《1.1平面直角坐标系》课件
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一．平面直角坐标系的建立
思考:声响定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向
三个观测点的报告：正西、正北两个观测 点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨 响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各 观测点到中心的距离都是1020m，试确定 该巨响的位置。（假定当时声音传播的速 度为340m/s，各相关点均在同一平面上） (2004年广东高考题)
1(x
0)
用y=－x代入上式，得 x 680 5，
∵|PA|>|PB|,
x 680 5, y 680 5, 即P(680 5,680 5),故PO 680 10
答：巨响发生在接报中心的西偏北
450距中心 680 10m 处.
解决此类应用题的关键：坐 标 法 1、建立平面直角坐标系 2、设点（点与坐标的对应） 3、列式（方程与坐标的对应） 4、化简 5、说明
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换
x’=x
y’=3y
后的图形。 （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
换 x’=3x 后， y’=y
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考： （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=sin2x?
y=sin2x
2
O
x
百度文库y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 的 1 ，就得到正弦曲线y=sin2x.
2
上述的变换实质上就是一个坐标的 压缩变换，即：
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意 一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为 原来 1 ，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系 为： 2
坐标对应关系为：
1
x’= 2 x 1 y’=y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中 的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
y C
P
B o
Ax
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，
则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)
设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听
到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分
线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s
Bx
设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（x2
，y）. 2
由b2 c2 5a2，可得到 | AC |2 | AB |2 5 | BC |2 ，
即 x2 y2 c2 5[(x c)2 y2 ].
整理得 2x2 2 y2 2c2 5cx 0.
因为 BE ( x c, y ), CF ( c x, y),
具体解答过程见书本P4
你能建立不同的直角坐标系解决这 个问题吗？比较不同的直角坐标系下解 决问题的过程，建立直角坐标系应注意 什么问题？
建系时，根据几何特点选择适当的直角 坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对 称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对 称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在 坐标轴上。
22
2
所以
xc
y2
BE CF ( c)( x) 0.
22
2
因此，BE与CF互相垂直.
新知探究
用坐标法求动点的轨迹方程
【例题2】 已知点A为定点，线段BC在定直线 l上滑动，已知 BC 4，点A到直线l的距 离为3，求 ABC的外心的轨迹方程。
用坐标法解决代数问题
【例题3】
如果实数x, y满足 x2 y2 4x 1 0, 求： ( 1) y 的最大值；
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足
b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上
的中线，建立适当的平面直角坐标系
探究BE与CF的位置关系。
解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ， y
边AB所在的直线x轴，建立直角
C
坐标系，由已知，点A、B、F的
坐标分别为
E
c
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ). O (A) F
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换
:
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩 变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角 坐标系不变，在同一直角坐标系下进 行伸缩变换。
在正弦曲线上任取一点P（x,y）， 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’=x 2
y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
听到爆炸声，
y
C
故|PA|－ |PB|=340×4=1360 P
B o Ax
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的 双曲线 x 2 y 2 1 上，
a2 b2
a 680 ,c 1020
b2 c2 a2 10202 6802 5 3402
故双曲线方程为 x2 6802
5
y2 3402
x ( 2) y x的最小值。
1、坐标法思想； 2、根据几何特点选择直角坐标系的一些 规则：
(1)如果图形有对称中心，可以选对 称中心为坐标原点；
(2)如果图形有对称轴，可以选对称 轴为坐标轴；
(3)使图形上的特殊点尽可能多地在 坐标轴上。
练习：
1 .求函数g( x) x2 4x 13 x2 10x 26的最小值。
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 的 1 ，在此基础上，将纵坐标变为原 来的23倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
1
x’= 2 x 3 y’=3y
通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。
思考:声响定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向
三个观测点的报告：正西、正北两个观测 点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨 响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各 观测点到中心的距离都是1020m，试确定 该巨响的位置。（假定当时声音传播的速 度为340m/s，各相关点均在同一平面上） (2004年广东高考题)
1(x
0)
用y=－x代入上式，得 x 680 5，
∵|PA|>|PB|,
x 680 5, y 680 5, 即P(680 5,680 5),故PO 680 10
答：巨响发生在接报中心的西偏北
450距中心 680 10m 处.
解决此类应用题的关键：坐 标 法 1、建立平面直角坐标系 2、设点（点与坐标的对应） 3、列式（方程与坐标的对应） 4、化简 5、说明
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换
x’=x
y’=3y
后的图形。 （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
换 x’=3x 后， y’=y
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考： （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=sin2x?
y=sin2x
2
O
x
百度文库y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 的 1 ，就得到正弦曲线y=sin2x.
2
上述的变换实质上就是一个坐标的 压缩变换，即：
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意 一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为 原来 1 ，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系 为： 2
坐标对应关系为：
1
x’= 2 x 1 y’=y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中 的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
y C
P
B o
Ax
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，
则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)
设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听
到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分
线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s
Bx
设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（x2
，y）. 2
由b2 c2 5a2，可得到 | AC |2 | AB |2 5 | BC |2 ，
即 x2 y2 c2 5[(x c)2 y2 ].
整理得 2x2 2 y2 2c2 5cx 0.
因为 BE ( x c, y ), CF ( c x, y),
具体解答过程见书本P4
你能建立不同的直角坐标系解决这 个问题吗？比较不同的直角坐标系下解 决问题的过程，建立直角坐标系应注意 什么问题？
建系时，根据几何特点选择适当的直角 坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对 称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对 称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在 坐标轴上。
22
2
所以
xc
y2
BE CF ( c)( x) 0.
22
2
因此，BE与CF互相垂直.
新知探究
用坐标法求动点的轨迹方程
【例题2】 已知点A为定点，线段BC在定直线 l上滑动，已知 BC 4，点A到直线l的距 离为3，求 ABC的外心的轨迹方程。
用坐标法解决代数问题
【例题3】
如果实数x, y满足 x2 y2 4x 1 0, 求： ( 1) y 的最大值；
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足
b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上
的中线，建立适当的平面直角坐标系
探究BE与CF的位置关系。
解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ， y
边AB所在的直线x轴，建立直角
C
坐标系，由已知，点A、B、F的
坐标分别为
E
c
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ). O (A) F
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换
:
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩 变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角 坐标系不变，在同一直角坐标系下进 行伸缩变换。
在正弦曲线上任取一点P（x,y）， 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’=x 2
y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
听到爆炸声，
y
C
故|PA|－ |PB|=340×4=1360 P
B o Ax
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的 双曲线 x 2 y 2 1 上，
a2 b2
a 680 ,c 1020
b2 c2 a2 10202 6802 5 3402
故双曲线方程为 x2 6802
5
y2 3402
x ( 2) y x的最小值。
1、坐标法思想； 2、根据几何特点选择直角坐标系的一些 规则：
(1)如果图形有对称中心，可以选对 称中心为坐标原点；
(2)如果图形有对称轴，可以选对称 轴为坐标轴；
(3)使图形上的特殊点尽可能多地在 坐标轴上。
练习：
1 .求函数g( x) x2 4x 13 x2 10x 26的最小值。
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 的 1 ，在此基础上，将纵坐标变为原 来的23倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
1
x’= 2 x 3 y’=3y
通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。