最新阵列信号处理6ESPRIT类算法
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d
xi(t) sk(t)ai(k)nxi(t) k1 d
yi(t) sk(t)ej0sin k/cai(k) ny(it) k 1
其中 k 是第k个信号源的到达角。
将两个子阵中每一组阵元的输出结合起 来，接收数据矢量可以写成如下形式：
x(t)A(ts )nx(t)
y(t)A s(t)ny(t) 矩阵 是两个子阵间相位延迟形成的对 角阵。表示为 d{ ie ja 1, g ,e jd} ，其
a)ESPRIT不需要天线阵元位置和阵元特 性的信息，从而不必进行阵列校准和阵 流形存储的工作。
b)ESPRIT的计算复杂性有实质上的减 小。
c)ESPRIT算法的稳健性更好。
当然，ESPRIT算法的优越性的获得是有 代价的，在DOA估计中，就是要求天线 阵具有平移不变性。幸运的是，这个限 制在很多实际应用中是满足的或是可以 被满足的。
Biblioteka Baidu
图1 应用ESPRIT进行多源DOA估计的 阵列几何特性
B.数据模型
假设有d m个中心频率为 0的窄带信
号源，并且信号位于远场从而在均匀各 向同性的介质中到达阵列的是平面波。 加性噪声在所有2m个天线单元上存在， 是平稳零均值随机过程。
将阵列描述为由两个子阵 Z x和Z y 组成。Z x 和 Z y 在各方面都是相同的，只是彼此有 一个已知的位移矢量的偏移。第i个偶极 天线的接收信号可以表达为
Ⅱ.ESRRIT
接下来的讨论都是以一个阵列所接收数 据的多源到达角问题来表述的。只考虑 一维参数空间的情况，也就是远场点源 的方位角分辨。
A.阵列几何结构
ESPRIT保留了任意阵列的多数本质特性， 它对阵列结构的限制就是要求阵元以具 有相同平移矢量的匹配对的形式存在 ， 这一点通过下面的例子很容易解释。
阵列信号处理6ESPRIT类算法
第6章 ESPRIT（旋转不变子 空间技术）类DOA估计算法
Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques
Ⅰ.引言
信号处理的目标是从测量值中估计出接 收到信号所依赖的一系列参数 ，高分 辨率的到达角（DOA）估计问题就是信 号参数估计中重要的一类 。
ATxF ATF y.
（*）
定义
，
def
Fx[Fy ]1
式（*）重新整理为
A T A T A T T 1 A
如果A是满秩的，则有
TT1
从上式可见，的特征值就是 的对角 线元素，表明了信号入射角 e jk ，因此， 计算过程并不需要知道A。
D.子空间旋转算子的估计
实际应用中，我们只能得到有限的有噪 声的测量数据。这样 R{Es}就只是 S z 的 估计值，从而有可能 R{Es}R{A}，甚 至 R{Ex}R{Ey}。所以这时我们无法找 到 使得 ExEy。必须寻找一个准 则以获得 的合适估计，通常情况下 应用的是最小二乘（LS）估计。
His/bin(0.1/bin) His/bin(0.1deg/bin)
Histogram of MUSIC result 100
90
MUSIC failure rate 38.9%
80
70
60
50
40
30
20
10
0 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88
DOA(deg)
列的不变性结构意味着 E s 可以分解为 E x 和 E y ，从而
Es EExyAATT
从上式容易看出 R {E x}R {Ey}R {A }
def
由于 E x 和 E y 共享列空间，定义 Exy [Ex | Ey]
它的秩为d。这意味着存在一个2d d阶矩阵F，
使得
0 [E x|E y]F E xF x E yF y
Schmidt提出的子空间方法MUSIC，由 于在实际问题中给出了很好的结果而在 近些年得到了广泛的应用。然而，尽管 MUSIC的性能优势很明显，但这却是以 可观的计算量（参数空间搜索）和存储 量（阵列流形）为代价获得的。
这里介绍ESPRIT算法，它和MUSIC一样 应用了正确的信号模型，估计的结果渐 近无偏、有效。不仅如此，ESPRIT比 MUSIC有显著的优点。
假设模型 AXB中，A已知且误差由B 引起，若要获得X的估计通常应用标准 的LS准则。这里容易证明 E x 和 E y 中同 样存在噪声，那么 LS 准则就是不合适 的。考虑A和B都有噪声存在的准则是整 体最小二乘（TLS） 。
应用TLS准则得到 的估计步骤为：
令F为 EXY*EXY 的d个最小特征值对应的 特征矢量。这样，如上所定义的 由 F X 和 FY 计算得到， 的特征值就是 的 对角元素的估计。
中 k0sink/c。被称为旋转算子
定义整个阵列的输出矢量为z(t)
x(t) z(t)y(t)As(t)nz(t)
A
A A
nz
(t)
nx ny
(t) (t)
正是 A 的结构用来得到 的对角元素的
估计值而不需要知道 A 的信息
C.ESPRIT-不变性方法
在已知d个信号源的情况下，ESPRIT算 法基于如下结论：无噪声时，同以前一
样信号子空间可以通过采集足够数目的
测量值并找到所有的d个线性独立矢量而 获得。数据的协方差为
*
RzzARssA
2n
对应d个最大特征值的特征矢量构成信
号子空间 E s n[e 1| |ed]
由于 E
的列矢量构成的子空间与
s
A
各列
矢量构成的子空间是相同的。必然存在
非奇异矩阵T，使得 Es AT 。此外，阵
Histogram of ESPRIT result 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
0 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88
III．仿真结果
A.独立信号源的情况
选择天线阵为8阵元的均匀线阵，阵单 元间间距为半个工作波长，两个独立窄 带等功率信号源位于远场，其入射角分 别为80°、84°。噪声为加性零均值高 斯 白 噪 声 ， 信 噪 比 为 15db 。 快 拍 数 为 16 ， 独 立 进 行 1000 次 实 验 ， 结 果 如 图 所示。
xi(t) sk(t)ai(k)nxi(t) k1 d
yi(t) sk(t)ej0sin k/cai(k) ny(it) k 1
其中 k 是第k个信号源的到达角。
将两个子阵中每一组阵元的输出结合起 来，接收数据矢量可以写成如下形式：
x(t)A(ts )nx(t)
y(t)A s(t)ny(t) 矩阵 是两个子阵间相位延迟形成的对 角阵。表示为 d{ ie ja 1, g ,e jd} ，其
a)ESPRIT不需要天线阵元位置和阵元特 性的信息，从而不必进行阵列校准和阵 流形存储的工作。
b)ESPRIT的计算复杂性有实质上的减 小。
c)ESPRIT算法的稳健性更好。
当然，ESPRIT算法的优越性的获得是有 代价的，在DOA估计中，就是要求天线 阵具有平移不变性。幸运的是，这个限 制在很多实际应用中是满足的或是可以 被满足的。
Biblioteka Baidu
图1 应用ESPRIT进行多源DOA估计的 阵列几何特性
B.数据模型
假设有d m个中心频率为 0的窄带信
号源，并且信号位于远场从而在均匀各 向同性的介质中到达阵列的是平面波。 加性噪声在所有2m个天线单元上存在， 是平稳零均值随机过程。
将阵列描述为由两个子阵 Z x和Z y 组成。Z x 和 Z y 在各方面都是相同的，只是彼此有 一个已知的位移矢量的偏移。第i个偶极 天线的接收信号可以表达为
Ⅱ.ESRRIT
接下来的讨论都是以一个阵列所接收数 据的多源到达角问题来表述的。只考虑 一维参数空间的情况，也就是远场点源 的方位角分辨。
A.阵列几何结构
ESPRIT保留了任意阵列的多数本质特性， 它对阵列结构的限制就是要求阵元以具 有相同平移矢量的匹配对的形式存在 ， 这一点通过下面的例子很容易解释。
阵列信号处理6ESPRIT类算法
第6章 ESPRIT（旋转不变子 空间技术）类DOA估计算法
Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques
Ⅰ.引言
信号处理的目标是从测量值中估计出接 收到信号所依赖的一系列参数 ，高分 辨率的到达角（DOA）估计问题就是信 号参数估计中重要的一类 。
ATxF ATF y.
（*）
定义
，
def
Fx[Fy ]1
式（*）重新整理为
A T A T A T T 1 A
如果A是满秩的，则有
TT1
从上式可见，的特征值就是 的对角 线元素，表明了信号入射角 e jk ，因此， 计算过程并不需要知道A。
D.子空间旋转算子的估计
实际应用中，我们只能得到有限的有噪 声的测量数据。这样 R{Es}就只是 S z 的 估计值，从而有可能 R{Es}R{A}，甚 至 R{Ex}R{Ey}。所以这时我们无法找 到 使得 ExEy。必须寻找一个准 则以获得 的合适估计，通常情况下 应用的是最小二乘（LS）估计。
His/bin(0.1/bin) His/bin(0.1deg/bin)
Histogram of MUSIC result 100
90
MUSIC failure rate 38.9%
80
70
60
50
40
30
20
10
0 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88
DOA(deg)
列的不变性结构意味着 E s 可以分解为 E x 和 E y ，从而
Es EExyAATT
从上式容易看出 R {E x}R {Ey}R {A }
def
由于 E x 和 E y 共享列空间，定义 Exy [Ex | Ey]
它的秩为d。这意味着存在一个2d d阶矩阵F，
使得
0 [E x|E y]F E xF x E yF y
Schmidt提出的子空间方法MUSIC，由 于在实际问题中给出了很好的结果而在 近些年得到了广泛的应用。然而，尽管 MUSIC的性能优势很明显，但这却是以 可观的计算量（参数空间搜索）和存储 量（阵列流形）为代价获得的。
这里介绍ESPRIT算法，它和MUSIC一样 应用了正确的信号模型，估计的结果渐 近无偏、有效。不仅如此，ESPRIT比 MUSIC有显著的优点。
假设模型 AXB中，A已知且误差由B 引起，若要获得X的估计通常应用标准 的LS准则。这里容易证明 E x 和 E y 中同 样存在噪声，那么 LS 准则就是不合适 的。考虑A和B都有噪声存在的准则是整 体最小二乘（TLS） 。
应用TLS准则得到 的估计步骤为：
令F为 EXY*EXY 的d个最小特征值对应的 特征矢量。这样，如上所定义的 由 F X 和 FY 计算得到， 的特征值就是 的 对角元素的估计。
中 k0sink/c。被称为旋转算子
定义整个阵列的输出矢量为z(t)
x(t) z(t)y(t)As(t)nz(t)
A
A A
nz
(t)
nx ny
(t) (t)
正是 A 的结构用来得到 的对角元素的
估计值而不需要知道 A 的信息
C.ESPRIT-不变性方法
在已知d个信号源的情况下，ESPRIT算 法基于如下结论：无噪声时，同以前一
样信号子空间可以通过采集足够数目的
测量值并找到所有的d个线性独立矢量而 获得。数据的协方差为
*
RzzARssA
2n
对应d个最大特征值的特征矢量构成信
号子空间 E s n[e 1| |ed]
由于 E
的列矢量构成的子空间与
s
A
各列
矢量构成的子空间是相同的。必然存在
非奇异矩阵T，使得 Es AT 。此外，阵
Histogram of ESPRIT result 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
0 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88
III．仿真结果
A.独立信号源的情况
选择天线阵为8阵元的均匀线阵，阵单 元间间距为半个工作波长，两个独立窄 带等功率信号源位于远场，其入射角分 别为80°、84°。噪声为加性零均值高 斯 白 噪 声 ， 信 噪 比 为 15db 。 快 拍 数 为 16 ， 独 立 进 行 1000 次 实 验 ， 结 果 如 图 所示。