知识点20 隐函数及参数方程的求导
隐函数和由参数方程确定的函数求导
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合
隐函数及参数方程的求导方法,高阶导数
偏导数
z x
f x ( x, y),
z y
f y( x, y),
一般说来仍然是 x , y 的函
如数果，这两个函数关于
它x们,的y偏的导偏数导是数也f 存(x在,，y)的二阶偏导数.
则称
依照对变量的不同求导次序， 二阶偏导数有四 个：
z x
x
x
z x
2z x2
f xx( x, y) zxx;
3
x
x y y x
解
z x
1 1 y
2
y x2
y x2 y2 ,
x
z 1 1
y
1
y
2
x
x x2 y2 ,
x
2z x y
y
y x2 y2
(1) ( x2
y2 ) ( y) (0 2 y) (x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2z y x
x
感谢下 载
感谢下 载
(1)n1(n 1)!.
例 11
设
y
=
sin
x求，dn y
dx n
.
解 dy cos x sin x ，
dx
2
d2 y dx 2
cos
x
2
sin
x
2
2
，
d3 y dx 3
cos
x
2
2
sin
x
3
2
，
dn y dx n
sin
x
n 2
.
五、 高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的两个
第三模块 函数的微分学
隐函数及参数方程导数
隐函数及参数方程导数隐函数的概念隐函数是指在数学上表达关系式时，将一个变量的值表示为另一个变量的函数形式，而不是直接给出变量间的具体关系式。
隐函数可以在一些情况下简化表达式，使得关系更加清晰。
隐函数的求导法则对于一个隐函数，我们可以使用隐函数的求导法则来求其导数。
隐函数的求导法则有三个基本步骤：1.将隐函数两边分别对变量求导。
2.将所有涉及未知函数的导数项放在一起，将未知函数的导数视为一项。
3.对于求导后的表达式，将解释为隐函数的形式。
当我们有一个隐函数的关系式时，我们需要将其改写为求导的形式，然后根据隐函数的求导法则进行求导。
参数方程的概念参数方程是一种使用参数来表示曲线、曲面或空间中的点的方式。
在参数方程中，曲线或曲面上的每个点都可以通过一个参数的取值来确定。
参数方程的求导法则对于参数方程中的点，我们可以使用参数方程的求导法则来求其导数。
参数方程的求导法则与一般函数的求导法则不同，它根据参数的导数来求解。
参数方程的求导法则可以表示为：1.对于曲线的参数方程，使用链式法则求导。
2.对于曲面的参数方程，使用偏导数的求导法则求导。
在求导参数方程时，我们需要对参数进行求导，并将参数的导数代入到参数方程中，再进行求导。
隐函数和参数方程在数学上表示了相同的关系，但使用不同的表达形式。
隐函数更多用于关系的研究，参数方程更多用于几何的研究。
二者之间存在着一一对应的关系。
在一些情况下，可以通过一个隐函数推导出一个参数方程，或者反过来，通过一个参数方程推导出一个隐函数。
隐函数与参数方程的求导对于隐函数的求导，我们可以使用隐函数的求导法则进行求导。
隐函数的求导法则适用于一般的隐函数。
对于参数方程的求导，我们可以使用参数方程的求导法则进行求导。
参数方程的求导法则适用于一般的参数方程。
需要注意的是，在求导隐函数或参数方程时，我们需要明确表示出需要求导的变量是隐函数中的变量或参数方程中的参数。
总结隐函数和参数方程是数学中表示关系的两种不同形式。
D2_3隐函数及参数方程求导法
dx dx
dt
1 2
t
2
t
1. t
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例7
设由方程
x t2 2t
t 2 y sin y 1
(0 1)
确定函数 y y(x) , 求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2
dt
2t d y cos y d y 0
dt
dt
d x 2 (t 1) dt d y 2t
(sin x)tan x (sec2 x ln sin x 1)
1 xln x
3
3 x (2 x)2
1 2ln x x
3(2 x)
2x 3(2
x)
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二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0 时, 有
1. 设 解: 方法1
求其反函数的导数 .
方法2 等式两边同时对 y求导
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2. 设
,求
解：方程组两边同时对 t 求导, 得
dy d x t0
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d t 1 cos y
故
dy dx
dy dt
dx dt
t
(t 1)(1 cos y)
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例8 求螺线
在对应于
的点处的切线方程.
x r cos 解: 化为参数方程 y r sin
dy cos cos sin
当
π 2
时对应点
M (0,
π 2
y(0) 1 . e
隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x (t ), y (t ),
t [ , ]为参数 .
若x (t )与y (t )都可导，且 (t ) 0. 又x (t )存在
反函数 t 1 ( x)，则y为x的复合函数 y ( 1 ( x)) ，即
y (t )，t 1 ( x).
Yunnan University
7
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
由复合函数与反函数的 求导法则，有
dy dy dy dt (t ) dt 1 (t ) ( ( x)) . dx dt dx (t ) dx dt
这即是参数方程所表示 函数的求导法，从而导 函数的
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 一、隐函数求导法
设二元方程 F ( x, y) 0
确定了唯一的单值可导函数y f ( x)，求 dy . dx
例如: F ( x, y) x 2 y 2 R2 0可确定隐函数
y R 2 x 2，x [ R, R]，y [0, R]; 和 y R 2 x 2，x [ R, R]，y [ R,0].
4
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x2 y2 例3. 求 垂 直 于 直 线 l : 2 x 4 y 3 0并 与 双 曲 线 1 2 7 相切的直线方程。
解： 设双曲线上一点 ( x, y)的切线斜率为 k，则由隐函数求
导法，有
2x 2 y 7x y 0， 即 k y . 2 7 2y
即
y y( x) x x . y ( x) y
方 法I : 对 于 由 方 程 F ( x, y) 0确 定 的 隐 函 数 ， 只 需 用 应复 合 函 数 的 求 导 法 ， 对 恒 等 式方 或程 两 端 关 于 x求 导 数 ， 即 可 得 隐 函 数的导数（注意 y是x的 函 数 ） .
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
隐函数和参数方程求导
得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
16
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员
视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h h 则 tan 500 两边对 t 求导 500 d 1 dh 2 sec 2 1 tan 2 sec d t 500 d t dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 17 d t 2 500
两边取对数
u ( ln u ) u
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
10
(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) d t dx d t d x 2 dx dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
18
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
隐函数和参数方程求导
隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。
常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。
考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。
首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。
然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。
参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。
假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。
首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。
通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。
在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。
高数 隐函数与参数方程求导讲解
1
f (t)
24
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
25
作业 P109 1 ; 2 ; 3 ; 4 ； 5（1）（3）; 6 ; 7 (2) （4）; 8.
2 2(t
2t 1
1) 2
23
例14 已知 x f (t) y t f (t) f (t)
求
d2 dx
y
2
.
解: d y dx
t f (t) t,
f (t)
, 且 f (t) 0,
x f (t) y t
d2y dx2
d y dx
t f t
其运动轨迹方程为：x v0 cos at
表示。
y
v0
sin
at
1 2
gt
2
15
参数方程求导
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式
按幂函数求导公式
11
例7 求下列函数的导数 y.
1.
两边取对数
ln y x ln a a[ lnb ln x ] b[ ln x ln a ] b
隐函数与参数方程的求导法则
隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。
当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。
但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。
一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。
2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。
3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。
4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。
举个例子来进行说明。
假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。
如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。
首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。
将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。
然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。
这就是所求的切线斜率。
二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。
求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。
2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。
假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。
我们想求解在该参数方程下的切线斜率。
首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数课件(主要内容)
又 d ln f ( x) 1 d f ( x)
dx
f ( x) dx
f ( x) f ( x) d ln f ( x) dx
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
青苗辅导1
9
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x0
ex xe
y
y
x0 y0
1.
青苗辅导1
3
例2 设曲线C的方程为 x3 y3 3xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y 3 3 (,) 22
y x2 y2 x
3 3 1.
d3y 三阶导数 dx 3 .
六、设 f ( x) 满足 f ( x)
2
f (1) x
3 x
，求f
( x)
.
青苗辅导1
23
七、在中午十二点正甲船的 6 公里/小时的速率向东行 驶，乙船在甲船之北 16 公里，以 8 公里/小时的速 率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多 少？
八、注入水深 8 米，上顶直径 8 米的正圆锥形容器中， 其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 米时，其表 面上升的速率为多少？
2、-2 csc2 ( x y)c tan3 ( x y)；
3、 y(ln y 1)2 x(ln x 1)2 . xy(ln y 1)3
青苗辅导1
25
三、1、 x x2 1 (2 ln x 1)；
2、
x
2(3 ( x 1)5
x)4
隐函数求导及参数方程求导
y
x0 y 1
1 4
得
y
x0 y 1
1 16
.
例4. 求由方程 x y sin y 0
2
1
所确定的隐函数 y=y(x) 的二阶导数 解: 在方程的两边分别对x求导
1 y
'
1 2
cos y y 0
'
y
'
2 2 cos y
,
dy
dt y( t ) { 确定 y y( x ) 的求导法: dx dx x( t ) x x( t ) dt
y y( t )
dy
例7
解
求摆线
dy dx
dy dx
t
x a ( t sin t ) 在 t 时的切线方程。 2 y a ( 1 cos t )
方程两边对
3
x 求导 , 得
3
4 x y xy 4 y y 0
将 x 0、 y 1 代入，得
(1 )
1 4
x 求导 , 得
y
x0 y 1
;
视 y y ( x ) 、 y y ( x ) ， 将方程 ( 1 ) 两边再对
2
x y 12 y 2 ( y ) 2 4 y 3 y 0 , 12 x 2 y
tan t ,
(
d ( tan t ) dx
( tan t ) x ( t )
4
sec t 3 a cos
2
t sin t
sec t 3 a sin t
经济数学微积分隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
代入 x 0, y 1, y x 0
y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
★ 对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x sin x .
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. ——对数求导法 适用范围:
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
※二、由参数方程所确定的函数的导数 (differentiation of functions represented parametrically)
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数. x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例5 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解
方程 .
解
dy a sin t sin t dy dt dx dx a a cos t 1 cos t dt π sin dy 2 1. π dx t π 2 1 cos 2
隐函数及参数方程所确定的函数的求导法
谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如， 从方程3x＋y2＋5=0解出y=± √ -5-3x，就把隐函数化成显函 数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如， ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f （x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x， f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所 得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导， 便可得到所求的导数．
我们通过几个例子来说明这种方法．
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数 ． 解 方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx（x>0）的导数． 解 这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数 公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得
lny=xlnx， 两边对x求导，得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数 方程来表示．
一般的，如果参数方程x=φ（t）， 确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函 数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由 参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求 导．
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t） 存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求 导法则，得
隐函数和参数方程求导法
隐函数和参数方程求导法1.隐函数求导法隐函数求导法用于求解包含隐函数的导数。
一般来说，我们可以将隐函数表示为两个变量之间的关系式，例如y=f(x)。
在一些情况下，这个关系式无法直接解出y关于x的显式表达式。
这时，我们可以使用隐函数求导法来找到y关于x的导数。
假设有一个含有两个变量x和y的隐函数关系式F(x,y)=0。
要求这个隐函数关于x的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：对关系式两边同时求导，并得到导数关系式dF/dx = 0；步骤2：根据导数关系式，将dF/dx中的y'用y和x表示出来；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
举例说明：假设有一个隐函数关系式x^2+y^2=1、我们要求这个隐函数关于x的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：对关系式两边同时求导，得到2x + 2yy' = 0；步骤2：将dF/dx中的y'用y和x表示出来，得到y' = -x/y；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
通过以上计算，我们得到了这个隐函数关于x的导数为y'=-x/y。
参数方程求导法用于求解包含参数方程的导数。
参数方程是用参数表示的轨迹方程，常用形式为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是关于参数t 的函数。
要求参数方程的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt和dy/dt；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到y关于x的导数dy/dx；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数。
举例说明：假设有一个参数方程x=2t，y=t^2、我们要求这个参数方程的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt = 2 和dy/dt = 2t；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到dy/dx =(dy/dt)/(dx/dt) = (2t)/(2) = t；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数，例如二阶导数d^2y/dx^2 = d(dy/dx)/dx = d(t)/dx = 0。
第二章第四讲---隐函数求导和参数式求导
第四讲隐函数的导数和参数式求导一、隐函数的导数若由方程可确定y 是x的函数,则称此函数为隐函数.若能由这种形式表示的函数, 称为显函数.例如,可确定显函数可确定y 是x的函数,但此隐函数不能显化.问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导方法:用复合函数求导法直接由方程两边对x求导.y(含导数的方程)解0=+-+dxdy e e dx dy x y y x 解得：,yxex ye dx dy +-=,,00==y x 000===+-=∴y x yxx ex y e dxdy .1=方程两边对求导：x例1 求由方程所确定的隐函数的导数0=+-yxe e xy .,0=x dxdy dx dy y1)对幂指函数)()(x v x u y =可用对数求导法求导:uv y ln ln =y y '1u v ln '=uv u '+)ln (uv u u v u y v'+'='隐函数求导的这种方法需要说明以下几点:例2. 求的导数.解: 两边取对数：两边对x 求导xx x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=')1sin ln (cos x x x x y y ⋅+⋅='∴)sin ln (cos sin xx x x x x+⋅=2) 有些显函数用对数求导法求导很方便.再如,两边取对数=y ln 再当作隐函数求导，两边对x 求导='yy b a ln x a -x b ++bax ln +-]ln ln [x b a ]ln ln [a x b -二、参数式求导例如参数方程⎩⎨⎧==,,22t y tx 2x t =222)(x t y ==42x =xy 21='∴消去参数问题: 消参困难或无法消参如何求导?t 若参数方程确定y 与x 间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数。
()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩则0≠')(t ϕ时,有=x y d d x t t y d d d d ⋅tx t y d d d d 1⋅=)()(t t ϕψ''=可导, 且其中若参数方程可确定一个y 与x 间的函数关系，()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩函数具有单调连续的反函数，这个反函数与()x t ϕ=1()t t ϕ-=()y t ψ=构成了复合函数，1[()]y t ψϕ-=复合函数求导法则反函数求导法则)()(t t ψϕ''=0≠')(t ψ时,有=y x d d y t t x d d d d ⋅ty t x d d d d 1⋅=(此时x 看成是y 的函数)若上述参数方程中二阶可导,)()(d d t t x y ϕψ''=)(t x ϕ=且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得)(22dx dy dx d dxy d =dx dt t t dt d ))()((ϕ'ψ'=)(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'⋅''''-'''=.)()()()()(t t t t t 3ϕϕψϕψ''''-'''=d ()d ()y t x t ψϕ'='()()()d t dx t ψϕ'='1()()()d t dx dt t dtψϕ'='tt t a tt a t t x y cot cos sin sin cos )()(d d -=-=''=2233ϕψ解:)(dx dydx d dx y d =22(cot )ddtt dt dx =-2213csc sin cos t a t t =ta tcos sec 34=例3求由参数方程所确定的函数的二阶导数。
隐函数对数函数参数方程求导数
'
y
对数求导法
问题的提出
函数
的求导问题.
对数求导法
先在方程两边取对数,
然后利用隐函
数的求导方法求出导数.
适用于多个函数相乘
设
两边取对数得
的情形.
指函数
和幂
两边对
求导得
对数求导法
求导得
两边对
对数求导法
两边对 求导得 从而
例6
解
等式两边取对数得
设
求
两边对
求导得
例7
解
在题设等式两边取对数
等式两边对
例10 所表示 解 的函数 的导数.
求由摆线的参数方程
例11
解
所表示的函数
的二阶导数.
求由摆线的参数方程
例11
解
所表示的函数
的二阶导数.ຫໍສະໝຸດ 求由摆线的参数方程例11
解
所表示的函数
的二阶导数.
例12
表示的函数的
二阶导数.
解
求由方程
参数方程为
例13
如果不计空气阻力,
则抛射体的运动轨迹的
抛射体初速度的水平、铅直分量 ,
水面每小时上升几米?
解
如图,
顶角为
的水槽,
求导得
上式两边对
水库形
时,
水槽横截面图
水面上升之速率.
米
/
小时,
米/
小时
当
米时,
用对数求导法则求函数
1.
的导数 .
2.
水注入深8米，
上顶直径8米的圆锥形容器中，
其速率为每分钟4立方米，
当水深为5米时，
其表面
上升的速率为多少 ？
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所以 y
1 y 2 2( x 2 y 2 ) . x y ( x y )3
巧招：利用微分形式的不变性求导数 对隐函数求微分实际上用到了“微分形式的不变性”，其特点是无须区分变量 的“身份”，即无需区分变量是自变量、中间变量或因变量，只管“形式”，不管“内 容”.微分形式的不变性与隐函数可谓是相得益彰，在看似“糊里糊涂”中求得了导 数值. 此方法亦广泛应用于求复合函数的导函数以及积分中的凑微分.
d2 y . dx 2
设 f (t ) 二阶可导，且 f (t ) 0 ，有
x f (t ) ，求 y tf (t ) f (t )
解析：基础题型，参数方程求导. 解：
dy y (t ) tf (t ) d 2 y d dy 1 1 ． t ，则 2 ( ) dx dt dx dx f (t ) dx x(t ) f (t ) dt
例20.4(难度系数0.4)
设 y y ( x) 由
x 3t 2 2t 3 d2 y 确定，求 y dx 2 e sin t y 1 0
t 0
.
解析：此题在参数方程中又含有隐函数.将两种常规方法机械地结合. 解：因为
xt 6t 2 ， yt
e y cos t e y cos t ， 1 e y sin t 2 y
例20.9(难度系数0.6，跨知识点53)
x t
2
t 0
.
解析：此题特别注意，式 t 1 e u du 实际上是一个隐函数. 解：由 t 1 e u du 得 (
2
2 2 dx 1)e ( x t ) 1 ，所以 x '(t ) e( x t ) 1 . dt dy dy e y cos t 由 e y sin t y 1 0 得 e y sin t e y cos t 0 ，所以 y '(t ) . dt dt 2 y
1 y ln( x 2 y 2 ) arctan ， 2 x
化简得 y
dy x y . dx x y x y 得 ( x y ) y x y ，两边再对 x 求导得 x y
由 y
(1 y ) y ( x y ) y 1 y ,
当 x 9 时，由 x 1 2t 2 和 t 0 得 t 2 ，故
e . 16(1 2ln 2) 2
例20.7(难度系数0.4,跨知识点53)
x cos t 2 dy 设 ，求 ， t2 1 2 cos udu dx y t cos t 1 2 u
所以
dy 2et dy dt 1 2ln t e ， dx dx 4t 2(1 2ln t ) dt 2 d y d dy d dy 1 e ( ) ( ) 2 ， dx 2 dx dx dt dx dx 4t (1 2ln t ) 2 dt
d2 y dx 2
x 9
所以
dy yt e y cos t ， dx xt 2(2 y )(3t 1)
d 2 y d dy dt 1 e y ( yt cos t sin t )(2 y )(3t 1) e y cos t[ y (3t 1) 3(2 y )] ( ) 2 dx 2 dt dx dx 4 (3t 1)3 2 y
d2 y dx 2 t
2
.
解析：同例20.5.
dy y 解： t dx xt
d2 y dx 2 t
cos t 2 t sin t 2 2t
1
2
2 t 2t sin t 2
cos t 2 2t
t .
1 . 2
2
t
xt
t
2
1 2t sin t 2
dy dx 0.
5(t ) 4t t y (t )[5 4sgn(t )] lim lim 0， x 0 x t 0 t 0 2(t ) t 2 sgn(t )
2
t 0
妙招：求参数方程高阶导与反函数求导的“除法原则”. 一元函数导数的形式可写为“ 以独立地存在, 故它又可称为“微商”.导数的这个特点使得大家在求导数尤其是求高阶导时可以 类似求简单除法式一样方便！ 比如反函数的求导公式
dy 1 ,大家可以看作分式分子分母同时“除以”dy. dx dx dy
dy ”，其中的 dy 与 dx 分别为y与x的微分,它们可 dx
x t
所以
dy dy y '(t ) e y cos t ，将 t 0, x 1, y 1 代入，易得 ( x t )2 dx dx x '(t ) [e 1](2 y )
t 0
e ． e 1
例20.10(难度系数0.6) 错解： 当 x 0 时，因 解析：
学科：高等数学
第二章 导数与微分
知识点20 隐函数及参数方程的求导 精选习题 作者：邹群
x ln(1 t 2 ) y arctan t
例20.1(难度系数0.2) 设
，求 y , y .
解析：基础题型，利用参数方程求导公式.
1 dy dy dy 1 d( ) d( ) d( ) 2 dy 1 t 2 1 d 2 y 1 1 t2 解： ， 2 dx dx dx 2t 3 . 2t 2t dx 2t dx dx dx dt dx 4t 2 1 t dt 1 t 2
t
1 2
2
2
例20.8(难度系数0.4) y (0) 及 y (0) .
设 y f ( x) 是方程 e y e x xy 0 所确定的函数，求
解析：隐函数求导，可边求导边代入，这样可以简化运算. 解:方程两边对x求导，得 e y y e x y xy 0 .因为 y (0) 0 ，所以得
设
dy x 2t t , 求当 t 0 时的导数 . 2 dx y 5t 4t t ,
t 0
dx dy dy ， 不存在，故 dt dt dx
也不存在.
dx dy dy ， 存在是 存在的充分条件，但不是必要条件. dt dt dx
解： 用导数定义处理.注意 | t | t sgn t （ sgn t 是符号函数）. 由于 lim 故
y (0) 1 .而 e y y e y ( y ) 2 e x 2 y xy 0 ，易知 y (0) 2 .
x t u2 dy dy t 1 e du 已知 ，求 ， y dx dx e sin t y 1 0
又比如参数方程的二阶导公式
d2 y dx 2 d( dy dy dy ) d( ) d( ) dx dx dx 1 , dx dx dt dx dt
其中最后一个等式左右两边也可以看作“除法”. 我们将以上的理解法称为“除法原则”,此原则使得我们无需机械地记忆公式.
例20.2(难度系数0.2)
arctan y x
例20.3(难度系数0.4)
设 x2 y 2 e
，求 y ', y '' .
解析：两边取对数后，再求微分，从而通过微分得到导数 y ' . 解：原方程两边取对数得 两边微分得
xdx ydy 1 xdy ydx 2 2 ， y x y x2 1 ( )2 x
dy d2 y |t 0 e ，所以 2 dt dx
t 0
因此
因为 y |t 0 1,
2e 2 3e . 4
t
例20.5(难度系数0.4，跨知识点53) 设 x u ln udu ， y u 2 ln udu ，求
1
t2
1
dy 和 dx
d2 y （ t 0 ）. dx 2
例20.6(难度系数0.4,跨知识点53)
x 1 2t 2 , d2 y u （ t 1 ）所确定，求 2 1 2ln t e dx du y 1 u
设函数 y y ( x) 由参数方程 .
x 9
解析：同例20.5. 解：由
dx dy e1 2ln t 2 2et ， 4t ，得 dt 1 2ln t t 1 2ln t dt
解析：由于 y f ( x) 是参数方程的形式，而且是变上限积分，因此在对t求导时 可以采用变上限积分的求导公式. 解：因为
dx dy 4 2 t ln t ， t ln t 2t ，所以 dt dt
dy dy dt 2t 5 ln t 2 2t 4 ， dx dx t ln t dt d 2 y d dy 1 16t 2 3 1 ( ) 16 t . dx 2 dt dx dx t ln t ln t dt