1.1集合的概念与表示方法讲义

1.1集合与集合的表示方法一、知识点1.1.1、集合的有关概念 1.1.2、集合的表示方法考点1：集合的有关概念知识点：1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

例1：下列各组对象不能组成集合的是( )。

A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x 1图象上所有的点练习：1.下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工 2.下列对象能否组成集合:(1)数组1、3、5、7; (2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点; (3)满足3x-2>x+3的全体实数; (4)所有直角三角形; (5)美国NBA 的著名篮球明星; (6)所有绝对值等于6的数;(7)所有绝对值小于3的整数; (8)中国男子足球队中技术很差的队员;知识点：2.一般地，研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集。

3.集合用大写字母来表示，元素用小写字母来表示。

4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复 出现同一元素。

（3）无序性：集合与其中元素的排列次序无关。

例2：方程ax 2+5x+c=0的解集是{21,31},则a=________,c=_______.练习：1.在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是 2.数集{3,x,x 2-2x}中,实数x 满足什么条件? 3.已知数集A=}{A a a∈+16,7,3,2且，求实数a 的值。

4.集合A 中的元素由关于x 的方程kx 2-3x+2=0的解构成,其中k ∈R,若A 中仅有一个元素,求k 的值. 5.所有素质好的人能否表示为集合? 6.A={2,2,4}表示是否准确?知识点：（学生易混淆点）5.点集就是点的集合，点可以用坐标表示，所以点集的形式是{（x,y ）|x+y=2} 数集就是数的集合，数可以用变量表示，所以数集的形式是{ x |x 2=1}方法对接:解决集合问题时，首先将不明显的集合转化成明显的集合。

然后根据一下三种集合类型，选择合适的方法。

1.抽象集合（元素个数很少时）————维恩图法2.数集———------------------———画数轴法3.点集——-—-----------------------画图像法例1：试着说明下列集合中元素的含义A={x |()1||x y x R x =-∈+} B={y |()1||x y x R x =-∈+} C={(x ,y )|()1||xy x R x =-∈+} 练习：1：下面三个集合：①{x|y ＝x 2＋1}；②{y|y ＝x 2＋1}；③{(x ，y)|y ＝x 2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？ 2：若{}|2A x x n n ==∈Z ，，{}|22B x x n n ==-∈Z ，，试问A B ，是否相等3.已知集合{}32+==x y x A ，{}32+==xy y B ，(){}3,2+==xy y x C 他们三个相等吗？试说明理由？4.A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?知识点：6. 空集的定义：不含任何元素的集合称为空集。

空集的性质：空集是一切集合的子集。

表示方法：用符号ø表示。

7. 根据集合中元素的个数可以分为有限集，无限集，空集。

对集合元素个数的考查主要是分清有限集，无限集以及空集的定义，以及他们的判断。

例1：自然数集，整数集，有理数集，实数集通常用那些符号来表示?:它们是有限集还是无限集？ 例2：集合A={1124,2x x Z +<<∈},集合A 中元素个数为 知识点：5.元素与集合的关系（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ∉A 。

例题4：A={1,3},判断元素3,5和集合A 的关系,并用符号表示. 6.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 1.用符号∈或∉填空:(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,2______N; (2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,2______Z; (3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,2______Q; (4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,2______R. 2.判断正误:(1)所有属于N 的元素都属于N*. ( ) (2)所有属于N 的元素都属于Z. ( ) (3)所有不属于N*的数都不属于Z. ( ) (4)所有不属于Q 的实数都属于R. ( ) (5)不属于N 的数不能使方程4x=8成立. ( )考点2:集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

知识点：列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式.1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

例题5：用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2=x 的所有实数根组成的集合;(3)由1～20以内的所有质数组成的集合. (4)⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈-∈=N x N x A 916 (5)()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧=-=+=24,y x y x y x B (6){}N y Z x x y x C ∈∈+-==,,52(7){}N y Z x x y y D ∈∈+-==,,52(8)(){}Ny Z x x y y x E ∈∈+-==,,5,2练习：1.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合; (2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x2-9=0的解组成的集合; (4){15以内的质数}; (5){x|x -36∈Z,x ∈Z}.2.用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设点集的元素代表符号是(x,y),数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质. 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围， 再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，{直角三角形}，…。

例题6：用描述法表示下列集合(1)二次函数y=x 2图象上的点组成的集合; (2)坐标平面内数轴上的点集合; (3)不等式x-7<3的解集.练习：1.用描述法表示下列集合:(1)方程2x+y=5的解集; (2)小于10的所有非负整数的集合;(3)方程ax+by=0(ab ≠0)的解; (4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合; (6)方程组⎩⎨⎧==+1y -x 1,y x 的解的集合;(7){1,3,5,7,…}; (8)x 轴上所有点的集合; (9)非负偶数; (10)能被3整除的整数. 2.说出下面集合中的元素:(1){大于3小于11的偶数}; (2){平方等于1的数}; (3){15的正约数}.3.分别用列举法、描述法表示方程组⎩⎨⎧==+273y -2x 2,y 3x 的解集.3.文氏图法用封闭曲线（内部区域）表示集合及其关系的图形。

（Venn Diagram ，也称韦恩图或维恩图）列举法和描述法的选择⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。

如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+；⑵有些集合的元素不能一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数} 例1：把描述法集合变为列举法集合1.{|}x x 是21的约数2.{|38}x x +=3.{|}x x 为不大于9的正奇数4.{|06,}a a a N ≤<∈5.{(,)|03,02,,}x y x y x y N ≤<≤<∈6.“students ”中字母组成的集合7.若{2,1,0,1,2,3,4}A =--，2{|,}B x x t t A ==∈，用列举法表示B = 。

综合练习：1、已知A={a+2，（a+1）2，a 2+3a+3}且1∈A ，则a=2、已知M={2，a ，b}，N={2a ，2，b 2}且M=N ，求a ，b 的值.3、设集合{}0232=+-=x x x A ，{}0)5()1(222=-+++=a x a x x B 若2∈A 并且2∈B ，求a4设{1,2,3,4,5,6}A =，{1,2,7,8}B =，定义A 与B 的差集为{|A B x x A -=∈}x B ∉，则()A A B --=5.已知集合A=｛2,22+-+a a a ｝，若4A ∈，求a 的值6..已知集合A=｛x|R a x ax ∈=++,0122｝,若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素。

7已知S={a,b,c}中的三个元素ABC ∆一定不是 8.已知集合M={t |2,,}t a b a b Z =+∈，设x,y M ∈，则（ ）A ．x y M ±∉ B.,xy M x y M ∈±∉ C.xy M ∉ D.,x y M xy M ±∈∈ 9.已知集合A=22{2,(1),33}a a a a ++++，若1A ∈，求实数a 的值。

10设P ＝{3，4，5}，Q ＝{4，5，6，7}，定义P ※Q ＝{(a ，b)|a ∈P ，b ∈Q}，则P ※Q 中元素的个数为 11定义集合A ，B 的一种运算：A*B ＝{x|x ＝x 1＋x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B}，若A ＝{1，2，3}，B ＝{1，2}，则A*B 中的所有元素之和为12．已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-= 的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个13.已知集合A={x|mx 2-2x+3=0，m ∈R}.（1）若A 是空集，求m 的取值范围； （2）若A 中只有一个元素，求m 的值；（3）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围. 思考题：1.设a,b,c 为非零实数，则b abca c x abc abc=+++的所有值组成的集合有哪些元素？2.设实数集S 是满足下面两个条件的集合：（1）1S ∉；（2）若a S ∈，则11S a∈-. （1）求证：若a S ∈,则11S a-∈； （2）若2S ∈，则在S 中必含有其他的两个数，试求出这两个数；（3）集合S 能否是单元素集？若能，把它求出来；若不能，说明理由； （4）求证：集合S 中至少有三个不同的元素.。