数学方法论论文

数学思想方法中的具体方法的运用或阐述

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合。

这几种数学思想方法在中学数学教学和数学学习中起着重要作用。学生可能潜意识里有这几种思想，但是没有具体到一种高度和概念。他们会无形中运用这种方法解决问题，可是有时候不会灵活运用，甚至也可能会混用。这样在他们心里没有一定的知识网络，只是想到才用，不会遇题脑子里有清晰的思想方法让然后见题拆题。因此，老师有必要就题对这种思想方法进行升华，进行淬炼，在课堂教学中经常向学生灌输这样的思想。

为了以后学生能快速正确解题，并对题有清晰的解题思路，我先谈谈函数方程数学思想方在数学教学中的应用：（1）函数与方程思想：就是用函数的观点、方法研究问题，将非函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决。通常是这样进行的：将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。中学数学中，方程、数列、不等式等问题都可利用函数思想得以简解；几何量的变化问题也可以通过对函数值域的考察加以解决。例如

1990年全国高考题：如果实数x、y满足（x-2）2+ y2=3，那么的最大值是。分析：为分离出，先给已知等式两边同除以x2，得

.分离变量与，得==.此式表示是的二次函数，易知当=2即x=时，有最大

值3，则有最大值．此题不是函数而看成函数，这不正是函数思想的实质

吗。当然对于这个题也可以用几何思想解决，所以要注意引导学生运用不同方法解决问题，发散他们的思维。

（2）数形结合思想：基于上面的那个题的观察和理解，数形结合思想能方便解决问题。我通过一个例题阐述关于数形结合思想在数学中应用：数形结合思想，数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而数学研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系。数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利

用图形的直观诱发直觉。例如：已知x1是方程x+ lgx =3的根，x2是x+10x =3的根，则x1+x2等于（）（A）6（B）3（C）2（D）1 . 分析：构造函数y=lgx，y=10x，y=3－x，由于y=lgx与y=10x互为反函数，图象关于直线y=x对称，而直线y=3－x 与y=x互相垂直，所以y=3－x与y=lgx和y=3－x与y=10x的交点P1（x1，y1）P2（x2，y2）是关于直线y=3－x 与y=x的交点M（x0，y0）对称的，故x1+x2=2 x0=3，选（B），（图略）．对于这类问题如果不用几何思想解决，理解起来比较困难。而且转化为几何问题比较直观，比较易于理解。所以要培养学生把函数问题转化为几何问题，几何直观易于观察，易于理解。在上一个例题中，例如1990年全国高考题：如果实数x、y满足（x-2）2 + y2 =3，那么的最大值是。就可以数形结合，转化为求过原点和圆上点的直线斜率的最大值。

（3）分类讨论思想：就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。

例如：已知动点M到原点O的距离为m，到直线L：x＝2的距离为n，且m+n＝4

（1）求点M的轨迹方程。

（2）过原点O作倾斜角为α的直线与点M的轨迹曲线交于P,Q两点，求弦长｜PQ｜的最大值及对应的倾斜角α。

解：（1）设点M的坐标为（x,y），依题意可得：+= 4

根据绝对值的概念,轨迹方程取决于x＞2还是x≤2，所以以2为标准进行分类讨论可

得轨迹方程为：y=

解（2）如图1，由于P，Q的位置变化，

弦长｜PQ｜的表达式不同，故必须分点P，Q都在曲线y2=4(x+1)以及一点在曲线y2=4(x+1)上而另一点在曲线y2=－12（x－3）上可求得：

从而知当或时,分类讨论的思想是一种重要的解

题策略，对于培养学生思维的严密性，严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。因此，我总结了分类讨论的方法和步骤：

（1）确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围。（2）确定分类标准科学合理分类。（3）逐类进行讨论得出各类结果；（4）归纳各类结论。

在各个模块的教学中，逐步渗透用分类讨论等数学思想的去解决问题。分类讨论覆盖的知识点较多，有利于考查学生的知识面、分类思想方式多样，具有较高的逻辑性和较强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏地分析讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

（4）化归与转化思想：在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，解题过程就是不断转化的过程。化归与转化的策略有：①已知与未知的转化（已知条件常含有丰富的内容，发掘其隐含条件，使已知条件朝着明朗化的方向转化，如综合法；对于一个未知的新问题，通过联想，寻找转化为已知的途径，或从结论人手进行转化，如分析法）。②正面与反面的转化（在处理某一问题，按照习

惯思维方式从正面思考而遇到困难，甚至不可能时，用逆向思维的方法去解决，往往能达到突破性的效果）。③数与形的转化（数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求）。④一般与特殊的转化。⑤复杂与简单元的转化（把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则）。例如：

数学思想是数学的灵魂，只有具备了一定的思想，才能灵活运用。学生可能只做题，只记解题技巧，往往会忽视数学思想在数学中的运用。这时候教师就必须不仅要交给他们解题，交给他们解题的技巧，也要经常向他们灌输数学思想。学生对解题中所运用的数学思想有了一定的理解才会举一反三，解题更有技巧，思维更清晰，严密。