试验数据统计分析
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首先算得平均数差数的标准误：
Sx1 Sx2
2se2 n
式中：
S
2 e
为方差分析时的误差均方值，n为
样本容量。由t表查得ta，即有最小显著差数：
L S D a = S x 1 x 2 t a
第一节 方差分析
若两个平均数的差数>LSDa，即为a水平上显著。 LSD法实质上是t测验，而t测验只适用于两个相互 独立的样本平均数。
F测验是一个整体的概念。仅能测出不同处 理效应的平均数的显著差异性。但是，是否各个平 均数间都有显著差异性？还是仅有部分平均数间有 显著差异而另一部分平均数间没有显著差异？它不 曾提供任何信息。要明确各个平均数间的差异显著 性，还必须对各平均数进行多重比较。
第一节 方差分析
(一) 最小显著差法（LSD法）
变异因素的自由度和平方和，并进而算得 其均方； 2．计算均方比，作出F测验，以明了各变异 因素的重要程度； 3．对各平均数进行多重比较。
第一节 方差分析
二.单向分组资料的方差分析
单向分组资料是指观察值仅按一个方向分组的资料.如试 验中将全部供试单位随机地分成若干组,然后按组给以不同处 理,这样所得的全部观察值就是单向分组资料.这种试验叫做完 全随机设计试验.
LSR= SE×SSRa
将各个平均数按大小顺序排列，用各个p的LSRa值即可测 验各平均数的显著性；凡两极差<LSRa者为不显著，凡两 极差>LSRa者为显著。
第一节 方差分析
[例3] 对前述资料的各个平均数作新复极差 测验。
表3 LSR值计算（新复极差测验）
P
2
3
4
SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 SSR0.01
总自一由度、=组攻间自关由目度+组标内自由度
平方和分解：总平方和=组间平方和+组内平方和
第一节 方差分析
[例1] 以A、B、C、D 4种药剂处理水稻种子，其中 A为对照，每处理各得4个苗高观察值（cm），其结 果如表2，试分析其自由度和平方和。
第一节 方差分析
表2 水稻不同药剂处理的苗高（cm）
2.2 3.8 3.4 0.7 4.4 3.7
2.5 3.6 3.4 0.8 4.4 3.5
2.7 3.6 3.0 0.5 4.4 3.7
Ti 12.6 18.8 15.6 3.3 22.4 18.2 T=
90.9
第一节 方差分析
(一)自由度和平方和的分解
总变异自由度=6*5-1=29
处理间自由度=6-1=5
(二)最小显著极差法（LSR法）
这一方法的特点是不同平均数间的比较采用不同的 显著差数标准，因而克服了LSD法的局限性，可用于 平均数间的所有相互比较。其常用的有新复极差测验 和q测验两种。
第一节 方差分析
1、新复极差测验（SSR测验）：
平均数的标准误
s e 2 S E = n
查SSR表，查得所具有的自由度下，p=2，3，……，k时 的SSR值（p为某两极差间所包含的平均数个数）。进而算 得各个p下的最小显著极差LSR。
第一节 方差分析
表10 生长素处理豌豆的试验结果
处理
组（或重复，B）
总和
（A） I
II
III IV
Ti
对照 60 62 61 60 243
赤霉素 65 65 68 65 263 动力精 63 61 61 60 245 吲哚乙 64 67 63 61 255
腺嘌呤
马来酸 62 65 62 64 253 61 62 62 65 250
n
5
第一节 方差分析
S e S T S t 4 S .7 5 4 6 .4 4 3 6 1 .3 6 0 3 0
表7 方差分析表
变异来源 DF
SS
MS F
F0.05
处理间 5
44.463 8.8926 164.07 3.90
误差 24
1.300 0.0542
总变异 29
45.763
F8.892 616.4 07 0.0542
3.08 4.32 4.84 6.78
3.23 4.55 5.07 7.14
3.33 4.68 5.23 7.35
第一节 方差分析
4种药剂对苗高效应的平均数大小顺序是D=24，B=23， A=19，C=18。D与B比、B与A比、A与C比时p皆为2；D与 A比、B与C比时，p=3，D与C比时p=4，故测验结果为： B与A比：23-19=4<4.84，不显著 A与C比：19-18=1<4.84，不显著 D与A比：24-19=5<5.07，不显著
[例4] 研究6种氮肥施用方法(K=6)对小麦的效应,每种 施肥方法种5盆小麦(n=5),完全随机设计,最后测定它 们的含氮量,其结果如下表.试作方差分析.
第一节 方差分析
表6 6种施肥法小麦植株含氮量
处理
施氮法
总和
123456
2.9 4.0 2.6 0.5 4.6 4.0
2.3 3.8 3.2 0.8 4.6 3.3
验 误 差 ） 作 分 母 。 若 所 得 F>F0.05 或 > F0.01， 则 F 值 即 为 在 a=0.05或a=0.01水平上显著；否则不显著。
第一节 方差分析
[例2] 测定东方红3号小麦的蛋白质含量10次， 得均方；测定农大139小麦的蛋白质含量5次，得均 方。试测前者的变异是否比后者大。 显 著 水 平 面 取 a=0.05，v1=9，v2=4 时 ， 查 附 表 得
误差(处理内)自由度=6(5-1)=24
(二)平方和分解
矫正数 C(90.9)2 27.5427 30
S T S x 2 C 2 . 9 2 2 . 3 2 . . 3 . 7 2 . C 4 . 7 5 6
S ST it2 C 1 .6 2 2 1 .8 2 8 . .1 ..2 2 8 C 4 .4 463
第一节 方差分析
三.各方法的异同
根据上述测验计算，可以看到在两极差间所包含的平均数 个数p=2时，t测验（LSD法）、SSR测验和q测验的显著尺度都 是完全相同的。但是，当p>2时，三种测验的显著尺度不相同， LSD法最低，SSR测验次之，q测验最高。因此，（1）对于试验 结果事关重大或有严格要求的试验，宜用q测验：（2）一般试 验可采用SSR测验；（3）试验中各个处理平均数皆与对照相比 的，可用LSD测验。（4）LSD测验必须经过F测验确认各平均数 间有显著差异之后，才宜应用；SSR测验和q测验可不经过F测 验。
第一节 方差分析
（(四)多重比较结果的表示方法
表4．标记字母法
处理 平均苗高
差异显著性
D
24
a
A
B
23
ab
A
A
19
ab
A
C
18
b
A
第一节 方差分析
表5.列梯形表法
：
处理
平均数
差异
Xi-18
Xi-19
Xi-23
D
24
6*
5
1
B
23
5
4
A
19
1
C
18
第一节 方差分析
(五)方差分析的基本步骤 1．将资料总变异的自由度和平方和分解为各
度v=nk-1，而平方和SST则为
总平方和：
nk
nk
STS (xijx)2 x2C
1
1
矫正系数
( C
x)2 T2
一、攻关目nk标 nk
k
k
T2
组间平方和
SSt n
1
(xi x)2
1
n
C
第一节 方差分析
组内平方和：SSe= SST-SSt 自由度分解：（nk-1）=(k-1)+k(n-1)
243 2
263 2 ...... 4
250
2
C
65 .87
SSB
375 2
382 2
6
377
2
375 2
第一节 方差分析
B与C比：23-18=5<5.07，不显著 D与C比：24-18=6>5.23，显著 结论：只有处理D和C的差异在a=0.05水平显著， 其余皆不显著。 2.q测验： q测验与SSR测验相似，其区别仅在于计算最小 显著极差LSRa值时不是查SSRa，而是查qa。 查qa值后，即有: LSR=SE×qa
1、将总变异分裂为各个因素的相应变异，作出数量 估计；发现各个因素在变异中所占的重要程度。
2、准确估计试验误差。
（三）自由度和平方和的分解
设有k组样本，每样本皆具有n个观察值，则该资料共
一、攻关目标 有nk个观察值，其数据分组如表1：
第一节 方差分析
表1 每组具有n个观察值的k组样本的符号表
（I=1,2,…..,k; j=1,2,……n）
第一节 方差分析
一、方差分析的基本原理
（一）几个变异数的概念 1、极差：最大值-最小值 2、离均差：观察值-平均值（xi-x) 3、平方和：离均差平方的总和 4、方差：平方和/观察值数 5、标准差：方差的平方根值 6、自由度及其意义：观察值数-1（n-1)
第一节 方差分析
（二）方差分析的作用
药剂
A（x1.） B（x2.） C（x3.） D（x4.）
19
21
20
22
23
24
18
25
21
27
19
27
13
20
15
22
总和Ti 76
92
72
96
T=336
平均xi 19
23
18
24
X=21
第一节 方差分析
总变异=（4×4）-1=15 药剂间自由度=4-1=3 药剂内自由度=4（4-1）=12
3362 C 7056
（试验误差估计）
第一节 方差分析
(四）F测验的概念：
对于两个独立的样本，分别求得其均方S12和S22 则将二者的比值定义为F：
F
S2 1
S来自百度文库 2
一、攻关目标 在方差分析的体系中，F测验是用于测验某项变异因素的
效应或方差是否真实存在。所以在计算F值时，总是将测验
项变异因素的均方作分子，而将另一项变异因素（例如试
一、攻关目标 F0.05=6.00。测验计算： F 1 0 . . 6 1 1 . 0 2 3 2 1 1 5
此F> F0.05，即东方红小麦蛋白质含量变异大于农 大139
第一节 方差分析
[例]如前已算得的药剂间均方 :
St2
10434.67 3
药剂内均方 :
一、攻S关e2 目1112标89.83
试验数据按两个因素交叉分组的，为两向分组资料。例如选 用几种灌水量和几种施肥量，研究其对作物生长和产量的影响， 其每一观察值都是某一灌水量和某一施肥量的组合同时作用的 结果，故属两向分组资料。两向分组又叫交叉分组。按完全随 机设计的两因素试验数据，都是两向分组资料；其方差分析按 各组有无重复观察值分为两种不同分析方法。 （一）组合内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析 [例5] 用生长素处理豌豆试验，试验结果如下表：
44
SST 192 232 .....2. 22 C 22
SSt
762
922
722 4
962
C 104
第一节 方差分析
SS e SS T SS t 222 118
S2 T
222 15
14 .80
一S 、t 2 攻1034关目34标.67 （试验误差加药剂效应）
S2 e
118 12
9 .83
具自由度v1=3，v2=12。试测验药剂间变异是否 大于药剂内变异？
第一节 方差分析
显著水平取a=0.05，F0.05=3.49。 测验计算：
F 3 .6 4 3 .5 73 9 .83
此F> F0.05 ，即药剂间变异大于药剂内变异， 不同药剂对水稻苗高是具有不同效应的。
第一节 方差分析
(四)多重比较
3.22 4.33 0.335 0.450
6 3.28 4.39 0.341 0.457
第一节 方差分析
表 9 6种施氮法植株含氮量的差异显性
施氮法 平均数
5
14.48
2
13.76
6
13.64
3
13.12
1
12.52
4
10.66
差异显著性
0.05
0.01
a
A
b
B
b
B
c
C
d
D
e
E
第一节 方差分析
二、两向分组资料的方差分析
组别 1 2 ….. i
…… k
X11 X21
Xi1
Xk1
X12 X22
Xi2
Xk2
……
…
…
X1j X2j
Xij
Xkj
一…、… 攻关目… 标 …
X1n X2n
Xin
Xkn
总和 T1 T2
Ti
Tk
平均 X1 X2
Xi
Xk
均方
T=∑Xij=∑ X
第一节 方差分析
在表1中，总变异是nk个观察值的变异，故其自由
总和T。 375 382 377 375 T=1509
平均
xi
60.8 65.8 61.3 63.8 63.3 62.5
第一节 方差分析
（一）自由度和平方和的分解
C 1509 2 94878 .38 64
SST 60 2 65 2 ...... 65 2 C 114 .62
SS A
第一节 方差分析
(三)各处理平均数的比较
在此用新复极差测验(LSR),算得
SE 0.05420.1041 5
表8 新复极差测验的LSR值
p
2
3
4
5
SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01
2.92 3.96 0.304 0.412
3.07 4.14 0.319 0.431
3.15 4.24 0.328 0.441
Sx1 Sx2
2se2 n
式中：
S
2 e
为方差分析时的误差均方值，n为
样本容量。由t表查得ta，即有最小显著差数：
L S D a = S x 1 x 2 t a
第一节 方差分析
若两个平均数的差数>LSDa，即为a水平上显著。 LSD法实质上是t测验，而t测验只适用于两个相互 独立的样本平均数。
F测验是一个整体的概念。仅能测出不同处 理效应的平均数的显著差异性。但是，是否各个平 均数间都有显著差异性？还是仅有部分平均数间有 显著差异而另一部分平均数间没有显著差异？它不 曾提供任何信息。要明确各个平均数间的差异显著 性，还必须对各平均数进行多重比较。
第一节 方差分析
(一) 最小显著差法（LSD法）
变异因素的自由度和平方和，并进而算得 其均方； 2．计算均方比，作出F测验，以明了各变异 因素的重要程度； 3．对各平均数进行多重比较。
第一节 方差分析
二.单向分组资料的方差分析
单向分组资料是指观察值仅按一个方向分组的资料.如试 验中将全部供试单位随机地分成若干组,然后按组给以不同处 理,这样所得的全部观察值就是单向分组资料.这种试验叫做完 全随机设计试验.
LSR= SE×SSRa
将各个平均数按大小顺序排列，用各个p的LSRa值即可测 验各平均数的显著性；凡两极差<LSRa者为不显著，凡两 极差>LSRa者为显著。
第一节 方差分析
[例3] 对前述资料的各个平均数作新复极差 测验。
表3 LSR值计算（新复极差测验）
P
2
3
4
SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 SSR0.01
总自一由度、=组攻间自关由目度+组标内自由度
平方和分解：总平方和=组间平方和+组内平方和
第一节 方差分析
[例1] 以A、B、C、D 4种药剂处理水稻种子，其中 A为对照，每处理各得4个苗高观察值（cm），其结 果如表2，试分析其自由度和平方和。
第一节 方差分析
表2 水稻不同药剂处理的苗高（cm）
2.2 3.8 3.4 0.7 4.4 3.7
2.5 3.6 3.4 0.8 4.4 3.5
2.7 3.6 3.0 0.5 4.4 3.7
Ti 12.6 18.8 15.6 3.3 22.4 18.2 T=
90.9
第一节 方差分析
(一)自由度和平方和的分解
总变异自由度=6*5-1=29
处理间自由度=6-1=5
(二)最小显著极差法（LSR法）
这一方法的特点是不同平均数间的比较采用不同的 显著差数标准，因而克服了LSD法的局限性，可用于 平均数间的所有相互比较。其常用的有新复极差测验 和q测验两种。
第一节 方差分析
1、新复极差测验（SSR测验）：
平均数的标准误
s e 2 S E = n
查SSR表，查得所具有的自由度下，p=2，3，……，k时 的SSR值（p为某两极差间所包含的平均数个数）。进而算 得各个p下的最小显著极差LSR。
第一节 方差分析
表10 生长素处理豌豆的试验结果
处理
组（或重复，B）
总和
（A） I
II
III IV
Ti
对照 60 62 61 60 243
赤霉素 65 65 68 65 263 动力精 63 61 61 60 245 吲哚乙 64 67 63 61 255
腺嘌呤
马来酸 62 65 62 64 253 61 62 62 65 250
n
5
第一节 方差分析
S e S T S t 4 S .7 5 4 6 .4 4 3 6 1 .3 6 0 3 0
表7 方差分析表
变异来源 DF
SS
MS F
F0.05
处理间 5
44.463 8.8926 164.07 3.90
误差 24
1.300 0.0542
总变异 29
45.763
F8.892 616.4 07 0.0542
3.08 4.32 4.84 6.78
3.23 4.55 5.07 7.14
3.33 4.68 5.23 7.35
第一节 方差分析
4种药剂对苗高效应的平均数大小顺序是D=24，B=23， A=19，C=18。D与B比、B与A比、A与C比时p皆为2；D与 A比、B与C比时，p=3，D与C比时p=4，故测验结果为： B与A比：23-19=4<4.84，不显著 A与C比：19-18=1<4.84，不显著 D与A比：24-19=5<5.07，不显著
[例4] 研究6种氮肥施用方法(K=6)对小麦的效应,每种 施肥方法种5盆小麦(n=5),完全随机设计,最后测定它 们的含氮量,其结果如下表.试作方差分析.
第一节 方差分析
表6 6种施肥法小麦植株含氮量
处理
施氮法
总和
123456
2.9 4.0 2.6 0.5 4.6 4.0
2.3 3.8 3.2 0.8 4.6 3.3
验 误 差 ） 作 分 母 。 若 所 得 F>F0.05 或 > F0.01， 则 F 值 即 为 在 a=0.05或a=0.01水平上显著；否则不显著。
第一节 方差分析
[例2] 测定东方红3号小麦的蛋白质含量10次， 得均方；测定农大139小麦的蛋白质含量5次，得均 方。试测前者的变异是否比后者大。 显 著 水 平 面 取 a=0.05，v1=9，v2=4 时 ， 查 附 表 得
误差(处理内)自由度=6(5-1)=24
(二)平方和分解
矫正数 C(90.9)2 27.5427 30
S T S x 2 C 2 . 9 2 2 . 3 2 . . 3 . 7 2 . C 4 . 7 5 6
S ST it2 C 1 .6 2 2 1 .8 2 8 . .1 ..2 2 8 C 4 .4 463
第一节 方差分析
三.各方法的异同
根据上述测验计算，可以看到在两极差间所包含的平均数 个数p=2时，t测验（LSD法）、SSR测验和q测验的显著尺度都 是完全相同的。但是，当p>2时，三种测验的显著尺度不相同， LSD法最低，SSR测验次之，q测验最高。因此，（1）对于试验 结果事关重大或有严格要求的试验，宜用q测验：（2）一般试 验可采用SSR测验；（3）试验中各个处理平均数皆与对照相比 的，可用LSD测验。（4）LSD测验必须经过F测验确认各平均数 间有显著差异之后，才宜应用；SSR测验和q测验可不经过F测 验。
第一节 方差分析
（(四)多重比较结果的表示方法
表4．标记字母法
处理 平均苗高
差异显著性
D
24
a
A
B
23
ab
A
A
19
ab
A
C
18
b
A
第一节 方差分析
表5.列梯形表法
：
处理
平均数
差异
Xi-18
Xi-19
Xi-23
D
24
6*
5
1
B
23
5
4
A
19
1
C
18
第一节 方差分析
(五)方差分析的基本步骤 1．将资料总变异的自由度和平方和分解为各
度v=nk-1，而平方和SST则为
总平方和：
nk
nk
STS (xijx)2 x2C
1
1
矫正系数
( C
x)2 T2
一、攻关目nk标 nk
k
k
T2
组间平方和
SSt n
1
(xi x)2
1
n
C
第一节 方差分析
组内平方和：SSe= SST-SSt 自由度分解：（nk-1）=(k-1)+k(n-1)
243 2
263 2 ...... 4
250
2
C
65 .87
SSB
375 2
382 2
6
377
2
375 2
第一节 方差分析
B与C比：23-18=5<5.07，不显著 D与C比：24-18=6>5.23，显著 结论：只有处理D和C的差异在a=0.05水平显著， 其余皆不显著。 2.q测验： q测验与SSR测验相似，其区别仅在于计算最小 显著极差LSRa值时不是查SSRa，而是查qa。 查qa值后，即有: LSR=SE×qa
1、将总变异分裂为各个因素的相应变异，作出数量 估计；发现各个因素在变异中所占的重要程度。
2、准确估计试验误差。
（三）自由度和平方和的分解
设有k组样本，每样本皆具有n个观察值，则该资料共
一、攻关目标 有nk个观察值，其数据分组如表1：
第一节 方差分析
表1 每组具有n个观察值的k组样本的符号表
（I=1,2,…..,k; j=1,2,……n）
第一节 方差分析
一、方差分析的基本原理
（一）几个变异数的概念 1、极差：最大值-最小值 2、离均差：观察值-平均值（xi-x) 3、平方和：离均差平方的总和 4、方差：平方和/观察值数 5、标准差：方差的平方根值 6、自由度及其意义：观察值数-1（n-1)
第一节 方差分析
（二）方差分析的作用
药剂
A（x1.） B（x2.） C（x3.） D（x4.）
19
21
20
22
23
24
18
25
21
27
19
27
13
20
15
22
总和Ti 76
92
72
96
T=336
平均xi 19
23
18
24
X=21
第一节 方差分析
总变异=（4×4）-1=15 药剂间自由度=4-1=3 药剂内自由度=4（4-1）=12
3362 C 7056
（试验误差估计）
第一节 方差分析
(四）F测验的概念：
对于两个独立的样本，分别求得其均方S12和S22 则将二者的比值定义为F：
F
S2 1
S来自百度文库 2
一、攻关目标 在方差分析的体系中，F测验是用于测验某项变异因素的
效应或方差是否真实存在。所以在计算F值时，总是将测验
项变异因素的均方作分子，而将另一项变异因素（例如试
一、攻关目标 F0.05=6.00。测验计算： F 1 0 . . 6 1 1 . 0 2 3 2 1 1 5
此F> F0.05，即东方红小麦蛋白质含量变异大于农 大139
第一节 方差分析
[例]如前已算得的药剂间均方 :
St2
10434.67 3
药剂内均方 :
一、攻S关e2 目1112标89.83
试验数据按两个因素交叉分组的，为两向分组资料。例如选 用几种灌水量和几种施肥量，研究其对作物生长和产量的影响， 其每一观察值都是某一灌水量和某一施肥量的组合同时作用的 结果，故属两向分组资料。两向分组又叫交叉分组。按完全随 机设计的两因素试验数据，都是两向分组资料；其方差分析按 各组有无重复观察值分为两种不同分析方法。 （一）组合内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析 [例5] 用生长素处理豌豆试验，试验结果如下表：
44
SST 192 232 .....2. 22 C 22
SSt
762
922
722 4
962
C 104
第一节 方差分析
SS e SS T SS t 222 118
S2 T
222 15
14 .80
一S 、t 2 攻1034关目34标.67 （试验误差加药剂效应）
S2 e
118 12
9 .83
具自由度v1=3，v2=12。试测验药剂间变异是否 大于药剂内变异？
第一节 方差分析
显著水平取a=0.05，F0.05=3.49。 测验计算：
F 3 .6 4 3 .5 73 9 .83
此F> F0.05 ，即药剂间变异大于药剂内变异， 不同药剂对水稻苗高是具有不同效应的。
第一节 方差分析
(四)多重比较
3.22 4.33 0.335 0.450
6 3.28 4.39 0.341 0.457
第一节 方差分析
表 9 6种施氮法植株含氮量的差异显性
施氮法 平均数
5
14.48
2
13.76
6
13.64
3
13.12
1
12.52
4
10.66
差异显著性
0.05
0.01
a
A
b
B
b
B
c
C
d
D
e
E
第一节 方差分析
二、两向分组资料的方差分析
组别 1 2 ….. i
…… k
X11 X21
Xi1
Xk1
X12 X22
Xi2
Xk2
……
…
…
X1j X2j
Xij
Xkj
一…、… 攻关目… 标 …
X1n X2n
Xin
Xkn
总和 T1 T2
Ti
Tk
平均 X1 X2
Xi
Xk
均方
T=∑Xij=∑ X
第一节 方差分析
在表1中，总变异是nk个观察值的变异，故其自由
总和T。 375 382 377 375 T=1509
平均
xi
60.8 65.8 61.3 63.8 63.3 62.5
第一节 方差分析
（一）自由度和平方和的分解
C 1509 2 94878 .38 64
SST 60 2 65 2 ...... 65 2 C 114 .62
SS A
第一节 方差分析
(三)各处理平均数的比较
在此用新复极差测验(LSR),算得
SE 0.05420.1041 5
表8 新复极差测验的LSR值
p
2
3
4
5
SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01
2.92 3.96 0.304 0.412
3.07 4.14 0.319 0.431
3.15 4.24 0.328 0.441