如何进行多项式除以多项式的运算
初中数学初一数学上册《多项式除以多项式长除法》教案、教学设计
二Байду номын сангаас学情分析
初一年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的算术运算和简单的代数知识。在此基础上，他们对多项式的概念和运算已有初步的了解。然而，长除法作为一项新的运算技能，对学生而言具有一定的挑战性。他们对长除法的运算步骤和规则可能还不够熟悉，需要通过本章节的学习来逐步掌握。
4.通过课堂小结和课后作业，巩固学生对长除法的掌握，提高他们的运算技巧和自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和积极性，使他们认识到数学在日常生活和未来发展中的重要性。
2.培养学生面对数学问题时的耐心和细心，使他们养成良好的学习习惯和克服困难的勇气。
3.引导学生在合作学习中尊重他人，善于倾听和表达，培养他们的人际交往能力和团队精神。
6.教学反思：
a.在教学过程中，教师要关注学生的反馈，及时调整教学策略，以提高教学效果。
b.教师应注重自身教育教学水平的提升，不断学习新的教育教学理念和方法，为学生的成长和发展提供更好的指导。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：以一个生动的实际情境作为导入，如“小明的妈妈在超市购物，使用多项式表示购物金额，并运用长除法计算找零”。通过这个情境，引导学生思考如何运用已学的数学知识解决实际问题，为新课的学习做好铺垫。
3.小组代表分享：各小组选派代表分享讨论成果，其他小组成员补充，共同探讨长除法的运算技巧。
4.教师点评：针对学生的讨论，给予积极的评价和指导，纠正他们的错误观念，强化正确的方法。
（四）课堂练习
1.设计练习题：针对本节课所学内容，设计难易程度不同的练习题，让学生独立完成。
多项式÷多项式例题
多项式÷多项式例题多项式是高中数学中一个非常重要的概念，它是由一系列的单项式组成的代数式。
在学习多项式的过程中，我们需要掌握多项式的基本运算，其中包括多项式的加减乘除。
本文将重点讲解多项式的除法运算，通过例题的方式来帮助读者更好地掌握多项式除法的方法和技巧。
一、多项式除法的定义多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式的运算。
多项式除法的结果是一个商式和一个余式，其中商式是被除式和除式的商，余式是被除式除以除式所得到的余数。
在多项式除法中，被除式和除式通常都是多项式，我们需要用到长除法的方法来进行计算。
二、多项式除法的步骤多项式除法的步骤主要有以下几个：1. 将被除式和除式按照相同的次数排列，从高次到低次。
2. 将除式的首项系数提取出来，作为商式的首项系数。
3. 将被除式的首项与除式的首项相乘，然后将乘积除以除式的首项系数，得到商式的次项系数。
4. 将商式的次项与除式相乘，并将乘积减去被除式的前两项，得到一个新的多项式。
5. 将新的多项式作为被除式，重复上述步骤，直到无法再进行除法为止。
6. 最后所得到的商式即为多项式除法的商，余数即为最后一次除法所得到的余数。
三、多项式除法的例题下面我们通过几个例题来演示多项式除法的计算过程：例1：将多项式f(x)=x+2x-5x-6除以多项式g(x)=x-2。
解：按照上述步骤进行计算，我们可以得到以下结果：因此，多项式f(x)÷g(x)=x+4x+3，余数为0。
例2：将多项式f(x)=3x-5x+2x+7x-1除以多项式g(x)=x+2x-1。
解：按照上述步骤进行计算，我们可以得到以下结果：因此，多项式f(x)÷g(x)=3x-x+3，余数为10x-2。
例3：将多项式f(x)=x-2x-3x+4x+5x-6除以多项式g(x)=x-2x+x+1。
解：按照上述步骤进行计算，我们可以得到以下结果：因此，多项式f(x)÷g(x)=x-4x+7，余数为-3x+6x-13。
多项式运算掌握多项式的加减乘除运算
多项式运算掌握多项式的加减乘除运算多项式运算：掌握多项式的加减乘除运算在代数学中，多项式是由一系列称为“项”的代数式构成的。
每个项由一个系数与一个或多个变量的乘积组成。
多项式运算是代数学中非常重要的一部分，通过加减乘除等运算，可以对多项式进行各种计算和化简。
在本文中，我将为您介绍多项式的加减乘除运算，帮助您全面掌握这一重要概念。
一、多项式的加法运算多项式的加法运算是将两个或多个具有相同变量幂次的项相加得到一个新的多项式。
在进行多项式的加法运算时，需要按照变量的幂次进行合并，相同幂次的项进行系数相加。
例如，给定两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 2x^2 + 4x + 3将两个多项式相加，得到：P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) + (2x^2 + 4x + 3)= 3x^2 + 2x^2 + 2x + 4x + 1 + 3= 5x^2 + 6x + 4通过以上例子，我们可以看出，多项式的加法运算就是将相同幂次的项合并，并将其系数相加得到新的多项式。
二、多项式的减法运算多项式的减法运算是将两个多项式相减得到一个新的多项式。
减法运算可以看作加法运算的逆运算，只需将第二个多项式的所有项的系数取相反数，再进行加法运算即可。
例如，给定两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 2x^2 + 4x + 3将第一个多项式减去第二个多项式，得到：P(x) - Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) - (2x^2 + 4x + 3)= 3x^2 - 2x^2 + 2x - 4x + 1 - 3= x^2 - 2x - 2通过以上例子，我们可以看出，多项式的减法运算可以转化为加法运算，并将第二个多项式的所有项的系数取相反数。
三、多项式的乘法运算多项式的乘法运算是将两个多项式相乘得到一个新的多项式。
在进行多项式的乘法运算时，需要对每一项进行相乘，并将相同幂次的项合并。
多项式的加减乘除运算
多项式的加减乘除运算多项式是数学中常见的代数表达式形式，由多个项组成。
每个项由系数和指数两部分组成，例如3x^2和5y表示两个多项式的项。
多项式的加减乘除运算是数学中重要的概念，本文将详细介绍多项式的加减乘除运算规则及相应的例子。
一、多项式的加法运算多项式的加法运算是将两个多项式按照相同指数的项进行合并。
在进行加法运算时，只需将对应指数的项的系数相加即可，而不同指数的项则需要保留原样。
例如，考虑以下两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 5Q(x) = 4x^2 - x + 3将两个多项式进行加法运算时，我们将对应指数的项的系数相加，不同指数的项保留原样。
按照这个规则，我们可以将上述两个多项式相加得到：P(x) + Q(x) = (3x^2 + 4x^2) + (2x - x) + (5 + 3)= 7x^2 + x + 8因此，P(x) + Q(x) = 7x^2 + x + 8。
二、多项式的减法运算多项式的减法运算是将两个多项式按照相同指数的项进行合并，并将减数的项的系数取负。
也就是说，我们将第二个多项式的各项的系数取相反数，然后按照相同指数的项进行合并。
考虑以下两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 5Q(x) = 4x^2 - x + 3我们将P(x) - Q(x)展开运算：P(x) - Q(x) = (3x^2 - 4x^2) + (2x + x) + (5 - 3)= -x^2 + 3x + 2所以, P(x) - Q(x) = -x^2 + 3x + 2。
三、多项式的乘法运算多项式的乘法运算是将两个多项式的各项进行配对相乘，并将同指数的各项相加。
例如，考虑以下两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 5Q(x) = 4x - 1我们将P(x) * Q(x)展开运算：P(x) * Q(x) = (3x^2 * 4x) + (3x^2 * -1) + (2x * 4x) + (2x * -1) + (5 * 4x) + (5 * -1)= 12x^3 - 3x^2 + 8x^2 - 2x + 20x - 5= 12x^3 + 5x^2 + 18x - 5所以，P(x) * Q(x) = 12x^3 + 5x^2 + 18x - 5。
七年级数学下册《多项式除以多项式长除法》教案、教学设计
在教学结束后，设计一些拓展延伸题，让学生在课后进行思考。这些题目可以涉及长除法在实际问题中的应用，也可以是长除法运算规律的总结。旨在提高学生的数学素养，培养学生的创新意识。
6.设想六：课后反思，不断提高
鼓励学生在课后进行反思，总结自己在长除法学习中的优点和不足。同时，教师也要对自己的教学进行反思，不断调整教学方法，提高教学质量。
3.设想三：合作交流，共同进步
将学生分成小组，进行合作学习。在小组内，学生相互讨论、交流，共同解决问题。教师巡回指导，及时解答学生的疑问，促进学生之间的优势互补，提高学习效率。
4.设想四：注重过程，关注评价
在教学过程中，关注学生的参与程度、合作交流能力和解决问题的能力。通过课堂提问、课后作业、小组讨论等多种形式，全面评价学生的学习效果。
4.练习结束后，教师挑选部分学生的作业进行展示和讲评，分析解题过程中的优点和不足。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结长除法的运算步骤和关键技巧。
2.学生分享学习心得，交流在解题过程中遇到的困难和解决方法。
3.教师对本节课的教学进行总结，强调长除法在实际问题中的应用，以及与其他数学知识的联系。
七年级数学下册《多项式除以多项式长除法》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解多项式除以多项式的定义，理解其与整数的除法之间的联系与区别。
2.学会使用长除法进行多项式除以多项式的计算，掌握商的确定、余数的求解等关键步骤。
能够运用长除法解决实际问题，提高数学运算能力。
4.掌握在多项式除以多项式过程中，如何进行因式分解、合并同类项等基本操作。
2.作业完成后，认真检查，确保无误。
多项式的除法
多项式的除法多项式的除法是数学中一个重要的概念，用于求解多项式的商和余数。
在本文中，我们将介绍多项式的除法的概念和相关的计算方法。
一、多项式的定义与表示多项式是由系数和幂次构成的代数表达式。
一般形式为：P(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₙ₋₁x + aₙ其中，P(x)为多项式，a₀, a₁, ..., aₙ为系数，x为自变量，n为幂次。
多项式可以用系数和幂次的形式表示，也可以用展开的形式表示，如：P(x) = 3x³ + 2x² - 5x + 1二、多项式的除法定义多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，求解商和余数的过程。
具体而言，对于两个多项式P(x)和Q(x)，其中Q(x)≠0，存在唯一的多项式R(x)和S(x)，使得：P(x) = Q(x) * R(x) + S(x)其中，R(x)为商多项式，S(x)为余数多项式。
三、多项式的除法计算方法计算多项式的除法通常使用长除法的方法进行。
首先，将被除式的最高次方与除数的最高次方进行比较，确定商的最高次方。
然后，用被除式的最高次方的项除以除数的最高次方的项，得到商的最高次方的项。
将商的最高次方的项与除数相乘，得到一个新的多项式。
将这个新的多项式与被除式相减，得到一个新的被除式。
重复以上步骤，直到新的被除式的次数小于或等于除数的次数。
最终得到的商和余数即为所求的结果。
例如，求解多项式P(x) = 2x³ - 5x² - 3x + 1 除以Q(x) = x - 2的商和余数。
首先，比较被除式和除数的次数，确定商的次数为3次，即P(x)的最高次方为3，Q(x)的最高次方为1。
然后，将2x³除以x，得到2x²。
将2x²与Q(x)相乘，得到2x³ - 4x²。
将P(x)和2x³ - 4x²相减，得到-P(x) = -x² - 3x + 1。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x ．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x 除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x ()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ． 即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．。
多项式除以多项式的计算题
多项式除以多项式的计算题
问题描述
请计算以下多项式的商和余式：
被除多项式: 3x^3 + 5x^2 - 7x + 9
除数多项式: x^2 - 2x + 3
解答
我们可以使用多项式长除法来计算。
首先将被除多项式和除数多项式按照次数降序排列：
被除多项式: 3x^3 + 5x^2 - 7x + 9
除数多项式: x^2 - 2x + 3
然后按照以下步骤来进行计算：
1.将被除多项式的最高次项与除数多项式的最高次项相除，得到商的最高次
项。
2.将得到的商的最高次项与除数多项式相乘，得到一个新的多项式。
3.将被除多项式减去新的多项式，得到一个新的多项式。
4.重复上述步骤，直到新的多项式的次数小于除数多项式的次数。
最终，商为：3x + 11，余式为：58x - 180。
因此，被除多项式除以除数多项式的计算结果为：3x + 11，余式为：58x - 180。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式的运算是一种基本的数学运算，其步骤与一般的除法类似，只不过这里的除数和被除数都是多项式。
具体步骤如下：首先，我们需要理解多项式。
多项式是包含多个项的数学表达式，每个项都由一个系数和一个变量的幂组成。
例如， 3x2+2x−5 是一个多项式，其中 3x2、2x 和−5 是它的项。
在多项式除以多项式的运算中，我们首先要确定一个除数多项式和一个被除数多项式。
例如，我们选择 3x2+2x−5 作为被除数，选择 x2−3x+2 作为除数。
接下来，进行以下步骤：1.确定可以相除的项：只有当被除数的每一项都能被除数的每一项整除时，才能进行多项式除以多项式的运算。
在这个例子中，被除数的每一项都能被除数的每一项整除。
2.计算商的系数：这是被除数每一项与除数每一相应项的系数相除的结果。
例如，(3x2)÷(x2)=3，因为 3 是 3x2 的系数， x2 是 x2 的系数。
类似地，(2x)÷(x)=2 和(5)÷(1)=5。
将这些结果相加，得到 3+2+5=10，因此，商是 10。
3.计算余数：将商乘以除数，得到结果后减去被除数，得到余数。
在这个例子中，余数是 (10(x2−3x+2))−(3x2+2x−5)=4x−13。
最后，商和余数共同构成了多项式除以多项式的结果。
在这个例子中，结果是10+(4x−13)=4x−3。
需要注意的是，多项式除以多项式的运算和普通除法有一个主要区别：在多项式除法中，余数可以是任何形式的多项式，而不一定是常数。
而在普通的除法中，余数一般是常数。
另外，要注意在进行多项式除以多项式的运算时，我们要把每一个步骤都看作一个整体，然后对它们进行整理和简化。
在上述例子中，步骤是先计算商的系数，再计算余数，最后得到结果。
这些步骤并不是独立的，而是相互关联的。
在进行每一步时，我们都要考虑到下一步的需要和上一步的结果。
例如，在计算商的系数时，我们不仅要得到正确的结果，还要考虑到这个结果会对余数的计算产生影响。
多项式长除法因式分解
多项式长除法因式分解
多项式长除法和因式分解是代数学中常用的两种方法，常用于简化和分解多项式表达式。
1. 多项式长除法：
多项式长除法用于将一个多项式除以另一个一次或多次的多项式。
步骤如下：
确保被除式和除数按照幂次降序排列。
将被除式的最高次项与除数的最高次项进行除法运算，得到商。
将得到的商乘以除数，然后减去这个乘积，得到一个新的多项式。
重复上述步骤，直到无法再继续除尽为止。
2. 因式分解：
因式分解是将一个多项式表达式写成若干个乘积的形式，这些乘积通常是一次或者二次多项式。
基本方法包括：
公因式提取：将多项式中的公因式提取出来。
分组法：将多项式中的项进行分组，然后对每组进行公因式提取或者其他因式分解方法。
特殊因式公式：二次三项式的因式分解公式(a2 - b2 = (a+b)(a-b))。
这些方法在代数学中被广泛应用，可用于简化和解决各种代数表达式的问题。
核心素养下的深度学习教学——“多项式除以多项式(长除法)”拓展课教学实录
２０２３年５月下半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀核心素养下的深度学习教学多项式除以多项式(长除法) 拓展课教学实录◉上海市西外外国语学校初中部㊀陈㊀玲㊀㊀摘要:多项式除以多项式(长除法)是教材安排在 整式 的运算以及因式分解后面的拓展内容．较为复杂的多项式用长除法可以轻松分解因式,同时与高年级学习解高次方程㊁余数定理等有十分紧密的联系,其原理可以类比小学竖式除法,易懂易操作．利用类比的方法进行长除法教学,可以使学生对 数 到 式 的认知更全面,能较好地培养抽象能力和推理能力,也体现了深度学习和大单元教学思想．关键词:长除法;因式分解;高次方程;余数定理１教学目标及重难点本节课的教学目标:(１)理解并掌握长除法的操作步骤与过程,能用长除法因式分解及解高次方程．(２)经历从数的除法类比到多项式除法的过程,初步认识类比在数学中的作用．(３)感悟类比是认识新事物的主要方法,能将类比的方法延伸到日常生活与学习中．教学重点:长除法的操作步骤与过程(具体计算过程仍然是单项式除以单项式㊁单项式乘多项式㊁整式的减法等)．类比小学竖式除法,体会长除法的思想．教学难点:在确定除式时要从常数项的因数开始考虑并试商．２教学实录２．１小组游戏,引入课题小组游戏:教师事先做好四套七巧板,如图１,七巧板的边缘上均有问题或者答案,任意打乱后分给学生,学生需将对应问题和答案进行边与边的拼接,最后组合成图,用时最短的小组获胜．图１㊀㊀㊀图２学生最后的成品之一如图２所示．所选的题为 整式 内容要求的基本题:(１)因式分解:x２－１０x y＋２５y２－３x＋１５y．答案为(x－５y－３) (x－５y)．(２)计算:(２４x４y２＋１２x３y３－１８x２y４)ː６x２y２．答案为４x２＋２x y－３y２．(３)因式分解:x２－２x－４y２－４y．答案为(x＋２y)(x－２y－２)．(４)因式分解:x２＋６x y－１６y２．答案为(x－２y) (x＋８y)．(５)计算:２a b(３a２b－２a b２)．答案为６a３b２－４a２b３．(６)计算:(２x)５ː(８x３)．答案为４x２．(７)计算:(３x２－２x＋１)－(－x２＋x－３)．答案为４x２－３x＋４．设计意图:暖场,缓解学生的紧张感,同时复习所学内容．有小组完成得特别快．师:你们小组是怎么做到如此快就拼好了,是计算出来的吗?生１:我们没有计算,靠观察,可以通过项数㊁常数项以及与因式分解结果形式的不同比对．比如,最后一题的中两个多项式的常数分别是１与－３,求两个多项式的差,结果是４,我们就找结果中常数项为４的式子;题干中是关于a,b的式子,就找含a,b的式子;再比如多项式除以单项式的这道题,我们看到多项式是三项并且都含有y,那么就找结果是三项也含有y的式子．师:以上问题都涉及哪些知识点?生２:有多项式的加减法㊁乘法,因式分解,单项式除以单项式,多项式除以单项式．师:请问上述运算是不是还少一种?生３:没有多项式除以多项式!师:好!那我们今天就学习多项式除以多项式．２．２重温小学竖式除法,类比多项式除法先引导学生运用竖式除法写出 ５５０８ː１７ 的算３４Copyright©博看网. All Rights Reserved.教学导航２０２３年５月下半月㊀㊀㊀式,如图３．图３待所有学生计算完成后,教师再提出问题:为什么要首先上 ３ ?竖式第四行的第一个数字 ４ 怎么得来余数０说明了什么?生４:３乘１７等于５１;５５减去５１等于４;余数０说明了是整除．师:这样的除法是否能应用于多项式的除法呢?例１㊀计算:(x ３－５x ２＋８x －４)ː(x －２)．例１的求解分三步,如图４所示．(x ３－５x ２＋８x －４)ː(x －２)＝x ２－３x ＋２图４设计意图:模仿竖式进行计算．在每一步过程中体会上 商 ,每一步作差时体会同类项的加减,在书写上注意列队整齐且每一列的次数相同．这样由 数 到 式 的过渡,被除数可称为被除式,除数称为除式,商称为商式,余数称为余式．小试牛刀１．０计算:(x ３－８x ２＋５x ＋１４)ː(x ＋１)．学生练习,同时邀请一名学生上台演算．教师在下面查看每一位学生的演算过程．学生出现作差问题,例如上一行是－８x ２下一行是x ２,应该是－８x ２－x ２＝－９x ２,部分学生结果是－７x ２．这种错误的主要原因是作差不够熟练,我们可以在每一步乘积的结果前面加竖线和一个减号,作为提醒．师:如果现在要求将x ３－８x ２＋５x ＋１４因式分解怎么办设计意图:引导学生将所学知识用于因式分解,培养学生逻辑思维能力．生５:根据 被除数＝除数ˑ商 就可以将其写成因式分解的形式!原式＝(x ＋１)(x ２－９x ＋１４),还能继续分解,原式＝(x ＋１)(x －７)(x －２)．师:非常棒!原来长除法还能进一步帮助我们分解因式．例２㊀求(５x ４＋３x ３＋２x －４)ː(x ２＋１)的商式和余式．设计意图:利用例２这种缺项的多项式除法,让学生明白 缺项补齐 降幂排列 的重要性,排列整齐后非常便于作差,类似于小学各数位的数量级,不能错乱．另外,这道题有余式,能让学生体会不是所有的多项式都能被整除,以及什么情况(当余式的次数低于除数的次数时)下,运算终止．小试牛刀２．０用长除法计算:(x ３－８)ː(x －２)．学生练习时,同时邀请一名学生上台演算,教师在下面查看每一位学生的演算过程．个别学生知道了要补齐缺项,却没有按照降幂排列．正常应该写成x ３＋０x ２＋０x －８,有学生写成x ３－８＋０x ２＋０x ,其中一位竟然能写正确,他在上商x ２与除式x －２相乘时,自己对整齐了位置,如x ３－０－２x ２,但是这样会增加计算的难度．自我反思:对于上述问题,如果能让学生先试错,然后由学生自己讨论总结步骤会更佳．教师先给了步骤,学生仍然会出错．例３㊀各显神通,请用不同方法因式分解:x ３＋６x ２＋１１x ＋６．方法一:裂项分组分解;方法二:长除法．设计意图:裂项分解对拆分数字有一定要求,因此学生一直很难掌握．希望学生通过例３能多尝试不同拆分方式,以提高自身对数字的敏感度．如果多数学生都掌握了这类题型,长除法就是非常友好的．本题的难点在于没有给出除式,所以有 试商 的过程,好在目前这个阶段用x －１,x ＋１等大多都能整除．这也是因式定理的初步运用,旨在让学生知道怎么用并感受因式定理的神奇．下面展示学生的几种解法．生６:分裂成x ３＋６x ２＋５x ＋６x ＋６,前三项用十字相乘法,进而找公因式．原式＝x ３＋６x ２＋５x ＋６x ＋６＝x (x ２＋６x ＋５)＋６(x ＋１)＝x (x ＋１)(x ＋５)＋６(x ＋１)＝(x ＋１)[x (x ＋５)＋６]＝(x ＋１)(x ２＋５x ＋６)＝(x ＋１)(x ＋２)(x ＋３)．生７:分裂成x ３＋x ２＋５x ２＋１１x ＋６,后三项用十字相乘法,进而找公因式．方法与同学４类似．４４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年５月下半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀图５生８:如图５,用长除法,除以x ＋１,整除．再把商进行分解．教师肯定了３位学生的做法,鼓励大家一题多解．同时,重点强调并再次总结长除法的便捷,以及如何寻找可能整除的除式．小试牛刀３．０解方程:(１)x ２－３x ＋２＝０;(２)x ３＋４x ２＋x －６＝０．设计意图:前面已经讲到长除法可以用来因式分解,该第(１)小题是一目了然的十字相乘法的运用,利用这个简单的题感悟解方程的一种思路降次!通过因式分解实现降次!师:虽然我们还没有学过解一元二次方程,但是大家通过因式分解轻松解出了二次方程．那么如果是三次方程呢,是否也能通过因式分解求出根呢?请同学们尝试解答第(２)小题．生９:想到构造完全平方式,先裂项分解将方程化为x ３＋４x ２＋４x －３x －６＝０,找出公因式x ＋２．最终得出(x －１)(x ＋２)(x ＋３)＝０,求出三个根．图６生１０:将方程左边多项式除以x －１,能被整除,如图６．长除法用起来十分顺利,而且商仍可再分解．最终由(x －１)(x ＋２)(x ＋３)＝０,解得x １＝１,x ２＝－２,x ３＝－３．师:以上两位同学的思路和方法都值得大家学习,希望大家都可以找到自己擅长的方法．生１１:长除法更容易想到,容易掌控．师:恭喜大家掌握了解高次方程的思想(降次)以及方法(通过长除法因式分解)!２．３课后练习以下两题建议用两种方法求解:(１)因式分解:x ３－３x ２－１３x ＋１５．(２)在有理数范围内是否存在m 和n ,使x ３＋m x ２＋n x ＋３３可以被x ２＋１０x ＋１１整除若存在,求出m 和n 的值;若不存在,请说明理由．设计意图:两种方法并行,第(２)小题不仅可以用长除法,还可以想到 ３３ 的因数,题中已经有了１１,那另一个一定是３,同时体会到降幂的逻辑顺序．后期可以介绍待定系数法．２．４课堂小结本节课通过类比小学竖式除法,引出多项式除以多项式,感受降幂排列及缺项时的添补,在运算过程中,作差时一定要看清楚各项的系数．运用长除法得到的商式和余式,将 数 提到 式 的高度．通过长除法,解决较为复杂的因式分解问题,让学生获得新的解题方法,并体会长除法思想,初步感受因式定理．３教后感多项式除以多项式 是七年级上册第九章 整式 的拓展内容． 整式 要求学生掌握整式的加减㊁整式的乘法㊁因式分解㊁单项式除以单项式㊁多项式除以单项式,唯独多项式除以多项式出现在拓展部分．笔者以为如果学生能掌握长除法,对其处理较难的因式分解问题有一定帮助,同时也能为学生后期学习解高次方程㊁高次不等式㊁求分式函数的值域等高中知识打下扎实基础．长除法的思想源于小学竖式除法,学生容易模仿,能在模仿类比的过程中体会 数 到 式 的迁移．基于这些想法,笔者于２０２２年１１月２９日开设了一节多项式除以多项式(长除法) 的公开课．在授课过程中,根据学生的知识㊁能力水平,在类比时引入长除法,同时不舍弃裂项分解,突出重点,逐步迁移到高次方程,取得了较好的教学效果,指向深度学习,为学生日后学习余数定理埋下种子．从这个意义上讲,本课是在核心素养意义下的深度学习．在教学过程中,七巧板游戏环节设计成以往知识的复习,在暖场的同时引出本节课内容,激发学生学习新知的兴趣．由于担心时间紧,没有投屏．如果投屏,能让完成最快的小组成员分享其 锦囊妙计 (思考过程),效果会更好．遗憾的是,少了学生试错㊁讨论㊁总结的过程．在例２及小试牛刀２．０的环节可以放手让学生试错讨论总结,缺项时的计算步骤应该由学生先做,然后关注他们出现了什么困难,组织学生讨论,相互帮助,最后总结出缺项式的步骤．本节课中小组的功能没有调动起来．长除法是高中㊁大学的余数定理教学中的一个环节,该过程的讲解应该再耐心一点,可以通过二次方程的根来阐述该定理,让学生感受其真实性,再通过类比延伸到三次方程,达到这节课的完美闭环．由于在长除法的运用过程中,大量除法㊁乘法㊁减法的运算揉在一起,学生稍不注意就出错,因此在平时的训练中应加强综合运算,提高学生的运算能力和推理能力．Z５４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
多项式的除法和余式定理
多项式的除法和余式定理多项式的除法是数学中常见的运算之一，它可以用于求解多项式的商和余数。
除法运算在代数学、数值计算和离散数学等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍多项式的除法运算规则和余式定理，并通过具体例子进行说明。
1. 多项式的除法运算规则对于两个多项式f(x)和g(x)来说，其中f(x)是被除式，g(x)是除式，假设g(x)≠0。
多项式的除法运算遵循以下规则：（1）将被除式和除式按照降幂排列。
（2）将两个多项式的首项对齐。
（3）用除式的首项除以被除式的首项，将得到的商作为商项。
（4）将商项乘以除式，得到中间结果。
（5）将中间结果和被除式相减，得到新的被除式。
（6）将上述过程重复，直到被除式的次数低于除式或者为零时为止。
下面通过一个具体的例子来说明多项式的除法运算规则。
例子：求解多项式f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 除以 g(x) = x - 2。
首先按照降幂排列，将f(x)和g(x)写成:f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4g(x) = x - 2将f(x)和g(x)的首项对齐，得到:x^2--------------x - 2 | x^3 - 2x^2 + 3x - 4用除式的首项 x 除以被除式的首项 x^3，得到商项为 x^2。
将商项乘以除式 x - 2，得到中间结果为 x^3 - 2x^2。
将中间结果和被除式相减，得到新的被除式为 5x^2 + 3x - 4。
重复上述过程，继续求解新的被除式和除式的商项。
x--------------x - 2 | x^2 + 5x + 3用除式的首项 x 除以被除式的首项 x^2，得到商项为 x。
将商项乘以除式 x - 2，得到中间结果为 x^2 - 2x。
将中间结果和被除式相减，得到新的被除式为 7x + 3。
继续重复上述过程，求解新的被除式和除式的商项。
7--------------x - 2 | 7x + 3用除式的首项 x 除以被除式的首项 7x，得到商项为 7。
数学公式知识：多项式的加减乘除及其因式分解
数学公式知识：多項式的加减乘除及其因式分解多项式是数学上重要的一类函数形式，由多项式的系数和次数组成。
其中，系数可以是实数、复数或其他某些域中的元素，而次数通常是自然数。
在代数学中，多项式的加减乘除以及因式分解都是非常重要的知识点。
一、多项式的加减多项式的加减是指将两个或多个多项式相加或相减的过程。
同样次数的项可以直接相加和相减，而不同次数的项需要进行配对后再进行运算。
例如，将多项式f(x) = 3x^2 + 5x + 2和g(x) = 2x^2 +3x +1相加，则有：f(x) + g(x) = (3x^2 + 5x + 2) + (2x^2 + 3x + 1)= 5x^2 + 8x + 3将这两个多项式相加后，得到的结果多项式的最高次数为2，其系数为5。
因此，图中的结果多项式可以简化为5x^2 + 8x + 3。
同样的，两个多项式进行减法的步骤也类似，例如，将多项式f(x) = 4x^3 + 2x^2 + 3x - 1和g(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 2相减，则有：f(x) - g(x) = (4x^3 + 2x^2 + 3x - 1) - (2x^3 - x^2 - 4x + 2)= 2x^3 + 3x^2 + 7x - 3通过以上的计算表明，多项式的加减法不难掌握，只需要注意相同次数项的加减运算与不同次数的项配对就可以。
二、多项式的乘法多项式的乘法是指将两个或多个多项式进行相乘的运算。
怎么相乘？这里我给出一个例子：将多项式f(x) = 3x^2 + 2x + 1和g(x) = x + 2相乘，则有：f(x) × g(x) = （3x^2 + 2x + 1)×(x + 2)= 3x^3 + 8x^2 + 7x + 2通过以上计算表明，多项式的乘法是将两个多项式的单项式逐一进行相乘，并将值相加得到的新多项式。
在这个过程中，需要注意每一个项中的系数和指数和进行相乘。
多项式除以多项式的计算方法
多项式除以多项式的计算方法
1. 嘿，多项式除以多项式，其实就像分苹果一样简单啦！比如说，
(x²+3x+2)÷(x+1)，把“苹果”(x²+3x+2)按照(x+1)这个方式去分呀。
2. 哇哦，你看，在多项式除以多项式中，我们要找到合适的方法，就像给汽车找对钥匙一样关键呢！像(2x²+5x-3)÷(x+3)，咱得一步步来呀。
3. 嘿呀，多项式除以多项式可有趣啦！就好像拼图，要把合适的部分拼到一起，比如(3x²+4x+1)÷(x+2)，得细心地拼哦。
4. 哎呀，你想想，多项式除以多项式其实没那么难呀，这就好比走路一样自然，像(x³-2x-3)÷(x-3)，一步步稳稳地走。
5. 哇，这多项式除以多项式呀，其实就像搭积木一样，要一层一层稳稳地搭，就说(4x³+6x²-2x)÷(2x+1)吧。
6. 嘿，搞懂多项式除以多项式，就像是开锁一样，找到对的方法就开啦！像(5x³-7x²+2x-1)÷(x-1)呢。
7. 哇塞，多项式除以多项式，可真是个有意思的事儿呀，好比玩游戏要闯关，比如(6x⁴-3x³+x²-2x+1)÷(2x-1)。
8. 嘿，多项式除以多项式不难吧？真的就和做一道道有趣的数学题一样呀！就像(3x³-2x²+x)÷(x-1)。
我的观点结论：多项式除以多项式，只要掌握方法，多练习，一点都不可怕，还很有趣呢！。
多项式的基本运算规则是什么
多项式的基本运算规则是什么多项式的基本运算规则有加法、减法、乘法和除法。
下面将分别介绍这些基本运算规则。
一、多项式的加法运算规则：两个多项式相加时，需要将同类项的系数相加，并保持各项的次数不变。
例如：多项式A(x) = 3x^3 + 4x^2 - 2x + 5 和多项式B(x) = 2x^3 +x^2 + 3x + 1 相加的结果为C(x) = 5x^3 + 5x^2 + x + 6。
二、多项式的减法运算规则：两个多项式相减时，需要将被减多项式的各项的系数对应相减，并保持各项的次数不变。
例如：多项式D(x) = 7x^3 + 2x^2 + 5x + 3 和多项式E(x) = 4x^3 -x^2 + 2x - 1 相减的结果为F(x) = 3x^3 + 3x^2 + 3x + 4。
三、多项式的乘法运算规则：两个多项式相乘时，需要将每一项的系数相乘，并将次数相加。
例如：多项式G(x) = (2x^2 + 3x - 4) 和多项式H(x) = (x^3 + 2x + 1)相乘的结果为I(x) = 2x^5 + 4x^3 + 2x^2 + 3x^4 + 6x^2 + 3x - 4x^3 -8x - 4。
四、多项式的除法运算规则：多项式的除法可以使用长除法进行计算。
首先找到被除式的最高次项与除式的最高次项相除的商，然后将商乘以除式，并与被除式相减，得到一个新的多项式。
然后再将新的多项式与除式的最高次项相除，如此进行下去，直到无法再继续进行除法运算为止。
例如：多项式J(x) = 3x^3 + 2x^2 - x + 1 除以多项式K(x) = x^2 + 2x+ 1 的长除法运算结果为商多项式L(x) = 3x - 4 和余数为多项式M(x) =-x + 5。
综上所述，多项式的基本运算规则包括加法、减法、乘法和除法。
通过正确应用这些运算规则，可以对多项式进行各种数学运算，实现多项式的化简、合并以及计算等操作。
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式的法则如下：
1.多项式除以多项式，先把被除式、除式都按某 一字母的降幂排列（被除式有缺项要留出空位 或加0）
2.用除式的第一项除被除式的第一项，得商式的 第一项
3.用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下 面（同类项对齐），从被除式减去这个积，得 第一余式
4.把所得余式当作新的被除式，再按上面的方法 继续演算直到余式为0或者余式的次数低于除式 的次数为止。
1.(2x3 9 x2 3x 5) ( x2 4 x 3) 2.(3x4 13x3 x) (x2 4x 3) 3.(2x5 10x 15 7 x3 6x4 ) (x2 4 3x) 4.( x4 3x3 2 x2 1) ( x2 1) 5.(8x4 6 x3 13x2 4) (2 x2 x 2) 6.(10 xy 2 7 x2 y 2 x3 10 y3 ) ( x 2 y)
练习
1.求x5y5除以xy的商 2.(34a2b2ab2)(ab)
例 4 . ( 2 x 4 3 x 3 1 0 x 2 1 3 x 2 7 ) ( x 2 2 x 3 )
注意：当余式不是零而次数低于除式的次数 时，除法演算就不能继续进行，这说明除式 不能整除被除式
被除式=除式×商式+余式
验算
例 1 ： (5x22x3 1 )(12x)
注意：被除式按x降幂排列时如有缺 项，要留出空位，也可以采用加零的 办法补足缺项
例 2 : ( a 4 4 0 b 4 5 a 3 b 2 2 a b 3 ) ( a 2 4 b 2 3 a b )
例 3 ： 2 x 2 4 x 4 除 2 x 4 5 x 3 x 2 2 的 商
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式
多项式除以多项式的运算法则
多项式除以多项式的运算法则多项式除以多项式的运算法则，听起来是不是有点儿复杂？别担心，今天咱们就来轻松聊聊这个话题。
想象一下，你在厨房里做饭，准备把不同的食材混合在一起，结果出来的菜就像一个多项式。
如果你把这些食材的数量和种类看作是多项式，那就可以理解为我们在做一个“多项式大杂烩”。
得先明白什么是多项式。
简单来说，多项式就是一些数字和字母的组合，比如 (2x^2 + 3x + 5)。
就像你在逛超市的时候，看到各种各样的食材，组合起来的方式多得很。
好啦，接下来就进入正题了，如何将一个多项式除以另一个多项式呢？这就像是在切蛋糕，想把大蛋糕分成若干小块。
先看看你要分的蛋糕有多大，得清楚它的“体积”。
就拿 (6x^3 + 11x^2 + 3) 这个多项式来说吧，先把它的头脑风暴进行到底。
想要除的多项式，比如说 (3x + 1)，得好好琢磨琢磨它的性质。
这里就有个技巧，先把较大的项进行“比大小”，这就像我们在选食材的时候，挑最显眼的那一个。
开始除的时候，先把头一个项“对比”一下。
比如说 (6x^3) 除以 (3x)，结果是 (2x^2)。
哇，别急，这就像是你找到了一块大蛋糕，觉得这块是最好的。
然后把这个结果乘以(3x + 1)，得到了 (6x^3 + 2x^2)。
记得哦，别把这些东西抹掉，还是得写在一边。
然后，把刚刚得到的结果从原来的多项式里减去，像是从蛋糕里切下一块，剩下的就是新鲜的部分。
此时就得再看看剩下的部分了。
就像是你在做拼图，慢慢地填补空缺。
剩下的(11x^2 2x^2 = 9x^2)，然后再降一个级别，继续进行除法。
咱们再把 (9x^2) 除以 (3x)，结果是 (3x)。
这一步也很关键，像是调整你的食谱，确保每样都有恰到好处的味道。
把这个 (3x) 再乘以 (3x + 1)，得到 (9x^2 + 3x)。
同样地，别忘了要减去哦，像是从盘子里把多余的食材挑出来。
继续这样下去，剩下的部分就越来越少，最后如果有常数项了，就像是最后一口美味的蛋糕。
多项式 长除法
多项式长除法多项式的长除法是高中数学中比较重要的一部分，也是学习多项式运算的基础之一。
多项式的长除法是指用一多项式去除另一多项式时得到商式和余式的过程。
下面我们来简单介绍一下多项式的长除法的步骤和方法。
多项式的长除法步骤：1.将被除式按照幂次从高到低排列，如果某一项系数缺失，要补0。
2.将除式按照幂次从高到低排列。
3.用被除式的第一项去除除式的第一项，得到商式的第一项。
即：用被除式的第一项除以除式的第一项，除数不为0，则此项为商式的第一项，否则商式第一项为0。
4.用商式的第一项乘以除式中的每一项，并从被除式的第二项开始分别减去结果。
得到的差即为余式。
5.把得出的商式和余式写在一起，如果余式的次数小于除式的次数，则已经得出了最终的答案，否则要将余式当作被除式，以此类推，直到余式的次数小于除式的次数。
多项式的长除法举例：例如，要计算多项式f(x)=x^3+2x^2-x-2 除以g(x)=x-1。
第一步，将被除式和除式按幂次从高到低排列：x^3 + 2x^2 - x -2÷ x -1第二步，用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商的第一项：(x^3 + 2x^2 - x - 2) ÷ (x - 1) = x^2第三步，用商的第一项乘以除式中的每一项，并从被除式的第二项开始分别减去结果，得到差即为余式：2x^2 2x+1-----------------x-1 | x^3 + 2x^2 - x - 2-x^3 + x^2----------x^2 - xx^2 - x--------第四步，把得出的商式和余式写在一起，得到答案：x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x^2 + x) (x - 1) + 0所以，多项式f(x)除以g(x)的商为x^2+x，余数为0。
总结：多项式的长除法是一种有效的计算多项式除法的方法。
熟练掌握多项式的长除法可以帮助我们更好地理解和运用多项式的相关知识，也是数学竞赛中必备的基础技能。
多项式的加减乘除运算
多项式的加减乘除运算在代数学中，多项式是由常数和变量通过加法、减法和乘法运算而得到的一种表达式。
多项式的加减乘除运算是基本的代数运算规则，本文将从加法、减法、乘法和除法四个方面来探讨多项式的运算方法。
一、多项式的加法运算多项式的加法运算是指将两个或多个多项式按照相同项的系数进行相加。
例如，给定两个多项式：P(x) = 2x^2 + 3x - 5 和 Q(x) = x^2 + 2x + 1，我们可以将它们相加得到：P(x) + Q(x) = (2x^2 + 3x - 5) + (x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 5x - 4。
二、多项式的减法运算多项式的减法运算是指将两个多项式相互抵消得到的结果。
与加法类似，减法运算也是将多项式按照相同项的系数进行运算。
例如，给定两个多项式：R(x) = 3x^2 + 2x + 1 和 S(x) = 2x^2 + x - 3，我们可以将它们相减得到：R(x) - S(x) = (3x^2 + 2x + 1) - (2x^2 + x - 3) = x^2 + x + 4。
三、多项式的乘法运算多项式的乘法运算是指将两个多项式按照相应项的系数和指数进行相乘，然后将所有结果相加。
例如，给定两个多项式：A(x) = 2x^2 + 3 和 B(x) = x + 1，我们可以将它们相乘得到：A(x) * B(x) = (2x^2 + 3) * (x + 1) = 2x^3 + 5x^2 + 3x + 3。
四、多项式的除法运算多项式的除法运算是指将一个多项式除以另一个多项式得到商和余数的过程。
例如，给定两个多项式：C(x) = 3x^2 + 2x + 1 和 D(x) = x + 1，我们可以将C(x)除以D(x)得到商和余数：C(x) ÷ D(x) = (3x^2 + 2x + 1) ÷ (x + 1) = 3x + 1，余数为0。
总结多项式的加减乘除运算是代数学中基本的运算方式，通过对多项式的各个项进行相应的运算，我们可以得到各种多项式表达式的结果。
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如何进行多项式除以多项式的运算
多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：
例1 计算)4()209(2+÷++x x x
规范解法
∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x
解法步骤说明：
（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．
（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．
（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．
（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．
（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．
（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．
（7）相减得差0，表示恰好能除尽．
（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x
例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．
规范解法
∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x
163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．
注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．
另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．
∴
)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x
163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．
8．什么是综合除法
由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．
如：计算)3()432(3-÷-+x x x ．
因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．
还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：
将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式
（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．
多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．
例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式． 规范解法
∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．
例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．
规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－
3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）
因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．
当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．．
例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数．
规范解法 把12+x 除以2，化为21
+x ，用综合除法．
但是，商式23
22+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．
∴ 商式43212+-=x x ，余数43
7-=．
为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下．
用723-+x x 除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为43
7-，即
∴ 43
7232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x
()43
74321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．
即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为4
37-．。