如何进行多项式除以多项式的运算

如何进行多项式除以多项式的运算

多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：

例1 计算)4()209(2+÷++x x x

规范解法

∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x

解法步骤说明：

（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．

（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．

（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．

（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．

（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．

（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．

（7）相减得差0，表示恰好能除尽．

（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x

例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．

规范解法

∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x

163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．

注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．

另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．

∴

)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x

163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．

8．什么是综合除法

由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．

如：计算)3()432(3-÷-+x x x ．

因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．

还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：

将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式

（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．

多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．

例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式． 规范解法

∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．

例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．

规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－

3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）

因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．

当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．．

例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数．

规范解法 把12+x 除以2，化为21

+x ，用综合除法．

但是，商式23

22+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．

∴ 商式43212+-=x x ，余数43

7-=．

为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下．

用723-+x x 除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为43

7-，即

∴ 43

7232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x

()43

74321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．

即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为4

37-．