第二章 第二讲 向量组的相关性

第二讲 向量组的线性相关性2.2.1 向量组的线性相关性向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是n 维向量空间中向量之间是否存在线性关系.在两个向量之间, 最简单的线性关系是对应坐标是否成比例,如果存在数字k 使得k αβ=，我们就认为向量α与β之前存在线性关系，称他们是线性相关的，否则它们无线性关系.而在多个向量之间,这种成比例的关系则通过线性组合的形式来表现.定义2.2.1 对s 个n 维向量12,,s ααα ,他们的线性组合1122s s k k k ααα++= 0 ... ... (2.1)(1) 若,12,s k k k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组12,,s ααα 线性相关; (2) 若当且仅当12,s k k k 全为零，（2.1）式成立，称向量组12,,s ααα 线性无关 . 定义2.2.1易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关.(2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理2.2.1 （1） 如果向量组m ααα,,,21 中有一部分组线性相关,则向量组m ααα,,,21 必线性相关.（2）如果向量组m ααα,,,21 线性无关,则任何部分组必线性无关.证明（1） 假设该组向量中12,αα线性相关，由定义2.2.1必存在 12,k k 不全为零，使得1122+=0k k αα成立。

取一组不全为零的数12,,0,0,,0k k ，有11223m ++0++0=0k k αααα 成立，故m ααα,,,21 线性相关。

证明（2）用反证法即可证得。

定理2.2.2 如果向量组m ααα,,,21 线性无关,而向量组βααα,,,,21m 线性相关,则β可由向量组m ααα,,,21 线性表出且表达式唯一.证明 由已知存在一组不全为零的数12m+1,,m k k k k ，使得1122+1++++=0m m m k k k k αααβ 成立。

此时，一定有 +10m k ≠，若不然，由条件知，m ααα,,,21 线性无关，所以 组合1122+++=0m m k k k ααα 中12,m k k k 全为零，矛盾。

于是有1212m+111k =-k m m m m k kk k βααα++--- 即，β可由向量组m ααα,,,21 线性表出。

设β可由向量组m ααα,,,21 有两种线性表示： 1122m +++m βλαλαλα= ... ... (2.2)及1122m +++m βηαηαηα= ... ... (2.3)用（2.2）—（2.3），有111222m ()+()++()0m m ληαληαληα---= 再由条件知：1122,m m ληληλη=== ，故表达式唯一。

例 2.1 讨论向量组1232111,2,1112ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的相关性。

解 令112233+x +x 0x ααα=，得齐次线性方程组123123123202020x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩其系数矩阵的最简形211000121011112101-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得通解123x c x c x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩，c R ∈,显然当c 不取零时，123,,x x x 不全为零。

故向量组线性相关。

2.2.2 向量组的线性相关性的判定从例2.1可看出，向量组m ααα,,,21 线性相关还是线性无关,取决于齐次线性方程组 02211=+++m m x x x ααα …… （2.1） 是否有非零解还是只有唯一零解. 即若齐次线性方程组(2.1)有非零解m k k k ,,,21 ,使 02211=+++m m k k k ααα则知向量组m ααα,,,21 线性相关.若齐次线性方程组(2.1)只有唯一零解:021====m x x x ,则向量组m ααα,,,21 线性无关.由此结合上一章第五讲中定理5.2可得向量相关性的另一个等价定义：定义2.2.2 记向量组11121212221212,,,,m m m n n nm a a a a a a a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭构成的矩阵为 111212122212m m n n nm a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭当秩()R A m <时，我们称向量组线性相关; 当秩()R A m =时，我们称向量组线性无关.由于{}()min ,R A n m ≤,因此可得下面的结论:推论2.2.1 （1） 若n 维向量组中向量的个数m 大于n , 则该向量组必线性相关.（2） 设111212122212m m n n nm a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12,,,m ααα 与12,n βββ 分别是矩阵A 的例向量组与行向量组，则12R(,,,)m ααα= 12(,)n R βββ证明（略）例2.2 判断下列向量组的线性相关性()123(1)1,3,2,4,(2,3,4,1),(4,2,5,2)TT T ααα=-=-=-.()1234(2)1,1,2,4,(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1,2,3,4)TT T T αααα=-===-.123(3)(2,3,4,1),(2,1,4,0),(1,3,0,1),T T T ααα==--=-解:(1)213142433(1)12412412433209140122450030030120120914r r r r r r r A +--↔⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭4342493124124012012003003004000r r r r --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因为 ()3R A =,所以321,,ααα线性无关. 解(2)21314124103110311302033321730111421440228r r r r r r A +--⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪=−−−→⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭3242341()32()313110310333033300000001000010000r r r r r r --↔⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪−→−−−→⎪⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭因为()34R A =<,因此4321,,,αααα线性相关. 解(3) 由推论2.2.1知,5个四维向量必定线性相关.例2.3 已知123102124157ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，讨论向量组123,,a a a 及向量组12,a a 的线性相关性.解 123102102(,,)124~022157000A ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12123(,)(,,)2R R ααααα∴==∴ 向量组123,,a a a 线性相关，而向量组12,a a 的线性无关.例2.4设向量组123,,a a a 线性无关，令112223331,,b a a b a a b a a =+=+=+讨论向量组123,,b b b 的线性相关性.解一 设存在123,,x x x 使1122330x b x b x b ++=，即112223331()()0,x x x αααααα+++++=（）亦即 131122233)()()0. x x x x x x ααα+++++=（123ααα，，线性无关131223000x x x x x x +=⎧⎪∴+=⎨⎪+=⎩易解得该方程组只有零解1230x x x ===∴ 向量组123,,b b b 线性无关.解二 记112312323101(,,),(,,),110,011x A a a a B b b b K x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设0Bx =123123101(,,)(,,)110011b b b a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即B AK =()0A Kx ⇒=，又因为A 的列向量线性无关0Kx ∴=又()3R K = 由第一章第五讲定理5.1知0x =∴ 向量组123,,b b b 线性无关.解三 记123123101(,,),(,,),110011A a a a B b b b K ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭ 123123101(,,)(,,)110011b b b a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭B AK ∴= ()3R K = ，K 可逆 ()()R A R B ∴=向量组123,,a a a 线性无关()3R A ∴= ()3R B ∴= ∴ 向量组123,,b b b 线性无关.本例给出了三种证法，这三种证法都是常用的。

第一种方法根据定义把向量组的线性无关转化为齐次方程组的零解问题；第二种方法与第一种本质相同，只不过采用了矩阵表达式；第三种方法除了采用矩阵形式表示，还利用了矩阵的相关定理。

由此我们发现矩阵理论对向量性质的推导是十分重要的。

例2.5 设四维向量组T T T a a a a a a a a a a a a ),,,(,),,,(,),,,(343332313242322212141312111===ααα线性无关,试证:在每个向量中添加一个分量,得到加长向量组TT T a a a a a a a a a a a a a a a ),,,,(,),,,,(,),,,,(353433323132524232221215141312111===βββ也线性无关.证 因为321,,ααα线性无关,所以相对应的齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++000334224114333223113332222112331221111x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a …… （2.4）只有零解.考虑321,,βββ相对应的齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++0000335225115334224114333223113332222112331221111x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a …… （2.5）显然,方程组(2.5)的每一个解都是方程组(2.4)的解.而方程组(2.4)只有零解,所以方程组(2.5)也只有零解,故此321,,βββ线性无关.用同样的方法可把例2.5的结论推广到一般情形,即有定理2.2.3 若n 维向量组m ααα,,,21 线性无关，则在每个向量中添加m 个分量，得到的n+m 维“加长”向量组m βββ,,,21 也线性无关.证明（略）定理2.2.4 向量组m ααα,,,21 (m ≥2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可被其余向量线性表出.证 必要性 已知向量组m ααα,,,21 (m ≥2)线性相关，由定义2.2.1知,有一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,使得02211=+++m m k k k ααα不妨设0m k ≠则有 112211------=m m m m k k k k αααα 即112211------=m mm m m m k k k kk k αααα 这说明m α可以由其余向量线性表出.充分性 已知向量组m ααα,,,21 (m ≥2)中至少有一个向量可被其余向量线性表出,不妨设为m α,即112211--'++'+'=m m m k k k αααα 移项得 1122110m m m k k k αααα--'''+++-= 因1,,,,121-'''-m k k k 中至少有－1不为零,所以m ααα,,,21 线性相关. 证毕.由定理2.2.4可推得下面定理:定理2.2.5 向量组m ααα,,,21 (m ≥2)线性无关的充分必要条件是其中任何一个向量都不能被其余向量线性表出.例2.5 已知123(,,)2R a a a =，234(,,)3R a a a =，证明 (1)1a 能用23,a a 线性表示； (2)4a 不能用123,,a a a 线性表示.证明 (1) 由234(,,)3R a a a =知，234,,a a a 线性无关，故23,a a 也线性无关.又由123(,,)2R a a a =知，123,,a a a 线性相关，故1a 能用23,a a 线性表示.(2) 设4a 能由123,,a a a 线性表示，则因为1a 能由23,a a 线性表示，故4a 能由23,a a 线性表示，从而234,,a a a 线性相关，这与已知矛盾.因此4a 不能用123,,a a a 线性表示.2.2.3 学生自主学习1、两个向量线性相关的几何意义为平行或共线，三个向量线性相关的几何意义为共面，那么，读者能不能想象一下，三个向量线性相关，其中两个是线性无关的几何图案呢？2、线性相关性与线性表示的关系一个或多个同维向量组成向量组.如果向量1β能由()123 ααα线性表示，意味着()1231 αααβ线性相关；如果向量2β不能由()123 ααα线性表示，意味着()1232 αααβ线性无关.如果()1231 αααβ线性相关，()1232 αααβ线性无关，则有下列结论：由于()()12312 k k αααββ+任意常数 经过初等变换可变成()1232 αααβ，故()123112 k αααββ+线性无关；但不能变成()1231 αααβ，因为2β不能由()123 ααα线性表示，无法消元；同理，()12312 k αααββ+可经过初等变换变成()1232 k αααβ，因此，在0k ≠时，线性无关，在0k =线性相关，因为零向量与任何向量组线性相关.我们用高斯消元法求解线性方程组AX b =的消元过程，实际上是对其增广矩阵()|A b 的行向量做线性运算（向量的加法与数乘），通过这样的运算（也就是矩阵的初等行变换）把增广矩阵()|A b 化为行阶梯形矩阵(),c d 时会有几个非零行，也就是有可能会出现几个全零行，这取决于增广矩阵()|A b 的行向量之间在线性运算下有怎样的关系.例如：系数矩阵A 为5⨯5矩阵时，()|A b 的行向量有5个，记作12345,,,,,ααααα如果45,αα能用123,,ααα线性表示，而123,,ααα之间任一个都不能用另外两个线性表示，那么对()|A b 做初等行变换（也就是对12345,,,,ααααα作线性运算时），就一定可以将45,αα所在的行化为全零行，于是()|A b 化为阶梯形矩阵(),c d 时就必有3个非零行.这里所涉及的就是一组向量之间在线性运算下有怎样的关系，这就是“向量的线性相关性”的问题.因此，必须从“向量的线性相关性”入手，才能搞清楚前面所提的求解线性方程组的深层次问题.问题与思考请说明矩阵A 的行向量组与矩阵的秩以及A 作为齐次方程组的系数矩阵之间的联系。