隐形圆问题

合集下载

高三数学隐形圆练习题

高三数学隐形圆练习题隐形圆是高中数学中一个重要的概念，理解隐形圆的性质和应用对于解决相关的几何问题至关重要。

本文将提供一些高三数学隐形圆练习题，帮助学生巩固对该概念的理解和运用能力。

练习题1：已知在平面直角坐标系中，圆心为O(-2, 3)，半径为5。

请回答以下问题：1. 圆的方程是什么？2. 过圆心的直径的方程是什么？3. 过由圆心和横坐标为1的点的直线的方程是什么？解答：1. 圆的方程可以表示为：(x+2)² + (y-3)² = 25。

2. 过圆心的直径的方程可以表示为：x + 2y - 10 = 0。

3. 过由圆心和横坐标为1的点的直线的方程可以表示为：2y - x - 5 = 0。

练习题2：已知在平面直角坐标系中，直线方程为2x + 3y - 6 = 0。

请回答以下问题：1. 该直线与y轴的交点是什么？2. 该直线与x轴的交点是什么？3. 该直线是否与圆心为(1, -2)、半径为4的圆相切？解答：1. 该直线与y轴的交点可以通过令x=0来求解，得到点(0, 2)。

2. 该直线与x轴的交点可以通过令y=0来求解，得到点(3, 0)。

3. 该直线不与圆心为(1, -2)、半径为4的圆相切。

通过将直线方程带入圆的方程进行判别，得到：(1+2)² + (m+2)² = 16。

化简得到m² + 4m + 5 = 0，该二次方程没有实根，因此直线与圆不相切。

练习题3：已知在平面直角坐标系中，直线L₁的方程为3x - 4y - 5 = 0，直线L₂过点A(3, 2)且与直线L₁垂直。

请回答以下问题：1. 直线L₂的方程是什么？2. 直线L₁与直线L₂的交点是什么？3. 直线L₂与圆心为(1, -1)、半径为3的圆是否相切？解答：1. 直线L₁的斜率为3/4，垂直于L₁的直线L₂的斜率为-4/3。

过点A(3, 2)且斜率为-4/3的直线方程可以表示为：y - 2 = (-4/3)(x - 3)，化简可得y = (-4/3)x + 14/3，即直线L₂的方程为y = (-4/3)x + 14/3。

数学隐形圆问题解题技巧

数学隐形圆问题解题技巧1. 嘿，你知道吗？遇到那种动点问题，别慌！比如有个点在一个图形上运动，这时候就要想到隐形圆啦。

就好像一只小老鼠在迷宫里乱跑，咱们得找到它的规律呀！比如在一个直角三角形里，斜边就是那个“隐形成员”，动点到斜边中点的距离始终不变，这不就是个隐形圆嘛。

2. 哇塞，还有一种情况也会有隐形圆哦！当几个固定的点到一个动点的距离相等时，这不就是圆的定义嘛。

就好比一群小朋友围着一个大哥哥，这个大哥哥就是圆心呀！比如四边形的四个顶点到某点距离相等，那隐形圆不就出来啦。

3. 嘿呀，你想想，要是给你一些角度条件呢？当固定的边所对的角是定值的时候，也能发现隐形圆呀！就像一部精彩的电影，有了关键情节就能猜到后面的发展，比如一个三角形，一条边固定，它所对的角一直是 60 度，这不就是隐形圆在向你招手嘛。

4. 还有呢！当有两个动点，它们到同一点的距离比值是定值时，也可能有隐形圆哦。

这就像两个小伙伴比赛跑步，速度有个固定比例，那就能找出其中的秘密啦！比如两个点到另一个点的距离一直是 2 比 1，那隐形圆可能就藏在里面哟。

5. 哎呀呀，再告诉你一个秘密哦。

要是有几条线段长度不变，互相垂直呢？对啦，隐形圆就藏在那里！就像一个神奇的魔法阵，只要发现了就能破解谜题啦。

比如三条线段组成一个直角三角形，那这个直角三角形的外接圆不就是隐形圆嘛。

6. 你可别小瞧这些隐形圆呀！它们就像隐藏在数学世界里的宝藏，等你去发现呢。

比如在一些几何图形中，乍一看没啥特别，但是仔细一分析，哇，隐形圆出现啦！就像突然找到了宝藏的入口一样兴奋。

7. 总之呀，数学隐形圆问题有很多技巧呢，只要多观察多思考，就能找到它们。

不要怕难题，就像爬山一样，一步步往上爬，总会看到美丽的风景呀！记住这些技巧，以后再遇到隐形圆问题，就不会头疼啦，可以轻松搞定它们！我的观点就是，只要用心去钻研，数学隐形圆问题并不难，反而会很有趣呢！。

必须掌握的5种隐形圆

在高中解析几何中圆是非常重要的内容有这样一类问题圆的信息在条件中没有直接给出而是隐藏在题目中要通过分析和转化发现圆或圆的方程从而可以利用握的5种隐形圆
在高中解析几何中圆是非常重要的内容,有这样一类问题,圆的信息在条件中没有直接给出,而是隐藏在题目中,要通过分析和转化发现圆(或圆的方程),从而可以利用圆的知识来求解,我们称这类问题为'隐形圆'问题.解题时如何发现隐形圆是关键,一般含有隐形圆的问题总会有关于圆的一些蛛丝马迹,本文结合近几年高考试题及模拟题解题实践就如何根据题目条件寻找隐形圆提供一些常见的方法.

初中隐形圆十种类型

初中隐形圆十种类型隐形圆指的是在平面上的一种特殊形状，其特点是每条边都与其他边垂直且相等。

在初中数学中，我们经常会遇到各种类型的隐形圆问题，下面列举了十种常见的类型。

1.隐形圆边长求解：已知隐形圆的面积和周长，求其边长。

首先，根据隐形圆的面积公式，得到方程：面积=隐形圆的边长的平方，然后根据隐形圆的周长公式，得到方程：周长=4乘以隐形圆的边长。

2.隐形圆面积求解：已知隐形圆的边长，求其面积。

根据隐形圆的面积公式，面积=隐形圆的边长的平方。

3.隐形圆周长求解：已知隐形圆的面积，求其周长。

首先，根据隐形圆的面积公式，得到方程：面积=隐形圆的边长的平方，然后根据隐形圆的周长公式，得到方程：周长=4乘以隐形圆的边长。

4.隐形圆与正方形的关系：正方形的四个顶点分别与隐形圆相切，则这个正方形被称为外接正方形。

外接正方形的边长等于隐形圆的直径。

5.隐形圆与正方形的关系：正方形的一个顶点与隐形圆的圆心相切，则这个正方形被称为内接正方形。

内接正方形的边长等于隐形圆的半径的2倍。

6.隐形圆与等边三角形的关系：等边三角形的三个顶点分别与隐形圆相切。

等边三角形的边长等于隐形圆的直径。

7.隐形圆与正六边形的关系：正六边形的六个顶点分别与隐形圆相切。

正六边形的边长等于隐形圆的直径。

8.两个隐形圆的关系：两个相切的隐形圆的圆心与相切点在一条直线上。

这条直线被称为两个隐形圆的公切线。

9.三个隐形圆的关系：三个隐形圆两两相切，则它们的圆心构成一个等边三角形。

10.隐形圆与正方形的关系：正方形的中心与隐形圆的圆心重合，则这个正方形被称为内接正方形。

内接正方形的边长等于隐形圆的半径的2倍。

以上是初中数学中常见的隐形圆类型，掌握了这些类型，可以帮助我们更好地理解和解决相关问题。

2023年高考数学考前冲刺：隐形圆问题

第30讲隐形圆问题【方法总结】隐圆问题近几年在各地模考和高考的填空题和解答题中都出现过，难度为中、高档题．在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．【解析】：由平面直角坐标系的性质可得90AOB ，故而可得圆C 的图像经过原点O 。

由图像可得点C 到直线的距离和到点O 的距离相等，故而当OC l 时，半径最小，此时12r d，故而面积的最小值为54 。

【典例2】(1)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)，且m>0.若圆C上存在一点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值是()A ．7B ．6C ．5D ．4【解析】如图所示，圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1的半径为1，|OC|＝5，所以圆C 上的点到点O 距离的最大值为6，最小值为4，由∠APB ＝90°可得，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，连接OP ，故|PO|＝12|AB|＝m ，故4≤m≤6.所以m 的最大值是6.则由|PA|＝2|PB|，得x ＋12＋y 2＝2x －12＋y 2，即＋y 2＝169，因此圆＋y2＝169与直线x＋3y＋m＝0有交点，即532m≤43，解得－133≤m≤1.故m的取值范围为－13 3，1.【解析】：如图所示，过点A作渐近线的垂线AB，由6030MAN BAN，又,2AM b AB OA a OB，故而2tan bBOAa，解得22133b ea。

【解析】设P(x，y)，由PA·PB≤20可得(x＋6)2＋(y－3)2≤65，则点P为圆O在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部及其上的点，2＋y2＝50，2＋y2＋12x－6y＝20，＝1，＝7＝－5，＝－5.结合图形(图略)可知－52≤x≤1.(2)已知等边三角形ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足PA→·PB→－2λ＋1＝0的点P 恰有两个，则实数λ的取值范围是________．【解析】如图，以AB的中点O为坐标原点，AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设P(x，y)，则PA→·PB→－2λ＋1＝0，即为(－1－x)(1－x)＋y 2－2λ＋1＝0，化简得x 2＋y 2＝2λ(λ>0)，故所有满足PA →·PB →－2λ＋1＝0的点P 在以O 为圆心，2λ为半径的圆上．过点O 作OM ⊥AC ，垂足为点M ，由题意知，线段AC 与圆x 2＋y 2＝2λ有两个交点，所以|OM|<2λ≤|OA|，即32<2λ≤1，解得38<λ≤12.1m n，化简可得1m n mn ，根据基本不等式22m n mn 可得212m n m n，化简可得 2440m n m n，解一元二次不等式可得2m n 或者2m n ，当且仅当m n时取等号。

隐形圆最值问题初中题型

隐形圆最值问题初中题型
隐形圆最值问题是初中数学中的一个常见题型，也是一个优化问题。

该问题通常涉及到一个平面内的几何图形，并要求根据给定条件找到某个属性的最大值或最小值。

以下是一个典型的隐形圆最值问题：
问题：已知一个正方形的周长为20cm。

在正方形内部有一个圆，使得圆与正方形的边界相切。

求这个圆的最大半径。

解答：设正方形的边长为a，圆的半径为r。

根据条件，圆与正方形的边界相切，表示圆正好与正方形的边界接触，没有超出正方形。

根据正方形的周长为20cm可知： 4a = 20 a = 5cm
设圆的半径为r，圆的直径为2r。

由于圆与正方形的边界相切，所以圆的直径等于正方形的边长，即2r = a。

代入已知条件可得： 2r = a 2r = 5
解出r得最大半径： r = 5/2 r = 2.5cm
因此，该正方形内的隐形圆的最大半径为2.5cm。

在解决类似的隐形圆最值问题时，关键是将问题进行合理的建模和分析。

通过设定适当的变量和条件，利用等式或不等式关系，可以得到最终的结果。

重要的是将问题化归为数学计算的形式，然后进行推导和求解。

隐形圆最值问题需要仔细观察和分析，巧妙运用数学知识和方法，才能得到准确的最值结果。

例析四类“隐形圆”问题

2020年第9期中学数学研究•51•例析四类“隐形圆”问题福建省福安市第一中学(355000)叶珊近年来，随着对圆的方程加大的考查力度，许多“隐形圆”的问题不断呈现.所谓的“隐形圆”，就是在条件中没有直接给出有关圆的信息，而是隐藏在题目的信息中，要通过分析和转化，才能发现圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的知识来解决问题.下面举例介绍四类常见类型，供参考.一、隐含着圆的定义或圆的方程例1若圆C：(x-2a)2+(y-a-3)2=4上，总存在两个点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是________•解析:设P(%,y。

)为圆上一点，且PO=1,则有%o+To=1,即点P在以原点为圆心，1为半径的圆上，而点P又在圆C：(x-2a)2+(y-a-3)2=4上，依题意，这样的P点有两个，即两圆相交，所以2 -1W y(2a)2+(a+3)2W2+1,解得-务W aW0,即实数a的取值范围是[-务,0].评注:从题设中找到了动点到定点的距离为定长，这就是圆的定义，抓住它建立圆的方程，从而再利用两圆相交的性质列出不等式求出参数范围就变得很容易了.例2已知A,B,C,D四点共面,BC=2,AB2+ AC2=20,CD=3C4,4t I BD\的最大值.解析：以DC所在的直线为％轴，以线段BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，又BC=2,可设B(-1,O),C(1,O).设A(衍，yj,由4於 +AC2=20得[+I)2+j)]+[(«：!-I)2+ji]=20,化简得+y2=9戾).设D(x,y),^CD=3莎得(％-1,y)=3(冋-1,刃)，所以％i=*(%+2)且九=将它们代入X)式得仏+2)2+y2=81,即D点在以(-2,0)为圆心,9为半径的圆上，而I BD\就是圆上的动点D到点B(-1,O)的距离，根据圆的性质可知丨丽I的最大值就是圆心(-2,0)到点-1,0)加上半径，即1+9=10,所以⑷—=10.评注:依据题设中的平方和的条件得到了点A 在一个已知圆上运动，再由给出的向量的线性关系，使问题转化D点在另一个已知圆上运动，如果点B 固定，则就变成一个非常熟悉的问题了.二、含有线段长的比式例3已知圆C：(%-2)2+y2=2,直线l.y= k(x+2)与％轴交于点A,过Z上一点P作圆C的切线，切点为T,若PA=#PT,则实数％的取值范围是解析：由于直线l-.y=k(x+2)与％轴交于点A(_2,0),则刃=g设P(%,y),由PA=匹PT得/(X+2)2+y2=#V(x-2)2+y2-2,化简得仏-6)2+y2=36,即点P在以(6,0)为圆心,6为半径的圆上，又点P在直线Z上，所以直线Z 与圆相交或相切，则d W r,即I§律+「丄w6,化简得7號W9,解得-導導，所以实数％的取值范围是[-昭，昭].点评：这是一个“阿波罗斯尼圆”的问题，解题中抓住了给出的线段长等式，通过设动点，建立方程，然后再化简方程找到了一个隐含圆，这就将问题转化为直线与圆有交点问题了.例4已知点P到两定点M(_1,O)JV(.距离的比为点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.解析:设P的坐标为仏,y),由题意有■^十=Q,即a/(%+1)2+j2=-J1•a/(%-1)2+j2,整理得/+y2_6%+1=0,因为点N到PM的距离为1,I MN\=2,所以厶PMN=30。

隐圆问题的十大类型：高考数学微专题

隐圆问题的十大类型：高考数学微专题隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！当然，这部分内容在课本上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆，圆的参数方程等，基于此，本节将系统梳理相关内容，力争做成一份全面，完整的隐圆资料.类型1.利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1.如果圆4)3()2(22=--+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围为________.类型2.动点P 满足对两个定点B A ,的张角是90（1-=⋅PB P A k k 或者0=⋅→→PB P A ）确定隐形圆.该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用.例2.已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A．3B．2C．1D．0例3.已知点()3,0P -在动直线()30mx ny m n +-+=上的投影为点M ，若点32,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MN 的最大值为（）A．1B．32C．2D．1124．已知点P 是圆C ：222430x y x y +--+=的动点，直线l ：30x y --=上存在两点A ，B ，使得π2APB ∠=恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．B．C．D．5．已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．1B．C．D．2+6．若对于圆22:2220C x y x y +---=上任意的点A ，直线:4380l x y ++=上总存在不同两点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则MN 的最小值为______.类型3.正弦定理对边对角模型.由正弦定理可知，当已知三角形任意一边和该边所对角大小时，即可得到外接圆半径，即AaR sin 2=.7.（2020年全国2卷）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222⋅=--（1）求A ；（2）若3=BC ，求ABC ∆周长的最大值.8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．点P 在正方形ABCD 的边AD 或BC 上运动，若1PE PF ⋅=，则满足条件的点P 的个数是（）A．0B．2C．4D．6类型5.动点P 满足对两个定点B A ,满足：)0(||||22>=+λλPB P A .类型6.阿波罗尼斯圆定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,||||≠=λλPB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ⋅-λλ，圆心为)0|,|11(22AB ⋅-+λλ.解析：设(,0),(,0),(,)A c B c P x y -．因为(0,0AP BP c λλ=>>且1)λ≠由两点间距离=，化简得2222221211x c y c λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．所以点P 的轨迹是以221,01c λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，以221c λλ-为半径的圆．9.ABC ∆中，2=AB ，BC AC 2=，则ABC ∆的面积最大值为_______.类型7.“从动点圆”，若A 为定点，点P 在圆上运动，则线段AP 的中点也在一个圆上.10.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB的中点M 的轨迹方程是__________.类型8.圆的内接四边形与托勒密定理若四边形ABCD 对角互补，或者BC AD CD AB DB AC ⋅+⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆.11．在平面四边形ABCD 中，,AB AC AC ⊥=，AD =3，BD =则CD 的最小值为（）B．2C．2类型9.向量隐圆12.已知向量→→→c b a ,,满足12||,1||-=⋅==→→→→b a b a ，且向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，则||→c 的最大值为_________.13.（2018年浙江高考）已知a 、b 、e 是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+= ，则a b - 的最小值是（）11C．2D．214已知平面向量a 、b 、c 满足0a b ⋅= ，1a b == ，()()12c a c b -⋅-= ，则c a - 的最大值为（）B．12+C．32D．2类型10.米勒圆与最大视角米勒定理1：已知点B A ,是MON ∠的边ON 上的两个定点，点P 是边OM 上的动点，则当且仅当ABP ∆的外接圆与边OM 相切于点P 时，APB ∠最大.13.（2022南昌一模）已知点)0,3(),0,1(B A -.点P 为圆45:22=+y x O 上一个动点，则APB ∠sin 的最大值为__________.隐圆问题的十大类型（解析版）隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！当然，这部分内容在课本上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆，圆的参数方程等，基于此，本节将系统梳理相关内容，力争做成一份全面，完整的隐圆资料.类型1.利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1.如果圆4)3()2(22=--+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围为________.解析：转化为4)3()2(22=--+-a y a x 与圆122=+y x 有两个交点，求a 的取值范围问题，由两圆相交的条件可知：)0,56(-∈a .类型2.动点P 满足对两个定点B A ,的张角是90（1-=⋅PB P A k k 或者0=⋅→→PB P A ）确定隐形圆.该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用.例2.已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A．3B．2C．1D．0解析：设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=-，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-，半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选B.例3.已知点()3,0P -在动直线()30mx ny m n +-+=上的投影为点M ，若点32,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MN 的最大值为（）A．1B．32C．2D．112解析：由动直线方程()30mx ny m n +-+=得()()130m x n y -+-=，所以该直线过定点Q（1,3），所以动点M 在以PQ 为直径的圆上，5,2=圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N 3=，所以MN 的最大值为5113+22=.故选：D.4．已知点P 是圆C ：222430x y x y +--+=的动点，直线l ：30x y --=上存在两点A ，B ，使得π2APB ∠=恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．B．C．D．解析：圆()()22:122C x y -+-=，圆心为()1,2C ，半径为1r 依题意，P 是圆C 上任意一点，直线l 上存在两点,A B ，使得π2APB ∠=恒成立，故以AB 为直径的圆D 始终与圆C 相切，即圆D 的半径2r 的最小值是P 到直线l 距离的最1r ==AB 的最小值是2⨯=.故选：A5．已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．1B．C．D．2+解析：由题可知：22:(1)(2)2C x y -+-= ，圆心()1,2C ，半径r =又CE CF ⊥，P 是EF 的中点，所以112CP EF ==，所以点P 的轨迹方程22(1)(2)1x y -+-=，圆心为点()1,2C ，半径为1R =，若直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则以AB 为直径的圆要包括圆22(1)(2)1x y -+-=，点()1,2C 到直线l 的距离为d =，所以AB 长度的最小值为()212d +=+，故选：B．6．若对于圆22:2220C x y x y +---=上任意的点A ，直线:4380l x y ++=上总存在不同两点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则MN 的最小值为______.解析：由题设圆22:(1)(1)4C x y -+-=，故圆心(1,1)C ，半径为2r =，所以C 到:4380l x y ++=的距离3d r ==>，故直线与圆相离，故圆C 上点到直线:4380l x y ++=的距离范围为[1,5]，圆C 上任意的点A ，直线:4380l x ++=上总存在不同两点M 、N ，使90MAN ∠≥︒，即以MN 为直径的圆包含圆C ，至少要保证直线上与圆C 最近的点，与圆上点距离最大值为半径的圆包含圆C ，所以10MN ≥.故答案为：10类型3.正弦定理对边对角模型.由正弦定理可知，当已知三角形任意一边和该边所对角大小时，即可得到外接圆半径，即AaR sin 2=.7.（2020年全国2卷）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222⋅=--（1）求A ；（2）若3=BC ，求ABC ∆周长的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴ 周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴ 周长的最大值为3+类型4.动点P 满足对两个定点B A ,满足：)0(≠=⋅→→λλPB P A .分析：由于||AB 定值，设AB 中点为M ，根据平面向量部分极化恒等式可得：222||41||)0(41AB PM AB PM PB P A +=⇒≠=-=⋅→→→→λλλ，故动点P 是以AB 中点M为圆心，半径为2||41AB +λ的圆.8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．点P 在正方形ABCD 的边AD 或BC 上运动，若1PE PF ⋅=，则满足条件的点P 的个数是（）A．0B．2C．4D．6解析：由上述分析可知，故动点P 是以EF 中点M 为圆心，半径为2||41EF +λ的圆.故此题中点P 以EF 中点M 为圆心，半径为10的圆，所以，共有4个点满足条件.故选：C类型5.动点P 满足对两个定点B A ,满足：)0(||||22>=+λλPB P A .解析：由于→→→→⋅-+=+PB P A PB P A PB P A 2)(||||222，设AB 中点为M ，则由向量关系与极化恒等式可知：λ=--=⋅-+→→→→→→→)41(242)(2222AB PM PM PB P A PB P A ，整理可得：→→+=22412AB PM λ，显然动点P 以M 为圆心，→+2412AB λ为半径的圆.类型6.阿波罗尼斯圆定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,||||≠=λλPB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ⋅-λλ，圆心为)0|,|11(22AB ⋅-+λλ.解析：设(,0),(,0),(,)A c B c P x y -．因为(0,0AP BP c λλ=>>且1)λ≠由两点间距离=，化简得2222221211x c y c λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．所以点P 的轨迹是以221,01c λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，以221c λλ-为半径的圆．9.ABC ∆中，2=AB ，BC AC 2=，则ABC ∆的面积最大值为_______.解析：由2,AB AC ==，见系代入得22(3)8x y -+=．设圆心为M ，显然当CM x ⊥轴时，ABC 面积最大，此时||CM =．所以()122ABC mx S ∆=⋅⋅=．类型7.“从动点圆”，若A 为定点，点P 在圆上运动，则线段AP 的中点也在一个圆上.10.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是__________.解析：设点M 的坐标为(,)x y ，点00(,)A x y ，M 为AB 的中点，B 的坐标为(4,3)，004232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得002423x x y y =-⎧⎨=-⎩，点00(,)A x y 满足2200(1)4x y ++=22(241)(23)4x y ∴-++-=，即2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故点M 的轨迹是以33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，以1为半径的圆，点M 的轨迹方程为：2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．类型8.圆的内接四边形与托勒密定理若四边形ABCD 对角互补，或者BC AD CD AB DB AC ⋅+⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆.11．在平面四边形ABCD中，,AB AC AC ⊥=，AD =3，BD=则CD 的最小值为（）解析：如图，可设x AB =，则x BC x AC 3,2==，则由托勒密不等式可得：BD AC AB CD BC AD ⋅≥⋅+⋅，代值可得：362233≥⇒⋅≥⋅+⋅CD x x CD ，等号成立当且仅当D C B A ,,,四点共圆.B．2C．2类型9.向量隐圆12.已知向量→→→c b a ,,满足12||,1||-=⋅==→→→→b a b a ，且向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，则||→c 的最大值为_________.解析：依题→→b a ,夹角为43π，而向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，故由四点共圆结论可知，向量→c 的终点C 与B A O ,,四点共圆，则||→c 的最大值即为圆的直径，由于5||||=-=→→b a AB 则由正弦定理：1043sin||||max ==→πAB c .13.（2018年浙江高考）已知a 、b 、e 是平面向量，e是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+= ，则a b - 的最小值是（）11C．2D．2解析：设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===，则由π,3a e =得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴= ，由2430be b -⋅+= 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b - 的最小值为圆心()2,0到直线y =的距离2321，为1.-选A.14已知平面向量a 、b 、c 满足0a b ⋅= ，1a b == ，()()12c a c b -⋅-= ，则c a - 的最大值为（）B．12+C．32D．2解析：在平面内一点O ，作OA a = ，OB b = ，OC c = ，则0a b OA OB ⋅=⋅=，则OA OB ⊥，因为1a b ==，则1== OA OB ，故AOB为等腰直角三角形，则AB =uu u r取AB 的中点E ，则()()()11112222OE OA AE OA AB OA OB OA OA OB a b =+=+=+-=+=+，所以，()22222a ba b a b +=++⋅=，所以，2122a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()()()212c a c b c c a b -⋅-=-⋅+= ，所以，()()()22222142a b a b c c a b c OC OE EC +⎛⎫+-⋅++=-=-== ⎝⎭，则1EC = ，所以，12c a OC OA AC AE EC AE EC -=-==+≤+=+.11当且仅当AE 、EC 同向时，等号成立，故c a -1.故选：B.类型10.米勒圆与最大视角米勒定理1：已知点B A ,是MON ∠的边ON 上的两个定点，点P 是边OM 上的动点，则当且仅当ABP ∆的外接圆与边OM 相切于点P 时，APB ∠最大.13.（2022南昌一模）已知点)0,3(),0,1(B A -.点P 为圆45:22=+y x O 上一个动点，则APB ∠sin 的最大值为__________.解析：如图，设D 是圆O 上不同于点P 的任意一点，连结DA 与圆O 交于点E ，连接EC ，由三角形外角的性质，可知ADC AEC ∠>∠，由圆周角定理：=∠APC AEC ∠，因此ADC APC ∠>∠，当且仅当ACP ∆的外接圆与圆O 相切于点P 时，APC ∠最大.此时，可设ACP ∆的外接圆圆心),1(t M ，由于此时P M O ,,三点共线且MP OM OP +=，而42+==t MC MP ，则531422=+++t t ，解得：5442=t ，于是58=M R ，由正弦定理，则APB ∠sin 的最大值为45.。

专题58 隐形圆问题-2020年江苏省高考数学考点探究(解析版)

专题58 隐形圆问题专题知识梳理隐形圆也就是题目中给出的条件不是给出一个圆，而是要通过设点、列式、化简得到动点的轨迹是一个圆.本专题分四个方面讲了隐形圆问题.1．利用圆的定义：在平面内到定点的距离等于常数，则这个点的轨迹是一个圆.解决这类问题只要抓住两个关键词：定点，定长.然后再化归为圆中的有关问题去解.2．是利用几何特征，直径所对的圆周角是直角，得到了隐形圆，有时两个定点所张的角也不一定是90o，可以是其他的定角，则动点的轨迹是两段圆弧.3．动点到两个定点的距离的平方和是定值，则这个点的轨迹也是一个圆，当然这个定值会有一定的范围，否则轨迹不存在，如果在某一距离前加其他系数也可以.4．是著名的阿波罗尼斯圆：到两个定点的距离之比是一个不为1的定值，这类题可能给出的背景也不在解析几何中，是要自己建系后，才能看出点的轨迹.所以在解题时要当心给出的条件.5．化归思想在本专题的作用很重要，因为给出的条件不是圆，是需要大家在解题分析得出的，另外得到圆以后，要合理用好点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系.考点探究【例1】(1)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则a 的取值范围为____．(2)如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是____．【解析】（1）连OP ，则30OPA ∠=o，∵1OA =，∴2OP =，即P 点的轨迹方程为224x y +=，又点P在圆M 22()(4)1x a y a -+-+=上，∴两圆有交点，即221(4)9a a ≤+-≤，解得：2222a -≤≤+．（2）到原点的距离为1的点的轨迹方程为221x y +=，如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1等价于两圆相交，即2214(3)9a a ≤++≤，解得605a -≤≤．【例2】(1)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0) 0m >，若圆上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的取值范围是____．(2)（2019·南通一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1，1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为_ ___．【解析】（1）∵∠APB ＝90°，∴点P 在以AB 为直径的圆上，其方程为222x y m +=，又点P 在圆C ：(x－3)2＋(y －4)2＝1上，且有两个，∴两圆相交，即11m m -≤+，解得46m ≤≤.（2）∵AB ⊥AC ，设D 为AB 的中点，D 点坐标为(,)x y ，BC 的长为2m ，∴DA m =，在三角形OCD 中，有224m OD +=，即2222(1)(1)4x y x y -+-++=，化简得22113()()222x y -+-=，∴DA 的取值范围为,22．∴BC 的取值范围为．【例3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A ，直线:4l y x =-，圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ,使2210MA MO +=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【解析】设(,)M x y ，∵2210MA MO +=，∴2222(2)10x y x y -+++=，即2223x y x +-=，又圆C 的半径为1，圆心在l 上，∴圆C 的方程为22()(4)1x a y a -+-+=．∵点M也在圆C 上，∴两圆有交点，即221(1)(4)9a a ≤-+-≤，∴2540a a -+≥或250a a -≤，解得4a ≥或1a ≤或05a ≤≤，综上横坐标a 的取值范围为45a ≤≤或01a ≤≤．【例4】已知点A(-2,0)，B(4,0),圆C: 16)4(22=++y x ,P 为圆C 上任意一点，问是否存在常数λ，使λ=PBPA，若存在，求出常数λ的值，若不存在，请说明理由．【解析】假设存在，设P 的坐标为(,)x y ，∵λ=PB PAλ=， ∴22222(2)[(4)]x y x y λ++=-+，即222222(1)(1)(48)4160x y x λλλλ-+-+++-=，又∵P 为圆C 上任意一点，∴16)4(22=++y x ，即228x y x +=-，∴22(164)4160x λλ-+-=对于圆上的任意一点均成立，∴21640λ-=，即12λ=．题组训练1.(2018·扬州一模)已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 到点A 的距离为1，点Q 满足2133AQ AP AC =+u u u r u u u r u u u r，则BQ uuu r 的最小值为．【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则33(,0),(,0),22B C A -，∵点P 到点A 的距离为1，∴2200(1x y +=，设00(,),(,)Q x y P x y ，∵2133AQ AP AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴00213(,)(,(,232322x y x y -=-+-，则00333,242x x y y =-=，∴2214()(29x y -+=，令212cos ,sin 323x y αα=+=∴33(,(,(,)2222BQ BA AQ x y x y =+=+-=+u u u r u u u r u u u r ，∴BQ ==u u u r23≥=. 2.已知直线l ：x －2y ＋m ＝0上存在点M 满足与两点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率之积为－1，则实数m 的取值范围是____．【解析】[]－25，25设点(,)M x y ，∵点M 满足与两点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率之积为－1，∵122y yx x ⋅=-+-，∵224x y +=（2x ≠±），又点M 在直线l ：x －2y ＋m ＝0上，∵2≤，即m -≤≤3.已知点(2,2),(0,2)A B -，若直线3x ＋4y －m ＝0上一动点P 满足224PA PB +=，则实数m 的取值范围是________．【解析】设点(,)P x y ，由题意知2222(2)(2)(2)4x y x y ++-++-=，化简得222440x y x y ++-+=，又点P 在直线3x ＋4y －m ＝0上，即直线与圆有公共点，∴3815m-+-≤，解得010m ≤≤．4.（2008·江苏卷）在△ABC 中，2AB =，AC =，则△ABC 面积的最大值是 .【解析】以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y，∵AC ==即2222(1)2(1)2x y x y ++=-+，22(3)8x y -+=，∴点C 到x轴距离的最大值为3+，则△ABC面积的最大值是12332⨯⨯+=+5.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是____．【解析】∵圆C 方程为22(4)1x y -+=，∴圆心为(4,0)，半径为1，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，即两圆有公共点，2≤，化简得2340k k -≤，解得403k ≤≤，∴k 的最大值为43403k ≤≤6.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)A -，(1,1)B -，P 为圆222x y +=上一动点，则PBPA的最大值为．【解析】设(,)P x y ，PBt PA =t =，化简得222222(1)(24)2(24)240t x t y x t y t -+-++-+-=， ∵222x y +=，∴22(12)230x t y t --+-=， ∴圆心(0,0)O到直线的距离d =≤，∵0t >，∴02t <≤，即PBPA的最大值为2．7.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A 、B ，使得PA →·PB →≤0，则线段EF 长度的最大值是___．【解析】设点P 的坐标为(x ，y )，则x 2+y 2=50，∴=(－12－x ，－y )，=(－x ，6－y )，∴=x 2+12x +y 2－6y =12x －6y +50≤20，即2x －y ≤－5，直线2x －y =－5与圆x 2+y 2=50的交点坐标为M (－5，－5)，N (1，7)，圆x 2+y 2=50与x 轴负半轴的交点坐标为(，0)，∴点P 的横坐标的取值范围是≤x ≤1，故答案为.8.设P 在圆O ：224x y +=上运动，点(4,0)A ，直线:1l y kx =+上总存在点Q ，使Q 恒为AP 的中点，求实数k 的取值范围.【解析】设P (,)x y ，11(,)Q x y ，则114,2,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵点Q 在直线:1l y kx =+上，∴4122y x k +=+，即(4)2y k x =++，代入224x y +=中得：22(42)4x kx k +++=，即222(1)2(42)16160k x k k x k k +++++=，∴22224(42)4(1)(1616)0k k k k k ∆=+-++≥，即2340k k +≤，403k -≤≤. ∴实数k 的取值范围为：403k -≤≤. 9.在平面直角坐标系xoy 中，直线02:1=+-y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线04=--y x 距离的最大值为___________.【解析】设P (,)x y ，∵直线1:20l kx y -+=与直线02:2=-+ky x l 垂直，且直线02:1=+-y kx l 过定点(0,2)，直线2:20l x ky +-=过定点(2,0)，∴P 点轨迹方程为22(1)(1)2x y -+-=， ∴点P 到直线04=--y x=10. (2018·苏北四市期末)已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围为________．【解析】因为A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，所以线段AB 的中点H 满足221122AB OH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,∴H 在圆O ：x 2＋y 2＝41上，且2PA PB PH +=u u u r u u u r u u u r 因为点P 是圆C 2：(x －3)2＋(y－4)2＝1上的动点，所以335522PH -≤≤+u u u r ，即71322PH ≤≤u u ur ，所以7213PH ≤≤u u u r ，从而PA PB +u u u r u u u r 的取值范围是[7,13]．。

中考数学隐形圆专题含答案

类型一：定点到动点定长点A为定点，点B为动点，AB为定长，则点B的轨迹为圆心为点A，半径为AB的圆。

【经典例题1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F 是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是___.【解析】如图所示：当∠BFE=∠B′EF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′=EB，∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB′=2，∵AD=6，∴DE=1022622=+，∴B′D=102−2.练习1-1如图③，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是AB 边上一点，且AE=2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG 、CG ，四边形AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度。

若不存在，请说明理由。

【解析】（3）如图3，△四边形ABCD 是矩形，△CD=AB=3，AD=BC=4，△ABC=△D=90°，根据勾股定理得，AC=5， △AB=3，AE=2，△点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为h ，△S 四边形AGCD =S △ACD +S △ACG =21AD×CD+21AC×h=21×4×3+21×5×h=25h+6， △要四边形AGCD 的面积最小，即：h 最小，△点G 是以点E 为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点， △EG△AC 时，h 最小，由折叠知△EGF=△ABC=90°，延长EG 交AC 于H ，则EH△AC ，在Rt△ABC 中，sin△BAC=AC BC =54，在Rt△AEH 中，AE=2，sin△BAC=AE EH =54， △EH=54AE=58，△h=EH -EG=58-1=53 △S 四边形AGCD 最小=25h+6=25×53+6=215．练习1-2如图，等边△ABC 的边AB=8，D 是AB 上一点，BD=3，P 是AC 边上一动点，将△ADP 沿直线DP 折叠，A 的对应点为A'，则CA'的长度最小值是 .【解析】2练习1-3如图，在平行四边形ABCD 中，△BCD =30°，BC =4，CD=M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△AMN ，连接A'C ，则A'C 长度的最小值是 .【解析】如图，连接MC ；过点M 作ME△CD ，交CD 的延长线于点E ；△四边形ABCD 为平行四边形，△AD△BC ，AD=BC=4，△点M 为AD 的中点，△BCD=30△，△DM=MA=2，△MDE=△BCD=30△， △ME=21DM=1，DE=3， △CE=CD+DE=43，由勾股定理得：CM 2=ME 2+CE 2，第4题图AB C DA'M N△CM=7;由翻折变换的性质得：MA′=MA=2，显然，当折线MA′C 与线段MC 重合时，线段A′C 的长度最短，此时A′C=7−2=5，故答案为5.练习1-4如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60∘，点M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连结A′C ，则A′C 长度的最小值是( ) A. 7 B. 7−1 C. 3 D. 2【解析】如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上时，过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60∘，M 为AD 中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60∘，∴∠FMD=30∘，∴FD=21MD=21，∴FM=DM×cos30∘=23， ∴MC=722=+CF FM ，∴A′C=MC−MA′=7−1.故选：B.变式：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F 在边AC 上，并且CF=2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是_____解题思路：同上题，不难看出点P 的运动轨迹为以点F 为圆心，PF 为半径的圆上运动，求点P 到AB 的距离最小，可过点F 作AB 的垂线于点M ，交圆 F 于点P ，此时，最小值为PM 。

高三数学隐形圆例练习题

高三数学隐形圆例练习题隐形圆是数学中的一个重要概念，它在几何形状的判断和计算中起到了关键作用。

为了帮助高三学生更好地理解和掌握隐形圆的相关知识，本文将提供一些隐形圆的例练习题，并附有解答，供大家参考和实践。

1. 问题描述：已知平面上一圆心为P，点A、B、C分别位于这个平面上的圆周上。

如果角ABC为锐角，且角ABC的度数为30°，则这个圆的方程是什么？解答：首先根据题意，可以知道角ABC为锐角，所以弧AB小于半圆，也即弧AB的度数小于180°。

由题意可知角ABC的度数为30°，所以弧AB的度数也应为30°。

而根据圆的定义，半圆对应的弧度为π，所以弧AB的弧度应为π/6。

由于P为圆心，所以PA、PB、PC为半径，可以用r表示。

根据三角函数的定义，可以得到：cos(π/6) = (PC - PA) / r根据余弦函数的性质，可以知道cos(π/6)等于根号3/2，将其代入上式，得到：根号3/2 = (PC - PA) / r由于PB为半径，所以PA和PC的长度都应等于半径r，所以上式可以转化为：根号3/2 = (r - r) / r化简后可得：根号3/2 = 0 / r根据数学中的定义，当等式两边的值相等时，这个等式为恒等式，即对于任意的r都成立。

因此，这个圆的方程是恒等式。

2. 问题描述：已知平面上一圆心为O，点A、B、C分别位于这个平面上的圆周上，且O为三角形ABC的外心。

如果AB=5，BC=6，AC=7，则这个圆的半径是多少？解答：根据题意，可以知道O为三角形ABC的外心，即三角形的三条边的中垂线交于一点，这个点就是圆心O。

根据中垂线的性质，可以知道中垂线的长度等于对应边的一半。

因此，BO的长度等于AB的一半，即BO=5/2。

类似地，AO和CO的长度分别等于AC和BC的一半，即AO=7/2，CO=6/2=3。

由于O为圆心，所以OA、OB、OC为半径，可以用r表示。

直线与圆的方程之隐形圆

道是无“圆”却有“圆”
——利用 ⊥ 确定隐形圆
（其中，是两定点）
什么是隐形圆问题？
在解析几何问题中，若题干中某个动点的
轨迹是圆，这类问题我们就称之为隐形圆问题，
解题的关键则是发现隐形圆，运用圆的性质来
求解答案。
定点
例：已知圆C:( − 3) 2 +( − 4) 2 = 1和两点(−, 0)，(, 0)，若
故答案为 4，6 .
过定点（2, −4）
过定点（0,0）
练习：
= ( − 2) − 4
设 ∈ ，直线1 : + = 0与直线2 : − − 2 − 4 = 0
交于(0 ，0 )，则0 2 +0 2 +20 的取值范围为_________.
①当 = 0时，1 : = 0，2 : = −4，1 ⊥ 2 ；
圆上存在点，使得∠ = 90 ° ,则正实数的取值范围为_____。
动点
圆的常用性质
1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2.圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
4.在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有
一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
6.直径所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径。
例题:已知圆C:( − 3) 2 +( − 4) 2 = 1和两点(−, 0)，(, 90 ° ,则正实数的取值范围为______。
【解析】因为∠ = 90° ，所以点在以为直径的圆 2 + 2 = 2 上，

模型隐形圆问题梳理(附PPT)

例 2：已知圆C ： x 32 y 42 1，点 A(m,0)，
点 B(m,0) ， m 0 ，若圆 C 上存在点 P ，使得
APB 90o，则m的范围是___________．解：由APB 90o可得点P在以 AB为直径的圆上，
其方程为 x2 y2 m2，且与圆 x 32 y 42 1有
2
2
所以2 2 m 2 2 ．
变式 1：在平面直角坐标系中，已知点 A0,2，
B1,1， P 为圆 x2 y2 2上一动点，则 PB 的最大
PA 值是________．
解：设P x, y，则x2 y2 2，
PB
2
PA
x 12 y 12 x2 y 22
x2 y2 2x 2y 2 x2 y2 4y 4
直线l1与直线l2垂直，所以点P在以 AB为直径的圆上，
圆心C 1,1，半径r 2 ，其方程为 x 12 y 12 2
因为圆心C 到直线x y 4 0的距离为 d 4 2 2 ，所以点P到直线x y 4 0的距离的
2 最大值为2 2 2 3 2 ．
变式 2：在直角坐标系中，已知点P(1,0)，点Q(2,1)，直线l ：ax by c 0，其中a ，b，c成等差数列，点 P 在直线l 上的射影为 H ，则线段QH 的取值范围是____________．
CD2 11 2sin2
P
C
D
Q O
CD2
1
1
2
1 CD2
CD2
2 CD2
3．
因为OD 2 3 ，所以CD 3,3 3 ，
所以CD2 3,27．
因为CD2
2 CD2
3在3,27上单调递增，

“隐形圆”问题

“隐形圆”问题有些时候，圆的信息在条件中没有直接给出，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．如何发现圆(或圆的方程)是关键，常见的策略有以下几种：(1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆；(2)动点P 对两定点A ，B 张角为90∘(k PA ⋅k PB =-1)确定隐形圆；动点P 对两定点A ，B 中点的距离等于AB 距离的一半为确定隐形圆；(3)A ，B 是两个定点，动点P 满足PA PB =λ(λ>0且λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)；(4)A ，B 是两个定点，动点P 满足PA 2+PB 2是定值确定隐形圆；(5)A ，B 是两个定点，动点P 满足PA ⋅PB =λ确定隐形圆.例1：圆O :x 2+y 2=1，直线l :ax +y =3，若直线上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点是A ,B ，使得PA ⋅PB =23，则实数a 的取值范围是________．例2：直线l 1:kx −y +2=0与直线l 2:x +ky −2=0交于P 点，当k 变化时，点P 到直线x −y −4=0的距离的最大值是_________．例3：已知A (1,0)，B (4,0)，若直线x −y +m =0上存在点P ，使得PA =12PB ，则m 的取值范围是___．例4：已知点A -1,0 ，点B 1,0 ，点C 满足AC 2+BC 2=8，过点C 作圆D ：(x -3)2+(y -3)2=1的两条切线，切点分别为P ，Q ，则CP ⋅CQ 的最小值是．例5：已知点A 2,3 ，点B 6,-3 ，点P 在直线3x -4y +3=0上，若满足等式AP ⋅BP +2λ=0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．例6：满足条件AB =2，AC 2−2BC 2=1的ΔABC 的面积的最大值是　．·1·。

微专题22“隐形圆”问题(解析)

微专题22 “隐形圆”问题考题导航题组一利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆1. ⎝⎛⎭⎫－65，0 解析：由题意得圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4与圆x 2＋y 2＝1相交，所以2－1<（2a ）2＋（a ＋3）2<1＋2，1<5a 2＋6a ＋9<9，⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋6a ＋8>0，5a 2＋6a<0，解得a ∈⎝⎛⎭⎫－65，0. 2. 2－22≤a ≤2＋22解析：因为PA 、PB 与O 相切，且∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°，所以OP ＝OA sin 30°＝2，则存在使∠APB ＝60°的点P 等价于在圆M 上存在与点O 距离为2的点．圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1的圆心M(a ，a －4)在直线y ＝x －4上，所以OM ＝a 2＋（a －4）2，所以圆M 上到点O 的最小距离为OM －1＝a 2＋（a －4）2－1，最大距离为OM ＋1＝a 2＋（a －4）2＋1，存在满足题意有点P 即OM －1≤2≤OM ＋1，解不等式得2－22≤a ≤2＋22.1. 8 解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点M(x′，y′)．因为x′＝x 1＋x 22，y′＝y 1＋y 22，所以OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝2OM →，因为C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，所以(x －3)2＋y 2＝4.圆心C(3，0)，半径CA ＝2，因为点A ，B 在圆C 上，AB ＝23，所以CA 2－CM 2＝⎝⎛⎭⎫12AB 2，即CM ＝1.点M 在以C 为圆心，半径r ＝1的圆上，所以OM ≤OC ＋r ＝3＋1＝4，所以|OA →＋OB →|≤8.题组二已知定点A ，B ，动点P 满足PA →·PB →＝λ确定隐形圆1. []4，6 解析：圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1的圆心C(3，4)，半径r ＝1，设P(a ，b)在圆C 上，则AP →＝(a ＋m ，b)，BP →＝(a －m ，b)，因为∠APB ＝90°，所以AP →⊥BP →，所以AP →·BP→＝(a ＋m)(a －m)＋b 2＝0，所以m 2＝a 2＋b 2＝OP 2，所以m 的最大值即为OP 的最大值，等于OC ＋r ＝5＋1＝6，最小值为OC －r ＝5－1＝4，所以m 的取值范围是[4，6]．2. (－∞，2) 解析：由点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，设P ⎝⎛⎭⎫x ，3x ＋34，AP →＝⎝⎛⎭⎫x －2，3x ＋34－3，BP →＝⎝⎛⎭⎫x －6，3x ＋34＋3，所以AP →·BP →＝(x －2)(x －6)＋⎝⎛⎭⎫3x ＋342－9＝116(25x 2－110x ＋57)．又AP →·BP →＋2λ＝0，所以116(25x 2－110x ＋57)＋2λ＝0，所以Δ＝(－110)2－4×25×(57＋32λ)>0，解得λ<2，所以实数λ的取值范围是(－∞，2)．1. [2，32] 解析：由题意得ax ＋a ＋c 2y ＋c ＝0，所以a(2x ＋y)＋c(y ＋2)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，y ＋2＝0，解得x ＝1，y ＝－2，所以直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，恒经过定点M(1，－2)．因为PH ⊥l ，点H 在以PM 为直径的圆上，其圆心C(0，－1)，圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝2.QC ＝22，所以QC －r ≤QH ≤QC ＋r ，线段QH 的取值范围是[2，32]．题组三两定点A ，B ，动点P 满足PA 2＋PB 2是定值确定隐形圆1. [0，3] 解析：设M(x ，y)，因为MA 2＋MO 2＝10，所以x 2＋(y －2)2＋x 2＋y 2＝10，所以x 2＋(y －1)2＝4，因为圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，所以两圆相交或相切，所以1≤a 2＋（a －3）2≤3，所以0≤a ≤3.1. 解析：(1) 圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C(2，0)，半径为2.因为l ∥AB ，A(－1，0)，B(1，2)，所以直线l 的斜率为2－01－（－1）＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m|2＝|2＋m|2. 因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，CM 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫MN 22，所以4＝（2＋m ）22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2) 假设圆C 上存在点P ，设点P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P 的个数为2.题组四两定点A ，B ，动点P 满足PA PB＝λ(λ>0，λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆) 1. (x ＋1)2＋y 2＝4 解析：点M(x ，y)到O 点距离为x 2＋y 2，到A 点距离为（x －3）2＋y 2，因为到两点的距离比为12所以有x 2＋y 2（x －3）2＋y 2＝12，化简得(x ＋1)2＋y 2。

高考高频考点(圆锥曲线)4、隐形圆

第4讲隐形圆知识与方法在解析几何问题中，若题干中某个动点的轨迹是圆，这类问题我们称之为隐形圆问题，解题的关键是发现隐形圆，运用圆的性质来求解答案.本专题后续内容将详细归纳隐形圆常见的几类题型.典型例题【例1】若圆()()2214x a y a −+−+=上存在点P ，使得P 点到原点的距离为3，则实数a 的取值范围为________.【解析】问题等价于圆22:9O x y +=与圆()()22:14C x a y a −+−+=有交点，所以2121r r OC r r −≤≤+，易求得OC =，所以15≤≤，解得：30a −≤≤或14a ≤≤.【答案】[][]3,01,4−【例2】已知圆()22:44C x y +−=和两点(),0A m −、(),0B m ，若圆上存在点P ，使得0PA PB ⋅=，则正实数m 的取值范围为______.【解析】0PA PB ⋅=⇒点P 的轨迹方程是圆222:O x y m +=，问题等价于圆O 与圆C 有交点，所以2121r r OC r r −≤≤+，从而242m m −≤≤+，结合0m >可解得：26m ≤≤. 【答案】[]2,6【反思】设A 、B 为两个定点，则由PA PB ⊥或0PA PB ⋅=所确定的点P 的轨迹是圆. 【例3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2M 和()0,1N ，若直线20x y a −+=上存在点P 使2PM PN =，则实数a 的取值范围为______.【解析】设(),P x y ，则由|2PM PN =可得=，化简得：222439x y ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，所以问题等价于直线20x y a −+=与圆222439x y ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭有交点，故23d =≤，a ≤≤【答案】4433⎡−+⎢⎣⎦【反思】若动点P 满足PA PBλ=()01λλ>≠且，其中A 、B 是两个定点，则点P 的轨迹是圆.变式在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2b =，2a c =，则ABC 的面积的最大值为______.【解析】以AC 中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0A −，()1,0C ，设(),B x y ,因为2a c =，所以2BC AB ==化简得：()22516039x y y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭，所以点B 的轨迹是以5,03⎛⎫− ⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆（不含x 轴上的两个点），如图，由图可知，()max1442233ABCS=⨯⨯=.【答案】43【例4】已知点()2,2A ，()4,2B m ，点P 在直线20x y −+=上，若满足2PA PB ⋅=的点P 有两个，则实数m 的取值范围为______.【解析】设(),P x y ，则()2,2PA x y =−−，()4,2PB x m y =−−， ()()()()224222PA PB x x y m y ⋅=⇒−−+−−=，整理得点P 的轨迹方程为圆()()222:3124C x y m m m −+−−=−+，所以问题等价于直线20x y −+=与圆C <，解得：2m <−−或2m >.【答案】((),2232,−∞−−−+∞【反思】由PA PB λ⋅=可确定隐形圆，其中A 、B 是两定点.【例5】设点()0,2A ，圆()()22:24C x m y m −++−=，若圆C 上存在点M ，使得2220MA MO +=，其中O 为原点，则实数m 的取值范围为______.【解析】设(),M x y ，则由2220MA MO +=可得()2222220x y x y +−++=，化简得：()2219x y +−=，所以问题等价于圆C 与圆()2219x y +−=有公共点，故15≤，解得：21m −≤≤或25m ≤≤. 【答案】[][]2,12,5−【反思】22PA PB +是定值可确定隐形圆，其中A 、B 是两定点.【例6】在平面直角坐标系xOy 中，已知B 、C 为圆229x y +=上两点，点()2,2A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围为______.【解析】如图1，设BC 中点为(),M x y ，则2BC AM =，OM BC ⊥，所以222OM MB OB +=，又MB AM =，所以222OM AM OB +=，故()()2222229x y x y ++−+−=，整理得：()()225112x y −+−=，从而点M 的轨迹是圆，圆心为()1,1T ，且点A 在该圆内，AT ，故22AM ≤≤+，因为2BC AM =BC −≤≤ 解法2：如图2，作矩形ABQC ，设(),Q x y ，由矩形性质知，2222OA OQ OB OC +=+，所以22899x y ++=+，化简得：2210x y +=，从而点Q径的圆，因为OA =AQ ≤≤+，又BC AQ =，BC −≤≤【答案】【反思】矩形性质：设P 是矩形ABCD 所在平面内任意一点，则2222PA PC PB PD +=+. 【例7】设a ∈R ，直线1:10l x ay −+=与直线2:20l ax y a +−+=交于点()00,P x y ，则2200021x y y +−−的取值范围为______.【解析】如图，1l 过定点()1,0A −，2l 过定点()1,2B −且12l l ⊥，故点P 在以AB 为直径的圆()2212x y ++=上，设d =则()222220000021122x y y x y d +−−=+−−=−，记()0,1T ，则d PT =，易求得圆上动点P 到定点T 的距离满足22PT −≤+22d −≤，所以266d −≤≤+，故2424d −≤−≤+即2200021x y y +−−的取值范围为44⎡−+⎣.【答案】44⎡−+⎣强化训练1.（★★★）若圆()()2214x y m −+−=上存在点P ，使得点P 到点()2,0Q 的距离为1，则实数m 的取值范围为______.【解析】问题等价于已知的圆与圆()22:21Q x y −+=有交点，所以13≤≤，解得：m −≤≤【答案】⎡−⎣2.（★★★）已知圆()222:4C x y r +−=()0r >，点()2,0A −、()2,0B ，若圆C 上有且仅有一个点P ，使得0PA PB ⋅=，则r 的值为______.【解析】设(),P x y ，则P ()2,PA x y =−−−，()2,PB x y =−−，因为0PA PB ⋅=，所以()()()2220x x y −−−+−=，整理得点P 的轨迹方程为224x y +=，故问题等价于圆C 和圆22:4O x y +=相切，从而24r −=或24r +=，结合0r >可解得：6r =或2. 【答案】6或23.（★★★）在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0A −，()1,1B ，若直线30x y a −+=上存在点P 使2PA PB =，则实数a 的取值范围为______. 【解析】设(),P x y ，则由2PA PB =可得=，化简得：()22440239x y ⎛⎫−+−=⎪⎝⎭，故问题等价于直线30x y a −+=与圆()22440239x y ⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭有交点，，解得：142633a −≤≤.【答案】1426,33⎡⎤−⎢⎥⎣⎦4.（★★★★）在ABC中，若2AB =，AC ，则ABCS的最大值为______.【解析】以AB 中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0A −，()1,0B ，设(),Cx y ，由AC==，整理得：()22:38M x y −+=()0y ≠ 所以点C 的轨迹是以()3,0M 为圆心，x 轴的交点），如图，由图可知，()max 122ABC S=⨯⨯=.【答案】5.（★★★）设点()2,0Q ，圆()()22:21C x y a −+−=，若圆C 上存在点P ，使得2210PQ PO +=，其中O 为原点，则实数a 的取值范围为______. 【解析】设(),P x y ，则由2210PQ PO +=可得()2222210x y x y −+++=，化简得：()2214x y −+=由题意，圆()22:14M x y −+=与圆C 有交点，所以13MC ≤≤而MC ==13≤≤，解得：a −≤≤【答案】⎡−⎣6.（★★★）已知AB 是圆()()22:224C x y −+−=的弦，且AB =AB 的中点P ，使得P 关于x 轴的对称点Q 在直线30kx y ++=上，则实数k 的取值范围为______.【解析】1AB PC ==⇒点P 的轨迹是圆()()22221x y −+−=，因为P 、Q 关于x 轴对称，所以点Q 的轨迹方程为()()22221x y −++=，从而问题等价于此圆与直线30kx y ++=有交点，1≤，解得：403k −≤≤【答案】4,03⎡⎤−⎢⎥⎣⎦7.（★★★）已知直线1:0l kx y +=()k ∈R 与直线2:220l x ky k −+−=相交于点A ，点B 是圆()()22:232N x y +++=上的动点，则AB 的最大值为（）A.B.C.5+D.3+【解析】由题意，直线过1l 原点，直线2l 过定点()2,2P ，且12l l ⊥，所以点A 的轨迹是以OP为直径的圆，即圆()()22:112M x y −+−=如图，由图可知，max 5AB MN =+=+【答案】C8.（★★★★）已知圆22:16Q x y +=，点()1,2P ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且0PM PN ⋅=若PQ PM PN =+，则PQ 的最小值为______.【解析】如图，因为0PM PN ⋅=，所以PM PN ⊥，故四边形PMQN 为矩形，设MN 的中点为S ，连接OS ，则OS MN ⊥，所以222216OS OM MS MS =−=−，又PMN 为直角三角形，所以MS PS =，故2216OS PS =−①，设(),S x y ，则由①可得()()22221612x y x y ⎡⎤+=−−+−⎣⎦，整理得：()22127124x y ⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭，从而点S 的轨迹为以1,12T ⎛⎫⎪⎝⎭为半径的圆，显然点P 在该圆内部，所以min PS PT =−=因为2PQ PS =，所以minPQ=解法2：如图，因为0PM PN ⋅=所以PM PN ⊥，故四边形PMON 为矩形，由矩形性质，2222OM ON OP OQ +=+，所以216165OQ +=+，从而OQ =故Q 点的轨迹是以O 为圆心，为半径的圆，显然点P 在该圆内，所以minPQOP ==.【答案】9.（★★★★）在平面直角坐标系xOy 中，已知两个圆224x y +=和229x y +=，定点()1,0P ，动点A 、B 分别在两个圆上，满足90APB ∠=︒，则AB 的取值范围为______. 【解析】（用矩形性质）：如图，以P A 、PB 为邻边作矩形PAQB ，由矩形性质，有2222OA OB OP OQ +=+即2491OQ +=+，所以OQ =故点Q 的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，显然点P 在圆内，易知AB PQ =，所以min min 1AB PQ OP ===，max max 1AB PQ OP ==+=+.【答案】⎣⎡1⎤⎦。

专题11 隐圆问题(解析版)

专题11 隐圆问题直线与圆是高中数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题类型一利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆典例1 如果圆22(2)(3)4x a y a -+--=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________【答案】605a -<<【解析】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解2121-<<+∴605a -<<类型二由圆周角的性质确定隐形圆典例 2 已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点，()(),2C a D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()(),20,-∞-⋃+∞【解析】由题意得2OM ==， ∴点M 在以O 为圆心，半径为2的圆上．设CD 的中点为N ，则()1N a +，且2CD =． ∵当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，∴以O 为圆心，半径为2的圆与以()1N a +为圆心，半径为1的圆外离．3>，整理得()211a +>，解得2a <-或0a >．∴实数a 的取值范围为()(),20,-∞-⋃+∞．类型三两定点A 、B ，动点P 满足(0,1)PAPBλλλ=>≠确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）典例3 一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8 海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据： sin17 5.7446︒≈≈ ）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．【答案】（1）略（2）能【解析】：（1）略（2）如图乙，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ．则(2,B ，设缉私艇在P (x ，y )处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则3PAPB=3=,229944x y ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎝⎭⎝因为圆心94⎛⎝到领海边界线l ：x = 3.8的距离为1.55，大于圆半径32所以缉私艇能在领海内截住走私船．1．已知ABC ∆中，AB AC == ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC∆面积的最大值为__________．【解析】设2BC a =，以BC 所在直线为x 轴、其中垂线OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系（如图所示），则()()(,0,,0,B a C a A -，设(),P x y ，由22233PB PC PA +==，得222((3{ (1x x yy y x +++=+=，即22222232{31x y a x y a +=-+-+-=，则2722{ 11a y -=≤≤，则()()222323aa --≤≤-+即()()2222272323223232a a a a a ---≤-≤-+-，解得234a ≤，即2241523233216ABC S a a a a ∆=⨯⨯-=-≤，即ABC ∆面积的最大值为52316.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点A(1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为_______ 【答案】[62,62]-+ 【解析】设BC 的中点为M (x,y)，,因为22222OB OM BM OM AM =+=+，所以22224(1)(1)x y x y =++-+-，化简得22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点M 的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭32为半径的圆，所以AM 的取值范围是6262-+⎣⎦，所以BC 的取值范围是[62,62]．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()(22:161C x y -+-=和两点()(),2,,2A a a B a a ---，且1a >，若圆C 上存在两个不同的点,P Q ，使得90APB AQB ∠=∠=︒，则实数a 的取值范围为__________．【答案】17117a ≤+【解析】原问题等价于以,A B 为圆心的圆与圆C 有两个交点，AB 中点坐标为()0,0，以,A B 为圆心的圆的半径1R = 且圆C 的圆心为(，半径为21R =，两圆的圆心距为： 5d ==，结合1a >可得关于实数a 的不等式组：15 15≤≥，求解关于实数a的不等式组可得实数a的取值范围为11a ≤≤4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1-，0），B （1，0）均在圆C ： ()()22234x y r -+-=外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP BP ⊥，则半径r 的值为____．【答案】4【解析】根据题意,点A(−1,0),B(1,0)，若点P 满足AP BP ⊥，则点P 在以AB 为直径的圆上，设AB 的中点为M,则M 的坐标为 (0,0)， |AB|=2，则圆M 的方程为221x y +=，若圆C 上存在唯一一点P 满足AP BP ⊥，则圆C 与圆M 只有一个交点，即两圆外切，则有5=，解可得r=4.5．已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式•PA PB λ=的点P 有两个，则实数λ的取值范围是_____．【答案】104λ-<≤ 【解析】以AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则()()(()10,10,,,A B C P x y -，，，AC：()10y x =-≤≤由•PA PB λ=得221x y λ-+= ，()22111,1010044λλλ∴>-=-≤-+-=∴-<≤⎝⎭6.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB＝60°，则实数a 的取值范围为____________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22【解析】设P(x ，y)，sin ∠OPA ＝sin30°＝1x 2＋y2，则x 2＋y 2＝4 ①.又P 在圆M 上，则(x －a)2＋(y －a＋4)2＝1 ②.由①②得1≤a 2＋（a －4）2≤3，所以4－22≤a ≤4＋22.7.在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为____________．【答案】364【解析】∵ 圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，整理，得其标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴ 圆C 1的圆心坐标为(3，0)；设直线l 的方程为y ＝kx ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立(x －3)2＋y 2＝4，y ＝kx ，消去y 可得(1＋k 2)x2－6x ＋5＝0，由题知x 1＝12x 2, y 1＝12y 2，由韦达定理化简可得k 2＝35，即k ＝±155，直线l 的方程为y ＝±155x ，由点到直线的距离公式知，所求的距离为364.8.在平面直角坐标系xOy 中，过点P(－2，0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆(x －a)2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为____________．【答案】4【解析】圆x 2＋y 2＝1半径为1，PO ＝2，则直线PT 的倾斜角为30°，则直线方程为x －3y ＋2＝0，PT ＝3，RS ＝3，圆(x －a)2＋(y －3)2＝3的半径为3，则圆(x －a)2＋(y －3)2＝3的圆心(a ，3)到直线PT 的距离为32，由点到直线距离公式得|a －1|＝3，则正数a ＝4.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a)2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为__________．【答案】3【解析】根据题意，圆M 与以N 为圆心的圆的位置关系是内切或内含．则d MN ≤d ON －1，即1≤d ON －1.所以d ON ≥2恒成立．因为N 在圆M 上运动，所以d ON 的最小值为d OM －1，即d OM －1≥2，所以a 2＋（3－a ）2≥3，解得a≥3，所以a 的最小值为3.10.已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ为常数)，且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则实数λ的最大值是__________．【答案】－34【解析】建立平面直角坐标系，B(0，0)，A(2，0)，设C(x ，y)，则CA →·CB →＝x(x －2)＋y 2＝λ，则(x －1)2＋y 2＝λ＋1，得（x －1）2＋y 2＝λ＋1，点C 的轨迹是以(1，0)为圆心λ＋1为半径的圆且与x 2＋y 2＝14外离或相切．所以λ＋1≤12，λ的最大值为－34. 11.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足OC →＝54OA →＋34OB →，则r 的值为________．【答案】10【解析】OC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54OA →＋34OB →2＝2516OA →2＋2·54OA →·34OB →＋916OB →2，即r 2＝2516r 2＋158r 2cos ∠AOB ＋916r 2，整理化简得cos ∠AOB ＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝－35，得cos 2∠AOD ＝15.又圆心到直线的距离为OD ＝22＝2，所以cos 2∠AOD ＝15＝OD 2r 2＝2r 2，所以r 2＝10，r ＝10.12.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．【答案】[1，5]【解析】圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4上存在两点B ，C ，使得∠BAC＝60°，说明点A(x ，y)到M (1，1)的距离小于等于4，即(x －1)2＋(y －1)2≤16，而y ＝6－x ，得x 2－6x ＋5≤0，即1≤x≤5.点A 横坐标的取值范围为[1，5]．13.已知点A(0，2)为圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外一点，圆M 上存在点T 使得∠MAT＝45°，则实数a 的取值范围是________________．【答案】3－1≤a＜1【解析】点A(0，2)在圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外，得4－4a ＞0，则a ＜1.圆M 上存在点T 使得∠MAT ＝45°，则AM2≤r ＝2a ，即AM≤2a，(a －2)2＋a 2≤4a 2(a ＞0)，解得3－1≤a.综上，实数a 的取值范围是3－1≤a＜1.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 1，圆O 2均与x 轴相切且圆心O 1，O 2与原点O 共线，O 1，O 2两点的横坐标之积为6，设圆O 1与圆O 2相交于P ，Q 两点，直线l ：2x －y －8＝0，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为____________．【答案】855－ 6【解析】设圆O 1的方程为(x －a)2＋(y －ka)2＝k 2a 2①，圆O 2的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －6k a 2＝36k2a 2 ②，②－①，得2ax －12a x ＋2aky －12a ky ＋36a 2－a 2＝0，即2x ＋2y －a －6a ＝0.设P(x 0，y 0)，则(x 0－a)2＋(y 0－ka)2＝k 2a 2，即x 20＋y 20＝2ax 0＋2ay 0－a 2，又2x 0＋2y 0－a －6a＝0，可得2ax 0＋2ay 0－a 2＝6，故x 20＋y 20＝6，即点P 的轨迹是以原点为圆心，半径为6的圆，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为855－ 6.15.已知直线l 过点P(1，2)且与圆C ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________________．【答案】x －1＝0，3x －4y ＋5＝0【解析】由S △ABC ＝12×2×sin ∠ACB ＝1，sin ∠ACB ＝1，∠ACB ＝90°，则点C(0，0)到直线l 的距离为1，设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)，利用距离公式可得k ＝34，此时直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0，当k 不存在时，x －1＝0满足题意．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过A 作圆C 的弦AB ，记线段AB 的中点为M.若OA ＝OM ，则直线AB 的斜率为________．【答案】2【解析】设点B(x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－22，y 02，圆x 2＋(y －1)2＝5与x 轴负半轴的交点A(－2，0)，OA ＝OM ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 022，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 022＝4.又 x 20＋(y 0－1)2＝5，两式相减得y 0＝2x 0＋4.而A(－2，0)也满足y 0＝2x 0＋4，即直线AB 的方程为y 0＝2x 0＋4，则直线AB 的斜率为2.17.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －6)2＝25，圆C 2：(x －17)2＋(y －30)2＝r 2.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A 、B ，满足PA ＝2AB ，则半径r 的取值范围是______________．【答案】[5，55]【解析】在圆C 2上任取一点P ，过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A 、B ，当AB 过圆心时，此时PA 在该点处最小，AB 在该点情况下最大，此时在P 点情况下PAPB 最小，当P ，A ，B 三点共线时，如图1，2，PA 为所有位置最小，且PA AB 是所有位置中最小，所以只要满足PAAB ≤2，即满足题意，错误! 5≤r ≤55.18.直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A 、B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞ 【解析】以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则C 点到直线l 的距离小于1，即d ＝|k ＋2|k 2＋1≤1，解得k ≤－34.19平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是________．【答案】[0，3]【解析】设M(x ，y)，由MA 2＋MO 2＝10，A(0，2)，得x 2＋(y －1)2＝4，而(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，它们有公共点，则1≤a 2＋(a －3)2≤9，解得实数a 的取值范围是[0，3]．20.平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60°，则圆M 的方程为______________．【答案】(x －1)2＋y 2＝1【解析】∵ 当P 在圆C 上运动时∠APB 恒为60°，∴ 圆M 与圆C 一定是同心圆，∴ 可设圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝r 2.当点P 坐标是(3，0)时，设直线AB 与x 轴的交点为H ，则MH ＋HP ＝2，MH ＝12r ，AB ＝2×32r ，所以12r ＋2×32r ×32＝2，解得r ＝1，所以所求圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.。