高中数学 一元二次方程根的分布习题
微专题12一元二次方程根的分布问题4种常考题型总结(解析版)-人教A版2019必修第一册高一数学习题
微专题12 一元二次方程根的分布问题4种常考题型总结题型1 一元二次方程根在R 上的分布题型2 一元二次方程根的零分布题型3 一元二次方程根的k 分布题型4 一元二次方程根在区间上的分布一、二次函数相关知识对于形如()20=++¹y ax bx c a 的二次函数，有以下性质：1、判别式：ac b 42-=∆；求根公式：aacb b x 242-±-=；2、韦达定理：a b x x -=+21，a cx x =21；3、二次函数对称轴a b x 2-=，定点坐标（a b 2-，acb ac 442-）．二、一元二次方程根的0分布方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.0分布结合判别式，韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。
三、一元二次方程根的k 分布分布情况两根都小于k 即k x k x <<21,两根都大于k 即kx k x >>21,一根小于k ，一大于k 即21x k x <<大致图象（a >0）得出的结论()020b k a f k ∆>ìïï-<íï>ïî()020b k a f k ∆>ìïï->íï>ïî()0<k f kkk大致图象（a <0）得出的结论()020b k a f k ∆>ìïï-<íï<ïî()020b k a f k ∆>ìïï->íï<ïî()0>k f 综合结论（不讨论a ）()020b k a a f k ∆>ìïï-<íï×>ïî()020b k a a f k ∆>ìïï->íï×>ïî()0<×k f a 四、一元二次方程根在区间的分布分布情况两根都在()n m,内两根仅有一根在()nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，qp n m <<<大致图象（0>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>ìï>ïï>íïï<-<ïî()()0<×n f m f ()()()()0000f m f n f p f q ì>ï<ïí<ïï>î或()()()()00f m f n f p f q <ìïí<ïî大致图象（0<a ）得出的结论()()2f mf nbm na∆>ìï<ïï<íïï<-<ïî()()0<×nfmf()()()()f mf nf pf qì<ï>ïí>ïï<î或()()()()f m f nf p f q<ìïí<ïî综合结论（不讨论a）——————()()0<×nfmf()()()()ïîïíì<<qfpfnfmf五、一元二次方程根的分布应用示例在处理参数范围问题时，有时会需要限制一元二次方程的根位于指定范围，这就是一元二次方程根的分布问题．一、方程f(x)＝0有一根大于k，另一根小于k的条件是f(k)＜0示例1:方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0两实根一个大于2，另一个小于2，求实数m的取值范围．【解析】设f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7，符合题意的f(x)如图．方程一根大于2，另一根小于2，等价于f(2)＜0，即8·22－(m－1)·2＋m－7＝27－m＜0.解得m的取值范围是m＞27.注：用于限制一元二次方程根的分布的工具有三个：①判别式Δ；②对称轴；③区间端点函数值的符号，但不一定每次每个工具都用到，同学可以结合图形按需取用．二、方程f(x)＝0的一根小于k1，另一根大于k2且k1＜k2的条件是{f(k1)＜0，f(k2)＜0示例2：方程x2－(m－1)x＋m－7＝0两根x1，x2满足x1<－1，x2>2，求实数m的取值范围．【解析】设f(x)＝x2－(m－1)x＋m－7.符合题意的f(x)图象如图．两根x 1，x 2满足x 1<－1，x 2>2，则{f (－1)＜0，f (2)＜0， 即{(－1)2－(m －1)(－1)＋m －7＜0，22－2(m －1)＋m －7＜0，解得m ∈(－1，72).注：如果求出两根：x 1x 2{x 1<－1，x 2>2显然比本例解法要麻烦得多．三、方程f (x )＝0在区间(k ，＋∞)内有两个实根的条件是{Δ≥0，－b2a ＞k ，f (k )＞0示例3：方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两实根都大于1，求实数m 的取值范围．【解析】方法一 设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7，作其草图，如图．若两实根均大于1，需{Δ＝(m －1)2－32(m －7)≥0，f (1)＞0，m －116＞1，即{m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m ＞17，解得m ≥25.方法二 设方程两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m －18，x 1x 2＝m －78，因为两根均大于1，所以x 1－1＞0，x 2－1＞0，故有{Δ＝(m －1)2－32(m －7)≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0，即{(m －1)2－32(m －7)≥0，m －18－2＞0，m－78－m －18＋1＞0，解得所以m ≥25.【反思与感悟】在方法一中，如果少了条件Δ≥0，就会有导致范围扩大．同学可以自行考虑如果少了条件2，条件3会怎样．在方法二中，{x 1＞1，x 2＞1 ⇒{x 1＋x 2>2，x 1x 2>1， 但{x 1＋x 2>2，x 1x 2>1 ⇏{x 1>1，x 2>1.例如x 1＝4，x 2＝12.所以{Δ≥0，x 1＋x 2＞2，x 1x 2＞1不是等价条件．四、方程f (x )＝0在区间(k 1，k 2)内有两个实根的条件是{Δ≥0，k 1＜－b2a＜k 2，f (k 1)＞0，f (k 2)＞0示例4：方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0两实根都在区间(1,3)内，求实数m 的取值范围．【解析】 设f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7，符合题意的f (x )图象如图则{Δ≥0，f (1)＞0，f (3)＞0，1＜m －116＜3， 即{m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m ＜34，17＜m ＜49，所以25≤m ＜34.注：本例中四个限制条件缺一不可，同学可以思考如果去掉其中一个条件会怎样．如去掉对称轴的限制，则会包含两根均小于1或均大于3的情形．其本质是用零点存在定理限制区间(1，m －116)，(m －116，3)上各有一个零点．题型1 一元二次方程根在R 上的分布【例1】“m>2”是“关于x 的方程2210x mx -+=有两个不等实根”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为关于x 的方程2210x mx -+=有两个不等实根，所以280m ∆=-＞，解得m -＜m ＞所以“m>2”是“关于x 的方程2210x mx -+=有两个不等实根” 既不充分也不必要条件.故选：D【变式1】已知命题:p “x $ÎR ，关于x 的一元二次方程20x m -+=有实数根”是真命题，则实数m 的取值范围是 .【答案】3m £【解析】因为x $ÎR ，关于x 的一元二次方程20x m -+=有实数根，所以2(40m ∆=--³，解得3m £，故答案为：3m £【变式2】x 的一元二次方程210x kx k +++=没有实数根，则k 的取值范围是___.【答案】(22-+.【解析】∵关于x 的一元二次方程210x kx k +++=没有实数根∴()2Δ410k k =-+<∴2440k k --<解得：22k -<<+【变式3】若下列两个方程：24430x ax a +-+=，2220x ax a +-=至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围为.【答案】32a £-或0a ³.【解析】24430x ax a +-+=有实根，则()2164430a a ∆=--+³，解得12a ³或32a £-，2220x ax a +-=有实根，则2480a a ∆=+³，解得0a ³或2a £-，故实数a 的取值范围是12a a ì³íî或32a ü£-ýþU {0a a ³或}2a £-32a a ì=£-íî或}0a ³.故答案为：32a £-或0a ³.题型2 一元二次方程根的零分布【例2】关于x 的一元二次方程2(2)20x m x m +--=有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．(,2)(2,0)-¥--UB ．(,2)-¥C ．(0,2)(2,)È+¥D ．(2,)-+¥【答案】A【解析】因为方程2(2)20x m x m +--=有两个不相等的正实数根，所以()22802020m m m m ì-+>ï-+>íï->î，解得0m <且2m ¹-.故选：A.【变式1】关于x 的一元二次方程280x qx q ++-=有两个正实数根，则q 的取值范围是（ ）A ．8q >B ．4q <-C ．8q >或4q <-D ．8q <-【答案】D【解析】因为一元二次方程280x qx q ++-=有两个正实数根，所以2Δ=4(8)>0>08>0q q q q ----ìïíïî，解得8q <-，故选：D【变式2】若一元二次方程2240ax x --=（a 不等于0）有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．0a >B ．2a >C ．1a >D ．1a >-【答案】A【解析】因为一元二次方程2240ax x --=（a 不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为12,x x ，则()()212Δ244040a x x a ì=--´´->ïí=-<ïî，解得0a >，故选：A 【变式3】一元二次方程()25400ax x a ++=¹有一个正根和一个负根的一个充要条件是（ ）A ．a<0B ．0a >C ．2a <-D ．1a >【答案】A【解析】因为一元二次方程()25400ax x a ++=¹有一个正根和一负根，设两根为1x 和2x ，所以212Δ544040a x x a ì=-´>ïí=<ïî，解得25160a a ì<ïíï<î，故a<0.故选：A.【变式4】关于x 的方程24260x mx m -++=至少有一个负根的充要条件是（ ）A ．32m ³B ．1m £-C ．32m ³或1m £-D ．3m £-【答案】B【解析】当方程没有根时，2168240m m ∆=--<，即2230m m --<，解得312m -<<；当方程有根，且根12,x x 都不为负根时，可得21212Δ16824040260m m x x m x x m ì=--³ï+=³íï=+³î，解得32m ³，综上可知1m >-，即关于x 的方程24260x mx m -++=没有一个负根时，1m >-，所以24260x mx m -++=至少有一个负根的充要条件是1m £-.故选：B题型3 一元二次方程根的k 分布【例3】已知二次函数()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m可能为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】令()f x =()()222433m x m x m +-+++，则()12243321f m m m m =+--++=+，由题可知，2m ¹-，且()()210m f +<，即()()2210m m ++<，解得12, 2m æöÎ--ç÷èø，故所有选项中满足题意的m 的值是：1-.故选：B.【变式1】已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(5,4)(4,)--+¥UB ．(5,)-+¥C ．(5,4)--D ．(4,2)(4,)--+¥U 【答案】C【解析】令()2(2)5mf x m x x =+-+-由题可知：()()()()2Δ02450442222242250520m m m m m m m m m m f >ìì--´->><-ìïï-ïï>Þ<-Þ<-íííïïï+-´+->>-î>îïî或则54m -<<-，即(5,4)m Î--故选：C【变式2】关于x 的方程22190x x aæö+++=ç÷èø有两个不相等的实数根12,x x 且121x x <<，那么a 的取值范围是（ ）A ．22,75æö-ç÷èøB ．2,5æö+¥ç÷èøC ．2,7æö-¥-ç÷èøD ．2,011æö-ç÷èø【答案】D【解析】设()2219f x x x a æö=+++ç÷èø，则()22Δ136021110a f a ìæö=+->ïç÷ïèøíï=+<ïî，解得：2011a -<<，即a 的取值范围为2,011æö-ç÷èø.故选：D.【变式3】已知方程240x x a -+=的两根都大于1，则a 的取值范围是（ ）A ．34a <£B ．14a <£C ．1a >D ．4a £【答案】A【解析】设方程240x x a -+=的两根为12,x x ，依题意有：121216404a x x x x a ∆=-³ìï+=íï=î，因12,x x 都大于1，则122x x +>，且12()1(1)0x x ->-，显然122x x +>成立，由12()1(1)0x x ->-得1212()10x x x x -++>，则有410a -+>，解得3a >，由1640a ∆=-³解得：4a £，于是得34a <£，所以a 的取值范围是34a <£.故选：A【变式4】已知关于x 的方程 ()221260x m x m +-++=，当方程的根满足下列条件时，求m 的取值范围.(1)有两个实数根，且一个比2大，一个比2小；(2)至少有一个正根.【答案】(1)1m <-；(2)1m £-【解析】（1）设2()2(1)26f x x m x m =+-++，则由题意可得(2)660f m =+<，解得1m <-.（2）关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=无实数根时，()()2414260m m --+<，解得15m -<<，关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=有两个负实数根时，()()()2414260210260m m m m ì--+³ï--<íï+>î，解得5m ³，所以关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=无实数根时或有两个负实数根时1m >-，可得关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=至少有一个正实数根，则1m £-.【变式5】已知a 、b 、R c Î，关于x 不等式22ax bx c x ++<的解集为()1,3．(1)若方程20ax bx c ++=一根小于1-，另一根大于1-，求a 的取值范围；(2)在（1）条件在证明以下三个方程：24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=中至少有一个方程有实数解．【答案】(1)1(0,)4；(2)证明见解析【解析】（1）因为关于x 不等式22ax bx c x ++<的解集为()1,3， 即2(2)0ax b x c +-+<的解集为()1,3，故0a >，且1，3为2(2)0ax b x c +-+=的两根，则213,13b ca a-+=-´=，即42,3b a c a =-+=，又方程20ax bx c ++=一根小于1-，另一根大于1-，设2()f x ax bx c =++，而0a >，则(1)0f a b c -=-+<，即14230,4a a a a +-+<\<，结合0a >，可得a 的取值范围为1(0,)4.（2）证明：假设24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=都没有实数解，则它们的判别式都小于0，即()2222164(43)0140480a a a a a a ì--+<ïï--<íï+<ïî，即312211320a a a a ì-<<ïïï><-íï-<<ïïî或，解得312a -<<-，这与a 的取值范围为1(0,)4矛盾，故24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=中至少有一个方程有实数解．题型4 一元二次方程根在区间上的分布【例4】已知关于x 的方程20x x m ++=在区间()1,2内有实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[6,2]--B ．(6,2)--C ．(,6][2,)-¥-È-+¥D ．(,6)(2,)-¥--+¥U 【答案】B【解析】因为关于x 的方程20x x m ++=在区间()1,2内有实根，所以2m x x =--在区间()1,2内有实根，令()2f x x x =--，()1,2x Î，所以()f x 在()1,2上单调递减，所以()()()21f f x f <<，即()()6,2f x Î--，依题意y m =与()y f x =在()1,2内有交点，所以()6,2m Î--.故选：B【变式1】关于x 的方程()22210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内，则实数m 的取值范围是（ ）A ．13,22éùêúëûB ．12,23æùçúèûC ．1,22éö÷êëøD．{12,623æùÈ-çúèû【答案】D【解析】方程2(2)210x m x m +-+-=对应的二次函数设为：()2(2)21f x x m x m =+-+-因为方程2(2)210x m x m +-+-=恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①()()010f f ×<，()()21320m m --<，解得：1223m <<；②函数()f x 刚好经过点()0,0或者()1,0，另一个零点属于(0,1)，把点()0,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：1=2m ，此时方程为2302x x -=，两根为0，32，而()30,12Ï，不合题意，舍去把点()1,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：23m =，此时方程为23410x x -+=，两根为1，13，而()10,13Î，故符合题意；③函数与x 轴只有一个交点，()22840m m ∆=--+=，解得6m =±经检验，当6m =- (0,1) 内;综上：实数m的取值范围为{12,623æùÈ-çúèû故选：D【变式2】已知一元二次方程210x mx -+=的两根都在(0,2)内，则实数m 的取值范围是（ ）A ．52,2æöç÷èøB ．52,2éö÷êëøC ．(]5,22,2¥éö--È÷êëøD ．(]5,22,2¥æö--Èç÷èø【答案】B【解析】设()21f x x mx =-+，由题意可得()()2Δ400220102250m m f f m ì=-³ïï<<ïíï=>ï=-+>ïî，解得522m £<.因此，实数m 的取值范围是52,2éö÷êëø.故选：B.【变式3】若关于x 的方程2220x ax a -++=在区间()2,1-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．6,15æ--öç÷èøB ．6,15æö-ç÷èøC ．()6,1,5æö-¥--+¥ç÷èøU D ．()6,1,5æö-¥-+¥ç÷èøU 【答案】A【解析】令()222g x x ax a =-++，因为方程2220x ax a -++=在区间()2,1-上有两个不相等的实数解，所以()()Δ0212010a g g >ìï-<<ïí->ïï>î，即()2Δ44202144201220a a a a a a a ì=-+>ï-<<ïí+++>ïï-++>î，解得615a -<<-，所以a 的取值范围是6,15æ--öç÷èø．故选：A ．【变式4】已知关于x 的方程()22140x m x m -++=的两根分别在区间()01，，()12，内，则实数m 的取值范围为 ．【答案】104æöç÷èø，【解析】令()()2214f x x m x m =-++，根据题意得()()()()()22200401011402042140f m f m m f m m ìì>>ïï<Þ-++<ííïï>-++>îî①②③，由①得：0m ¹，由②得：104m <<，由③得：x ÎR ，求交集得：104m <<故m 的取值范围为10,4æöç÷èø.故答案为：10,4æöç÷èø【变式5】设m 为实数，若二次函数2y x x m =-+在区间()1¥-，上有两个零点，则m 的取值范围是 .【答案】10,4æöç÷èø【解析】二次函数2y x x m =-+的对称轴为12x =，且开口向上，因为二次函数2y x x m =-+在区间()1¥-，上有两个零点，所以方程20x x m -+=在区间()1¥-，内有两个不同的根，记方程20x x m -+=的两根为12,x x ，则()()()()()1212121212Δ140112120111110m x x x x x x x x x x m ì=->ï-+-=+-=-<íï-×-=-++=-+>î，解得104m <<，所以104m æöÎç÷èø，.故答案为：104æöç÷èø，【变式6】关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=满足下列条件，求m 的取值范围．(1)有两个正根；(2)一个根大于1，一个根小于1；(3)一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内；(4)一个根小于2，一个根大于4；(5)两个根都在(0,2)内．【答案】(1)01m <£(2)1m <(3)405m -<<(4)45<-m (5)213m <£【分析】根据二次方程根的分布的性质逐一解决每个小问.【详解】（1）令2()(3)f x x m x m =+-+，设()0f x =的两个根为12,x x .由题得()12122300Δ340x x m x x m m m ì+=->ïï=>íï=--³ïî，解得01m <£.（2）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根大于1，一个根小于1，则(1)220f m =-<，解得1m <（3）若方程2(3)0x m x m +-+=一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内，则(2)100(0)0(4)540f m f m f m -=->ìï=<íï=+>î，解得405m -<<（4）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根小于2，一个根大于4，则(2)320(4)540f m f m =-<ìí=+<î，解得45<-m （5）若方程2(3)0x m x m +-+=的两个根都在(0,2)内，则()()()22320003022Δ340f m f m m m m ì=->ï=>ïï-í<-<ïï=--³ïî，解得213m <£。
一元二次方程根的分布例题
例6.2．已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点 的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围． 解：以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为y=x，代入抛物线方程得：
x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, ① 由题意，方程①在区间(0, 1)上有实根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，则 当且仅当 f(0)·f(1)<0或 m<0或 m≤3-2且m≠0． 故m的取值范围为 (-, 0)∪(0, 3-2]. 例6.3．设关于的方程R）， （1）若方程有实数解，求实数b的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的 解。 分析：可用换元法，设，原方程化为二次方程，但要注意，故原方程有 解并不等价于方程有解，而等价于方程在内有解．另外，方程有解的问 题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于的方 程有解，则的值域． 解：（1）原方程为， ， 时方程有实数解； （2）①当时，，∴方程有唯一解； ②当时，. 的解为； 令 的解为； 综合①、②，得 1）当时原方程有两解：； 2）当时，原方程有唯一解； 3）当时，原方程无解。 变式：已知方程在上有两个根，求的取值范围． 解：令，当时，． 由于是一一映射的函数，所以在上有两个值，则在上有两个对应的 值．因而方程在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为
例6.2．已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐Байду номын сангаас平面上两点(0,0), (1,1)为端点 的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围．
例6.3．设关于的方程R）， （1）若方程有实数解，求实数b的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的
高一数学一元二次方程根的分布问题
c，使 f (c) 0 ，求实数 p的取值范围。
1
{ f (1) 2 p
f (1) 2 p 2 p 1 0
2
1
3p 9 0 3 p 3 或 p 2
3 3 p 2
y 6 x x 2 的定义域为A， 2 函数 y lg(kx 4 x k 3)的定义域为B，当B A求实数
x1 (m, n), x2 ( p, q)
f ( m) 0 f ( n) 0 f ( p) 0 f (x2 2x 3k 2 0 的两实根一个小于1，
x1
典型例题
(,4) (0,) 。 另一个大于1，则实数 k 的取值范围是______________________
例3.已知函数
的取值范围。 k
A {x | 2 x 3} B {x | kx 4x k 3 0} 2 B A k 0 且函数 f ( x) kx 4x k 3
2
的图象与 x 轴的两个交点在－2与3之间。
2
x1
x2
2
3
或方程 kx 4 x k 3 0 有一根为－2或3时，另一 根的情况： 若一根为－2，则k＝1，不符合题意，舍去。 若一根
1 3k 2 x x 0 k 2k 1 3k 2 f (1) 1 0 k 2k
2
2
m
x2
一根大于m， 另一根小于m
2
例2.若二次函数 f ( x) 4x 2( p 2) x 2 p p 1 在 区间[1,1] 内至少存在一点
f (m) 0
10 3 ( , ) 3
高一数学一元二次方程根的分布
高一数学一元二次方程根的分布苏教版必修2 例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围（1）两个正根例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围（2）有两个负根例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围（3）两个根都小于1例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围（4）两个根都大于例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围（5）一个根大于1，一个根小于1例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围（6）两个根都在（0 . 2）内例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围（7）两个根有且仅有一个在（0 . 2）内例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围（8）一个根在（-2 .0）内，另一个根在（1 . 3）内例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围（10）一个根小于2，一个根大于4例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围（11）一个根在（-2 .0）内，另一个根在（0 . 4）内例1．设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问：(1)m为何值时，有一正根、一负根．(2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1．(3)m为何值时，有两正根．(4)m为何值时，有两负根．(5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？例1. m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都大于2？例2．已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a的取值范围．例3．m为何实数时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2例2．已知关于x的方程（m-1）x2-2mx＋m2+m-6=0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β，求实数m的取值范围例3．已知关于x的方程3x2-5x＋a=0的有两个实根α，β，满足条件α∈（-2，0），β∈（1，3），求实数a的取值范围四、课后演武场1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是（ B ）A．B．C．D．2.方程 x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是（ C ）A．0＜m＜2 B．-3＜m＜1C．-2＜m＜0 D．-1＜m＜13．已知关于x的方程3x2+（m-5）x＋7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围．4．已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围．。
一元二次方程根的分布解析
一元二次方程根的分布解析一、单选题1．已知方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，则实数m 的取值范围是（）A ．{54m m -<≤-或}4m ≥B ．{}54m m -<≤-C ．{}54m m -<<-D ．{54m m -<<-或}4m >2．已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，下列结论错误的是（）A ．方程()230x m x m +-+=无实数根的必要条件是{}1m m m ∈>B ．方程()230x m x m +-+=有一正一负根的充要条件是{}0m m m ∈<C ．方程()230x m x m +-+=有两正实数根的充要条件是{}01m m m ∈<≤D ．方程()230x m x m +-+=有实数根的充要条件是{1m m m ∈<或}9m >二、多选题3．已知关于x 的不等式()()1320a x x -+->的解集是()12,x x ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（）A ．1220x x ++=B ．1231x x -<<<C ．124x x ->D ．1230x x +<4．已知关于x 的方程230+++=x ax a ，则（）.A ．当2a =时，方程有两个不相等的实数根B ．方程无实数根的一个充分条件是24a -<<C ．方程有两个不相等的负根的充要条件是6a >D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是4a <-对于C 选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是()21212Δ41300,30a a x x a x x a ⎧=-⨯⨯+>⎪+=-<⎨⎪⋅=+>⎩解得：6a >，故C 选项正确;对于D 选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是()212Δ4130,30a a x x a ⎧=-⨯⨯+>⎨⋅=+<⎩解得：3a <-，故D 选项错误;故选：BC.三、填空题5．已知方程221)42(0x m x m -+-=+的两根一个比2大另一个比2小，则实数m 的范围是．【答案】3m <-【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布规律列式求解即得.【详解】令2()21)42(f x x m x m -++=-，显然二次函数()f x 的图象开口向上，而()0f x =的两根一个比2大另一个比2小，则(2)0f <，即222102()42m m -++-<，解得3m <-，所以实数m 的范围是3m <-.故答案为：3m <-6．“一元二次方程()()10x a x a ---=有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是；7．已知关于x 的方程2210x x m -+-=的两个实数根同号，则实数m 的取值范围为．【答案】(]1,2【分析】运用12Δ00x x ≥⎧⎨>⎩解题即可.【详解】根据题意得到12Δ00x x ≥⎧⎨>⎩，即44(1)010m m --≥⎧⎨->⎩，解得12m <≤.故答案为：(]1,2.8．关于x 的不等式()2231x ax +<的整数解恰有3个，则实数a 的取值范围是．四、解答题9．已知方程()22210x k x k +-+=，且方程有两个大于1的实数根.(1)求实数k 的取值范围；(2)若存在实数k ，使()2150x k x ++≥，求实数x 的取值集合.10．已知关于x 的方程()221260x m x m +-++=至少有一个正根，求实数m 的取值范围．【答案】1m ≤-．【分析】根据一元二次方程根的分布，结合分类讨论即可求解.【详解】设()()22126f x x m x m =+-++，方程至少有一个正根，则有三种可能：11．关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=满足下列条件，求m 的取值范围．(1)有两个正根；(2)一个根大于1，一个根小于1；(3)一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内；(4)一个根小于2，一个根大于4；12．关于x 的方程()230x m x m +-+=满足下列条件，求m 的取值范围.(1)有两个正根；(2)一个根在()2,0-内，另一个根在()0,4内；13．关于x 的方程()230x m x m +-+=满足下列条件，求m 的取值范围.(1)有两个正根；(2)一个根大于1，一个根小于1；(3)一个根在()2,0-内，另一个根在()0,4内；14．已知方程2244120x mx m +--=．(1)若关于m 的方程总有实数解，求x 的取值范围；(2)求证：无论m 取何实数，关于x 的方程2244120x mx m +--=必有互异实数根．15．已知函数()2f x x x a =+-，a ∈R .(1)若关于x 的方程()0f x =有两个实数根1x ，2x ，且120x x <<，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()2f x ax >+对(]0,1a ∀∈恒成立，求实数x 的取值范围.16．回答下面两题：(1)已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，求实数m 的取值范围；(2)解关于x 的不等式210,R ax x a ++>∈．17．已知二次函数()()()2225,0f x x k x k f x =+++>的解集为()()1212,,,x x x x ∞∞-⋃+≠.(1)若1k =-，求221212x x x x +的值；(2)若120,0x x <<，求实数k 的取值范围.18．已知函数()222,y x a x a a =-++∈R(1)解关于x 的不等式0y <；(2)若方程()2221x a x a x -++=+有两个正实数根12,x x ，求21x x x x +的最小值.19．已知12,x x 是一元二次方程()()22414110k x k x +-++=的两个不相等的实数根．(1)若两根同号，求实数k 的取值范围；(2)求使得124x x x x ++的值为整数的整数k 的值．20．已知函数()222,Ry ax a x a =-++∈(1)求不等式0y ≥的解集；(2)若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有4个不同的实根，求实数a 的取值范围。
专题 一元二次方程根的分布(原卷版)
专题04 一元二次方程根的分布二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.若在()+∞∞-,内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考查()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的个数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由∆、21x x +、21x x ⋅的值与符号，从而判断出实根的情况.若在区间()n m ,内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定.知识梳理分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（0>a ）知识结模块一：得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f大致图象（0<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f综合结论（不讨论）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a【例1】已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．典例剖析【例2】若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1） 方程两实根均为正数； （2） 方程有一正根一负根．对点精练1．已知关于x 的方程0)1(2)32(22=++-+-m x m m x 的两个实数根互为相反数． （1）实数m 的值；（2）关于x 的方程053)(2=---+-k m x m k x 的根均为整数，求出所有满足条件的实数k ．2．已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．分布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x <<大致图象（0>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f模块二： kkkk大致图象（0<a ） 得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()0>k f综合结论（不讨论）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()0<⋅k f a【例3】若关于x 的方程02=++a x x 的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．典例剖析【例4】若关于x的方程02=x的两根均小于1，x++a求实数a的取值范围．【例5】已知二次函数()()()2=+-+++与x轴y m x m x m22433有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．【例6】已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围．【例7】若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k-+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．(1) 求实数k 的取值范围；(2) 若1212x x =，求k 的值．1．关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）12121||11>-<<<-><<-a a D a C a B a A 或2．实数k 为何值时，方程022=-+-k kx x 的两根都大于21 ．3．若方程024)32(2=+++-k x k x k 的根满足下列条件，分别求出实数k 的取值范围． （1） 方程两实根均大于1；（2） 方程有一根比1大，一根比1小．对点精练4．（1）已知：,αβ是方程()221420+-+-=的两个x m x m根，且2αβ<<，求m的取值范围；（2）若220++=的两根都小于1-，求a的取值范x ax围．分布情况 两根都在()n m ,内 两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（0>a ）模块三：得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0<a ）得出的结论 ()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论）—————— ()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f【例8】已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋典例剖析2m＋1＝0，(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围．【例9】关于x的二次方程()2271320-++--=的x p x p p两根βα,满足012αβ<<<<，求实数p的取值范围．【例10】二次函数6)1(2522-++-=m x m x y 的图像与x 轴的两个交点位于区间[-1，1]上，且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围．【例11】若二次函数y =的图象与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围．21x mx -+-【例12】若关于x的方程0xx在1-m+442=-x上至1≤≤少有一个实根，求实数m的取值范围．对点精练1．关于x的方程032=5x的两根分别在区间-ax+)0,2(-和)3,1(内，求a的取值范围．2．二次方程2210x kx k ++-=的两个根1x 与2x ，当121x -<<-且212x <<时，实数k的取值范围是 ．3．关于x 的实系数方程220x ax b -+=的一根在区间[]0,1上，另一根在区间[]1,2上，则23a b +的最大值为 ．4．求实数k 为何值时，方程0412=++-k kx x 的两个实根．（1）分别在区间（1，2）和（3，4）内； （2）绝对值小于1．5．关于x 的方程02)13(722=--++-a a x a x 有两个实根分别在区间（0，1）和（1，2）上，求实数a 的值．根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()0f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：模块四：综合应用1︒若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值．如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m ，由213m <<得223m <<即为所求；2︒方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围．分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-【例13】当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：（1） 方程x 2-ax+a -7=0的两个根一个大于2，另一个小于2；（2） 方程ax 2+3x+4=0的根都小于1；（3） 方程x 2-2(a+4)x+2a 2+5a +3=0的两个根都在区间[-1，3]上；（4） 方程7x 2-（a+13）x+2a -1=0的一个根在区间（0，1）上，另一个根在区间典例剖析（1，2）上．【例14】已知函数22=--+-与非负x轴至()(21)2f x x a x a少有一个交点，求a的取值范围．【例15】已知方程03)3(24=+--m x m mx有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的取值范围．1．已知c b a <<，证明关于x 的方程0)(232=+++++-ca bc ab x c b a x 有两个不等的实根，且这两个根分别在区间),(b a 和),(c b 内．2．若函数21321)(2+-=x x f 在区间],[b a 上的最小值为a 2，最大值为b 2，求],[b a ．对点精练反思总结1、一元二次方程根的分布可以使用方程和函数两种思维角度加以解决，但是利用二次函数图像的方法更加通用，方程的方法一般在较简单的与0有关的问题中采用.2、三种常见类型的根的分布，需要利用二次函数的图像理解之后记忆，这样才能灵活运用.课后练习1．设二次函数f (x)＝x2－x＋a(a>0)，若 f (m)<0，则f (m－1)的值为( )A、正数B、负数C、非负数D、正数、负数和零都有可能2．二次函数y= x2-4x-(k-8)与x轴至多有一个交点，则k的取值范围是（）A、（-∞，4）B、（4，+∞）C、（-∞，4 ]D、[ 4，+∞）3.已知方程x2-k x+2=0在区间（0，3）中有且只有一解，则实数k的取值范围是______．4．①关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m的范围；②关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在内，[0,4)求m的范围；③关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在[1，3]之外，求m的范围；④关于x的二次方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m的范围．5．如果二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围．6．设二次函数f (x )= x 2+x +a (a >0)若f (m )<0，试判断函数f (x )在（m ，m +1）内零点的个数．7．方程在（-1，1）上有实根，求k 的取值范围．232x x k -=8．方程的两根均大于1，求实数a 的取值范围．9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>-2x 的解集为（1，3），（1） 若方程f (x )+6a =0有两个相等的根，求f (x )的解析式（2） 若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．2240x ax -+=10．已知二次函数f (x )=(a ，b 为常数)且满足条件：f (-x +5)=f (x -3)，f (x )=x 有等根．（1） 求f (x )的解析式；（2） 是否存在实数m ，n 使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[3m ，3n]，如果存在，求出m ，n 的值，如果不存在说明理由．2ax bx +0a ≠。
高一数学二次函数根的分布专题归类精练
高一数学：二次方程根的分布一、一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 根的分布情况：设方程02=++c bx ax 的两实根为12,x x ，(不妨设21x x ≤)，相应的二次函数为c bx ax x f ++=2)(，方程的根12,x x 即为此二次函数的零点， 即此二次函数的图象与x 轴的交点为)0,(1x 和)0,(2x ，因为02=++c bx ax )0(≠a 与0)(2=++x bx ax a 是同解的，故考虑具体的端点值时，考虑的是函数ac abx x a c bx ax a x af y ++=++==222)()(的端点值，这样只考虑开口向上的情况即可.解决根的分布问题的方法：数形结合，三看：一看判别式；二看对称轴；三看端点值.它们的分布情况见下表：如上图，只是可以过两端点，注注2：对于端点值是否可取，最好单独讨论；注3：以上11种情况都有相应的等价形式，对于具体题中的条件，往往是几种情况合在一起的，这时需要分类讨论，此时莫忘注1，注2 .特别注意下列两种情况：一. 函数)(x f 在()n m ,内仅有一个零点，可分：（1）方程0)(=x f 有且只有一根（两根重合时），且这个根在区间()n m ,内，即0∆=， 此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根， 检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数的值.（2）若()0f m =，可以确定的求出相应的系数（或得到一个关系），从而可以求出另外一根， 若这另外的一根在区间()n m ,内，则满足条件；若不在，则这种情况不成立.（3）若()0f n =时，同理.（4）以上三种都讨论完了，只剩下一种情况，即只要0)()(<n f m f 即可.例1：已知624)(2++-=m mx x x f 在区间()3,0-内有且仅有一个零点，求m 的取值范围.解：①当0∆=时，即()2164260m m -+=，得出1m =-或32m =， 当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意； 当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意； ②当0151462129)3(=+=+++=-m m m f ，解得：1415-=m ， 由韦达定理的两根之积为72767156232=+-=+=⨯-m x ， 即)0,3(792-∈-=x ，满足条件，故1415-=m 合适； ③当062)0(=+=m f ，解得：3-=m ，由韦达定理的两根之和为12402-==+m x ， 即)0,3(122-∉-=x ，不满足条件，故3-=m （舍）；④当0)0()3(<⋅-f f 时，即0)62)(1514(<++m m ，得出14153-<<-m ，必满足条件. 综上所述所求m 的取值范围是：14153-≤<-m ，或1m =-. 注：你能发现这个题的巧解吗？二. 函数)(x f 在],[n m 内仅有一个零点，可同上分析.即先讨论0=∆（即方程两根重合）时的情况，验证相应的根是否合适；再看取到端点值时的情况，此时已知一根，由韦达定理易得另一根，验证是否满足条件；最后0)()(<n f m f 即可！ 熟练之后，此次序可以灵活变通，只是请注意分类要不重不漏！例2：已知624)(2++-=m mx x x f 在区间]0,3[-内有且仅有一个零点，求m 的取值范围. 解：①当0∆=时，即()2164260m m -+=，得出1m =-或32m =， 当1m =-时，根]0,3[2-∈-=x ，即1m =-满足题意； 当32m =时，根]0,3[3-∉=x ，故32m =不满足题意； ②当0151462129)3(=+=+++=-m m m f ，解得：1415-=m ， 由韦达定理的两根之积为72767156232=+-=+=⨯-m x ， 即)0,3(792-∈-=x ，不满足条件，故1415-=m （舍）；③当062)0(=+=m f ，解得：3-=m ，由韦达定理的两根之和为12402-==+m x ， 即)0,3(122-∉-=x ，满足条件，故3-=m 合适；④当0)0()3(<⋅-f f 时，即0)62)(1514(<++m m ，得出14153-<<-m ，必满足条件. 综上所述所求m 的取值范围是：14153-<≤-m ，或1m =-. 注：你能发现这个题的巧解吗？注：讨论端点时，如果遇到下列情况，前参看下列题的处理办法！例3：已知方程02)2(2=++-x m mx 在区间()1,3上有一根，求m 的取值范围. 解：当0=m 时，易知方程仅有一个根为1，不满足条件当0≠m 时，令2)2()(2++-=x m mx x f ，因为()10f =， 所以()()()22212mx m x x mx -++=--，故另一根为2m， 由213m <<，得223m <<即为所求. 例4：已知方程02)2(2=++-x m mx 在区间]3,1[上有一根，求m 的取值范围. 解：当0=m 时，易知方程仅有一个根为1，满足条件；当0≠m 时，令)2)(1(2)2()(2--=++-=mx x x m mx x f ，必有一根为1 故另一根2m ，当12=m，即2=m 时合适； 否则必须满足：12<m 或32>m ，解得：0<m ，或320<<m ，或2>m综上所述，所求m 的取值范围是32<m 或2≥m .注：你能发现这两个题的巧解吗？以后再赘述吧，先抱歉了！二．根的分布经典题归类讲解例1、①m 取何实数值时，方程0)1(22=++-m x m x 有两个不等正实根.②m 取何实数值时，方程013422=-++m mx x 有两个负数根.③m 取何实数值时，关于x 的方程05)2(2=-+-+m x m x 的两个实根都大于2. 解：①令=)(x f m x m x ++-)1(22，其图像开口向上，对称轴为41+=m x ， 判别式为168)1(22+-=-+=∆m m m m原条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=>+>+-=∆⇔0)0(0410162m f m m m 解得：2230-<<m 或223+>m ，即为所求.②令=)(x f 13422-++m mx x ，其图像开口向上，对称轴为m x -=， 判别式为)1)(21(16)2123(16)13(81622--=+-=--=∆m m m m m m . 原条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<-≥--=∆⇔013)0(00)1)(21(16m f m m m 解得：2131≤<m 或1≥m ，即为所求.③令=)(x f m x m x -+-+5)2(2，其图像开口向上，对称轴为21m x -=， 判别式为)4)(4(16)5(4)2(22-+=-=---=∆m m m m m .原条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=-+-+=>-≥-+=∆⇔055424)2(2210)4)(4(m m m f m m m 解得：45-≤<-m ，即为所求.例2、①已知二次方程012)12(2=-+-+m mx x m 有一正根和一负根，求实数m 的取值范围.②已知二次函数33)42()2(2+++-+=m x m x m y 与x 轴有两个交点，一个在1=x 的左侧，一个在1=x 的右侧，求实数m 的取值范围.③m 取何实数值时，关于x 的方程05)2(2=-+-+m x m x 的一个实根大于2，另一个实根小于2.解：①令=)(x f 12)12(2-+-+m mx x m ，其图像开口方向不明，原条件0)1)(12()0()12(<-+=+⇔m f m ，解得：21->m . 即为所求. 注：利用两个之积012121<+-=m x x ，也可以快速得出！②令=)(x f 33)42()2(2+++-+m x m x m ，其图像开口方向不明，原条件0)12)(2()33422)(2()1()2(<++=++--++=+⇔m m m m m m f m ， 解得：212-<<-m . 即为所求. 注：利用0)1)(1(21<--x x ，即021212422331)(2121<++=+++-++=++-m m m m m m x x x x 也可得.③令=)(x f m x m x -+-+5)2(2，其图像开口向上，原条件055424)2(<+=-+-+=⇔m m m f 解得：5-<m ，即为所求.注：利用0)2)(2(21<--x x ，即054)2(254)(22121<+=+---=++-m m m x x x x 也可得. 例3．①已知关于x 的方程：022=+-a ax x 有两个实根βα,，且满足2,10><<βα，求实数a 的取值范围．②已知关于x 的方程：062)1(22=-++--m m mx x m 有两个实根βα,，且满足βα<<<10， 求实数m 的取值范围．③已知关于x 的方程：0532=+-a x x 有两个实根βα,，且满足)3,1(),0,2(∈-∈βα，求实数a 的取值范围．解：①令=)(x f a ax x +-22，其图像开口向上，画图可得：原条件⎪⎩⎪⎨⎧<-=<-=>=⇔034)2(01)1(0)0(a f a f a f 解得：34>a ，即为所求.②令=)(x f 62)1(22-++--m m mx x m ，其图像开口方向不明，画图可得：原条件⎩⎨⎧<->-⇔0)1()1(0)0()1(f m f m ，即⎪⎩⎪⎨⎧<-++--->-+-⇔0)621)(1(0)6)(1(22m m m m m m m m即⎩⎨⎧<+-->+--⇔0)7)(7)(1(0)3)(2)(1(m m m m m m 解得：73-<<-m 或72<<m ，即为所求.③令=)(x f a x x +-532，其图像开口向上，画图可得：原条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=+-=<-=+-=<=>+=++=-⇔0121527)3(022)1(0)0(0221012)2(a a f a a f a f a a f 解得：012<<-a ，即为所求.例4、①已知方程03222=+++m mx x 的两个不等实根都在区间)2,0(内，求实数m 的取值范围.②已知方程03222=+++m mx x 的两个不等实根都在区间]2,0[之外，求实数m 的取值范围. 解：令322)(2+++=m mx x x f ，其图像开口向上，对称轴为m x -=，由判别式0)3)(1(4)32(4)32(4422>-+=--=+-=∆m m m m m m ，得：1-<m 或3>m①的条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=>+=<-<>∆⇔076)2(032)0(200m f m f m ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->-><<->-<⇔67230231m m m m m 或解得：167-<<-m 即为所求.②的条件可分为：两根都小于0，或两根都大于2，或一根小于0，一根大于2，三种情况故⎪⎩⎪⎨⎧>+=<->∆⇔032)0(00m f m 或⎪⎩⎪⎨⎧>+=>->∆076)2(20m f m 或⎩⎨⎧<+=<+=076)2(032)0(m f m f解得：3>m ，或无解，或23-<m ，故所求m 的取值范围是：23-<m 或3>m . 例5：已知集合}0107|{2≤+-=x x x A ，}05)2(|{2≤-+--=m x m x x B ，且A B ⊆， 求实数m 的取值范围.解：首先}52|{≤≤=x x A ；当∅=B 时，即不等式05)2(2≤-+--m x m x 无解，即0)5(4)2(2<---=∆m m 即：0162<-m ，解得：44<<-m ； -----（1）当∅≠B 时，即不等式05)2(2≤-+--m x m x 有解，其形式必为21x x x ≤≤； 其中21,x x 为方程05)2(2=-+--m x m x 的两个根，（不妨设21x x ≤） 按条件，只要5221≤≤≤x x 即可满足A B ⊆；按照根的分布的理论，此时只要满足：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-+--=≥-+--=≤-≤≥-=∆05)2(525)5(05)2(24)2(52220162m m f m m f m m即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-≥-≤≤-≥-≤55284,4m m m m m 或，解得：45-≤≤-m ，-----（2）由（1）（2）可得：所求的m 的取值范围是45≤≤-m .三．自己练习巩固提升1．设有一元二次方程02)1(22=++-+m x m x ．试问：(1)m 为何值时，有一正根、一负根．(2)m 为何值时，有一根大于1、另一根小于1． (3)m 为何值时，有两正根． (4)m 为何值时，有两负根．(5)m 为何值时，仅有一根在[1，4]内.2. 关于x 的方程012=-++a ax x 有异号的两个实根，求a 的取值范围.3.如果方程032)3(22=-+++a x a x 的两个实根中一根大于3,另一根小于3，求实数a 的取值范围. 4.若方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负根，求实数a 的取值范围. 5. 关于x 的方程0422=-+-a ax x 有两个正根，求a 的取值范围.6.设关于x 的方程0)(44222=+++-n m x n m x 有一个实根大于-1，另一个实根小于-1，则n m ,必须满足什么关系.7. 设关于x 的方程023222=---k x kx 有两个实根都在]0,2[-之间，求k 的取值范围.8.关于x 的方程02)13(72=--+-m x m x 的两个实根21,x x 满足2021<<<x x ，求m 的范围. 9.①已知方程065)9(222=+-+-+a a x a x 的一根小于0，另一根大于2，求实数a 的取值范围.②已知方程065)9(222=+-+-+a a x a x 的存在小于2的根，求实数a 的取值范围.。
高一数学一元二次方程根的分布问题正规版资料
函数
的定义域为B，当B A求实数(shìshù)
另一个大于1，则实数 的取值范围是______________________。
高一数学一元二次方程根的分布(fēnbù)问题
区间 内至少存在一点 ，使 ，求实数 的取值范围
设此方程(fāngchéng)的两实根分别为
的图象(tú xiànɡ)与 轴的两个交点在－2与3之间。
。
2 x1
x2 3
或方程
有一根为－2或3时，另一
根的情况：若一根为－2，则k＝1， 不符合题意，舍去。若一根
为3，则
，另一根为
符合题意。
第七页，共8页。
例4.若不等式 8x48(a2)x2a50对于任意实数 x均成 a 立，求实数 的取值范围。
令
则问题(wèntí)变为
上恒为正值(z在hè其nɡ充要条件为：
另一个大于1，则实数 的取值范围是______________________。
四、两实根由(gēnyóu)四个量来控制
x x 若不等式
对于任意实数 均成立，求实数 的取值范围。
1 2 三、两实根由(gēnyóu)三个量来控制
一根大于m，另一根小于m
m n 函数
的定义域为B，当B A求实数(shìshù)
mn
x1
x2
一根(yī ɡēn) 小于m，另一
根(yīɡēn)大
于n
第三页，共8页。
x1 x2
mn
二、两实根由(gēnyóu)二个量来控制
一根大于m，另一根小于m
的图象(tú xiànɡ)与 轴的两个交点在－2与3之间。
另一个大于1，则实数 的取值范围是______________________。
最新一元二次方程根的分布练习题
根分布例题选讲例１．设关于x 的方程∈=--+b b x x (0241R ），（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。
例２．已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).若方程f (x )=x 无实根，求证：方程f [f (x )]=x 也无实根．例３．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．变式：已知方程x 2 + (3m -1)x + (3m -2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m 的取值范围．例４．已知方程)(0)32()1(242R m m x m x ∈=++-+有两个负根，求m 的取值范围．例５．求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22=++-+m x m x ．（１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小．（２）有两个实根βα,，且满足410<<<<βα．（３）至少有一个正根．例６． 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.变式：已知方程2x 2 – 2(2a -1)x + a +2=0的两个根在-3与3之间，求a 的取值范围．例７．已知二次方程02)12(2=+--+m x m mx 的两个根都小于1，求m 的取值范围．变式：如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.例８．已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用．下面再举两个例子：例９．求函数y = x +1x 2-3x +2(1<x <2)的值域．例10．已知抛物线y = 2x 2-mx +m 与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m 的取值范围．练习题：1．已知二次方程04)32()13(2=+-++-m x m x m 有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m 的取值范围．2．已知方程02)12(22=+⋅-+⋅m m m x x 在)1,(-∞上有两个根，求m 的取值范围．3．已知二次方程0)1(2)12(2=-+-+m mx x m 有且只有一个实根属于（1，2），且2,1==x x 都不是方程的根，求m 的取值范围．4．已知二次方程0)1()43()1(2=++++-m x m x m 的两个根都属于（–1，1），求m 的取值范围．5．若关于x 的方程x 2+(a -1)x +1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a 的取值范围．小测：校园伤害事故的基本法律原则返回本次得分为：6.00/6.00, 本次测试的提交时间为：2018-03-09, 如果你认为本次测试成绩不理想，你可以选择再做一次。
2020年高考文科数学总复习：一元二次方程根的分布
2020年高考文科数学总复习：一元二次方程根的分布1．若一元二次方程kx 2＋3kx ＋k －3＝0的两根都是负数，则k 的取值范围为________．答案 (－∞，－125]∪(3，＋∞) 解析 依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，k －3k >0，解得k ≤－125或k>3. 2．一元二次方程kx 2＋3kx ＋k －3＝0有一个正根和一个负根，则k 的取值范围为________． 答案 (0，3)解析 依题意有k －3k<0⇒0<k<3. 3．若一元二次方程kx 2＋(2k －1)x ＋k －3＝0有一根为零，则另一根的符号为________． 答案 负解析 由已知k －3＝0，∴k ＝3，代入原方程得3x 2＋5x ＝0，另一根为负根．4．已知方程x 2－11x ＋m －2＝0的两实根都大于1，则m 的取值范围为________． 答案 12<m ≤1294解析 由题意得应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，112>1，f （1）>0即⎩⎪⎨⎪⎧112－4（m －2）≥0，m －12>0 解得12<m ≤1294. 5．若一元二次方程mx 2－(m ＋1)x ＋3＝0的两个实根都大于－1，则m 的取值范围为________．答案 m<－2或m ≥5＋2 6解析 由题意得应满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，m＋12m >－1，Δ≥0，mf （－1）>0解得：m<－2或m ≥5＋26. 6．若一元二次方程mx 2－(m ＋1)x ＋3＝0的两实根都小于2，则m 的取值范围为________．答案 m<－12或m ≥5＋2 6解析 由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ≥0m ＋12m <2，mf （2）>0，解得：m<－12 或m ≥5＋2 6.7．已知方程x 2＋2mx ＋2m 2－3＝0有一根大于2，另一根比2小，则m 的取值范围为________． 答案 －1－22<m<－1＋22 解析 由题意得，应满足f(2)<0，即2m 2＋4m ＋1<0，解得：－1－22<m<－1＋22. 8．已知方程x 2＋(m －2)x ＋2m －1＝0只有一实根在0和1之间，则m 的取值范围为________． 答案 12<m<23解析 由题意得，应满足f(0)f(1)<0，解得12<m<23. 9．已知方程x 2＋(m －2)x ＋2m －1＝0的较大实根在0和1之间，则m 的取值范围为________． 答案 23<m<6－27 解析 由题意得：①⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （1）>0，－m －22<1；或②⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）>0，0<－m －22<1，f （－m －22）<0，解得①②得23<m<6－27. 10．若方程x 2＋(k ＋2)x －k ＝0的两实根均在区间(－1，1)内，则k 的取值范围为________．答案 －4＋23≤k<－12解析 由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－1<－k ＋22<1，f （－1）>0，f （1）>0.解得：－4＋23≤k<－12. 11．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则k 的取值范围为________．答案 12<k<23解析 由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0f （1）<0，f （2）>0解得12<k<23. 12．已知关于x 的方程(m －1)x 2－2mx ＋m 2＋m －6＝0的两根为α，β且0<α<1<β，则m 的取值范围为________．答案 －3<m<－7或2<m<7解析 由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （0）f （1）<0（m －1）f （1）<0解得－3<m<－7或2<m<7.。
根的分布练习题[带答案]
![根的分布练习题[带答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/282e4c74f705cc175427098f.png)
根的分布练习题（含答案）1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。
4、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
5、方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，求实数m 的取值范围。
6、如方程24260x mx m -++=有且只有一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
7.已知1x 、2x 是方程24420x mx m -++=的两个实根． (1)当实数m 为何值时，2212x x +取得最小值？(2)若1x 、2x 都大于12，求m 的取值范围．1已知方程05)2(2=-+-+m x m x ，若方程的两根均为正，求m 的取值范围？2已知方程05)2(2=-+-+m x m x ，若方程的两根都大于2，求m 的取值范围？3．已知方程)0(023222>=---k k x kx ，若方程的两个实根一个大于1，另一个小于1，求实数k 的取值范围？4. 已知方程)0(023222>=---k k x kx ，若方程的两个实根一个大于3，另一个小于2，求实数k 的取值范围？5. 已知方程05)2(2=-+-+m x m x ，若方程的一个根在（1,2）另一个根在（2,6）内，求m 的取值范围？6. 已知方程05)2(2=-+-+m x m x ，若方程的两根都在（0,5）内，求m 的取值范围？7.已知方程022=+-a x x 在（0,2）内有两个不同的根，求a 的取值范围？8.已知方程,032=++mx x 若两实根满足.41021<<<<x x 求m 的取值范围？1、2、已知集合A={x|x2－7x+10≤0}, B={x|x2－(2-m)x+5-m ≤0},且B A,求实数m 的取值范围. }{{}?,)2?(,)1(03201222的范围则若的范围则若已知a B A a A B x x x B ax x x A ⊆⊆≤--=≤+-=⊆根的分布答案：1、解：由 ()()2100m f +⋅< 即 ()()2110m m +-<，从而得112m -<<即为所求的范围。
一元二次方程实根分布习题选编
一元二次方程实根的分布习题选编顺德莘村中学陈万寿2018.11.221已知关于x 的二次方程(1)若方程有两根,其中一根在区间(－1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 的范围;(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m 的取值范围.3.已知是a 实数，函数，如果函数区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围．（2007年广东高考压轴题）解:若0a =，()23f x x =-，显然在上没有零点，所以0a ≠令()248382440a a a a ∆=++=++=得：32a -±=当372a --=时，()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上；当()()()()11150f f a a -=--< 即15a <<时，()y f x =也恰有一个零点在[]1,1-上；当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时，则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩1222=+++m mx x 只有一个零点在区间函数]2,0[32)(.22+--=m x mx x g 的取值范围求实数m )(x f 2()223f x ax x a=+--解得5a ≥或37a -<因此a 的取值范围是1a >或32a -≤.4.（2016年全国课标乙卷第12题）若函数f (x )=x －sin 2x+a sin x 在(－∞，+∞)单调递增，则a 的取值范围是()解：由题意知x ∈R ，恒成立.令t=cos x ，t ∈[－1，1]，则∴4t 2－3at －5≤0恒成立，再令g (t )=4t 2－3at －5，t ∈[－1，1]，⎩⎨⎧≤+-≤--⎩⎨⎧≤-≤∴0310310)1(0)1(a a g g 得：点评：本题考查函数单调性、导数应用、二次函数零点的分布以及解不等式，考查综合应用知识的能力.]31,1.[-B ]31,31.[-C ]1,1.[--D ]1,1.[-A 0cos 2cos 321)(≥+-='x a x x f ,3534)12(321)(22++-=+-⨯-='at t at t x f ]31,31[-∴。
高一数学一元二次方程根的分布问题
x2 1 x 3k 2 0
k
2k
m
x1
x2
f (1) 1 1 3k 2 0 k 2k
一根大于m， 另一根小于m
例2.若二次函数 f (x) 4x2 2( p 2)x 2 p2 p 1在 f (m) 0
区间[1,1]内至少存在一点 c，使 f (c) 0 ，求实数 p的取值范围。
{ f (1) 2 p2 p 1 0 f (1) 2 p2 3 p 9 0
1 1
p
3
或
p
3 2
3 p 3 2
例3.已知函数 y 6 x x2 的定义域为A，
函数y lg(kx2 4x k 3)的定义域为B，当B A求实数
k的取值范围。
A {x | 2 x 3} B {x | kx2 4x k 3 0}
构造二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0)
一、两实根由一个量来控制
m
x1
x2
一根大于m，
另一根小于m
f (m) 0
m x1 x2
两根均大于m
f
(m)
0
0
b 2a
m
x1
x2
m
两根均小于m
f
(m)
0
0
b 2a
m
二、两实根由二个量来控制
x1 x2
m
n
x1
,
x2
(m,
n)
f (m) 0
f (n) 0
0
m
b
n
2a
mn
x1
x2
一根小于m， 另一根大于n
f (m) 0
f
(n)
0
x1 x2
mn
第四节课小专题：一元二次根的分布
专题训练七：一元二次方程根的分布问题1.（1）若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101m m m m m m m ⎧⎪∆=++-≥⎪+⎪->⎨-⎪-⎪>⎪-⎩0<m <1。
（2）若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。
（512-≤k 或k>3） （3）k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？ 分析：依题意有3k k-<0=>0<k <3 2.（1）已知方程02112=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。
（412912<<m ） （2）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两实根都小于2，求m 的取值范围。
（62521+>-<m m 或） 3．求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22=++-+m x m x ．（１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小．（２）有两个实根βα,，且满足410<<<<βα．（３）至少有一个正根．解：设62)1(2)(2++-+==m x m x x f y ．（1）依题意有0)2(<f ，即062)1(44<++-+m m ，得1-<m ． （2）依题意有 ⎪⎩⎪⎨⎧>+=<+=>+=01410)4(054)1(062)0(m f m f m f 解得：4557-<<-m ． （3）方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->≥∆02)1(20)0(0m f ，即⎪⎩⎪⎨⎧<->≥-≤1351m m m m 或13-≤<-∴m ． ②有一个正根，一个负根，此时可得0)0(<f ，得3-<m ． ③有一个正根，另一根为０，此时可得⎩⎨⎧<-=+0)1(2026m m 3-=∴m ．综上所述，得1-≤m ．4． 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ⇔ 2165-<<-m ，∴实数m 的范围是)21,65(--. (2)据抛物线与x 轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇔.01,2121,21,21m m m m m 或 ⇔ - 12 <m ≤1- 2 ,实数m 的范围是]21,21(--. 5．设关于x 的方程∈=--+b b x x (0241R ），（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。
必修1作业034一元二次方程根的分布(1)
高一数学作业（34）──一一元二次方程根的分布（1）班级 学号 组别 姓名一、填空题1．已知关于x 的方程01)1(22=-++-a x a ax ．（1）若方程有且只有一个实数根，则a 的值为 ． （2）若方程有两个负数根，则a 的取值范围是 ．(3) 若方程一个根大于1，一个根小于1，则a 的取值范围是 ． 二、解答题 2．已知关于x 的方程04)73(32=+-+x t tx 的两个实根α，β满足210<<<<βα，求实数t 的取值范围．3．若方程0)5()1(2=-+-+m x m x 的两个根均大于2，求实数m 的取 值范围．订正4．关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负数根，求实数a 的取值范围．高一数学作业（三十四）──一一元二次方程根的分布（1）班级 学号 组别 姓名一、填空题1．已知关于x 的方程01)1(22=-++-a x a ax ．（1）若方程有且只有一个实数根，则a 的值为 ． （2）若方程有两个负数根，则a 的取值范围是 ．(3) 若方程一个根大于1，一个根小于1，则a 的取值范围是 ． 二、解答题 2．已知关于x 的方程04)73(32=+-+x t tx 的两个实根α，β满足210<<<<βα，求实数t 的取值范围．3．若方程0)5()1(2=-+-+m x m x 的两个根均大于2，求实数m 的取 值范围．订正4．关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负数根，求实数a 的取值范围．5．已知不等式05)2(8824>+--+a x a x 对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．。
高中数学 一元二次方程根的分布习题
一元二次方程根的分布习题1、一元二次方程0422=-+x x 的根的情况是----------------------------------------（ ）A 、有两个相等的实数根B 、有两个不相等的实数根，且两根同号C 、有两个不相等的实数根，且两根异号D 、没有实数根2、已知关于x 的方程012=++-k kx x 有两个负根，则实数k 的范围是______________3、当∈m ____________时，二次方程01032=+-m x x 有两正实根； 当∈m __________时，二次方程01032=+-m x x 有一正根一负根。
4、关于x 的二次方程（1）有两个大于2的实根，求实数 m 的取值范围。
（2）有两个小于2的实根，求实数 m 的取值范围。
（3）一根大于2，一根小于2，求实数 m 的取值范围。
2(2)50x m x m +-+-=225.p αβαβ为什么数时，关于x 的方程7x -(p+13)x+p -p-2=0的两根,分别满足0<<1,1<<2?答案： 1， C 2， 3，（1）,（2）4，（1）（2） ()()()2245022,-5<m 4220m m m f ⎧∆=---≥⎪-⎪->≤-⎨⎪>⎪⎩解得(1,2--210430100303m m ⎧⎪∆=-⨯⨯≥⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩2523m ⇒<≤解得：21043003m m ⎧⎪∆=-⨯⨯≥⎪⎨⎪⎪<⎩0m ⇒<解得：()()()2245022,-2<m 44220m m m m f ⎧∆=---≥⎪-⎪-<≤-≥⎨⎪>⎪⎩解得或(3) (2)0f <，解得m<-5()225,f x αβαβ令=7x -(p+13)x+p -p-2要使,分别满足0<<1,1<<2只需()()()0010,<p 120f f f >⎧⎪<<-⎨⎪>⎩解得-2。
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一元二次方程根的分布习题
1、一元二次方程0422=-+x x 的根的情况是----------------------------------------（ ）
A 、有两个相等的实数根
B 、有两个不相等的实数根，且两根同号
C 、有两个不相等的实数根，且两根异号
D 、没有实数根
2、已知关于x 的方程012=++-k kx x 有两个负根，则实数k 的范围是______________
3、当∈m ____________时，二次方程01032=+-m x x 有两正实根； 当∈m __________时，二次方程01032
=+-m x x 有一正根一负根。
4、关于x 的二次方程
（1）有两个大于2的实根，求实数 m 的取值范围。
（2）有两个小于2的实根，求实数 m 的取值范围。
（3）一根大于2，一根小于2，求实数 m 的取值范围。
2
(2)50x m x m +-+-=225.p αβαβ为什么数时，关于x 的方程7x -(p+13)x+p -p-2=0的两根,分别满足0<<1,1<<2?
答案： 1， C 2， 3，（1）
,
（2）
4，（1）
（2） ()()()2245022,-5<m 4220m m m f ⎧∆=---≥⎪-⎪->≤-⎨⎪>⎪⎩
解得(1,2--210430100303m m ⎧⎪∆=-⨯⨯≥⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩2523m ⇒<≤解得：21043003m m ⎧⎪∆=-⨯⨯≥⎪⎨⎪⎪<⎩0m ⇒<解得：()()()2245022,-2<m 44220m m m m f ⎧∆=---≥⎪-⎪-<≤-≥⎨⎪>⎪⎩解得或
(3) (2)0f <，解得m<-5()225,f x αβαβ令=7x -(p+13)x+p -p-2要使,分别满足0<<1,1<<2只需()()()0010,<p 120f f f >⎧⎪<<-⎨⎪>⎩解得-2。