从牛顿力学到狭义相对论

从牛顿力学到狭义相对论

摘要

物理是一个不断发展的学科，从亚里士多德到牛顿，对力的定义发生了改变。而牛顿定律被奉为经典多年之后，光速不遵从经典力学的速度变换定理、寻找“光以太”的实验的失败、单极电机问题、电磁规律不满足伽利略相对性原理等一系列问题的出现，使得狭义相对论打破了这些禁锢，让物理学有了新的发展。本文主要谈论了狭义相对论（SR）产生的历史背景和由伽利略变换到洛伦兹变换的过程。

引言

相对论是出现在20世纪初期的著名的物理理论，包含两个部分——狭义相对论和广义相对论。为了解相对论首先遇到的名词是惯性系；如在某参考系中指点作匀速直线运动，该系即为适宜应用牛顿运动定律的参考系，通常称为惯性系或伽利略参考系。对此也可以这样解释——如果牛顿运动定律在他认为存在的绝对静止参考系中成立，那么在一切相对于绝对参考系作匀速直线运动的参考系中该定律也成立。[1]这些允许牛顿运动定律成立的参考系都是惯性系，而在对惯性系作变速运动的参考系里牛顿运动定律不成立，便是非惯性系。重要之点在于，狭义相对论只对描述惯性系中的现象成立。为解释在加速的参考系中的现象以及引力场中的现象，就必须应用广义相对论。

一狭义相对论产生的历史背景

1905年之前，电磁学的很多实验现象用牛顿力学中的物理观念难于解释。（一）寻找“光以太”的实验给出的是否定的结果。

当麦克斯韦电磁场方程把光解释成电磁波时，人们自然与声波类比。声波不是独立的物质存在，而是物质的震动，即物质是声波的“媒质”。类比声波，光是否也是在某种被称为“光以太”的媒质中传播。为了寻找这种想象中的“以太”对光传播的影响，1881年，迈克尔逊完成了第一个这类实验。他让一台干涉仪

转动90度，观测干涉条纹是否移动。其原理是，如果有“以太”弥漫于太阳系中，地球在绕太阳的轨道中运动时，如果不带走“以太”，那么在地球看来，就会存在“以太风”，是光线的运动速度受到改变；因而，干涉仪中互相垂直的两臂中的光速（因与“以太风”方向的夹角不同）变得不用；当干涉仪转过90度后，两个臂互换了方位，其中的两条光线的速度也发生了互换因而造成了干涉条纹的移动。1887年，迈克尔逊和莫雷以更高的精度重做了实验，结果没有观测到预期的条纹。[2]

（二）单极电机问题

用一条导线滑动连接到一个圆柱形永久磁铁的赤道和一个极点，当磁铁绕其圆柱体的对称轴转动时，导线中产生了一个电动势。这种单极感应早已在工程技术上用来制造发电机（称为单极电机）。但是，当把牛顿力学中的伽利略变换用于麦克斯韦电磁场方程时，却无法解释这种单极感应现象（是磁场转动还是导体转动表现出了不对称性）

二伽利略变换与洛伦兹变换

（一）伽利略变换

1、伽利略相对性原理或经典力学的的相对性原理

凡是牛顿运动定律使用的参考系称为惯性系。

对不用惯性系，力学的基本定律——牛顿定律的形式都是相同的，或者说力学规律对于一切惯性系都是等价的。[3]

2、伽利略变换

伽利略变换是伽利略时空坐标变换式的简称。

S系和'S系各对应轴相互平行，'S系相对于S系以速度u沿x轴方向作匀速直线运动。当S系和'S系的坐标原点O和'O重合时，两个惯性系中的时钟开始计时（0

=t

t）。如果某时刻在空间某一点P发生了一个事件，这里所说的事'=

件是指某一时刻发生在空间某一点上的一个事例。设想S系和'S系的观测者都在观测这一事件，在S系中以时空坐标)

z

y

x表示，在'S系中以时空坐标

,

(t

,

,

y

x表示。

x表示，在'S系中以时空坐标)',',','(t z

z

),',','(t

y

一个事件在两个惯性系中两组时空坐标之间的变换关系为

从S 系变换到'S 系的变换式为t

t z

z y

y ut

x x ===-=''''从'S 系变换到S 系的变换式为

''

'

't t z z y y ut

x x ===+=（二）洛伦兹变换

1、狭义相对论的两个基本假设

相对性原理：物理规律在所有惯性系中都具有相同的形式。

光速不变原理：在所有惯性系中，光在真空中的传播速度具有相同的值c 。

2、洛伦兹变换

洛伦兹变换是洛伦兹时空坐标变换关系的简称。

洛伦兹时空坐标变换关系：

从S 系变换到'S 系的变换式为222221'''1'c u x c u t t z

z y

y c

u ut

x x --

===--=从'S 系变换到S 系的变换式为222221''''

1'

'c

u x c u t t z z y y c

u ut x x -+===-+=

3、洛伦兹变换的推导

S 系和'S 系的各对应坐标轴彼此平行，'x 轴与x 轴重合。'S 系沿x 轴以速率u 相对于S 系作匀速直线运动，在0'==t t 时，坐标原点'O 与O 重合。[4]

设当'O 与O 重合时，位于O 点出的点光源发出一光脉冲，将此时刻看做在S 系和'S 系中的计时起点。在S 系中，光脉冲以速率c 向各个方向传播，在任意时刻t ，光波波前与点光源的距离为

ct

r =而

222z y x r ++=所以022222=-++t c z y x （1）这正是在S 系中描写光脉冲波前的球面方程。

根据光速不变原理，在'S 系中同样观测到光脉冲以速率c 自'O 点向各个方向传播，所以在'S 中光脉冲波前同样为球面，其方程为

0''''22222=-++t c z y x （2）

式（1）和式（2）表明

0''''2222222222=-++=-++t c z y x t c z y x （3）

式（3）表明

22222t c z y x -++不随惯性系的变化而变，是不变量，在狭义相对论中称为间隔不变性。由于光速不变原理与伽利略变换是不相容的，所以伽利略变换不可能使（1）和（2）两式同时成立。要使上述的（1）和（2）两式能够同时成立，必须寻找一种新的时空变换关系。

这种新的时空变换关系应该满足狭义相对论的相对性原理，因此新的时空变换关系必须是线性的，因为只有这样才能保证当物体在一个惯性系作匀速直线运动时，在另一个惯性系也观测到它作匀速直线运动。还应该考虑到当速率c u <<时，这个变换应过渡到伽利略变换。因为在这种情况下，伽利略变换被实践检验是正确的。为此，我们设：

t

a x a x 1211'+=z

z y

y ==''

t a x a t 2221'+=（4）

为了简单起见，现在研究在S 系中观测'S 系中的'O 点（即0'=x ）的运动。很显然，在S 系中各点（S 系中的坐标为x ）观测到'S 系中0'=x 的点沿x 轴运动，速度为u ，即u dt

dx x ==,0'。根据是（4），若0'=x ，则有0

1211=+t a x a 由此得t a a x 11

12-=故u a a dt dx =-=11

12（5）联立（3）（4）（5）可解得

221111

c

u a -=22121c

u u

a --=22211c

u u

a --=222211

c u a -=

将此结果代入式（4），即可得到洛伦兹时空坐标变换关系。

（三）伽利略变换与洛伦兹变换

洛伦兹变换式是光速不变原理的数学表示，是狭义相对论的数学基础和狭义相对论运动学的核心，它描述一个时空事件在任意两个相对做匀速直线运动的惯性系之间的变换关系

222221''''

1'

'c

u x c u t t z z y y c

u ut x x -+===-+=“爱因斯坦在使用这个公式时忽略了导出这个公示的前提条件。”大致思路如下：研究的是坐标原点在'S 系内的运动，则应该有0',0',0'===z y x 。考虑了这些条件，上式进一步改写为

221'

c v vt x -

=（2）221'

c v

t t -=（3）又由于t

x v =，则式（2）化为式（3），洛伦兹变换式的最终结果为221'

c

v t t -=对于式（2）和式（3），当物体的运动速度c v <<时，化为

t

t vt x ==',以上关系式显然是不正确的，因为c v <<时，式（1）应该改写为

t

t z z y y vt x x ===-=',',','这组关系通常称为伽利略变换，它是牛顿力学时空观的基础。

结束语

本文探讨了狭义相对论产生的历史背景和从牛顿力学到狭义相对论的推导

过程，具体为伽利略变换到洛伦兹变换的推导过程以及二者之间的关系。狭义相对论的概念晦涩难懂，真正理解起来很不容易，在今后的学习中还应继续补充知识，增长见闻。

参考文献

[1]论狭义相对论的理论发展和实验检验黄志洵

[2]从牛顿力学到狭义相对论张元仲

[3]对伽利略相对性原理的探究冀文慧

[4]大学物理学（上册）吴百诗

张