2018_2019学年高二数学上学期竞赛试题

山东省新泰一中2018-2019学年高二数学上学期竞赛试题

一选择题(每小题5分，共60分)

1．等比数列的前n项和为，若，则公比

A． B． 2 C． 3 D．

2．已知，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知是等差数列，，则该数列的前14项的和（）

A． 52 B． 104 C． 56 D． 112

4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）

A． B． 1 C． D．

5．已知函数，若对任意，都有成立，则实数x 的取值范围为

A． B． C． D．

6．已知等比数列满足，且成等差数列．若数列满足

（n∈N*），且，则数列的通项公式（）

A． B． C． D．

7．已知抛物线上的点到焦点的距离是,则抛物线的方程为( )

A．B．

C． D．

8．若曲线y＝a x在x＝0处的切线方程是xln 2＋y－1＝0则a＝( )

A．B． 2

C． ln 2 D． ln

9．已知点M为椭圆上一点，椭圆的长轴长为，离心率，左、

右焦点分别为F1、F2，其中B（3，2），则的最小值为（）

A． B． C． D．

10．将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是（）

A．平面平面B．四面体的体积是

C．二面角的正切值是 D．与平面所成角的正弦值是

11．在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（）

A． B． C． D．

12．在正方体中，点是侧面内的一动点，若点到直线与到直线

的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）

A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线

二填空题（每小题5分，共20分）

13．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若，则abc=____.

14．若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数的值为_____________.

15．已知函数__________________.

16．已知实数且，则的最小值为__________．

三解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分，请写出必要的解题步骤）

17．设复数.

(1)当为何值时,是实数;

(2)当为何值时, 是纯虚数.

18．(1)求与椭圆有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．

(2)已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．

19．已知全集U＝R，非空集合

（1）当a＝时，求

（2）命题p：，命题q：，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围。

20．在数列中，，。

（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和。

21．某渔业公司年初用81万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为1万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益30万元．

问第几年开始获利？

若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以46万元出售该渔船；

方案二：总纯收入获利最大时，以10万元出售该渔船问：哪一种方案合算？请说明理由．

22．如图所示,在四棱锥中, ,,，,.

(Ⅰ) 证明:平面平面；

(Ⅱ) 若,求二面角的余弦值.

新泰一中高二数学学科竞赛参考答案

1．A2．B3．D4．A5．D6．B7．A8．A9．D10．C11．C12．D

13．14．815．116．

17.

（1)要使复数z为实数，需满足

.

解得m＝－2或－1.

即当m＝－2或－1时，z是实数．

(2)要使复数z为纯虚数，需满足

.

解得m＝3.

即当m＝3时，z是纯虚数．

18．

(1)由椭圆方程为，知长半轴长，短半轴长，

焦距的一半，

∴焦点是，，因此双曲线的焦点也是，，

设双曲线方程为，由题设条件及双曲线的性质，得，解得

，故所求双曲线的方程为.

(2)设A、B的坐标分别为、．

由椭圆的方程知，，，∴．

直线l的方程为① 将①代入，化简整理得

，∴，，

∴.

19．

(1)当时,

所以

(2)

又因为q是p的必要不充分条件,所以且,所以,所以

20．

解：（1）因为

所以数列是公差为1，首项为的等差数列，所以。

所以数列的通项公式为

（2）令①

则②

②-①得

所以

所以

21．

设第n年开始获利，获利为y万元，

由题意知，n年共收益30n万元，每年的费用是以1为首项，2为公差的等差数列，故n年的总费用为．

获利为

由即解得

，时，即第4年开始获利．

方案一：n年内年平均获利为．

由于，当且仅当时取“”号．

万元．

即前9年年平均收益最大，此时总收益为万元

方案二：总纯收入获利．

当时，取最大值144，此时总收益为

两种方案获利相等，但方案一中，所需的时间短，方案一较合算．

22.(Ⅰ)证明：因为,，所以.

因为,所以,

所以,

因为,所以平面.

又平面,所以平面平面.

(Ⅱ)以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,

则,

所以,

设平面的法向量为,则,即,

令, 解得,即,

显然平面的一个法向量为,

所以,所以二面角的余弦值为.