解高考数学选择题的常用方法和解答技巧(原稿)

解高考数学选择题的常用方法和解答技巧

云南省文山州砚山一中，（663100） 马兴奎

趣题引入

正三棱锥BCD A -中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，并使

λ==FD

CF EB AE )0(>λ，设α为异面直线EF 与AC 所成的角，β为异面直线EF 与BD 所成的角，则βα+的值是 （ ）

A ．

6π B ．4π C ．3π D ．2

π 分析：解本题通常方法是画一个图，但不容易求解，只有紧紧抓住λ的两个极端值才能快速获解。

解：当0→λ时，A E →，且C F →，从而AC EF →。因为BD AC ⊥（正

三棱锥中对棱互相垂直），排除选择支C B A ,,。故选D （或+∞→λ时的情况，

同样可排除C B A ,,）

技巧精髓

一、选择题中的题干、选项和四选一的要求都是题目给出的重要信息，答题时要

充分利用。

二、解答选择题的基本原则是小题不能大做，小题需小做、繁题会简做、难题要

巧做。求解选择题的基本方法是以直接思路肯定为主，间接思路否定为辅，

即求解时出了用直接计算方法之外还可以用逆向化策略、特殊化策略、图形

化策略、整体化策略等方法求解。

三、解答选择题应注意以下几点：认真审题、先易后难、大胆猜想、小心验证。

1、逆向化策略

在解选择题时，四个选项以及四个选项中只有一个答案符合题目要求都是做题的重

要信息，逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息。解题时，要“盯住

选项”，着重通过对选项的分析、考查、验证、推断而进行肯定或否定，或

者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选，从而迅速找到所要选择的、符

合题目的选项。

【例1】（2005年，天津卷）设)(1x f -是函数)1( )(2

1)(>-=-a a a x f x x 的反函数，则使1)(1>-x f

成立的x 的取值范围为 （ ） A ．),21(2+∞-a a B ． )21,(2a

a --∞ C ． ),21(2a a a - D ． ),[+∞a 【绿色通道】本题用直接法求解是先求出反函数，然后带入已知1)(1>-x f

得到一个不等

式，转化为解一个无理不等式问题，但运算量大。实际上由1)(1>-x f ，得

)1()]([1f x f f >-， 即)1(f x >，此时并不需要往下计算，观察四个选项的特点，可以发

现，只有选项A 是x 大于某个数的形式，而B 、C 、D 都不是x 大于某个数的形式，故选A

答案。

【警示启迪】逆向化策略与直接求解策略的解题方向相反，是充分利用题目中的

选项信息进行解题的一种策略，但在解题时逆向化策略其他解题策略结合起来使

用。

【例2】（2004年，重庆卷）一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个

负根的充分不必要条件是：

A ．0a <

B ．0a >

C ．1a <-

D ．1a >

【绿色通道】本题的直接解法并不难，而且有多种解法。只需利用方程与函数的对应关系，把2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根转化为函数12)(2

++=x ax x f 与x 轴的交点在原点的两侧。但本题只需从选项入手，通过对选项的分析，找出答

案，首先对四个选项进行逻辑分析。若A 成立，则C 也成立，即选 A 必选C

；若B 成立，则D 也成立，即选 B 必选D ，所以A 、B 都不正确。现在只需研

究C 、D 。对于D 可以取2=a ，此时方程无实根，故D 不成立，答案选C

【警示启迪】逻辑分析法可分为以下三个方面：①若“A ”真⇒B 真；则A 必假，否则它将与“有且只有一个正确答案”的前提矛盾；②若A 、 B 是等价命题，

即“B A ⇔”，则A 、 B 均为假，可同时排除；③若A 、 B 为互补命题（A 、 B

成矛盾对应关系），则必有一真，即非A 即B 。

2、特殊化策略

在求解数学问题时，如果要证明一个数学问题是正确的，就要证明该问题在所有可能的

情况下都正确，但是要否定一个问题，则只要举出一个反例就够了，基于这一原理，在解选

择题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊数列、特殊图形、特殊角、特殊位置等对

各个选项进行验证，从而可以否定和排除不符合题目要求的选项，在根据四个选项中只有一

个答案符合题目要求这一信息，就可以间接地得到符合题目要求的选项。这时一种解选择题

的特殊化策略。

【例3】（2007年，陕西卷）各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2,S 3n =14, 则

S 4n 等于 （ ）

（A ）80 （B ）30 （C ）26 （D ）16

【绿色通道】本题直接解也并不困难，只是运算量大，但是对于这道题，只需取特殊值1=n

便可求解了。

取1=n 则211==S a 又143=S 即14321=++a a a

∵∴142111=++q a q a a 即14)1(21=++q q a ∴712

=++q q 解之得：3-=q （舍去），2=q 故所求为301)1(414=--=q

q a S 故选B

【警示启迪】在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，

从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答

本类选择题的最佳策略。

【例4】（2007年，安徽卷）定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T

是它的一个正周期，若将方程f (x )=0在闭区间[－T ，T ]上的根的个数记为n ，则n

可能为

（A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）5 【绿色通道】本题没有给出具体的函数)(x f y =，所以不能直接求解，可以选取一个符合

题目要求的函数，例如设满足条件的函数为：x x f sin )(= ，则π2=T 而从)

(x f 在]2,2[ππ-上有5个根。故选D

【警示启迪】特殊化策略是将一般问题特殊化，用构造满足题设条件的特殊函数或图形的特

殊位置直接求解的方法，它充分利用选择题的特点，将抽象问题具体化，它是“繁

题会简做”重要策略的体现，要求平时善于积累常见函数，并能熟练掌握

它们的图象和性质

3、图形化策略

图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一个解题策略，图形化策略是依靠

图形的直观进行选择的，用这种策略解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，

从而简捷迅速地得到结果，

[例5] （2002年，全国卷）在（0，2π），使sinx>cosx 成立的x 的取值范围为（ ）

A 、)45,()2,4(ππππ

B 、),4(ππ

C 、)45,4(ππ

D 、)2

3,45(),4(ππππ 【绿色通道】本题可利用三角函数的图象和画单位圆，选C 。

【警示启迪】据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直

观性作出正确的判断。 有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作

出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，综合

图象的特征，得出结论。

【例6】(2005年，上海卷)

设定义域为R 的函数⎩

⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）