苏教版数学必修一新素养同步课件：3.1 3.1.1 分数指数幂

第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.1 指数函数
3.1.1 分数指数幂
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
1.了解分数指数幂的意义． 2.理解有理指数幂的 含义． 3.掌握幂的运算法则．
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
1．n 次实数方根 (1)定义 一般地，如果一个实数 x 满足___x_n_＝__a_____，那么 x 叫做 a 的 n 次实数方根，其中n__＞__1_，__且__n_∈__N__* ____．
1x3(x＞
0)；④x－13＝－3 x(x≠0)．
(2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中 a＞0，b＞0)．
①3 a·4 a； ② a a a； ③(3 a)2· ab3.
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1
【解】 (1)对于①，－ x＝－x2，故①错误；对于②，当 y＜0
时，6
1
3
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(2)性质 ①当 n 为奇数时，正数的 n 次实数方根是一个_正___数_____，负 数的 n 次实数方根是一个_负__数______，这时，a 的 n 次实数方
根用符号n a表示． ②当 n 是_偶__数____时，正数的 n 次实数方根有两个，这两个数 互为相__反__数___．这时正数 a 的正的 n 次实数方根用符号__n_a____ 表示，负的 n 次实数方根用符号__－__n__a__表示，正的 n 次实
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1.(1)下列式子中正确的是( )
6 A.
（－3）2＝3
（－3）
4 B.
a4＝a
C.6 22＝3 2 D．a0＝1
(2)若 （2a－1）2＝3 （1－2a）3，则实数 a 的取值范围为 ________．
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解析：(1)6 （－3）2＝6 32＝3 3，4 a4＝|a|，a0＝1 条件为 a≠0， 故 A、B、D 错． (2) （2a－1）2＝|2a－1|，
所以 a－b＜0，a＋b＜0， 所以原式＝－(a－b)－(a＋b)＝－2a. 所以n （a－b）n＋n （a＋b）n ＝2－a，2an，＝n2＝k＋2k1，，kk∈∈NN*.*，
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根式化简与求值的思路及注意点 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运 用根式的性质进行化简． (2)注意点： ①正确区分(n a)n 与n an两式； ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全 平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
1
1
解：将 x2＋x－2＝3 两边平方可得 x＋x－1＋2＝9，则
x＋x－1＝7，两边再平方，得 x2＋x－2＋2＝49，所以 x2＋x－2
＝47.
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条件求值问题的解法 (1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的 式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关 系，可考虑使用整体代换法． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完 全平方公式及其变形公式．
3
＝233412＝2322＝2 9 2. 答案：2 9 2
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3.已知 x12＋x－12＝3，求xx2＋＋xx－－12－＋23的值．
1
1
解：由 x2＋x－2＝3，两边平方，得 x＋x－1＝7，
又得 x2＋x－2＝47，所以原式＝477－＋23＝110.
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
1．“根式记号”的关注点 (1)根式的概念中要求 n＞1，且 n∈N*. (2)当 n 为大于 1 的奇数时，a 的 n 次方根表示为n a(a∈R)， 当 n 为大于 1 的偶数时，n a(a≥0)表示 a 在实数范围内的一 个 n 次方根，另一个是－n a，从而(±n a)n＝a.
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) B．32 D．－32
解析：选
81 A.16
－14＝324－14＝32－1＝23.
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3x－4y
3．已知 10x＝2，10y＝3，则 10 2 ＝________． 解析：103x－2 4y＝103x－4y12＝110034xy12
根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法：根指数
分数指数的分母，
被开方数(式)的指数
分数指数的分子．
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的
形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
[注意] 如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数
幂写出．
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y2＞0，y3＜0，故②错误；对于③，x－4＝
1
＝
4 x3
4
1x3(x
1
＞0)，故③正确；对于④，x－3＝
1
，故④错误．综上，填③.
3
x
(2)①3
a·4
11 7
a＝a3·a4＝a12；
1117
②原式＝a2·a4·a8＝a8；
③原式＝a132·a12·b32＝a76b32.
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1
1
1
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1．若将条件“x2＋x－2＝3”改为“x2－x－2＝1”，如何求值？
1
1
解：将 x2－x－2＝1 两边平方，得 x＋x－1－2＝1，所以
x＋x－1＝3，则x＋x2－1＋3＝3＋2 3＝13.
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2．在本例条件下，如何求 x2＋x－2 的值？
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条件求值问题
已知 x12＋x－12＝3，求x－1＋2x＋3的值．
1
1
【解】 因为 x2＋x－2＝3，
1
1
所以(x2＋x－2)2＝9，
1
11
1
所以(x2)2＋2x2·x－2＋(x－2)2＝9，
所以 x＋2＋x－1＝9，
所以 x＋x－1＝7，所以原式＝7＋2 3＝15.
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4．有理数指数幂的运算性质 (1)asat＝__a_s_＋_t ______； (2)(as)t＝___a_st_______； (3)(ab)t＝___a_tb_t ______． 其中 s，t∈Q，a>0，b>0. 5．无理数指数幂
无理数指数幂 aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有
n 数方根与负的 n 次实数方根可合并写成_±___a____ (a＞0)．
③0 的 n 次实数方根等于_0____，记作n 0＝0. ④负数没有偶次方根．
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2．根式 (1)式子_n__a_叫做根式，这里 n 叫做_根__指__数___，a 叫做_被__开__方__数_． (2)式子n an对任意 a∈R 都有意义，当 n 为奇数时，n an＝ _a___，当 n 为偶数时，n an＝|a|＝a－，aa，≥a0＜，0.
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2．下列等式一定成立的序号是( )
13
A．a3·a2＝a
11
B．a－2·a2＝0
C．(a3)2＝a9
111
D．a2÷a3＝a6
答案：D
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3．(1)412＝________；(2)23－2＝________；
1
(3)(32)2＝________．
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】
3 (1)
（－2）3＝－2.
4 (2)
（－3）2＝4
32＝
3.
8 (3)
（3－π）8＝|3－π|＝π－3.
(4)当 n 是奇数时，
原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当 n 为偶数时，因为 a＜b＜0，
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答案：(1)2
9 (2)4
(3)3
4．若 x＜0，则|x|－ x2＋ |xx|2＝________．
答案：1
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
根式的化简与求值 求下列各式的值． (1) 3 （－2）3；(2) 4 （－3）2；(3) 8 （3－π）8； (4) n （a－b）n＋n （a＋b）n(a＜b＜0，n＞1，n∈N*)．
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1．化简 （1－2x）2x＞12的结果是(
)
A．1－2x
B．0
C．2x－1 解析：选 C.因为 x＞12，
D．(1－2x)2
所以 2x＞1，
所以 1－2x＜0
所以 （1－2x）2＝|1－2x|＝2x－1.
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2．计算8116－14的结果为( 2
A.3 C．－23
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2．对分数指数幂的理解
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(1)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推
广到了有理数指数．
(2)指数幂 amn不可理解为mn 个 a 相乘，它是根式的一种新写
法．在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的
量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以
2.计算下列各式： (1)823×100－12×14－3×1861－34； (2)(2a23b12)(－6a12b13)÷－3a16b56.
解：(1)原式＝(23)32×(102)－12×(2－2)－3×234－43 ＝22×10－1×26×23－3＝28×110×323＝4352.
211115
(2)原式＝4a3＋2－6b2＋3－6＝4ab0＝4a.
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3．分数指数幂
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：amn＝_n__a_m_ (a＞0，m、
n∈N*，且 n＞1)．
m
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－ n ＝
1m＝
an
n
1 (a＞0， am
m、n∈N*，且 n＞1)．
(3)0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 _0__ ， 0 的 负 分 数 指 数 幂 _没__有__意__义______．
分数指数幂与根式可以相互转化．
1
(3)通常规定分数指数幂的底数 a＞0，但要注意在例如(－a)4
＝4 －a中的 a，则需要 a≤0.
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化简：
a2 b3 4 a b a b3.
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(1)对于根式的计算结果，不强求统一的表示形式．一般地用 分数指数幂的形式来表示，如果有特殊要求，则按要求给出 结果．但结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既含 有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式． (2)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形 式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能地统一成分数 指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算， 以利于运算，达到化繁为简的目的．
理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当 n∈N*时，(n －3)n 都有意义．( ) (2) （π－4）2＝4－π.( ) (3)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．( ) (4)0 的任何指数幂都等于 0.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
3 （1－2a）3＝1－2a.
因为|2a－1|＝1－2a，
故 2a－1≤0，
所以 a≤12. 答案：(1)C
(2)－∞，12
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
分数指数幂的运算
(1)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是
________(只填序号)．
①－
1
1
34
x＝(－x)2(x＞0)；②6 y2＝y3(y＜0)；③x－4＝