第二章 第二讲 向量组的相关性

第二讲 向量组的线性相关性

2.2.1 向量组的线性相关性

向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是n 维向量空间中向量之间是否存在线性关系.在两个向量之间, 最简单的线性关系是对应坐标是否成比例,如果存在数字k 使得k αβ=，我们就认为向量α与β之前存在线性关系，称他们是线性相关的，否则它们无线性关系.而在多个向量之间,这种成比例的关系则通过线性组合的形式来表现.

定义2.2.1 对s 个n 维向量12,,s ααα ,他们的线性组合

1122s s k k k ααα++= 0 ... ... (2.1)

(1) 若,12,s k k k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组12,,s ααα 线性相关; (2) 若当且仅当12,s k k k 全为零，（2.1）式成立，称向量组12,,s ααα 线性无关 . 定义2.2.1易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关.

(2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理2.2.1 （1） 如果向量组m ααα,,,21 中有一部分组线性相关,则向量组

m ααα,,,21 必线性相关.

（2）如果向量组m ααα,,,21 线性无关,则任何部分组必线性无关.

证明（1） 假设该组向量中12,αα线性相关，由定义2.2.1必存在 12,k k 不全为零，使得1122+=0k k αα成立。取一组不全为零的数12,,0,0,,0k k ，有

11223m ++0++0=0k k αααα 成立，故

m ααα,,,21 线性相关。

证明（2）用反证法即可证得。

定理2.2.2 如果向量组m ααα,,,21 线性无关,而向量组βααα,,,,21m 线性相关,则β可由向量组m ααα,,,21 线性表出且表达式唯一.

证明 由已知存在一组不全为零的数12m+1,,m k k k k ，使得

1122+1++++=0m m m k k k k αααβ 成立。

此时，一定有 +10m k ≠，若不然，由条件知，m ααα,,,21 线性无关，所以 组合1122+++=0m m k k k ααα 中12,m k k k 全为零，矛盾。于是有

1212m+111

k =-

k m m m m k k

k k βααα++--- 即，β可由向量组m ααα,,,21 线性表出。 设β可由向量组m ααα,,,21 有两种线性表示： 1122m +++m βλαλαλα= ... ... (2.2)

及

1122m +++m βηαηαηα= ... ... (2.3)

用（2.2）—（2.3），有

111222m ()+()++()0m m ληαληαληα---= 再由条件知：1122,m m ληληλη=== ，故表达式唯一。

例 2.1 讨论向量组1232111,2,1112ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

的相关性。

解 令112233+x +x 0x ααα=，得齐次线性方程组

12312312

3202020

x x x x x x x x x -++=⎧⎪

-+=⎨⎪+-=⎩

其系数矩阵的最简形

211000121011112101-⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

得通解123

x c x c x x =⎧⎪

=⎨⎪=⎩，c R ∈,显然当c 不取零时，123,,x x x 不全为零。故向量组线性相关。

2.2.2 向量组的线性相关性的判定

从例2.1可看出，向量组m ααα,,,21 线性相关还是线性无关,取决于齐次线性方程组 02211=+++m m x x x ααα …… （2.1） 是否有非零解还是只有唯一零解. 即若齐次线性方程组(2.1)有非零解m k k k ,,,21 ,使 02211=+++m m k k k ααα

则知向量组m ααα,,,21 线性相关.若齐次线性方程组(2.1)只有唯一零解:

021====m x x x ,

则向量组m ααα,,,21 线性无关.

由此结合上一章第五讲中定理5.2可得向量相关性的另一个等价定义：

定义2.2.2 记向量组11121212221212,,,,m m m n n nm a a a a a a a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

构成的矩阵为 11

12121

2221

2m m n n nm a a a a a a A a a a ⎛⎫

⎪

⎪

= ⎪

⎪

⎝⎭

当秩()R A m <时，我们称向量组线性相关; 当秩()R A m =时，我们称向量组线性无关.

由于{}()min ,R A n m ≤,因此可得下面的结论:

推论2.2.1 （1） 若n 维向量组中向量的个数m 大于n , 则该向量组必线性相关.

（2） 设1112121

22212m m n n nm a a a a a a A a a a ⎛⎫

⎪

⎪

= ⎪

⎪

⎝⎭

，12,,,m ααα 与12,n βββ 分别是矩

阵A 的例向量组与行向量组，则12R(,,,)m ααα= 12(,)n R βββ

证明（略）