知识点20 隐函数及参数方程的求导

解析：由于 y f ( x) 是参数方程的形式，而且是变上限积分，因此在对t求导时 可以采用变上限积分的求导公式. 解：因为
dx dy 4 2 t ln t ， t ln t 2t ，所以 dt dt
dy dy dt 2t 5 ln t 2 2t 4 ， dx dx t ln t dt d 2 y d dy 1 16t 2 3 1 ( ) 16 t . dx 2 dt dx dx t ln t ln t dt
妙招：求参数方程高阶导与反函数求导的“除法原则”. 一元函数导数的形式可写为“ 以独立地存在, 故它又可称为“微商”.导数的这个特点使得大家在求导数尤其是求高阶导时可以 类似求简单除法式一样方便！ 比如反函数的求导公式
dy 1 ,大家可以看作分式分子分母同时“除以”dy. dx dx dy
dy ”，其中的 dy 与 dx 分别为y与x的微分,它们可 dx
d2 y dx 2 t

2
.
解析：同例20.5.
dy y 解： t dx xt
d2 y dx 2 t
cos t 2 t sin t 2 2t
1
2
2 t 2t sin t 2
cos t 2 2t
t .
1 . 2

2
t
xt

t

2
1 2t sin t 2
例20.6(难度系数0.4,跨知识点53)
x 1 2t 2 , d2 y u （ t 1 ）所确定，求 2 1 2ln t e dx du y 1 u
设函数 y y ( x) 由参数方程 .
x 9
解析：同例20.5. 解：由
dx dy e1 2ln t 2 2et ， 4t ，得 dt 1 2ln t t 1 2ln t dt
又比如参数方程的二阶导公式
d2 y dx 2 d( dy dy dy ) d( ) d( ) dx dx dx 1 , dx dx dt dx dt
其中最后一个等式左右两边也可以看作“除法”. 我们将以上的理解法称为“除法原则”,此原则使得我们无需机械地记忆公式.
例20.2(难度系数0.2)
x t
所以
dy dy y '(t ) e y cos t ，将 t 0, x 1, y 1 代入，易得 ( x t )2 dx dx x '(t ) [e 1](2 y )
t 0

e ． e 1
例20.10(难度系数0.6) 错解： 当 x 0 时，因 解析：
例20.4(难度系数0.4)
设 y y ( x) 由
x 3t 2 2t 3 d2 y 确定，求 y dx 2 e sin t y 1 0
t 0
.
解析：此题在参数方程中又含有隐函数.将两种常规方法机械地结合. 解：因为
xt 6t 2 ， yt
e y cos t e y cos t ， 1 e y sin t 2 y
当 x 9 时，由 x 1 2t 2 和 t 0 得 t 2 ，故

e . 16(1 2ln 2) 2
例20.7(难度系数0.4,跨知识点53)
x cos t 2 dy 设 ，求 ， t2 1 2 cos udu dx y t cos t 1 2 u

t
1 2

2

2

例20.8(难度系数0.4) y (0) 及 y (0) .
设 y f ( x) 是方程 e y e x xy 0 所确定的函数，求
解析：隐函数求导，可边求导边代入，这样可以简化运算. 解:方程两边对x求导，得 e y y e x y xy 0 .因为 y (0) 0 ，所以得
所以
dy yt e y cos t ， dx xt 2(2 y )(3t 1)
d 2 y d dy dt 1 e y ( yt cos t sin t )(2 y )(3t 1) e y cos t[ y (3t 1) 3(2 y )] ( ) 2 dx 2 dt dx dx 4 (3t 1)3 2 y
例20.9(难度系数0.6，跨知识点53)
x t
2
t 0
.
解析：此题特别注意，式 t 1 e u du 实际上是一个隐函数. 解：由 t 1 e u du 得 (
2
2 2 dx 1)e ( x t ) 1 ，所以 x '(t ) e( x t ) 1 . dt dy dy e y cos t 由 e y sin t y 1 0 得 e y sin t e y cos t 0 ，所以 y '(t ) . dt dt 2 y
学科：高等数学
第二章 导数与微分
知识点20 隐函数及参数方程的求导 精选习题 作者：邹群
x ln(1 t 2 ) y arctan t
例20.1(难度系数0.2) 设
，求 y , y .
解析：基础题型，利用参数方程求导公式.
1 dy dy dy 1 d( ) d( ) d( ) 2 dy 1 t 2 1 d 2 y 1 1 t2 解： ， 2 dx dx dx 2t 3 . 2t 2t dx 2t dx dx dx dt dx 4t 2 1 t dt 1 t 2
1 y ln( x 2 y 2 ) arctan ， 2 x
化简得 y
dy x y . dx x y x y 得 ( x y ) y x y ，两边再对 x 求导得 x y
由 y
(1 y ) y ( x y ) y 1 y ,
所以 y
1 y 2 2( x 2 y 2 ) . x y ( x y )3
巧招：利用微分形式的不变性求导数 对隐函数求微分实际上用到了“微分形式的不变性”，其特点是无须区分变量 的“身份”，即无需区分变量是自变量、中间变量或因变量，只管“形式”，不管“内 容”.微分形式的不变性与隐函数可谓是相得益彰，在看似“糊里糊涂”中求得了导 数值. 此方法亦广泛应用于求复合函数的导函数以及积分中的凑微分.
y (0) 1 .而 e y y e y ( y ) 2 e x 2 y xy 0 ，易知 y (0) 2 .
x t u2 dy dy t 1 e du 已知 ，求 ， y dx dx e sin t y 1 0
dy d2 y |t 0 e ，所以 2 dt dx
t 0
因此
因为 y |t 0 1,

2e 2 3e . 4
t
例20.5(难度系数0.4，跨知识点53) 设 x u ln udu ， y u 2 ln udu ，求
1
t2
1
dy 和 dx
d2 y （ t 0 ）. dx 2
dy dx 0.
5(t ) 4t t y (t )[5 4sgn(t )] lim lim 0， x 0 x t 0 t 0 2(t ) t 2 sgn(t )
2
t 0
设
dy x 2t t , 求当 t 0 时的导数 . 2 dx y 5t 4t t ,
t 0
dx dy dy ， 不存在，故 dt dt dx
也不存在.
dx dy dy ， 存在是 存在的充分条件，但不是必要条件. dt dt dx
解： 用导数定义处理.注意 | t | t sgn t （ sgn t 是符号函数）. 由于 lim 故
arctan y x
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例20.3(难度系数0.4)
设 x2 y 2 e
，求 y ', y '' .
解析：两边取对数后，再求微分，从而通过微分得到导数 y ' . 解：原方程两边取对数得 两边微分得
xdx ydy 1 xdy ydx 2 2 ， y x y x2 1 ( )2 x
d2 y . dx 2
设 f (t ) 二阶可导，且 f (t ) 0 ，有
x f (t ) ，求 y tf (t ) f (t )
解析：基础题型，参数方程求导. 解：
dy y (t ) tf (t ) d 2 y d dy 1 1 ． t ，则 2 ( ) dx dt dx dx f (t ) dx x(t ) f (t ) dt
所以
dy 2et dy dt 1 2ln t e ， dx dx 4t 2(1 2ln t ) dt 2 d y d dy d dy 1 e ( ) ( ) 2 ， dx 2 dx dx dt dx dx 4t (1 2ln t ) 2 dt
d2 y dx 2
x 9