数学建模作业

数学建模结课作业

一．某旅游景点从山脚到山顶有一缆车索道，全长约1471m,高度差为380m 。

采用循环单线修建，从下站到上站行经8个铁塔，将缆绳分为九段，各段的水平距离用i d 表示，高差用i h 表示，其数据见下表：每一段缆绳垂下来的最低点不低于两端铁塔最低塔顶悬挂绳处1m 。

要求：（1）折线法；（2）抛物线法，估计整个索道工程所用的缆绳总长度。

解：（一）折线法思路：考虑到实际中工程架线不能过紧，但又为了节省原料，我们采取求出最大折线和最小折线，对两者求取平均值，以得到对缆线总长度的估测。

由于八个铁塔分九段，因此此题分两部分考虑：（1）第一段：直接求出发点到第一个铁塔的距离，即21211h d l +=（2）第二到九段：建立坐标系，运用距离公式求取l 的长度。

设A （x -,1）,B(i d x -,1i h +)得：l =用此公式求最大最小值。

matlab 求解第一段syms h1 d1h1=50d1=220l1=sqrt(d1.^2+h1.^2)第二段求最小值clearl='sqrt((-x)^2+1)+sqrt((200-x)^2+(45+1)^2)' ezplot(l,[0,200]);[xmin,lmin]=fminbnd(l,0,200)得图形可得当x=4.2553时，取得最小值205.45由图形可得当x=200时取得最大值，即clearl='sqrt((-x)^2+1)+sqrt((200-x)^2+(45+1)^2)' ezplot(l,[0,200]);[xmin,lmin]=fminbnd(l,0,200)x=200;lmax=eval(l);l=(lmin+lmax)/2;得lmax=246.0025l=225.7254第三段到第九段算法与第二段相同，所以结果为第一段：l1 = 225.6103第二到九段分别为: 225.7254 ，163.5839 ，142.7476，120.6438，142.7476，163.5839，225.7254，248.5321总长为：1658.9m抛物线法思路：参照示意图，因为将绳的形状看做抛物线，为了方便研究，以抛物线的最低点为原点建立抛物线2y ax =，则每段绳的长度为l =，最后相加求总长。

1.给出一个你所感兴趣的数学建模的实际问题。

（1）写出问题的实际背景。

（2）给出解答问题的建模与解答路径。

（3）解决什么样的问题。

答：（1）我们学校的教学楼中，教室的灯管的开关时间并没有一个明确的规定，这就造成了即使在大白天教室也开着灯的现象，浪费了很多的电力资源。

所以我们应该设计一个模型来对教室灯管的开关情况进行优化，以达到节省电力资源的同时又不影响同学们的正常学习。

（2）首先要统计出全校教学楼中共有多少个教室，以及每个教室的灯管的数量；其次要上网查资料，对西安一年四季的天气情况有一个初步的了解，分别统计出一年中雨天的比例，阴天的比例，和晴天的比例；最后查阅相关的资料，了解声控和光控开关的相关知识。

（3）通过建模来解决教室用电不合理的现象，即为学校节省了开销，也节约了电力资源，更可以通过这种潜移默化的形式，给同学们树立一个好榜样，使大家意识到节约用电的重要性。

2.找一本与本课有关的参考资料。

（1）你为何选择这一本书。

（2）这本资料对你的建模思想有什么启示作用。

（3）这本资料书对我么数学专业的学习有什么帮助。

答：我选择了《最优化方法》这本书。

（1）之所以选择这本书，首先是因为课堂上老师说数学建模里边，有很多问题都是要对某个问题进行优化的；其次是，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。

所以我选择了《最优化方法》这本书。

（2）这本书中主要是介绍线性规划问题的模型、求解及其应用――运输问题；以及动态规划的模型、求解、应用――资源分配问题。

其中的微分学中求极值、等式约束最优化问题、不等式约束最优化问题对数学建模都有很大的帮助。

用最优化方法解决实际问题，一般可经过下列步骤：①提出最优化问题，收集有关数据和资料；②建立最优化问题的数学模型,确定变量,列出目标函数和约束条件；③分析模型，选择合适的最优化方法；④求解，一般通过编制程序，用计算机求最优解；⑤最优解的检验和实施。

数学建模课后习题作业

【陈文滨】1、在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？【模型假设】（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的。

【模型建立】在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。

数学建模作业及答案

数学建模作业姓名：叶勃学号：班级：024121一：层次分析法1、分别用和法、根法、特征根法编程求判断矩阵1261/2141/61/41A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征根和特征向量（1）冪法求该矩阵的特征根和特征向量程序为：#include<iostream> #include<math.h> using namespace std;#define n 3 //三阶矩阵#define N 20 #define err 0.0001 //幂法求特征值特征向量 void main(){cout<<"**********幂法求矩阵最大特征值及特征向量***********"<<endl; int i,j,k;double A[n][n],X[n],u,y[n],max;cout<<"请输入矩阵:\n"; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j]; //输入矩阵 cout<<"请输入初始向量:\n"; for(i=0;i<n;i++)cin>>X[i]; //输入初始向量 k=1; u=0;while(1){ max=X[0]; for(i=0;i<n;i++) {if(max<X[i]) max=X[i]; //选择最大值 }for(i=0;i<n;i++)y[i]=X[i]/max; for(i=0;i<n;i++)X[i]=0;for(j=0;j<n;j++)X[i]+=A[i][j]*y[j]; //矩阵相乘}if(fabs(max-u)<err){cout<<"A的特征值是 :"<<endl; cout<<max<<endl; cout<<"A的特征向量为:"<<endl; for(i=0;i<n;i++) cout<<X[i]/(X[0]+X[1]+X[2])<<" ";cout<<endl;break;}else{if(k<N) {k=k+1;u=max;} else {cout<<"运行错误\n";break;}}} }程序结果为：（2）和法求矩阵最大特征值及特征向量程序为：#include<stdio.h>#include<iostream>#include<math.h> using namespace std;#define n 3 //三阶矩阵#define N 20void main(){int i,j,k;double A[n][n],w[n],M[n],u[n],W[n][n],max;cout<<"********和法求矩阵的特征根及特征向量*******"<<endl;cout<<"请输入矩阵:\n";for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j]; //输入矩阵 //计算每一列的元素和M[0]=0;M[1]=0;M[2]=0;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){M[i]+=A[j][i];}//将每一列向量归一化for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){W[j][i]=A[j][i]/M[i];}//输出按列归一化之后的矩阵Wcout<<"按列归一化后的矩阵为："<<endl;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){cout<<W[i][j]<<" ";if(j==2)cout<<endl;} //求特征向量w[0]=0;w[1]=0;w[2]=0;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){w[i]+=W[i][j];}cout<<"特征向量为:"<<endl; for(i=0;i<n;i++){u[i]=w[i]/(w[0]+w[1]+w[2]);cout<<u[i]<<" "<<endl;}//求最大特征值max=0;for(i=0;i<n;i++){w[i] = 0;for(j=0;j<n;j++){w[i] += A[i][j]*u[j];}}for(i = 0;i < n;i++){max += w[i]/u[i];}cout<<"最大特征根为："<<endl;cout<<max/n<<endl; }运行结果为：（3）根法求矩阵最大特征值及特征向量：程序为：#include<stdio.h>#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;#define n 3 //三阶矩阵#define N 20void main(){int i,j;double A[n][n],w[n],M[n],u[n],W[n][n],max;cout<<"********根法求矩阵的特征根及特征向量*******"<<endl; cout<<"请输入矩阵:\n";for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j]; //输入矩阵//计算每一列的元素和M[0]=0;M[1]=0;M[2]=0;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){M[i]+=A[j][i];}//将每一列向量归一化for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){W[j][i]=A[j][i]/M[i];}//输出按列归一化之后的矩阵Wcout<<"按列归一化后的矩阵为："<<endl;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){cout<<W[i][j]<<" ";if(j==2)cout<<endl;}//求特征向量//w[0]=A[0][0];w[1]=A[0][1];w[2]=A[0][2];w[0]=1;w[1]=1;w[2]=1;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){w[i]=w[i]*W[i][j];}w[i]=pow(w[i], 1.0/3);}cout<<"特征向量为:"<<endl;for(i=0;i<n;i++){u[i]=w[i]/(w[0]+w[1]+w[2]);cout<<u[i]<<" "<<endl;}//求最大特征值max=0;for(i=0;i<n;i++){w[i] = 0;for(j=0;j<n;j++){w[i] += A[i][j]*u[j];}}for(i = 0;i < n;i++){max += w[i]/u[i];}cout<<"最大特征值为:"<<endl; cout<<max/n;}运行结果为：2、编程验证n阶随机性一致性指标RI：运行结果：3、考虑景色、费用、居住、饮食、旅途五项准则，从桂林、黄山、北戴河三个旅游景点选择最佳的旅游地。

数学建模案例作业

数学建模案例作业作业1 商人过河问题三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行（六个人都会划船）。

随从们密谋，无论何时，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

但是如何乘船渡河的决定权掌握在商人手中。

商人们怎样才能安全渡河？示意图如下：随从：商人：一、状态变量一次决策),(k k k y x S = 3,2,1=k 表示第k 次渡河时，此岸的商人数，随从数. 最初 )3,3(0=S 且为整数）3,0(≤≤k k y x)}0,0(),1,0(),2,0(),3,0(),0,1(),1,1(),2,1(),3,1(),0,2(),1,2(),2,2(),3,2(),0,3(),1,3(),2,3(),3,3{(=S要安全过河，需保证彼岸此岸都安全，及随从数不能大于商人数，所以安全的情况有10种，即)}0,0(),1,0(),2,0(),3,0(),1,1(),2,2(),0,3(),1,3(),2,3(),3,3{(=S ② 二、决策变量设),(k k k v u d =2,0(≤≤k k v u 且)21≤+≤k k v u 表示第k 次渡河时，船上的商人数和随从数 )}1,0(),0,1(),2,0(),1,1(),0,2{(=D与状态变量相结合，安全的情况有三种，即 )}1,0(),2,0(),1,1{((=D ③ 三、状态转移方程奇数次（此案到彼岸）k k k d S S -=+1 偶数次（彼岸到此案）k k k d S S +=+1 即k k k k d S S )1(1-+=+ ① 数学建模：由①确定的转移方程下，经过n 次决策，将初始状态转移到最终状态)0,0(=n S . 每次的决策取自③式，每次到达的状态在②中. 图解法：①从右上角移到左下角，每次最多移两步；②奇数次渡河往左下方，偶数次渡河往右下方。

建立平面直角坐标系如图：n S 过河方案：从A 点)3,3(0=S 出发到D 点)0,0(=n S 结束① 小船一次最多能载两人，所以每次最多移动两个格子② 由此岸即彼岸时人员减少，即奇数遍时向左下方行走；有彼岸及此岸时人员增加，即偶数遍时向右上方行走。

数学建模作业题+答案

数学建模MATLAB 语言及应用上机作业11. 在matlab 中建立一个矩阵135792468101234501234A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-----⎢⎥⎣⎦答案：A = [1,3,5,7,9;2,4,6,8,10;-1,-2,-3,-4,-5;0,1,2,3,4]2. 试着利用matlab 求解出下列方程的解（线性代数22页例14）123412423412342583692254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ 答案：A=[2 ,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6]; B=[8;9;-5;0]; X=A\B 或A=[2,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6] b=[8,9,-5,0]' X=inv(A)*b3. 生成一个5阶服从标准正态分布的随机方阵，并计算出其行列式的值，逆矩阵以及转置矩阵。

答案:A=randn(5) det(A) inv(A) A'4. 利用matlab 求解出110430002A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量。

答案：A=[-1,1,0;-4,3,0;0,0,2] [V,D]=eig(A)5.画出衰减振荡曲线3sin3t y et -=在[0,4]π上的图像。

要求，画线颜色调整为黑色，画布底面为白色。

（在实际中，很多打印机时黑白的，因此大多数作图要考虑黑白打印机的效果。

）给出恰当的x ，y 坐标轴标题，图像x 轴的最大值为4π。

6. 生成一个0-1分布的具有10个元素的随机向量，试着编写程序挑选出向量中大于0.5的元素。

数学建模和Matlab 上机作业2（2016-9-20）跟老师做（不用整合进作业中）：上机演示讲解：函数，递归的两个例子的写法。

附：1. Fibonacci Sequence （斐波那契数列）在数学上，费波那西数列是以递归的方法来定义： F1= 1；F2= 1；F （n ）=F （n-1）+F （n-2） 2. 阶乘举例：数学描述：n!=1×2×……×n ；计算机描述：n!=n*(n-1)!自己做（需要整合进作业中，提交到系统中）：1. 写一个m 文件完成分值百分制到5分制的转换（即输入一个百分制，转换后输出一个5级对应的得分，联系条件控制语句）。

数学建模作业(1)

数学建模作业(1)
数模
数模
1.学校共学校共1000名学生，235人住在宿名学生，人住在A宿名学生人住在人住B宿舍人住在C宿舍舍，333人住宿舍，432人住在宿舍人住宿舍，人住在宿舍.学生们要组织一个10人的委员会人的委员会，学生们要组织一个人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：列办法分配各宿舍的委员数：(1)按比例分配取整数的名额后，剩下的名按比例分配取整数的名额后，按比例分配取整数的名额后额按惯例分给小数部分较大者。

额按惯例分给小数部分较大者。

(2)用Q值方法。

值方法。

用值方法
数模
如果委员会从10人增至人如果委员会从人增至15人，用以上人增至2种方法再分配名额。

将2种方法两次分配种方法再分配名额。

种方法再分配名额种方法两次分配的结果列表比较。

的结果列表比较。

(3)你能提出其它的方法吗？用你的方你能提出其它的方法吗？你能提出其它的方法吗法分配上面的名额。

法分配上面的名额。

数模
2.考察模拟水下爆炸的比例模型.爆炸物质量m,在距爆炸点距离r处设置仪器，接收到的冲击波压强为p,记大气初始压强p0,水的密度ρ,水的体积弹性模量k,用量纲分析法已经得到
p0ρrp=p0(,)km3
数模
设模拟实验与现场的p0,ρ,k相同，而爆炸物模型的质量为原模型的1/1000.为了使实验中接收到与现场相同的压强p,问实验时应如何设置接收冲击波的仪器，即求实验仪器与爆炸点之间的距离是现场的多少倍？
p0,ρ,k。

数学建模作业及答案

数学建模作业姓名：叶勃学号：班级：024121一：层次分析法1、分别用和法、根法、特征根法编程求判断矩阵1261/2141/61/41A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征根和特征向量（1）冪法求该矩阵的特征根和特征向量程序为：#include<iostream> #include<math.h> using namespace std;#define n 3 //三阶矩阵#define N 20 #define err 0.0001 //幂法求特征值特征向量 void main(){cout<<"**********幂法求矩阵最大特征值及特征向量***********"<<endl; int i,j,k;double A[n][n],X[n],u,y[n],max;cout<<"请输入矩阵:\n"; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j]; //输入矩阵 cout<<"请输入初始向量:\n"; for(i=0;i<n;i++)cin>>X[i]; //输入初始向量 k=1; u=0;while(1){ max=X[0]; for(i=0;i<n;i++) {if(max<X[i]) max=X[i]; //选择最大值 }for(i=0;i<n;i++)y[i]=X[i]/max; for(i=0;i<n;i++)X[i]=0;for(j=0;j<n;j++)X[i]+=A[i][j]*y[j]; //矩阵相乘}if(fabs(max-u)<err){cout<<"A的特征值是 :"<<endl; cout<<max<<endl; cout<<"A的特征向量为:"<<endl; for(i=0;i<n;i++) cout<<X[i]/(X[0]+X[1]+X[2])<<" ";cout<<endl;break;}else{if(k<N) {k=k+1;u=max;} else {cout<<"运行错误\n";break;}}} }程序结果为：（2）和法求矩阵最大特征值及特征向量程序为：#include<stdio.h>#include<iostream>#include<math.h> using namespace std;#define n 3 //三阶矩阵#define N 20void main(){int i,j,k;double A[n][n],w[n],M[n],u[n],W[n][n],max;cout<<"********和法求矩阵的特征根及特征向量*******"<<endl;cout<<"请输入矩阵:\n";for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j]; //输入矩阵 //计算每一列的元素和M[0]=0;M[1]=0;M[2]=0;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){M[i]+=A[j][i];}//将每一列向量归一化for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){W[j][i]=A[j][i]/M[i];}//输出按列归一化之后的矩阵Wcout<<"按列归一化后的矩阵为："<<endl;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){cout<<W[i][j]<<" ";if(j==2)cout<<endl;} //求特征向量w[0]=0;w[1]=0;w[2]=0;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){w[i]+=W[i][j];}cout<<"特征向量为:"<<endl; for(i=0;i<n;i++){u[i]=w[i]/(w[0]+w[1]+w[2]);cout<<u[i]<<" "<<endl;}//求最大特征值max=0;for(i=0;i<n;i++){w[i] = 0;for(j=0;j<n;j++){w[i] += A[i][j]*u[j];}}for(i = 0;i < n;i++){max += w[i]/u[i];}cout<<"最大特征根为："<<endl;cout<<max/n<<endl; }运行结果为：（3）根法求矩阵最大特征值及特征向量：程序为：#include<stdio.h>#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;#define n 3 //三阶矩阵#define N 20void main(){int i,j;double A[n][n],w[n],M[n],u[n],W[n][n],max;cout<<"********根法求矩阵的特征根及特征向量*******"<<endl; cout<<"请输入矩阵:\n";for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j]; //输入矩阵//计算每一列的元素和M[0]=0;M[1]=0;M[2]=0;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){M[i]+=A[j][i];}//将每一列向量归一化for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){W[j][i]=A[j][i]/M[i];}//输出按列归一化之后的矩阵Wcout<<"按列归一化后的矩阵为："<<endl;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){cout<<W[i][j]<<" ";if(j==2)cout<<endl;}//求特征向量//w[0]=A[0][0];w[1]=A[0][1];w[2]=A[0][2];w[0]=1;w[1]=1;w[2]=1;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){w[i]=w[i]*W[i][j];}w[i]=pow(w[i], 1.0/3);}cout<<"特征向量为:"<<endl;for(i=0;i<n;i++){u[i]=w[i]/(w[0]+w[1]+w[2]);cout<<u[i]<<" "<<endl;}//求最大特征值max=0;for(i=0;i<n;i++){w[i] = 0;for(j=0;j<n;j++){w[i] += A[i][j]*u[j];}}for(i = 0;i < n;i++){max += w[i]/u[i];}cout<<"最大特征值为:"<<endl; cout<<max/n;}运行结果为：2、编程验证n阶随机性一致性指标RI：运行结果：3、考虑景色、费用、居住、饮食、旅途五项准则，从桂林、黄山、北戴河三个旅游景点选择最佳的旅游地。

数学建模练习题作业

1、马青公式 π=16arctan1/5-4arctan1/239 这个公式由英国天文学教授约翰·马青于 1706 年发现。他利用这个公式计
算到了 100 位的圆周率。马青公式每计算一项可以得到 1.4 位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。
练习题 6：兄弟三人戴帽子问题解放前，在一个村子里住着聪明的三兄弟，他们除恶杀了财主的儿子，犯了人命案。县太爷有意想免他们
一死，决意出一个难题测测他们是否真的聪明，如果他们能在一个时辰内回答出来，就免他们一死，否则就被处死。题目如下：
兄弟三人站成一路纵队(老三选择了站在最前面，他后面是老二，老大站在了最后面 )，并分别被蒙住了眼睛，县太爷说我这里有两顶黑帽子和三顶红帽子，接着分别给他们头上各带了一顶帽子，然后又分别把被蒙住的眼睛解开。
还有很多类似于马青公式的反正切公式。在所有这些公式中，马青公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，马青公式就力不从心了。
2、拉马努金公式 1914 年，印度天才数学家拉马努金在他的论文里发表了一系列共 14 条圆周
率的计算公式。这个公式每计算一项可以得到 8 位的十进制精度。1985 年 Gosper 用这个公式计算到了圆周率的 17,500,000 位。
此时，老大只可以看见老三和老二头上的帽子,老二只可以看见老三头上的帽子，老三看不见帽子。只有一个时辰的时间，看谁能说出自己头上帽子的颜色，第一句声音有效。现在开始！ (县太爷有多少种带帽子的方案，那一种最难？你能回答吗？)
解答：
县太爷一共有 7 种戴帽子方案:
1 黑黑红 2 黑红黑 3 黑红红 4 红红红 5 红红黑 6 红黑红 7 红黑黑

数学建模作业---优化模型

P104页，复习题题目：考虑以下“食谱问题"：某学校为学生提供营养套餐，希望以最小的费用来满足学生对基本营养的需求按照营养学家的建设，一个人一天要对蛋白质，维生素A和钙的需求如下：50g蛋白质、4000IU维生素A和1000mg的钙，我们只考虑以不食物构成的食谱：苹果，香蕉，胡萝卜，枣汁和鸡蛋，其营养含量见下表。

制定食谱，确定每种食物的用量，以最小费用满足营养学家建议的营养需求，并考虑：（1）对维生素A的需求增加一个单位时是否需要改变食谱？成本增加多少？如果对蛋白质的需求增加1g呢？如果对钙的需求增加1mg呢？（2）胡萝卜的价格增加Ⅰ角时，是否需要改变食谱？成本增加多少？问题分析：（1）此优化问题的目标是使花费最小.（2）所做的决策是选择各种食物的用量，即用多少苹果，香蕉，胡萝卜，枣汁，鸡蛋来制定食谱。

（3）决策所受限制条件：最少应摄入的蛋白质、维生素和钙的含量（4）设置决策变量：用x1表示苹果的个数、x2表示香蕉的个数、x3表示胡萝卜的个数、x4表示枣汁的杯数量、x5表示鸡蛋的个数（5）x1个苹果花费10·x1角x2个香蕉花费15·x2角x3个胡萝卜花费5·x3角x4杯枣汁花费60·x4角x5个鸡蛋花费8·x5角目标函数为总花费金额：z=10·x1+15·x2+5·x3+60·x4+8·x5 (角)（6）约束条件为：最少摄入蛋白质的含量：0.3x1+1.2x2+0.7x3+3.5x4+5.5x5≥50最少摄入维生素A的含量：73x1+96x2+20253x3+890x4+279x5≥4000最少摄入钙的含量：10x1+15x2+5x3+60x4+8x5≥1000非负约束：x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0优化模型：minz =10x 1+15x 2+5x 3+60x 4+8x 5s.t. 0.3x 1+1.2x 2+0.7x 3+3.5x 4+5.5x 5≥5073x 1+96x 2+20253x 3+890x 4+279x 5≥4000 9.6x 1+7x 2+19x 3+57x 4+22x 5≥1000 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0由线性规划模型的定义，容易得到线性规划的性质：1. 比例性每个决策变量的对目标函数的“贡献”与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与该决策变量的取值成正比.2. 可加性各个决策变量对目标函数的“贡献”，与其他决策变量的取值无关；各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与其他决策变量的取值无关.3. 连续性每个决策变量的取值是连续的. 考察本题，实际上隐含下面的假设：1.购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）的花费是与各自的用量无关的常数；苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）所包含的蛋白质、维生素、钙的含量是与各自的用量无关的常数.（线性规划性质1—比例性）2.购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）的花费是与它们相互间用量无关的常数；苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）所包含的蛋白质、维生素A 、钙的含量是与它们相互间的用量无关的常数. （线性规划性质2—可加性）3. 购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋的数量都是实数. (线性规划性质3—连续性) 模型求解：（决策变量是5维的，不适用图解法求解模型）软件求解：线性规划模型：min z=10x1+15x2+5x3+60x4+8x5s.t. 0.3x1+1.2x2+0.7x3+3.5x4+5.5x5≥5073x1+96x2+20253x3+890x4+279x5≥40009.6x1+7x2+19x3+57x4+22x5≥1000x1,x2,x3,x4,x5≥0模型全局最优解：(Global optimal solution)x1=0x2=0x3=49.38272x4=0x5=2.805836z的最优值为269.3603角用LINGO 软件求解，得到如下输出：结果分析：1. 3个约束条件的右端项可视为3种资源：蛋白质含量、维生素A 含量、钙含量.LINGO 的输出项Row Slack or Surplus ，给出了3种资源在最优解下的剩余.2.目标函数可视为“支出（成本）”，紧约束的“资源”增加1单位时，“支出”的增加由LINGO 的输出项 Dual Price 给出。

数学建模样题及答案

数学建模作业一学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。

学生们要组织一个10人的委员会，试用下列方法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大的。

（2） Q 值方法：m 方席位分配方案：设第i 方人数为i p ，已经占有i n 个席位，i=1，2，…，m .当总席位增加1席时,计算2(1)i i i i p Q n n =+，i=1，2，…，m 把这一席分给Q 值大的一方。

（3） d ’Hondt 方法：将A ，B ，C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A,B,C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。

（试解释其道理。

）（4）试提出其他的方法。

数学建模作业二假定人口的增长服从这样的规律:时刻t 的人口为)(t x ,t 到t+ t 时间内人口的增长与m x -)(t x 成正比例(其中m x 为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。

解：=r(x m -x),r 为比例系数，x(0)=x 0 解为：x(t)= x m -( x m - x 0),如下图粗线，当t →∞时，它与Logistic 模型相似。

数学建模作业三一容器内盛入盐水100L，含盐50g .然后将含有2g/L的盐水流如容器内，流量为3L/min.设流入盐水与原盐水搅拌而成均匀的混合物。

同时，此混合物又以2L/min的流量流出，试求在30min时，容器内所含的盐量。

若以同样流量放进的是淡水，则30min时，容器内还剩下多少盐？要求写出分析过程。

解：设x(t)为t时刻容器内剩余的盐的质量①x(t)=2(100+t)-1.5(100+t)-2X(t=30)=171.24② x(t)=(100+t)-2 X(t=30)=29.59数学建模作业四商业集团公司在123,,A A A 三地设有仓库，它们分别库存40，20，40个单位质量的货物，而其零售商店分布在地区,1,,5i B i ，它们需要的货物量分别是25，10，20，30，15个单位质量。

数学建模作业完整版

数学建模作业HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】《数学建模》作业学号姓名工作量 100 %专业所属学院指导教师二〇一七年六月数学建模作业第一部分：请在以下两题中任选一题完成（20 分）。

1、（马王堆一号墓入葬年代的测定建模问题）湖南省长沙市马王堆一号墓于 1972 年 8 月发掘出土，其时测得出土的木炭标本中碳-14 平均原子蜕变数为次/分钟，而新烧成的同种木材的木炭标本中碳-14（C-14）原子蜕变数为次/分钟. 又知碳-14 的半衰期为 5730 年，试推断该一号墓入葬的大致年代。

问题分析：放射性元素衰变的速度是不受环境影响的，它总是和该元素当前的量成正比，运用碳—14测定文物或化石年代的方法是基于下面的理由：（1）宇宙射线不断轰击大气层，使大气层中产生碳—14而同时碳—14又在不断衰变，从而大气层中碳—14含量处于动态平衡中，且其含量自古至今基本上是不变的；（2）碳—14被动植物体所吸收，所以活着的生物体由于不断的新陈代谢，体内的碳—14也处于动态平衡中，其含量在物体中所占的百分比自古至今都是一样的；（3）动植物的尸体由于停止了从环境中摄取碳—14，从而其体内碳—14含量将由于衰变的不断减少，碳定年代法就是根据碳—14的减少量来判断物体的大致死亡时间。

模型建立设t 时刻生物体中碳—14的含量为x （t ），放射性物质的半衰期（即放射性物质的原子数衰减一半所需的时间）为T ，生物体死亡时间为t0，则由放射性物质衰变规律得数学模型⎪⎩⎪⎨⎧=-=,)(,00x t x x dtdx λ ① 其中0>λ称为衰变系数，由放射性物质所决定，x 0为生物体在死亡时刻t 0时的碳—14含量。

模型求解对所得的一阶线性微分方程模型①采用同变量分离法求解，得 e x t t x t )(00)(--=λ??由于T t t =-0时，有 0021)()(x T t x t x =+=??代入上式，有 T e T 2ln ,212==-λ????? 所以得 ? T t t e x t x )(2ln 00)(--= ②这就是生物体中碳—14的含量随时间衰变的规律，由之易解得 )()(ln 2ln 00t x t x T t t =- ③ 将所得的数学模型的一般解应用于本例，此时以T=5730,37.380=x (新木炭标准中碳—14原子蜕变数)，X(1972)=（出土的木炭标本中碳—14原子蜕变数）代入到③式,得 ?209578.2937.38ln 2ln 57300≈=-t t 年于是得??1232095197220950-=-=-≈t t 年结果表明,马王堆墓入葬年代大约在公元前123年左右的西汉中期，该结论与马王堆出土文物的考证结果相一致。

数学建模全部作业

一、图论（组合优化）和排列论实验解：设cij表示i年开始到j-1年结束购车的总消费，则有：C12=2.5+0.3-2.0=0.8,C13=2.5+0.3+0.5-1.6=1.7,C14=2.5+0.3+0.5+0.8-1.3=2 .8,C15=2.5+0.3+0.5+0.8+1.2-1.1=4.2,C23=2.6+0.3-2.0=0.9,C24=2.6+0.3+0. 5-1.6=1.8,C25=2.6+0.3+0.5+0.8-1.3=2.9,C34=2.8+0.3-2.0=1.1,C35=2.8+0.3 +0.5-1.6=2,C45=3.1+0.3-2.0=1.4;建模如下：sets:nodes/1..5/;arcs(nodes, nodes)|&1 #lt# &2: c, x;endsetsdata:c = 0.8 1.7 2.8 4.20.9 1.8 2.91.12.01.4;enddatan = @size(nodes);min = @sum(arcs: c * x);@for(nodes(i)| i #ne# 1 #and# i #ne# n:@sum(arcs(i,j): x(i,j)) = @sum(arcs(j,i): x(j,i)));@sum(arcs(i,j)| i #eq# 1 : x(i,j)) = 1;LINGO运行如下：Global optimal solution found.Objective value: 3.700000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX( 1, 2) 1.000000 0.000000X( 2, 5) 1.000000 0.000000由计算结果分析可得，其最短路径为1->2->5，最小花费为3.7万元。

即：该单位应该在第一年购买新设备，年末卖掉设备；第二年初更换新设备，一直用到第四年年末，再卖出。

数学建模大作业题目

(1) 用起泡法对10个数由小到大排序. 即将相邻两个数比较,将小的调到前头. （10个数字自己选择，方法要一般）(2)有一个45⨯矩阵,编程求出其绝对值最大值及其所处的位置. （用abs 函数求绝对值）(3)编程求201!n n =∑ （分别用for 和while 循环）(4)一球从100米高度自由落下,每次落地后反跳回原高度的一半,再落下. 求它在第10次落地时,共经过多少米?第10次反弹有多高? (5)有一函数2(,)sin 2f x y x xy y =++,写一程序,输入自变量的值,输出函数值，并画出其图像，加上图例和注释. （区间自理） (6) 建立一个脚本M 文件将向量a,b 的值互换。

(7) 某商场对顾客所购买的商品实行打折销售，标准如下(商品价格用price 来表示)： price<200 没有折扣; 200≤price<500 3%折扣; 500≤price<1000 5%折扣; 1000≤price<2500 8%折扣; 2500≤price<5000 10%折扣;5000≤price 14%折扣;输入所售商品的价格，求其实际销售价格。

(用input 函数) (8) 已知y ，22221111123y n=++++,当n=100时，求y 的值。

(9)画出分段函数2221y 1 122 1 2x x x x x x x ⎧<⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎩的图像，并求分段函数在任意几点的函数值。

(用hold on 函数)(10) 给定5阶方阵，求方阵的行列式、特征值、迹、上三角元素的和。

(11) 输入40个数字，按照从小到大的顺序排列输出。

(12) 把当前窗口分成四个区域，在每个区域中分别用不同的颜色和线形画sin ;tan y x y x==，x y e =和31y x x =++的图像。

（区间自理）(13) 对于,AXB YA B==，如果⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=753467294A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=282637B ，，求解X,Y ;(14) 如果⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=753467294A ，242679836B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求1122,*,.*,,,,T A B A B A B AB A B A A ---。

数学建模的作业

实验1 渡口模型仿真计算实验内容：（渡口模型仿真）渡船营运者如何规划，使得单次运送车辆最多、最合理，从而获得最大利润。

实验目的：对渡口问题进行仿真计算，与理论结果进行比较，验证模型的正确性。

实验步骤：1、对问题的变量进行合理定义，并指出合理存在区间；2、选取合适步长，通过C语言或者MATLAB软件编程，遍历寻优，得到单次运送所获利润的最大值，并同时求出最大值点；3、考虑随机到达的情况，进行随机优化；4、比较结论，对模型的合理性进行评估，或者进一步优化和重构模型。

【问题提出】一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米，可以并排停放两列车辆的渡船。

他在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置，才能安全地运过最多数量的车辆。

【准备工作】他关心一次可以运多少辆车，其中有多少小汽车，多少卡车，多少摩托车。

他观察了数日，发现每次情况不尽相同，得到下列数据和情况：（1）车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；（2）来到渡口的车辆中，轿车约占40％，卡车约占55％，摩托车越占5％；（3）轿车车身长为3.5～5.5米，卡车车身长为8～10米。

【问题分析】这是一个遵循“先到先服务”的随机排队问题，这里试图用模拟模型的方法来解决,故需分析以下几个问题需要考虑下面一些问题：（1）应该怎样安排摩托车？（2）下一辆到达的车是轿车还是卡车？（3）怎样描述一辆车的车身长度？（4）到达的车要加入甲板上两列车队的哪一列中去？【建立模型】其中我以函数获得的平均分布的随机数，然后假定车身长度也符合平均分布，并假定渡船甲板由两列组合成一列，长64米，每辆车辆来到渡口，遵循先到先服务的原则，依次进入，并假定两辆车之间相隔0.5米，因此得出模型1假定遵循左右均衡的原则。

尽可能使左右车辆的卡车数量相等，轿车数量相等，得出模型2模型1中,由于车辆为分两队摆放,每边都应有一定间隙,例如,若有8米空隙在模型1中,理论上还可停一辆车,但显然是不可能的.假定给出停放两列汽车的方式为采用先停一列再停一列的方式,得出模型3由于车辆的长度不可能特长或特短,因此车长该服从正态分布.将以上模型修改,得出模型4,5,6【模型求解】注意到甲板停放两队汽车，可供停车的总长度为32*2=64米。

数学建模作业

输油管的布置1问题的提出某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂,同时在铁路线上增建一个车站,用来运送成品油;由于这种模式具有一定的普遍性,油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法;1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形,提出你的设计方案;在方案设计时,若有共用管线,应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形;2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计;两炼油厂的具体位置由附图所示,其中A厂位于郊区图中的I区域,B厂位于城区图中的II区域,两个区域的分界线用图中的虚线表示;图中各字母表示的距离单位：千米分别为a = 5,b = 8,c = 15,l = 20;若所有管线的铺设费用均为每千米万元; 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用,为对此项附加费用进行估计,聘请三家工程咨询公司其中公司一具有甲级资质,公司二和公司三具有乙级资质进行了估算;估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用万元/千米21 24 20请为设计院给出管线布置方案及相应的费用;3. 在该实际问题中,为进一步节省费用,可以根据炼油厂的生产能力,选用相适应的油管;这时的管线铺设费用将分别降为输送A 厂成品油的每千米万元,输送B 厂成品油的每千米万元,共用管线费用为每千米万元,拆迁等附加费用同上;请给出管线最佳布置方案及相应的费用;2假设与分析假设A,B 两厂不共用的管道长分别为1f 、2f 千米,而A 、B 两厂共用管道长为3f ;路径如图所示：设A 点的坐标是a,0,B 点的坐标是l,b,车站的坐标是1x ,0,管道的交点坐标是11,y x ,假设B 路途中的一点的坐标是,c 2y ;而A 厂、B 厂、及A 、B 共用管道的价格分别为1p 、2p 、3p ;要使总费用最低,则目标函数 min Z=1f 1p +2f 2p +3f 3p 在满足：1f =2121)(y a x -+ 2f =21221)()(y y x c -+-+222)()(b b c l -+- 3f =1y 1x ,1y ,2y ≥0 的条件下有最优解;而题设的第二问中,A,B 两厂由于区域不同,B 厂额外加了附加费用;设附加费为4p ,由于公司一具有甲级资质,估算更近似,故4p =21.故可设途中E 点所在处的虚线为两区域交线;BE 路径设为22f ,EH 路径设为21f ,2f =21f +22f ;则由题意可知：a=5 ； b=8 ； c=15 ； l=20 ；1p =2p =3p =题二； 1p = , 2p =, 3p =题三 3模型的建立与求解 1题二的模型为：目标函数：min Z=2121)5(y x -++21221)()15(y y x -+-++2122)8(25y -+ +1y.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤8050150211y y x 利用matlab 优化工具向求解得: 1x = , 1y = , 2y = , 最优值为.见源程序1即H,,E15,即A 厂B 厂分别单独铺设到H,然后再共用管道,而B 厂单独铺设时先铺设到点E15,再从此点往H 点铺设,则最小费用为万元;源程序1：:function f=funxf=sqrtx1^2+5-x2^2+sqrt15-x1^2+x3-x2^2+sqrt25+8-x3^2+x2;MATLAB 输入程序: x0=160/13;0;19/4; A=; B=; Aeq=; beq=; vlb=0 0 0; vub=15 5 8;x,fval=fmincon'tlxz',x0,A,B,Aeq,beq,vlb,vub2题三的模型为：目标函数：min Z=2121)5(y x -++21221)()15(y y x -+-++2122)8(25y -+ +1y.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤8050150211y y x 利用matlab 优化工具向求解得: 1x = , 1y = , 2y =. , 最优值为.见源程序2即H,E15,为即A 厂B 厂分别单独铺设到E,干后再共用管道,而B 厂单独铺设时先铺设到点E15,再从此点往H 点铺设,则最小费用为万元;源程序2：function f=funxf =sqrtx1^2+5-x2^2+sqrt15-x1^2+x3-x2^2+27sqrt25+8-x3^2+x2; MATLAB输入程序：x0=160/13;0;19/4;A=;B=;Aeq=;beq=;vlb=0 0 0;vub=15 5 8;x,fval=fmincon'tlxz',x0,A,B,Aeq,beq,vlb,vub。

数学建模作业

习题一在节存储模型中的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量。

证明在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来一样。

一、不允许缺货的存储模型问题分析若生产周期短、产量少，会使存储费用小，准备费用大，货物价格不变；而周期长、产量多，会使存储费大，准备费小，货物价格不变。

所以必然存在一个最佳周期，使总费用最小。

显然，应建立一个优化模型。

模型假设为了处理的方便，考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q为连续量。

根据问题性质作如下假设：（1）产品每天的需求量为常数r。

（2）每次生产费用为c1，每天每件产品存储费为c2，购买每件货物所需费用为c3.（3）生产能力为无限大（相对于需求量），当存储量降为零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。

模型建立将存储量表示为时间t的函数q（t），t=0生产Q件，存储量q(0)=Q，q(t)以需求速率r递减，直到q(T)=0，如图，显然有：Q=rT图（1）不允许缺货模型的存储量q（t）一个周期内的存储费是c2∫q(t)dt,其中积分恰好等于图中三角形面积QT/2，因为一个周期的准备费是c1，购买每件货物的费用为c3，得到一个周期的总费用为：C=c1+c2QT/2+r Tc3=c1+c2 r T2/2+ r T c3则每天的平均费用是C(T)=c1/T+r c3+c2 r T/2上式为这个优化模型的目标函数。

模型求解求T使上式的C最小。

容易得到T=√2c1/（c2r）则Q=√2c1r/c2二、允许缺货的存储模型(1) 模型假设产品每天的需求量为常数r。

(2) 每次生产费用为c1，每天每件产品存储费为c2，购买每件货物所需费用为c3.(3) 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺货，每天每件损失费为c4,但缺货数量需在下次生产（或订货）时补足。

，模型建立因存储量不足造成缺货时，可以认为存储量函数q(t)为负值，如图所示，周期仍记为T,Q是每周期初的存储量，当t=T1时q(t)=0,于是有 Q=r T1图（2）允许缺货模型的存储量q(t)在T1到T这段时间内需求率r不变，q(t)按原斜率继续下降。

数学建模作业

数学建模作业1.某银⾏经理计划⽤⼀笔资⾦进⾏有价证券的投资,可供购进的证券以及其信⽤等级、到期年限、收益如下表所⽰.按照规定,市政证券的收益可以免税,其它证券的收益需按50%的税率纳税.此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共⾄少要购进400万元；（2）所购证券的平均信⽤等级不超过1.49信⽤等级数字越⼩,信⽤程度越⾼；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年；(1)若该经理有1000万元资⾦,应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资⾦,该经理应如何操作?（3）在1000万元资⾦情况下,若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变?若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应否改变?问题（1）分析问题分析这个优化问题的⽬标是有价证券回收的利息为最⾼,要做的决策是投资计划.即应购买的各种证券的数量的分配.综合考虑：特定证券购买、资⾦限制、平均信⽤等级、平均年限这些条件,按照题⽬所求,将决策变量、决策⽬标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决.模型建⽴决策变量⽤X1、X2、X3、X4、X5、分别表⽰购买A、B、C、D、E证券的数值, 单位：百万元⽬标函数以所给条件下银⾏经理获利最⼤为⽬标.则,由表可得：MAX Z=0.043X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5 （1）约束条件为满⾜题给要求应有：X2+X3+X4> = 4 (2)X1+X2+X3+X4+X5K<=10 （3）6X1+6X2-4X3-4X4+36X5<=0 (4)4X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0 (5)由LINGO 分析得:（1）由LINGO求解得：证券A投资2.182百万元，证券C投资7.364百万元，证券E投资0.454百万元，最⼤税后收益为0.298百万元问题（2）：由（1）中的求解可知，若投资增加 100 万元，收益可增加 0.4881 万元。

数学建模作业题

数学建模作业题习题1第4题. 根据表1.14的数据，完成下列数据拟合问题：(1) 如果用指数增长模型0()0()e r t t x t x -=模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题：(i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r ；(ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 和r ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 和r .要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图.(2) 通过变量替换，可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型，并用MATLAB 函数polyfit 进行计算，请说明转化成线性模型的详细过程，然后写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示拟合效果图.(3) 请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？(4) 如果用阻滞增长模型00()00()()e r t t Nx x t x N x --=+-模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算阻滞增长模型的以下三个数据拟合问题：(i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r 和N ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 、r 和N ；(iii) 拟合待定参数0t 、0x 、r 和N .要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图.习题2第1题. 继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？习题2第2题. 一盘录像带，从头转到尾，时间用了184分钟，录像机计数器读数从0000变到6061. 表2.5是观测得到的计数器读数，图2.7是录像机计数器工作原理示意图. 请问当计数器读数为4580时，剩下的一段录像带还能否录下一小时的节目？习题3第4题. 某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行……请你研究这个问题，并向学院领导写一份报告.习题3第5题. 有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取方式（指本金一次存入，分次支取本金的一种储蓄）存入，从第一个月开始每月支取1000元，银行每月初按月利率0.3%把上月结余额孳生的利息自动存入养老金. 请你计算老人多少岁时将把养老金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？习题4第3题. 继续考虑第3.4.2小节“酵母培养物的增长”案例，建立微分方程模型，模拟酵母培养物的增长.习题6第2题. 13名儿童参加了一项睡眠时间（分钟）与年龄（岁）关系的调查，表6.18中的睡眠时间是根据连续3天记录的每天睡眠时间的平均值得到的. 请建立和求解回归模型，解释得到的结果，给出10岁儿童的平均睡眠时间及预测区间.习题6第3题. 水的沸点与大气压强有密切关系，表6.19中包含了17次试验中所测得的水的沸点（华氏温度）和大气压强（水银英寸），请建立回归模型估计沸点和压强之间的关系，并给出当沸点为201.5F 时压强的预测值及预测区间.习题7第2题. 某配件厂为装配线生产若干种部件. 每次轮换生产不同的部件时，因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关）. 同一部件的产量大于需求时，因积压资金、占用仓库要付库存费. 今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000元，库存费每日每件1元. 如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，请制定最优生产计划.习题7第3题. 某商场把销售所剩的空纸皮箱压缩并打成包准备回收，每天能产生5包，在商场后院存放的费用是每包每天10元. 另一家公司负责将这些纸包运送到回收站，要收取固定费用1000元租装卸车，外加运输费每包100元. 请制定运送纸包到回收站的最优策略.。

数学建模作业题目

题目1 人口增长的模型假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x (t), t 到t+t ∆时间内人口的增量与)(t x x m -成正比（其中m x 为最大容量）。

试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。

题目2 新产品销售问题模型一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各种措施促进销售，比如：不惜血本大做广告等等。

他们都希望对这种新产品的推销速度做到心中有数，厂家用于组织生产，商家便于安排进货。

怎样建立一个数学模型描述新产品（保健酒、新上市的饮料等）推销速度，并由此分析出一些有用的结果以指导生产，并根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。

题目3 商品包装的数学模型在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如高露洁牙膏50g 装的每支1.5元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量价格比是1.2 ：1。

试用合适方法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。

价格由生产成本、包装成本、和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素。

（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，画出他们的简图，说明w 越大c 越小，但是随着w 的增加c 减小的程度变小，解释实际意义是什么。

题目4 生产销售存储模型建立不允许缺货的生产销售存储模型，设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r >。

在每个生产周期T 内，开始的一段时间（00t T <<）内一边生产一边销售，后来的一段时间（0T t T <<）只销售不生产，画出贮存量()q t 的图形。

设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期。

讨论k r <和k r ≈的情况。

题目5 广告竞争销售模型甲乙两公司通过广告竞争销售产品的数量，广告费分别是x 和y 设甲乙公司商品的销售在两公司总销售量中占的份额，是他们的广告费在总广告费中所占份额的函数()xf x y +和()yf x y +，又设公司的收入与销售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润.是构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大.（1）令xt x y =+，则()(1)1f t f t +-=.画出()f t 的示意图.（2）写出甲公司利润的表达式()p x .对于一定的y ，使()p x 最大的x 的最优值应满足什么关系.题目6 淋雨模型要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立模型讨论是否跑得越快淋雨越少.将人体简化成一个长方体，高 1.5a m =（颈部以下），宽0.5b m =，厚0.2c m =.设跑步距离1000d m =，跑步最大速度5/m v m s =，雨速4/u m s =，降雨量为2/w cm h =，记跑步速度为v .按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大的速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量.（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v 之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少.计算0,30θθ==时的总淋雨量.（3）雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，建立总淋雨量与速度v之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少.计算30α= 时的总淋雨量.（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.题目7 穿越公路问题模型一条公路交通不太拥挤，以致人们养成“冲”过马路的习惯，不愿行走到邻近较远处的“斑马线”。