第三讲 柯西不等式与排序不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
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理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理
Fra Baidu bibliotek
往往比较容易．
[例 3]
15 已知 5a ＋3b ＝ ，求 a2＋2ab＋b2 的最大值． 8
2 2
52 32 解：∵[( ) ＋( ) ][( 5a)2＋( 3b)2] 5 3 5 3 ≥ × 5a＋ × 3b)2 5 3 3 ＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，当且仅当 5a＝3b 即 a＝ ，b 8 5 ＝ 时取等号． 8 8 ∴ ×(5a2＋3b2)≥a2＋2ab＋b2. 15 8 ∴a2＋2ab＋b2≤ ×(5a2＋3b2) 15 8 15 ＝ × ＝1. 15 8 ∴a2＋2ab＋b2 的最大值为 1.
解：(1)因为 f(x＋2)＝m－|x|，所以 f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m， 由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]，故 m＝1. 1 1 1 (2)由(1)知a＋ ＋ ＝1，又 a，b，c∈R＋，由柯西不等式得 2b 3c 1 1 1 1 1 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)( a ＋ ＋ )≥( a· ＋ 2b· ＋ 2b 3c a 2b 1 2 3c· ) ＝9. 3c
考情分析
从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，
可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积 的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两 端是“齐次式”形式的不等式问题．
真题体验
(2012· 福建高考)已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]． (1)求 m 的值； 1 1 1 (2)若 a，b，c∈R＋，且a＋ ＋ ＝m. 2b 3c 求证：a＋2b＋3c≥9.
柯西不等式的一般形式为(a1 2＋a2 2 ＋…＋a n 2 )(b 1 2 ＋b2 2＋…＋bn 2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i ＝1,2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运 用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题 迎刃而解．
[例 1]
已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：
[例 2]
设 a，b，c 为实数，求证：
a12 b12 c12 10 10 10 bc ＋ ca ＋ ab ≥a ＋b ＋c .
[证明]
12
由对称性，不妨设 a≥b≥c，
12 12
1 1 1 于是 a ≥b ≥c ，bc≥ca≥ab. 由排序不等式：顺序和≥乱序和得 a12 b12 c12 a12 b12 c12 a11 b11 c11 bc ＋ ca ＋ ab ≥ ab ＋ bc ＋ ca ＝ b ＋ c ＋ a 1 1 1 又因为 a ≥b ≥c ，a≤b≤ c，
[例 4]
已知正实数 x1，x2，…，xn 满足 x1＋x2＋…＋
xn－12 xn2 x12 x22 xn＝P， 为定值， F＝ ＋ ＋…＋ x ＋ 的最小值． P 求 x2 x3 x1 n
[解]不妨设 0<x1≤x2≤…≤xn 1 1 1 则 ≥ ≥…≥x >0 x1 x2 n 且 0<x12≤x22≤…≤xn2. 1 1 1 1 1 ∵ ， ，…，x ， 为序列{x }的一个排列． x2 x3 x1 n n 根据排序不等式，得 xn－1 xn2 x1 2 x2 2 F＝ ＋ ＋…＋ x ＋ x2 x 3 x1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＋ . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da
[证明] 1 1 1 1 1 1 1 由柯西不等式( 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 )( 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ a b c d b c d
1 1 1 1 1 2 )≥(ab＋bc＋cd＋da) ， a2 1 1 1 1 1 1 1 1 于是 2＋ 2＋ 2＋ 2≥ab＋bc＋cd＋da a b c d 1 1 1 1 a b c d b c d a 等号成立⇔ ＝ ＝ ＝ ⇔a＝b＝ c＝d 1 1 1 1 b c d a ①
⇔a＝b＝c＝d. 又已知 a，b，c，d 不全相等，则①中等号不成立． 1 1 1 1 1 1 1 1 即 2＋ 2＋ 2＋ 2>ab＋bc＋cd＋da. a b c d
排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与 其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不 等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．
11 11 11
①
再次由排序不等式：反序和≤乱序和得 a11 b11 c11 a11 b11 c11 a＋b＋c≤b＋c＋a. 由①②得 a12 b12 c12 10 10 10 bc ＋ ca ＋ ab ≥a ＋b ＋c . ②
有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的
限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处
2
2 1 2 1 2 1 ≥x1 · ＋x2 · ＋…＋xn · ＝x1＋x2＋…＋xn xn x1 x2
P ＝P(定值)，当且仅当 x1＝x2＝…＝xn＝ n 时取等 号． xn－12 xn2 x12 x22 即 F＝ ＋ ＋…＋ x ＋ 的最小值为 P. x2 x3 x1 n
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往往比较容易．
[例 3]
15 已知 5a ＋3b ＝ ，求 a2＋2ab＋b2 的最大值． 8
2 2
52 32 解：∵[( ) ＋( ) ][( 5a)2＋( 3b)2] 5 3 5 3 ≥ × 5a＋ × 3b)2 5 3 3 ＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，当且仅当 5a＝3b 即 a＝ ，b 8 5 ＝ 时取等号． 8 8 ∴ ×(5a2＋3b2)≥a2＋2ab＋b2. 15 8 ∴a2＋2ab＋b2≤ ×(5a2＋3b2) 15 8 15 ＝ × ＝1. 15 8 ∴a2＋2ab＋b2 的最大值为 1.
解：(1)因为 f(x＋2)＝m－|x|，所以 f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m， 由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]，故 m＝1. 1 1 1 (2)由(1)知a＋ ＋ ＝1，又 a，b，c∈R＋，由柯西不等式得 2b 3c 1 1 1 1 1 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)( a ＋ ＋ )≥( a· ＋ 2b· ＋ 2b 3c a 2b 1 2 3c· ) ＝9. 3c
考情分析
从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，
可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积 的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两 端是“齐次式”形式的不等式问题．
真题体验
(2012· 福建高考)已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]． (1)求 m 的值； 1 1 1 (2)若 a，b，c∈R＋，且a＋ ＋ ＝m. 2b 3c 求证：a＋2b＋3c≥9.
柯西不等式的一般形式为(a1 2＋a2 2 ＋…＋a n 2 )(b 1 2 ＋b2 2＋…＋bn 2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i ＝1,2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运 用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题 迎刃而解．
[例 1]
已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：
[例 2]
设 a，b，c 为实数，求证：
a12 b12 c12 10 10 10 bc ＋ ca ＋ ab ≥a ＋b ＋c .
[证明]
12
由对称性，不妨设 a≥b≥c，
12 12
1 1 1 于是 a ≥b ≥c ，bc≥ca≥ab. 由排序不等式：顺序和≥乱序和得 a12 b12 c12 a12 b12 c12 a11 b11 c11 bc ＋ ca ＋ ab ≥ ab ＋ bc ＋ ca ＝ b ＋ c ＋ a 1 1 1 又因为 a ≥b ≥c ，a≤b≤ c，
[例 4]
已知正实数 x1，x2，…，xn 满足 x1＋x2＋…＋
xn－12 xn2 x12 x22 xn＝P， 为定值， F＝ ＋ ＋…＋ x ＋ 的最小值． P 求 x2 x3 x1 n
[解]不妨设 0<x1≤x2≤…≤xn 1 1 1 则 ≥ ≥…≥x >0 x1 x2 n 且 0<x12≤x22≤…≤xn2. 1 1 1 1 1 ∵ ， ，…，x ， 为序列{x }的一个排列． x2 x3 x1 n n 根据排序不等式，得 xn－1 xn2 x1 2 x2 2 F＝ ＋ ＋…＋ x ＋ x2 x 3 x1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＋ . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da
[证明] 1 1 1 1 1 1 1 由柯西不等式( 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 )( 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ a b c d b c d
1 1 1 1 1 2 )≥(ab＋bc＋cd＋da) ， a2 1 1 1 1 1 1 1 1 于是 2＋ 2＋ 2＋ 2≥ab＋bc＋cd＋da a b c d 1 1 1 1 a b c d b c d a 等号成立⇔ ＝ ＝ ＝ ⇔a＝b＝ c＝d 1 1 1 1 b c d a ①
⇔a＝b＝c＝d. 又已知 a，b，c，d 不全相等，则①中等号不成立． 1 1 1 1 1 1 1 1 即 2＋ 2＋ 2＋ 2>ab＋bc＋cd＋da. a b c d
排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与 其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不 等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．
11 11 11
①
再次由排序不等式：反序和≤乱序和得 a11 b11 c11 a11 b11 c11 a＋b＋c≤b＋c＋a. 由①②得 a12 b12 c12 10 10 10 bc ＋ ca ＋ ab ≥a ＋b ＋c . ②
有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的
限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处
2
2 1 2 1 2 1 ≥x1 · ＋x2 · ＋…＋xn · ＝x1＋x2＋…＋xn xn x1 x2
P ＝P(定值)，当且仅当 x1＝x2＝…＝xn＝ n 时取等 号． xn－12 xn2 x12 x22 即 F＝ ＋ ＋…＋ x ＋ 的最小值为 P. x2 x3 x1 n
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