组合数学 答案

离线考核

《组合数学》

满分100分

一、计算题（每小题10分，共60分。）

1、求()7

521...x x x +++的展开式中53

432

1x x x x 的系数? 展开后合并同类项，则一共有多少项？

在多项式()7

521...x x x +++的展开式中的项53

432

1x x x x 的系数是 1

,3,1,0,27

C =

!

1!3!1!0!2!

7=420.

因为在它的展开式中不同项（合并同类项后）的个数等于从5个不同元素中有重复地取出7个元素的方法

数，所以不同项的个数为7

571330C +-=。

2、求从1至1000的整数中能被14或21整除的整数的个数。

解：设所求为N ，令}1000,,2,1{ =S ，以A ，B 分别表示S 中能被14和能被21整除的整数所成之集，

则 95

234771 3141000211000141000 =-+=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+==B

A B A B A N 3、一次宴会，7位来宾寄存他们的帽子，在取回他们的帽子时，问有多少种可能使得： （1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子？ （5分） （2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子？（5分）

解：记7个来宾为1A ，2A ，…，7A ，则7个来宾取帽子的方法可看成是由1A ，2A ，…，7A 作成的全排列：如果i A （1≤i ≤7）拿了j A 的帽子，则把i A 排在第j 位，于是

（1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于7元重排数7D ，即等于1854。

（2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于由1A ，2A ，…，7A 作成的至少有一个元保位的全排列数，为 318618545040!77=-=-D

4、在平面上,对任意自然数n ,连接原点O 与点(,3),n P n n +用)(n f 表示线段n OP 上除端点外的整点个数,试求(1)(2)(2004).f f f ++

+

解 线段n OP 的方程为 3

,0n y x x n n

+=

≤≤. 如果n 与3+n 互素,则不定方程(3)0n x ny +-=不存在适合0x n ≤≤的整数解,即;0)(=n f 如果n 与

3+n 不互素,则n 与3+n 只能有公因数3,即可以设k n 3=.则通过解不定方程,有整数点

))1(2,2(),1,(++k k k k 位于线段n OP 之上,且n OP 中间仅有这二个整数点,即()2f n =.所以

(1)(2)(3)(2004)f f f f +++

+ 2004

2[

]26681336.3

=⨯=⨯=

5、解递推关系：⎩⎨⎧==≥-=--9 ,4)2(

6510

21a a n a a a n n n 。

解：特征方程为0652

=+-x x ，特征根为21=x ，32=x ，所以n n n c c a 3221⋅+⋅=，其中1c ，2

c 是待定常数，由初始条件得 ⎩⎨

⎧=+=+9324

21

21c c c c

解之得31=c ，12=c ，所以 n

n n a 323+⋅= （ ,2,1,0=n ）

5、现有人手中有3张一元,2张2元和3张5元的钱币,问该人都能买价值为多少的物品？对每种价值的物品他有几种付款方法？

解 令一元钱币对应的能买物品的形式幂级数为2

3

1()1f x x x x =+++；2元钱币对应的能买物品的形式幂级数为2

22

2

4

2()1()1f x x x x x =++=++；5元钱币对应的能买物品的形式幂级数为

55253510155()1()()1f x x x x x x x =+++=+++,则该人能买物品对应的形式幂级数为

1252

3

2

4

5

10

15

()()()()

(1)(1)(1)

f x f x f x f x x x x x x x x x ==++++++++

2345678910111213141516171819202122

=1+x+2x +2x +2x +3x +2x +3x +2x +2x +3x +2x +3x +2x +2x +3x +2x +3x +2x +2x +2x +x +x

所以,该人可以买价值分别为0,1,2,,21,22元的物品,并且付款的方法数 分别为0,1,2,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3,2,2,2,1,1.

二、证明题（每小题20分，共40分。）

1、证明： ()010

=-∑≥k k n r k k C C 。

证明 在牛顿定理中令1a =,b t =-,则有 ()()∑≥-=

-0

11k k

k n

k

n

t C

t (1)

对上式两边的t 求微商,得到 ()

()∑≥---=--1

1

1

11k k k n k

n t kC t n . 令t=1,我们就得到第一个结论. 如果我们对(1)式两边的t 进行r 次微商,则有