，解得1x =()h x '与()h x 的变化情况如下：所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意．③ 当02a <<时， 令()0h x '=，解得x = ()h x '与()h x 的变化情况如下：所以()h x 在上单调递减，在+∞）上单调递增， 所以当x =min ()h x h = ()0h x '=因为(1)0h =1<，且()h x在+∞）上单调递增，所以(1)0h h <= 又因为存在1e(0,1)a-∈ ，使得1212(e)e 1ln(e)e0a aa ah a ----=--=>所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0,1x ，与题意不符综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，a 的范围是{|0a a ≤或2}a =.7、解：（Ⅰ）2222(1)e (1)(e )(21)2()e )e x x x x ax x ax x ax a x f x ''-+-⋅--+-⋅-++'==（(1)(2)e xax x --=因为(0)2f '=，(0)1f =-所以曲线()y f x =在点01-（，）处的切线方程为21y x =-. ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：(1)(2)()xax x f x e --'=，（x ∈R ）因为0a >，令()0f x '=，所以1x a=或2x =， 当102a <<时，12a>， 则()()x f x f x '，，的变化情况如下表：当12a =时，12a=，则 ()0f x '≥恒成立，()f x 在R 内恒增； 当12a >时，102a<<，则 ()()x f x f x '，，的变化情况如下表：综上，当102a <<时，单调递增区间是(2)-∞，和1()a +∞，，单调递减区间是1(2)a，； 当12a =时，单调递增区间是∞∞（-，+)，无单调递减区间； 当12a >时，单调递增区间是1()a -∞，和 (2)+∞，，单调递减是1(2)a，. （Ⅲ）当1a -≤时，令()0f x '=，得1x a =或2x =，易知1[10)a∈-， 则()()x f x f x '，，的变化情况如下表：所以当1x a =时，()f x 取得极小值1()f a111e e a a-=-=-由于1a -≤，则1[10)a ∈-，，1(01]a-∈，，1e (1e]a -∈，，1e [e 1)a --∈-， 所以由极小值定义及()f x 的单调性可知：当2x <时，()e f x -≥. 接下来，研究()f x 在2x ≥的变化情况.因为e 0x >恒成立，设2()1(21)g x ax x x a =-+--，≥，≤ 对称轴102x a=<，140a ∆=->，(2)140g a =-> 所以由二次函数的性质可知：当2x ≥时，()(2)0g x g >>恒成立 所以()0f x >在2x ≥时恒成立.综上所述：当1a -≤时，()e f x -≥. 8、解：（I ）1a =-时，2112()2ln ,'()f x x f x x x x=-+=+. '(1)3,(1)1,f f ==-所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为13(1),y x +=-即340x y --=.（II ）只需求满足0,x ∀>(1)ln 2aa x x x-->-恒成立的实数a 的取值范围. 设()(1)ln 2,ag x a x x x=--+-其中0x >. 2222(1)(1)(1)()'()1.a a x a x a x x a g x x x x x ----+-=--+==①若0,a ≤'()0,()g x g x >在(0,)+∞上单调递增. 因为(1)10,g a =-<所以0a ≤不满足条件. ②若0,a >令'()0,.g x x a ==当(0,)x a ∈时，'()0,()g x g x <在(0,)+∞上单调递减， 当(,)x a ∈+∞时，'()0,()g x g x >在(0,)+∞上单调递增， 所以min ()()1(1)ln 2(1)(1ln ).g x g a a a a a a ==--+-=-- 令min ()(1)(1ln )0g x a a =-->，解得1 e.a <<综上，实数a 的取值范围为(1,e).。
北京市西城区2022届高三上学期期末考试数学(文)试题 扫描版含答案
北京市西城区2021 — 2022学年度第一学期期末 高三数学（文科）参考答案及评分标准 2022.1 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．A 2．B 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．0 10．2213y x -= 11．4 12．113 132 14．1[,)4-+∞；1[,1]2 注：第12，14题第一空2分，其次空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由于2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ ππ1cos2(cos2cos sin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分] 332cos212x x =-+ [ 5分] π3sin(2)13x =-+， [ 7分] 所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [ 8分] （Ⅱ）由于 π2x ≤≤0，所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分] 所以 ππ3sin(2)sin()33x --=≥， [12分] 所以 1()2f x -≥． [13分] 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由于 26a 是1a 和3a 的等差中项， 所以 2132(6)a a a +=+． [ 2分] 由于数列{}n a 是公比为13的等比数列， 所以 1112(6)39a a a +=+， [ 4分] 解得 127a =． [ 6分]所以 1411()3n n n a a q --=⋅=． [ 8分]（Ⅱ）令1n a ≥，即41()13n -≥，得4n ≤， [10分]故正项数列{}n a 的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1． [11分] 所以 当3n =，或4n =时，n T 取得最大值， [12分]n T 的最大值为 34123729T T a a a ==⋅⋅=． [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中B 类同学所占比例为(0.020.04)1060%+⨯=， [ 2分]所以A 类同学所占比例为40%． [ 3分] 由于全市高中同学共20万人，所以在该项测评中被评为A 类同学的人数约为8万人． [ 4分] （Ⅱ）由表1得，在5人（记为,,,,a b c d e ）中，B 类同学有2人（不妨设为,b d ）．将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种． [ 6分]依次为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),ab cde ac bde ad bce ae bcd bc ade bd ace be acd cd abe(,),(,)ce abd de abc ． [ 8分] 所以“甲、乙两组各有一名B 类同学”的概率为63105=． [10分]（Ⅲ）12k k <． [13分]18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ） 由于 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 2分]在三棱柱111ABC A B C -中，由于 1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形，所以 11A C AC ⊥． [ 3分] 所以 1A C ⊥平面1ABC ． [ 5分] （Ⅱ）在 三棱柱111ABC A B C -中，由于 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ， [ 6分] 所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 8分] 由于 平面1AA EF 平面11BB C C EF =， 所以 1//A A EF ． [10分] （Ⅲ）记三棱锥1B ABF -的体积为2V ，三棱柱11ABF A B E -的体积为3V . 由于三棱锥1B ABF -与三棱柱11ABF A B E -同底等高， 所以 2313V V =， [11分] 所以 1233213V V V V =-=. 由于 116V V =， 所以 3131624V V =⨯=. [12分] 由于 三棱柱11ABF A B E -与三棱柱111ABC A B C -等高， 所以 △ABF 与△ABC 的面积之比为14， [13分] 所以 14BF BC =． [14分] 19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =． [ 2分] 所以椭圆C 的方程为2214x y +=． [ 3分] 设椭圆C 的半焦距为c ，则c = [ 4分] 所以椭圆C的离心率c e a ==．[ 5分] （Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ． [ 6分]若PAQB 是平行四边形，则 PA PB PQ +=， [ 8分] 所以 00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+，整理得 002, 3x t y t =-=-． [10分] 将上式代入 220044x y +=， 得 22(2)4(3)4t t -+-=， [11分] 整理得 2528360t t -+=，解得 185t =，或2t =． [13分] 此时 182(,)55P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形，所以存在 182(,)55P ，或(2,2)P 满足题意． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数2()ln 2f x x x x =-的定义域是(0,)+∞，导函数为()2ln 2f x x x x '=+-． [ 1分] 所以(1)1f '=-， 又(1)2f =-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =--． [ 3分] （Ⅱ）由已知(2)(1)4ln 22f f -=-． [ 4分]所以只需证明方程 2ln 24ln22x x x +-=-在区间(1,2)有唯一解．即方程 2ln 4ln20x x x +-=在区间(1,2)有唯一解． [ 5分] 设函数 ()2ln 4ln 2g x x x x =+-， [ 6分] 则 ()2ln 3g x x '=+．当 (1,2)x ∈时，()0g x '>，故()g x 在区间(1,2)单调递增． [ 7分] 又 (1)14ln 20g =-<，(2)20g =>，所以 存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0g x =． [ 8分] 综上，存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为 (2)(1)f f -． [ 9分] （Ⅲ）(1.01) 2.01f >-．证明如下： [10分] 首先证明：当1x >时，()1f x x >--． 设 2()()(1)ln 1h x f x x x x x =---=-+， [11分] 则 ()2ln 1h x x x x '=+-． 当 1x >时，10x ->，2ln 0x x >，所以 ()0h x '>，故()h x 在(1,)+∞单调递增， [12分]所以 1x >时，有()(1)0h x h >=， 即当 1x >时，有()1f x x >--． 所以 (1.01) 1.011 2.01f >--=-． [13分]。
2021北京西城高三一模数学试卷(含答案)
2021北京西城高三一模数 学2021.4本试卷共6页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A ＝{x | x ≥1}，B ＝{－1，0，1，2}，则A ∩B ＝（A ）{2}（B ）{1，2}（C ）{0，1，2}（D ）{x | x ≥－1}（2）已知复数z 满足2z z i −=，则z 的虚部是（A ）－1 （B ）1（C ）－i（D ）i（3）在621()x x −的展开式中，常数项为 （A ）15（B ）－15（C ）30（D ）－30（4）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（A ）12 （B ）8（C ）16 （D ）8+（5）已知函数22()log f x x x=−，则不等式()0f x >的解集是 （A ）（0，1） （B ）（－∞，2） （C ）（2，＋∞）（D ）（0，2）（6）在△ABC 中，C ＝90º，AC ＝4，BC ＝3，点P 是4B 的中点，则CB CP ⋅=（A ）94（B ）4 （C ）92（D ）6（7）在△ABC 中，C ＝60°，a ＋2b ＝8，sin A ＝6 sin B ，则c ＝（A （B （C ） 6（D ）5（8）抛物线具有以下光学性质:从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图，从抛物线y 2＝4x 的焦点F 发出的两条光线a ,b 分别经抛物线上的A ,B 两点反射，已知两条入射光线与x 轴所成锐角均为60°，则两条反射光线a'和b'之间的距离为（A （B ）83（C （D （9）在无穷等差数列{a n }中，记n T ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－…＋(－1)n+1，a n （n ＝1,2,…），则“存在m ∈N*，使得m T <2m T +”是“{a n }为递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）若非空实数集X 中存在最大元素M 和最小元素m ，则记△（X ）＝M －m .下列命题中正确的是（A ）已知X ＝{－1，1}，Y ＝{0，b }，且△（X ）＝△（Y ），则b ＝2（B ）已知X ＝[a ，a ＋2]，Y ＝{y |y ＝x 2，x ∈X }，则存在实数a ，使得△（Y ）<1 （C ）已知X ＝（xf （x ）≥g （x ）x ∈[－1，1]}，若△（X ）＝2，则对任意X ∈[－1，1]，都有f （x ）≥g （x ）（D ）已知X=[a ，a ＋2]，Y ＝[b ,b ＋3]，则对任意的实数a ，总存在实数b ，使得△（X ∪Y ）≤3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2021-2022年北京西城区高三期末数学(理)试题答案
北京市西城区2021— 2022学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4 10．125511． 12．24 13．1 214．(1,1) π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以 2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()2f α=22α=，即 cos 22α=， ……………… 4分所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-， 所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- (8)分1sin 222x x =+ πsin(2)3x =+， (10)分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． (12)分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a =，共有10种可能. (5)分由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同， 所以当2,3,4,,9a =时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能． (6)分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A==． (7)分（Ⅲ）解：当2a=时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，..................9分则这两名同学成绩之差的绝对值X的所有取值为0,1,2,3,4. (10)分因此2(0)9P X==，2(1)9P X==，1(2)3P X==，1(3)9P X==，1(4)9P X==. (11)分所以随机变量X的分布列为： (12)分所以X的数学期望221115()01234993993E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． (13)分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC BD⊥. (1)分因为平面BDEF⊥平面ABCD，且四边形BDEF是矩形，所以ED⊥平面ABCD， (2)分又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. ……………… 3分因为 EDBD D =，所以 AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分（Ⅱ）解：设ACBD O =，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点， 所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ， 由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……………… 5分因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，BF =所以 (0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F ，C ，13()222H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF 的法向量(0,AC =. …………7分 设直线DH 与平面BDEF 所成角为α， 由 33()22DH =， 得 32sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⨯⋅=<>===，所以直线DH 与平面BDEF . (9)分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13()22BH =-，(2,0,0)DB =. 设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n (10)分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n . ………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，则00(01(3)1cos ,232ED ED ED⋅⨯+⨯+⨯-<>===-⨯n n n . (13)分由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下： (5)分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分（Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2ex ax x -=， 显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分当0x ≠时，方程可化简为e x ax -=.设函数()ex aF x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程ex ax -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. ……………… 5分（Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. (8)分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-. (9)分同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =- (10)分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-， 所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. (11)分因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==，所以5OD ≥42(,)55D --时等号成立． ………………13分由3125y k k =-=-，得15k ±=，验证知符合题意.所以当k =OD有最小值. ………………14分20．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a ，12q， 得14a ，22a ，31a ，且当3n时，01na . (1)分 所以14b ，22b ，31b ，且当3n 时，[]0n n b a . (2)分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ (3)分（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. (4)分因为 []nn b a ，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥， 所以 2012213q<<，即 120122()13q <<. ……………… 8分（Ⅲ）证明：（充分性）因为 1a N ，q N ，所以 11nn a a q N ，所以 []n n n b a a 对一切正整数n 都成立.因为 12n n S a a a ，12n n T b b b ，所以 nn S T . ……………… 9分（必要性）因为对于任意的n N ，nn S T ， 当1n =时，由1111,a S b T ，得11a b ；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =. 由 nb Z ，0n a ，得对一切正整数n 都有na N ， (10)分所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分假设 qN ，令pqr，其中,,1p r r N ，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数， 所以必然存在一个整数()k kN ，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r +整除.又因为111211k k k k a p a a q r++++==，且p 与r 的最大公约数为1.所以2ka Z ，这与n a N （n N ）矛盾.所以q *∈N . 因此1a N ，q *∈N . (13)分。
2021-2022年高三上学期期末考试数学(文)试题 含答案(III)
2021-2022年高三上学期期末考试数学（文）试题 含答案(III)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分 注意事项：1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。
一、选择题1．已知（1+i ）•z=﹣i ，那么复数对应的点位于复平面内的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、A a x a x xA ∉⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=1,0若已知集合，则实数a 取值范围为（ ）A B [-1,1] C D (-1,1]3、抛物线的准线方程是 ( )A B C D4、若,使得-成立是假命题，则实数的取值范围是( )A B C D {3}5．已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A．B．C．D．16．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an ，则a14+a15+a16+a17的值为（）A．55 B．52 C．39 D．268．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=1，向量=（a，b），=（1，2），若∥，则角A的大小为（）A． B． C． D．9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A B C D10．等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[，]11 ．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，] B．[，] C．[，] D．[，]12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）第Ⅱ卷二、填空题.（20分）13．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___14．已知直线L 经过点P （﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L 的方程是 ．15．若直线ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x ＜2）的对称中心，则+的最小值为 ．16．定义：如果函数y=f （x ）在定义域内给定区间[a ，b]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足，则称函数y=f （x ）是[a ，b]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．如y=x 2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f （x ）=x 3+mx 是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题17．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，，∠BAC=θ，a=4．（Ⅰ）求b •c 的最大值及θ的取值范围； （Ⅱ）求函数的最值．18．（12分）如图，在Rt △AOB 中，，斜边AB=4，D 是AB 中点，现将Rt △AOB 以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值；19.（12分）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(1)求n和频率分布直方图中x，y的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；20．（12分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B 为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；的取值范围；（2）求点M的纵坐标yM（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（2）求证：ln（n+1）＞（n∈N*）．（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．四、选做题（10分）请考生从给出的2道题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
2021年北京市西城区高三期末数学试题及答案
2021年北京市西城区高三期末数学试卷2021.1 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{|13}A x x =-<<，{|04}B x x =<≤，则A B =A ．(0,3)B ．(1,4)-C ．(0,4]D ．(1,4]-2. 在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1,1)-，则z z ⋅=A ．2B ．2i -C D ．2i3. 已知()f x 为奇函数，其局部图象如图所示，那么A ．(2)2f =B ．(2)2f =-C ．(2)2f >-D ．(2)2f <-4. 已知(4,8)A ，(2,4)B ，(3,)C y 三点共线，则y 的值为 A ．4B ．5C ．6D ．75. 已知双曲线22221x y a b -=的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为A．y =B ．2y x =±C．3y x =±D ．12y x =±6. 已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为 A ．0B ．1C ．2D ．37. 已知函数()sin 2,[,]f x x x a b =∈，则“π2b a -≥”是“()f x 的值域为[1,1]-”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log (1)SC W N =+，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ；W 为信道带宽，单位为Hz ；SN为信噪比．香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用．当99SN=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；当9999SN=，3000Hz W =时，最大数据传输速率记为2C ，则21C C 为A ．1B ．52C ．154D ．39. 设函数()f x 和()g x 的定义域为D ，若存在非零实数c D ∈，使得()()0f c g c +=，则称函数()f x 和()g x 在D 上具有性质P ． 现有三组函数：①()f x x =，2()g x x = ②()2x f x -=，()e x g x =- ③2()f x x =-，()2x g x =其中具有性质P 的是A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③10. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为111,BD B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是 A.点P 可以是棱1BB 的中点B.线段MP 的最大值为32C.点P 的轨迹是正方形D.点P 轨迹的长度为25+第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2021北京西城高三数学二模试题答案
北京市西城区2021年5月高三数学参考答案 第1页（共8页）西 城 区 高 三 模 拟 测 试数学参考答案 2021.5一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）D （ 3 ）B （ 4 ）D （ 5 ）A （ 6 ）C （ 7 ）B（ 8 ）A（ 9 ）B（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）（12）6-（13）24x y =，24x y =-,2x y =（以上答案均可）（14）9,43 （15）①④注：第（14）题第一空 3 分,第二空 2 分.第（15）题全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3 分.三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）取AB 的中点F ，连接CF ，所以AF CD =，又因为//AF CD ，所以四边形AFCD 是平行四边形. 因为AB AD ⊥，AD CD =，所以四边形AFCD 是正方形， 则AB CF ⊥, 2CF AD ==，所以AC BC ==， 得到222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥. ……………1分 因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA BC ⊥，……………2分因为PAAC A =，所以BC ⊥平面PAC . ……………3分 因为BC ⊂平面PBC ， ……………4分 平面PBC ⊥平面PAC . ……………5分（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥，PA AB ⊥，则,,PA AD AB 两两垂直，如图建立空间直角坐标系A xyz-. ……………6分则(0,0,0)A，(0,0,2)P，(0,4,0)B，(2,2,0)C，(2,0,0)D，(0,2,1)E，所以(0,2,0)DC =，(2,0,1)CE=-.设平面CDE的法向量为(,,)x y z=n，所以0,0,DCCE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn所以20,20,yx z=⎧⎨-+=⎩即0,2,yz x=⎧⎨=⎩……………8分令1x=，则2z=，所以平面CDE的法向量为(1,0,2)=n，……………9分又因为平面ACD的法向量(0,0,1)=m，……………10分所以cos,⋅〈〉===⋅m nm nm n，……………12分由已知，二面角E CD A--为锐角，所以二面角E CD A--. ……………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）1()4sin(cos)2222x x xf x mωωω=+……………2分22sin cos222x x xmωωω=++sin cos)x x mωω=-+……………4分sin x x mωω=π2sin()3x mω=-. ……………5分选择条件①②：由条件①得，2ππ||Tω==，又因为0ω>，所以 2ω=. ……………6分由②知，(2)(2)0m m++-+=，所以m=. ……………7分则()f xπ2sin(2)3x=-，所以π2πππ()2sin()2sin3333f=-==……………8分北京市西城区2021年5月高三数学参考答案第2页（共8页）北京市西城区2021年5月高三数学参考答案 第3页（共8页）（Ⅱ）令πππ2π22π ()232k x k k -+-+∈Z ≤≤，……………10分所以π5πππ ()1212k x k k -++∈Z ≤≤， 所以函数()f x 的单调增区间为π5π[π,π] ()1212k k k -++∈Z . ……………11分 因为函数()f x 在[0,]a 上单调递增，且π5π0[,]1212∈-，此时0k =， 所以5π12a ≤，故实数a 的最大值为5π12. ……………13分选择条件①③：由条件①得，2ππ||T ω==，又因为0ω>，所以2ω=.……………6分由③知，π(0)2sin()23f m =-=，所以2m =.……………7分则()fx π2sin(2)23x =-.所以ππ()2sin 33f ==.……………8分 （Ⅱ）令πππ2π22π ()232k x k k -+-+∈Z ≤≤，……………10分所以π5πππ ()1212k x k k -++∈Z ≤≤， 所以函数()f x 的单调增区间为π5π[π,π] ()1212k k k -++∈Z ，……………12分 因为函数()f x 在[0,]a 上单调递增，且π5π0[,]1212∈-，此时0k =， 所以5π12a ≤，故实数a 的最大值为5π12. ……………13分说明：不可以选择条件②③：由②知，(2)(2)0m m ++-+=，所以m =；由③知，π(0)2sin()23f m =-=，所以2m =；矛盾.所以函数()f x 不能同时满足条件②和③.（18）（共14分）解:（Ⅰ）从表格数据可知，101530100a b ++++=，则45a b +=，所以样本中教师使用教育软件C 或E 的人数为45人，…………2分北京市西城区2021年5月高三数学参考答案 第4页（共8页）故估计该校教师中使用教育软件C 或E 的人数为45300135100⨯=人. ……4分 （Ⅱ）设事件F 为“从该区教师中随机抽取3人，至少有2人使用教育软件D ”．由题意,样本中的100名教师使用软件D 的频率为30310010=. 用频率估计概率，从该区教师中随机抽取一名教师，估计该教师使用教育 软件D 的概率为310. ……………5分记被抽取的3人中使用软件D 的人数为X ，则3(3,)10XB . ………7分 所以22333189(2)()(1)10101000P X C ==-=，……………8分 33033327(3)()(1)10101000P X C ==-=， ……………9分 所以21627()(2)(3)1000125P F P X P X ==+===. ……………11分 （Ⅲ）213P P P <<.……………14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意，得3a =.又c e a ==c = ……………3分又因为222a b c=+，所以b =故椭圆C 的方程为22193x y +=.……………5分 （Ⅱ）设0000(,)(3,0)x y x y P ≠±≠，则2200193x y +=.……………6分 所以直线AP 的方程为00(3)3y y x x =++， ……………7分 令4x =，得点E 的坐标为007(4,)3y x +. ……………8分因为直线BE 的斜率为007343y x +-0073y x =+，所以直线l 的方程为037x y x y +=-， ……………9分北京市西城区2021年5月高三数学参考答案 第5页（共8页）又因为直线PB 的方程为00(3)3y y x x =--. ……………10分联立直线l 和直线PB 的方程，消去y 得0037x x y +-00(3)3yx x =--， 所以220000007937(3)3y x y x y x x +-=--， ……………11分因为2200193x y +=，所以220093x y -=-，所以200000437(3)3y y x y x x =--，解得点N 的横坐标214N x =. ……………13分所以1||||||342.121||7||||24B BMOB NMON N OM x S x S x OM x ⋅====⋅△△……………15分即BMO △与NMO △的面积之比为4:7.（20）（共15分）解：（Ⅰ）1()f x b x'=+. ……………1分 由已知(1)10f b '=+=，(1)1f b c =+=， ……………3分 解得1b =-，2c =.经检验，满足题意. ……………4分所以1b =-，2c =.（Ⅱ）()ln 2f x x x =-+,2()2g x kx =+.2()()ln f x g x x x kx -=--.依题意2ln 0x x kx -->对任意的[1,)x ∈+∞恒成立. ……………5分所以2ln x xk x -<对任意的[1,)x ∈+∞恒成立. 令2ln ()x xF x x -=，[1,)x ∈+∞， 224431(1)2(ln )2ln 2ln 1()x x x x x x x x x x x F x x x x ----+-+'===， ………6分 令()2ln 1h x x x =-+，1x ≥，所以22()1x h x x x-'=-=，令()0h x '=，所以2x =. ……………7分因为当(1,2)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；北京市西城区2021年5月高三数学参考答案 第6页（共8页）当(2,)x ∈+∞ 时，()0h x '>，()h x 单调递增.当2x =时，函数()h x 的最小值为32ln2-， 且32ln20->. ………8分所以()0h x >，即()0F x '>.()F x 在[1,)+∞上单调递增， 所以min ()(1)1F x F ==-，所以1k <-，故实数k 的取值范围为(,1)-∞-.……………9分（Ⅲ）假设存在与曲线()y f x =和曲线()y g x =都相切的直线l ，设切点坐标分别为111(,ln 2)x x x -+，222(,2)x x +. 因为111()1f x x '=-，所以l 的方程为111(1)ln 1y x x x =-++. …………10分因为22()2g x x '=，所以l 的方程为22222y x x x =-+. ……………11分所以21212112ln 12x x x x ⎧-=⎪⎨⎪+=-+⎩，消去2x 得1211113ln 0244x x x +--=.……①.令2113()ln 244t x x x x=+--，0x >， 所以2323311121(1)(21)()2222x x x x t x x x x x x+-+-'=-+==， 所以，在区间1(0,)2上，()0t x '<，()t x 是减函数；在区间1(,)2+∞上，()0t x '>，()t x 是增函数.……………13分 所以，当12x =时，函数()t x 的最小值为3ln 204--<.又因为2113(e)102e 44et =+-->，4222221e e 37e e 115e 11()2042442444et =-+-->--=->， ………14分所以函数()t x 在(0,)+∞上有两个零点，即方程①有两个不等的正实根， 由方程21112x x -=可得2x 有两个不同的值， 所以21212112ln 12x x x x ⎧-=⎪⎨⎪+=-+⎩，有两组不同的解，直线l 有两条，…………15分所以存在两条与曲线()y f x =和()y g x =都相切的直线.北京市西城区2021年5月高三数学参考答案 第7页（共8页）（21）（共15分）解：（Ⅰ）4A 的子集中的自邻集有：{1,2,3,4}，{1,2,3}，{2,3,4}，{1,2}，{2,3}，{3,4}. ……………4分（Ⅱ）对于集合n A 的含有5个元素的自邻集12345{,,,,}B x x x x x =，不妨设12345x x x x x <<<<.因为对于任意i x B ∈，都有1i x B -∈或1i x B +∈，1,2,3,4,5i =. 所以211x x =+，451x x =-，321x x =+或341x x =-.……………6分对于集合54321{1,1,1,1,1}C n x n x n x n x n x =+-+-+-+-+-， 因为123451x x x x x n <<<<≤≤，所以11i n x n +-≤≤，1,2,3,4,5i =. 且5432111111n x n x n x n x n x +-<+-<+-<+-<+-. 所以n C A ⊆.……………7分因为121x x +=，541x x -=，321x x =+或341x x =-. 所以211(1)1n x n x +-=+--，451(1)1n x n x +-=+-+，341(1)1n x n x +-=+-+或321(1)1n x n x +-=+--.所以，对于任意1i n x C +-∈，都有(1)1i n x C +-+∈或(1)1i n x C +--∈，1,2,3,4,5i =.所以集合C 也是自邻集.……………8分因为当n 为偶数时，331x n x ≠+-， 所以B C ≠.所以，对于集合n A 任意一个含有5个元素的自邻集，在上述对应方法下会 存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应. 所以，n A 的含有5个元素的自邻集的个数为偶数.……………9分（Ⅲ）记自邻集中最大元素为k 的自邻集的个数为k b ，2,3,4,,k n =.当4n ≥时，1231n n a b b b --=+++，231n n n a b b b b -=++++.显然1n n n a a b -=+. ……………11分下面证明1n n b a -≤.①自邻集中含2n -，1n -，n 这三个元素.北京市西城区2021年5月高三数学参考答案 第8页（共8页）记去掉这个自邻集中的元素n 后的集合为D ，因为2,1n n D --∈，所以D 仍然是自邻集，且集合D 中的最大元素是1n -，所以含2,1,n n n --这三个 元素的自邻集的个数为1n b -.……………12分②自邻集中含有1n -，n 这两个元素，不含2n -，且不只有1n -，n 两个 元素.记自邻集中除n ，1n -之外的最大元素为m ，则23m n -≤≤. 每个自邻集去掉1n -，n 这两个元素后，仍然为自邻集， 此时的自邻集的最大元素为m ，可将此时的自邻集分为4n -类： 含最大数为2的集合个数为2b . 含最大数为3的集合个数为3b .含最大数为3n -的集合个数为3n b -. 则这样的集合共有233n b b b -+++个.……………13分③自邻集只含1n -，n 两个元素，这样的自邻集只有1个. …………14分 综上可得23311n n n b b b b b --=+++++ 23312n n n b b b b b ---+++++≤1n a -=. 所以1n n b a -≤，所以当4n ≥时，12n n a a -≤.……………15分。
2021年新人教版西城高三期末(数学文)有答案
北京市西城区2010 — 2021学年度第一学期期末试卷高三数学(文科) 2011.1第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{1}A x x =≥-，{3}B x x =<，那么集合A B =(A){13}x x -≤< (B){13}x x -<< (C){1}x x <-(D){3}x x >2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是 (A)lg y x =(B)cos y x =(C)||y x =(D)sin y x =3. 若a b >，则下列不等式正确的是 (A)11a b< (B)33a b >(C)22a b >(D)a b >4. 命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是 (A)若1a b +≤，则a b > (B)若1a b +<，则a b > (C)若1a b +≤，则a b ≤(D)若1a b +<，则a b <5. 设{}n a 是等差数列，若24a =，57a =，则数列{}n a 的前10项和为 (A)12(B)60(C)75(D)1206. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，那么输入实数x 的取值范围是 (A)(,2]-∞- (B)[2,1]-- (C)[1,2]- (D)[2,)+∞开始 输出 结束是否输入x[2,2]x ∈-()2x f x =()f x ()2f x =7． 如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将四边形ABCD沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平 面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是 (A)A C BD '⊥ (B)90BA C '∠=(C)A DC '∆是正三角形(D)四面体A BCD '-的体积为138. 设函数121()log ()2xf x x =-，2121()log ()2xf x x =-的零点分别为12,x x ，则(A)1201x x << (B)121x x = (C)1212x x << (D)122x x ≥第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i 为虚数单位，则22(1i)=+______. 10. 已知1==a b ，12⋅=a b ，则平面向量a 与b 夹角的大小为______. 11.若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为______.12.在ABC ∆中，若3,3a b ==，3B 2π∠=，则c =____. 13. 已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.14.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题:①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是____________.(写出所有正确命题的序号)三、解答题:本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)已知函数2()22sin f x x x =-.(Ⅰ)求()6f π的值；(Ⅱ)若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.16.(本小题满分13分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，90BAC ∠=，D 为BC 中点.(Ⅰ)求证:1//A B 平面1ADC ； (Ⅱ)求证:11C A B C ⊥.17.(本小题满分13分)对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:(Ⅰ)求出表中,M p 及图中a 的值；(Ⅱ)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；(Ⅲ)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率. 18.(本小题满分13分)ABCDC 1 A 1B 1已知椭圆2222:1x y C a b += (0>>b a )的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的2倍.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点,A B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积.19.(本小题满分14分)已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.20.(本小题满分14分)已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1.(Ⅰ) 若1n b n =+，求4a ；(Ⅱ) 若11(2)n n n b b b n +-=≥，且12,(0)b a b b ab ==≠. (ⅰ)当1,2a b ==时，求数列{}n b 的前3n 项和；(ⅱ)当1a =时，求证:数列}{n a 中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.北京市西城区2010 — 2021学年度第一学期期末高三数学参考答案及评分标准(文科) 2011.1一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ADBCCBBA二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i - 10. 60 11. 4 12.3 13. (2,0)±，30x y ±= 14. ①③④注:13题第一问2分，第二问3分；14题①③④选对其中两个命题得2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题:本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)()6f π=23sin2sin 36ππ- ………………2分 321241=-⨯=. ………………4分 (Ⅱ)()f x 3sin2cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-. ………………8分因为[,]62x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以 1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的最大值为1 ，最小值为2-. ………………13分16.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)连结1A C ，设1A C 交1AC 于点O ，连结OD . ………………2分因为11ACC A 为正方形，所以O 为1A C 中点， 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC ∆的中位线，所以1//A B OD . ………………4分因为OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC . ………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，11C A CA ⊥ ………………7分因为侧面11ABB A 是正方形，1AB AA ⊥， 且90BAC ∠=， 所以AB ⊥平面11ACC A . 又11//AB A B ，所以11A B ⊥平面11ACC A . ………………9分 又因为1C A ⊂平面11ACC A ，所以111A B C A ⊥. ………………10分 所以111C A A B C ⊥平面. ………………12分 又1B C ⊂平面11A B C ，所以11C A B C ⊥. ………………13分 17.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=， 所以40M =. ………………2分 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =. ………………3分40.1040m p M ===. ………………4分 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯.……………6分(Ⅱ)因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ………8分 (Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况， ………………10分而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， ………………12分 所以所求概率为11411515P =-=.(约为0.93) ………………13分18.(本小题满分13分)AB CDC 1A 1B 1O。
2021年北京西城区实验学校高三数学文联考试卷含解析
2021年北京西城区实验学校高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的零点为（）A.1,2B. ±1,-2C.1,-2D.±1, 2参考答案：C略2. 下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某只股票经历了l0个跌停（每次跌停，即下跌l0%）后需再经过10个涨停（每次涨停，即上涨10%）就可以回到原来的净值；③某校高三一级部和二级部的人数分别是m、n，本次期末考试两级部；数学平均分分别是a、b，则这两个级部的数学平均分为．④某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497﹣﹣512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组00l～016中随机抽到的学生编号是007．其中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，判断①正确；根据数值为a的股票经历10个跌停（下跌10%）后，再经过10个涨停（上涨10%），其数值为a×（1﹣）（1+）=a，判断②错误；算出这两个级部的数学平均分可判断③错误；求出分段间隔为16，又503=61×31+7，可得第一个抽取的号码为007，判断④正确．【解答】解：对于①，样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，反映了样本数据的分散程度的大小，故①正确；对于②，设股票数值为a，股票经历10个跌停（下跌10%）后，再经过10个涨停（上涨10%），其数值为a×（1﹣）（1+）=a．故②错误；对于③，∵高三一级部和二级部的总分分别为：ma和nb，总人数为m+n，∴这两个级部的数学平均分为，故③错误；对于④，∵用系统抽样方法，从全体800名学生中抽50名学生的分段间隔为=16，又从497～512这16个数中取得的学生编号是503，且503=16×31+7，∴在第1小组1～l6中随机抽到的学生编号是007号，故④正确．∴真命题的个数是2个，故选：C．3. 设（i是虚数单位），则= （）A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i参考答案：D4. 已知tanα=2（α∈（0，π）），则cos（+2α）=（）A．B．C．﹣D．﹣参考答案：D【考点】二倍角的余弦．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得cos（+2α）的值．【解答】解：∵tanα=2，α∈（0，π），则cos（+2α）=cos（+2α）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣=﹣═﹣=﹣，故选：D．5. 已知向量，满足⊥，|+|=t||，若+与﹣的夹角为°，则t的值为（）A．1 B．C．2 D．3参考答案：C【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，利用两个向量的夹角公式求得||，再利用勾股定理求得t的值．【解答】解：∵⊥，|+|=t||，∴，则cos=﹣==，化简可得22=（2+t2），∴ ||，再由，t＞0，解得t=2．故选：C．6. 已知集合，，则（）A. B.C. D.参考答案：B7. 要得到函数的图象，只要将函数的图象A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位参考答案：C8. 设命题，则为（）参考答案：B9. 对于定义域为的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛函数”．现给出如下函数：①；②；③ ；④.其中为“敛1函数”的有（）A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③参考答案：C10. 函数的图象大致为（）．A．B．C ．D ．参考答案：B令，，排除、．令，， 令，，排除．故选．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知n=x 3dx ，则（x ﹣）n的展开式中常数项为 ．参考答案：﹣ 4【考点】二项式系数的性质．【分析】利用定积分求出n 的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项． 【解答】解：n=n=x 3dx=x 4=×（24﹣0）=4，∴（x ﹣）4的展开式中通项公式为：T r+1=?x 4﹣r ?=（﹣1）r ??，令4﹣r=0，解得r=3； ∴常数项为（﹣1）3?=﹣4．故答案为：﹣4．12. 设变量x ，y 满足约束条件则目标函数z ＝3x －y 的最大值为_______________.参考答案：4略13. 在三角形ABC 中，若tan A tan B =tan A +tan B +1，则cos C 的值是___________;参考答案：在三角形ABC 中，由题设得：，即所以，,而，所以,所以，．14. 过圆x 2＋y 2＝1上一点P 作圆的切线与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，O 是坐标原点， 则的最小值是 ▲ ．参考答案：9略15. 正项无穷等比数列a n 的前n 项和为S n ，若，则其公比q 的取值范围是 ．参考答案：（0，1）分析：由题设条件知=1，所以0＜q ＜1．解答：解：∵正项无穷等比数列a n的前n项和为S n，且，∴==1，∴0＜q＜1．故答案为：（0，1）．参考答案：2047略17. 已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤X≤0）=0.4，则P（X＞2）= ．参考答案：0.1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；概率与统计．【分析】本题考查正态分布曲线的性质，随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），由此知曲线的对称轴为Y轴，可得P（0≤X≤2）=0.4，即可得出结论．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤X≤0）=0.4，∴P（0≤X≤2）=0.4∴P（X＞2）=0.5﹣0.4=0.1故答案为：0.1．【点评】本题考查正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，解题的关键是正确正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，由曲线的对称性求出概率．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021年北京西城区高三(4月)统一测试答案
北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第1页（共8页）西 城 区 高 三 统 一 测 试数学参考答案 2021.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）B （ 2 ）A （ 3 ）A （ 4 ）D （ 5 ）D （ 6 ）C （ 7 ）B（ 8 ）C（ 9 ）B（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）(0,1]（12）2y x =±，（13）12-，3 （14）π（答案不唯一，只要是(21)k +π即可）（15）②④注：第（12）和（13）题第一空 3 分,第二空 2 分.第（15）题全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3 分.三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，在正方形ABCD 中，OB OD =. 因为E 为1DD 的中点,所以1//OE BD . ………………3分 因为1BD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， 所以1//BD 平面ACE . ………………5分（Ⅱ）不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,2,1)E ， 所以(0,2,0)AD =，(2,2,0)AC =，(0,2,1)AE =. ………………8分设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =n ，北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第2页（共8页）所以0,0,AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以220,20,x y y z +=⎧⎨+=⎩ 即,2,x y z y =-⎧⎨=-⎩ ………………10分令1y =-，则1x =，2z =， 于是(1,1,2)=-n .………………11分设直线AD 与平面ACE 所成角为θ，则|sin |cos ,|||||AD AD AD θ⋅=〈〉==⋅n |n n . ………………13分所以直线AD 与平面ACE （17）（共13分）解：（Ⅰ）由于函数()f x 图象上两相邻对称轴之间的距离为2π， 所以()f x 的最小正周期22T π=⨯=π，22Tωπ==. ………………2分此时()sin(2)f x A x ϕ=+. 选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =. ………………3分因为()f x 图象的一个对称中心为(,0)125π， 所以2()12k k ϕ5π⨯+=π∈Z ，………………5分所以()6k k ϕ5π=π-∈Z ， 因为2ϕπ<，所以6ϕπ=，此时1k =. ………………7分所以()2sin(2)6f x x π=+.………………8分选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =.………………3分北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第3页（共8页）因为函数()f x 的图象过点(,1)65π-， 则()16f 5π=-，即2sin()13ϕ5π+=-，1sin()32ϕ5π+=-. 因为2ϕπ<，所以636ϕ7π5π13π<+<， ………………5分所以36ϕ5π11π+=，6ϕπ=. ………………7分所以()2sin(2)6f x x π=+.………………8分选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为(,0)125π， 所以2()12k k ϕ5π⨯+=π∈Z ，………………4分所以()6k k ϕ5π=π-∈Z . 因为2ϕπ<，所以6ϕπ=，此时1k =. ………………6分所以()sin(2)6f x A x π=+.因为函数()f x 的图象过点(,1)65π-， 所以()16f 5π=-，即πsin()136A 5π+=-，11πsin 16A =-， 所以2A =.………………7分 所以()2sin(2)6f x x π=+.………………8分（Ⅱ）因为[0,]x a ∈，所以ππ2[,2]666x a π+∈+，因为()f x 图象的对称轴只有一条落在区间[0,]a 上，所以ππ3π2262a +<≤，………………11分北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第4页（共8页）得63a π2π<≤， ………………13分所以a 的取值范围为[,)63π2π.（18）（共14分）解：（Ⅰ）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件A . 由图表可知，10颗恒星有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值. 所以51()102P A ==. ………………3分（Ⅱ）由图表知，有7颗恒星的“赤纬”数值大于50-，有3颗恒星的“赤纬”数值小于50-. 所以随机变量X 的所有可能取值为：1,2,3,4.………………4分1373410C C 71(1)C 21030P X ⋅====，2273410C C 3(2)C 10P X ⋅===， 3173410C C 1(3)C 2P X ⋅===， 4073410C C 1(4)C 6P X ⋅===. ………………8分 所以随机变量X 的分布列为：………………9分 所以131114()12343010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………11分 （Ⅲ）2212s s <.………………14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e (ln 1)x f x x =-，所以11()e (ln 1)e e (ln 1)x xx f x x x x x'=-+=+-. ………………1分 所以(1)e f =-，(1)0f '=.………………3分 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为e y =-.………………4分北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第5页（共8页）（Ⅱ）由()e (ln )x f x x a =-，得1()e (ln )x f x x a x'=+-， 令1()ln h x x a x =+-，则22111()x h x x x x-'=-=.………………6分当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在区间(0,1)上是减函数，在区间(1,)+∞上是增函数. 所以()h x 的最小值为(1)1h a =-.………………7分 当1a >时，(1)10h a =-<，(e )e 0a a h -=>，………………9分又()h x 在(1,)+∞单调递增，故存在0(1,e )a x ∈，使得0()0h x =，在区间0(1,)x 上()0h x <，在区间0(,)x +∞ 上()0h x >.………………10分所以，在区间0(1,)x 上()0f x '<，在区间0(,)x +∞上()0f x '>，所以，在区间0(1,)x 上()f x 单调递减，在区间0(,)x +∞上()f x 单调递增， 故函数()f x 存在极小值.………………11分（Ⅲ）对任意的实数[1,)x ∈+∞，()1f x -≥恒成立，等价于()f x 的最小值大于或等于1-.① 当1a ≤时，(1)10h a =-≥，由（Ⅱ）得()0h x ≥，所以()0f x '≥. 所以()f x 在[1,)+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为(1)e f a =-.由e 1a --≥，得1ea ≤，满足题意.………………13分② 当1a >时，由（Ⅱ）知，()f x 在0(1,)x 上单调递减， 所以在0(1,)x 上()(1)e <e f x f a =--≤，不满足题意.综上所述，实数a 的取值范围是1(,]e-∞.………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）依题意，21314a +=，解得2a =. ………………1分 因为 222431c ab =-=-=，即1c =，………………2分北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第6页（共8页）所以 (2,0)D -，(1,0)F ， 所以离心率12c e a ==，DEF △的面积1393224S =⨯⨯=. ………………5分 （Ⅱ）由已知，直线DE 的方程为112y x =+. 当(2,0)A -，3(1,)2B ，(1,)G t 时，直线AG 的方程为(2)3t y x =+，交y 轴于点2(0,)3t ；当3(1,)2A ，(2,0)B -，(2,)G t -时，直线AG 的方程为332(1)23t y x --=--，交y 轴于点3(0,)3t +. 若直线AG 经过y 轴上定点，则2333t t +=，即3t =，直线AG 交y 轴于点(0,2).………………7分下面证明存在实数3t =，使得直线AG 经过y 轴上定点(0,2).联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理，得 22(43)880k x kx ++-=， ………………8分设11(,)A x y ，22(,)B x y . 则122843k x x k -+=+，122843x x k -=+. ………………10分设点2(,3)G x ，所以直线AG 的方程：121233()y y x x x x --=--. ………11分令0x =，得2121211212333x y x x x yy x x x x -+-=+=--121121212123(1)3x x kx x x kx x x x x x -+--==--. ………………12分因为1212kx x x x =+，北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第7页（共8页）所以12121212123()222x x x x x x y x x x x --+-===--.………………14分所以直线AG 过定点0,2（）. 综上，存在实数3t =，使得直线AG 经过y 轴上定点(0,2).………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因为11a =，22a =，34a =，43a =，所以{1,2,3,1}T =-，()4P T =.………………4分（Ⅱ）充分性：若A 是等差数列，设公差为d .因为数列A 是递增数列，所以0d >. 则当j i >时，()j i a a j i d -=-. 所以{,2,,(1)}T d d N d =-，()1P T N =-.………………6分必要性：若()1P T N =-.因为A 是递增数列，所以21311N a a a a a a -<-<<-，所以21311,,N a a a a a a T ---∈,，且互不相等.所以21311{,,}N T a a a a a a =---,.又32421221N N N a a a a a a a a a a --<-<<-<-<-， 所以324221,,,N N a a a a a a a a T ----∈,，且互不相等.所以3221a a a a -=-，4231a a a a -=-，…，211N N a a a a --=-. 所以21321N N a a a a a a --=-==-，所以A 为等差数列.………………9分（Ⅲ）因为数列由1,2,3,,,2n n 这1n +个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为1,2,3,,(1)n ±±±±-和(21),(22),,n n n ±-±-±.共2(1)242n n n -+=-个不同的值；且对任意的1,2,3,,1,,,21m n n n =--，m 和m -这两个数中至少有一个在集合中.………………11分又因为1,2,3,,,2n n 这1n +个数在数列中共出现21N n =+次，所以数列中存在()i j a a i j =≠，所以0T ∈.综上，()41P T n -≤，且()2P T n ≥.………………12分A T A A北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第8页（共8页）设数列0A ：1,1,2,2,3,3,4,4,,,,2n n n ，此时T =，()2P T n =. 现对数列0A 分别作如下变换：把一个1移动到2,3之间，得到数列：1,2,2,1,3,3,4,4,,,,2n n n ，此时{0,1,2,3,,(21),1}T n =--，()21P T n =+.把一个1移动到3,4之间，得到数列：1,2,2,3,3,1,4,4,,,,2n n n ，此时{0,1,2,3,,(21),1,2}T n =---，()22P T n =+.……把一个1移动到1,n n -之间，得到数列：1,2,2,3,3,4,4,,1,1,1,,,2n n n n n --，此时{0,1,2,3,,(21),1,2,,2}T n n =----，()2232P T n n n =+-=-.把一个1移动到,2n n 之间，得到数列：1,2,2,3,3,4,4,,,,1,2n n n ，此时{0,1,2,3,,21,1,2,,1}T n n =----，()2131P T n n n =+-=-.再对数列0A 依次作如下变换：把一个移为的后一项，得到数列1A ：1,2,2,3,3,4,4,,,,2,1n n n ，此时{0,1,2,3,,21,1,2,,1,12}T n n n =-----，；再把一个移为的后一项：得到数列2A ：1,2,3,3,4,4,,,,2,2,1n n n ，此时{0,1,2,3,,21,1,2,,1,12,22}T n n n n =------，；依此类推……最后把一个n 移为的后一项：得到数列n A ：1,2,3,4,,,2,,1,,2,1n n n n -，此时{0,1,2,3,,21,1,2,,1,12,22,,}T n n n n n =-------，()41P T n =-.综上所述，()P T 可以取到从2n 到41n -的所有2n 个整数值，所以()P T 的 取值个数为2n .………………15分{0,1,2,,21}n -12n ()3P T n =22n ()3+1P T n =2n。
2021年北京市西城区高三期末数学逐题解析
2021年北京市西城区高三期末数学逐题解析2021年北京市西城区高三期末数学考试逐题解析本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合$A=\{x|-1<x<3\}$，$B=\{x|-1\leq x\leq 4\}$，则$A\bigcap B=$A．$(0,3)$ B．$(-1,4)$ C．$(0,4]$ D．$(-1,4]$答案】D解析】如图，$A$和$B$的交集是$(-1,4]$。
故选D。
2.在复平面内，复数$z$所对应的点的坐标为$(1,-1)$，则$z\cdot z=$A．$2$ B．$-2i$ C．$2$ D．$2i$答案】A解析】由复数的几何意义可知，复数$z=1-i$，其共轭复数$z=1+i$。
所以$z\cdot z=(1-i)(1+i)=1-i^2=2$。
故选A。
3.已知$f(x)$为奇函数，其局部图象如图所示，那么A．$f(2)=2$B．$f(2)=-2$C．$f(2)>-2$D．$f(2)<-2$答案】C解析】根据图象可知$f(-2)<2$。
又因为$f(x)$为奇函数，所以$f(2)=-f(-2)>-2$。
故选C。
4.已知$A(4,8)$，$B(2,4)$，$C(3,y)$三点共线，则$y$的值为A．$4$ B．$5$ C．$6$ D．无法确定答案】C解析】依题意，$AB=(-2,-4)$，$BC=(1,y-4)$。
因为$A,B,C$三点共线，所以$AB//BC$。
所以$-2\cdot(y-4)=-4\cdot1$，解得$y=6$。
故选C。
5.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为A．$y=\pm 3x$B．$y=\pm 2x$C．$y=\pm\frac{3}{\sqrt{5}}x$D．$y=\pm x$答案】A解析】依题意得$2c=2\cdot2a$，即$c=2a$。
2021西城高三二模数学答案
= 2sin ω x cos ω x + 2 3 sin2 ω x + m
22
2
= sin ωx + 3(1 − cosωx) + m
= sin ωx − 3 cosωx + 3 + m = 2sin(ωx − π ) + 3 + m .
3 选择条件①②：
由条件①得，=T 2=π π ，又因为 ω > 0 ，所以 ω = 2 . |ω |
所以 BC ⊥ AC .
……………1 分
因为 PA ⊥ 平面 ABCD ，
所以 PA ⊥ BC ，
……………2 分
因为 PA AC = A ，
所以 BC ⊥ 平面 PAC .
……………3 分
因为 BC ⊂ 平面 PBC ， ……………4 分
平面 PBC ⊥ 平面 PAC . ……………5 分
（Ⅱ）因为 PA ⊥ 平面 ABCD ，
解：（Ⅰ）取 AB 的中点 F ，连接 CF ，所以 AF = CD ，
又因为 AF // CD ，所以四边形 AFCD 是平行四边形.
因为 AB ⊥ AD ， AD = CD ，所以四边形 AFCD 是正方形，
则 AB ⊥ CF , C=F A=D 2 ，所以 A=C B=C 2 2 ， 得到 AC2 + BC2 = AB2 ，
西城区高三模拟测试
数学参考答案
2021.5
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（ 1 ）C
（ 2 ）D
（ 3 ）B
（ 5 ）A
（ 6 ）C
（ 7 ）B
（ 9 ）B
（10）D
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
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2014北京西城区高三期末数学（文）试题答案高三数学（文科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9 10． 18 3411． 12．13-13． 2- (0,1] 14．○1○3注：第10、12、13题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分，少选得2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以 2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()2f α=22α=，即 cos 22α=， ……………… 4分所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-， 所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- (8)分1sin 222x x =+ πsin(2)3x =+， (10)分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． (12)分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 3分解得 1a =. ……………… 4分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 5分依题意 0,1,2,,9a =，共有10种可能. (6)分由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同， 所以当2,3,4,,9a =时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能． (7)分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 8分（Ⅲ）解：设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件B ，………… 9分当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， (10)分所以事件B 的结果有7种，它们是：(88,90)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92). (11)分因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率7()9P B =. (13)分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. ……………… 1分又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =，且AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分（Ⅱ）证明：在CEF ∆中，因为,G H 分别是,CE CF 的中点，所以//GH EF ，又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以//GH 平面AEF . ……………… 6分设AC BD O =，连接OH ，F BCGEAH DO在ACF ∆中，因为OA OC =，CH HF =， 所以//OH AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以//OH 平面AEF . ……………… 8分又因为OHGH H =，,OH GH ⊂平面BDGH ，所以平面//BDGH 平面AEF . ………………10分（Ⅲ）解：由（Ⅰ），得 AC ⊥平面BDEF ，又因为AO =，四边形BDEF 的面积3BDEFS=⨯=， (11)分所以四棱锥A BDEF -的体积1143BDEFV AO S =⨯⨯=. (12)分同理，四棱锥C BDEF -的体积24V =.所以多面体ABCDEF 的体积128V V V =+=. (14)分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：) (5)分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．所以当10a --≤，即1a -≥时，()f x 在[0,4]上单调递增，故()f x 在[0,4]上的最小值为min ()(0)f x f a ==； (8)分当401a <--<，即51a -<<-时，()f x 在(0,1)a --上单调递减， ()f x 在(1,4)a --上单调递增，故()f x 在[0,4]上的最小值为1min ()(1)e a f x f a --=--=-； (10)分当41a --≥，即5a -≤时，()f x 在[0,4]上单调递减，故()f x 在[0,4]上的最小值为4min ()(4)(4)e f x f a ==+. (12)分所以函数()f x 在[0,4]上的最小值为1min4, 1,()e , 51,(4)e , 5.a a a f x a a a ---⎧⎪=--<<-⎨⎪+-⎩≥≤ ……13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. 因为 0k >， 所以 304k <<. ……………… 5分（Ⅱ）解：结论：四边形ABDC 不可能为梯形. ……………… 6分理由如下：假设四边形ABDC 为梯形. ……………… 7分由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 8分同理，得211x k=--. ……………… 9分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线BD 的斜率为1222x k =-， ……………… 10分抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的斜率为2222x k=--. ………………11分由四边形ABDC 为梯形，得//AB CD 或//AC BD . 若//AB CD ，则22k k=--，即2220k k ++=， 因为方程2220k k ++=无解，所以AB 与CD 不平行. ………………12分若//AC BD ，则122k k-=-，即22210k k -+=， 因为方程22210k k -+=无解，所以AC 与BD 不平行. ……………13分所以四边形ABDC 不是梯形，与假设矛盾.因此四边形ABDC 不可能为梯形. ……………14分20．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为等比数列{}n a 的114a ，12q， 所以 114a ，27a ，33.5a . (1)分 所以 114b ，27b ，33b . (2)分则 312324T b b b . (3)分（Ⅱ）证明：（充分性）因为 na N ，所以 []n n n b a a 对一切正整数n 都成立.因为 12n n S a a a ，12n n T b b b ，所以 n n S T . ……………… 5分（必要性）因为对于任意的n N ，nn S T ，当1n =时，由1111,a S b T ，得11a b ； ……………… 6分当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =. ……………… 7分 因为 []nn b a Z ，0na ，所以对一切正整数n 都有na N . (8)分（Ⅲ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. (9)分因为 []nn b a ，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ………………10分 由 21a q a =，得 1q <. ………………11分 因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥， 所以 2012213q<<，即 120122()13q <<. ………………13分。