《1.1平面直角坐标系》课件
平面直角坐标系ppt优秀课件
宁
• ● 哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的。──鲁迅 • ● 完成工作的方法，是爱惜每一分钟。──达尔文 • ● 没有伟大的愿望，就没有伟大的天才。──巴尔扎克 • ● 读一切好的书，就是和许多高尚的人说话。──笛卡尔 • ● 成功＝艰苦的劳动＋正确的方法＋少谈空话。 ──爱因斯坦
y
4
（4）单位长度一般
3 2
取相同的
1
-3 -2 -1-1 O1 2 3
x
-2
-3 -4
选择：下面四个图形中，是平面直角坐标系的是（ D ）
Y
Y
2
1
-3 -2 -1 O1 2 3
X
X
3 2 1 O -1 -2 -3 -1
-2
（A）
（B）
3Y 2 1
-3 -2 -1-1 O1 2 3 X
-2 -3
3Y 2 1
则a=_4__,b=_5___。
6.在平面直角坐标系内,已知点P ( a , b ), 且a b < 0 , 则点P的位置在__第__二__或__四__象__限。
7.如果同一直角坐标系下两个点的横坐标相同，
那么过这两点的直线（ B ）
（A）平行于x轴 （B）平行于y轴 （C）经过原点 （D）以上都不对
· 纵轴 y 5
B(0,5)
4
3 2
·A(5,2)
1
-4 -3 (-2,-3)D
-3
-4
·C(2,-3)
例3.在下面直角坐标系中描出下列各组点,
并将各组的点用线段依次连接起来.
第1章坐标系 (6)
阶段一阶段二阶段三学业分层测评§1 平面直角坐标系1.1 平面直角坐标系与曲线方程1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换1.理解平面直角坐标系的作用.(重点)2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(重点)3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示.(易混点)[基础·初探]教材整理1 平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的与之对应；反之，对于任意的 ，都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标系中，和 是一一对应的. 有序实数对(x ，y )一个有序实数对(x ，y )点有序实数对判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0.()(2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.()(3)坐标(3,0)和(0,3)表示同一个点.()【解析】(1)√(2)√(3)× 因为(3,0)在x轴上，而(0,3)在y轴上.【答案】(1)√(2)√(3)×教材整理2 平面直角坐标系中曲线与方程的关系曲线可看作是 的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C 上的 都是方程f (x ，y )＝0的 ；(2)以方程f (x ，y )＝0的 都在曲线C 上.那么，方程f (x ，y )＝0叫作曲线C 的方程，曲线C 叫作方程f (x ，y )＝0的曲线.满足某些条件的点点的坐标解解为坐标的点填空：(1)x轴的直线方程为________.(2)以原点为圆心，以1为半径的圆的方程为____________.【导学号：12990000】(3)方程2x2＋y2＝1表示的曲线是____________.【答案】(1)y＝0(2)x2＋y2＝1(3) 椭圆教材整理3平面直角坐标轴中的伸缩变换改变x轴或y轴的单位长度在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即，将会对图形产生影响.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y 2＝4的图形变为椭圆.()(2)平移变换既不改变形状，也不改变位置.( )(3)在伸缩变换下，直线依然是直线.()【解析】(1)√因为x2＋y2＝4的圆的形状变为方程x24＋y2＝1表示的椭圆.(2)× 平移变换只改变位置，不改变形状.(3)√直线在平移和伸缩下依然为直线，但方程发生了变化. 【答案】(1)√(2)× (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________ 疑问3：______________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________[小组合作型]利用平面直角坐标系确定位置由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【精彩点拨】本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A，B，C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解.【自主解答】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23).∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上.k BC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4). ①又|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2). ②联立①②，解得P点坐标为(8,53).∴k PA＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1.由于A，B，C的相对位置一定，解决问题的关键是如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解.2.运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题.[再练一题]1.已知某荒漠上有两个定点A，B，它们相距2 km，现准备在荒漠上开垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A，且与AB成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？【解】(1)设平行四边形的另两个顶点为C，D，由围墙总长为8 km，得|CA|＋|CB|＝4>|AB|＝2，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长2a＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB上的两点).以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0).易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD的面积最大，则C，D为此椭圆短轴的端点，此时，面积S＝23(km2).(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 23＝1(y ≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图.因此，由 y ＝33 x ＋1 ，x 24＋y 23＝1⇒13x 2＋8x －32＝0， 那么弦长＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋ 332· －8132－4× －3213＝4813，故暂不加固的部分长4813 km.平面直角坐标系中曲线方程的确定(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为3 2，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G的方程；(2)在边长为2的正△ABC中，若P为△ABC内一点，且|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求点P的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线.【精彩点拨】本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等.解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线.【自主解答】(1)由已知设椭圆方程为x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则2a＝12，知a＝6.又离心率e＝ca＝32，故c＝3 3.∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.∴椭圆的标准方程为x236＋y29＝1.(2)以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x，y)是轨迹上任意一点，又|BC|＝2，∴B(－1,0)，C(1,0)，则A(0，3).∵|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，∴x2＋(y－3)2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2，化简得x2＋(x＋3)2＝4.又∵P在△ABC内，∴y>0.∴P点的轨迹方程为x2＋(y＋3)2＝4(y>0).其曲线如图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆弧.求动点轨迹方程常用的方法有：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；③用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；④化简方程f(x，y)＝0；⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则⑤可以省略.(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程.(3)代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x 1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求.[再练一题]2.如图1-1-1，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM →与PN →的夹角为120°，QC →·QM →＝2.图1-1-1(1)求圆C 的方程； (2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程.【解】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，△CQM 为正三角形.∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2，∴圆C 的半径为2.又圆心为(0,0)，∴圆C 的方程为：x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知M(2,0)，N(－2,0)，Q(1，3)，∴2a＝|QN|＋|QM|＝23＋2，∴a＝3＋1，c＝2，∴b2＝a2－c2＝23，∴椭圆方程为：x24＋23＋y223＝1.[探究共研型]平面直角坐标系中的伸缩变换探究1在平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，直线变为什么图形？圆、椭圆、双曲线和抛物线呢？【提示】在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.探究2平移变换与伸缩变换的区别是什么？【提示】平移变换区别于伸缩变换的地方就是：图形经过平移后只改变了位置，不会改变它的形状.探究3在伸缩变换中，若x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍后，变换后的坐标(x′，y′)与原坐标(x，y)有什么关系？【提示】 一般地，在平面直角坐标系xOy 中：使x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍(k >0)，则当k ＝1时，x 轴与y轴具有相同的单位长度；即为x ′＝x ，y ′＝y的伸缩变换，当k >1时，相当于x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k ，即为x ′＝x ，y ′＝1k y 的伸缩变换，当0<k <1时，相当于y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的k倍，即为x ′＝kx ，y ′＝y的伸缩变换.在下列平面直角坐标系中，分别作出x225＋y29＝1的图形：(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的12倍.【精彩点拨】先按要求改变x轴或y轴的单位长度，建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形.【自主解答】(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，则x225＋y29＝1的图形如图①.(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的12，则x225＋y29＝1的图形如图②.(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的12，则x225＋y29＝1的图形如图③.在平面直角坐标系中，改变x 轴或y 轴的单位长度会对图形产生影响，本题 2 中即为 x ′＝x ，y ′＝12y 的伸缩变换，本题 3 中即为x ′＝12x ，y ′＝y的伸缩变换.[再练一题]3.本例中，x225＋y29＝1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形：(1)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的53倍；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的35倍.【解】(1)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的35，则x225＋y29＝1的图形如图①.(2)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的35，则x225＋y29＝1的图形如图②.[构建·体系]1.曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是() A.(0,0)B. 15，15C.(1,5)D.(4,4)【解析】 将答案代入验证知D 正确.【答案】 D2.直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A.|x|－|y|＝1B.|x－y|＝1C.||x|－|y||＝1D.|x±y|＝1【解析】由题知C正确.【答案】 C3.已知一椭圆的方程为x216＋y24＝1，如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为()【解析】 如果y 轴上单位长度不变，x 轴的单位长度变为原来的12倍，则方程变为x 2＋y 2＝4，故选B. 【答案】 B4.将圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换 x ′＝4x ，y ′＝3y 后的曲线方程为________.【导学号：12990001】【解析】 由 x ′＝4x ，y ′＝3y ，得 x ＝x ′4，y ＝y ′3.代入到x 2＋y 2＝1，得x ′216＋y ′29＝1. ∴变换后的曲线方程为x 216＋y 29＝1. 【答案】 x 216＋y 29＝15.已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.求动点M的轨迹C的方程.【解】如图，设点M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|，由此得|4－x|＝2 x－1 2＋y2，化简得x24＋y23＝1，∴动点M的轨迹C的方程为x24＋y23＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________学业分层测评（一）点击图标进入…。
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：1
2.四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意 一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2.
【证明】如图所示, 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在 直线为y轴,建立平面直角坐标系,设 A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y), 则PA2=x2+y2,PB2=(x-a)2+y2, PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2.
x ＝ 2 0 1 6 x ， 2与.直将线曲x线=0y,=xs=iπn(,2y0=106围x)成按图φ形: 的y ＝面12 积y 为__变__换__后__的.曲线
【解析】设曲线y=sin(2016x)上任意一点的坐标为 P(x,y),按φ变换后的对应点的坐标为P′(x′,y′),
由代入φy: =xys＝ ＝ in212(0y2106x1， 6得 x),xy得＝ ＝222yy01， ′1=6xsi， nx′,所以y′=
2.伸缩变换的类型与特点 伸缩变换包括点的伸缩变换,以及曲线的伸缩变换,曲 线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变 换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系. 特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个 实数就能确定数轴上一个点的位置.
类型一 坐标法求轨迹方程 【典例】已知△ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m, 求顶点C的轨迹方程.
【解析】曲线x2+y2=1经过φ:x 3 x变, 换后,
即
x
代x3 ，入到圆的方程,可得
即所பைடு நூலகம்y 求 新y4 ， 曲线的方程为
y
4y
x2 y2 1， 9 16
《用坐标表示地理位置》平面直角坐标系PPT精品教学课件
（3）在坐标平面内画出这些点，并写出各点
的 坐标
和各个地点的 名称
。
做一做
这是某乡镇的示意图。试建立直角坐
系，用坐标表示各地的位置：
用直角
y
(1,3) (3,3)
试一试：
坐标来
你会通过建立
表述物 体位置
(-1,1)
1
不同的直角坐
x
标系来描述这 些地理位置吗？
这是用 什么方 法来表 述物体 位置?
(-3,-1) (-3,-4)
-1
-2
九曲桥
喷泉
-3
假山
要用坐标表 示位置,首 先要确定什 么？
x
4、下图是某市区的几个旅游景点的示
意图(图中每个小正方形的边长为1个单
位长度)，请
以某景点为 原点，画出
湖心岛
动物园
直角坐标系，
光岳楼
标出各景点 金凤广场 山峡会馆 的坐标。
y
湖心岛
o 光岳楼
金凤广场
山峡会馆
动物园
x
y
5、下图是某市旅游景点的示意图,若用(3,2) 表示科技大学的位置,那么其他景点的位置
y
8
7 6 5
·狮子 （6，6）
4 3 2 1
0
· · 仙鹤 （2，1）
大树 （8，2）
1234567 8
x
班级游戏
1、以教室为平面，不断变换以排和列建立 直角坐标系，你还能说出自己的坐标吗？
2、以教室为平面，请一个同学说出自己的 坐标后，你能帮他（她）建立适当的直角坐 标系吗？再换个坐标试试，你还行吗？ 3、以教室为平面，请两个同学说出自己的
01
(2,-2) (3,-3)
《平面直角坐标系》PPT课件 湘教版
1.如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到
达点M，如果点M的位置用（-40，-30）表示，那么（10，
20）表示的位置是（ B ）
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
2.芳芳放学从校门向东走400米，再往北走200米到家，丽丽 出校门向东走200米到家，则丽丽家在芳芳家的（ B ） A.东南方向 B.西南方向 C.东北方向 D.西北方向
解 在Rt△ABC中，
∵ AC=30海里，AB=40海里，∠CAB=90°，
∴ BC= AC2 AB2 302 402 50海里，
由于在点B处测得H岛在北偏西53°6′ 的方向上，则∠BCA = 53°6′.
故此时，渔政船在H岛南偏东53°6′的 方向，距H岛50海里的位置.
1. 如 图 是 某 动 物 园 的 部 分
2.已知坐标平面内点A（m, n）在第二象限，那么点B（n, m） 在（ D ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
这节课主要学习了平面直角坐标系的有关概念和一个最 基本的问题，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
1. 会根据坐标找点； 2. 会由坐标系内的点写坐标； 3. 象限内的点的坐标特征.
想一想，原点O的坐标是 什么？x 轴和y轴上的点 的坐标有什么特征？
如图，写出平面直角坐
标系中点A，B，C，D，E，
F的坐标.【教材P85页】
解 所求各点的坐标为： A（3，4），B （-4，3）， C（-3，0），D（-2，-4）， E（0，-3），F（3，-3）.
在平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们分别 在哪个象限. A(5，4)，B(-3，4)，C (-4 ，-1)，D(2，-4).【教材P85页】
《平面直角坐标系》PPT课件
B 0;4
C 0;0
0
A 6;4
D 6;0
x
做一做
例2 如图;正三角形ABC的边长为 6 ; 建立适当的直角坐 标系 ;并写出各个顶点的坐标
y
解: 如图;以边AB所在 的直线为x 轴;以边AB 的中垂线y 轴建立直角 坐标系
布置作业
作业:
A类：课本习题5 5
B类：完成A类同时;补充：
1已知点A到x轴 y轴的距离均为4;求A点坐标；
2已知x轴上一点A3;0;B 3;b ;且AB=5;
求b的值
C类：建立坐标系表示右面图形各顶点的坐标
直角梯形上底3;下底5;底角60˚
y
o
x
练习提高
随堂练习:
课本 随堂练习
练习
1如图;某地为了发展城市群;在现有的四个中小城市A;B;C;D附近 新建机场E;试建立适当的直角坐标系;并写出各点的坐标
2点A1a;5;B3 ;b关于y轴对称;则 a + b =______
3在平面直角坐标系内;已知点P a ; b ; 且a b < 0 ; 则点P的位置 在________
在一次寻宝游戏中;寻宝人已
11 2
2
3
经找到了2和3;2的两个标志点;并
3
且知道藏宝地点的坐标为4;4;除4ຫໍສະໝຸດ 此外不知道其他信息 如何确定直
角坐标系找到宝藏 与同伴进行交
流
做一做
例1 如图; 矩形ABCD的长宽分别是6 ; 4 ; 建立适当的 坐标系;并写出各个顶点的坐标
y
解: 如图;以点C为坐标 原点; 分别以CD ; CB所 在的直线轴建 立直角坐标系 此时C点 坐标为 0 ; 0
高中数学第一章坐标系1.1平面直角坐标系1.1.1平面直角
题型一 题型二 题型三
解:(1)设
������ ������
=
������,
得y=kx,所以
k
为过原点的直线的斜率.
又 x2+y2-4x+1=0 可化简为(x-2)2+y2=3,
它表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆,如图所示.
当直线 y=kx 与已知圆相切,且切点在第一象限时,k 最大,
此时,|CP|= 3, |������������| = 2,
(2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借 助坐标系,研究曲线与方程间的关系.
名师点拨1.两点间的距离公式:在平面直角坐标系 中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离公式为
|P1P2|= (������1-������2)2 + (������1-������2)2.
所以
-1 + 2������ < -3-������ < 0,
0,
即
������
<
1 2
,
������ > -3.
所以-3<m< 12.
答案:-3<m<
1 2
2.曲线与方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲 线. 名师点拨求曲线的方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的平面 直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条 件p的点M的集合p={M|P(M)};(3)用坐标表示条件p(M),写出方程 f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须等价);(5)证明以(4)中方程的解为 坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程若是等价的,则步骤 (5)可以省略.
人教版八年级上册数学1.1用坐标表示轴对称课件
C' (3，4)
关于 x轴 对称
(x , －y)
B(－4，2) O
B'(－4, －2)
x
C (3,－4)
新知讲解
关于x轴对称的点的坐标的特点是: 归纳
横坐标相等，纵坐标互为相反数. （简称：横轴横相等）
练一练: 1.点P(－5，6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__(－__5__,__－__6_). 2.点M(a ，－5)与点N(－2， b)关于x轴对称，则a=_－__2__， b =__5__.
新知讲解
探究：你能猜测出关于y轴对称的点的坐标特点
吗?
(x , y)
(x , y)
关于 x轴 对称
(x , －y)
关于 y轴 对称
(－x , y)
新知讲解
做一做：在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对
称点.
y
(x , y)
关于
A′(－2, 3) B(－4，2)
A (2，3) B′ (4， 2)
O
坐标系.根据如图所示的东直门的坐标，
你能说出西直门的坐标吗？
新知讲解
1 用坐标表示轴对称
探究：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称
点吗?
y
A (2，3)
你能说出点A 与点A'坐标的 关系吗？
O
x
A′(2,－3)
新知讲解
做一做：在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对
称点.
y
(x , y)
D
D′′
A
B
B′′
A′′
A′
B′ O
x
D′ C′
新知演练
【变式1】 在平面直角坐标系中，将点A(－1，2)向右平移3个单
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
的
作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面 直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
返回
[例1]
(2012· 湖北高考改编)设A是单位圆x2＋y2＝1上
的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴 的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其
的轨迹方程．
解：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则 D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0)． 设 A(x，y)为所求轨迹上任意一点， 则|AD|＝ x2＋y2， 又|AD|＝3， ∴ x2＋y2＝3，即 x2＋y2＝9(y≠0)． ∴A 点的轨迹方程为 x2＋y2＝9(y≠0)
则直线AC的方程为 返回
h y＝－ a x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝a x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2. a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
① ②
①2－2②；得 a2＝2b＋1. π π ∵|θ|≤ ，由 sin θ＋cos θ＝ 2sin(θ＋ )， 4 4 知 0≤a≤ 2. 1 1 由 sin θ· θ＝ sin 2θ，知|b|≤ . cos 2 2 ∴P(a，b)的轨迹方程是 a2＝2b＋1(0≤a≤ 2)．
返回
2．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求A点
返回
[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰
1.1《平面直角坐标系》 课件(人教A版选修4-4)
∴ |MN| =1，所以城市B处于危险区的时间为1 h .
20
答案：1 h
三、解答题（共40分） 10.（12分）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=2sin3x?
【解析】设P(x,y)为正弦曲线y=sinx上任意一点,保持横坐标
x不变,将纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线y=2sinx,在此基 础上将横坐标缩小到原来的 1 ,得到曲线y=2sin3x.
标系，则B(40,0)，以点B为圆
心，30为半径的圆的方程为 (x-40)2+y2=302,台风中心移动 到圆B内时，城市B处于危险区， 台风中心移动的轨迹为直线y=x，与圆B相交于点M、N,点B到
直线y=x的距离 d= 40 =20 2, 求得|MN|= 2 302 -d 2 =20 (km),
2
器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称
轴，M（0，64 ）为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D
7
（8，0），观测点A（4，0），B（6，0）同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天 器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
周期为( (A)
2
)
(B)π
(C)2π
（D）3π
1 x = x， 【解析】选B.由 2 得 y=3y.
x=2x, 代入曲线y=sinx，得 1 y= 3 y.
y′=3sin2x′，即y=3sin2x，故周期为π.
6.将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标
8.平面直角坐标系中，在伸缩变换φ : 下仍是其本身的点为_______.
《平面直角坐标系》ppt课件
坐标系的建立
确定原点
选择平面内的任意一点作为原点，作为两条数轴 的公共起点。
确定正方向
在水平数轴上选取正方向，通常以向右为正；在 垂直数轴上选取正方向，通常以向上为正。
单位长度
根据实际需要确定数轴上的单位长度，通常以厘 米或毫米为单位。
坐标系的分类
绝对坐标标 系。
平面直角坐标系
目录
• 平面直角坐标系的基本概念 • 平面直角坐标系中的点 • 平面直角坐标系中的直线 • 平面直角坐标系中的距离公式 • 平面直角坐标系的应用
01
平面直角坐标系的基本 概念
定义与性质
定义
平面直角坐标系是由两条互相垂直、 原点重合的数轴构成的平面几何图形。
性质
具有方向性、单位性、正交性等性质， 是描述平面内点位置的重要工具。
05
平面直角坐标系的应用
在几何中的应用
确定点位置
01
通过平面直角坐标系，可以确定平面内任意点的位置，并描述
其坐标。
计算距离和角度
02
利用坐标系，可以方便地计算两点之间的距离和两点之间的夹
角。
绘制图形
03
通过坐标系，可以绘制各种几何图形，如直线、圆、椭圆等。
在代数中的应用
代数方程表示
平面直角坐标系可以将代数方程表示为图形，便于理解和解决代 数问题。
点到直线的距离公式
总结词
点到直线最短距离的平方
详细描述
给定点$P(x_0, y_0)$和直线$Ax + By + C = 0$，则点到直线的距离公式为：$d^2 = frac{|Ax_0 + By_0 + C|^2}{A^2 + B^2}$。
人教版数学选修4-4课件 1.1 平面直角坐标系
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
• 思维导引：本题涉及两点间的距离及曲线， 故要想到坐标法解决问题．
解析：以 A，B 所在直线为 x 轴，A，B 中点 O 为坐标原点，建立如图的直角坐标 系．
∵|AB|＝10，∴点 A(－5,0)，B(5,0)．设某地 P 的坐标为(x，y)，并设 A 地运费为 3a 元/公里，则 B 地运费为 a 元/公里，设 P 地居民购货总费用满足条件(P 地居民选择 A 地 购货)：价格＋A 地运费≤价格＋B 地运费，
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
•要点二 平面直角坐标系中的伸缩变换
定义：设 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 φ：xy′′＝＝λμxy，，λμ＞＞00，
• 的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，就 坐称标φ伸为缩平变面换 直角伸坐缩标变换系中的________________， 简称______________．
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
① ②
①2－2②；得 a2＝2b＋1. π π ∵|θ|≤ ，由 sin θ＋cos θ＝ 2sin(θ＋ )， 4 4 知 0≤a≤ 2. 1 1 由 sin θ· θ＝ sin 2θ，知|b|≤ . cos 2 2 ∴P(a，b)的轨迹方程是 a2＝2b＋1(0≤a≤ 2)．
返回
2．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求A点
曲线方程即为所求． (4)参数法：动点P(x，y)的横纵坐标用一个或几个参 数来表示，消去参数即得其轨迹方程．
返回
1．二次方程 x2－ax＋b＝0 的两根为 sin θ，cos θ，求点 P π (a，b)的轨迹方程(其中|θ|≤ )． 4
a＝sin 解：由已知可得 b＝sin
θ＋cos θ θcos θ
返回
点击下图进入
返回
焦点坐标．
[思路点拨] 解． 设出点M的坐标(x，y)，直接利用条件求
返回
[解]
如图，设 M(x，y)，A(x0，y0)，则由
|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)， 可得 x＝x0，|y|＝m|y0|， 1 所以 x0＝x，|y0|＝m|y|. ①
因为 A 点在单位圆上运动，所以 x2＋y2＝1.② 0 0 y2 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x2 ＋ 2 ＝ m 1(m>0，且 m≠1)．
则直线AC的方程为 返回
h y＝－ a x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝a x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2. a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
平面直角坐标系ppt课件
知识点2 坐标轴上点的坐标特征：
点在x轴上，纵坐标为0；点在y轴上，横坐标为0；点在原点，
横坐标和纵坐标都为0
【例2】(北师教材母题改编)在平面直角坐标系中，点(0，－4)
在( C )
A．x轴的正半轴
B．y轴的正半轴
C．y轴的负半轴
D．x轴的负半轴
【变式2】(北师教材母题改编)若点M(2x－1，x＋3)在x轴上，则点
知识点2 根据坐标描出点的位置 【例2】在如图所示的平面直角坐标系中. (1)描出下面各点：A(0，3)，B(1，－3)， C(3，－5)，D(－3，—5)，E(5，3)，F(－1， －3)，并写出点A，B，C所在的象限； 解：(1)点A在y轴上，不在任何一个象限内； 点B在第四象限；点C在第四象限． (2)连接BC，FD，则线段BC，FD关于__y___轴对称．
(1)若点A在x轴上，求点A的坐标； 解：(1)依题意，得2a－6＝0， 解得a＝3. ∴点A(5，0). (2)点A 的纵坐标比横坐标大4，求点A 的坐标； 解：(2)依题意，得2a－6－2－a＝4， 解得a＝12. ∴点A(14，18).
5．(一题多设问)(北师教材母题改编)在平面直角坐标系中，点A的 坐标为(2＋a，2a－6).
2．如图是象棋棋盘的一部分，若“帅”的坐标 为(1－2)，“相”的坐标为(3，－2)，则“炮”的坐标 为___(_－__2_，__1_) __.
3．如图，在长方形ABCD中，已知AB＝6，AD＝ 4，在长方形ABCD外画△ABE，使AE＝BE＝5，请建立 适当的平面直角坐标系，并求出各顶点的坐标．
A．经过原点
B．平行于x轴
C．平行于y轴
D．无法确定
2．已知点A(－1，0)，B(1，1)，C(0，－3)，D(－1，2)，E(0，1)，
平面直角坐标系与曲线方程
题型三
解:(1)设 =k,得 y=kx,所以 k 为过原点的直线的斜率,又 x2+y2-4x+1=0
表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆,如图所示.
当直线 y=kx 与已知圆相切,且切点在第一象限时,k 最大,此
时,|CP|= 3,|OC|=2,
则在 Rt△POC 中,∠POC=60°,k=tan 60°= 3.
故 的最大值为 3.
(2)设 y-x=b,即为直线 y=x+b,b 为直线在 y 轴上的截距,如图所示.
当直线 y=x+b 与圆有公共点时,当且仅当直线与圆相切,且切点在第四
象限时,b 最小.
此时,圆心(2,0)到直线的距离为 3,
即
|2+|
1 2+1 2
= 3.
解得 b=- 6-2 或 b= 6-2(舍).
单、易求或便于化简、运算.
(2)一般原则是,首选使轨迹对称的坐标系;其次选轨迹中的直角所在直
线作为坐标轴;再次可以让轨迹过坐标原点.
-11-
1.1 平面直角坐标系
与曲线方程
题型一
题型二
M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦
UBIAODAOHANG
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析 S随堂演练
∴(|AP|+|PB|)min=|A'B|
= (2-0)2 + (2 + 1)2 = 13.
∴函数 y= 2 + 1 + 2 -4 + 8的最小值为 13.
-15-
M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦
1.1 平面直角坐标系
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)
[研一题] [例 3] 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过
1 x′＝3x， 伸缩变换 y′＝1y 2
后的图形是什么形状？
(1)y2＝2x；(2)x2＋y2＝1.
[精讲详析]
本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根
据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状．
1 x′＝3x， 由伸缩变换 y′＝1y. 2
[悟一法]
x′＝λ· x，λ>0 φ： y′＝μ· y，μ>0
利用坐标伸缩变换
求变换后的曲线方
1 x＝ λx′ 程，其实质是从中求出 y＝ 1y′ μ
，然后将其代入已知的曲线方
程求得关于 x′，y′的曲线方程．
[通一类] 3．将圆锥曲线 C
3x′＝x 按伸缩变换公式 2y′＝y
[悟一法]
求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过 “坐标”转化成代数关系，得到对应的方程． (1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→ 检验．
(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要
检验轨迹的纯粹性和完备性． (3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同， 解题时要善于从多角度思考问题．
圆锥曲线，并求其焦点坐标．
[命题立意] 求法．
[解]
本题考查圆锥曲线的相关知识以及轨迹方程的
如图，设 M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m＞
1 0，且 m≠1)，可得 x＝x0 ，|y|＝m|y0|，所以 x0 ＝x，|y0|＝ m |y|. ① 因为 A 点在单位圆上运动，所以 x2＋y2＝1.② 0 0
|MC|＝ x2＋y－22，|MD|＝ x2＋y＋22， ∴由|MA|· |MB|＝|MC|· |MD|，可得 [x＋42＋y2][x－42＋y2] ＝ [x2＋y－22][x2＋y＋22]. 化简，得 y2－x2＋6＝0. ∴点 M 的轨迹方程为 x2－y2＝6.
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在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 的 1 ，在此基础上，将纵坐标变为原 来的23倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
1
x’= 2 x 3 y’=3y
通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意 一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为 原来 1 ，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系 为： 2
坐标对应关系为：
1
x’= 2 x 1 y’=y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中 的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考： （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=sin2x?
y=sin2x
2
O
x
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 的 1 ，就得到正弦曲线y=sin2x.
2
上述的变换实质上就是一个坐标的 压缩变换，即：
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换
x’=x
y’=3y
后的图形。 （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
换 x’=3x 后， y’=y
一．平面直角坐标系的建立
思考:声响定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向
三个观测点的报告：正西、正北两个观测 点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨 响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各 观测点到中心的距离都是1020m，试确定 该巨响的位置。（假定当时声音传播的速 度为340m/s，各相关点均在同一平面上） (2004年广东高考题)
y C
P
B o
Ax
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，
则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)
设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听
到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分
线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换
:
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩 变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角 坐标系不变，在同一直角坐标系下进 行伸缩变换。
22
2
所以
xc
y2
BE CF ( c)( x) 0.222因此，BE与CF互相垂直.
新知探究
用坐标法求动点的轨迹方程
【例题2】 已知点A为定点，线段BC在定直线 l上滑动，已知 BC 4，点A到直线l的距 离为3，求 ABC的外心的轨迹方程。
用坐标法解决代数问题
【例题3】
如果实数x, y满足 x2 y2 4x 1 0, 求： ( 1) y 的最大值；
具体解答过程见书本P4
你能建立不同的直角坐标系解决这 个问题吗？比较不同的直角坐标系下解 决问题的过程，建立直角坐标系应注意 什么问题？
建系时，根据几何特点选择适当的直角 坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对 称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对 称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在 坐标轴上。
在正弦曲线上任取一点P（x,y）， 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’=x 2
y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足
b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上
的中线，建立适当的平面直角坐标系
探究BE与CF的位置关系。
解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ， y
边AB所在的直线x轴，建立直角
C
坐标系，由已知，点A、B、F的
坐标分别为
E
c
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ). O (A) F
1(x
0)
用y=－x代入上式，得 x 680 5，
∵|PA|>|PB|,
x 680 5, y 680 5, 即P(680 5,680 5),故PO 680 10
答：巨响发生在接报中心的西偏北
450距中心 680 10m 处.
解决此类应用题的关键：坐 标 法 1、建立平面直角坐标系 2、设点（点与坐标的对应） 3、列式（方程与坐标的对应） 4、化简 5、说明
Bx
设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（x2
，y）. 2
由b2 c2 5a2，可得到 | AC |2 | AB |2 5 | BC |2 ，
即 x2 y2 c2 5[(x c)2 y2 ].
整理得 2x2 2 y2 2c2 5cx 0.
因为 BE ( x c, y ), CF ( c x, y),
听到爆炸声，
y
C
故|PA|－ |PB|=340×4=1360 P
B o Ax
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的 双曲线 x 2 y 2 1 上，
a2 b2
a 680 ,c 1020
b2 c2 a2 10202 6802 5 3402
故双曲线方程为 x2 6802
5
y2 3402
x ( 2) y x的最小值。
1、坐标法思想； 2、根据几何特点选择直角坐标系的一些 规则：
(1)如果图形有对称中心，可以选对 称中心为坐标原点；
(2)如果图形有对称轴，可以选对称 轴为坐标轴；
(3)使图形上的特殊点尽可能多地在 坐标轴上。
练习：
1 .求函数g( x) x2 4x 13 x2 10x 26的最小值。