苏教版数学必修一新素养同步课件：3.1 3.1.1 分数指数幂
苏教版数学必修一新素养同步课件：3.1 3.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
与指数函数有关的单调性问题
讨论函数 f(x)＝13x2－2x的单调性，并求其值域． 【解】 法一：函数 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)． 设 x1，x2∈(－∞，＋∞)且 x1<x2， 则 f(x1)＝13x12－2x1，f(x2)＝13x22－2x2. 所以ff（（xx21））＝131xx2221－ －22xx21＝13（x22－2x2）－（x21－2x1）
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
解决指数函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意 中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
(2)对称变换 ①y＝f(－x)的图象与 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称； ②y＝－f(x)的图象与 y＝f(x)的图象关于 x 轴对称； ③y＝－f(－x)的图象与 y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称； ④y＝f(a＋x)的图象与 y＝f(b－x)的图象关于直线 x＝a＋2 b对 称．
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】 (1)函数 y＝3x 在 x＝－2，－1，0，1， 2，3 时的函数值与函数 y＝3x－1 在 x＝－1，0， 1，2，3，4 时的函数值对应相等，即函数 y＝ 3x 在 x＝a 时的函数值与函数 y＝3x－1 在 x＝a＋ 1 时的函数值对应相等． (2)在同一坐标系中作出函数 y＝3x，y＝3x－1 的图象(如图所示)， 函数 y＝3x－1 的图象由函数 y＝3x 的图象沿着 x 轴向右平移 1 个单位得到．
苏教版高中数学必修一课件第3章-指数函数、对数函数和幂函数3.1.1+56张.pptx
【自主解答】
进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性 质，并灵活运用，一般地进行分数指数幂运算时，化负指数 为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时 还要注意运算顺序问题．
【解】
条件等式的求值问题
【思路探究】 从已知式子和所求式子的特征可以看出， 将已知条件式变形平方后可得 a＋a－1，而由 a＋a－1 平方后又 可得 a2＋a－2，因此可利用整体代换法求解．
【提示】
有理数指数幂的运算性质
(1)asat＝ as＋t
，
(2)(as)t＝ ast ，
(3)(ab)t＝ atbt ，其中 s，t∈Q，a>0，b>0.
利用根式的性质化简根式
求下列各式的值．
5 (1)
－35；(2)4
－32；(3)4
π－42；(4)
a－b2.
【思路探究】 根据根式的定义，注意偶次根式与奇次
2．一般来说，应化根式为分数指数幂，利用幂的运算性 质运算．
用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0 ，b>0)：
3 (1)
8－4；(2)4
－260；(3)a33
a2；(4)
a
a；(5)
ab3 ab5.
【解】
利用分数指数幂的运算性质化简求值
【思路探究】 先化简各个分数指数幂，然后再进行四 则运算，注意一般先将小数化为分数．
3．条件代数式化简的方法：条件代数式灵活化简很 重要，在解化简求值问题时常用的方法有：有“求值后 代换”或“整体代换”.
1．16 的 4 次方根是________． 【解析】 ∵(±2)4＝16， ∴16 的 4 次方根是±2. 【答案】 ±2
2．化简 π－42＋3 π－43的结果为________． 【解析】 原式＝|π－4|＋(π－4)＝4－π＋π－4＝0. 【答案】 0
高中数学苏教版必修一《3.1.1分数指数幂》课件
训练 6．化简：( a－1)2＋ 1－a2＋ 3 1－a3－ 4 a－14.
解析：要使此式有意义，必须 a－1≥0，即 a≥1，
∴原式＝a－1＋|1－a|＋1－a－|a－1|＝0.
题型三 分数指数幂的运算性质与乘法公式的结合应用
例 4 根据下列条件求值．
(1)已知：a2x＝ 2＋1.求aa3xx＋＋aa－－x3x的值；
•
(
xy)
3 2
3
1 3
(x 2
•
2 3 1
y 2 )3
57
x6 y6;
3 a3 a
1
1 13
1(1 1 )1 1
31
1
a a • (a • a 2 )3 (a 2 3 )3 (a 2 )3 a 2 .
说明 （1）式子中既含有分数指数幂，又含有根式时，为了方便计算应 该把根式统一化成分数指数幂的情势，再根据运算性质运算．
点评：通过换元，可把分数指数幂转化为整数指数幂，把复
杂运算转化为简单熟悉的运算，快速解决问题．
训练 练习：若 a＋a－1＝3，求 a＋ 1 的值． a
解析：∵
a＋
1
2
a
＝a＋2＋1a＝a＋a－1＋2＝5，
∴
a＋
1＝ a
5.
幂的运算法则 (a＞0，b＞0， s，t=Q) asat ＝ as＋t ，
（2）对于计算结果，并不强求用统一的情势来表示，如果没有特别的要 求，一般用分数指数幂的情势表示．但结果不能同时含有根式和分数指数， 也不能既有分母又含有负指数．
3．计算或简化：
4
4
(1)
9 81
2
3 ；(2)
解析：
-2
b3
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4．若 81 的平方根为 a，－8 的立方根为 b，求 a＋b 的值．
解 ∵(±9)2＝81， ∴81 的平方根为±9，即 a＝±9. 又(－2)3＝－8，∴－8 的立方根为－2，即 b＝－2. ∴a＋b＝－9－2＝－11 或 a＋b＝9－2＝7， ∴a＋b＝－11 或 7.
呈重点、现规律
解 (1) －102＝|－10|＝10；
4 (2)
3－π4＝|3－π|＝π－3；
3 (3)
3a－33＝3a－3.
探要点、究所然
探究点二：利用根式的性质化简或求值
例 2 化简：( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3＝__a_－__1___.
解析 由题意知 a－1≥0，即 a≥1. 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
当堂测、查疑缺
请选择
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1．下列说法中：
①16 的 4 次方根是 2； ②4 16的运算结果是±2； ③当 n 为大于 1 的奇数时，n a对任意 a∈R 都有意义； ④当 n 为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0 时才有意义． 其中正确的是___③__④___．(填序号)
解析 ①错，∵(±2)4＝16，∴16 的 4 次方根是±2. ②错，4 16＝2，而±4 16＝±2. ③④正确．
1．根式的概念：如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*.n 为奇 数时，x＝n a，n 为偶数时，x＝±n a(a>0)；负数没有偶次方根，0 的任何次方根
都是 0. 2．掌握两个公式：(1)(n a)n＝a；(2)n 为奇数， n an＝a，n 为偶数，n an＝|a|＝
探要点、究所然
苏教版数学必修一新素养同步讲义：3.1 3.1.2 第1课时 指数函数的概念、图象及性质
3．1.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象及性质1.了解指数函数的实际背景．2.理解指数函数的概念、意义、图象和性质．3．掌握与指数函数有关的函数定义域、值域、单调性问题．[学生用书P41]1．指数函数的定义一般地，形如y＝a x(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x 为自变量，定义域为R．2．指数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点(0，1)单调性增函数减函数性质相应的y值x>0时，y>1；x＝0时，y＝1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x＝0时，y＝1；x<0时，y>11．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数y＝a x中，a可以为负数．()(2)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(3)函数y＝2－x的定义域为{x|x≠0}．()★★答案★★：(1)×(2)√(3)×2．下列函数：①y＝(－2)x；②y＝2x；③y＝2－x；④y＝3×2x.其中指数函数的个数为() A．0B．1C．2 D．4★★答案★★：C3．若f (x )＝(a 2－3)a x 是指数函数，则a ＝________． ★★答案★★：24．函数f (x )＝2x ，x ∈[0，2]的值域是________． ★★答案★★：[1，4]指数函数的概念[学生用书P41]下列函数中，哪些是指数函数． ①y ＝(－8)x ；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ； ④y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a >12且a ≠1；⑤y ＝2×3x . 【解】 ①中底数－8<0，所以不是指数函数． ②中指数不是自变量x ，所以不是指数函数．③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数． ④因为a ＞12且a ≠1，所以2a －1＞0且2a －1≠1，所以y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12且a ≠1为指数函数． ⑤中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．故只有④是指数函数．只需判定其解析式是否符合y ＝a x (a >0，且a ≠1)这一结构形式，其具备的特点为：1.指出下列函数中，哪些是指数函数．(1)y ＝πx ；(2)y ＝－4x ； (3)y ＝(1－3a )x ⎝⎛⎭⎫a <13且a ≠0； (4)y ＝(a 2＋2)－x ；(5)y ＝2×3x ＋a (a ≠0)．解：根据指数函数的定义，指数函数满足：①前面系数为1；②底数a ＞0且a ≠1；③指数是自变量．(1)y ＝πx ，底数为π，满足π＞0且π≠1，前面系数为1，且指数为自变量x ，故它是指数函数．(2)y ＝－4x ，前面系数为－1，故它不是指数函数．(3)y ＝(1－3a )x ，因为a <13且a ≠0，所以1－3a >0且1－3a ≠1，前面系数为1，且指数为自变量x ，故它是指数函数．(4)y ＝(a 2＋2)－x＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋2x，底数1a 2＋2∈⎝⎛⎦⎤0，12，前面系数为1，指数为自变量x ，故它是指数函数．(5)y ＝2×3x ＋a (a ≠0)，3x 前面系数为2≠1，故它不是指数函数． 故(1)(3)(4)为指数函数．指数式的比较大小问题[学生用书P42]比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3；(3)0.80.6，0.60.8.【解】 (1)构造函数f (x )＝1.8x .因为a ＝1.8＞1，所以f (x )＝1.8x 在R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以1.8－π＜1.8－3. (2)因为y ＝⎝⎛⎭⎫1.71.9x在R 上是减函数， 所以1.7－0.31.9－0.3＝⎝⎛⎭⎫1.71.9－0.3＞⎝⎛⎭⎫1.71.90＝1.又因为1.7－0.3与1.9－0.3都大于0，所以1.7－0.3＞1.9－0.3.(3)取中间值0.80.8.因为y ＝0.8x 在R 上单调递减，而0.6＜0.8， 所以0.80.6＞0.80.8.又因为0.80.80.60.8＝⎝⎛⎭⎫0.80.60.8＞⎝⎛⎭⎫0.80.60＝1，且0.60.8＞0，0．80.8>0，所以0.80.8＞0.60.8.所以0.80.6＞0.60.8.对于同底数幂，应利用指数函数的单调性求解；对于同指数的两个函数值，应根据“在y 轴的右侧，图象由上到下，底数越来越小”来判断数值的大小；对于不同底数，不同指数的两个函数值，可找一中间函数值，通过“搭桥”来达到比较两个数的大小的目的．2.比较下列各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7； (2)(2)－1.2和(2)－1.4；(3)⎝⎛⎭⎫3213和⎝⎛⎭⎫3223； (4)π－2和⎝⎛⎭⎫13－1.3.解：(1)考察函数y ＝0.6x ，因为0<0.6<1，所以函数y ＝0.6x 在实数集R 上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.(2)考察函数y ＝(2)x .因为2>1，所以函数y ＝(2)x 在实数集R 上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以(2)－1.2>(2)－1.4.(3)考察函数y ＝⎝⎛⎭⎫32x.因为32>1，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫32x在实数集R 上是单调增函数．又因为13<23，所以⎝⎛⎭⎫3213<⎝⎛⎭⎫3223.(4)因为π－2＝⎝⎛⎭⎫1π2<1，⎝⎛⎭⎫13－1.3＝31.3>1，所以π－2<⎝⎛⎭⎫13－1.3.与指数函数有关的函数定义域与值域问题[学生用书P42]求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x －4；(2)y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x.【解】 (1)x 应满足x －4≠0，所以x ≠4， 故函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为x ≠4，所以1x －4≠0，所以21x －4≠1.所以y ＝21x －4的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)因为x 应满足1－⎝⎛⎭⎫12x≥0， 所以⎝⎛⎭⎫12x≤1＝⎝⎛⎭⎫120，所以x ≥0. 所以函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为{x |x ≥0}．因为⎝⎛⎭⎫12x ≤1，且⎝⎛⎭⎫12x>0，所以0<⎝⎛⎭⎫12x≤1. 所以0≤1－⎝⎛⎭⎫12x<1，即0≤y <1. 所以函数y 的值域为{y |0≤y <1}．函数y ＝a f (x )的定义域的求解方法使f (x )有意义列不等式(组)求出x 的取值范围；值域的求解方法：(1)根据定义域求出μ＝f (x )的值域；(2)根据指数函数的性质求出y ＝a μ的值域，即为所求．3.求下列函数的定义域与值域：(1)y ＝4x ＋2x ＋1＋1； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫13－x 2＋2x .解：(1)定义域为R .令2x ＝t (t ＞0)， 则y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1. 所以值域为{y |y ＞1}． (2)定义域为R .令u ＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1， 则u ≤1，因为y ＝⎝⎛⎭⎫13u 为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13u ≥⎝⎛⎭⎫131， 即函数的值域为⎣⎡⎭⎫13，＋∞.透析指数函数的图象与性质(1)当底数a 大小不确定时，必须分a ＞1或0＜a ＜1两种情况讨论函数的图象和性质． (2)当a ＞1时，x 的值越小，函数的图象越接近x 轴；当0＜a ＜1时，x 的值越大，函数的图象越接近x 轴．(3)指数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都经过第一、二象限．如果函数y ＝a 2x ＋2a x ＋1(a >0，a ≠1)在[－1，1]上的最大值为9，求a 的值． [解] 设a x ＝t (t >0)，则y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2. 若0<a <1，则t ＝a x ∈[a ，a －1]， 所以当t ＝a －1，即x ＝－1时， y max ＝a －2＋2a －1＋1. 于是由a －2＋2a －1＋1＝9， 解得a ＝12(a >0，a ≠1)．若a >1，则t ＝a x ∈[a －1，a ]，所以当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a ＋1. 于是由a 2＋2a ＋1＝9，解得a ＝2(a >0，a ≠1)． 综上所述，a ＝12或a ＝2.(1)本题换元(设a x ＝t )后易出现两个错误：①已知区间[－1，1]是x 的取值范围，误认为是t 的取值范围；②a 的取值将影响指数函数t ＝a x 的单调性，从而影响t ＝a x 的取值范围，故应该分a >1与0<a <1讨论．(2)指数函数的单调性，由底数的取值范围确定，故当指数函数的底数含有字母时，要对字母的取值情况分类讨论．1．若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12a －3·a x 是指数函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 ( ) A ．2 B ．－2 C ．－2 2D ．2 2解析：选D.因为函数f (x )是指数函数，所以12a －3＝1，所以a ＝8，所以f (x )＝8x ，f ⎝⎛⎭⎫12＝812＝2 2.2．已知函数f (x )＝a x (a >0)的图象经过点(－1，2)，则f (2)＝________． 解析：因为2＝a －1，即a ＝12，所以f (2)＝⎝⎛⎭⎫122＝14.★★答案★★：143．已知函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围是________． 解析：由a x －1≥0，得a x ≥1＝a 0，因为x ∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a <1. ★★答案★★：(0，1)4．不等式⎝⎛⎭⎫12x<4的解集是________． 解析：⎝⎛⎭⎫12x<4即⎝⎛⎭⎫12x<⎝⎛⎭⎫12－2. 又y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，＋∞)上为减函数．所以x >－2. ★★答案★★：(－2，＋∞)[学生用书P106(单独成册)])[A 基础达标]1．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )解析：选C.由于0＜m ＜n ＜1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.2．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D ．⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：选B.由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0.3．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )解析：选A.因为g (x )＝－x ＋a 是R 上的减函数，所以排除选项C ，D.由选项A ，B 的图象知，a >1.因为g (0)＝a >1，故选A.4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9，81] B ．[3，9] C ．[1，9]D ．[1，＋∞)解析：选C.因为函数f (x )＝3x－b的图象经过点(2，1)，所以32－b ＝1，所以2－b ＝0，b ＝2， 所以f (x )＝3x －2.由2≤x ≤4得0≤x －2≤2， 所以30≤3x －2≤32，即1≤3x －2≤9，所以函数f (x )的值域是[1，9]． 5.已知a ＝20.4，b ＝80.1，c ＝⎝⎛⎭⎫12－0.5，则a ，b ，c 的大小顺序为________．解析：a ＝20.4，b ＝20.3，c ＝20.5. 又y ＝2x 在R 上为增函数． 所以b <a <c .★★答案★★：b <a <c6.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫131x 的定义域，值域依次是____________________________．解析：由函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫131x 的表达式得x ≠0为其有意义的取值范围，1x≠0.所以⎝⎛⎭⎫131x ≠1且⎝⎛⎭⎫131x＞0.于是函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }， 值域为{y |y ＞0且y ≠1}．★★答案★★：{x |x ≠0，x ∈R }，{y |y ＞0且y ≠1} 7. y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为________． 解析：因为x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， 所以⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又因为⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3＞0，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0，16]． ★★答案★★： (0，16]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：由题意知f (1)＝21＝2. 因为f (a )＋f (1)＝0，所以f (a )＋2＝0.若a >0，则f (a )＝2a ，2a ＋2＝0无解；若a ≤0，则f (a )＝a ＋1. 所以a ＋1＋2＝0，a ＝－3. ★★答案★★：－39．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x－1；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2.解：(1)要使y ＝21x －1有意义，需x ≠0，则21x ＞0且21x ≠1，故21x －1＞－1且21x－1≠0，故函数y ＝21x－1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2，故0＜⎝⎛⎭⎫132x 2－2≤9，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的值域为(0，9]．10．已知指数函数f (x )＝a x 在x ∈[－2，2]上恒有f (x )<2，求实数a 的取值范围． 解：当a >1时，f (x )＝a x 在[－2，2]上为增函数， 所以f (x )max ＝f (2)，又因为x ∈[－2，2]时，f (x )<2恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，f （2）<2，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a 2<2，解得1<a < 2. 同理，当0<a <1时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f （x ）max ＝f （－2）<2， 解得22<a <1. 综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)．[B 能力提升]1．图中所给的曲线C 1，C 2，C 3，C 4是指数函数y ＝a x 的图象，而a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，13，5，π，则图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的函数的底数依次是________，________，________，________．解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，知C 2的底数<C 1的底数<1<C 4的底数<C 3的底数，而13<23<5<π，故C 1，C 2，C 3，C 4对应函数的底数依次是23，13，π， 5.★★答案★★：23 13π 52．若方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．解析：作出y ＝|2x －1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，所以a ≥1或a ＝0.★★答案★★：{a |a ≥1，或a ＝0}3．将⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412用“<”号连接起来． 解：先将这4个数分成三类： (1)负数：⎝⎛⎭⎫－233；(2)大于1的数：⎝⎛⎭⎫4313，223； (3)大于0小于1的数：⎝⎛⎭⎫3412. 又因为⎝⎛⎭⎫4313<413＝223， 故⎝⎛⎭⎫－233<⎝⎛⎭⎫3412<⎝⎛⎭⎫4313<223. 4．(选做题)设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，求a 的值．解：令t ＝a x (a >0且a ≠1)， 则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2(t >0)．令y ＝f (t )，则函数f (t )＝(t ＋1)2－2的图象的对称轴为直线t ＝－1，开口向上． ①当0<a <1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时，f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数， 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14. 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16， 所以a ＝－15或a ＝13.又因为a >0，所以a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数， 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14. 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．所以a ＝13或a ＝3.。
2018-2019版高中数学苏教版必修一课件：3.1.1 第2课时 分数指数幂
有理数指数幂的运算性质
思考
我们知道 32×33＝32＋3，那么 64 × 64 ＝ 64
答案
64
1 1 2 3
1 2
1 2
1 3
1 1 2 3
成立吗？
3
成 立 . 64 × 64 ＝ 64 × 64 ＝ 82 × 43 ＝ 8×4 ＝ 32,
3 6 6 5 64 ＝ ＝ 64 ＝ 256＝25＝32.
2 3
＝( 0.027) ＋
2
3
125 － 27
25 5 5 ＝ 0.09 ＋ － ＝ 0.09. 9 3 3
解答
(2) (2a b )(6a b ) ÷(3a b ) ；
解 原式＝[2×(－6)÷(－3)] a
2 1 1 3 2 6
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
b
1 1 5 2 3 6
梳理
分数指数幂的定义
m a (1)规定正数的正分数指数幂的意义是： a ＝_____(a>0，m，n均为正
m n
n
整数)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是： a
为正整数)；
m n
1 a ＝______ (a>0，m，n均
m n
(3)0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 没有意义 .
知识点二
第3章
3.1.1 分数指数幂
第2课时 分数指数幂
学习目标
1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化. 2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值. 3.了解无理数指数幂的意义.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
苏教版数学必修一新素养同步课件：3.3 幂函数
答案：2，12，－12，－2
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
幂值的大小比较问题
比较下列各组数的大小：
3
3
1
1
1
(1)1.32，1.42，(－2)3；(2)1.72，0.72，0.72.
【解】
(1)考察幂函数
y＝x32，因为32>0，所以
3
y＝x2在区间[0，
＋∞)上是单调增函数，
3
3
由于 0<1.3<1.4，所以 0<1.32<1.42，
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
幂函数的概念 (1)下列函数为幂函数的序号是________． ①y＝－x2；②y＝2x； ③y＝xπ；④y＝(x－1)3； ⑤y＝x12；⑥y＝x2＋1x. (2)若幂函数 f(x)的图象经过点(2，2 2)，则 f(9)＝________．
栏目 导引
1
y＝x2 [0_，__＋__∞_ )
[0_，__＋___∞)
y＝x－1
(_－__∞__，__0__)∪_ (_0_，__＋__∞___) _
{y|y∈R 且 y≠0}
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
奇偶性 _奇___
__偶___
奇____ 非_奇__非__偶_ __奇____
x∈(0，＋
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.比较下列各组数的大小：
1
1
1
3
3
4
(1)2.12，2.22，0.23；(2)3.55，0.55，0.55.
解：(1)考察幂函数
y＝x12，因为12>0，所以
高中数学苏教版必修一《3.1.1分指数函数》课件
2024/11/14
8
单击此处例1编.求辑下列母各版式的标值题: 样式
(1) ( 5)2
•
单击此处编辑母版文本样式
• 二级 (2) ( 3 -2)3
5
•
三级
• 四级(3) 4
(2)4
2
• 五级
(4) 2 (3- )2
2
(5)( n a )n
3
(6) n an
2024/11/14
9
单击此观处察下编面辑的变母形版: 标题样式
特别要求，就用分数指数幂表示，但结果不能同时含有
根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
2024/11/14
14
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
3.•1二.级1 • 三级
谢谢大家 • 四级 • 五级
数学苏教版 高中数学
2024/11/14
15
• 三级
2.熟练掌握• 四用级 根式与分数指数幂的运算性质进行运算和化 • 五级 简,会进行根式与分数指数幂的互化.
2024/11/14
2
单击引例此处编辑母版标题样式
• 单击此某处细编胞辑分母裂版文时本，样由式1个分裂成2个，2个分裂成4个，4
• 个二级分裂成8个 ，如果分裂一次需要10min，那么，一个
2.幂的运算法则 :
as at ast , as at ast
(as )t ast , (ab)t atbt
(其中s,t N *, a 0,b 0)
2024/11/14
5
单击平此方处根编立方辑根母的版概念标和题性样质 式
• 单击此如处果编x辑2 =母a，版那文么本x样称式为a的平方根,表为:x= a • 二如级 果x3 =a，那么x称为a的立方根,表为:x= 3 a
年高中数学苏教版必修一3.1.1《分数指数幂》ppt教学课件(1)
(4) (a b)2 ＝a＋b．
其中一定成立的是
(写出所有正确命题的序号)．
数学应用：
练习：
已知x 1 ，y 1 ，求
x
y
x
y 的值．
23
x y x y
小结：
乘方 幂
开方 方根 根式
作业：
课本63页习题3.1（1）1．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
如果设每年平均增长p%，80年的国民生产总值记为1，则有(1＋ p%)10＝2在这里， 1＋p%叫做底数，10是指数，2是幂．
如何求p呢？
数学建构：
1．平方根与立方根．
如果一个数的平方等于a，那么这个数是a的一个平方根， 也就是说，如果x2=a，那么x就是a的一个平方根． 如果一个数的立方等于a，那么这个数是a的立方根， 也就是说，如果x3=a，那么x就是a的立方根．
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
2019/8/15
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⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
苏教版数学必修一新素养同步课件：3.1 3.1.2 第1课时 指数函数的概念、图象及性质
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
(4)y＝(a2＋2)－x＝a2＋1 2x，底数a2＋1 2∈0，12，前面系数为 1， 指数为自变量 x，故它是指数函数． (5)y＝2×3x＋a(a≠0)，3x 前面系数为 2≠1，故它不是指数函 数． 故(1)(3)(4)为指数函数．
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
1．若函数 f(x)＝12a－3·ax 是指数函数，则 f12的值为 (
)
A．2
B．－2
C．－2 2
D．2 2
解析：选 D.因为函数 f(x)是指数函数，所以12a－3＝1，所以
a＝8，所以 f(x)＝8x，f12＝812＝2 2.
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
2．已知函数 f(x)＝ax(a>0)的图象经过点(－1，2)，则 f(2)＝ ________． 解析：因为 2＝a－1，即 a＝12，所以 f(2)＝122＝14. 答案：14
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3．已知函数 y＝ ax－1的定义域是(－∞，0]，则实数 a 的取 值范围是________． 解析：由 ax－1≥0，得 ax≥1＝a0，因为 x∈(－∞，0]，由指 数函数的性质知 0<a<1. 答案：(0，1)
2.比较下列各组中两个数的大小： (1)0.63.5 和 0.63.7； (2)( 2)－1.2 和( 2)－1.4； (3)3213和3223； (4)π－2 和13－1.3.
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
解：(1)考察函数 y＝0.6x，因为 0<0.6<1，所以函数 y＝0.6x 在 实 数 集 R 上 是 单 调 减 函 数 ． 又 因 为 3.5<3.7 ， 所 以 0.63.5>0.63.7. (2)考察函数 y＝( 2)x.因为 2>1，所以函数 y＝( 2)x 在实数集 R 上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4， 所以( 2)－1.2>( 2)－1.4.
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3 （1－2a）3＝1－2a.
因为|2a－1|＝1－2a，
故 2a－1≤0，
所以 a≤12. 答案：(1)C
(2)－∞，12
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
分数指数幂的运算
(1)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是
________(只填序号)．
①－
1
1
34
x＝(－x)2(x＞0)；②6 y2＝y3(y＜0)；③x－4＝
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
条件求值问题
已知 x12＋x－12＝3，求x－1＋2x＋3的值．
1
1
【解】 因为 x2＋x－2＝3，
1
1
所以(x2＋x－2)2＝9，
1
11
1
所以(x2)2＋2x2·x－2＋(x－2)2＝9，
所以 x＋2＋x－1＝9，
所以 x＋x－1＝7，所以原式＝7＋2 3＝15.
所以 a－b＜0，a＋b＜0， 所以原式＝－(a－b)－(a＋b)＝－2a. 所以n （a－b）n＋n （a＋b）n ＝2－a，2an，＝n2＝k＋2k1，，kk∈∈NN*.*，
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
根式化简与求值的思路及注意点 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运 用根式的性质进行化简． (2)注意点： ①正确区分(n a)n 与n an两式； ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全 平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
n 数方根与负的 n 次实数方根可合并写成_±___a____ (a＞0)．
③0 的 n 次实数方根等于_0____，记作n 0＝0. ④负数没有偶次方根．
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
2．根式 (1)式子_n__a_叫做根式，这里 n 叫做_根__指__数___，a 叫做_被__开__方__数_． (2)式子n an对任意 a∈R 都有意义，当 n 为奇数时，n an＝ _a___，当 n 为偶数时，n an＝|a|＝a－，aa，≥a0＜，0.
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
4．有理数指数幂的运算性质 (1)asat＝__a_s_＋_t ______； (2)(as)t＝___a_st_______； (3)(ab)t＝___a_tb_t ______． 其中 s，t∈Q，a>0，b>0. 5．无理数指数幂
无理数指数幂 aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
) B．32 D．－32
解析：选
81 A.16
－14＝324－14＝32－1＝23.
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3x－4y
3．已知 10x＝2，10y＝3，则 10 2 ＝________． 解析：103x－2 4y＝103x－4y12＝110034xy12
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】
3 (1)
（－2）3＝－2.
4 (2)
（－3）2＝4
32＝
3.
8 (3)
（3－π）8＝|3－π|＝π－3.
(4)当 n 是奇数时，
原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当 n 为偶数时，因为 a＜b＜0，
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
2.计算下列各式： (1)823×100－12×14－3×1861－34； (2)(2a23b12)(－6a12b13)÷－3a16b56.
解：(1)原式＝(23)32×(102)－12×(2－2)－3×234－43 ＝22×10－1×26×23－3＝28×110×323＝4352.
211115
(2)原式＝4a3＋2－6b2＋3－6＝4ab0＝4a.
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
1．化简 （1－2x）2x＞12的结果是(
)
A．1－2x
B．0
C．2x－1 解析：选 C.因为 x＞12，
D．(1－2x)2
所以 2x＞1，
所以 1－2x＜0
所以 （1－2x）2＝|1－2x|＝2x－1.
栏目 导引
2．计算8116－14的结果为( 2
A.3 C．－23
理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当 n∈N*时，(n －3)n 都有意义．( ) (2) （π－4）2＝4－π.( ) (3)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．( ) (4)0 的任何指数幂都等于 0.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
1x3(x＞
0)；④x－13＝－3 x(x≠0)．
(2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中 a＞0，b＞0)．
①3 a·4 a； ② a a a； ③(3 a)2· ab3.
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
1
【解】 (1)对于①，－ x＝－x2，故①错误；对于②，当 y＜0
时，6
1
3
3
＝233412＝2322＝2 9 2. 答案：2 9 2
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3．分数指数幂
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：amn＝_n__a_m_ (a＞0，m、
n∈N*，且 n＞1)．
m
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－ n ＝
1m＝
an
n
1 (a＞0， am
m、n∈N*，且 n＞1)．
(3)0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 _0__ ， 0 的 负 分 数 指 数 幂 _没__有__意__义______．
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
1.(1)下列式子中正确的是( )
6 A.
（－3）2＝3
（－3）
4 B.
a4＝a
C.6 22＝3 2 D．a0＝1
(2)若 （2a－1）2＝3 （1－2a）3，则实数 a 的取值范围为 ________．
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
解析：(1)6 （－3）2＝6 32＝3 3，4 a4＝|a|，a0＝1 条件为 a≠0， 故 A、B、D 错． (2) （2a－1）2＝|2a－1|，
栏目 导引
2．对分数指数幂的理解
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
(1)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推
广到了有理数指数．
(2)指数幂 amn不可理解为mn 个 a 相乘，它是根式的一种新写
法．在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的
量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
1
1
1
1
1．若将条件“x2＋x－2＝3”改为“x2－x－2＝1”，如何求值？
1
1
解：将 x2－x－2＝1 两边平方，得 x＋x－1－2＝1，所以
x＋x－1＝3，则x＋x2－1＋3＝3＋2 3＝13.
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
2．在本例条件下，如何求 x2＋x－2 的值？
1
1
解：将 x2＋x－2＝3 两边平方可得 x＋x－1＋2＝9，则
x＋x－1＝7，两边再平方，得 x2＋x－2＋2＝49，所以 x2＋x－2
＝47.
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
条件求值问题的解法 (1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的 式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关 系，可考虑使用整体代换法． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完 全平方公式及其变形公式．
答案：(1)2
9 (2)4
(3)3
4．若 x＜0，则|x|－ x2＋ |xx|2＝________．
答案：1
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
根式的化简与求值 求下列各式的值． (1) 3 （－2）3；(2) 4 （－3）2；(3) 8 （3－π）8； (4) n （a－b）n＋n （a＋b）n(a＜b＜0，n＞1，n∈N*)．
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
(2)性质 ①当 n 为奇数时，正数的 n 次实数方根是一个_正___数_____，负 数的 n 次实数方根是一个_负__数______，这时，a 的 n 次实数方
根用符号n a表示． ②当 n 是_偶__数____时，正数的 n 次实数方根有两个，这两个数 互为相__反__数___．这时正数 a 的正的 n 次实数方根用符号__n_a____ 表示，负的 n 次实数方根用符号__－__n__a__表示，正的 n 次实
y2＞0，y3＜0，故②错误；对于③，x－4＝
1
＝
4 x3
4
1x3(x
1
＞0)，故③正确；对于④，x－3＝
1
，故④错误．综上，填③.
3
x
(2)①3
a·4
11 7
a＝a3·a4＝a12；
1117
②原式＝a2·a4·a8＝a8；
③原式＝a132·a12·b32＝a76b32.
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
第3章 指数函数、对数函数和幂函数